椭圆的解题方法与技巧
优化椭圆运算的十种方法与技巧
优化椭圆运算的十种方法与技巧
1.用椭圆方程y^2=4ax或x^2=4ay来表示椭圆，这样可以减少计算量。
2.使用极坐标系来表示椭圆，这样可以使用极角来计算椭圆上的点。
3.使用参数方程来表示椭圆，即x=acos(t)，y=bsin(t)，这样可以使用参数t来计算椭圆上的点。
4.使用椭圆的对称性来减少计算量，比如对称轴、中心对称、旋转对称等。
5.利用椭圆的性质，比如对称轴的长度是相等的、离心率的平方等于1、椭圆的周长可以用椭圆积分公式计算等。
6.利用椭圆的性质，比如椭圆的纵横比、长短轴、极点等。
7.利用椭圆的对称性，比如将椭圆分成四个象限，然后只计算其中一个象限的点。
8.利用椭圆的性质，比如椭圆的长短轴、焦点、极角等。
9.利用椭圆的对称性，比如将椭圆分成四个象限，然后只计算其中两个象限的点。
10.使用计算机软件来进行椭圆运算，这样可以大大减少人工计算的错误率。
此外，还有一些常用的椭圆运算方法和技巧，如使用椭圆变换、使用椭圆矩阵运算、使用椭圆积分公式、使用椭圆曲线密码等。
这些方法和技巧可以帮助我们更快捷、更精确地进行椭圆运算。
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椭圆题型及方法总结
椭圆题型及方法总结
椭圆题型及方法总结：
1. 求椭圆的标准方程：通过给定的信息，如焦点、顶点、直径长度等，使用定义式以及椭圆的性质，将椭圆的方程转化为标准方程：$(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1$，其中$(h,k)$为椭圆的中心坐标。
2. 求椭圆的焦点坐标：已知椭圆的方程，可以通过标准方程得到椭圆的中心坐标$(h,k)$，然后使用椭圆的性质，计算出焦点的坐标。
3. 求椭圆的顶点坐标：已知椭圆的方程，可以通过标准方程得到椭圆的中心坐标$(h,k)$，然后使用椭圆的性质，计算出顶点的坐标。
4. 求椭圆的参数方程：已知椭圆的方程，可以通过给定的信息，如焦点、顶点、直径长度等，使用定义式以及椭圆的性质，将椭圆的方程转化为参数方程：$x = h + a \cos t$，$y = k + b \sin t$，其中$(h,k)$为椭圆的中心坐标，$a$和$b$分别为椭圆的半
长轴和半短轴长度。
5. 求椭圆的离心率：已知椭圆的方程，可以通过标准方程得到椭圆的半长轴长度$a$和半短轴长度$b$，然后使用离心率的定义式计算出椭圆的离心率：$e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$。
6. 求椭圆的面积和周长：已知椭圆的方程，可以通过给定的信
息，如半长轴长度$a$和半短轴长度$b$，使用椭圆的性质计算出椭圆的面积和周长。
以上是常见的椭圆题型及解题方法的总结，具体问题具体分析，有时需要结合其他几何知识来解决问题。
椭圆常见题型与典型方法归纳
椭圆常见题型与典型方法归纳椭圆是平面内与两个定点距离之和等于常数的点的轨迹。
这两个定点被称为椭圆的焦点，椭圆的焦距是两个焦点之间的距离。
另外，椭圆也可以被定义为平面内一个点到一个定直线距离与到一个定点距离之比等于常数的轨迹。
这个定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，这个常数是椭圆的离心率。
需要注意的是，当两个定点之间的距离等于常数时，椭圆的轨迹是线段，而当两个定点之间的距离小于常数时，椭圆的轨迹不存在。
椭圆的标准方程有两种形式，一种是焦点在x轴上的形式，另一种是焦点在y轴上的形式。
这些方程可以用来确定椭圆的形状和位置。
需要注意的是，椭圆的焦点位置可以通过方程中分母的大小来判断。
如果分母中x的系数大于y的系数，那么焦点在y轴上，反之则在x轴上。
如果椭圆过两个定点，但焦点位置不确定，可以设椭圆方程为mx+ny=1，其中m和n都是正数。
在解题时，需要牢记椭圆的几何性质。
例如，如果一个点到椭圆的左焦点的距离是到右焦点距离的两倍，那么这个点的横坐标可以通过解方程得到。
又例如，如果一个点在椭圆上，那么它到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
1.椭圆的基本性质椭圆方程为x2/a2 + y2/b2 = 1 (a>b>0)，其中a和b分别为长轴和短轴长。
椭圆的中心在原点(0,0)处，长轴与x轴平行。
椭圆的顶点分别为(a,0)。
(-a,0)。
(0,b)。
(0,-b)，离心率为e=c/a，其中c为焦点到中心的距离，焦距为2c。
椭圆的准线方程为y=±(b/a)x，通径方程为y=kx或x=h，其中k和h为常数。
椭圆关于x轴和y轴对称，且具有中心对称性。
椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于长轴长，即PF1 + PF2 = 2a。
椭圆上任意一点到两焦点的距离之差等于该点到准线的距离，即PF1 - PF2 = 2b。
椭圆上点的横坐标的范围为-x ≤ x ≤ x，纵坐标的范围为-y ≤ y ≤ y。
2.典型练1) 题目描述：给定椭圆方程x2/a2 + y2/b2 = 1，已知长轴位于x轴上，长轴长为8，短轴位于y轴上，短轴长为6，焦点在x轴上，焦点坐标为(5,0)和(-5,0)，求离心率e、左顶点坐标、下顶点坐标和椭圆上点的横坐标的范围、纵坐标的范围以及x+y的取值范围。
椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题总结
椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题等总结一、直线与椭圆问题的常规解题方法：1．设直线与方程；(提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y kx b =+与x my n =+的区别) 2．设交点坐标；(提醒：之所以要设是因为不去求出它，即“设而不求”) 3．联立方程组；4．消元韦达定理；(提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单) 5．根据条件重转化；常有以下类型：①“以弦AB 为直径的圆过点0”(提醒：需讨论k 是否存在)121212100OA OB k k OA OB x x y y ⇔⊥⇔=⇔⋅-⋅=⇔+=u u u r u u u r②“点在圆内、圆上、圆外问题”⇔“直角、锐角、钝角问题” ⇔ “向量的数量积大于、等于、小于0问题”12120x x y y ⇔+>； ③“等角、角平分、角互补问题”令斜率关系(120k k +=或12k k =)； ④“共线问题”(如：AQ QB λ=⇔u u u r u u u r数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法)； (如：A O B ，，三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等)； ⑤“点、线对称问题”⇔坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题”⇔转化为坐标与玄长公式问题(提醒：注意两个面积公式的合理选择)； 6．化简与计算； 7．细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0． 二、基本解题思想：1．“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明定值问题的方法：(1)常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关； (2)也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明． 4．处理定点问题的方法：(1)常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点； (2)也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，5．求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法(转化为二次函数的最值)、三角代换法(转化为三角函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；6．转化思想：有些题思路易成，但难以实施．这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；椭圆中的定值、定点问题．一、常见基本题型：在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的． (1)直线恒过定点问题1．已知点00()P x y ，是椭圆E ：2212x y +=上任意一点，直线l 的方程为0012x x y y +=，直线0l 过P 点与直线l 垂直，点(10)M -，关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒过一定点G ，求点G 的坐标． 解：直线0l 的方程为()()00002x y y y x x -=-，即000020y x x y x y --=设(10)M -，关于直线0l 的对称点N 的坐标为()N m n ，，则0000001212022x n m y x n m y x y ⎧=-⎪+⎪⎨⎪-⋅--=⎪⎩，，解得()3200020432000020023444244824x x x m x x x x x n y x ⎧+--=⎪-⎪⎨+--⎪=⎪-⎩ 所以直线PN 的斜率为()432000003200004288234n y x x x x k m x y x x -++--==---+， 从而直线PN 的方程为：()()432000000320004288234x x x x y y x x y x x ++---=---+即()32000432000023414288y x x x y x x x x --+=+++--从而直线PN 恒过定点(10)G ，．2．已知椭圆两焦点12F F ，在y 轴上，短轴长为22，离心率为2，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ⋅=u u u r u u u r，过P 作关于直线1F P 对称的两条直线PA PB ，分别交椭圆于A B ，两点． (1)求P 点坐标；(2)求证直线AB 的斜率为定值；解：(1)设椭圆方程为22221y x a b+=，由题意可得2222a b c ===，，， 所以椭圆的方程为22142y x +=， 则12(02)(02)F F -，，，，设()()000000P x y x y >>，， 则()()10020022PF x y PF x y =--=---u u u r u u u u r，，，，.所以()22120021PF PF x y ⋅=--=u u u r u u u r ，因为点()00P x y ，在曲线上，则2200124x y +=，所以220042y x -=，从而()22004212y y ---=，得0y =，则点P的坐标为(1．(2)由(1)知1PF //x 轴，直线PA PB ，斜率互为相反数，设PB 斜率为0)k k >(，则PB的直线方程为：(1)y k x -，由22(1)124y k x y x ⎧-⎪⎨+=⎪⎩，，得()22222))40k x k k x k ++-+--=，设()B B B x y ，，则1B x -同理可得A xA Bx x -， ()()28112A B A B k y y k x k x k-=----=+，所以直线AB的斜率A BAB A By y k x x -==-3．已知动直线(1)y k x =+与椭圆C ：221553y x +=相交于A B ，两点，已知点()703M -，， 求证：MA MB ⋅u u u r u u u r为定值．解：将(1)y k x =+代入221553y x +=中得()2222136350k x k x k +++-=， 所以()()4222364313548200k k k k ∆=-+-=+>，221212226353131k k x x x x k k -+=-=++，所以()()()()1122121277773333MA MB x y x y x x y y ⋅=+⋅+=+++u u u r u u u r，， ()()()()21212771133x x k x x =+++++()()()2221212749139k x x k x x k =++++++()()()22222223576491393131k k k k k k k -=+++-++++422231654949931k k k k ---=++=+．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：2213x y +=．如图所示，斜率为(0)k k >且不过原点的直线l 交椭圆C 于A B ，两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点(3)D m -，． (1)求22m k +的最小值；(2)若2OG OD OE =⋅，求证：直线l 过定点． 解：(1)由题意：设直线l ：(0)y kc n n =+≠，由2213y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消y 得：()222136330k x knx n +++-=， ()()()222222364133112310k n k n k n ∆=-+⨯-=+->，设()()1122A x y B x y ，，，，AB 的中点()00E x y ，， 则由韦达定理得：0122613t nx x k -+=+，即00022233131313kn kn n x y kx n k n k k k--==+=⨯+=+++，， 所以中点E 的坐标为()2231313km n k k -++，，因为O E D ，，三点在同一直线上，所以O OE D k k =，即133m k -=-，解得1m k =，所以222212m k k k+=+…，当且仅当1k =时取等号，即22m k +的最小值为2． (2)证明：由题意知：0n >，因为直线OD 的方程为3m y x =-，所以由22313m y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得交点G 的纵坐标为223G m y m =+， 又因为213E D n y y m k==+，，且2OG OD OE =⋅，所以222313m n m m k =⋅++， 又由(1)知：1m k=，，所以解得k n =，所以直线l 的方程为y kx k =+，即(1)y k x =+， 令1x =-得，0y =，与实数k 无关．椭圆中的取值范围问题一、常见基本题型：对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函敞的值域来解． (1)从直线和二次曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数的取值范围．5．已知直线l 与y 轴交于点(0)P m ，，与椭圆C ：2221x y +=交于相异两点A B，，且3AP PB =u u u r u u u r ， 求m 的取值范围．解：(1)当直线斜率不存在时：12m =±；(2)当直线斜率存在时：设l 与椭圆C 交点为()()1122A x y B x y ，，，， 所以2221y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，，得()2222210k x knx m +++-= 所以()()()22222(2)4214220()kn k m k m ∆=-+-=-+>*21212222122km m x x x x k k --+==++， 1233AP PB x x =∴-=u u u r u u u r Q ，，所以122212223x x x x x x +=-⎧⎨=-⎩，，消去2x 得()21212340x x x x ++=， 所以()22222134022km m k k --+=++， 整理得22224220k m m k +--=，214m =时，上式不成立；214m ≠时，2222241m k m -=-， 所以22222041m k m -=-…，所以112m -<-„或112m <„， 把2222241m k m -=-代入(*)得112m -<<-或112m <<， 所以112m -<<-或112m <<，综上m 的取值范围为112m -<-„或112m <„．(2)利用题中其他变量的范围，借助于方程产生参变量的函数表达式，确定参数的取值范围． 6．已知点(40)(10)M N ，，，，若动点P 满足6||MN MP PN ⋅=u u u u r u u u r u u u r． (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点N 的直线l 交轨迹C 于A B ，两点，若181275NA NB -⋅-u u u r u u u r 剟，求直线l 的斜率的取值范围．解：(1)设动点()P x y ，，则(4)(30)(1)MP x y MN PN x y =-=-=--u u u r u u u u r u u u r，，，，，．由已知得3(4)x --=223412x y +=，得22143y x +=．所以点P 的轨迹C 是椭圆，C 的方程为22143y x +=． (2)由题意知，直线l 的斜率必存在，不妨设过N 的直线l 的方程为(1)y k x =-， 设A B ，两点的坐标分别为()()1122A x y B x y ，，，． 由22(1)143y k x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去y 得()22224384120k x k x k +-+-=，因为N 在椭圆内，所以0∆>．所以2122212283441234k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，， 因为()()()()()212121211111NA NB x x y y k x x⋅=--+=+--u u u r u u u r()()2121211k x x x x =+-++⎡⎤⎣⎦()()22222229141283413434k k k k k k k -+--++=+=++，所以()229118127534k k -+--+剟，解得213k 剟．(3)利用基本不等式求参数的取值范围7．已知点Q 为椭圆E ：221182y x +=上的一动点，点A 的坐标为(31)，，求AP AQ ⋅u u u r u u u r 的取值范围． 解：(13)AP =u u u r，，设()(31)Q x y AQ x y =--u u u r ，，，， (3)3(1)36AP AQ x y x y ⋅=-+-=+-u u u r u u u r因为221182y x +=，即22(3)18x y +=， 而22(3)2|||3|x y x y +⋅…，所以18618xy -剟．而222(3)(3)6186x y x y xy xy +=++=+的取值范围是[036]，， 3x y +的取值范围是[66]-，， 所以36AP AQ x y ⋅=+-u u u r u u u r取值范围是[120]-，．8．已知椭圆的一个顶点为(01)A -，，焦点在x轴上．若右焦点到直线0x y -+=的距离为3． (1)求椭圆的方程．(2)设直线(0)y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点M N ，．当AM AN =时，求m 的取值范围． 解：(1)依题意可设椭圆方程为2221x y a+=，则右焦点)0F，3=，解得23a =，故所求椭圆的方程为2213x y +=．(2)设()()(),,,p p M M N N P x y M x y N x y ，，，P 为弦MN 的中点，由2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()()222316310k x mkx m +++-= 因为直线与椭圆相交，所以()()22222(6)43131031mk k m m k ∆=-+⨯->⇒<+，① 所以23231M NP x x mk x k +==-+，从而231p p m y kx m k =+=+， 所以21313P AP P y m k k x mk+++==-，又AM AN =，所以AP MN ⊥, 则23113m k mk k++-=-，即2231m k =+，②把②代入①得22m m <，解02m <<， 由②得22103m k -=>，解得12m >．综上求得m 的取值范围是122m <<．9．如图所示，已知圆C ：22(1)8x y ++=，定点(10)A ，，M 为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足20AM AP NP AM =⋅=u u u u r u u u r u u u r u u u u r，，点N 的轨迹为曲线E ． (1)求曲线E 的方程；(2)若过定点(02)F ，的直线交曲线E 于不同的两点G H ，(点G 在点F H ，之间)，且满足FG FH λ=u u u r u u u r，求λ的取值范围．解：(1)因为20AM AP NP AM =⋅=u u u u r u u u r u u u r u u u u r，． 所以NP 为AM 的垂直平分线，所以NA NM =， 又因为22CN NM +=，所以222CN AN +=>． 所以动点N 的轨迹是以点(10)(10)C A -，，，为焦点的椭圆 且椭圆长轴长为222a =，焦距21c =． 所以2211a c b ===，，． 所以曲线E 的方程为2212x y +=(2)当直线GH 斜率存在时，设直线GH 方程为2y kx =+．代入椭圆方程2212x y +=， 得()2214302k x kx +++=，由0∆>得232k >，设()()1122G x y H x y ，，，，则121222431122k x x x x k k -+==++，， 又因为FG FH λ=u u u r u u u r，所以()()112222x y x y λ-=-，，，所以12x x λ=，所以2122122(1)x x x x x x λλ+=+=，， 所以()22121221x x x x x λλ+==+，所以2222431122(1)k k k λλ-⎛⎫ ⎪+ ⎪+⎝⎭=+，整理得22(1)161312k λλ+=⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 因为232k >，所以2161643332k <<+，所以116423λλ<++<，解得133λ<<．又因为01λ<<，所以113λ<<．又当直线GH 斜率不存在，方程为11033x FG FH λ===u u u r u u u r ，，， 所以113λ<…，即所求λ的取值范围是)113⎡⎢⎣，． 10．已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)若过点(20)M ，的直线与椭圆C 相交于两点A B ，，设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=u u u r u u u r u u u r(O 为坐标原点)，当||PA PB -<u u u r u u u r时，求实数t 取值范围．解：(1)由题意知c e a ==，所以22222212c a b e a a -===， 即222a b =，所以2221a b ==，． 故椭圆C 的方程为2212x y +=．(2)由题意知直线AB 的斜率存在．设AB ：()2y k x =-，()()1122()x y B x A y P x y ，，，，，， 由22(2)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()2222128820k x k x k +-+-=， ()()42221644218202k k k k ∆=-+-><，，221212228821212k k x x x x k k -+=⋅=++，． 因为OA OB tOP +=u u u r u u u r u u u r ，所以()()212121228()12x x k x x y y t x y x t t k +++===+，，，，()()1212214412y y k y k x x k t t t k +-==+-=⎡⎤⎣⎦+， 因为点P 在椭圆上，所以()()()2222222228(4)221212k k tk t k-+=++，所以()2221612k t k =+．因为||PA PB -<u u u r u u u r12x -()()22121220149k x x x x ⎡⎤++-⋅<⎣⎦，所以()()4222226482201491212k k k k k ⎡⎤-⎢⎥+-⋅<⎢⎥++⎣⎦， 所以()()224114130k k -+>，所以214k >，所以21142k <<，因为()2221612k t k=+，所以222216881212k t k k==-++，所以2t -<<2t <<，所以实数t取值范围为()22-U ，．椭圆中的最值问题一、常见基本题型： (1)利用基本不等式求最值，11．已知椭圆两焦点12F F ，在y轴上，短轴长为，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ⋅=u u u r u u u r，过P 作关于直线1F P 对称的两条直线PA PB ，分别交椭圆于A B ，两点，求PAB ∆面积的最大值．解：设椭圆方程为22221y x a b+=，由题意可得2a b c ===，故椭圆方程为22142y x +=设AB 的直线方程：2y x m =+．由222124y x m y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，，得2242240x mx m ++-=，由()22(22)1640m m ∆=-->，得2222m -<<，P 到AB 的距离为3d =， 则()2111||432223PAB S AB d m ∆=⋅=-⋅⋅， ()()2222211882882m m m m -+=-+=„．当且仅当2(2222)m =±∈-，取等号，所以三角形PAB 面积的最大值为2． (2)利用函数求最值，12．如图，DP ⊥x 轴，点M 在DP 的延长线上，且2DM DP =．当点P 在圆221x y +=上运动时． (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过点(0)T t ，作圆221x y +=的切线l 交曲线C 于A B ，两点，求AOB ∆面积S 的最大值和相应的点T 的坐标．解：(1)设点M 的坐标为()x y ，，点P 的坐标为00()x y ，，则002x x y y ==，，所以002yx x y ==，，① 因为00()P x y ，在圆221x y +=上，所以22001x y +=② 将①代入②，得点M 的轨方程C 的方程2214y x +=． (2)由题意知，||1t …．当1t =时，切线l 的方程为1y =，点A B ，的坐标分别为()()3311-，，，，此时3AB =；当1t =-时，同理可得3AB =；当||1t >时，设切线l 的方程为y kx m k =+∈R ，， 由2214y kx t y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()2224240k x ktx t +++-=③设A B ，两点的坐标分别为()()1122x y x y ，，，，则由③得： 21212222444kt t x x x x k k -+=-=++，．又由l 与圆221x y +=1=，即221t k =+． 所以||AB ==因为||23||||ABt t ==+，且当t = 2AB =，所以AB 的最大值为2，依题意，圆心O 到直线AB 的距离为圆221x y +=的半径，所以AOB ∆面积1112S AB =⨯„， 当且仅当t =AOB∆面积S 的最大值为1，相应的T的坐标为(0-，或(0．13．已知椭圆G ：2214x y +=．过点(0)m ，作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A B ，两点．将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值．解：由题意知，||1m …．当1m =时，切线l 的方程为1x =，点A B ，的坐标分别为((11，，，此时AB= 当1m =-时，同理可得AB =当||1m >时，设切线l 的方程为()y k x m =-． 由22()14y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()22222148440k x k mx k m +-+-=． 设A B ，两点的坐标分别为()()1122x y x y ，，，， 又由l 与圆221x y +=1=，即2221m k k =+． 所以AB ===由于当1m =±时，AB ，23||||AB m m==+， 当且当m =时，2AB =．所以AB 的最大值为2．【练习题】1．已知A B C ，，是椭圆m ：22221(0)y x a b a b+=>>上的三点，其中点A 的坐标为(230)，，BC 过椭圆m 的中心，且0||2||AC BC BC AC ⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r ，． (1)求椭圆m 的方程；(2)过点(0 )M t ，的直线l (斜率存在时)与椭圆m 交于两点P Q ，，设D 为椭圆m 与y 轴负半轴的交点，且||||DP DQ =u u u r u u u r ，求实数t 的取值范围．2．已知圆M ：222()()x m y n r -+-=及定点(10)N ，，点P 是圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在MP上，且满足20NP NQ GQ NP =⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，． (1)若104m n r =-==，，，求点G 的轨迹C 的方程；(2)若动圆M 和(1)中所求轨迹C 相交于不同两点A B ，，是否存在一组正实数m n r ，，，使得直线MN 垂直平分线段AB ，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由．3．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线：y kx m =+与椭圆C 相交于A B ，两点(A B ，不是左右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．4．如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点1(2)M ，，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为(0)m m ≠，l交椭圆于A B ，两个不同点．(1)求椭圆的方程；(2)求m 的取值范围；(3)求证直线MA MB ，与x 轴始终围成一个等腰三角形．。
数学椭圆的解题技巧
数学椭圆的解题技巧数学椭圆的解题技巧数学的复习策略及其椭圆技巧对考生来说极其重要。
下面要为大家分享的就是数学椭圆的解题技巧，希望你会喜欢！一、设点或直线做题一般都需要设点的坐标或直线方程，其中点或直线的设法有很多种。
其中点可以设为等，如果是在椭圆上的点，还可以设为。
一般来说，如果题目中只涉及到唯一一个椭圆上的的动点，这个点可以设为。
还要注意的是，很多点的坐标都是设而不求的。
对于一条直线，如果过定点并且不与y轴平行，可以设点斜式，如果不与x轴平行，可以设，如果只是过定点，可以设参数方程，其中α是直线的倾斜角。
一般题目中涉及到唯一动直线时可以设直线的参数方程。
二、转化条件有的时候题目给的条件是不能直接用或直接用起来不方便的，这时候就需要将这些条件转化一下。
对于一道题来说这是至关重要的一步，如果转化得巧，可以极大地降低运算量。
比如点在圆上可以转化为向量点乘得零，三点共线可以转化成两个向量平行，某个角的角平分线是一条水平或竖直直线则这个角的两条边斜率和是零。
有的题目可能不需要转化直接带入条件解题即可，有的题目给的条件可能有多种转化方式，这时候最好先别急着做题，多想几种转化方法，估计一下哪种方法更简单。
三、代数运算转化完条件就剩算数了。
很多题目都要将直线与椭圆联立以便使用一元二次方程的韦达定理，但要注意并不是所有题目都是这样。
有的题目可能需要算弦长，可以用弦长公式，设参数方程时，弦长公式可以简化为解析几何中有时要求面积，如果O是坐标原点，椭圆上两点A、B坐标分别为和，AB与x轴交于D，则（d是点O到AB的距离;第三个公式是我自己推的，教材上没有，解答题慎用）。
解析几何中很多题都有动点或动直线。
如果题目只涉及到一个动点时，可以考虑用参数设点。
若是只涉及一个过定点的动直线，题目中又涉及到求长度面积之类的东西，这时设直线的参数方程会简单一些。
在解析几何中还有一种方法叫点差法，设椭圆上两个点的坐标，将两点在椭圆上的方程相减，整理即可得到这两点的中点的横纵坐标与这两点连线的斜率的关系式。
高中数学椭圆标准方程解题技巧
高中数学椭圆标准方程解题技巧椭圆是高中数学中的一个重要概念，涉及到椭圆的标准方程的解题技巧对于学生来说是必备的。
本文将介绍椭圆标准方程的解题方法，并通过具体的例子来说明考点和解题思路，帮助高中学生和他们的父母更好地掌握这一知识点。
一、椭圆标准方程的基本形式椭圆的标准方程一般形式为：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$和$b$分别代表椭圆的半长轴和半短轴的长度。
二、确定椭圆的中心和半长轴、半短轴对于给定的椭圆标准方程，首先需要确定椭圆的中心和半长轴、半短轴的长度。
通过观察方程可以得到以下信息：1. 中心：椭圆的中心为坐标原点$(0,0)$。
2. 半长轴和半短轴：椭圆的半长轴的长度为$a$，半短轴的长度为$b$。
三、确定椭圆的焦点和离心率椭圆的焦点和离心率是椭圆的重要属性，通过椭圆的标准方程可以计算得到。
1. 焦点：椭圆的焦点的坐标为$(\pm c, 0)$，其中$c=\sqrt{a^2-b^2}$。
2. 离心率：椭圆的离心率为$e=\frac{c}{a}$。
四、解题技巧举例下面通过具体的例子来说明椭圆标准方程的解题技巧。
例题1：已知椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$，求椭圆的焦点和离心率。
解析：根据椭圆的标准方程，可以得到$a=4$，$b=3$。
通过计算可以得到$c=\sqrt{a^2-b^2}=2$，$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$。
因此，椭圆的焦点为$(\pm 2, 0)$，离心率为$\frac{1}{2}$。
例题2：已知椭圆的焦点为$F_1(-3, 0)$，$F_2(3, 0)$，离心率为$\frac{1}{2}$，求椭圆的标准方程。
解析：根据椭圆的焦点和离心率的定义，可以得到$c=\frac{1}{2}a$，$c=3$。
解方程组可以得到$a=6$。
由于椭圆的中心为坐标原点$(0,0)$，因此椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{27} = 1$。
最全的分子做椭圆运动的解题方法和技巧
最全的分子做椭圆运动的解题方法和技巧分子在椭圆轨道上运动是物理学中的一个重要问题。
本文将介绍一些最全的解题方法和技巧，以帮助您更好地理解和解决相关问题。
1. 确定椭圆轨道的方程式首先，我们需要确定分子在椭圆轨道上的运动方程式。
对于一个具有长轴 a 和短轴 b 的椭圆，其方程可以表示为：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1其中，(x, y) 是分子在椭圆轨道上的某个点的坐标。
2. 确定分子在不同位置的速度和加速度为了解决分子在椭圆轨道上的运动问题，我们需要确定分子在不同位置的速度和加速度。
速度的大小可以通过以下公式计算：v = sqrt((2 * E) / m)其中，E 表示分子的总能量，m 表示分子的质量。
分子在椭圆轨道上的加速度可以通过以下公式计算：a = (v^2) / r其中，v 是速度，r 是分子到椭圆轨道中心的距离。
3. 理解分子的离心率和偏心距离离心率和偏心距离是描述椭圆轨道形状的两个重要参数。
离心率可以通过以下公式计算：e = sqrt(1 - (b^2 / a^2))其中，a 和 b 分别表示椭圆的长轴和短轴。
偏心距离可以通过以下公式计算：d = a * e4. 解决分子在椭圆轨道上的运动问题根据分子在椭圆轨道上的运动方程式和某个时刻的位置，我们可以通过以下步骤解决分子在椭圆轨道上的运动问题：- 确定分子在该位置的速度和加速度；- 根据速度和加速度，计算出分子在该位置的推力和力矩；- 使用牛顿第二定律和牛顿第三定律求解分子的加速度和角加速度；- 通过积分计算出分子在不同位置的坐标。
5. 详细案例分析为了更好地理解和应用上述方法和技巧，本文提供了详细的案例分析，包括具体的计算步骤和结果。
通过参考这些案例，您可以更好地解决分子在椭圆轨道上的运动问题。
总结起来，本文介绍了一些最全的解题方法和技巧，帮助您更好地理解和解决分子在椭圆轨道上的运动问题。
这些方法和技巧涵盖了椭圆轨道方程、速度和加速度计算、离心率和偏心距离的理解以及具体问题的解决步骤。
椭圆方程的几种常见求法[学习]
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椭圆方程的几种常见求法河南陈长松 对于求椭圆方程的问题，通常有以下常见方法： 一、定义法 例1 已知两圆C 1：，C 2：，动圆在圆C 1内部且和圆C 1 相内169)4(22=+-y x 9)4(22=++y x 切，和圆C 2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．分析：动圆满足的条件为：①与圆C 1相内切；②与圆C 2相外切．依据两圆相切的充要条件建立关系式．解：设动圆圆心Ｍ（，），半径为，如图所示，由题意动圆Ｍ内切于圆C 1，x y r ∴，圆Ｍ外切于圆C 2 ， ∴，r MC -=131r MC +=32 ∴，1621=+MC MC ∴ 动圆圆心Ｍ的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆， 且，82,162==c a ，481664222=-=-=c a b 故所求轨迹方程为：．1486422=+y x 评注：利用圆锥曲线的定义解题，是解决轨迹问题的基本方法之一．此题先根据平面几何知识，列出外切的条件，内切的条件，可发现利用动圆的半径过度，恰好符合椭圆的定义．从而转化问题形式，抓住本质，充分利用椭圆的定义是解题的关键．二、待定系数法 例２已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，求该椭圆)2,3(),1,6(21--P P 的方程．分析：已知两点，椭圆标准方程的形式不确定，我们可以设椭圆方程的一般形式：＝１（，进行求解，避免讨论。
22ny mx +)0,0>>n m 解：设所求的椭圆方程为＝１（．22ny mx +)0,0>>n m ∵椭圆经过两点，)2,3(),1,6(21--P P∴ 解得 ，故所求的椭圆标准方程为．⎩⎨⎧=+=+.123,16n m n m ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.31,91n m 13922=+y x 评注：求椭圆标准方程，可以根据焦点位置设出椭圆标准方程，用待定系数法求出的值：若焦b a ,点位置不确定，可利用椭圆一般形式简化解题过程．三、直接法例３ 设动直线垂直于轴，且交椭圆于Ａ、Ｂ两点，Ｐ是上线段l x 12422=+y x l AB 外一点，且满足，求点Ｐ的轨迹方程．1=∙PB PA 分析：如何利用点Ｐ的坐标与椭圆上Ａ，Ｂ两点坐标的关系，是求点Ｐ的轨迹的关键，因直线垂直l 于轴，所以Ｐ、Ａ、Ｂ三点的横坐标相同，由Ａ、Ｂ在椭圆上，所以Ａ、Ｂ两点的纵坐标互为相反数，x 因此，紧紧抓住等式即可求解．1=∙PB PA 解：设Ｐ（，），Ａ（，），Ｂ（，） ，x y A x A y B x B y 由题意：＝＝，＋＝０x A x B x A y B y ∴,，∵Ｐ在椭圆外，∴－与－同号，A y y PA -=B y y PB -=y A y y B y ∴=（－）（－）＝PB PA ∙y A y y B y 1)(2=++-B A B A y y y y y y ∵)41(2)41(2222x x y y y A A B A --=--=-= ，即为所求．141(222=--x y )22(13622<<-=+x y x 评注：求轨迹方程，首先要找出动点与已知点之间的关系，建立一个等式，用坐标代换．四、相关点法例４ 的底边BC ＝16，AC 和AB 两边上的中线长之和为30，求此三角形重心Ｇ和定点Ａ的ABC ∆轨迹方程．分析：由题意可知Ｇ到Ｂ、Ｃ两点的距离之和为定值，故可用定义法求解，Ａ点和Ｇ点的关系式好建立，故可用相关点法去求．解（１）以BC 边所在直线为轴，BC 边的中点为坐标原点建立直角坐标系，x 设Ｇ（，），由，知Ｇ点的轨迹是以Ｂ、Ｃ为焦点，x y 3032⨯=+GB GC 长轴长为20的椭圆且除去轴上的两顶点，方程为．x )0(13610022≠=+y y x （２）设Ａ（，），Ｇ（，则由（１）知Ｇ的轨迹方程是x y ),00y x )0(13610002020≠=+y y x ∵ Ｇ为的重心 ∴代入得：ABC ∆⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3300y y x x )0(132490022≠=+y y x 其轨迹是中心为原点，焦点在轴上的椭圆，除去长轴上的两个端点．x 评注：本题的两问是分别利用定义法和相关点法求解的，要注意各自的特点，另要注意轨迹与轨迹方程的不同．。
高中数学椭圆秒杀技巧
高中数学椭圆秒杀技巧
椭圆是平面几何中的重要概念，也是高中数学中常见的几何图形之一。
在学习
椭圆的过程中，很多同学可能会觉得难以掌握，但实际上只要掌握一些技巧，就能轻松秒杀椭圆相关问题。
本文将介绍几个高中数学中秒杀椭圆题目的技巧。
技巧一：理解椭圆的定义
在学习椭圆之前，首先要对椭圆的定义有一个清晰的认识。
椭圆是平面上到两
个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
这个定义看起来有点抽象，但理解了这个定义之后，我们就能更好地解决与椭圆相关的问题。
技巧二：熟练掌握椭圆的标准方程
椭圆的标准方程是一个常见的形式，即$\\frac{x^2}{a^2} + \\frac{y^2}{b^2} =
1$。
掌握这个标准方程可以帮助我们快速识别椭圆，并在解题过程中更加得心应手。
技巧三：利用对称性简化问题
椭圆具有很强的对称性，可以利用这一特点简化问题。
分析题目中给出的条件，找到椭圆的对称轴和对称中心，可以帮助我们更快地找到解题思路。
技巧四：化简方程，消减未知数
有些椭圆相关的问题可能会涉及复杂的方程式，我们可以通过一系列化简操作，将方程转化为更简单的形式。
在这个过程中，适当的代换和方程变换是非常有帮助的。
技巧五：灵活运用性质和定理
掌握椭圆的相关性质和定理是解题过程中的利器。
比如椭圆的离心率性质、焦
点定理等，都可以帮助我们更好地理解题目和解题。
通过掌握上述技巧，我们就能更好地应对高中数学中关于椭圆的问题，轻松秒
杀各种椭圆相关题目。
希望同学们能够在练习中不断提升解题能力，取得更好的成绩！。
九年级数学上册综合算式如何运用椭圆解题
九年级数学上册综合算式如何运用椭圆解题数学作为一门抽象而严谨的学科，对于学生而言常常是一个难以逾越的障碍。
然而，在九年级上册的数学课程中，我们将会接触到一个非常有趣和重要的概念——椭圆。
椭圆在解题中有着广泛的应用，本文将重点探讨九年级数学上册综合算式如何运用椭圆解题。
一、什么是椭圆？在我们探究如何运用椭圆解题之前，我们首先需要了解什么是椭圆。
椭圆是平面上所有到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个点称为焦点，而连接这两个焦点的线段称为主轴。
椭圆还具有一个重要的性质，即离焦点越远的点到两个焦点的距离之差越大。
二、利用椭圆解题的基本思想二维几何形状的椭圆在解题中有许多应用。
在九年级数学上册的综合算式中，我们需要利用椭圆的性质进行推理和计算。
下面将介绍一些常见的椭圆解题方法。
1. 椭圆的参数方程解题法椭圆的参数方程可以表示为：x = a * cosθy = b * sinθ其中a和b分别代表椭圆主轴的长度。
我们可以利用椭圆的参数方程求解各种问题。
例如，已知一个椭圆的参数方程为x = 3 * cosθ，y = 2 * sinθ，我们可以通过代入θ的值来计算椭圆上各个点的坐标。
2. 椭圆的离心率解题法每个椭圆都有一个离心率，它是一个衡量椭圆形状的重要指标。
离心率定义为焦点间距离与主轴长度的比值。
在解题中，我们可以利用椭圆的离心率解决各种几何问题。
例如，已知椭圆的离心率为0.6，主轴长度为8，求焦点间距离。
通过利用离心率的定义，我们可以得出焦点间距离为0.6 * 8 = 4.8。
三、椭圆解题实例为了更好地理解椭圆在解题中的应用，我们将给出一个实际的例子。
例题：已知一个椭圆，其焦点分别为F1(-4, 0)和F2(4, 0)，离心率为0.6。
求椭圆的参数方程，并计算其上某一点的坐标。
解析：首先，根据椭圆的离心率和焦点的位置，我们可以判断椭圆的主轴长度为10。
然后，根据椭圆定义的参数方程，我们可以得到椭圆的参数方程为x = 5 * cosθ，y = 3 * sinθ。
高考数学椭圆解题方法总结
高考数学椭圆解题方法总结一、设点或直线做题一般都需要设点的坐标或直线方程，其中点或直线的设法有很多种。
其中点可以设为,等，如果是在椭圆上的点，还可以设为。
一般来说，如果题目中只涉及到唯一一个椭圆上的的动点，这个点可以设为。
还要注意的是，很多点的坐标都是设而不求的。
对于一条直线，如果过定点并且不与y轴平行，可以设点斜式,如果不与x轴平行，可以设，如果只是过定点，可以设参数方程，其中α是直线的倾斜角。
一般题目中涉及到唯一动直线时可以设直线的参数方程。
二、转化条件有的时候题目给的条件是不能直接用或直接用起来不方便的，这时候就需要将这些条件转化一下。
对于一道题来说这是至关重要的一步，如果转化得巧，可以极大地降低运算量。
比如点在圆上可以转化为向量点乘得零，三点共线可以转化成两个向量平行，某个角的角平分线是一条水平或竖直直线则这个角的两条边斜率和是零。
有的题目可能不需要转化直接带入条件解题即可，有的题目给的条件可能有多种转化方式，这时候最好先别急着做题，多想几种转化方法，估计一下哪种方法更简单。
三、代数运算转化完条件就剩算数了。
很多题目都要将直线与椭圆联立以便使用一元二次方程的韦达定理，但要注意并不是所有题目都是这样。
有的题目可能需要算弦长，可以用弦长公式，设参数方程时，弦长公式可以简化为解析几何中有时要求面积，如果O是坐标原点，椭圆上两点A、B坐标分别为和，AB与x轴交于D，则(d是点O到AB的距离；第三个公式是我自己推的，教材上没有，解答题慎用)。
解析几何中很多题都有动点或动直线。
如果题目只涉及到一个动点时，可以考虑用参数设点。
若是只涉及一个过定点的动直线，题目中又涉及到求长度面积之类的东西，这时设直线的参数方程会简单一些。
在解析几何中还有一种方法叫点差法，设椭圆上两个点的坐标，将两点在椭圆上的方程相减，整理即可得到这两点的中点的横纵坐标与这两点连线的斜率的关系式。
四、能力要求做解析几何题，首先对人的耐心与信心是一种考验。
椭圆的解题方法和技巧
椭圆的解题方法和技巧省市褚兰中学海平一、椭圆的定义的应用椭圆的定义是用椭圆上的点到焦点的距离来描述的，因此在解题中凡涉及曲线上的点到焦点的距离时，应先想到用定义求解，常会有事半功倍之效。
例1 的三边、、成等差数列且满足，、两点的坐标分别是、。
求顶点的轨迹。
分析：数列与解析几何相联系，往往构成综合性较大的题目，历来是高考考查的热点之一。
解析：∵、、成等差数列，∴，即，又，∴。
根据椭圆的定义，易得点的轨迹方程为。
又∵，∴，即，∴，∴。
故点的轨迹是椭圆的一半，方程为（）。
又当时，点、、在同一条直线上，不能构成三角形，∴。
∴点的轨迹方程为。
评注：该例是先由条件找到动点所满足的几何关系，寻找出满足椭圆定义的条件，然后确定椭圆的方程。
解题时，易忽略这一条件，因此易漏掉这一限制；由于、、三点构成三角形，故应剔除使、、共线的点。
例2 、椭圆上一点到两焦点、的距离之差为2，试判断的形状。
分析：由椭圆定义知，的和为定值，且二者之差为题设条件，故可求出的两边。
解析：由，解得。
又，故满足。
∴为直角三角形。
评注：由椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称作焦点三角形。
利用焦点三角形能有意识地考查定义、三角形正（余）弦定理、角和定理及面积公式能否灵活运用。
二、利用待定系数法确定椭圆的标准方程。
例3、已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1(6,1)P ,2(3,2)P ,求椭圆的方程.【解析】设椭圆方程为22mx ny 1+=（m ＞0,n ＞0且m≠n）. ∵椭圆经过1P ，2P 点，∴1P ，2P 点坐标适合椭圆方程， 则①6m+n=1，② 3m+2n=1，①②两式联立，解得m= 19, n= 13.∴所求椭圆方程为22x y 193+=评注：运用待定系数法求椭圆标准方程,即设法建立关于a ，b 的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2+ny2=1（m ＞0,n ＞0,m≠n），由题目所给条件求出m ，n 即可. 三、 利用向量解决椭圆问题几何中突出向量的工具作用成为高考命题的新亮点，向量本身具有“数”与“形”的双重身份，常把向量的代数式转化为坐标表示或利用其几何关系求解．()()()22410,14111()()22212||y x M l A B O P OP OA OB N l M P NP +==+例、最值问题设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于、两点，是坐标原点，点满足，点的坐标为，．当绕点旋转时，求：动点的轨迹方程；的最大值与最小值．()()112222221221221212220,1 1.()()1(4)2301424.8414()()()212244l M k l y kx A x y B x y y kx k x kx y x k x x k y y k x x y y k OP OA OB k k =+=+⎧⎪++-=⎨+=⎪⎩⎧+=-⎪⎪+⎨⎪+=⎪+⎩++-=+==++直线过点，当斜率存在时，设其斜率为，则的方程为记，，，，由，得，所以解，：，析则．()()222222222()40.0,0111.16441117||()()3(40.1||6611||.4).2261242P x P x y k x y y AB P x x NP x y y y x NP x x NP +-=≤-≤≤=-+-=-+-=++=-=点的轨迹方程为当时，取得设点的坐标为，，则，消去得当斜率不存在时，的中点为原点，也满足上述方程．所以由点的轨迹方程知，即所以故当时，取得最小值为评注：由向量作为载体的解析几何问题一要利用向量的几何意义，二要熟悉向量的坐标运算．而与椭圆有关的求最值问题则常与求函数的值域相联系． 例5、参数围问题()()()(01)0,1||()12||G ABC A B x M MA MC GM AB R C k l C P Q AP AQ k λλ∆-==∈=已知点是的重心，，，，在轴上有一点，满足，．求点的轨迹方程；若斜率为的直线与点的轨迹交于不同的两点、，且满足，试求的取值()222()()33()(0)3||1(0)3131(0)x yC x y G ABC G GM AB R GM AB xM x M MA MC y x x C y x λλ∆=∈==+=≠+=≠设，，为的重心，则，．因为，所以，而点在轴上，则，．，得整理得．所点的轨迹方析：程为以解()()()222222222211220||.013(13)63(1)0*(6)4(13)3(1)0130**()()2k l C P Q AP AQ k l y kx m x y k x kmx m l km k m k m P x y Q x y ==≠=++=+++-=∆=-+⋅->+->①当时，与椭圆有两个不同的交点、，由椭圆的对称性知②当时，可设的方程为，代入，整理得，，因为直线与椭圆交于不同的两点，所以，即，设，，，，1122212122212000002222()()63(1)1313()231313||11313-13AN P x y Q x y km m x x x x k kx xPQ N x y x km m y kx m k k AP AQ AN PQ mk k k k km k -+=-=+++==-=+=++=⊥++⋅=⋅=-+设，，，，则，，则中点，的坐标为，，又，所以，所以，()()()()2213**121,00,1,11k m k k k -+=<∈-得，代入得，所以．的取值范围得，是综合①②．． 评注：解决参数的取值围问题常用的方法有两种：①不等式(组)求解法：根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等式(组)得出参数的取值围；②函数值域求解法：把所讨论的参数表示为有关某个变量的函数，通过讨论函数的值域求参数的变化围．。
高中数学解椭圆方程的常见方法和注意事项
高中数学解椭圆方程的常见方法和注意事项椭圆方程是高中数学中的重要内容，解椭圆方程需要掌握一些常见的方法和注意事项。
本文将介绍几种常见的解椭圆方程的方法，并给出相应的例题进行说明。
一、配方法解椭圆方程配方法是解椭圆方程的一种常用方法，它的基本思想是通过变量代换将椭圆方程转化为标准形式，从而求解出方程的解。
例题一：解方程$x^2-3xy+2y^2=7$解法：首先，我们将方程进行配方，即将$x^2-3xy+2y^2$转化为$(x-y)(x-2y)$的形式。
因此，原方程可写为$(x-y)(x-2y)=7$。
接下来，我们可以尝试令$u=x-y$和$v=x-2y$，则方程可以进一步转化为$uv=7$。
这样，我们就将原方程转化为了一个更简单的形式，可以通过求解$u$和$v$的值来得到方程的解。
假设$u=1$，则$v=7$；假设$u=7$，则$v=1$。
因此，原方程的解为$(x-y,x-2y)=(1,7)$和$(7,1)$。
二、直接求解椭圆方程直接求解椭圆方程是一种简单直接的方法，需要将方程转化为标准形式，然后根据标准形式进行求解。
例题二：解方程$4x^2+9y^2-24x+36y=0$解法：首先，我们将方程进行配方，即将$4x^2-24x$转化为$4(x^2-6x)$，将$9y^2+36y$转化为$9(y^2+4y)$。
然后，我们再将方程进行分组，即$4(x^2-6x)+9(y^2+4y)=0$。
接下来，我们可以将$x^2-6x$转化为$(x-3)^2-9$，将$y^2+4y$转化为$(y+2)^2-4$。
将这些转化代入方程，得到$(x-3)^2-9+9(y+2)^2-36=0$。
整理后，得到$(x-3)^2+9(y+2)^2=45$。
这是一个标准的椭圆方程，可以根据标准形式求解。
通过对方程进行分析，我们可以得到椭圆的中心坐标为$(3,-2)$，长轴长度为$\sqrt{45}$，短轴长度为$\sqrt{5}$。
高中椭圆知识点总结
高中椭圆知识点总结椭圆是一个数学的重要考点，但要考的知识点并不是十分的多，下面高中椭圆知识点总结是小编为大家带来的，希望对大家有所帮助。
高中椭圆知识点总结椭圆知识点1.利用待定系数法求标准方程：(1)求椭圆标准方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法(先定性、后定型、再定参)。
椭圆的标准方程有两种形式，所谓“标准”，就是椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦点F1、F2的位置决定椭圆标准方程的类型，是椭圆的定位条件;参数a、b 决定椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件。
对于方程x^2/m+y^2/n=1 ，m>0,n>0若m>n ，则椭圆的焦点在x轴上;若m(2)当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为x^2/m+y^2/n=1 ，m>0,n>0 ，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设Ax^2+By^2=1(A>0,B>0) ，这种形式在解题中更简便。
2.椭圆定义的应用：平面内一动点与两个定点F1 、F2 的距离之和等于常数2a ，当2a >|F1F2 |时，动点的轨迹是椭圆;当 2a=|F1F2 |时，动点的轨迹是线段F1F2 ;当 2a<|F1F2 |时，轨迹为存在。
椭圆的几何性质：(1)设椭圆的方程x^2/a^2+y^2/b^2=1 上任意一点为P ，则OP^2=x^2+y^2 ，当x=-a,a时有最大值，这时P在长轴端点A1或A2处。
(2)椭圆上任意一点P 与两焦点F1F2 ，构成三角形称之为焦点三角形，周长为2a+2c 。
(3)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形的边长，有a^2=b^2+c^2 。
直线与椭圆的相交问题在解决有关椭圆的问题时，要先画出图形，解题时重视方程的几何意义和图形的辅助作用，将对几何图形的研究转化为对代数式的研究，同时又要理解代数问题的几何意义。
数形结合的思想方法是解析几何中基本的思想方法。
高中数学必修2椭圆常见题型与典型方法归纳
椭圆常见题型与典型方法归纳考点一 椭圆的定义椭圆的第一定义：我们把平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数 1.22(2)a a F F >的点的轨迹叫做椭圆.这两定点12,F F 叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距.椭圆的第二定义：我们把平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=ac(0<e<1)的动点M 的轨迹叫做椭圆.这个定点是椭圆的焦点，这条定直线叫做椭圆的准线，这个常数e 是椭圆的离心率.注意：当平面内与两个定点12,F F 距离的和等于常数 1.22(2)a a F F =的点的轨迹是线段12FF ; 当平面内与两个定点12,F F 距离的和等于常数 1.22(2)a a F F <的点的轨迹不存在. 例 动点P 到两个定点1F （- 4，0）、2F （4，0）的距离之和为8，则P 点的轨迹为 （ ） A 、椭圆 B 、线段12,F F C 、直线12,F F D 、不能确定考点二 椭圆的标准方程一 标准方程1焦点在x 轴上 标准方程是：22221x y a b +=（其中222,0).b a c a b =->>焦点的坐标分别为(,0),(,0)c c -2焦点在y 轴上 标准方程是：22221y x a b +=（其中222,0).b a c a b =->>焦点的坐标分别为(0,),(0,)c c -3焦点位置判断 哪项分母大焦点就在相应的轴上 如 求22179x y +=的焦点坐标 4 椭圆过两定点，焦点位置不确定时可设椭圆方程为221mx ny +=（其中0,0m n >>）例 已知椭圆过两点1),(2)A B -，求椭圆标准方程5 与12222=+b y a x （a ＞b ＞0）共焦点的椭圆为12222=+++kb y k a x二 重难点问题探析: 1.要有用定义的意识例 已知12,F F 为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点若2212F A F B += 则AB =________。
五种椭圆解题方法高考数学一轮复习(新高考专用解析版)
五种椭圆解题方法题型一：利用椭圆定义解决三角形周长或边长问题一、单选题1．（2022·湖北·模拟预测）椭圆：22221(0)x y a b a b +=>>有一特殊性质，从一个焦点射出的光线到达椭圆上的一点P 反射后，经过另一个焦点.已知椭圆的焦距为2，且124PF PF +=，当121sin 2F PF ∠=时，椭圆的中心O 到与椭圆切于点P 的切线的距离为：（ ）A ．1 BC D 【答案】C【分析】设过P 点的切线为l ，分别做121、、⊥⊥⊥F M l F N O O l l 于1、、M N O 点，做PH l ⊥交x 轴于H 点，设1α∠=MF P ，入射角和反射角相等得122α∠∠=∠==F P F PH HP F N ， 利用中位线可得1=OO cos a α，再根据121sin 2F PF ∠=，可得答案， 【详解】设过P 点的切线为l ，分别做121、、⊥⊥⊥F M l F N O O l l 于1、、M N O 点， 做PH l ⊥交x 轴于H 点，所得1OO 是12、F M F N 的中位线，设1α∠=MF P ，入射角和反射角相等，则122α∠∠=∠==F P F PH HP F N ， 则12121cos cos 22αα++==F M F N F P F P OO 12cos cos 2αα+==F P F Pa ， 因为2,1a c ==，当P 为上顶点时，12F PF ∠为60， 因为，121sin 2F PF ∠=，所以1230F PF ∠=， 即230α，15α=，()6cos cos15cos 45302α==-=⨯=a a a 故选：C.2．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（文））已知点P 为椭圆C ：22195x y +=上一点，点1F ，2F 分别为椭圆C 的左､右焦点，若122PF PF =，则12PF F △的内切圆半径为（ ）A 15B 15C 215D 15【答案】B【分析】首先求1PF 和2PF 的值，再求12PF F △的面积，再利用三角形内切圆的半径表示面积，即可求解.【详解】因为1226PF PF a +==，且122PF PF =，所以14PF =，22PF =，2954c =-=，1224F F c ==，则等腰三角形12PFF △底边上的高224115h - 所以121215152PF F S=⨯=设12PF F △的内切圆半径为r ，则()121211101522PF PF F F r r ++⨯=⨯⨯= 所以15r =故选：B 二、多选题3．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b+=>>的焦点分别为1F ，2F ，焦距为2c ，过2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点.223AF BF =，146AB BF ==，若1ABF 的周长为20，则经过点5319()的直线（ ） A ．与椭圆C 可能相交 B ．与椭圆C 可能相切 C ．与椭圆C 可能相离 D ．与椭圆C 不可能相切【答案】AB【分析】利用给定条件，结合椭圆定义求出椭圆方程，再判断点与椭圆的位置关系作答.【详解】由椭圆的定义知122BF BF a +=，122AF AF a +=，设2BF m =，则2233AF BF m ==，则12BF a m =-，123AF a m =-，而1AB BF =，即有42m a m =-，解得52a m =， 又1ABF 的周长为20，则有11||||||420AB AF BF a ++==，解得5a =，2m =，因为1AB BF ==，即83=，解得c 22219b a c =-=，椭圆C 的方程为2212519x y +=，显然222212519+=，即点在椭圆上，所以经过点的直线与椭圆C 相交或相切. 故选：AB4．（2022·湖北·模拟预测）已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点1F ，2F 在y 轴上，短轴长等于1F 作y 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，则下列说法正确的是（ ）A ．椭圆C 的方程为22132y x +=B ．椭圆C 的方程为22132x y +=C ．PQ =D ．2PF Q △的周长为【答案】AC【分析】解方程组求出,a b 即可选项AB 的真假，再利用通径公式判断选项C 的真假，再利用椭圆的定义判断选项D 的真假.【详解】解：由题意得：2b =b =222113b e a =-=，故23a =，因为焦点1F ，2F 在y 轴上，所以椭圆C 的方程为22132y x+=，所以选项A 正确，选项B 错误；由通径长可得，22b PQ a ==，所以选项C 正确；2PF Q △的周长为4a =，所以选项D 错误.故选：AC ．5．（2022·山东菏泽·二模）已知椭圆22:12+=xE y的左右焦点分别为1F，2F，直线(x m m=<<与椭圆E交于A，B两点，C，D分别为椭圆的左右顶点，则下列命题正确的有（）A．若直线CA的斜率为1k，BD的斜率2k，则1212k k=-B．存在唯一的实数m使得12AF F△为等腰直角三角形C．12AF AF⋅取值范围为()1,1-D．1ABF周长的最大值为【答案】BD【分析】A选项，求出A，B两点坐标，表达出1212k k=；B选项，验证出1F，2F是直角顶点时，不满足等腰性，故不成立，当A是直角顶点时满足题意，得出结论；C选项，设出A m⎛⎝，求出(]2120,12mAF AF⋅=∈；D选项，作出辅助线，利用椭圆定义得到直线(x m m=<经过焦点2F时，此时1ABF的周长最大.【详解】将x m=代入椭圆方程，求出y=()),C D，则212212122mk km⎛⎛⎫--⎪⎝⎭===-，A错误；由题意得：()()121,0,1,0F F-，当1m=±时，y=121AF F F=≠，所以当1F，2F是直角顶点时，不满足等腰性，故不成立，当点A是直角顶点时，由对称性可知：此时A在上顶点或下顶点，由于1b c==，故满足题意，所以存在唯一的实数m使得12AF F△为等腰直角三角形，B正确；不妨设A m⎛⎝，则222121122m mAF AF m⋅=-+-=，因为m(]2120,12mAF AF⋅=∈，C错误；如图，当直线(x m m=<<经过焦点2F时，此时1ABF的周长最大，等于1212442AF AF BF BF a +++==4a 小，例如当直线(22x m m =-<与椭圆相交于,A B ''，与x 轴交于C 点时， 连接2A F '，由椭圆定义可知：122A F A F a ''+=，显然2A F A C '>'， 同理可知：1212442A F A F B F B F a +++<''='' 故1ABF 周长的最大值为2D 正确 故选：BD6．（2022·山东德州·高三期末）已知椭圆()2221024x y b b+=<<的左､右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若22AF BF +的最大值为5，则下列说法正确的是（ ）A 3B ．当22AF BF +最大时，22AF BF =C ．椭圆离心率为12 D ．2ABF 面积最大值为3【答案】BC【分析】根据椭圆的定义得到2222||488||AF BF AB a AF BF AB ++==⇒+=-，进而判断当AB x ⊥轴时，||AB 最小，此时8||AB -最大，进而求出b ,c ,即可判断A,B,C.设出直线AB 并代入椭圆方程并化简，进而根据根与系数的关系求出三角形的面积，然后求出其最大值，最后判断D.【详解】由题意：2a =，根据椭圆的定义可知，2222||488||AF BF AB a AF BF AB ++==⇒+=-，则8||AB -的最大值为5，根据椭圆的性质可知：当AB x ⊥轴时，||AB 最小，此时8||AB -最大，如图：将x c =-代入椭圆方程得：2222142c y by b+=⇒=±，则2||33,1AB b b c ==⇒==.所以短轴长为23A 错误；此时22AF BF =，B 正确；12c e a ==，C 正确； 对D ，设()()1122,,,A x y B x y ，:1AB l x ty =-，代入椭圆方程得：()2222133911043424ty y t y ty -⎛⎫+=⇒+--= ⎪⎝⎭，则1221223231494314t y y t y y t ⎧⎪+=⎪⎪+⎪⎨⎪-⎪=⎪+⎪⎩， 所以()22212121222239312||4333111444t t y y y y y y t t t ⎛⎫⎪+-+-+=⎪ ⎪+++⎝⎭21231211,||311344u u t y y u u u=+≥-==++，于是21212111212||||2112233ABF F F y y u uSu u =⨯⨯-=⨯⨯=++，由对勾函数的图象和性质可知：函数13y u u=+在[1,)+∞上是增函数，则函数1213y u u=+在[1,)+∞上是减函数.于是，当u =1，即t =0时，2ABF 面积最大值为3.故D 错误. 故选：BC.【点睛】本题答案D 的判断较为复杂，在求三角形面积时，注意要选线段12F F 作为底边将原三角形分为两个三角形，进而得到212121||||2ABF F F y Sy =⨯⨯-；在处理122||14y y t -=+. 三、填空题7．（2022·广东佛山·三模）已知椭圆22:12516x y C +=，1F 、2F 为C 的左、右焦点，P 是椭圆上的动点，则12F PF △内切圆半径的最大值为________．【答案】32【分析】根据椭圆定义可得12121222F PF L PF PF F F a c =++=+△，结合内切圆半径12122F PF F PF S r L △△=，显然当P 为短轴顶点时12F PF S最大，即12F PF △内切圆半径的最大，此时12122F PF S b c bc =⨯⨯=△，代入求解．【详解】∵22:12516x y C +=，则5,4,3a b c ===∴12F PF △的周长1212122216F PF L PF PF F F a c =++=+=△∵12F PF △内切圆半径12122F PF F PF S r L △△=，则12F PF △内切圆半径的最大即为12F PF S最大显然当P 为短轴顶点时12F PF S 最大，此时1212122F PF S b c bc =⨯⨯==△则1212232F PF F PF S r L =△△=故答案为：32．8．（2022·陕西·长安一中三模（理））已知椭圆C :22143x y +=的焦点为1F ，2F ，第一象限点P 在C 上，且1294PF PF ⋅=，则12PF F △的内切圆半径为_________. 【答案】12【分析】由题意列方程组解出P 点坐标，由面积与周长关系求内切圆半径【详解】由已知条件得24a =，23b =，2221c a b =-=，则1F （－1，0），2F （1，0）. 设点P 的坐标为（p x ，p y ），则()11p p PF x y =---，()2,1p p PF x y =--2212914p p PF PF x y ⋅=+-=，即22134p p x y +=①，∵第一象限点P 在C 上，∴则22143p px y +=，即22443PPy x =-②， 联立解得32p y =由椭圆的定义得1224PF PF a +== 设12PF F △的内切圆半径为r ，则()121212132PF F S r PF PF F F r =++= 又∵1213222pF F p S c y ∆=⋅⋅=， ∴332r =，即12r =.故答案为：12 四、解答题9．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，1F ，2F 为其左、右焦点，左、右顶点分别为A ，B ，过1F 且斜率为k 的直线l 交椭圆E 于M ，N 两点（异于A ，B 两点），且2MNF 的周长为8． (1)求椭圆C 的方程；(2)若P 为椭圆上一点，O 为坐标原点，OP MN ⊥，求MNOP的取值范围．【答案】(1)22143x y +=；(2)32⎛ ⎝⎭. 【分析】（1）根据离心率以及焦点三角形的边长几何特征，联立方程求,,a b c ，进而求出椭圆的标准方程；（2）设出直线l 的方程，利用弦长公式求出MN ，再利用两直线垂直斜率乘积为1-，得出直线OP ，求出OP ，进而得到MNOP的函数表达式，求其取值范围即可. (1)依题意知12e =，即2a c ＝，又2MNF 的周长为8，即2,1a c ＝＝，b ∴= 因此椭圆的方程为22143x y +=．(2)当0k =时，点,M N 为点,A B ，不符合题意，舍去； 设直线l 的方程为()1y k x =+，且0k ≠，()()1122,,,M x y N x y ，联立()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 可得()22223484120k x k x k +++-=，则2122834k x x k +=-+，212241234k x x k -=+，所以()212212134k MN x k +=-=+． 设直线OP 的方程为1=-y x k，联立221431x y y xk ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩不妨设P ⎛⎝，所以OP = 故MN OP =243t k =+，()3,t ∈+∞，则MN OP=令()27103f m m m =++，110,3m t ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，()f m 开口向上，对称轴10357,m ⎛⎫⎪⎝-∉⎭=()f m ∴在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()643,9f m ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭∴32MN OP⎛=⎝⎭． 【点睛】关键点睛：（1）焦点三角形的周长为()2a c +，本题三角形周长可转化成除去2c 边的两个焦点三角形的其余边长之和； （2）设出直线l 的方程时应注意0k ≠； （3）韦达定理与弦长公式要熟练掌握；（4）两直线垂直斜率乘积为1-，几何关系应牢记；（5）表示出MNOP后，换元法求函数值域是常用方法，应注意新元的取值范围； 10．（2022·福建南平·三模）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，1F ，2F 分别为椭圆C 的左､右焦点，焦距为4.过右焦点2F 且与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，已知1△MNF的周长为M 关于x 轴的对称点为P ，直线PN 交x 轴于点Q . (1)求椭圆C 的方程；(2)求四边形1MF NQ 面积的最大值.【答案】(1)2215x y +=；【分析】（1）由1△MNF 的周长求出a ，再由焦距求得c ，进而求出b ，即得椭圆C 的方程；（2）设出直线l 的方程联立椭圆方程求得1212,y y y y +，表示出直线PN 的方程求出5,02Q ⎛⎫⎪⎝⎭，由112112MF NQ S y y FQ =-表示出面积，结合基本不等式求最大值即可. (1)1△MNF的周长为4a =a =又焦距24c =，得2c =，则1b ，所以椭圆C 的方程为2215x y +=；(2)设直线l 的方程为2(0)x my m =+≠，联立22215x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()225410m y my ++-=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则12122241,55m y y y y m m +=-=-++，点11(,)P x y -，直线PN 的方程为211121()y y y y x x x x ++=--， 令0y =得()()21122112122121212222y my y my y x y x my y x y y y y y y ++++===++++2212552425m m m m -⋅+=+=+，即5,02Q ⎛⎫⎪⎝⎭，又()12,0F -，112112MF NQ S yy FQ=-9144==≤=m =1MF NQ 面积的最大值为958. 11．（2022·天津三中二模）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，其离心率12e =，过左焦点1F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，且2ABF 的周长为8.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图过原点的直线1l 与椭圆C 交于E ，F 两点（点E 在第一象限），过点E 作x 轴的垂线，垂足为点G ，设直线FG 与椭圆的另一个交点为H ，连接HE 得到直线2l ，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，记OFG △、OMN 的面积分别为1S ，2S ，求21S S 的最小值. 【答案】(1)22143x y +=；(2)4.【分析】（1）利用椭圆的定义可得2a =，结合条件即得；（2）设直线EF 的方程为()0y kx k =>，()11,E x y ，()11,F x y --，()22,H x y ，利用点差法可得2221222134y y x x -=--，进而可得直线HE 的方程可设为()1132y x x y k=--+，然后表示出1S ，2S ，再利用基本不等式即得.(1)由题知椭圆的离心率122c e ==，且2ABF 的周长为8， 所以2a =，1c =, 所以2223b a c =-=，故椭圆的标准方程为22143x y +=；(2)令直线EF 的方程为()0y kx k =>，()11,E x y ，()11,F x y --，()22,H x y ，由EG x ⊥轴，则()1,0G x ， ∴2121HEy y k x x -=-，2121HF y y k x x +=+，则22212221HF HE y y k k x x -⋅=-，由将点E ，H 代入椭圆的方程可得：22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式作差可得：2221222134y y x x -=--，所以34HF HE k k ⋅=-，由11122HF GF y k k k x ===， 所以3342HE HF k k k=-=-， 所以直线HE 的方程可设为()1132y x x y k=--+， 令0x =时，11113322N y x y x kx k k=+=+， 令0y =时，211122133M kk x x y x ⎛⎫=+=+⋅ ⎪⎝⎭， 则MON △的面积为221112312232MONk S OM ON k x k ⎛⎫⎛⎫==++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△， OFG △的面积为211122OFG G F S x y kx ==△， 则()22222222132191941224124666MON OFG k S Sk k S S k k k +⎛⎫⎛⎫===++≥⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△，当且仅当62k =时取等号， 所以21S S 的最小值为4. 12．（2020·河南濮阳·一模（理））如图，已知椭圆E 的右焦点为21,0F ，P ，Q 为椭圆上的两个动点，2PQF 周长的最大值为8.（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）直线l 经过2F ，交椭圆E 于点A ，B ，直线m 与直线l 的倾斜角互补，且交椭圆E于点M ，N ，24MN AB =，求证：直线m 与直线l 的交点T 在定直线上.【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）详见解析.【解析】（Ⅰ）由椭圆的定义可得，2PQF 周长取最大值时，线段PQ 过点1F ，可求出a ，从而求出椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）设直线()():10l y k x k =-≠，直线():m y k x t =-+，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,M x y ，()44,N x y .把直线m 与直线l 的方程分别代入椭圆E 的方程，利用韦达定理和弦长公式求出2MN 和AB ，根据24MN AB =求出t 的值.最后直线m 与直线l 的方程联立，求两直线的交点即得结论.【详解】（Ⅰ）设2PQF 的周长为L ，则()221111224L PF QF PQ a PF a QF PQ a PF QF PQ =++=-+-+=-++44a PQ PQ a ≤-+=，当且仅当线段PQ 过点1F 时“=”成立.48a ∴=，2a ∴=，又1c =，b ∴=∴椭圆E 的标准方程为22143x y +=.（Ⅱ）若直线l 的斜率不存在，则直线m 的斜率也不存在，这与直线m 与直线l 相交于点T 矛盾，所以直线l 的斜率存在.设()():10l y k x k =-≠，():m y k x t =-+，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,M x y ，()44,N x y .将直线m 的方程代入椭圆方程得：()()22222348430k x k tx k t +++-=.2342834k tx x k ∴+=-+，()223424334k t x x k -⋅=+, ()()()2222222161239134k k t MN k k -+∴=+⋅+.同理，()2212134k AB k+==+. 由24MN AB =得0=t ，此时()()4222264163430k t k k t ∆=-+->.∴直线:m y kx =-，联立直线m 与直线l 的方程得11,22T k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即点T 在定直线12x =. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于难题. 题型二：待定系数法求椭圆方程一、单选题 1．（2022·河北唐山·三模）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的面积为，两个焦点分别为12,F F ，点P 为椭圆C 的上项点．直线y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，若,PA PB 的斜率之积为89-，则椭圆C 的长轴长为（ ）A ．3B ．6C ．D ．【答案】B【分析】由题意得到方程组ab =和2289b a =②，即可解出a 、b ，求出长轴长.【详解】椭圆的面积S ab π==，即ab =. 因为点P 为椭圆C 的上项点，所以()0,P b .因为直线y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，不妨设(),A m n ，则(),B m n --且22221m n a b +=，所以22222a n m a b=-.因为,PA PB 的斜率之积为89-，所以89n b n b m m---⋅=--，把22222a n m a b=-代入整理化简得：2289b a =②①②联立解得：3,a b ==所以椭圆C 的长轴长为2a =6. 故选：B2．（2022·全国·模拟预测）已知过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点()1,0F -的直线与椭圆交于不同的两点A ，B ，与y 轴交于点C ，点C ，F 是线段AB 的三等分点，则该椭圆的标准方程是（ ）A ．22165x y +=B ．22154x y +=C ．22132x y +=D ．22143x y +=【答案】B【分析】不妨设A 在第一象限，由椭圆的左焦点()1,0F -，点C ，F 是线段AB 的三等分点，易得21,b A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,2b B a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入椭圆方程可得222414b a a +=，又2221c a b =-=，两式相结合即可求解 【详解】不妨设A 在第一象限，由椭圆的左焦点()1,0F -，点C ，F 是线段AB 的三等分点，则C 为1AF 的中点，1F 为BC 中点，所以1A x =，所以22211A y a b +=，则2A b y a=即21,b A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以220,2b C a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,2b B a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，将点坐标代入椭圆方程得4222441b a a b +=，即222414b a a +=，又221a b -=，所以25a =，24b =，所以椭圆的标准方程是22154x y +=.故选：B3．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率等于32，点()6,5-在双曲线C 上，椭圆E 的焦点与双曲线C 的焦点相同，斜率为12的直线与椭圆E 交于A 、B 两点．若线段AB 的中点坐标为()1,1-，则椭圆E 的方程为（ ）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=【答案】D【分析】由离心率和点()5-求出双曲线的方程，进而求出焦点，设出椭圆的方程及,A B 的坐标，由点差法得到2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+，结合中点坐标及斜率求得222a b =，再利用焦点坐标，即可求解.【详解】设双曲线方程为22221(0,0)x y m n m n -=>>，则223224251m n =⎨⎪-=⎪⎩，解得2245m n ⎧=⎨=⎩，故双曲线方程为22145x y -=，焦点为()3,0±；设椭圆方程为22221x y a b+=，则椭圆焦点为焦点为()3,0±，故22a b 9-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则2222112222221,1x y x y a b a b+=+=， 两式相减得22221212220x x y y a b --+=，整理得2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+，即221121b a =-⋅-，解得222a b =，故2218,9a b ==，椭圆方程为221189x y +=. 故选：D. 二、多选题4．（2022·全国·模拟预测）已知直线x ＝my －1经过椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的一个焦点F ，且与C 交于不同的两点A ，B ，椭圆C 的离心率为12，则下列结论正确的有（ ） A ．椭圆CB ．弦AB 的最小值为3C ．存在实数m ，使得以AB 为直径的圆恰好过点()1,0D ．若3AF AB =，则m = 【答案】BCD【分析】由于直线x ＝my －1经过定点()1,0-，则由题意得1c =，再由离心率为12可求出a ，从而可求出b ，则可求出椭圆方程，然后结合椭圆的性质逐个分析判断即可 【详解】依题意可知，直线x ＝my －1经过定点()1,0-，所以1c =．又椭圆C 的离心率为12c a =，所以a ＝2，则b =所以椭圆C的短轴长为2b =所以A 选项不正确；当m ＝0时，弦AB 即为椭圆的一条通径，且223b AB a==，所以B 选项正确； 椭圆C 的长轴长为2a ＝4，所以[)3,4AB ∈，当AB 最短时，此时点()1,0在以AB 为直径的圆外，当AB 趋近于4时，点()1,0在以AB 为直径的圆内，因此，存在实数m ，使得以AB 为直径的圆恰好过点()1,0，所以C 选项正确；由3AF AB =，得2AF FB =，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122y y =-，联立221,1,43x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2234690m y my +--=，0∆>恒成立，则122634m y y m +=+，122934y y m -=+． 因为122y y =-，所以122126,3492,34m y m y m ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪-=⎪+⎩解得255m =±，所以D 选项正确．故选：BCD ．5．（2022·全国·高三专题练习）已知O 为坐标原点，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为F 1､F 2，长轴长为22，焦距为2c ，点P 在椭圆C 上且满足|OP |=|OF 1|=|OF 2|=c ，直线PF 2与椭圆C 交于另一个点Q ，若124cos 5FQF ∠=，点M 在圆228:9G x y +=上，则下列说法正确的是（ ）A ．椭圆C 的焦距为2B ．三角形MF 1F 2面积的最大值为223C ．2212||||4PF PF +=D ．圆G 在椭圆C 的内部【答案】ABCD【分析】先根据已知条件，解出椭圆C 的标准方程，再逐个验证各个选项即可. 【详解】△12F PF 中，原点O 为边12F F 中点，|OP |=|OF 1|=|OF 2|，则122F PF π∠=，设2PF m =，2QF n =，则122PF m =，122QF n =△1F PQ 中，12F PQ π∠=,14cos 5FQP ∠= 则有4522223522m n n m n +⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解之得223m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故△12F PF 为等腰直角三角形：22PF =，12PF =，122F PF π∠=故222212(2)224F F c ==+=，则1c = 又222a =，故1b =.椭圆C 的方程为2212x y +=选项A ：椭圆C 的焦距为是2，正确； 选项B ：圆228:9G x y +=的半径为223r = △MF 1F 2面积的最大值为1212222233F F ⨯⨯=，正确； 选项C ：222212||||224PF PF +=+=，正确； 选项D ：圆G 圆心在原点，半径2213r b =<=，故圆G 在椭圆C 的内部，正确. 故选：ABCD6．（2021·重庆·高三阶段练习）某文物考察队在挖掘时，挖出了一件宋代小文物，该文物外面是红色透明蓝田玉材质，里面是一个球形绿色水晶宝珠，其轴截面（如图）由半椭圆1C ：22221(0)x yx a b+=≥与半椭圆2C ：22221(0)x y x c d +=<组成，其中222a b c =+，0a b c >>>，设点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 是轴截面与x ，y 轴交点，阴影部分是宝珠轴截面，其以曲线224x y +=为边界，1F ，2F 在宝珠珠面上，若10260F F F ︒∠=，则以下命题中正确的是（ ）A ．椭圆1CB ．椭圆1C 上的点到点0F的距离的最小值为C ．椭圆2C 的焦距为4D ．椭圆2C 的长短轴之比大于椭圆1C 的长短轴之比 【答案】BC【分析】据题意可知d b =，102F F F 为正三角形，结合曲线224x y +=可求出1C 、2C 的方程，然后逐项验证即可.【详解】1F ，2F 是半椭圆2C ：22221(0)x y x c d+=<的焦点，1F ∴，2F 关于原点对称，且2001F F F F =,又10260F F F ︒∠=，102F F F ∴为正三角形，10OF ,1F ，2F 在224x y +=上, 12OF ∴=,01OF ∴==又半椭圆1C ：22221(0)x yx a b+=≥的短轴与半椭圆2C ：22221(0)x y x c d +=<的长轴相等，即d b =，对于半椭圆1C ：22221(0)x y x a b+=≥，(22220=12b OF a ==-，对于半椭圆2C ：22221(0)x y x c d+=<，22214O d c F =-=，2222124d b a b d c =⎧⎪∴-=⎨⎪-=⎩，2222124d ba b b c =⎧⎪∴-=⎨⎪-=⎩，2216a c =∴-，2216d b ==∴，212c ∴=，228a =， ∴半椭圆1C 的方程为：221(0)2816x yx +=≥，半椭圆2C 的方程为：221(0)1216x y x +=< 对于A 选项：椭圆1C的离心率为：e =，故A 选项不正确； 对于B 选项：椭圆1C 上的点到0F距离为的最小值为：B 选项正确； 对于C 选项：椭圆2C 的焦距为124F F =，故C 选项正确； 对于D 选项：椭圆1C的长短轴之比为22a b ==2C的长短轴之比为22d c ，22234771.3 1.753324⎛⎫⎛⎫=≈<== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，< ∴椭圆2C 的长短轴之比小于椭圆1C 的长短轴之比，故D 选项错误；故选：BC 三、解答题7．（2022·天津和平·三模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>且椭圆过点2P ⎛ ⎝⎭． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，线段MN 的垂直平分线交直线l 于点P ，交直线2x =-于点Q ，求PQMN的最小值．【答案】(1)2212x y +=(2)2【分析】（1）待定系数法求解椭圆方程；（2）考虑直线l 的斜率不存在和直线l 的斜率存在两种情况，当直线斜率不存在时，求出PQ MN，当直线斜率存在时，设出直线方程，联立后利用弦长公式求出MN ，再表达出直线PQ 的方程，表达出PQ ，用基本不等式求解最小值，与2比较大小，求出最小值. (1)由题意得：2222221112c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2221a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆方程为2212x y +=(2)由（1）知：()1,0F ，当直线l 的斜率不存在时，()1,0P ，()2,0Q -，,1,M N ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭， 此时PQ MN== 当直线l 的斜率存在时，故可设直线为()1y k x =-，联立椭圆方程得：()2222214220k x k x k +-+-=，设()()1122,,,M x y N x y ，则22121222422,2121k k x x x x k k -+==++，其中2880k ∆=+> 所以MN = 其中()121222221ky y k x x k k -+=+-=+， 所以2222,2121k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，因为直线PQ 为线段MN 的垂直平分线，所以直线PQ ：222122121kk y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭， 令2x =-得：()225221k y k k +=+，所以PQ == 故22PQ MN===因为22231k +=+≥所以22PQ MN=≥=，=，即21,1k k ==±时等号成立，所以2PQ MN≥，2>，所以PQ MN 的最小值为2. 【点睛】圆锥曲线求解取值范围问题，一般思路为设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，表达出线段长或面积等，最后用基本不等式或配方，求导等求解最值或取值范围.8．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（文））已知椭圆()2222:10xy C a b a b+=>>的焦距为且过点⎭．(1)求椭圆C的方程；(2)设,A B分别为椭圆C的右顶点和上顶点，点P是椭圆C上在第一象限的任意一点，直线AP与y轴交于点M，直线BP与x轴交于点N，PBM与PAN△的面积分别为12,S S，求12S S+的取值范围．【答案】(1)2214xy+=(2)[)2,+∞【解析】（1）根据题意，利用待定系数法即可求出结果；（2）设()()0000,0,0,P x y x y>>，利用点斜式求出直线AM和BN的方程，求出,M N的坐标，根据题意求出001020002111=22221y xS x S yx y⎛⎫⎛⎫=--⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,，由此可知()00120000221221y xS S x yx y⎛⎫⎛⎫+=-+-⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，再根据P在椭圆C上，可知220044x y+=，由此可得()()00001200000041222x y x yS S x yy x x y⎛⎫⎛⎫-+=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再利用基本不等式即可求出()122S S+的最小值，进而求出12S S+的范围.(2)解：设椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的焦距为2c=由题意可知:222222112ca b ca b⎧⎪=⎪-=⎨⎪⎪+=⎩，解得224=1ab⎧=⎪⎨⎪⎩，所以2214xy+=；(2)设()()0000,0,0,P x y x y>>，由题意可知()()2,0,0,1A B，所以直线AM方程为()22yy xx=--，直线BN方程为011yy xx-=+；令0x=代入直线AM方程，可得020,2yMx-⎛⎫⎪⎝⎭，令0y=代入直线MN方程，可得0,01xNy-⎛⎫⎪⎝⎭，所以001020002111=22221y xS x S yx y⎛⎫⎛⎫=--⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,所以()00120000221221y x S S x y x y ⎛⎫⎛⎫+=-+-⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭又220044x y +=，所以00002222y x x y +=-，00002222x x y y +-= ()22000012000024222x x y y S S x y y x +++=-+-222200000000002444242x x y y y x x y y x ++++=-+-()0000000042422x y x y y x y x ⎛⎫⎛⎫=+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()00000000004122x y x y x y y x x y ⎛⎫⎛⎫-=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又220000444x y x y +=≥，所以001x y ≤，当且仅当002x y ==.所以()()00000012000000004142224x y x y x y S S x y y x x y y x ⎛⎫⎛⎫-+=+++≥+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当002x y ==时等号成立.所以122S S +≥，即12S S +的取值范围[)2,+∞.【点睛】关键点点睛：本题第二问解答关键是对220044x y +=变形成00002222y x x y +=-和00002222x x y y +-=，然后再对()122S S +化简整理，利用基本不等式求解，这是解决本题的关键点和突破点.9．（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（理））已知()()121,0,1,0F F -是椭圆2222Γ:1(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点，P 是Γ的上顶点.1F 到直线2PF. (1)求Γ的方程；(2)设直线:2l x =与x 轴的交点为M ，过M 的两条直线12,l l 都不垂直于y 轴，1l 与Γ交于点2,,A B l 与Γ交于点,C D ，直线,AC BD 与l 分别交于,E G 两点，求证：ME MG =.【答案】(1)2212x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据题意利用点到直线的距离公式求得b ，继而求得a ，可得答案. （2）设直线方程，和椭圆方程联立，得到根与系数的关系式，利用点共线表示出点,E G 的纵坐标，二者相加，进行化简，可证明结论. (1)由题意知，1c = ，P 是2222Γ:1(0)x y a b a b+=>>的上顶点，∴点P 的坐标为()0,b .点2F 的坐标为()1,0,∴直线2PF 的方程为11x yb+=，即0bx y b +-=，()11,0F -到直线2PF=1,b a ∴=∴=所以Γ的方程为2212x y +=.(2)证明：直线l 与x 轴的交点为()2,0M ，设()()()()()()11223344,,,,,,,,2,,2,A x y B x y C x y D x y E s G t ， 设直线11221212:2,:2,,0l x k y l x k y k k k k =+=+≠≠， 则1112123234242,2,2,2x k y x k y x k y x k y =+=+=+=+，联立直线1l 和曲线Γ的方程，得方程组122222x k y x y =+⎧⎨+=⎩ ， 消去x 得()22112420,k y k y +++=则11212221142,22k y y y y k k +=-=++. 同理23434222242,22k y y y y k k +=-=++. ,,A C E 三点共线，()()()()1331,22EA EC x y s x y s ∴--=--∥，得()()133113132x y x y y y s x x -+-=-，()()()()()13311213113213131123112322.22x y x y k k y y k y y k y y s x x k y k y k y k y -----===-----同理()12241224k k y y t k y k y -=-.()()()121312241324121123122411231224k k y y k k y y y y y y s t k k k y k y k y k y k y k y k y k y --⎛⎫+=+=-+ ⎪----⎝⎭()()()()()1312242411231211231224y y k y k y y y k y k y k k k y k y k y k y -+-=---()()()()()12112342341211231224k k k y y y y k y y y y k y k y k y k y -⎡⎤=+-+⎣⎦-- ()()()1221122222112312241221442202222k k k k k k k y k y k y k y k k k k ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫=⨯⨯--⨯⨯-=⎢⎥ ⎪ ⎪--++++⎝⎭⎝⎭⎣⎦ME MG ∴=.【点睛】本题考查了椭圆方程的求解以及直线和椭圆的位置关系，解决问题的思路要通畅，及联立直线和椭圆方程，求得点的坐标，通过两点的纵坐标之和为0，证明线段相等，解答的关键是关于关于所设字母的运算十分繁杂，要十分细心.10．（2022·辽宁葫芦岛·二模）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右顶点分别为A ，B ，坐标原点O 与A 点关于直线l ：2x =-对称，l 与椭圆第二象限的交点为C ，且1AC OC ⋅=-.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过A ，O 两点的圆Q 与l 交于M ，N 两点，直线BM ，BN 分别交椭圆C 于异于B 的E ，F 两点.求证：直线EF 恒过定点.【答案】(1)221164x y +=(2)20,013⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）先求出4a =，设()2,C n -，利用向量数量积求出n =(C -代入椭圆中，求出24b =，得到椭圆方程；（2）先根据OM ON ⊥得到19BM BN k k ⋅=-，进而设出直线方程()4x my t t =+≠，联立后得到两根之和，两根之积，利用1212,44BE BM BF BN y y k k k k x x ====--及19BM BN k k ⋅=-求出2013t =-，得到定点坐标. (1)点O 与A 关于直线2x =-对称， 可知()4,0A -，故点()4,0B ，4a =， 由题意可设()2,C n -，0n >，于是()()22,2,41AC OC n n n ⋅=⋅-=-=-，解得：n =将(C -代入椭圆方程中，243116b+=，解得：24b =， 所以椭圆方程为221164x y +=(2)证明：()4,0A -，()4,0B ，直线l ：2x =-，由题意得：圆心在直线l ：2x =-上，设()()2,,2,M N M y N y --， 且OM ON ⊥，所以40M N OM ON y y ⋅=+=，故4M N y y =-， 则12424369N M N M BM BN y y y y k k ⋅=⋅==-----，设直线EF ：()4x my t t =+≠，()()1122,,,E x y F x y ，由221164x y x my t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得：()22242160m y mty t +++-=， 则2121222216,44mt t y y y y m m --+==++， ()12122824t x x m y y t m +=++=+，()()22121224164t m x x my t my t m -=++=+，所以1212,44BE BM BF BN y y k k k k x x ====--， 则()212122221212121644416164321664y y y y t x x x x x x m t t m -⋅==---++-+-++ 22161432649t t t -==--+， 即21332800t t --=，解得：4t =（舍去）或2013t =-， 所以直线EF 为：2013x my =-，恒过定点20,013⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】圆锥曲线中直线过定点问题，设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，由题干条件得到方程，求出定值. 题型三：直接法解决离心率问题 一、单选题1．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知12,F F 是椭圆221(1)1x y m m m +=>-的左､右焦点，点A 是椭圆上的一个动点，若12AF F △）A1 B ．12CD1【答案】B【分析】依题意可得2a ，2b ，2c ，设12AF F △内切圆的半径为r，根据等面积法得到|A r y ，即可得到r 的最大值，从而求出m ，即可求出椭圆的离心率；【详解】解：由椭圆221(1)1x y m m m +=>-，可得2a m =，21b m =-，2221c a b ∴=-=，则1c =， 如图，设12AF F △内切圆的半径为r ，1212121211||||(||||||)22AF F A SF F y AF AF F F r =⋅=++⋅， 2||(22)A c y a c r ∴⋅=+⋅，则|1A m r y +，要使12AF F △内切圆半径最大，则需||A y 最大，||1A y b m =-又12AF F △3311m m -=+4m =，所以2a =．则椭圆的离心率12c e a == 故选：B ．2．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））一个底面半径为1，高为3的圆柱形容器内装有体积为2π的液体，当容器倾斜且其中液体体积不变时，液面与容器壁的截口曲线是椭圆，则该椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2⎛⎝⎦D ．2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【答案】C【分析】先判断出临界情况下，椭圆2a AB =，22b r =，即可求出椭圆离心率的取值范围.【详解】当液面倾斜至如图所示位置时，设AC x =，3MA x =-.因为圆柱底面积为π，故液体体积为()1322x x πππ-+=，解得2x =，即1MA =， 2AC BC ==，故22AB =，所以2a AB ≤，22b r =，即2,1a b ≤=，所以离心率221c b e a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，即椭圆离心率的取值范围是2⎛ ⎝⎦.故选：C 二、多选题3．（2022·全国·模拟预测）椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，若方程340mx y m ++-=所表示的直线恒过定点M ，点Q 在以点M 为圆心，C 的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（ ） A ．椭圆C 的离心率为12 B ．12PF PF ⋅的最大值为4 C ．12PF F △的面积可能为2 D ．2PQ PF -的最小值为256【答案】ABD【分析】A ：根据椭圆方程可直接求得2a =，3b =1c =，和离心率ce a=；B ：由椭圆的定义可得124PF PF +=，结合不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭代入运算；C ：点P 位于椭圆的上、下顶点时，12PF F △的面积取得最大，计算判断；D ：利用椭圆定义和圆的性质转化处理．【详解】对于选项A ，由椭圆C 的方程知2a =，3b =1c =，所以离心率12c e a ==，故选项A 正确；对于选项B ，由椭圆的定义可得124PF PF +=，所以2121242PF PF PF PF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，即12PF PF ⋅的最大值为4，故选项B 正确；对于选项C ，当点P 位于椭圆的上、下顶点时，12PF F △的面积取得最大值123322⨯⨯=<，故选项C 错误； 对于选项D ，易知()3,4M -，则圆()()22:344M x y ++-=，所以()21114424256PQ PF PQ PF QF MF -=--≥-≥--=-，故选项D 正确，故选：ABD ． 三、填空题4．（2022·浙江温州·三模）如图，椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>和2222222:1x y C a b +=在相同的焦点1F ，2F ，离心率分别为12,e e ，B 为椭圆1C 的上顶点，21F P F B ⊥，且垂足P 在椭圆2C 上，则12e e 的最大值是___________.【答案】122【分析】首先分别表示出12,e e ，设12PF F θ∠=，将12ee 表示成关于θ的三角函数，然后求其最值即可. 【详解】由图知12121122122,2c OF c c OF e e a BF a a PF PF =====+，则112212e PF PF e BF +=， 设1212,2PF F F F c θ∠==，则1212(sin cos ),cos cPF PF c BF θθθ+=⋅+=， 则()122112sin cos cos 242e e πθθθθ+⎛⎫=+⋅++≤ ⎪⎝⎭24πθ=时等号可取到.122.5．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测（理））如图，1F ，2F 是椭圆1C 与双曲线2C 的公共焦点，A ，B 分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点，若112OF AB =，且16OF B π∠=，则1C 与2C 的离心率之积为_____.【答案】2【分析】根据已知条件结合椭圆的对称性可求出1AF c =，23AF c =，再根据椭圆和双曲线的定义以及离心率公式求出离心率即可求解.【详解】解：连接22,AF BF ，根据椭圆的对称性可知：点O 是AB 的中点， 所以，四边形12AF BF 为平行四边形， 若112OF AB =，所以1OF OA OB c ===， 因为16OF B π∠=，所以1π3AOF ∠=，所以1AOF △是等边三角形， 所以11AF OF c ==，1π3AFO ∠=，12AF B π∠=，所以，四边形12AF BF 为矩形， 所以，在直角三角形1ABF 中，()22123BF c c c =-=，所以，213AF BF c ==，在椭圆中，12132AF AF c c a +==，可得1131c e a ==+在双曲线中，21232AF AF c c a -=-=，可得2231c e a ==-所以离心率之积1223131e e ==+-， 故答案为：2.四、解答题6．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为e ，斜率为e 且过点()0,Pa 的直线l 与x 轴交于点Q(1)证明：直线l 与椭圆相切(2)记在（1）中的切点为S ，过点S 且与l 垂直的直线交y 轴于点T ，记POQ △的面积为1,S PQT 的面积为2S ，若1234S S =，求椭圆的离心率 【答案】(1)证明见解析；3【分析】（1）根据直线的点斜式方程与椭圆方程联立，结合一元二次方程根的判别式、椭圆的离心率公式进行求解即可；（2）根据（1）的结论，结合一元二次方程根与系数关系、三角形的面积公式、椭圆的离心率公式进行求解即可. (1)由已知，:l y ex a =+．令l 与椭圆方程222222b x a y a b +=联立，经过整理，得到()2222342220b a e x a ex a a b +++-=，所以()()()()6222242224222442222222222Δ4444a e b a e a a b a a e b a b a e a b e a b a b a e =-+-=-+-+=-++()222222222222440c a b a b a a b a b c a ⎛⎫=-++⋅=-++= ⎪⎝⎭，所以直线l 与椭圆相切．(2)由（1），有322222S a ex b a e=-+，所以3222222s a e a c x c b a e b c =-=-=-++，所以22S S c b y ex a ec a a a a =+=-+=-+=，所以2,b S c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．因为ST l ⊥，所以1STk e =-，所以()21:b ST y x c a e -=-+．令0x =，得到2b cy a e-=-，所。
高二数学选修2-1(B版)_拓展资料：破解椭圆问题“六法”
破解椭圆问题“六法”一、定义法椭圆是一种重要的圆锥曲线，理解和掌握它的两种定义是解决椭圆问题的基础和前提。
灵活运用椭圆的定义解题，常常能收到事半功倍之效。
例1一个椭圆的两个焦点是)0,6(),0,6(-，且椭圆过点1,6(），求椭圆的方程。
解：由题意可设椭圆的方程为12222=+by a x )0(>>b a .根据椭圆的第一定义立即得到,()()()()2222016601662-+-+-++=a =615=+,∴3=a .又6=c ,∴.369222=-=-=c a b 于是椭圆的方程为13922=+y x 例2设已知椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F, 右准线为l. 若过F 且垂直于x 轴的弦长等于点F 到l 的距离, 求此椭圆的离心率. 解：如图1, QM PQ =. 由椭圆的第二定义可知,离心率2121===PQ PQ QM QF e . ( 图1) 二、取特殊位置动点、动直线、动弦、动角、动轨迹常常是椭圆问题中出现的动态图形，利用这些动态图形的特殊位置往往能帮助我们迅速解决某些选择题或填空题。
例3若动点P 、Q 在椭圆9x 2+16y 2=144上，且满足OP ⊥OQ ，则中心O 到弦PQ 的距离OH 必等于（ ）A.326B. 435C. 522D. 154解：对于动点P 、Q ，我们可以选一个特殊位置。
令P是右顶点、Q 是上顶点(如图2)。
由a 2=16, b 2=9得，OP=4，OQ=3，则OH=512，根据“在一般情况下成立，则在特殊情况下也成立” 可知，应选答案C. 三、运用焦半径公式椭圆问题中常常涉及到椭圆上的点到焦点的距离，这时若能灵活运用相应的焦半径公式，往往会出奇制胜.例4 设A(x 1, y 1)是椭圆x 2+2y 2=2上任意一点，过A 作一条斜率为－112y x 的直线l. 又设d 为原点到l 的距离，r 1，r 2分别为A 到两焦点的距离, 求d r r ⋅⋅21的值. 解：由题意得l 的方程为，y －y 1=－112y x (x －x 1), 即x 1x+2y 1y=2 (因x 12+2y 12=2). ∴d=2121214242x y x -=+.由椭圆的焦半径公式可得，24212))((21211121x x ex a ex a r r -=-=-+=⋅. 于是d r r ⋅⋅21=2.四、整体相减法涉及到椭圆上若干个动点的问题，我们常常由点的坐标满足椭圆方程而得到若干个方程，将这若干个方程实施整体相减，往往能帮助我们顺利解题. 例5求椭圆1222=+y x 中斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程.解：设斜率为2的平行弦（动弦）的两个端点A 、B 的坐标分别为),(),,(2211y x y x ，中点M 的坐标为),(y x . 则12,1222222121=+=+y x y x 。
天津高考数学椭圆知识点
天津高考数学椭圆知识点椭圆是高中数学中的一个重要概念，在天津高考的数学考试中也是常见的题型。
本文将介绍天津高考数学中关于椭圆的知识点，帮助同学们更好地掌握椭圆的性质和解题技巧。
一、椭圆的定义和基本性质椭圆是指平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点的集合，其中F1和F2被称为椭圆的焦点，而2a则是椭圆的长轴长度。
椭圆还有一个重要的性质是：对于椭圆上的任意一点P，它到两个焦点的距离之和等于常数2a。
二、椭圆的方程1. 椭圆的标准方程椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴的长度。
标准方程的特点是椭圆的中心位于原点(0, 0)。
2. 椭圆的常用方程除了标准方程外，我们还可以通过一些特殊情况来得到椭圆的方程。
例如，当椭圆的中心为(h, k)时，其方程可以表示为(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1。
三、椭圆的性质1. 离心率与焦点椭圆的离心率e定义为焦点到椭圆中心的距离与半长轴长度的比值，即e = F1C / a。
离心率决定了椭圆的形状，当e<1时，椭圆是紧凑的；当e=1时，椭圆是一个特殊的圆；当e>1时，椭圆是扁平的。
2. 焦点和准线椭圆中的焦点F1和F2与半长轴之间的连线称为准线，准线与半长轴的夹角是一个固定的角度，可以通过tanθ = b/a来计算。
3. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程可以表示为x = a*cosθ和y = b*sinθ，其中θ是参数，取值范围为[0, 2π)。
四、椭圆的应用1. 椭圆的几何意义椭圆在几何学中有广泛的应用，例如描述行星的轨道、设计车轮等。
2. 椭圆的光学应用通过椭圆的光学性质，可以制造出能够将光线聚焦或散开的透镜，用于眼镜、望远镜等光学仪器中。
五、椭圆的解题技巧1. 确定椭圆的方程类型，是标准方程还是常用方程，根据已知条件选择合适的方程表达形式。
2. 利用椭圆的性质，例如离心率、焦点和准线的关系，来解决与椭圆有关的问题。
椭圆的解题方法和技巧
椭圆的解题方法和技巧安徽省宿州市褚兰中学海平一、椭圆的定义的应用椭圆的定义是用椭圆上的点到焦点的距离来描述的，因此在解题中凡涉及曲线上的点到焦点的距离时，应先想到用定义求解，常会有事半功倍之效。
例1 的三边、、成等差数列且满足，、两点的坐标分别是、。
求顶点的轨迹。
分析：数列与解析几何相联系，往往构成综合性较大的题目，历来是高考考查的热点之一。
解析：∵、、成等差数列，∴，即，又，∴。
根据椭圆的定义，易得点的轨迹方程为。
又∵，∴，即，∴，∴。
故点的轨迹是椭圆的一半，方程为〔〕。
又当时，点、、在同一条直线上，不能构成三角形，∴。
∴点的轨迹方程为。
评注：该例是先由条件找到动点所满足的几何关系，寻找出满足椭圆定义的条件，然后确定椭圆的方程。
解题时，易忽略这一条件，因此易漏掉这一限制；由于、、三点构成三角形，故应剔除使、、共线的点。
例2 、椭圆上一点到两焦点、的距离之差为2，试判断的形状。
分析：由椭圆定义知，的和为定值，且二者之差为题设条件，故可求出的两边。
解析：由，解得。
又，故满足。
∴为直角三角形。
评注：由椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称作焦点三角形。
利用焦点三角形能有意识地考查定义、三角形正〔余〕弦定理、内角和定理及面积公式能否灵活运用。
二、利用待定系数法确定椭圆的标准方程。
例3、已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1(6,1)P ,2(3,2)P ,求椭圆的方程.【解析】设椭圆方程为22mx ny 1+=〔m ＞0,n ＞0且m≠n 〕. ∵椭圆经过1P ，2P 点，∴1P ，2P 点坐标适合椭圆方程， 则①6m+n=1，② 3m+2n=1，①②两式联立，解得m=19, n= 13. ∴所求椭圆方程为22x y 193+=评注：运用待定系数法求椭圆标准方程,即设法建立关于a ，b 的方程组，先定型、再定量，假设位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2+ny2=1〔m ＞0,n ＞0,m≠n 〕，由题目所给条件求出m ，n 即可.三、 利用向量解决椭圆问题几何中突出向量的工具作用成为高考命题的新亮点，向量本身具有“数”与“形”的双重身份，常把向量的代数式转化为坐标表示或利用其几何关系求解．()()()22410,14111()()22212||y x M l A B O P OP OA OB N l M P NP +==+例、最值问题设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于、两点，是坐标原点，点满足，点的坐标为，．当绕点旋转时，求：动点的轨迹方程；的最大值与最小值．()()112222221221221212220,1 1.()()1(4)2301424.8414()()()212244l M k l y kx A x y B x y y kx k x kx y x k x x k y y k x x y y k OP OA OB k k=+=+⎧⎪++-=⎨+=⎪⎩⎧+=-⎪⎪+⎨⎪+=⎪+⎩++-=+==++直线过点，当斜率存在时，设其斜率为，则的方程为记，，，，由，得，所以解，：，析则．()()222222222()40.0,0111.16441117||()()3(40.1||611||.4).2261242P x P x y k x y y AB P x x NP x y y y x NP x x NP +-=≤-≤≤=-+-=-+-=++=-=点的轨迹方程为当时，取得设点的坐标为，，则，消去得当斜率不存在时，的中点为原点，也满足上述方程．所以由点的轨迹方程知，即所以故当时，取得最小值为评注：由向量作为载体的解析几何问题一要利用向量的几何意义，二要熟悉向量的坐标运算．而与椭圆有关的求最值问题则常与求函数的值域相联系． 例5、参数范围问题()()()(01)0,1||()12||G ABC A B x M MA MC GM AB R C k l C P Q AP AQ k λλ∆-==∈=已知点是的重心，，，，在轴上有一点，满足，．求点的轨迹方程；若斜率为的直线与点的轨迹交于不同的两点、，且满足，试求的取值()222()()33()(0)3||1(0)3131(0)x yC x y G ABC G GM AB R GM AB xM x M MA MC y x x C y x λλ∆=∈==+=≠+=≠设，，为的重心，则，．因为，所以，而点在轴上，则，．，得整理得．所点的轨迹方析：程为以解()()()222222222211220||.013(13)63(1)0*(6)4(13)3(1)0130**()()2k l C P Q AP AQ k l y kx m x y k x kmx m l km k m k m P x y Q x y ==≠=++=+++-=∆=-+⋅->+->①当时，与椭圆有两个不同的交点、，由椭圆的对称性知②当时，可设的方程为，代入，整理得，，因为直线与椭圆交于不同的两点，所以，即，设，，，，1122212122212000002222()()63(1)1313()231313||11313-13AN P x y Q x y km m x x x x k kx xPQ N x y x km m y kx m k k AP AQ AN PQ mk k k k km k -+=-=+++==-=+=++=⊥++⋅=⋅=-+设，，，，则，，则中点，的坐标为，，又，所以，所以，()()()()2213**121,00,1,11k m k k k -+=<∈-得，代入得，所以．的取值范围得，是综合①②．． 评注：解决参数的取值范围问题常用的方法有两种：①不等式(组)求解法：根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等式(组)得出参数的取值范围；②函数值域求解法：把所讨论的参数表示为有关某个变量的函数，通过讨论函数的值域求参数的变化范围．。