【百强名校】北京一零一中学2020-2021学年高二第一学期期末考试数学试卷
北京市北京一零一中学2019-2020学年高二第一学期期末考试数学试题
抛物线的准线为 ，过 作准线的垂线，垂足为 ， 的中点为 ，过 作准线的垂线，垂足为 ，
因为 是该抛物线上的两点，故 ，
所以 ，
又 为梯形的中位线，所以 ，故 到 轴的距离为 ，故选C.
【点睛】
本题考查抛物线的几何性质，属于基础题.
7．B
【解析】略
8．B
【解析】
【分析】
结合已知条件得到垂足始终在第一、第四象限内,则可以得到倾斜角的范围,再利用离心率的计算方法求出结果.
【点睛】
本题主要考查两圆的位置关系及椭圆的定义和标准方程，属于中档题．两圆半径为 ，两圆心间的距离 ，比较 与 及 与 的大小，即可得到两圆的位置关系.
6．C
【解析】
【分析】
抛物线的准线为 ，过 作准线的垂线，垂足为 ， 的中点为 ，过 作准线的垂线，垂足为 ，则可利用几何性质得到 ，故可得 到 轴的距离.
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北京市北京一零一中学2019-2020学年高二第一学期期末考试数学试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题)
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设动直线 与两定直线 和 分别交于 两点．若直线 总与椭圆 有且只有一个公共点，试探究： 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
运用复数的除法运算法则,先计算出 的表达式,然后再计算出 .
北京市东城区2020-2021学年上学期高二年级期末考试数学试卷(理科)
【全国区级联考】北京市东城区2020-2021学年上学期高二年级期末考试数学试卷（理科）学校: ___________ 姓名： __________ 班级：___________ 考号：___________一、单选题1.若他万两点的纵坐标相等，则直线曲的倾斜角为（）A.0B.—42.已知命题P: 3x0e R，IgxuvO,A. VA,∈ R » lgx>0C. VXWR ■ Ig^OC.-D.2那么命题F为B ・ 3⅞ ∈ R ♦ Igxo>OD. 3⅞ ∈ R > lgx o>03.在平而直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0,则边AB, AC 所在宜线的斜率之和为A. -2√3B. -1C. 0 D・2√34•设αb是两条不同的直线，α是平而且bua,那么是“alia"的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为*的小正方体堆积成的正方体），其中白点O代表钠原子，黑点•代表氯原子•建立空间直角坐标系O∙xyz后，图中最上层中心的钠原子所在位宜的坐标是A.<1τ1 D.6. 如图所示，在正方体ABCD-AιBιCιDι中,四而体A-BlCD l 在而AAlDID 上的正投 影图形为7. 设椭圆二+二=1 (Qb>0)的左.右焦点分别是R F 2,线段FH 被点［Jθ］分成Cr Iy \2 ) 3:1的两段，则此椭圆的离心率为 A. 1 B. IC.返D.迺32228. 已知直线/，m 和平而a, B,且/丄α, m 〃B,则下列命题中正确的是 A •若 CI 丄 B ,则 l∕∕m B •若 a 〃 B ,则 ∕±m C.若/〃 则m 丄aD ・若/丄m,则a //β9. 若半径为1的动圆与圆(x-l)2+y 2=4相切，则动圆圆心的轨迹方程为 A. (x-l)2+y 2=9B. (xJ)2+y2=3C. (x-l)2+y 2=9 或(x ∙lF+y2=l D. (x-Γ)2+y 2=3 或(x ∙lF+y2=510.已知双曲线C ：二■二=1的焦距为10,点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的 Cr Zr方程为A对 A.—X =IB. S-Z = IC. —■ -Z=I 7D.—.■,20 55 20802020 8012. 正方体ABCD-A I B l C l D I 的棱长为2, M, N 为棱A 1D 1, AB 上的动点,且IMNl = 3,11・平而上动点P 到疋点F 与肚直线/的距离相等，且点F 与直线/的距离为1.某冋学则线段MN中点P的轨迹为A.线段B.圆的一部分C.椭圆的一部分D.双曲线的一部分二、填空题13.在空间直角坐标系中，点P(2,-l.l)在yθz平而内的射影为Q(x,y,z),贝Jx+y+z= _______ .14.______________________________________________________________ 若直线/与直线2x-y-l=0垂直,且不过第一象限,试写出一个直线/的方程: _____________ .15.圆(x-l)2+y2=2绕直线kx-y-k=O旋转一周所得的几何体的表而积为 ______ •16.在长方体ABCD-A l B l C l D I中，M, N分别是棱BB1, Blel的中点，若ZCMN=90°,则异而直线ADl与DM所成的角为 _________ •17.已知曲线C上的任意一点M(X,y)满足到两条直线y = ±^-x的距离之积为12鈴出下列关于曲线C的描述：①曲线C关于坐标原点对称：②对于曲线C上任意一点M(x,y)—立有卜|冬6：③直线y=x与曲线C有两个交点：④曲线C与圆x2+y2=16无交点.其中所有正确描述的序号是________ .三、双空题18.已知直线/：x-y-m=0经过抛物线y2=8x的焦点，且与抛物线交于A, B两点，则m= ________ , IABl= ________ .四、解答题19.已知直线/过点A(0,4),且在两坐标轴上的截距之和为1∙(I)求直线/的方程：(II)若直线h与直线1平行，且人与1间的距离为2,求直线/］的方程.20.已知圆C： x2+y2+10x+10y+34=0.(I )试写岀圆C的圆心坐标和半径；(H)圆D的圆心在直线x=5上，且与圆C相外切，被X轴截得的弦长为10,求圆D 的方程：(IiI)过点P(0.2)的直线交(II)中圆D于E, F两点，求弦EF的中点IVl的轨迹方程.21.如图，在四棱锥P-ABCD中，底≡ABCD为菱形，ZBAD=60c, Q为AD的中点.(I )若PA=PD＞求证：平而PQB丄平而PAD：(H)点M在线段PC ±, PM=tPC,试确定实数t的值，使PA 〃平而MQB：(11[)在(Il )的条件下，若平面PAD丄平而ABCD,且PA=PD=AD=2.求二而角M-BQ-C 的大小・22∙已知椭圆C手嗒=心＞。
北京市东城区2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题(无答案)
北京市东城区2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题数 学2021. 1本试卷共4页，共100分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共30分）－、选择题共10题，每题3分，共30分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）直线x ＋y －1＝0的倾斜角为（A ）30° （B ）60° （C ）120° （D ）135°（2）已知等差数列{a n }，a 1＝2，a 3＝5，则公差d 等于（A ）23 （B ）32 （C ）3 （D ）－3（3）若两条直线ax ＋2y －1＝0与3x －6y －1＝0互相垂直，则a 的值为（A ）4 （B ）－4 （C ）1 （D ）－1（4）双曲线x 2－y 2＝1的焦点坐标是（A ）（0，），（0）（B ）（，0，0） （C ）（0，－2），（0，2） （D ）（－2，0），（2，0）（5）如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，DA ＝a ，DC ＝b ，1DD ＝c ，则与向量1D B 相等的是（A ）a ＋b －c （B ）a ＋b ＋c （C ）a －b ＋c （D ）a －b －c（6）北京市普通高中学业水平等级考试成绩按等级赋分计人高考录取总成绩，它是按照原始成绩排名的百分比来计算成绩，具体等、级比例和对应的赋分值如下表：如果此学科计人高考总分的分数为（A）80 （B）82 （C）85 （D）88 （7）抛物线y2＝4x上的点到其焦点的距离的最小值为（A）4 （B）2 （C）1 （D）1 2（8）已知A，B，C，D，E是空间中的五个点，其中点A，B，C不共线，则“存在实数x，y，使得DE x AB y AC=+是“DE//平面ABC”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（9）已知⊙C:x2－2x＋y2－1＝0，直线l:y＝x＋3，P为l上一个动点，过点P作⊙C的切线PM，切点为M，则| PM |的最小值为（A）1 （B（C）2 （D（10）世界上最早在理论上计算出“十二平均律”的是我国明代杰出的律学家朱载堉，他当时称这种律制为“新法密率”十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都相等，且最后一个单音是第一个单音频率的2倍.已知第十个单音的频率f10＝440 Hz，则与第四个单音的频率f4最接近的是（A）880 Hz （B）622 Hz （C）311 Hz （D）220 Hz第二部分（非选择题共70分）二、填空题共5题，每题4分，共20分。
北京市西城区2020-2021学年高二上学期期末考试数学+物理+语文试题 Word版含答案
．下列结论中正确的是
l
（A）若直线 平面 ，则
（B）若平面 平面 ，则
m
m //
//
（C）若直线 直线 ，则
m
lm
（D）若平面
直线 ，则 l
（6）将 4 张座位编号分别为1, 2, 3, 4 的电影票全部分给 3 人，每人至少 1 张．如果分给
同一人的 2 张电影票具有连续的编号，那么不同的分法种数是
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
．
| PA| 所以
( 3 5) 4 2 5 | PB|
2
2
，
( 3 5)2 42 4 5 ． ……8 分
xy
2
2
设以 A, B 为焦点且过点 P 的椭圆方程为C :
1．
ab
2
2
1 则 a (|PA| | PB |) 3 5 ，又b2 a2 c2 20，
2
x
2
所以椭圆C 的方程为 45
北京市西城区 2020—2021 学年度第一学期期末试卷
高二数学
2021.1
本试卷共 5 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案写在答题卡上，在试 卷上作答无效。
第一部分（选择题 共 50 分）
一、选择题共 10小题，每小题 5 分，共 50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项。
，xx
．
11
22
1
2
2
3 4k
3 4k
12
2
因为
S
1
1
| A F | (| y |
1
1
2
1 ，
| y |) S
z
(2,1)
z
北京市北京101中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题Word版含答案
北京市北京101中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题一、选择题共8小题每小题5分共40分，在每小题列出的四个选项中选出符合题目要求的一项1.复数z 11i i -=+，则|z |=( )A. 1B. 2 【答案】A【解析】【分析】运用复数的除法运算法则,先计算出z 的表达式,然后再计算出z . 【详解】由题意复数z 11i i-=+得221(1)12=1(1)(1)2i i i i i i i i ---+===-++-,所以=1z . 故选A【点睛】本题考查了运用复数的除法运算求出复数的表达式,并能求出复数的模,需要掌握其计算法则,较为基础.2.设,,a b c 分别是ABC 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=与sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=位置关系是（ ）A. 平行B. 重合C. 垂直D. 相交但不垂直【答案】C【解析】 ,,a b c 分别是ABC 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=斜率为：sin A a-， sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=的斜率为：sin b B， ∵sin sin A b a B -=﹣1，∴两条直线垂直． 故选C ．3.已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z z =.则其中正确命题的个数为( ) A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 【答案】C【解析】【分析】运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.【详解】对于①中复数1z 和2z 的模相等,例如1=1+z i ,2=2z i ,则1z 和2z 是共轭复数是错误的;对于②1z 和2z 都是复数,若12+z z 是虚数,则其实部互为相反数,则1z 不是2z 的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z 是实数,令z a =,则z a =所以z z =,反之当z z =时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z z =是正确的.综上正确命题的个数是2个.故选C【点睛】本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.4.椭圆24x +y 2=1的长轴为A 1A 2，短轴为B 1B 2，将坐标平面沿y 轴折成一个锐二面角，使点A 1在平面B 1A 2B 2上的射影恰是该椭圆的一个焦点，则此二面角的大小为( )A. 30°B. 45°C. 60°D. arctan2【答案】A【解析】【分析】结合题意画出满足条件的图象,利用图象直观分析,找到二面角的平面角,然后解三角形求出二面角的大小.【详解】由题意画出满足条件的图象如图所示:点1A 在平面122B A B 上的射影恰是该椭圆的一个焦点,所以1FOA ∠即为所求二面角的平面角,因为椭圆标准方程为2214x y +=,所以12OA =,OF =,11cos 2OF FOA OA ∠==,所以1=30FOA ∠︒. 故选A【点睛】本题考查了求二面角的平面角的大小,结合椭圆的翻折,能够画出或者直观看出二面角的平面角,并结合解三角形求出结果,需要掌握解题方法.5.已知两圆1C ：22(4)169x y -+=，2C ：22(4)9x y ++=，动圆在圆1C 内部且和圆1C 相内切，和圆2C 相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A. 2216448x y -= B. 2214864x x += C. 2214864x y -= D. 2216448x y += 【答案】D【解析】【分析】 设出动圆半径为r ，根据两圆外切和内切判定圆心距与两圆半径和差的关系，消去r ，根据椭圆的定义，即可求得动圆圆心M 的轨迹，进而可求其方程．【详解】设动圆圆心(),M x y ，半径为r ，圆M 与圆1C ：22(4)169x y -+=内切，与圆2C ：22(4)9x y ++=外切， 113MC r ∴=-，23MC r =+，12|168MC MC ∴+=，由椭圆的定义，M 的轨迹为以1C ，2C 为焦点的椭圆，可得8a =，4c =；则22248b a c =-=，∴动圆圆心M 的轨迹方程：2216448x y +=，故选D ． 【点睛】本题主要考查两圆的位置关系及椭圆的定义和标准方程，属于中档题．两圆半径为,R r ，两圆心间的距离d ，比较d 与R r -及d 与R r +的大小，即可得到两圆的位置关系.6.已知F 为抛物线2y x =的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，3AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ( )A. 34B. 1C. 54D. 74【答案】C【解析】【分析】 抛物线的准线为1:4l x =-，过,A B 作准线的垂线，垂足为,E G ，AB 的中点为M ，过M 作准线的垂线，垂足为MH ，则可利用几何性质得到32MH =，故可得M 到y 轴的距离. 【详解】抛物线的准线为1:4l x =-，过,A B 作准线的垂线，垂足为,E G ，AB 的中点为M ，过M 作准线的垂线，垂足为MH ，因为,A B 是该抛物线上的两点，故,AE AF BG BF ==， 所以3AE BG AF BF +=+=，又MH 为梯形的中位线，所以32MH =，故M 到y 轴的距离为315244-=，故选C. 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，属于基础题.7.正四棱锥S —ABCD 底面边长为2，高为1，E 是边BC 的中点，动点P 在四棱锥表面上运动，并且总保持PE ⊥AC ，则动点P 的轨迹的周长为（ ）A. 1+C. D. 【答案】B【解析】【详解】动点P 的轨迹为如图三角形MEF,3322322+=选B. 8.设点P 为双曲线2222100x y a b a b-=>>（，）右支上的动点，过点P 向两条渐近线作垂线，垂足分别为A ，B ，若点AB 始终在第一、第四象限内，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A. （123]B. （1223，+∞） 2+∞）【答案】B【解析】【分析】结合已知条件得到垂足始终在第一、第四象限内,则可以得到倾斜角的范围,再利用离心率的计算方法求出结果.【详解】根据题意,因为点P 为双曲线右支上的动点,过点P 向两条渐近线作垂线,垂足分别为A ,B ,若点AB 始终在第一、第四象限内,则有渐近线b y x a =的倾斜角不大于45︒,即1b a ≤,则双曲线的离心率为22222212c c a b b e a a a a +⎛⎫====+≤ ⎪⎝⎭又1e >,则12e <≤故选B【点睛】本题考查了求双曲线的离心率范围问题,解答时要结合题目中的已知条件,并能熟练运用离心率计算推导公式2222221c c a b b e a a a a +⎛⎫====+ ⎪⎝⎭考查了理解能力和转化能力. 二、填空题共6小题每小题5分共30分9.若抛物线22y px =的焦点与双曲线22163x y -=的右焦点重合，则p 的值 ． 【答案】6【解析】试题分析：根据题意，由于双曲线22163x y -=的222226,3,+93a b c a b c ====∴=右焦点坐标为3,0（），因此可知抛物线22y px =的焦点pp ,03622p =∴=∴=（）,故答案为6 考点：考查了抛物线与双曲线的性质．.点评：解决该试题的关键是利用双曲线的右焦点坐标得到抛物线的焦点坐标，然后得到参数p 的值，属于基础题．10.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于2，点E ，F 分别是边BC ，AD 的中点，则AE AF ⋅的值为_____.【答案】1【解析】【分析】结合已知条件运用向量的数量积运算法则即可求出结果.【详解】因为点E ,F 分别是边BC ,AD 的中点, 则111()()224AE AF AB AC AD AB AD AC AD ⋅=+⋅=⋅+⋅,又因为空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于2,所以原式1(22cos6022cos60)14=⨯⨯⨯︒+⨯⨯︒=. 故答案为:1【点睛】本题考查了向量数量积的运算,解题过程中运用向量的加法运算进行转化,转化为空间四边形边之间的关系,然后再结合题意计算出结果,需要掌握解题方法.11.已知A （﹣1，0），B （1，0）两点，过动点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若2||MN AN NB λ=⋅，当0λ≠时，动点M 的轨迹可以是_____（把所有可能的序号都写上）.①圆；②椭圆；③双曲线；④抛物线.【答案】①②③【解析】【分析】设点M 坐标,得到N 点坐标,利用条件中2||MN AN NB λ=⋅计算出关于动点M 的轨迹方程,然后再进行判断轨迹图形.【详解】设(,)M x y ,则(,0)N x ,由题意2||MN AN NB λ=⋅计算可得2(1)(1)y x x λ=+-,化简得22x y λλ+=,又因为0λ≠,即得221y x λ+=,当0λ<时,其轨迹方程是双曲线;当0λ>且1λ≠时其轨迹方程是椭圆;当1λ=时其轨迹方程是圆,综上动点M 的轨迹可以是圆、椭圆、双曲线.故答案为: ①②③【点睛】本题考查了动点轨迹问题,求解过程中依据已知条件进行先求出轨迹方程,然后再进行判断,解答题目得方法是依据题意设出点坐标进行化简,注意分类讨论.12.过点1(,1)2M 的直线l 与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4交于A 、B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为_____．【答案】2x ﹣4y +3＝0【解析】【分析】要∠ACB 最小则分析可得圆心C 到直线l 的距离最大,此时直线l 与直线CM 垂直,即可算出CM 的斜率求得直线l 的方程.【详解】由题得,当∠ACB 最小时,直线l 与直线CM 垂直,此时102112CM k -==-- ,又1CM l k k ⋅=-,故12l k =,又直线l 过点1(,1)2M ,所以11:1()22l y x -=-,即2430x y -+= . 故答案为2430x y -+=【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系,过定点的直线与圆相交于两点求最值的问题一般为圆心到定点与直线垂直时取得最值.同时也考查了线线垂直时斜率之积为-1,以及用点斜式写出直线方程的方法.13.斜率为1的直线l 与椭圆2214x y +=相交于,A B 两点，则AB 的最大值为_____ 【答案】4105【解析】【分析】设出直线l 的方程，联立直线的方程和椭圆方程，利用弦长公式求得弦长的表达式，进而求得弦长的最大值.【详解】设直线方程为y x b =+，代入椭圆方程并化简得2258440x bx b ++-=，21212844,55b b x x x x -+=-⋅=，()22264204416800b b b ∆=--=-+>，55b -<<.222641616168011225525b b b AB --+=+⋅-=⋅，当0b =时，max 804102255AB =⋅=. 【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和椭圆相交所得弦长最大值的求法，属于中档题.14.如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动.平面区域W 由所有满足5≤|A 1P |6≤的点P 组成，则W 的面积是_____；四面体P ﹣A 1BC 的体积的最大值是_____.【答案】 (1).4π (2). 43【解析】【分析】 结合题意先找到满足条件156A P ≤≤,然后计算出其面积;要求四面体的体积的最大值,已知高是固定的,当底面面积最大时就可以求得体积最大.【详解】连接AP ,在正方体中可知1A A AP ⊥,则三角形1A AP 为直角三角形,又因为12A A =,1A P ≤≤,可计算得1AP ≤≤,又因为点P 在正方形ABCD的边界及其内部运动,则平面区域W 是以点A 为圆心,半径为1之间交正方形ABCD 的14圆环,所以平面区域W的面积是2211]44ππ⨯-=;由题意可知当点P 在边AD 上时,四面体1P A BC -的体积最大值是114222323⨯⨯⨯⨯=. 故答案为: 4π； 43 【点睛】本题考查了立体几何中的动点轨迹问题,求解时需要理清题意,计算求出满足题意的结果,在求四面体的最值时可以转化顶点和底面,找到确定值和变量,然后再求最值.三、解答共5小题共知分，解答应写文字说男、演算步骤成证明过程15.已知复数z 满足|z|=z 的实部大于0，z 2的虚部为2.（1）求复数z ； （2）设复数z ，z 2，z ﹣z 2之在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，求（OA OB +）⋅OC 的值.【答案】（1）1+i ；（2）﹣2.【解析】【分析】（1）先设出复数z 的表达式,结合已知条件中z =,实部大于0,和2z 的虚部为2,列出方程求解出复数z的表达式. （2）由（1）求出复数z 的表达式,即可得到z ,2z ,2z z -在复平面上对应的点坐标,进而求出结果.【详解】（1）设复数z =x +yi ,x 、y ∈R ;由|z|=得x 2+y 2=2; 又z 的实部大于0即x >0,z 2=x 2﹣y 2+2xyi 的虚部为2xy =2,所以xy =1;解得x=1,y=1;所以复数z=1+i ;（2）复数1z i =+,则22(1)2z i i =+=,2121z z i i i -=+-=-;则A （1,1）,B （0,2）,C （1,﹣1）;所以()(1,3)(1,1)113(1)2OC OA OB ⋅=⋅-=⨯+⨯-=+-.【点睛】本题考查了求复数的表达式及复数的几何意义,解题时的方法是设出复数的表达式,按照题意得到方程组进行求解,本题较为基础.16.如图在△AOB 中，∠AOB =90°，AO =2，OB =1，△AOC 可以通过△AOB 以直线AO 为轴旋转得到，且OB ⊥OC ，点D 为斜边AB 的中点.（1）求异面直线OB 与CD 所成角的余弦值；（2）求直线OB 与平面COD 所成角的正弦值.【答案】（1）13；（225. 【解析】【分析】 （1）以O 为原点,OC 为x 轴,OB 为y 轴,OA 为z 轴,建立空间直角坐标系, 求出异面直线OB 与CD 的坐标表示,运用公式求出其夹角的余弦值.（2）先求出平面COD 的法向量,然后运用公式求出直线OB 与平面COD 所成角的正弦值.【详解】（1）以O 为原点,OC 为x 轴,OB 为y 轴,OA 为z 轴,建立空间直角坐标系,O （0,0,0）,B （0,1,0）,C （1,0,0）,A （0,0,2）,D （0,12,1）, OB =（0,1,0）,CD =（﹣1,112，）, 设异面直线OB 与CD 所成角为θ,则cosθ1123914 OBOB CDCD⋅===⋅⨯,∴异面直线OB与CD所成角的余弦值为13.（2）OB=（0,1,0）,OC=（1,0,0）,OD=（0,12,1）,设平面COD的法向量n=（x,y,z）,则12n OC xn OD y z⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩,取2y=,得n=（0,2,﹣1）,设直线OB与平面COD所成角为θ,则直线OB与平面COD所成角的正弦值为:sinθ255OB nOB n⋅==⋅=.【点睛】本题考查了求异面直线所成角问题以及线面角的正弦值问题,求解过程中建立空间直角坐标系,运用空间向量知识来求解,需要熟记运算公式并计算正确.17.已知三棱锥P ABC-（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD2的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P ABC-中：(I)证明：平面PAC⊥平面ABC;(Ⅱ)求二面角A PC B --的余弦值；(Ⅲ)若点M 在棱PC 上，满足CM CP λ=，12[,]33λ∈，点N 在棱BP 上，且BM AN ⊥，求BN BP 的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）33;（Ⅲ）12[,]45BN BP ∈ . 【解析】 试题分析：第一问取AC 中点O ，根据等腰三角形的性质求得PO AC ⊥，根据题中所给的边长，利用勾股定理求得PO OB ⊥，利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理得到结果；第二问根据题中所给的条件建立空间直角坐标系，写出相应的点的坐标，求得面的法向量，利用法向量所成角的余弦值得出结果；第三问利用向量间的关系，利用向量垂直的条件，利用向量的数量积等于0，得出所求的比值μ与λ的关系式，利用函数的有关知识求得结果.（Ⅰ）方法1：设AC 的中点为O ，连接BO ，PO . 由题意2PA PB PC ===1PO =，1AO BO CO ===因为在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点所以PO AC ⊥，因为在POB ∆中，1PO =，1OB =，2PB =所以PO OB ⊥因为AC OB O ⋂=，,AC OB ⊂平面ABC所以PO ⊥平面ABC因为PO ⊂平面PAC所以平面PAC ⊥平面ABC方法2：设AC 的中点为O ，连接BO ，PO .因为在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点所以PO AC ⊥，因为PA PB PC ==，PO PO PO ==，AO BO CO ==所以POA ∆≌POB ∆≌POC ∆所以90POA POB POC ∠=∠=∠=︒所以PO OB ⊥因为AC OB O ⋂=，,AC OB ⊂平面ABC所以PO ⊥平面ABC因为PO ⊂平面PAC所以平面PAC ⊥平面ABC方法3：设AC 的中点为O ，连接PO ，因为在PAC ∆中，PA PC =，所以PO AC ⊥设AB 的中点Q ，连接PQ ，OQ 及OB .因为在OAB ∆中，OA OB =，Q 为AB 的中点所以OQ AB ⊥.因为在PAB ∆中，PA PB =，Q 为AB 的中点所以PQ AB ⊥.因为PQ OQ Q ⋂=，,PQ OQ ⊂平面OPQ所以AB ⊥平面OPQ因为OP ⊂平面OPQ所以OP AB ⊥因为AB AC A ⋂=，,AB AC ⊂平面ABC所以PO ⊥平面ABC因为PO ⊂平面PAC所以平面PAC ⊥平面ABC（Ⅱ）由PO ⊥平面ABC ，OB AC ⊥，如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0O ，()1,0,0C ，()0,1,0B ，()1,0,0A -，()0,0,1P由OB ⊥平面APC ，故平面APC 的法向量为()0,1,0OB =由()1,1,0BC =-，()1,0,1PC =-设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =，则由00n BC n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩得：00x y x z -=⎧⎨-=⎩令1x =，得1y =，1z =，即()1,1,1n =3cos ,31n OB n OB nOB ⋅===⋅⋅ 由二面角A PC B --是锐二面角，所以二面角A PC B --的余弦值为33（Ⅲ）设BN BP μ=，01μ≤≤，则()()()1,1,01,0,11,1,BM BC CM BC CP λλλλ=+=+=-+-=--()()()1,1,00,1,11,1,AN AB BN AB BP μμμμ=+=+=+-=-令0BM AN ⋅=得()()()11110λμλμ-⋅+-⋅-+⋅=即1111λμλλ==-++，μ是关于λ的单调递增函数， 当12,33λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，12,45μ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以12,45BN BP ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x -y -2=0，抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）. （1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； （2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q. ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2,)p p --； ②求p 的取值范围. 【答案】（1）；（2）①证明见解析;②.【解析】【分析】（1）先确定抛物线焦点，再将点代入直线方程；（2）①利用抛物线点之间关系进行化简，结合中点坐标公式求证;②利用直线与抛物线位置关系确定数量关系：2244(44)0p p p ∆=-->，解出p 的取值范围.【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(,0)2p 由点(,0)2p 在直线:20l x y --=上，得0202p --=，即 4.p = 所以抛物线C 的方程为28.y x =（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，线段PQ 的中点00(,)M x y因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ，于是直线PQ 的斜率为1-，则可设其方程为.y x b =-+①由22{y px y x b==-+消去x 得2220(*)y py pb +-= 因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以12,y y ≠从而2(2)4(2)0p pb ∆=-->，化简得20p b +>.方程（*）的两根为1,2y p =-±120.2y y y p +==- 因为00(,)M x y 在直线l 上，所以02.x p =-因此，线段PQ 的中点坐标为(2,).p p --②因为M(2,).p p --在直线y x b =-+上所以(2)b p p -=--+，即22.b p =-由①知20p b +>，于是2(22)0p p +->，所以4.3p < 因此p 的取值范围为4(0,).3【考点】直线与抛物线位置关系【名师点睛】在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．19.一种画椭圆的工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：OPQ ∆的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）22 1.164x y +=（Ⅱ）当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，OPQ ∆的面积取得最小值8． 【解析】（Ⅰ）因为314OM MN NO ≤+=+=，当,M N 在x 轴上时，等号成立；同理312OM MN NO ≥-=-=，当,D O 重合，即MN x ⊥轴时，等号成立． 所以椭圆C 的中心为原点O ，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为221.164x y += （Ⅱ）（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=． （2）当直线l 的斜率存在时，设直线1:()2l y kx m k =+≠±， 由22,{416,y kx m x y =++=消去y ，可得．因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+． ①又由,{20,y kx m x y =+-=可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m m Q k k-++．由原点O 到直线PQ 的距离为d =和P Q PQ x =-，可得22111222222121214OPQ P Q m m m S PQ d m x x m k k k∆=⋅=-=⋅+=-+-． ② 将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--． 当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--．因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQ S k∆=-+≥-，当且仅当0k =时取等号．所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8． 综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，OPQ ∆的面积取得最小值8． 考点：本题考查椭圆的标准方程与直线与椭圆相交综合问题，属高档题．。
北京一零一中2019-2020 学年高二下学期期末考试数学试题 Word版含解析
北京一零一中2019-2020学年度第二学期期末考试高二数学（本试卷满分120分，考试时间100分钟）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{}220A x x x =-->，则A =R（ ）A. {}12-<<x xB. {}12x x -≤≤C. {}{}12x x x x <-⋃> D. {}{}12x x x x ≤-⋃≥【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式得到A 的解集，结合数轴表示A 的解集，进而可知A R【详解】由220x x -->有(2)(1)0x x -+>，则2x >或1x <- ∴{|2A x x =>或1}x <-，数轴上表示如下∴A =R{}12x x -≤≤故选：B【点睛】本题主要考查了集合的补集运算，应用了一元二次不等式的解法，结合数轴求解集的补集2. 若0.76a =，60.7b =，0.7log 6c =，则（ ） A. b c a <<B. b a c <<C. c a b <<D.c b a <<【答案】D 【解析】 【分析】由指数函数和对数函数的图像可以判断,,a b c 和0, 1的大小，从而可以判断出答案. 【详解】由指数函数的单调性有：0.70661a =>=，600.70.71b =<=.由对数函数的单调性有：0.70.7log 6log 10c =<= 所以a b c >>. 故选：D【点睛】本题考查利用插值法比较大小，考查指数函数、对数函数的图像和性质，属于基础题.3. 设x ∈R ，则“05x <<”是“11x -<”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求出11x -<的解集，根据两解集的包含关系确定.【详解】11x -<等价于02x <<，故05x <<推不出11x -<； 由11x -<能推出05x <<．故“05x <<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件． 故选B ．【点睛】充要条件的三种判断方法： (1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断；(2)集合法：根据由p ，q 成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．4. 某班由24名男生和16名女生组成，现按分层抽样的方法选取10名同学参加志愿者服务，某男同学必须参加，则志愿者人员组成的不同方法种数为（ ） A. 642416C C B. 462416C CC. 542316C CD. 632415C C【答案】C 【解析】 【分析】结合分层抽样的性质可得抽取的男女生人数，再由组合的知识即可得解. 【详解】由题意，抽取的10名同学中，男生有241062416⨯=+人，女生有161042416⨯=+人，又某男同学必须参加，所以志愿者人员组成的不同方法种数为542316C C . 故选：C.【点睛】本题考查了分层抽样及组合的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.5. 若对于任意的实数x ，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则2a 的值为（ ）A. 3B. 6C. 9D. 12【答案】B 【解析】试题分析：因为33230123[2(2)](2)(2)(2)x x a a x a x a x =+-=+-+-+-，所以212326a C ==，故选择B.考点：二项式定理.6. 下列函数()f x 图象中，满足1(3)(2)4f f f ⎛⎫>>⎪⎝⎭的只可能是（ ） A. B.C. D.【答案】D【分析】由题意结合函数图象的特征逐项判断即可得解.【详解】对于A ，函数在()0,∞+上单调递增，所以不满足1(3)(2)4f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，故A 错误；对于B ，函数在R 上单调递增，所以不满足1(3)(2)4f f f ⎛⎫>>⎪⎝⎭，故B 错误； 对于C ，函数图象开口朝上，且对称轴为1x =，所以17(3)44f f f ⎛⎫⎛⎫=<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误； 对于D ，函数在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故可能满足1(3)(2)4f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：D.7. 如图所示，1，2，3表示三个开关，若在某段时间内它们每个正常工作的概率都是0.9，那么此系统的可靠性是（ ）A. 0.999B. 0.981C. 0.980D. 0.729【答案】B 【解析】 【分析】求出开关1、2均正常工作的概率及开关3正常工作的概率，由相互独立事件概率公式、对立事件的概率公式即可得解.【详解】由题意，开关1、2在某段时间内均正常工作的概率10.90.90.81P =⨯=， 开关3正常工作的概率20.9P =，故该系统正常工作的概率()()()()12111110.8110.90.981P P P =---=--⨯-=, 所以该系统的可靠性为0.981.8. 设函数()()f x x ∈R 为奇函数，1(1)2f -=-，(2)()(2)f x f x f +=+，则()5f =（ ） A. 0 B. 1C. 52D. 5【答案】C 【解析】 【分析】由奇函数的性质可得1(1)2f =，令1x =-代入可得(2)1f =，再逐步计算即可得解. 【详解】因为函数()()f x x ∈R 为奇函数，1(1)2f -=-，所以1(1)2f =，又(2)()(2)f x f x f +=+，令1x =-，则(1)(1)(2)f f f =-+，所以(2)(1)(1)1f f f =--=， 所以3(3)(1)(2)2f f f =+=，5(3)(25)2()f f f =+=. 故选：C.9. 已知函数()2()xf x x a e =+有最小值，则函数()y f x '=的零点个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 不确定【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导，转化条件为()0f x '<有解，再结合二次函数的性质即可得解. 【详解】由题意，()2()2xf x x a e x +'=+， 因为函数()f x 有最小值，且0x e >，所以函数存在单调递减区间，即()0f x '<有解， 所以220x x a ++=有两个不等实根， 所以函数()y f x '=的零点个数为2. 故选：C.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的最值，考查了运算求解能力，属于基础题.10. 设直线l 1，l 2分别是函数f(x)= ln ,01,{ln ,1,x x x x -<<>图象上点P 1，P-2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是 A. (0,1) B. (0,2)C. (0,+∞)D. (1,+∞)【答案】A 【解析】试题分析：设()()111222,ln ,,ln P x x P x x -（不妨设121,01x x ><<），则由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为121211,.k k x x ==-由已知得12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线1l 的方程分别为()1111ln y x x x x -=-，切线2l 的方程为()2221ln y x x x x +=--，即1111ln y x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭．分别令0x =得()()110,1ln ,0,1ln .A xB x -++又1l 与2l 的交点为221111112222111121211,ln .1,1,0111211PAB A B P PAB x x x x P x x S y y x S x x x x ∆∆⎛⎫-++>∴=-⋅=<=∴<< ⎪++++⎝⎭，故选A ．考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数()f x =__________. 【答案】(,1)[1,)-∞-+∞【解析】 【分析】使函数式有意义即可．【详解】由题意101x x -≥+，(1)(1)010x x x -+≥⎧⎨+≠⎩，解得1x <-或1≥x ．故答案为：(,1)[1,)-∞-+∞．【点睛】本题考查求函数的定义域，一般使函数式有意义的自变量的取值范围即为函数的定义域，掌握基本初等函数的定义是解题关键．当然实际问题中自变量还有实际意义的限制． 12. 函数()ln 2f x x x =++的零点个数是__________. 【答案】1 【解析】 【分析】由函数的单调性结合3()0f e -<、(1)0f >，由零点存在性定理即可得解.【详解】由题意，函数()ln 2f x x x =++在()0,∞+上单调递增，又3333()ln 2320f e e e e ----=++=-++<，(1)ln112120f =++=+>， 所以函数()ln 2f x x x =++在区间()3,1e -内有1个零点， 所以函数()ln 2f x x x =++的零点个数是1. 故答案为：1.13. 已知55log log 2x y +=，则4x y +的最小值为__________. 【答案】20 【解析】 【分析】由对数运算的性质可得25xy =且0x >，0y >，再由基本不等式即可得解. 【详解】因为555log log log 2x y xy +==，所以25xy =且0x >，0y >， 所以42420x y xy +≥=，当且仅当4x y =即10x =，52y =时，等号成立， 所以4x y +的最小值为20. 故答案为：20.【点睛】本题考查了对数运算性质及基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 14. 设函数()|2|f x x x =-，则()f x 的极小值是__________. 【答案】0【解析】 【分析】按绝对值定义去掉绝对值符号后结合二次函数的单调性可得．【详解】由题意222,2()2,2x x x f x x x x ⎧-≥=⎨-+<⎩，∴()f x 在(,1)-∞上递增，在(1,2)上递减，在(2,)+∞上递增， ∴2x =时，()f x 极小值＝(2)0f =． 故答案为：0．【点睛】本题考查求函数的极值，掌握极值的定义是解题关键，解题时可先确定函数的单调性，由单调性得极值．15. 定义在R 上的函数()f x 满足2log (1),0()1(1),02x x f x f x f x x -≤⎧⎪=⎨⎛⎫---> ⎪⎪⎝⎭⎩，则()2020f 的值是________. 【答案】22log 3【解析】 【分析】转化条件可得当0x >时，()f x 的周期为3，进而可得()()20201f f =，运算即可得解. 【详解】因为当0x >时，()1(1)2f x f x f x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭， 所以()1111(1)(1)2222f x f x f x f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-----=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()32f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，()()332f x fx f x ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，所以当0x >时，()f x 的周期为3，所以()()()()()21120202020673310log 1022f f f f f f ⎛⎫⎛⎫=-⨯==-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()221102212log 1log 23f f f ⎛⎫⎛⎫==--=- ⎪ ⎪⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：22log 3. 【点睛】本题考查了函数周期性的判断与应用，考查了对数的运算，合理转化条件是解题关键，属于中档题.三、解答题共5小题，共55分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16. 设{}2log A x Ry x =∈=∣，{}1221x xB x R -=∈->∣，则求A B .【答案】{}1x Rx ∈>∣ 【解析】 【分析】由对数函数、指数函数的性质可得{}0A x Rx =∈>∣，{}1B x R x =∈>∣，再由交集的定义即可得解.【详解】由题意，{}{}2log 0A x R y x x R x =∈==∈>∣∣， {}(){}{21221222021x xxx x B x R x R x R -=∈->=∈-->=∈<-∣∣∣或}22x >{}1x R x =∈>∣，所以{}1x B x R A=∈>∣.【点睛】本题考查了对数函数、指数函数的性质及集合的交集运算，考查了运算求解能力，属于基础题. 17. 已知关于x的一元二次不等式()22600kx x k k -+<≠.（1）若不等式的解集是{|3x x <-或}2x >-，求k 的值； （2）若不等式的解集是R ，求k 的取值范围.【答案】（1）25-；（2）⎛-∞ ⎝⎭，. 【解析】 【分析】（1）由不等式的解集为{}32x x x <->-或知k 0<,且3-，2-是方程2260kx x k -+=的两根，代入可解.（2）不等式的解集为R ，知二次函数图像恒在x 轴下方，则利用k 0<且24240k ∆=-<可解【详解】（1）∵不等式的解集为{}32x x x <->-或 ∴3-，2-是方程2260kx x k -+=的两根，且k 0< ∴25k =-（2）∵不等式的解集为R ∴k 0<且24240k ∆=-<∴6k <-∴k的取值范围是(-∞， 【点睛】解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式∆与0的关系．(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．18. 已知函数2()af x x x=+（0x ≠，常数a ∈R ）. （1）讨论函数()f x 奇偶性，并说明理由；（2）若函数()f x 在[2,)+∞上为增函数，求a 的取值范围.【答案】（1）0a =时，()f x 为偶函数，0a ≠时，()f x 既不是奇函数也不是偶函数； （2）16a ≤． 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性的定义判断；（2）求出导函数()'f x ，由()0f x '≥在[2,)+∞上恒成立求得a 的范围．【详解】（1）函数定义域是{|0}x x ≠，关于原点对称，0a =时，2()f x x =，则22()()()f x x x f x -=-==，()f x 为偶函数，0a ≠时，2()a f x x x -=-，2()()2f x f x x -+=不恒为0，2()()0a f x f x x --=≠，()f x 既不是奇函数也不是偶函数；（2）2()2a f x x x '=-，由题意3222()20a x a f x x x x-'=-=≥在[2,)+∞上恒成立， ∴[2,)x ∈+∞时，320x a -≥，即32a x ≤，此时32x 的最小值为16，∴16a ≤．【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查用导数研究函数的单调性，掌握单调性与导数的关系是解题关键．19. 某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．（I ）求合唱团学生参加活动的人均次数；（II ）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．（III ）从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．【答案】（I ）合唱团学生参加活动的人均次数为2.3；（II ）04199P =；（III ）23E ξ=． 【解析】【详解】解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40． （I ）该合唱团学生参加活动的人均次数为110250340230 2.3100100⨯+⨯+⨯==． （II ）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为222105040021004199C C C P C ++==． （III ）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件A ，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件B ，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件C ．易知(1)()()P P A P B ξ==+111110505040241001005099C C C C C C =+=； (2)()P P C ξ==1110402100899C C C ==；41(0)99P ξ==. ξ的分布列：ξ的数学期望：20129999993E ξ=⨯+⨯+⨯=． 20. 对于函数y ＝H (x )，若在其定义域内存在x 0，使得x 0·H (x 0)＝1成立，则称x 0为函数H (x )的“倒数点”．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12(x ＋1)2－1. (1)求证：函数f (x )有“倒数点”，并讨论函数f (x )的“倒数点”的个数；(2)若当x ≥1时，不等式xf (x )≤m [g (x )－x ]恒成立，试求实数m 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）[1，＋∞).【解析】【分析】（1）构造函数()1h x ln x x＝－ (x >0)，转化为研究该函数的零点问题即可； （2）对不等式进行转化得2x ·ln x ≤m (x 2－1)，当x ≥1时恒成立，构造函数()12?d x ln x m x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－，x ≥1，通过求导分析函数的单调性最值求参数范围即可.【详解】(1)证明设h(x)＝ln x－(x>0)，则h′(x)＝＋>0(x>0)，所以h(x)在(0，＋∞)为单调递增函数．而h(1)<0，h(e)>0，所以函数h(x)有零点且只有一个零点．所以函数f(x)有“倒数点”且只有一个“倒数点”．(2)xf(x)≤m[g(x)－x]等价于2x·ln x≤m(x2－1)，设d(x)＝2ln x－m，x≥1.'d x＝，x≥1，则()易知－mx2＋2x－m＝0的判别式为Δ＝4－4m2.①当m≥1时，d′(x)≤0，d(x)在[1，＋∞)上单调递减，d(x)≤d(1)＝0，符合题意；②当0<m<1时，方程－mx2＋2x－m＝0有两个正根且0<x1<1<x2，则函数d(x)在(1，x2)上单调递增，此时d(x)>d(1)＝0，不合题意；③当m＝0时，d′(x)>0，d(x)在(1，＋∞)上单调递增，此时d(x)>d(1)＝0，不合题意；④当－1<m<0时，方程－mx2＋2x－m＝0有两个负根，d(x)在(1，＋∞)上单调递增，此时d(x)>d(1)＝0，不合题意；⑤当m≤－1时，d′(x)≥0，d(x)在(1，＋∞)上单调递增，此时d(x)>d(1)＝0，不合题意．综上，实数m的取值范围是[1，＋∞)．【点睛】本题考查了运用导数求含有参量的函数单调区间及不等式恒成立问题，在求单调区间时需要注意分类讨论，做到不漏情况，属于中档题.。
北京第一一O中学2020年高二数学理上学期期末试题含解析
北京第一一O中学2020年高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 集合若,则（）A．B．C．D．参考答案：D2. 复数i﹣1（i是虚数单位）的虚部是（）A3. 若与在区间上都是减函数，则的取值范围是（）参考答案：D略4. 等比数列中，，公比，则等于（）A.6B.10C.12D.24参考答案：D5. 下列表述正确的是（）①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A. ①②③B. ②③④C. ①③⑤D. ②④⑤；参考答案：C【分析】利用归纳推理就是从个别性知识推出一般性结论的推理，从而可对①②进行判断；由类比推理是由特殊到特殊的推理，从而可对④⑤进行判断；对于③直接据演绎推理即得．【详解】所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．故①对②错；又所谓演绎推理是由一般到特殊的推理．故③对；类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理．故④错⑤对．故选C．【点睛】本题主要考查推理的含义与作用．所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．演绎推理可以从一般到特殊；类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理．6. 三角形的面积为、、为三边的边长，为三角形内切圆半径，利用类比推理可得出四面体的体积为（）A． B．C ．D ．（其中、、、分别为四面体4个面的面积，为四面体内切球的半径）参考答案：D7. 在下列各数中，最大的数是（）A．85（9）B．210（6）C．1000（4）D．11111（2）参考答案：B考点：进位制；排序问题与算法的多样性．专题：计算题．分析：欲找四个中最大的数，先将它们分别化成十进制数，后再比较它们的大小即可．解答：解：85（9）=8×9+5=77；210（6）=2×62+1×6=78；1000（4）=1×43=64；11111（2）=24+23+22+21+20=31．故210（6）最大，故选B．点评：本题考查的知识点是算法的概念，由n进制转化为十进制的方法，我们只要依次累加各位数字上的数×该数位的权重，即可得到结果．8. 已知F1、F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率之积的最小值为（）A．B．C．D．1参考答案：C【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】先设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长a2，焦距2c．因为涉及椭圆及双曲线离心率的问题，所以需要找a1，a2，c之间的关系，而根据椭圆及双曲线的定义可以用a1，a2表示出|PF1|，|PF2|，在△F1PF2中根据余弦定理可得到，利用基本不等式可得结论．【解答】解：如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义：|PF1|+|PF2|=2a1，|PF1|﹣|PF2|=2a2，∴|PF1|=a1+a2，|PF2|=a1﹣a2，设|F1F2|=2c，∠F1PF2=，则：在△PF1F2中由余弦定理得，4c2=（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos∴化简得：a12+3a22=4c2，又因为，∴e1e2≥，故选：C【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，求出焦点三角形的边长来，属于难题．9. 已知实数4，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线+y2=1的离心率为（）A．B．C．或D．或7参考答案：C【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】由实数4，m，9构成一个等比数列，得m=±=±6，由此能求出圆锥曲线的离心率．【解答】解：∵实数4，m，9构成一个等比数列，∴m=±=±6，当m=6时，圆锥曲线为，a=，c=，其离心率e=；当m=﹣6时，圆锥曲线为﹣，a=1，c=，其离心率e==．故选C．【点评】本题考查圆锥曲线的离心率的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意等比中项公式的应用．10. 已知函数若对任意，恒成立，则的取值范围是（）A B C D参考答案：A略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 不等式的解集是，则a ＋b 的值是________.参考答案：略12. 等差数列{an}的首项为a1，公差为d ，前n 项和为Sn ，给出下列四个命题：①数列为等比数列；②若a2＋a12＝2，则S13＝13；③前n 项和为可以表示为Sn ＝nan －d ； ④若d>0，则Sn 一定有最大值．其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．参考答案：①②③ 略13. 函数在上有极值，则的取值范围是参考答案：14. 已知函数f （x ）=x 3，则不等式f （2x ）+f （x ﹣1）＜0的解集是 ．参考答案：（﹣∞，）根据题意，由函数的解析式分析可得f （x ）为奇函数且在R 上递增，则不等式f （2x ）+f （x ﹣1）＜0可以转化为2x ＜1﹣x ，解可得x 的取值范围，即可得答案． 解：根据题意，函数f （x ）=x 3，f （﹣x ）=（﹣x ）3=﹣x 3， 即有f （﹣x ）=﹣f （x ），为奇函数； f （x ）=x 3，其导数f′（x ）=3x 2≥0，为增函数；则f （2x ）+f （x ﹣1）＜0?f （2x ）＜﹣f （x ﹣1）?f （2x ）＜f （1﹣x ）?2x ＜1﹣x ， 解可得x ＜，即不等式f （2x ）+f （x ﹣1）＜0的解集为（﹣∞，）；故答案为：（﹣∞，）．15. 已知函数，（、且是常数）．若是从、、、四个数中任取的一个数，是从、、三个数中任取的一个数，则函数为奇函数的概率是____________. 参考答案：16. 过直线外一点，与这条直线平行的直线有_________条， 过直线外一点，与这条直线平行的平面有_________个. 参考答案：1,无数17. 与直线垂直，且过抛物线焦点的直线的方程是 _________ ．参考答案：8x-4y+1=0三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
2019-2020学年北京市北京一零一中学高二第一学期期末考试数学试题(含答案解析)
2019-2020学年北京市北京一零一中学高二第一学期期末考试数学试题一、单选题 1．复数z 11ii-=+，则|z |=( )A ．1B ．2CD ．【答案】A【解析】运用复数的除法运算法则,先计算出z 的表达式,然后再计算出z . 【详解】由题意复数z 11ii-=+得221(1)12=1(1)(1)2i i i i i i i i ---+===-++-,所以=1z . 故选A 【点睛】本题考查了运用复数的除法运算求出复数的表达式,并能求出复数的模,需要掌握其计算法则,较为基础.2．设,,a b c 分别是ABC V 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=与sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=位置关系是（ ）A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直【答案】C【解析】,,a b c 分别是ABC V 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=斜率为：sin Aa -， sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=的斜率为：sin bB，∵sin sin A ba B-n =﹣1，∴两条直线垂直． 故选C ．3．已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z z =.则其中正确命题的个数为( ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断. 【详解】对于①中复数1z 和2z 的模相等,例如1=1+z i ,2=2z i ,则1z 和2z 是共轭复数是错误的;对于②1z 和2z 都是复数,若12+z z 是虚数,则其实部互为相反数,则1z 不是2z 的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z 是实数,令z a =,则z a =所以z z =,反之当z z =时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z z =是正确的.综上正确命题的个数是2个. 故选C 【点睛】本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.4．椭圆24x +y 2=1的长轴为A 1A 2，短轴为B 1B 2，将坐标平面沿y 轴折成一个锐二面角，使点A 1在平面B 1A 2B 2上的射影恰是该椭圆的一个焦点，则此二面角的大小为( ) A ．30° B ．45°C ．60°D ．arctan2【答案】A【解析】结合题意画出满足条件的图象,利用图象直观分析,找到二面角的平面角,然后解三角形求出二面角的大小. 【详解】由题意画出满足条件的图象如图所示:点1A 在平面122B A B 上的射影恰是该椭圆的一个焦点,所以1FOA ∠即为所求二面角的平面角,因为椭圆标准方程为2214x y +=,所以12OA =,3OF =113cos OF FOA OA ∠==所以1=30FOA ∠︒.故选A 【点睛】本题考查了求二面角的平面角的大小,结合椭圆的翻折,能够画出或者直观看出二面角的平面角,并结合解三角形求出结果,需要掌握解题方法.5．已知两圆1C ：22(4)169x y -+=，2C ：22(4)9x y ++=，动圆在圆1C 内部且和圆1C 相内切，和圆2C 相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A ．2216448x y -=B ．2214864x x +=C ．2214864x y -=D ．2216448x y +=【答案】D【解析】设出动圆半径为r ，根据两圆外切和内切判定圆心距与两圆半径和差的关系，消去r ，根据椭圆的定义，即可求得动圆圆心M 的轨迹，进而可求其方程． 【详解】设动圆圆心(),M x y ，半径为r ，Q 圆M 与圆1C ：22(4)169x y -+=内切，与圆2C ：22(4)9x y ++=外切，113MC r ∴=-，23MC r =+， 12|168MC MC ∴+=，由椭圆的定义，M 的轨迹为以1C ，2C 为焦点的椭圆， 可得8a =，4c =；则22248b a c =-=，∴动圆圆心M 的轨迹方程：2216448x y +=，故选D ．【点睛】本题主要考查两圆的位置关系及椭圆的定义和标准方程，属于中档题．两圆半径为,R r ，两圆心间的距离d ，比较d 与R r -及d 与R r +的大小，即可得到两圆的位置关系. 6．已知F 为抛物线2y x =的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，3AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ( ) A ．34B ．1C ．54D ．74【答案】C【解析】抛物线的准线为1:4l x =-，过,A B 作准线的垂线，垂足为,E G ，AB 的中点为M ，过M 作准线的垂线，垂足为MH ，则可利用几何性质得到32MH =，故可得M 到y 轴的距离.【详解】抛物线的准线为1:4l x =-，过,A B 作准线的垂线，垂足为,E G ，AB 的中点为M ，过M 作准线的垂线，垂足为MH ，因为,A B 是该抛物线上的两点，故,AE AF BG BF ==， 所以3AE BG AF BF +=+=， 又MH 为梯形的中位线，所以32MH =，故M 到y 轴的距离为315244-=，故选C. 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，属于基础题.7．正四棱锥S —ABCD 底面边长为2，高为1，E 是边BC 的中点，动点P 在四棱锥表面上运动，并且总保持PE ⊥AC ，则动点P 的轨迹的周长为（ ）A ．1 BC ．D ．【答案】B 【解析】略8．设点P 为双曲线2222100x y a b a b-=>>（，）右支上的动点，过点P 向两条渐近线作垂线，垂足分别为A ，B ，若点AB 始终在第一、第四象限内，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A ．（1]B ．（1]C ．，+∞）D ．，+∞）【答案】B【解析】结合已知条件得到垂足始终在第一、第四象限内,则可以得到倾斜角的范围,再利用离心率的计算方法求出结果. 【详解】根据题意,因为点P 为双曲线右支上的动点,过点P 向两条渐近线作垂线,垂足分别为A ,B ,若点AB 始终在第一、第四象限内,则有渐近线b y x a =的倾斜角不大于45︒,即1ba≤,则双曲线的离心率为c e a ====≤又1e >,则1e <≤故选B 【点睛】本题考查了求双曲线的离心率范围问题,解答时要结合题目中的已知条件,并能熟练运用离心率计算推导公式c e a ====考查了理解能力和转化能力.二、填空题9．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22163x y -=的右焦点重合，则p 的值 ． 【答案】6【解析】试题分析：根据题意，由于双曲线22163x y -=的222226,3,+93a b c a b c ====∴=右焦点坐标为3,0（），因此可知抛物线22y px=的焦点pp,03622p =∴=∴=（）,故答案为6 【考点】考查了抛物线与双曲线的性质．.点评：解决该试题的关键是利用双曲线的右焦点坐标得到抛物线的焦点坐标，然后得到参数p 的值，属于基础题．10．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于2，点E ，F 分别是边BC ，AD 的中点，则AE AF ⋅u u u r u u u r的值为_____.【答案】1【解析】结合已知条件运用向量的数量积运算法则即可求出结果. 【详解】因为点E ,F 分别是边BC ,AD 的中点,则111()()224AE AF AB AC AD AB AD AC AD ⋅=+⋅=⋅+⋅uu u r uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r,又因为空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于2,所以原式1(22cos6022cos60)14=⨯⨯⨯︒+⨯⨯︒=.故答案为:1【点睛】本题考查了向量数量积的运算,解题过程中运用向量的加法运算进行转化,转化为空间四边形边之间的关系,然后再结合题意计算出结果,需要掌握解题方法.11．已知A （﹣1，0），B （1，0）两点，过动点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若2||MN AN NB λ=⋅u u u u r u u u r u u u r，当0λ≠时，动点M 的轨迹可以是_____（把所有可能的序号都写上）.①圆；②椭圆；③双曲线；④抛物线. 【答案】①②③【解析】设点M 的坐标,得到N 点坐标,利用条件中2||MN AN NB λ=⋅u u u u r u u u r u u u r计算出关于动点M 的轨迹方程,然后再进行判断轨迹图形. 【详解】设(,)M x y ,则(,0)N x ,由题意2||MN AN NB λ=⋅u u u u r u u u r u u u r 计算可得2(1)(1)y x x λ=+-,化简得22x y λλ+=,又因为0λ≠,即得221y x λ+=,当0λ<时,其轨迹方程是双曲线;当0λ>且1λ≠时其轨迹方程是椭圆;当1λ=时其轨迹方程是圆,综上动点M 的轨迹可以是圆、椭圆、双曲线. 故答案为: ①②③ 【点睛】本题考查了动点轨迹问题,求解过程中依据已知条件进行先求出轨迹方程,然后再进行判断,解答题目得方法是依据题意设出点坐标进行化简,注意分类讨论.12．过点1(,1)2M 的直线l 与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4交于A 、B 两点，C 为圆心，当∠ACB最小时，直线l 的方程为_____． 【答案】2x ﹣4y +3＝0【解析】要∠ACB 最小则分析可得圆心C 到直线l 的距离最大,此时直线l 与直线CM 垂直,即可算出CM 的斜率求得直线l 的方程. 【详解】由题得,当∠ACB 最小时,直线l 与直线CM 垂直,此时102112CM k -==-- ,又1CM l k k ⋅=-,故12l k =,又直线l 过点1(,1)2M ,所以11:1()22l y x -=-,即2430x y -+= .故答案为：2430x y -+=【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系,过定点的直线与圆相交于两点求最值的问题一般为圆心到定点与直线垂直时取得最值.同时也考查了线线垂直时斜率之积为-1,以及用点斜式写出直线方程的方法.13．斜率为1的直线l 与椭圆2214x y +=相交于,A B 两点，则AB 的最大值为_____410【解析】设出直线l 的方程，联立直线的方程和椭圆方程，利用弦长公式求得弦长的表达式，进而求得弦长的最大值. 【详解】设直线方程为y x b =+，代入椭圆方程并化简得2258440x bx b ++-=，21212844,55b b x x x x -+=-⋅=，()22264204416800b b b ∆=--=-+>，55b <<222641616168011225525b b b AB --+=+-=0b =时，max 80410225AB ==. 【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和椭圆相交所得弦长最大值的求法，属于中档题.14．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动.平面区域W 5≤|A 1P |6≤P 组成，则W 的面积是_____；四面体P ﹣A 1BC 的体积的最大值是_____.【答案】4π43【解析】156A P ≤≤,然后计算出其面积;要求四面体的体积的最大值,已知高是固定的,当底面面积最大时就可以求得体积最大. 【详解】连接AP ,在正方体中可知1A A AP ⊥,则三角形1A AP 为直角三角形,又因为12A A =156A P ≤≤可计算得12AP ≤≤又因为点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动,则平面区域W 是以点A 为圆心,半径为12之间交正方形ABCD 的14圆环,所以平面区域W 的面积是221[(2)1]44ππ⨯-=;由题意可知当点P 在边AD 上时,四面体1P A BC -的体积最大值是114222323⨯⨯⨯⨯=. 故答案为: 4π； 43【点睛】本题考查了立体几何中的动点轨迹问题,求解时需要理清题意,计算求出满足题意的结果,在求四面体的最值时可以转化顶点和底面,找到确定值和变量,然后再求最值.三、解答题15．已知复数z 满足|z |2=z 的实部大于0，z 2的虚部为2.（1）求复数z ；（2）设复数z ，z 2，z ﹣z 2之在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，求（OA OB +u u u r u u u r ）⋅OC u u u r的值.【答案】（1）1+i ；（2）﹣2.【解析】（1）先设出复数z 的表达式,结合已知条件中2z =,实部大于0,和2z 的虚部为2,列出方程求解出复数z 的表达式.（2）由（1）求出复数z 的表达式,即可得到z ,2z ,2z z -在复平面上对应的点坐标,进而求出结果. 【详解】（1）设复数z =x +yi ,x 、y ∈R; 由|z |2=,得x 2+y 2=2;又z 的实部大于0即x >0, z 2=x 2﹣y 2+2xyi 的虚部为2xy =2, 所以xy =1; 解得x=1,y=1; 所以复数z=1+i ;（2）复数1z i =+,则22(1)2z i i =+=,2121z z i i i -=+-=-;则A （1,1）,B （0,2）,C （1,﹣1）;所以()(1,3)(1,1)113(1)2OC OA OB ⋅=⋅-=⨯+⨯-=+-u u u r u u u r u u u r.【点睛】本题考查了求复数的表达式及复数的几何意义,解题时的方法是设出复数的表达式,按照题意得到方程组进行求解,本题较为基础.16．如图在△AOB 中，∠AOB =90°，AO =2，OB =1，△AOC 可以通过△AOB 以直线AO 为轴旋转得到，且OB ⊥OC ，点D 为斜边AB 的中点.（1）求异面直线OB 与CD 所成角的余弦值； （2）求直线OB 与平面COD 所成角的正弦值. 【答案】（1）13；（225. 【解析】（1）以O 为原点,OC 为x 轴,OB 为y 轴,OA 为z 轴,建立空间直角坐标系, 求出异面直线OB 与CD 的坐标表示,运用公式求出其夹角的余弦值.（2）先求出平面COD 的法向量,然后运用公式求出直线OB 与平面COD 所成角的正弦值. 【详解】（1）以O 为原点,OC 为x 轴,OB 为y 轴,OA 为z 轴,建立空间直角坐标系, O （0,0,0）,B （0,1,0）,C （1,0,0）,A （0,0,2）,D （0,12,1）, OB =u u u r （0,1,0）,CD =u u u r （﹣1,112，）, 设异面直线OB 与CD 所成角为θ,则cosθ1123914OB OB CD CD⋅===⋅⨯u u u r u u u r u u u u u r ur , ∴异面直线OB 与CD 所成角的余弦值为13. （2）OB =u u u r （0,1,0）,OC =u u u r （1,0,0）,OD =u u u r （0,12,1）,设平面COD 的法向量n =r（x ,y ,z ）,则0102n OC x n OD y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u uv r u u uv r ,取2y =,得n =r（0,2,﹣1）, 设直线OB 与平面COD 所成角为θ, 则直线OB 与平面COD 所成角的正弦值为:sinθ2555OB nOB n ⋅==⋅=u u u r r u u u r r .【点睛】本题考查了求异面直线所成角问题以及线面角的正弦值问题,求解过程中建立空间直角坐标系,运用空间向量知识来求解,需要熟记运算公式并计算正确.17．已知三棱锥P ABC -（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD 为边长为2的正方形，△ABE 和△BCF 均为正三角形，在三棱锥P ABC -中： (I)证明：平面PAC ⊥平面ABC ; (Ⅱ)求二面角A PC B --的余弦值； (Ⅲ)若点M 在棱PC 上，满足CMCPλ=，12[,]33λ∈，点N 在棱BP 上，且BM AN ⊥，求BNBP的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）3;（Ⅲ）12[,]45BN BP ∈ .【解析】试题分析：第一问取AC 中点O ，根据等腰三角形的性质求得PO AC ⊥，根据题中所给的边长，利用勾股定理求得PO OB ⊥，利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理得到结果；第二问根据题中所给的条件建立空间直角坐标系，写出相应的点的坐标，求得面的法向量，利用法向量所成角的余弦值得出结果；第三问利用向量间的关系，利用向量垂直的条件，利用向量的数量积等于0，得出所求的比值μ与λ的关系式，利用函数的有关知识求得结果. （Ⅰ）方法1：设AC 的中点为O ，连接BO ，PO . 由题意 2PA PB PC ===，1PO =，1AO BO CO ===因为在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点所以PO AC ⊥，因为在POB ∆中，1PO =，1OB =，2PB =所以PO OB ⊥因为AC OB O ⋂=，,AC OB ⊂平面ABC 所以PO ⊥平面ABC 因为PO ⊂平面PAC 所以平面PAC ⊥平面ABC 方法2：设AC 的中点为O ，连接BO ，PO .因为在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点 所以PO AC ⊥，因为PA PB PC ==，PO PO PO ==，AO BO CO == 所以POA ∆≌POB ∆≌POC ∆ 所以90POA POB POC ∠=∠=∠=︒ 所以PO OB ⊥因为AC OB O ⋂=，,AC OB ⊂平面ABC 所以PO ⊥平面ABC 因为PO ⊂平面PAC 所以平面PAC ⊥平面ABC 方法3：设AC 的中点为O ，连接PO ，因为在PAC ∆中，PA PC =， 所以PO AC ⊥设AB 的中点Q ，连接PQ ，OQ 及OB . 因为在OAB ∆中，OA OB =，Q 为AB 的中点 所以OQ AB ⊥.因为在PAB ∆中，PA PB =，Q 为AB 的中点 所以PQ AB ⊥.因为PQ OQ Q ⋂=，,PQ OQ ⊂平面OPQ 所以AB ⊥平面OPQ 因为OP ⊂平面OPQ 所以OP AB ⊥因为AB AC A ⋂=，,AB AC ⊂平面ABC 所以PO ⊥平面ABC 因为PO ⊂平面PAC 所以平面PAC ⊥平面ABC（Ⅱ）由PO ⊥平面ABC ，OB AC ⊥，如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0O ，()1,0,0C ，()0,1,0B ，()1,0,0A -，()0,0,1P 由OB ⊥平面APC ，故平面APC 的法向量为()0,1,0OB =u u u v 由()1,1,0BC =-u u u v ，()1,0,1PC =-u u u v设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =v，则由00n BC n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v u u u v 得：00x y x z -=⎧⎨-=⎩ 令1x =，得1y =，1z =，即()1,1,1n =v3cos ,331n OB n OBn OB⋅===⋅⋅u u u v v u u u v vu u u v v由二面角A PC B --是锐二面角， 所以二面角A PC B --的余弦值为3（Ⅲ）设BN BP μ=u u u v u u u v，01μ≤≤，则()()()1,1,01,0,11,1,BM BC CM BC CP λλλλ=+=+=-+-=--u u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v()()()1,1,00,1,11,1,AN AB BN AB BP μμμμ=+=+=+-=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v令0BM AN ⋅=u u u u v u u u v得()()()11110λμλμ-⋅+-⋅-+⋅= 即1111λμλλ==-++，μ是关于λ的单调递增函数， 当12,33λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，12,45μ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以12,45BN BP ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x -y -2=0，抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）.（1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； （2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q. ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2,)p p --； ②求p 的取值范围. 【答案】（1）；（2）①证明见解析;②.【解析】（1）先确定抛物线焦点，再将点代入直线方程；（2）①利用抛物线点之间关系进行化简，结合中点坐标公式求证;②利用直线与抛物线位置关系确定数量关系：2244(44)0p p p ∆=-->，解出p 的取值范围.【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(,0)2p 由点(,0)2p 在直线:20l x y --=上，得0202p--=，即 4.p = 所以抛物线C 的方程为28.y x =（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，线段PQ 的中点00(,)M x y 因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ， 于是直线PQ 的斜率为1-，则可设其方程为.y x b =-+①由22{y px y x b==-+消去x 得2220(*)y py pb +-=因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以12,y y ≠从而2(2)4(2)0p pb ∆=-->，化简得20p b +>.方程（）的两根为1,2y p =-120.2y y y p +==- 因为00(,)M x y 在直线l 上，所以02.x p =- 因此，线段PQ 的中点坐标为(2,).p p -- ②因为M(2,).p p --在直线y x b =-+上 所以(2)b p p -=--+，即22.b p =-由①知20p b +>，于是2(22)0p p +->，所以4.3p <因此p 的取值范围为4(0,).3【考点】直线与抛物线位置关系 【名师点睛】在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．19．（本小题满分14分）一种画椭圆的工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆ON 可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与椭圆有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当直线与椭圆在四个顶点处相切时，的面积取得最小值8．【解析】（Ⅰ）因为，当在x轴上时，等号成立；同理，当重合，即轴时，等号成立．所以椭圆C 的中心为原点，长半轴长为，短半轴长为，其方程为（Ⅱ）（1）当直线的斜率不存在时，直线为或，都有．（2）当直线的斜率存在时，设直线，由消去，可得．因为直线总与椭圆有且只有一个公共点，所以，即．①又由可得；同理可得．由原点到直线的距离为和，可得．②将①代入②得，．当时，；当时，．因，则，，所以，当且仅当时取等号．所以当时，的最小值为8．综合（1）（2）可知，当直线与椭圆在四个顶点处相切时，的面积取得最小值8．【考点】本题考查椭圆的标准方程与直线与椭圆相交综合问题，属高档题．。
【优质文档】2020-2021学年北京市101中学高二(上)期末数学试卷(理科)与答案
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且△ AF2B 的面积为
，求
以 F2 为圆心且与直线 l 相切的圆的方程．
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2017-2018 学年北京市 101 中学高二上学期期末数学试卷 （理科）
参考答案与试题解析
一、选择题共 8 小题．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
C．? x0∈（ 0，+∞），lnx0≠x0﹣ 1 D．? x0?（0，+∞），lnx0=x0﹣1
3．（5 分）抛物线 y=4x2 的焦点坐标是（
）
A．（0，1） B．（0， ） C．（1，0） D．（ ，0）
4．（5 分）有下列三个命题：
① “若 x+y=0，则 x，y 互为相反数 ”的逆命题； ②“若 x＞y，则 x2＞y2”的逆否命题；
1．（5 分）双曲线的两焦点坐标是 F1（3，0），F2（﹣ 3， 0），2b=4，则双曲线的
标准方程是（
）
A． ﹣ =1 B．
=1 C． ﹣ =1 D． ﹣ =1
2．（5 分）命题 “? x0∈（ 0， +∞）， lnx0=x0﹣ 1”的否定是（
）
A．? x?（0，+∞），lnx=x﹣1 B． ? x∈（ 0，+∞），lnx≠x﹣ 1
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2017-2018 学年北京市 101 中学高二上学期期末数学试卷 （理科）
2024北京一零一中学高二(上)期末数学试题及答案
2024北京一零一中高二（上）期末数 学（本试卷满分120分，考试时间100分钟）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 在等差数列{}n a 中，241,5a a ==，则8a =（ ） A. 9B. 11C. 13D. 152. 若直线210x y +−=与直线0x my −=垂直，则m =（ ） A. 2−B. 12−C. 2D. 123. 已知{}n a 为等比数列，公比23150,12,81q a a a a >+=⋅=，则5a =（ ） A. 81B. 27C. 32D. 164. 已知圆C 的圆心在抛物线24y x =上，且此圆C 过定点(10)，，则圆C 与直线10x +=的位置关系为（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不能确定5. 平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是（ ） A. 一条直线B. 一个圆C. 一个椭圆D. 曲线的一支6. 在各项均不为零的等差数列{}n a 中，若2110(2)n n n a a a n +−−+=≥， 则214n S n −−= A. 2−B. 0C. 1D. 27. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()2222:10,0x yC a b a b−=>>的左、右焦点分别为12,F F ，A 为双曲线右支上一点，连接1AF 交y 轴于点B ．若2ABF △为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A.B.32D.28. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a >”是“20240S >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D −的对角线1BD 上，过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ ）A. B. C. D.10. 已知12,F F 同时为椭圆1C ：()2211221110x y a b a b +=>>与双曲线2C ：2222221x y a b −=（20a >，20b >）的左、右焦点，设椭圆1C 与双曲线2C 在第一象限内交于点M ，椭圆1C 与双曲线2C 的离心率分别为12,e e ，O 为坐标原点，给出下列四个结论：①22221122a b a b −=+； ②若12π3F MF ∠=，则22123b b =； ③122F F MO =的充要条件是2212112e e +=； ④若1223F F MF =，则12e e 的取值范围是3(,3)5. 其中正确结论的个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知双曲线2221(0)x y a a−=>的一条渐近线方程为20x y +=，则=a ___________．12. 在空间直角坐标系中，若直线l 的方向向量是()2,2,1v =−，平面α的一个法向量是()2,0,1n =，则直线l 与平面α所成角的正弦值等于_________. 13. 已知数列{}n a 满足121n n n a a a +=+，*N n ∈，若317a =，则1a =_______．14. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c −，若双曲线上存在一点P使1221sin sin PF F aPF F c∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是__________.15. 普林斯顿大学的康威教授于1986年发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列”（Lookandsaysequence ），该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”.例如：取第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项为11；将11描述为“2个1”，则第三项为21；将21描述为“1个2，1个1”，则第四项为1211；将1211描述为“1个1，1个2，2个1”，则第五项为111221，…，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项.则对于外观数列{}n a ，下列说法正确的有_________.①若13a =，则从4a 开始出现数字2；②若()11,2,3,,9a k k ==⋅⋅⋅，则()*n a n ∈N 的最后一个数字均为k ；③{}n a 可能既是等差数列又是等比数列； ④若1123a =，则()*n a n ∈N均不包含数字4.三、解答题共4小题，共55分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16. 已知数列{}n a 满足()12N n n a a n *+−=∈，且569,,a a a 成等比数列，（1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求n S 的最小值及此时n 的值.17. 如图，四棱锥P ABCD −中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，2DAB ADC π∠=∠=，PA AD ⊥，3=，2CD AD ==，PA =.（1）求证：CD ∥平面PAB ； （2）求点B 到平面PCD 的距离； （3）求二面角A BC P −−的余弦值.18. 已知椭圆:C ()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，右焦点为F ，点(),0A a ，且1AF =.过点F 的直线l （不与x 轴重合）交椭圆C 于点,M N ，直线MA ，NA 分别与直线4x =交于点,P Q . （1）求椭圆C 的方程；（2）判断点A 与以PQ 为直径的圆的位置关系，并证明你的结论；（3）求AMN 面积的最大值.19. 设m 为给定的正奇数，定义无穷数列1:1m A a =，11,,2,,n n n n n a a a a m a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数其中*n ∈N .若k a 是数列m A 中的项，则记作k m a A ∈.（1）若5m =，写出5A 的前5项；（2）求证：集合{}*,2k m k B k a A a m =∈∈>N 是空集；（3）记集合{}m m S x x A =∈，{},m S x m x S =∀∈正奇数，求集合S .参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 【答案】C【分析】根据等差数列的通项公式进行求解即可.【详解】由题意知2141135a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得121d a =⎧⎨=−⎩，所以12(1)23n a n n =−+−=−，所以816313a =−=.故选：C. 2. 【答案】C【分析】利用两直线垂直，斜率相乘为-1，列出方程求解即可. 【详解】∵直线210x y +−=与直线0x my −=垂直，121(0)m m∴−⨯=−≠ 2m ∴=故选：C 3. 【答案】A【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解. 【详解】根据1581⋅=a a 可得()2111428181aqaaq ⋅=⇒=，所以39a =或39a =−，若39a =−，则32321221,0a a a q a +===<−不符合要求， 若39a =，则3232123,30a a a q a +=−===>符合要求，故25381a a q ==， 故选：A 4. 【答案】A【分析】根据抛物线的定义求得正确答案.【详解】抛物线24y x =的焦点为()1,0，准线方程为=1x −，根据抛物线的定义可知，C 到焦点的距离等于到准线的距离， 所以圆C 与直线10x +=相切. 故选：A 5. 【答案】A【分析】先找出定点A 和直线l 确定的一个平面，结合平面相交的特点可得轨迹类型.【详解】如图，设l 与l '是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面β，且α的斜线AB β⊥，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A 与AB 垂直所有直线都在这个平面内，故动点C 都在平面β与平面α的交线上.【点睛】本题主要考查轨迹的类型确定，熟悉平面的基本性质及推论是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养. 6. 【答案】A【详解】试题分析：根据等差数列{}n a 性质可知()1122n n n a a a n +−+=≥，所以220n n a a −=，因为0n a ≠，所以2n a =，则()21421242n S n n n −−=−⨯−=−，故选A.考点：等差数列. 7. 【答案】C【分析】由长度关系可得2112BF AF =，知212AF F F ⊥，在12Rt F F A △中，利用12tan F AF ∠=可构造齐次方程求得双曲线离心率.【详解】设2AF m =，2ABF 为等边三角形，2AB BF m ∴==，12π3F AF ∠=，又12BF BF m ==， 2112BF AF ∴=，212AF F F ∴⊥，22bAF a∴=，1212222tan F F cF AF bAF a∴∠===，2222ac ∴==，220e −=，解得：e =e = ∴双曲线C.故选：C. 8. 【答案】D【分析】结合等比数列的前n 项和公式，以及充分、必要条件的判断方法，判断出正确选项即可. 【详解】由于数列{}n a 是等比数列，当0q ≠且1q ≠时，202412024(1)1a q S q−=−，充分性：当10a >，且公比2q =−时，得10q −>，202410q −<，则20240S <，不满足充分性； 必要性：当10a <，且公比2q =−时，得10q −>，202410q −<，满足20240S >，但不满足10a >，不满足必要性； 故选：D. 9. 【答案】B【详解】试题分析：由题意知，MN ⊥平面BB 1D 1D ，则MN 在底面ABCD 上的射影是与对角线AC 平行的直线，故当动点P 在对角线BD 1上从点B 向D 1运动时，x 变大y 变大，直到P 为BD 1的中点时，y 最大为AC ．然后x 变小y 变小，直到y 变为0，因底面ABCD 为正方形，故变化速度是均匀的，且两边一样．故答案为B ．考点：函数的图像与图像项变化．点评：本题考查了函数图象的变化，根据几何体的特征和条件进行分析两个变量的变化情况，再用图象表示出来，考查了作图和读图能力．属于中档题． 10. 【答案】D【分析】根据椭圆以及双曲线的关系，即可判断A 选项；根据椭圆以及双曲线的定义，结合余弦定理，可推得B 、C 选项；根据椭圆以及双曲线的定义结合三角形的三边关系，得出12,a a 的关系式.进而根据对勾函数的单调性，即可得出D 选项.【详解】对于A 项，由已知椭圆与双曲线共焦点可得，22221122a b a b −=+，故A 选项正确； 对于B 项，根据椭圆以及双曲线的定义，可得12112222MF MF a MF MF a ⎧+=⎪⎨−=⎪⎩，所以112212MF a a MF a a ⎧=+⎪⎨=−⎪⎩.在12F MF △中，由余弦定理可得222121212π2cos3F F MF MF MF MF =+−⋅， 即()()()()222121212121422c a a a a a a a a =++−−+−⨯， 整理可得：2221243c a a =+.所以()2222123a c c a −=−，即22123b b =，故B 项正确；对于C 项，必要性：若122F F MO =，则12F MF △为直角三角形， 所以2221212F F MF MF =+，即()()22212124c a a a a =++−， 整理可得：222122a a c +=，两边同时除以2c 可得，22122a a c c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2212112e e +=，满足必要性； 充分性：若2212112e e +=，易可得222122a a c +=，()()22212124c a a a a =++−，所以2221212F F MF MF =+，所以12F MF △为直角三角形，且1290F MF ∠=︒，可得122F F MO =，满足充分性. 故C 项正确；对于D 项，由已知可得()1223c a a =−.所以，()22121212121294a a c c c e e a a a a a a −=⋅==()221122121221299244a a a a a aa a a a −+⎛⎫==+− ⎪⎝⎭.令12a t a =，则129124e e t t ⎛⎫=+− ⎪⎝⎭. 因为12a a >，所以121a t a =>. 又1212MF MF F F +>，所以有()112223a c a a >=−，所以有123a a <；1212MF MF F F −<，所以有()212223a c a a <=−，所以有1235a a >.所以125(,3)3a t a =∈. 设函数12y t t =+−，再设12533t t <<<，则121212121212()(1)1((12)2)t t y t y t t t t t t t −−+−−+−=−=， 由于12533t t <<<，得120t t −<，120t t >，1210t t −>， 所以120y y −<，即12y y <，函数12y t t =+−在区间5(,3)3上单调递增， 所以44153y <<，所以12335e e <<，故D 正确. 故选：D.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 【答案】2【分析】先由双曲线的渐近线设出双曲线的方程，再利用待定系数法即可求得a 的值. 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为20x y +=，所以双曲线的方程可设为()2204x y λλ−=≠，即2214x y λλ−=，因为2221(0)x y a a−=>，所以241a λλ⎧=⎨=⎩，解得2a =（负值舍去），所以2a =. 故答案为：2.12. 【答案】5【分析】利用空间向量的坐标求出直线l 与平面α法向量夹角的余弦值，即可得到直线l 与平面α所成角的正弦值.【详解】直线l 与平面α所成角的正弦值即直线l 与平面α法向量夹角的余弦值的绝对值． 设直线l 与平面α所成的角为θ，则：所以|||sin |cos ,|||||5(2)v n v n v n θ⋅=<>===⋅−.故答案为：5. 13. 【答案】13【分析】由递推式，结合317a =依次求出2a 、1a 即可.【详解】由2321217a a a ==+，可得：215a =，又1211215a a a ==+，可得：113a =.故答案为：13. 14.【答案】1)【详解】因为在12PF F ∆中，由正弦定理得211221sin sin PF PF PF F PF F =∠∠，则由已知，得21a c PF PF =，即12aPF cPF =，12c PF PF a=, 由双曲线的定义知212222222c a PF PF a PF PF a PF a c a−=−=⇒=−,， 由双曲线的几何性质知22222,20,a PF c a c a c ac a c a>−>−⇒−−<−所以2210,e e −−<解得11e <<，又1()e ∈+∞,，故双曲线的离心率1)e ∈ 15. 【答案】②③④【分析】由外观数列的定义可判断①和②；举例子可判断③；由反证法，结合外观数列的定义可判断④. 【详解】对于①，当13a =时，由外观数列的定义可得：213a =，31113a =，43113a =，故①错； 对于②，由外观数列的定义可知，每次都是从左向右描述，所以第一项的k ()1,2,3,,9k =⋅⋅⋅始终在最右边，即最后一个数字，故②正确； 对于③，取122a =，则42322a a a ====，此时{}n a 既是等差数列又是等比数列，故③正确；对于④，当1123a =时，由外观数列的定义可得：2111213a =，331121113a =，41321123113a =，. 设()*,5k a k k ∈≥N 第一次出现数字4，则1k a −中必出现了4个连续的相同数字m ()1,2,3,,9m =⋅⋅⋅.而2k a −的描述必须包含“m 个m ，m 个m ”，显然2k a −的描述不符合外观数列的定义. 所以当1123a =时，()*n a n ∈N 均不包含数字4，故④正确.故答案为：②③④【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义、根据数列的递推关系式写出数列中的项及利用递推关系式研究数列的性质.解题关键在于理解数列的新定义，明确数列的递推关系式.根据数列的定义可判断①和②；举出特殊例子可判断③；通过反证法及数列的定义可判断④.三、解答题共4小题，共55分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16. 【答案】（1）29n a n =−（2）最小值为16−,4n =【分析】（1）{}n a 为等差数列，公差为2，根据题目条件得到方程，求出首项，得到通项公式； （2）求出2(4)16n S n =−−，求出最小值及n 的值. 【小问1详解】由12n n a a +−=知{}n a 为等差数列，设{}n a 的公差为d ，则2d =，569,,a a a 成等比数列，所以2659a a a =，即()()()211110816a a a +=++， 解得17a =−，又2d =，所以{}n a 的通项公式为29n a n =−；【小问2详解】由(1)得()227298(4)162n n n S n n n −+−==−=−−， 所以当4n =时，n S 取得最小值，最小值为16−17. 【答案】（1）证明见解析（2（3）4【分析】（1）由题意得//AB CD ，利用线面平行的判定定理，即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系A xyz −，利用向量法求解空间距离即可，（3）根据法向量的夹角即可求解.【小问1详解】底面ABCD 为直角梯形，π2DAB ADC ∠=∠=，//AB CD ∴， 又AB ⊂平面PAB ，CD ⊂/平面PAB ， //CD ∴平面PAB ；【小问2详解】平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =，又PA AD ⊥，PA ∴⊥平面ABCD ， 又π2DAB ∠=，即DA AB ⊥，则以A 为原点，以AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A xyz −，如图所示：又3AB =，2CD AD ==，PA =，则(0,0,0)A ，(3,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D，(0,0,P ，故(2,0,0)DC =，(0,2,PD =−，()1,2,0BC =−，设平面PCD 的一个法向量为(,,)n x y z =，则20220DC n xPD n y ⎧⋅==⎪⎨⋅=−=⎪⎩，取y =1z =，0x =，∴平面PCD 的一个法向量为(0,3,1)n =，所以点B 到平面PCD 的距离为232BC n n ⋅==. 【小问3详解】设平面PCB的一个法向量为(),,m a b c =，()1,2,0BC =−，(3,0,PB =−， 则20320BC m a b PB m a⎧⋅=−+=⎪⎨⋅=−=⎪⎩，取2a =，则1,b c ==∴平面PCB 的一个法向量为(m =，又PA ⊥平面ABC ，则平面ABC 的一个法向量为(AP =， cos ,2m APm AP m AP ⋅∴===， 由图形得二面角A BC P −−所成角为锐二面角，∴二面角A BC P −−的所成角的余弦值为4． 18. 【答案】（1） 22143x y += （2） 点A 在以PQ 为直径的圆的内部，详见解析（3）32【分析】（1）由题意得121c a a c ⎧=⎪⎨⎪−=⎩，，求出,a c ，然后求解b ，即可得到椭圆方程．（2）当直线l 的斜率不存在时，验证0AP AQ ⋅<，即90PAQ ∠>︒．当直线l 的斜率存在时，设l :(1)y k x −＝，其中0k ≠．联立()2213412y k x x y ⎧=−⎨+=⎩，，设1122(,),(,)M x y N x y ，利用韦达定理，结合直线MA 的方程，求出,P Q 的坐标．利用向量的数量积0AP AQ ⋅<，转化求解即可．（3）分直线l 的斜率不存在和存在两种情况讨论，其中当直线l 的斜率存在时，先求出点A 到直线l 的距离，再利用韦达定理求出线段MN 的长，进而求出AMN 面积的最大值.【小问1详解】 由题意得121c a a c ⎧=⎪⎨⎪−=⎩，，解得2,1a c ==，从而b ==所以椭圆C 的方程为22143x y +=． 【小问2详解】当直线l 的斜率不存在时，有31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2N ⎛⎫− ⎪⎝⎭，(4,3),(43),(1,0),(2,0)P Q F A −，， 则()2,3AP =−，()2,3AQ =，故5AP AQ ⋅=−，即90PAQ ∠>︒．当直线l 的斜率存在时，设l :(1)y k x −＝，其中0k ≠．联立()2213412y k x x y ⎧=−⎨+=⎩，，得2222(43)84120k x k x k +−+−=．由题意，知0∆＞恒成立，设1122(,),(,)M x y N x y ，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k −=+． 直线MA 的方程为()1122y y x x =−−， 令4x =，得1122P y y x =−，即1124,2y P x ⎛⎫ ⎪−⎝⎭，同理可得2224,2y Q x ⎛⎫ ⎪−⎝⎭． 所以1122,2y AP x ⎛⎫= ⎪−⎝⎭，2222,2y AQ x ⎛⎫= ⎪−⎝⎭． 因为()()()()()()()()221212121212121212414114444222224k x x x x k x x y y AP AQ x x x x x x x x ⎡⎤−++−−⎣⎦⋅=+=+=+−−−−−++ ()()()()2222222222222222412841441284343434450412164121644344343k k k k k k k k k k k k k k k k ⎛⎫−−+ ⎪⎡⎤−−++++⎝⎭⎣⎦=+=+=−<−−−++−+++， 所以90PAQ ∠>︒，综上90PAQ ∠>︒，点A 在以PQ 为直径的圆的内部.【小问3详解】当直线l 的斜率不存在时，有31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2N ⎛⎫− ⎪⎝⎭，(2,0)A ， 则AMN 的面积为1333(21)[()]222⨯−⨯−−=． 当直线l 的斜率存在时，由于l :(1)y k x −＝，点A 到直线l的距离为：d ==， 线段MN的长为：||MN =2212(1)43k k +=+． 则AMN的面积为221112(1)||2243k MN d k +⋅==+， 构造函数2311162y t t =−−+，令214(0,)334t k =∈+， 显然函数2311162y t t =−−+在区间4(0,)3上单调递减， 且当0=t 时，1y =；当43t =时，0y =；所以01y <<，从而AMN 面积的范围为3(0,)2；综上，AMN 面积的最大值为32. 19. 【答案】（1）1,6,3,8,4，（2）证明见解析 （3）{1S =,2}．【分析】（1）根据递推公式即可逐一代入求解；（2）利用反证法证明；（3）由1{1S =,2}，提出猜想{1S =,2}，证明．【小问1详解】当5m =时，由11,,25,,n n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数可得213243541156,3,58,422a a a a a a a a =+====+===， 所以5A 的前5项为1,6,3,8,4，【小问2详解】假设集合*{N |k m B k a A =∈∈，2}k a m >非空，当1k =时，11a =，又m 是正奇数，22m ≥，而12a m <，不合题意，当2k =时，21a m =+，若22a m >，则需1m <，又m 是正奇数，不合题意，设B 中元素的最小值为k （显然3)k ≥，因为12k k a m a −>≥，所以1k k a a m −=+，因此1k a −为奇数，且1k a m −>．若12k k a a m −−=+，则2k a −为偶数， 但此时应有1212k k a a −−=，与12k k a a m −−=+矛盾， 若1212k k a a −−=，则22k a m −>，即2k B −∈，与k 的最小性矛盾， 因此假设不成立，集合B 为空集．【小问3详解】猜想{1S =,2}．因为1{1S =,2}，以下只需证对任意大于1的奇数m ，1，2m S ∈，若1j a =，1j >，则12j a −=，故只需证必存在1j a =，1j >．由（2）知无穷数列m A 中所有的项都属于集合{1，2，，2}m ，因此必存在i j <，使得i j a a =，取其中i 的值最小的一组，若1i a >，则1i j a a K ==>；若K m >，则必有111i j a a K m −−==−>，与i 的最小性矛盾；若K m ≤，则必有112i j a a K −−==，也与i 的最小性矛盾．因此只能1i a =，因此11j a a ==，1j >，12j a −=，即1，2m S ∈．综上，{1S =,2}．【点睛】求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.。
精品解析：北京市101中学2019-2020学年上学期高二年级期末考试数学试题(解析版)
北京101中学2019-2020学年上学期高二年级期末考试数学试卷本试卷满分120分，考试时间100分钟一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.复数z 11ii-=+，则|z |=()A.1B.2C.D.【答案】A 【解析】【分析】运用复数的除法运算法则,先计算出z 的表达式,然后再计算出z .【详解】由题意复数z 11ii -=+得221(1)12=1(1)(1)2i i i i i i i i ---+===-++-,所以=1z .故选A【点睛】本题考查了运用复数的除法运算求出复数的表达式,并能求出复数的模,需要掌握其计算法则,较为基础.2.设,,a b c 分别是ABC 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=与sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=位置关系是（）A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直【答案】C 【解析】,,a b c 分别是ABC 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=斜率为：sin Aa -，sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=的斜率为：sin bB，∵sin sin A ba B- =﹣1，∴两条直线垂直．故选C．3.已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z z =.则其中正确命题的个数为()A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C 【解析】【分析】运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.【详解】对于①中复数1z 和2z 的模相等,例如1=1+z i ,2z ,则1z 和2z 是共轭复数是错误的;对于②1z 和2z 都是复数,若12+z z 是虚数,则其实部互为相反数,则1z 不是2z 的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z 是实数,令z a =,则z a =所以z z =,反之当z z =时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z z =是正确的.综上正确命题的个数是2个.故选C【点睛】本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.4.椭圆2214x y +=的长轴为A 1A 2，短轴为B 1B 2，将坐标平面沿y 轴折成一个锐二面角，使点A 1在平面B 1A 2B 2上的射影恰是该椭圆的一个焦点，则此二面角的大小为（）A .30°B.45°C.60°D.以上答案均不正确【答案】A 【解析】【分析】画出满足条件的图形，由112212,A O B B A O B B ⊥⊥可得出1FOA ∠为所求二面角的平面角，通过解三角形1FOA 即可求出二面角.【详解】由椭圆2214x y +=得长轴124,A A =，短轴122B B =.将坐标平面沿y 轴折成一个锐二面角，如图.设点A 1在平面122B A B 上的射影恰是该椭圆的一个焦点，设该焦点为F .则1A F ⊥平面122B B A .所以1A F ⊥FO .由112212,A O B B A O B B ⊥⊥,所以1FOA ∠为所求二面角的平面角.在1A OF △中，12,A O OF ==所以113cos 2OF FOA OA ∠==.由条件二面角为锐角，所以1=30FOA ∠︒故选：A【点睛】本题考查二面角的平面的求法，涉及翻折问题可椭圆的基本性质，属于中档题.5.已知两圆C 1：（x -4）2+y 2=169，C 2：（x +4）2+y 2=9.动圆M 在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程是（）A.2216448x y -= B.2214864x y +=C.2214864x y -= D.2216448x y +=【答案】D 【解析】【分析】由两圆外切和内切，得出圆心距与两圆的半径和差的关系，设出动圆的半径r ，消去r ，再由圆锥曲线的定义，可得动圆的圆心M 的轨迹，进一步求出其方程.【详解】设动圆的圆心(),M x y ，半径为r圆M 与圆1C :()224169x y -+=内切，与C 2：()2249x y ++=外切.所以1213,3MC r MC r =-=+.1212+168MC MC C C =>=由椭圆的定义，M 的轨迹是以12,C C 为焦点，长轴为16的椭圆.则8,4a c ==，所以2228448b =-=动圆的圆心M 的轨迹方程为：2216448x y +=故选：D【点睛】本题考查两圆的位置关系以及判断方法和动点的轨迹方程，椭圆的定义，属于中档题.6.已知F 为抛物线2y x =的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，3AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为()A.34 B.1C.54D.74【答案】C 【解析】【分析】抛物线的准线为1:4l x =-，过,A B 作准线的垂线，垂足为,E G ，AB 的中点为M ，过M 作准线的垂线，垂足为MH ，则可利用几何性质得到32MH =，故可得M 到y 轴的距离.【详解】抛物线的准线为1:4l x =-，过,A B 作准线的垂线，垂足为,E G ，AB 的中点为M ，过M 作准线的垂线，垂足为MH ，因为,A B 是该抛物线上的两点，故,AE AF BG BF ==，所以3AE BG AF BF +=+=，又MH 为梯形的中位线，所以32MH =，故M 到y 轴的距离为315244-=，故选C.【点睛】本题考查抛物线的几何性质，属于基础题.7.正四棱锥S -ABCD 底面边长为2，高为1，E 是棱BC 的中点，动点P 在四棱锥表面上运动，并且总保持0PE AC ⋅=，则动点P 的轨迹的周长为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】设,F G 分别为,DC SC 的中点,则可证明AC ⊥平面EFG ，得到满足条件的动点P 的轨迹为EFG ，然后求解即可.【详解】由0PE AC ⋅=，即满足PE AC ⊥.设,F G 分别为,DC SC 的中点，连接,,,,AC BD EF FG GE .设,AC BD 交于点O ，,AC EF 交于点1O .所以在正四棱锥S -ABCD 中，SO ⊥平面ABCD .所以SO AC ⊥,且AC BD ⊥,由,,E F G 分别为,,BC DC SC 的中点.所以1//,//BD EF SO GO ,则有，1GO AC ⊥,AC EF ⊥,且11EF GO O = 所以AC ⊥平面EFG .故当点P 在平面EFG 内时，有PE AC ⊥成立.所以动点P 的轨迹为平面EFG 截正四棱锥S -ABCD 的截面，即EFG .由,,E F G 分别为,,BC DC SC 的中点.所以111,,222EF BD GE SB FG SD ===又正四棱锥S -ABCD 底面边长为2，高为1，所以BD =,SB =所以EF FG GE ++=故选：B【点睛】本题考查轨迹问题，考查线面的垂直的证明，属于中档题.8.设点P 为双曲线2222100x y a b a b-=>>（，）右支上的动点，过点P 向两条渐近线作垂线，垂足分别为A ，B ，若点AB 始终在第一、第四象限内，则双曲线离心率e 的取值范围是()A.（1，3] B.（1]C.[3，+∞） D.，+∞）【答案】B 【解析】【分析】结合已知条件得到垂足始终在第一、第四象限内,则可以得到倾斜角的范围,再利用离心率的计算方法求出结果.【详解】根据题意,因为点P 为双曲线右支上的动点,过点P 向两条渐近线作垂线,垂足分别为A ,B ,若点AB 始终在第一、第四象限内,则有渐近线b y x a =的倾斜角不大于45︒,即1ba≤,则双曲线的离心率为c e a ====,又1e >,则1e <≤.故选B【点睛】本题考查了求双曲线的离心率范围问题,解答时要结合题目中的已知条件,并能熟练运用离心率计算推导公式c e a ====二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9.若抛物线22y px =的焦点与双曲线22163x y -=的右焦点重合，则p 的值．【答案】6【解析】试题分析：根据题意，由于双曲线22163x y -=的222226,3,+93a b c a b c ====∴=右焦点坐标为3,0（），因此可知抛物线22y px =的焦点p p,03622p =∴=∴=（）,故答案为6考点：考查了抛物线与双曲线的性质．.点评：解决该试题的关键是利用双曲线的右焦点坐标得到抛物线的焦点坐标，然后得到参数p 的值，属于基础题．10.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于2，点E ，F 分别是边BC ，AD 的中点，则AE AF⋅的值为_____.【答案】1【解析】【分析】结合已知条件运用向量的数量积运算法则即可求出结果.【详解】因为点E ,F 分别是边BC ,AD 的中点,则111()()224AE AF AB AC AD AB AD AC AD ⋅=+⋅=⋅+⋅uu u r uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r,又因为空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于2,所以原式1(22cos 6022cos 60)14=⨯⨯⨯︒+⨯⨯︒=.故答案为:1【点睛】本题考查了向量数量积的运算,解题过程中运用向量的加法运算进行转化,转化为空间四边形边之间的关系,然后再结合题意计算出结果,需要掌握解题方法.11.已知A （﹣1，0），B （1，0）两点，过动点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若2||MN AN NB λ=⋅，当0λ≠时，动点M 的轨迹可以是_____（把所有可能的序号都写上）.①圆；②椭圆；③双曲线；④抛物线.【答案】①②③【解析】【分析】设点M 的坐标,得到N 点坐标,利用条件中2||MN AN NB λ=⋅计算出关于动点M 的轨迹方程,然后再进行判断轨迹图形.【详解】设(,)M x y ,则(,0)N x ,由题意2||MN AN NB λ=⋅计算可得2(1)(1)y x x λ=+-,化简得22x y λλ+=,又因为0λ≠,即得221y x λ+=,当0λ<时,其轨迹方程是双曲线;当0λ>且1λ≠时其轨迹方程是椭圆;当1λ=时其轨迹方程是圆,综上动点M 的轨迹可以是圆、椭圆、双曲线.故答案为:①②③【点睛】本题考查了动点轨迹问题,求解过程中依据已知条件进行先求出轨迹方程,然后再进行判断,解答题目得方法是依据题意设出点坐标进行化简,注意分类讨论.12.过点1(,1)2M 的直线l 与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4交于A 、B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为_____．【答案】2x ﹣4y +3＝0【解析】【分析】要∠ACB 最小则分析可得圆心C 到直线l 的距离最大,此时直线l 与直线CM 垂直,即可算出CM 的斜率求得直线l 的方程.【详解】由题得,当∠ACB 最小时,直线l 与直线CM 垂直,此时102112CM k -==--,又1CM l k k ⋅=-,故12l k =,又直线l 过点1(,1)2M ,所以11:1()22l y x -=-,即2430x y -+=.故答案为2430x y -+=【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系,过定点的直线与圆相交于两点求最值的问题一般为圆心到定点与直线垂直时取得最值.同时也考查了线线垂直时斜率之积为-1,以及用点斜式写出直线方程的方法.13.斜率为1的直线l 与椭圆2214x y +=相交于,A B 两点，则AB 的最大值为_____【答案】4105【解析】【分析】设出直线l 的方程，联立直线的方程和椭圆方程，利用弦长公式求得弦长的表达式，进而求得弦长的最大值.【详解】设直线方程为y x b =+，代入椭圆方程并化简得2258440x bx b ++-=，21212844,55b b x x x x -+=-⋅=，()22264204416800b b b ∆=--=-+>，55b <<.222641616168011225525b b b AB --+=+-，当b =时，max 804102255AB ==.【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和椭圆相交所得弦长最大值的求法，属于中档题.14.如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动.平面区域W 由所≤|A 1P |≤的点P 组成，则W 的面积是_____；四面体P ﹣A 1BC 的体积的最大值是_____.【答案】(1).4π(2).43【解析】【分析】1A P ≤≤的平面区域,然后计算出其面积;要求四面体的体积的最大值,已知高是固定的,当底面面积最大时就可以求得体积最大.【详解】连接AP ,在正方体中可知1A A AP ⊥,则三角形1A AP 为直角三角形,又因为12A A =,1A P ≤≤,可计算得1AP ≤≤,又因为点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动,则平面区域W 是以点A 为圆心,半径为1和之间交正方形ABCD 的14圆环,所以平面区域W 的面积是2211]44ππ⨯-=;由题意可知当点P 在边AD 上时,四面体1P A BC -的体积最大值是114222323⨯⨯⨯⨯=.故答案为:4π；43【点睛】本题考查了立体几何中的动点轨迹问题,求解时需要理清题意,计算求出满足题意的结果,在求四面体的最值时可以转化顶点和底面,找到确定值和变量,然后再求最值.三、解答题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.15.已知复数z 满足|z |=，z 的实部大于0，z 2的虚部为2.（1）求复数z ；（2）设复数z ，z 2，z ﹣z 2之在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，求（OA OB +）⋅OC的值.【答案】（1）1+i ；（2）﹣2.【解析】【分析】（1）先设出复数z 的表达式,结合已知条件中z =,实部大于0,和2z 的虚部为2,列出方程求解出复数z的表达式.（2）由（1）求出复数z 的表达式,即可得到z ,2z ,2z z -在复平面上对应的点坐标,进而求出结果.【详解】（1）设复数z =x +yi ,x 、y ∈R ;由|z |=x 2+y 2=2;又z 的实部大于0即x >0,z 2=x 2﹣y 2+2xyi 的虚部为2xy =2,所以xy =1;解得x =1,y =1;所以复数z =1+i ;（2）复数1z i =+,则22(1)2z i i =+=,2121z z i i i -=+-=-;则A （1,1）,B （0,2）,C （1,﹣1）;所以()(1,3)(1,1)113(1)2OC OA OB ⋅=⋅-=⨯+⨯-=+-.【点睛】本题考查了求复数的表达式及复数的几何意义,解题时的方法是设出复数的表达式,按照题意得到方程组进行求解,本题较为基础.16.如图在△AOB 中，∠AOB =90°，AO =2，OB =1，△AOC 可以通过△AOB 以直线AO 为轴旋转得到，且OB ⊥OC ，点D 为斜边AB 的中点.（1）求异面直线OB 与CD 所成角的余弦值；（2）求直线OB 与平面COD 所成角的正弦值.【答案】（1）13；（2）5.【解析】【分析】（1）以O 为原点,OC 为x 轴,OB 为y 轴,OA 为z 轴,建立空间直角坐标系,求出异面直线OB 与CD 的坐标表示,运用公式求出其夹角的余弦值.（2）先求出平面COD 的法向量,然后运用公式求出直线OB 与平面COD 所成角的正弦值.【详解】（1）以O 为原点,OC 为x 轴,OB 为y 轴,OA 为z 轴,建立空间直角坐标系,O （0,0,0）,B （0,1,0）,C （1,0,0）,A （0,0,2）,D （0,12,1）,OB = （0,1,0）,CD = （﹣1,112，）,设异面直线OB 与CD 所成角为θ,则cosθ1123OB OB CD CD ⋅==⋅ ,∴异面直线OB 与CD 所成角的余弦值为13.（2）OB = （0,1,0）,OC = （1,0,0）,OD = （0,12,1）,设平面COD 的法向量n = （x ,y ,z ）,则0102n OC x n OD y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ,取2y =,得n = （0,2,﹣1）,设直线OB 与平面COD 所成角为θ,则直线OB 与平面COD 所成角的正弦值为:sinθ5OB nOB n ⋅==⋅= .【点睛】本题考查了求异面直线所成角问题以及线面角的正弦值问题,求解过程中建立空间直角坐标系,运用空间向量知识来求解,需要熟记运算公式并计算正确.17.已知三棱锥P ABC -（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD 2的正方形，△ABE 和△BCF 均为正三角形，在三棱锥P ABC -中：(I)证明：平面PAC ⊥平面ABC ;(Ⅱ)求二面角A PC B --的余弦值；(Ⅲ)若点M 在棱PC 上，满足CM CPλ=，12[,]33λ∈，点N 在棱BP 上，且BM AN ⊥，求BN BP 的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）33;（Ⅲ）12[,]45BN BP ∈.【解析】试题分析：第一问取AC 中点O ，根据等腰三角形的性质求得PO AC ⊥，根据题中所给的边长，利用勾股定理求得PO OB ⊥，利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理得到结果；第二问根据题中所给的条件建立空间直角坐标系，写出相应的点的坐标，求得面的法向量，利用法向量所成角的余弦值得出结果；第三问利用向量间的关系，利用向量垂直的条件，利用向量的数量积等于0，得出所求的比值μ与λ的关系式，利用函数的有关知识求得结果.（Ⅰ）方法1：设AC 的中点为O ，连接BO ，PO .由题意PA PB PC ===，1PO =，1AO BO CO ===因为在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点所以PO AC ⊥，因为在POB ∆中，1PO =，1OB =，PB =所以PO OB⊥因为AC OB O ⋂=，,AC OB ⊂平面ABC所以PO ⊥平面ABC因为PO ⊂平面PAC所以平面PAC ⊥平面ABC方法2：设AC 的中点为O ，连接BO ，PO .因为在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点所以PO AC ⊥，因为PA PB PC ==，PO PO PO ==，AO BO CO==所以POA ∆≌POB ∆≌POC∆所以90POA POB POC ∠=∠=∠=︒所以PO OB⊥因为AC OB O ⋂=，,AC OB ⊂平面ABC所以PO ⊥平面ABC因为PO ⊂平面PAC所以平面PAC ⊥平面ABC方法3：设AC 的中点为O ，连接PO ，因为在PAC ∆中，PA PC =，所以PO AC⊥设AB 的中点Q ，连接PQ ，OQ 及OB .因为在OAB ∆中，OA OB =，Q 为AB 的中点所以OQ AB ⊥.因为在PAB ∆中，PA PB =，Q 为AB 的中点所以PQ AB ⊥.因为PQ OQ Q ⋂=，,PQ OQ ⊂平面OPQ所以AB ⊥平面OPQ因为OP ⊂平面OPQ所以OP AB⊥因为AB AC A ⋂=，,AB AC ⊂平面ABC所以PO ⊥平面ABC因为PO ⊂平面PAC所以平面PAC ⊥平面ABC（Ⅱ）由PO ⊥平面ABC ，OB AC ⊥，如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0O ，()1,0,0C ，()0,1,0B ，()1,0,0A -，()0,0,1P 由OB ⊥平面APC ，故平面APC 的法向量为()0,1,0OB = 由()1,1,0BC =- ，()1,0,1PC =- 设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =，则由00n BC n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 得：00x y x z -=⎧⎨-=⎩令1x =，得1y =，1z =，即()1,1,1n =3cos ,331n OB n OB n OB⋅===⋅⋅ 由二面角A PC B --是锐二面角，所以二面角A PC B --的余弦值为33（Ⅲ）设BN BP μ= ，01μ≤≤，则()()()1,1,01,0,11,1,BM BC CM BC CP λλλλ=+=+=-+-=-- ()()()1,1,00,1,11,1,AN AB BN AB BP μμμμ=+=+=+-=- 令0BM AN ⋅= 得()()()11110λμλμ-⋅+-⋅-+⋅=即1111λμλλ==-++，μ是关于λ的单调递增函数，当12,33λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，12,45μ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以12,45BN BP ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x -y -2=0，抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）.（1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程；（2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q.①求证：线段PQ 的中点坐标为(2,)p p --；②求p 的取值范围.【答案】（1）；（2）①证明见解析;②.【解析】【分析】（1）先确定抛物线焦点，再将点代入直线方程；（2）①利用抛物线点之间关系进行化简，结合中点坐标公式求证;②利用直线与抛物线位置关系确定数量关系：2244(44)0p p p ∆=-->，解出p 的取值范围.【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(,0)2p 由点(,0)2p 在直线:20l x y --=上，得0202p --=，即 4.p =所以抛物线C 的方程为28.y x =（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，线段PQ 的中点00(,)M x y 因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ，于是直线PQ 的斜率为1-，则可设其方程为.y x b =-+①由22{y pxy x b ==-+消去x 得2220(*)y py pb +-=因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以12,y y ≠从而2(2)4(2)0p pb ∆=-->，化简得20p b +>.方程（*）的两根为1,2y p =-±120.2y y y p +==-因为00(,)M x y 在直线l 上，所以02.x p =-因此，线段PQ 的中点坐标为(2,).p p --②因为M(2,).p p --在直线y x b =-+上所以(2)b p p -=--+，即22.b p =-由①知20p b +>，于是2(22)0p p +->，所以4.3p <因此p 的取值范围为4(0,).3【考点】直线与抛物线位置关系【名师点睛】在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．19.一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子在滑槽AB 内作往复运动时，带动绕O 转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）221164x y +=；（Ⅱ）存在最小值8．【解析】【详解】（Ⅰ）设点，，依题意，2MD DN = ，且1DN ON == ，所以，且22002200(1,1.x t y x y ⎧-+=⎨+=⎩）即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -=由于当点D 不动时，点D 也不动，所以t 不恒等于0，于是02t x =，故00,42x y x y ==-，代入22001x y +=，可得221164x y +=，即所求的曲线C 的方程为221.164x y +=（Ⅱ）（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=．（2）当直线l 的斜率存在时，设直线，由22,{416,y kx m x y =++=消去y ，可得．因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+．①又由,{20,y kx m x y =+-=可得；同理可得．由原点O 到直线PQ的距离为d =P Q PQ x =-，可得．②将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--．当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128(8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--．因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1814OPQ S k ∆=-+≥-，当且仅当0k =时取等号．所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8．综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，的面积取得最小值8．考点：椭圆的标准方程、几何性质,直线与圆、椭圆的位置关系，最值．。
2025届北京一零一中高二数学第一学期期末复习检测模拟试题含解析
C. 15 3
D. 15 5
8．已知等差数列 an 的公差 d 0, a5a7 35, a4 a8 12 ，记该数列的前 n 项和为 Sn ，则 Sn 的最大值为（ ）
A.66
B.72
C.132
D.198
9．设 f (x) 是定义在 R 上的函数，其导函数为 f (x) ，满足 f (x) xf (x) 0 ，若 a 2 f (2),b f (4) ，则（ ）
DB,
，利用空间向量数量积为
0
求得 x 、 y 的值，即可得出点 M 的坐标.
【详解】设 M 点的坐标为 x, y,1， C0,0,0 , D 2, 0, 0 , B 0, 2,0 ， E 0,0,1 ，则 DE 2,0,1 ，
DB 2, 2,0 , CM x, y,1 ，
2
（1）求抛物线 C 的方程；
（2）过点 Q(0, 4)作直线交抛物线 C 于 A, B 两点，试问抛物线 C 上是否存在定点 N 使得直线 NA与 NB 的斜率互为
倒数？若存在求出点 N 的坐标，若不存在说明理由 18．（12 分）如图，直三棱柱 ABC A1B1C1 中，底面是边长为 2 的等边三角形，D 为棱 AC 中点.
（2）设过 F2 且不垂直于坐标轴的动直线 l 交轨迹 E 于 A、B 两点，问：线段 OF2 上是否存在一点 D，使得以 DA、DB
为邻边的平行四边形为菱形？若存在，请给出证明：若不存在，请说明理由
20．（12 分）已知 m 0， p ： x2 x 2 0 ， q ： x2 2x 1 m2≤0 .
（1）证明：AB1//平面 BC1D ；
（2）若面
B1BC1 与面
BC1D
的夹角余弦值为
北京市西城区2020_2021学年高二数学上学期期末考试试题含解析
【解析】
【分析】
取 中点 , 中点 ，连接 ， ， ，利用面面平行的判定定理证得平面 平面 ，结合已知条件可知 ，在等腰 中，可求得 长度的最值.
18。 已知圆 过原点 和点 ，圆心在直线 上．
（1）求圆 的方程；
(2）直线 经过点 ,且 被圆 截得的弦长为 ，求直线 的方程．
19. 如图，在正三棱柱 中， ， 分别是 的中点．
（1）求证： 平面 ；
(2）求证： 平பைடு நூலகம் ．
20。 如图，设点 在 轴上,且关于原点 对称．点 满足 ，且 的面积为 ．
【分析】
根据复数的运算法则,化简复数为 ,进而求得复数的模,得到答案.
【详解】由题意,复数 ，所以 。
故答案为: .
12。 若双曲线 的焦距为 ，则 ___； 的渐近线方程为___．
【答案】 （1）。 2 （2）。
【解析】
分析】
根据题意得 ， ,进而根据双曲线的性质求解即可.
【详解】解：根据题意得 ， ,所以 ， ，
北京市西城区2020—2021学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）
本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题卡上,在试卷上作答无效。
第一部分（选择题 共50分)
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1. 在复平面内，复数 对应 点的坐标是 ，则复数 （ )
（1）双曲线定义的集合语言： 是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验．
（2）利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时，弄清点在双曲线的哪支上．
8. 在正三棱锥 中， ， ，则直线 与平面 所成角的大小为（ ）
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北京一零一中2020-2021学年高二（上）数学期末考试
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项
1.将2封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数为
A.23A
B.2
3C C.23 D.32 2.已知盒子中装有3个红球，2个白球，5个黑球，它们的大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个球，且不放回，则甲在第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为 A.310 B.13 C.38 D.29
3.若直线240x y --=在x 轴和y 轴上的截距分别为a 和b ，则a b -的值为
A.6
B.2
C.-2
D.-6
4.若直线1y kx =+与圆221x y +=相交于,P Q 两点，且90POQ ∠=︒（其中O 为原点），则k 的值为
B. 1
C.
D.1±
5.将标号为12345，，，，的五个小球放入三个不同的盒子中，每个盒子至少放一个小球，则不同的放法总数为
A.150
B.300
C.60
D.90 6.48321x x x x ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭的展开式中的常数项为 A.32 B.34 C.36 D.38
7.过三点()()()1,3,4,2,1,7A B C -的圆交y 轴于,M N 两点，则MN =
A. B.8 C. D.10
8.双曲线22
142
x y C -=：的右焦点为F ，点P 在椭圆C 的一条渐近线上。
O 为坐标原点，则下列说法错误的是
A.B.双曲线22
142
y x -=与双曲线C 的渐近线相同
C.若PO PF ⊥，则PFO
D.PF 的最小值为2
9.某市新高考方案规定的选课要求为：学生先从物理、历史两科中任选一科，再从化学、生物、政治、地理四科中任选两科。
现有甲、乙两名学生按规定选科，则甲、乙恰有一门学科相同的选科方法种数为
A.24
B.30
C.48
D.60
10.已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>，点,M N F ，分别为椭圆C 的左顶点、上顶点，若90MFN NMF ∠=∠+︒，则椭圆C 的离心率是
A.2
B. 2
C. 2
D.2
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11.如果椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的离心率为，那么双曲线()22
22-100x y a b a b =>>，的离心率为 12.已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线2
4y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 距离之和的最小值是
‘13.如图所示，已知一个系统由甲、乙、丙、丁4个部件组成，当甲、乙都正常工作，或丙、丁都正常工作时，系统就能正常工作。
若每个部件的可靠性均为()01r r <<，而且甲、乙、丙、丁互不影响，则系统的可靠度为
14.甲、乙两人对同一目标各射击一次，甲命中的概率为23，乙命中的概率为45
，且他们的结果互不影响，若命中目标的人数为ξ，则()E ξ=
15.已知点()2,4A 在抛物线()2
20y px p =>上，直线l 交抛物线于,B C 两点，且直线AC 与AB 都是圆22
:430N x y x +-+=的切线，则,B C 两点纵坐标之和是 ，直线l 的
方程为
三、解答题共5小题，共45分。
解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16.（本小题10分）
从甲地到乙地要经过3个十字路口，设该路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为111234
，，
（1）记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望
（2）若有2辆车独立从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率
17.（本小题10分）
已知椭圆()2222:10x y C a b a b
+=>>，过点()0-1，，离心率2e = (1)求椭圆的标准方程
（2）过右焦点F 的直线l 与椭圆交于,A B 两点，点M 的坐标为()20，，
设直线AM 和BM 的斜率分别为AM k 和BM k ，求+AM BM k k 的值
18.（本小题10分）
某不透明纸箱中共有4个小球，其中1个白球，3个红球，它们除了颜色外均相同。
（1）一次从纸箱中摸出两个小球，求恰好摸出2个红球的概率
(2)每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取4次，记取到红球的次数为ξ，求ξ的分布列
（3）每次从纸箱中摸取一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取20次，取得几次红球的概率最大？（只需写出结论）
19.（本小题10分） 设椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>，12,F F 为左、右焦点，B 为短轴端点，长轴长为4，焦距为2c ，且12,b c BF F >的面积为
（1）求椭圆C 的方程
（2）设动直线:l y kx m =+与椭圆有且只有一个公共点M ，且与直线4x =相交于点N ，试探究：在坐标平面内是否存在定点P ，使得以MN 为直径的圆恒过定点P ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
20.（本小题5分）
（1）设i 为虚数单位，则
)7i 的实部为 （2）计算：()2243610092018101020202021202120212021202120211
1-3C 33...332C C C C +-+-+=。