专题九 解析几何第二十七讲 双曲线

2 2 -

- = > > - = > > - = > > = 2 专题九

解析几何

第二十七讲 双曲线

2019 年

2

1.（2019 全国 III 理 10）双曲线 C ：

x y

=1 的右焦点为 F ，点 P 在 C 的一条渐进线

4

2

上，O 为坐标原点，若 PO = PF ，则△PFO 的面积为 A ．

3 2

4

B ．

3 2 2

C ． 2

2

y 2 D ． 3 2.（2019 江苏 7）在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 x -

= 1(b > 0) 经过点（3，4)，

b 2

则该双曲线的渐近线方程是

.

x 2

3.（2019 全国 I 理 16）已知双曲线 C ： a 2 y 2

1(a 0, b 0) 的左、右焦点分别为 F 1，F 2，

b 2

过 F 1 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A ，B 两点．若 F 1 A = AB ， F 1B ⋅ F 2 B = 0 ，则 C 的离心率为

．

4.（2019 年全国 II 理 11）设 F 为双曲线 C ： x a 2

y 2

1(a 0, b 0) 的右焦点， O 为坐标

b 2

原点，以OF 为直径的圆与圆 x 2 + y 2 = a 2

交于 P ，Q 两点.若 PQ = OF ，则 C 的离心率

为

A ．

B ．

C ．2

D ．

5．（2019 浙江 2）渐近线方程为 x ±y =0 的双曲线的离心率是

A ． 2

2

B ．1

C ． 2

D ．2

6. （ 2019 天津理 5 ） 已知抛物线 y 2

= 4x 的焦点为 F ，准线为 l ，若 l 与双曲线

x 2 y 2 1 (a 0, b 0) 的两条渐近线分别交于点 A 和点 B ，且| AB | 4 | OF | （ O 为 a 2 b 2

原点），则双曲线的离心率为

A. B. C. 2 D. 2 2

3

5

3 5

2

5

3 y y - = > > - = - = - = - =

2010-2018 年

一、选择题

1．(2018 浙江)双曲线 x 2

-

2

3 = 1的焦点坐标是

A ． (- 2, 0) ， ( 2, 0)

B ． (-2, 0) ， (2, 0)

C ． (0, - 2) ， (0, 2）

D ． (0, -2) ， (0, 2)

2．(2018 全国卷Ⅰ)已知双曲线C ： x 2

-

2

3 = 1， O 为坐标原点， F 为C 的右焦点，过 F

的直线与C 的两条渐近线的交点分别为 M 、N ．若∆OMN 为直角三角形，则| MN | =

A ． 3

2

B ．3

C ． 2

D ．4

3．(2018 全国卷Ⅱ)双曲线 x a 2 y 2

1 (a 0, b 0) 的离心率为 b 2

，则其渐近线方程为

A ． y =± 2x

B ． y =± 3x

C ． y =±

2 x D ． y =±

3 x

2

2

x 2 y 2

4．(2018 全国卷Ⅲ)设 F 1 ， F 2 是双曲线C ： a 2 - b 2

= 1(a > 0, b > 0) 的左、右焦点， O 是

坐标原点．过 F 2 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P ．若| PF 1 |= | OP | ，则C 的

离心率为

A ．

B ．2

C ．

D ．

x 2

y 2 5．(2018 天津)已知双曲线

-

a 2

b 2

= 1(a > 0, b > 0) 的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴

的直线与双曲线交于 A ，B 两点．设 A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为d 1 和d 2 ， 且 d 1 + d 2 = 6 ，则双曲线的方程为

x 2 y 2

A ． 1 4 12

x 2 y 2 B ． 1 12 4

x 2 y 2 C ． 1 3 9

x 2 y 2 D ． 1 9 3

3

3 6 2

2

2

5 - = > > + = 1

1 1

- = > > 1

1 1

- = - = - = - = - = - = - = - = - = 2 2 2 2 2 2

6．（2017 新课标Ⅱ）若双曲线C ： x a 2 y 2

1(a 0, b 0) 的一条渐近线被圆

b 2

(x - 2)2 + y 2 = 4 所截得的弦长为 2，则C 的离心率为

A ．2

B ．

C ．

D ．

2 3 3

x 2 y 2 7．（2017 新课标Ⅲ）已知双曲线C ： - = 1(a > 0, b > 0) 的一条渐近线方程为 y = x , a 2 b 2 2

x 2 且与椭圆 y 2

1有公共焦点，则C 的方程为

12

3

x 2

y 2

A ． x 2 y 2

B ．

x 2 y 2

C ． x 2 y 2

D ．

8 10

4

5

5 4

4

3

8．（2017 天津）已知双曲线 x a 2

y 2

1(a 0, b 0) 的左焦点为 F ，离心率为 b 2

．若经

过 F 和 P (0, 4) 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为

x 2

y 2

A ． x 2 y 2

B ．

x 2 y 2

C ． x 2 y 2

D ． 4 4

8

8

4 8

8 4

9．(2016 天津)已知双曲线 x 4 - y 2 b 2

=1(b > 0) ，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长

的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A 、B 、C 、D 四点，四边形的 ABCD 的面积为2b ， 则双曲线的方程为

A ． x - 4 3y 2 =1

4

B ． x - 4 4 y 2

=1

3

C ． x

- 4 y =1

b 2

D ． x - y =1

4 12

10．(2016 年全国 I)已知方程 x 2 m 2

+ n y 2 1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距 3m 2 - n

离为 4，则 n 的取值范围是 A ．(–1,3)

B ．(–1, 3)

C ．(0,3)

D ．(0, 3)

x 2

y 2

11．(2016 全国 II)已知 F 1 , F 2 是双曲线 E ： a 2 - b 2 = 1 的左、右焦点，点 M 在 E 上，MF 1 与

x 轴垂直， sin ∠MF F = 1

,则 E 的离心率为

2 1

3

3

2 1 1

2 2

2