《解析几何》第13讲 双曲线及其标准方程(修订)
双曲线及其标准方程ppt课件
x2
y2
变式．给出曲线方程
＋
＝1.
4＋k 1－k
(1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围；
(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围.
y2 x2
例 5．已知双曲线 C 的方程是 － ＝1，其上下焦点分别是 F2，
16 20
F1，点 M 在双曲线 C 上，且|MF1|＝9，则|MF2|＝________.
归纳总结
y
图形
y
P
P
x
O
F1
F1 O F2
方程
焦点
a,b,c之间的关系
F2
x
x2 y2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
y2 x2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c)，F2(0,c)
c2=a2+b2
a，b大小不定
椭圆与双曲线的区别
O
焦点在对应轴上
x2 y2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
① 方程用“－”号连接；
y
F2
F1
y2 x2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
② c2=a2+b2 ；
③分母是a2, b2, 且a>0, b>0，但a, b大小不定；
④ 如果x2的系数是正的，则焦点在x轴上；
如果y2的系数是正的，则焦点在y轴上.
x
F1 O
F2
结论：已知F1，F2分别是双曲线C：
高中数学 双曲线及标准方程 讲义
授课内容 双曲线及标准方程知识梳理双曲线标准方程（焦点在x 轴）)0,0(12222>>=-b a b y a x 标准方程（焦点在y 轴）)0,0(12222>>=-b a b x a y 定义第一定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值是常数（小于12F F ）的点的轨迹叫双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。
{}a MF MF M221=-()212F F a <范围 x a ≥，y R ∈y a ≥，x R ∈对称轴x 轴 ，y 轴；实轴长为2a ,虚轴长为2b对称中心 原点(0,0)O焦点坐标1(,0)F c - 2(,0)F c1(0,)F c - 2(0,)F c焦点在实轴上，22c a b =+；焦距：122F F c =顶点坐标（a -,0） (a ,0) (0, a -,) (0，a )离心率 e a ce (=>1)渐近线方程x a b y ±=x bay ±= 共渐近线的双曲线系方程k by a x =-2222（0k ≠） k bx a y =-2222（0k ≠） xyP1F 2FxyxyP1F 2F xy知识点一. 双曲线的定义1、 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，则表示点M 在双曲线右支上；2、当a MF MF 212=-时，则表示点M 在双曲线左支上；注意：1、定义中的“（小于12F F ）”这一限制条件，其根据是“三角形两边之和之差小于第三边”。
2、 若2a =2c 时，即2121F F MF MF =-,当2121F F MF MF =-，动点轨迹是以2F 为端点向右延伸的一条射线；当2112F F MF MF =-时，动点轨迹是以1F 为端点向左延伸的一条射线；若2a ＞2c 时，动点轨迹不存在.知识点二．双曲线的标准方程判别方法是： 如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上； 如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.【例题精讲】例1、双曲线x 210－y 22＝1的焦距为( )A ．32B ．4 2C ．3 3D ．4 3例2．双曲线的两焦点坐标是F 1(3,0)，F 2(－3,0),2b ＝4，则双曲线的标准方程是( )A.x 25－y 24＝1B.y 25－x 24＝1C.x 23－y 22＝1D.x 29－y 216＝1例3、双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A .x 24－y 24＝1B .y 24－x 24＝1 C .x 28－y 24＝1 D .y 28－x 24＝1【同步练习】1．已知双曲线的焦点在x轴上，且a＋c＝9，b＝3，则它的标准方程是________．2．P是双曲线x2－y2＝16的左支上一点，F1，F2分别是它的左，右焦点，则|PF1|－|PF2|＝________.3、若动点P到F1(－5,0)与到F2(5,0)的距离的差为±8，则P点的轨迹方程是()A.x225＋y216＝1 B.x225－y216＝1 C.x216＋y29＝1 D.x216－y29＝14．已知两定点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，则当a＝3和a＝5时，P点的轨迹为()A．双曲线和一条直线B．双曲线和一条射线C．双曲线的一支和一条射线D．双曲线的一支和一条直线5．已知椭圆C1的离心率为35，焦点在x轴上且长轴长为10，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的差的绝对值等于4，则曲线C2的标准方程为()A.x24－y25＝1 B.x25－y24＝1 C.x252－y242＝1 D.x242－y252＝16、若双曲线x216－y29＝1上的点P到点(5,0)的距离是15，则点P到点(－5,0)的距离是()A．7 B．23 C．5或25 D．7或237、已知双曲线的焦距为26，a2c＝2513，则双曲线的标准方程是________．8、“ab <0”是“方程ax 2＋by 2＝c 表示双曲线”的________条件．专题精讲【例题精讲】例1.已知双曲线x 23－y 2m ＝1的离心率e ＝233，则实数m 的值是________．例2、设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22x D ．y ＝±12x例3、双曲线的焦点在y 轴上，且它的一个焦点在直线5x －2y ＋20＝0上，两焦点关于原点对称，离心率e ＝53，则此双曲线的方程是( )A.x 236－y 264＝1 B.x 264－y 236＝1 C.x 236－y 264＝－1 D.x 264－y 236＝－1例4、若双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a 等于( )A ．2 B. 3 C.32 D ．1【同步练习】1、设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a>0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．12、双曲线22149x y -=的渐近线方程是（ ） （A ）23y x =± （B ）49y x =± （C ）32y x =± （D ）94y x =±3、双曲线12222=-ay b x 的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（ ）A ．2B ．3C ．2D ．234、已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，0），则双曲线方程为（ ）（A ）112422=-y x （B ）141222=-y x （C ）161022=-y x （C ）110622=-y x5、如图，1F 和2F 分别是双曲线)0,0(12222 b a br a x =-的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）（A ）3 （B ）5 （C ）25（D ）31+6、已知双曲线22112x y n n-=-的离心率是3。
双曲线及其标准方程 课件
(3)设双曲线的方程为 Ax2＋By2＝1，AB<0. ∵点 P，Q 在双曲线上，
∴92A956＋A2＋12652B5B＝＝1，1，
解得AB＝＝－19. 116，
∴双曲线的标准方程为y92－1x62 ＝1.
[规律方法] 1.求双曲线标准方程的步骤 (1)确定双曲线的类型，并设出标准方程； (2)求出 a2，b2 的值． 2．当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在 x 轴上和 y 轴上两 种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为 Ax2 ＋By2＝1(AB<0)来求解．
图 2-3-1
[思路探究]
建立平面直 角坐标系
→
由已知条件得 到边长的关系
→
判断轨迹 的形状
→
写出轨迹方程
[解] 以 AB 边所在的直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直
角坐标系，如图所示，则 A(－2 2，0)，B(2 2，0)．由正弦定理，得 sin A＝|B2CR|，
sin B＝|A2CR|，sin C＝|A2RB|(R 为△ABC 的外接圆半径)．
求双曲线的标准方程
例 2、根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)a＝4，经过点
A1，－4
310；
(2)与双曲线1x62 －y42＝1 有相同的焦点，且经过点(6，5且焦点在坐标轴上．
[思路探究] (1)结合 a 的值设出标准方程的两种形式，将点 A 的坐标代 入求解．
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°， 所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|， 所以|PF1|·|PF2|＝64， ∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2 ＝12×64× 23＝16 3.
双曲线及其标准方程 课件
新知视界
1．双曲线的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个 定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线 的焦距．
思考感悟
1．双曲线的定义中，常数为什么要小于|F1F2|? 提示：①如果定义中常数改为等于|F1F2|，此时 动点的轨迹是以 F1、F2 为端点的两条射线(包括端 点)． ②如果定义中常数为 0，此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线． ③如果定义中常数改为大于|F1F2|，此时动点轨 迹不存在．
解得ab22＝ ＝19， 6， ∴双曲线的方程为1y62 －x92＝1.
(2)解法一：设双曲线方程为xa22－by22＝1. 由题意易求得 c＝2 5. 又双曲线过点(3 2，2)，∴3a222－b42＝1. 又∵a2＋b2＝(2 5)2，∴a2＝12，b2＝8. 故所求双曲线的方程为1x22 －y82＝1.
2．平面内与两个定点F1、F2的距离的差等于常数 (小于
|F1F2|)的点的轨迹是不是双曲线？ 提示：不是，是双曲线的某一支．
在双曲线的定义中，P为动点，F1，F2分别为双曲 线的左、右焦点，则①|PF1|－|PF2|＝2a，曲线只表示 双曲线的右支．
② |PF1| － |PF2| ＝ － 2a ， 曲 线 只 表 示 双 曲 线 的 左 支．
类型三 双曲线中的焦点三角形 [例 3] 若 F1，F2 是双曲线x92－1y62 ＝1 的两个 焦点，P 是双曲线上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试 求△F1PF2 的面积．
双曲线 [分析] 双曲线方程 的―定―→义 |PF1|－|PF2|＝±2a ―平―方→ |PF1|2＋|PF2|2的值 余―弦―定→理 ∠F1PF2＝90° 面积公式 ――→ S△F1PF2
双曲线及其标准方程课件
(3)当 k<0 时，方程为y42－－x24k＝1，表示焦点在 y 轴上的双曲线；
(4)当 0<k<1 时，方程为x42＋y42＝1，表示焦点在 x 轴上的椭圆； k
(5)当 k>1 时，方程为x42＋y42＝1，表示焦点在 y 轴上的椭圆． k
[一点通] 解决这类题的基本方法是分类讨论，在分
类讨论的过程中应做到不重不漏，选择适当的分界点．在
(3)若|F1F2|<2a，动点的轨迹不存在．
2．通过双曲线方程xa22－by22＝1(焦点在 x 轴上)和ay22－xb22 ＝1(焦点在 y 轴上)(a>0，b>0)可以看出：如果 x2 项的系 数是正的，那么焦点在 x 轴上；如果 y2 项的系数是正的， 那么焦点在 y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于 b，但是无 论双曲线的焦点在哪个轴上，方程中的三个量都满足 c2 ＝a2＋b2.
[例3] 已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同 范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型．
[思路点拨] 解答本题可依据所学的各种曲线的标准形 式的系数应满足的条件进行分类讨论．
[精解详析] (1)当 k＝0 时，y＝±2，表示两条与 x 轴平行 的直线；
(2)当 k＝1 时，方程为 x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径 为 2 的圆；
72 b2 ＝1，
解得a12＝19， b12＝116，
即 a2＝9，b2＝16.
∴所求双曲线的标准方程为y92－1x62 ＝1.
法二：∵双曲线的焦点位置不确定，
∴设双曲线方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)． ∵P1，P2 在双曲线上，所以
4m＋445n＝1， 196×7m＋16n＝1，
双曲线及其标准方程完整版课件
2
则双曲线的标准方程为20 − 16 =1.
(2)设双曲线方程为 mx2-ny2=1,
1
= 25 ,
49-72 = 1,
则有
解得
1
28-9 = 1,
= ,
75
2
2
则双曲线的标准方程为25 − 75 =1.
归纳总结
求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可
以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法求出a,b
联立两方程解得 x=8(舍负),y=5 3,
所以 P(8,5 3),
kPA=tan∠PAx= 3,所以∠PAx=60°,
所以 P 点在 A 点的北偏东 30°方向.
当堂达标
1.已知两定点F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,则当a=3和5时
,P点的轨迹为(
)
A.双曲线和一条直线
情景导学
双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声
音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双
曲线的有关问题。
问题导学
新知探究
如图，在直线
l 上取两个定点
在平面内，取定点
F1 , F 2，以点 F1 为圆心、线段
在以 F 2 为圆心、线段
我们知道，当点
2
2
解析:∵方程1+ + -2=1,∴(m-2)(m+1)<0,
解得-1<m<2,∴m的取值范围是(-1,2).
答案:D
)
4. 一块面积为12公顷的三角形形状的农场.如图所示△PEF,已知
1
tan∠PEF=
《双曲线及其标准方程》教学设计
《双曲线及其标准方程》教学设计【教学目标】知识与技能：1 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。
2 能用坐标发解决一些与双曲线有关的简单几何问题和实际问题，在解决问题的过程中，体会a,b,c,的几何意义以及双曲线性质的应用3 了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，进一步感受数形结合的基本思想在解析几何中的作用。
过程与方法：在探究过程中,运用数形结合和方程的思想,以运动的观点观察问题，思考问题，分析问题,进一步提高学生解决问题的能力情感、态度与价值观：通过类比的思想让学生感受的事物之间的相互联系，通过对定义的学习培养学生思考问题的严谨性。
【教学重点】重点：双曲线的有关概念及类比椭圆的学习方式学习双曲线的简单几何性质。
难点：运用概念及性质解决有关数学问题和实际问题，数形结合的思想，方程的思想及转化的思想在研究问题和解决问题中的应用。
【教学程序与设计环节】【教学仪器】电脑，投影仪【教学过程与操作设计】【情景一】问题引入：前面我们一起学习了椭圆，请同学们回忆一下椭圆的定义是什么？（请一位同学回答）如果把定义中距离的和改成距离的差那又变成了什么曲线了呢？【设计意图】与椭圆的定义进行类比，引起学生认知上的冲突．【情景二】（幻灯片：双曲线的几何画板演示）【设计意图】通过直观感受让学生印象更深刻【情景三】（切换幻灯片）让同学们分组讨论总结出双曲线的定义，并思考定义中关键词是什么？（教师板书课题：双曲线及其标准方程）（3分钟后）根据讨论结果总结出：定义中的差的绝对值和常数小于两定点距离是关键词（切换幻灯片）【设计意图】通过分组讨论培养学生合作学习的能力和意识．【情景四】了解了双曲线的定义后，我们下面来研究一下双曲线的标准方程怎样推导，请大家先回顾一下推导轨迹方程的一般步骤是什么（请学生回答教师给予点评），再请同学们思考椭圆标准方程的推导过程可不可以类似的得出双曲线的标准方程呢？【设计意图】进一步巩固用类比的方法解决圆锥曲线的问题．【问题解决】讨论：以上是焦点在X轴上的情况，对于焦点在Y轴上的情形是什么样的呢？【设计意图】经过讨论可根据椭圆方程的类比得出结论．这个问题是对该方法的进一步的应用，使学生熟练和运用这种思想，并用之培养学生数学分析问题、解决问题的能力．【例题讲解】【设计意图】例1是求双曲线标准方程的简单应用，可针对学生的实际情况添加或减少练习的数量。
双曲线及其标准方程课件
音乐艺术
双曲线在音乐艺术中用于 创作优美的音乐旋律和和 声，特别是在处理音高和 音程时。
交通工程
双曲线在交通工程中用于 设计道路和轨道，特别是 在处理弯道和交叉口时。
04
双曲线的图像绘制
使用数学软件绘制双曲线
使用Ge双曲 线。用户只需在软件中输入双曲线的标准方程，即可自动生 成对应的双曲线图像。
05
双曲线的性质与方程 的关联
双曲线的性质与标准方程的关系
焦点距离
双曲线的标准方程中的系数与焦 点距离有关，决定了双曲线的开
口大小和方向。
渐近线
双曲线的标准方程中的系数决定了 渐近线的斜率和截距，反映了双曲 线的形状和位置。
离心率
双曲线的标准方程中的系数与离心 率有关，离心率决定了双曲线的开 口程度和形状。
推导结果
01
双曲线的标准方程为
$frac{x^2}{a^2}
-
frac{y^2}{b^2} = 1$。
02
其中$a > 0, b > 0$，且满足 $c^2 = a^2 + b^2$。
推导结论
双曲线是一种特殊的二次曲线，其标 准方程反映了双曲线的几何特性。
双曲线的焦点到曲线上任意一点的距 离之差为常数，这个常数等于两焦点 之间的距离的一半。
绘制双曲线
在工具箱中选择“双曲线”工具，然 后在绘图区域单击并拖动鼠标，即可 绘制出双曲线。用户可以根据需要调 整双曲线的参数和位置。
使用手工绘制双曲线
准备工具
准备一张纸、一支笔和一把直尺。
绘制过程
首先在纸上确定双曲线的中心和焦点，然后使用直尺和笔绘制出双曲线的渐近线。接着，使用笔和直尺在纸上绘 制出双曲线的上半部分。最后，使用对称性画出双曲线的下半部分。这种方法虽然比较传统，但对于理解双曲线 的几何意义非常有帮助。
《双曲线及其标准方程》 讲义
《双曲线及其标准方程》讲义一、双曲线的定义我们先来看双曲线的定义。
平面内到两个定点\（F_1\）、＼（F_2\）的距离之差的绝对值等于常数\（2a\）（＼（2a ＜｜F_1F_2|＼））的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点\（F_1\）、＼（F_2\）叫做双曲线的焦点，两焦点之间的距离\（｜F_1F_2|＼）叫做焦距。
为了更好地理解这个定义，咱们来举个例子。
想象有两个固定的点，比如说一个在左边，一个在右边。
然后有一个动点，它到这两个固定点的距离之差的绝对值始终是一个固定的值，而且这个值小于两个固定点之间的距离，那么这个动点的运动轨迹就是一条双曲线。
这里要特别注意几个关键点。
首先，常数\（2a\）必须小于焦距\（｜F_1F_2|＼），如果\（2a ＝｜F_1F_2|＼），那动点的轨迹就变成了以两个定点为端点的两条射线；要是\（2a ＞｜F_1F_2|＼），就不存在这样的轨迹了。
二、双曲线的标准方程接下来咱们讲讲双曲线的标准方程。
当双曲线的焦点在\（x\）轴上时，它的标准方程是\（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ 0\），＼（b ＞ 0\）），其中\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\），＼（c\）表示半焦距，焦点坐标为\（（＼pm c, 0)＼）。
当双曲线的焦点在\（y\）轴上时，标准方程则是\（＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ 0\），＼（b ＞ 0\）），此时\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\），焦点坐标为\（（0, ＼pm c)＼）。
那这两个方程是怎么来的呢？咱们可以通过建立合适的坐标系，利用双曲线的定义来推导出来。
比如说，当焦点在\（x\）轴上时，我们设两个焦点的坐标分别为\（F_1(c, 0)＼），＼（F_2(c, 0)＼），然后设动点\（P(x, y)＼），根据双曲线的定义\（｜PF_1 PF_2| ＝ 2a\），通过一系列的代数运算和化简，就能得到标准方程\（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\）。
双曲线的标准方程
双曲线的标准方程双曲线是解析几何中的一类二次曲线，具有许多特殊的几何和代数性质。
本文将详细介绍双曲线的标准方程及其性质。
1. 双曲线的定义双曲线是指一组点P和一个点F，满足从P到F到一个定点D的距离差的绝对值等于一个定值e，即PF - PD = e。
双曲线可以通过椭圆的定义进行推导。
如果从椭圆上的固定点F到点P的距离之和等于一个定值2a，那么从F到P的距离差将等于2a - 2PF，即PF - PD = e，其中e = 2a - 2c，c为椭圆的其中一个焦点到椭圆中心的距离。
因此，双曲线可以看作是一个椭圆的镜像，是的焦点位置沿着中心轴移动了一段距离，从而形成的一组点。
2. 双曲线的标准方程双曲线的标准方程通常写作：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a > 0, b > 0)这里的a和b分别是椭圆的半轴。
对于双曲线的方程，可以进一步推导出其他形式。
例如，将x和y交换，在方程中加上常数c，可以得到：-y^2/a^2 + x^2/b^2 = c这种形式叫做横向双曲线；另一种形式是纵向双曲线：y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1这里的a和b是椭圆的半轴。
3. 双曲线的几何性质双曲线有一些有趣的几何性质，如下所示：(1) 双曲线具有两个分离的分支，这两个分支无穷远处相交于双曲线的渐近线。
(2) 双曲线的渐近线是其方程中不等于0的项所对应的直线。
(3) 双曲线对称于其两条渐近线。
(4) 双曲线移动或旋转后仍然是双曲线。
(5) 两个相交的双曲线组成了双曲线族。
(6) 双曲线上的点到两个焦点的距离之差等于常数e。
4. 双曲线的代数性质双曲线也有许多有趣的代数性质，例如：(1) 双曲线是一类二次曲线，它们的方程可以写成x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0的形式。
(2) 双曲线的法线与其渐近线的夹角相等。
(3) 双曲线的切线与两个焦点之间的连线垂直。
(4) 不同的双曲线是正交的。
双曲线及其标准方程-数学选修
contents
目录
• 双曲线的定义与性质 • 双曲线的标准方程 • 双曲线的图像与性质 • 双曲线的应用 • 双曲线的扩展知识
01 双曲线的定义与性质
双曲线的定义
双曲线是由平面与双曲面相交形成的曲线。双曲面是一种三维几何体，它有两个对 称的曲面，称为双曲抛物面。
在平面直角坐标系中，双曲线通常表示为两个分支的曲线，这两个分支在两个不同 的象限内。
双曲线反射镜常用于反射望远镜的主 反射镜，能够将光线反射并聚焦在副 镜上，再通过目镜观察。
物理中的应用
波动理论
在物理中，双曲线常被用于描述 波动现象，如声波、电磁波等。 通过双曲线方程可以描述波的传 播规律和性质。
运动轨迹
在某些物理问题中，双曲线可以 用来描述物体的运动轨迹，例如 行星绕太阳的椭圆轨道可以用双 曲线的一段来表示。
02 双曲线的标准方程
焦点在x轴上的双曲线标准方程
方程形式
$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$
焦点位置
$F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$
参数含义
$a$为半主轴长，$b$为半副轴长，$c=sqrt{a^2+b^2}$为焦 距。
焦点在y轴上的双曲线标准方程
方程形式
01
$frac{y^2}{b^2} - frac{x^2}{a^2} = 1$
焦点位置
02
$F_1(0,c)$，$F_2(0,-c)$
参数含义
03
与焦点在x轴上的双曲线相同。
双曲线标准方程的推导
基于平面几何的性质
推导过程
通过平面几何中点与点的距离公式， 推导出双曲线的标准方程。
双曲线及其标准方程 课件
焦距
|F1F2|＝2c，c2＝__a_2＋__b_2__
探究点一 双曲线的定义 问题 1 取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各
选择一点，分别固定在点 F1，F2 上，把笔尖放在点 M 处， 拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲 线满足什么条件？ 答案 如图，曲线上的点满足条件： |MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下位置， 使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线．
结论：平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等于 常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做 双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
问题 2 双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离 差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什 么？
答案 若没有绝对值，动点的轨迹就成了双曲线的一 支．
因此炮弹爆炸点的轨迹(双曲线)方程为 115x2600－44y4200＝1 (x>0)．
小结 (1)解答与双曲线有关的应用问题时，不但要准确把 握题意，了解一些实际问题的相关概念，同时还要注意双 曲线的定义及性质的灵活应用． (2)实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着 的变量范围．
(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a，
可得 x＋c2＋y2－ x－c2＋y2＝±2a.
①
(4)化简：移项，平方后可得
(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)．
令 c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为
xa22－by22＝1 (a>0，b>0)．
②
(5)从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足 方程②；以方程②的解(x，y)为坐标的点到双曲线两个焦点 (－c,0)，(c,0)的距离之差的绝对值为 2a，即以方程②的解 为坐标的点都在双曲线上，这样，就把方程②叫做双曲线
双曲线及其标准方程课件
欢迎来到本次ppt课件，将带您深入了解双曲线及其标准方程。让我们一起探 索这个有趣而美丽的数学概念！
什么是双曲线？
双曲线是数学中的一种曲线，它的形状类似于一个张开的双金属圆弧。它具有很多独特的特性和 性质。
图形特征
形状
双曲线的主轴长度大于副轴 长度，呈现出独特的开口形 状。
双曲线的图像与性质
焦点与准线
双曲线有两个焦点和两条 准线，这些元素决定了曲 线的位置和形状。
双曲线的离心率
离心率是衡量曲线弯曲程 度的指标，对于双曲线而 言，离心率大于1。
双曲线的对称性
双曲线具有对称性，关于 焦点、顶点、中心和原点 都存在对称性。
双曲线的应用
天文学
双曲线在行星轨道和彗星轨道的描述中发挥着重要作用。
渐近线
双曲线具有两条渐近线，可 以帮助我们更好地理解其形 状和趋势。
顶点
双曲线有两个顶点，它们是 曲线的最近点和最远点。
双曲线的标准方程
1 横轴标准方程
x²/a² - y²/b² = 1
2 纵轴标准方程
y²/a² - x²/b² = 1
3 参数方程
x = a*cos(θ), y = b*sin(θ)
通信技术
双曲线广泛应用于卫星通信和雷达系统中。
工程建模
双曲线在工程建模、电子设计和信号处理等领Leabharlann 具有广泛的应用价值。练习题
1
问题1
找到双曲线的焦点和准线。
问题2
2
计算给定双曲线的离心率。
3
问题3
应用双曲线方程解决实际问题。
结论和要点
1 双曲线是一种独特的数学曲线。
它具有特殊的形状、标准方程和性质。
双曲线及其标准方程 课件
所以a29925a－62 －12622bb5522＝＝11，，解得ab22＝ ＝－ －196，(舍去)． 若焦点在 y 轴上，设双曲线的方程为ay22－xb22＝1(a>0，b>0)，
将
P、Q
两点坐标代入可得1262a52－b92＝1， 2a52 －295b62 ＝1，
解得ab22＝ ＝91，6，
讲一讲 3．如图，在△ABC 中，已知|AB|＝4 2，且三内
角 A，B，C 满足 2sin A＋sin C＝2sin B，建立 适当的坐标系，求顶点 C 的轨迹方程．
[尝试解答] 以 AB 边所在的直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系如 图所示，则 A(－2 2，0)，B(2 2，0)． 由正弦定理，得 sin A＝2aR，sin B＝2bR，
2|PF1|·|PF2|＝36， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2 中，由余弦定理得 cos∠F1PF2＝|PF1|22＋|PF|P1F|·2|2|P－F|F2| 1F2|2 ＝2|P10F01－|·1|P00F2|＝0， ∴∠F1PF2＝90°， ∴S△ F1PF2 ＝21|PF1|·|PF2|＝12×32＝16.
∴所求双曲线的标准方程为x52－y2＝1. 法二：∵焦点在 x 轴上，c＝ 6，
∴设所求双曲线方程为λx2－6－y2 λ＝1(其中 0<λ<6)．
∵双曲线经过点(－5，2)，
∴2λ5－6－4 λ＝1，∴λ＝5 或 λ＝30(舍去)．
∴所求双曲线的标准方程是x52－y2＝1.
讲一讲 2．如图，若 F1，F2 是双曲线x92－1y62 ＝1 的
双曲线及其标准方程
双曲线及其标准方程
双曲线及其标准方程学科：数学教学内容：双曲线及其标准方程【基础知识精讲】1.双曲线的定义平面内与两定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数(大于零小于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫双曲线.两定点F 1、F 2是焦点，两焦点间的距离｜F 1F 2｜是焦距，用2c 表示.常数用2a 表示.(1)若｜MF 1｜-｜MF 2｜=2a 时，曲线只表示焦点F 2所对应的一支双曲线. (2)若｜MF 1｜-｜MF 2｜=-2a 时，曲线只表示焦点F 1所对应的一支双曲线.(3)若2a=2c 时，动点的轨迹不再是双曲线，而是以F 1、F 2为端点向外的两条射线. (4)若2a ＞2c 时，动点的轨迹不存在. 2.双曲线的标准方程22a x -22b y =1(a ＞0,b ＞0)焦点在x 轴上的双曲线；22a y -22bx =1(a ＞0,b ＞0)焦点在y 轴上的双曲线. 判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x 2、y 2的分母的大小，而是x 2、y 2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上.本节学习方法：本节要紧数学思想和方法：方程思想，利用双曲线的定义等条件求双曲线方程.常用特定系数法、定义法和轨迹法等.双曲线和椭圆一样，差不多上解析几何的重要部分，双曲线的学习可通过与椭圆对比去把握.它与直线、圆联系紧密，涉及到距离公式、弦长问题，面积公式及方程中的韦达定理等知识，也是高考的重点内容. 【重点难点解析】1.双曲线的定义，标准方程与椭圆类似，本小节在数学思想和方法上没有新内容，学习中应着重对比椭圆与双曲线的相同点和不同点，专门是它们的不同点.2.与建立椭圆的标准方程一样，建立双曲线的标准方程是，从“平面内到两定点的距离差的绝对值是常数(与椭圆不同，那个常数要大于0且小于｜F 1F 2｜)的点M 的轨迹”那个双曲线的定义动身，推导出它的标准方程.推导过程说明，双曲线上任意一点的坐标都适合方程22a x -22b y =1；但关于坐标适合方程22a x -22by =1的点都在双曲线上，即完备性未加以证明. 例1 若方程m x -22+3m y 2-=1表示双曲线，则实数m 的取值范畴是( )A.-3＜m ＜2或m ＞3B.m ＜-3或m ＞3C.-2＜m ＜3D.-3＜m ＜3或m ＞3分析 该方程表示双曲线，则x 2与y 2项的系数的符号相反，即(2-m)(｜m ｜-3)＜0，将问题转化为不等式的求解.答：A例2 求与椭圆252x +92y =1共焦点，且过点(32，7)的双曲线的方程.分析一 由题意知所求双曲线的焦点在x 轴上，且焦距为8，∴c=4,设所求双曲线方程为2216λ-x -22λy =1代入点(32，7)，得λ2=7，故所求双曲线方程为92x -72y =1.分析二 运用与椭圆共焦点的曲线系方程.设所求双曲线方程为λ-252x +λ-92y =1，代入点(32，7)，得λ=16或λ=-7(舍)，故所求双曲线方程为92x -72y =1.例3 课本第108页习题8.3第一题：△ABC 一边的两个端点是B(0，6)和C(0，-6)，另两边所在直线的斜率之积是94，求顶点A 的轨迹. 分析 其顶点A 的轨迹方程求得：362y -812x =1(x ≠0).若将问题一样化：B(0，a)、C(0，-a) k AB ·k AC =22b a ，则顶点A 的轨迹方程为：22a y -22b x =1(x ≠0).若B(bcot φ，acos φ)、C(-cotφ，-acsc φ).k AB ·k AC =22ba ，则顶点A 的轨迹会是如何样?反之，双曲线22a y -22b x =1(x ≠0)上任一点到B(0，a)，C(0，-a)两点的连线的斜率之和，等于22b a ;若改变B 、C 的位置保持B 、C 两点关于原点对称于双曲线上，k AB ·k AC =22ba 是否成立.总之，同学们在学习过程中要多动手、多摸索，举一反三，做到“以点代面，以少胜多”.【难题巧解点拨】例1 一动圆与圆(x+3)2+y 2＝1外切又与圆(x-3)2+y 2＝9内切，求动圆圆心轨迹方程. 分析 如图，设动圆M 与⊙O 1外切于A ，与⊙O 2内切于B ，由位置关系可得数量关系：｜MO 1｜＝｜MA ｜+1 ｜MO 2｜＝｜MB ｜-3 由｜MA ｜＝｜MB ｜可得｜MO 1｜-｜MO 2｜＝4 由定义可知M 点轨迹为双曲线的一支.解：如图，设动圆圆心M 坐标为M(x,y)，圆M 与圆O 1外切于A ，与圆O 2内切于B ，则，MO 1＝｜MA ｜+1①，｜MO 2｜＝｜MB ｜-3②，①-②：｜MO 1｜-｜MO 2｜＝4由双曲线定义知，M 点轨迹是以O 1(-3，0)O 2(3，0)为焦点2a ＝4的双曲线的右支 ∴b 2＝32-22＝5∴所求轨迹方程为：42x -52y ＝1(x ≥2)说明：在求轨迹方程时，要注意使用曲线的定义，现在的思路：位置关系(内切，外切)数量关系(｜MO 1｜＝r+r 1,｜MO 2｜＝r-r 2其中r 为动圆半径)曲线形状(写出标准方程)，能够简化运算.同时应注意定义中是到两定点距离的绝对值，现在不含绝对值，要求｜MO 1｜>｜MO 2｜，因此是双曲线的右支，而不是整个双曲线.例2 过双曲线92x -162y ＝1的右焦点作倾角为45°的弦，求弦AB 的中点C 到右焦点F的距离，并求弦AB 的长.分析 将直线方程与双曲线方程联立，求出A 、B 两点的坐标，再求其中点，由两点的距离公式求出｜CF ｜.解：∵双曲线的右焦点为F(5，0)，直线AB 的方程为y ＝x-5，故消去y ，并整理得 7x 2+90x-369＝0 ③此方程的两个根x 1、x 2是A 、B 两点的横坐标，设AB 的中心点C 的坐标为(x,y)，则x ＝221x x +＝2790-＝-745.C 点的坐标满足方程②，故 y ＝-745-5＝-780∴｜CF ｜＝22)780()7455(++＝2(5+745) ＝7280又设A 点坐标为(x 1,y 1),B 点坐标为(x 2,y 2)，则y 1＝x 1-5,y 2＝x 2-5. ∴y 1-y 2＝x 1-x 2，｜AB ｜＝221221)()(y y x x -+-＝221221)()(x x x x -+- ＝221)(2x x -＝]4)[(221221x x x x -+ 由方程③知 x 1+x 2＝-790,x 1·x 2＝-7369 ∴｜AB ｜＝]71476498100[2+ ＝4936860＝7192＝2773 点评：利用韦达定理及两点间距离公式求弦长.【命题趋势分析】双曲线与直线、圆和椭圆联系紧密，涉及到距离公式、弦长及面积公式、方程中的韦达定理和判别式的运用；还涉及到弦的中点轨迹问题、中点弦问题，对称问题与最值问题等差不多上高考的重要内容.如“能力演练”中有许多曾是高考题或样题，同学们在学习中应该重基础知识和差不多的数学思想数学方法的运用.训练能力，创新思维，做到举一反三.触类旁通.【典型热点考题】例1 设F 1和F 2为曲线42x -y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2=90°，则求△F 1PF 2的面积.分析一 依题意求出P 点的纵坐标，据面积公式运算△F 1PF 2的面积. 设P(x 1,y 1),由PF 1⊥PF 2得511+x y ·511-x y =-1即 y 21=5-x 21又 x 21-4y 21=4 联立解得y 1=±55 ∴21PF F S △=21｜F 1F 2｜·｜y 1｜=21·2c ·55 =1分析二 运用双曲线定义解题 由点P 在双曲线上，知｜｜PF 1｜-｜PF 2｜｜=4且｜PF 1｜2+｜PF 2｜2=20 联立解得｜PF 1｜·｜PF 2｜=2 ∴21PF F S △=21｜PF 1｜·｜PF 2｜=1 例2 已知l 1、l 2是过点P(-2，0)的两条互相垂直的直线，且l 1、l 2与双曲线y 2-x 2=1各有两个交点，分别为A 1、B 1和A 2、B 2.(1)求l 1的斜率k 1的取值范畴.(2)若｜A 1B 1｜=5｜A 2B 2｜；求l 1、l 2的方程.分析 设直线斜率为k ，联立方程组求解.(1)因为若l 1、l 2中有一条斜率不存在，就可推出另一条斜率为零而与双曲线不相交，因此l 1、l 2的斜率k 1、k 2均不为零.设l 1:y=k 1(x+2), l 2:y=-11k (x+2) 把它们代入双曲线方程分别得 (k 21-1)x 2+22k 21x+2k 21-1=0①(k 21-1)x 2-22x+k 21-2=0②当k 1=±1时，方程①、②均为一次方程不符合题意， 因此，当k 1≠±1时由①、②的判别式都大于零得⎪⎩⎪⎨⎧>->-041204122121k k k 1∈(-3，-33)∪(33，3)且k 1≠±1 (2)由①、②可知｜A 1B 1｜ =211k +·212214)(x x x x -+=211k +·22121)1(412--k k ｜A 2B 2｜=211k +·22121)1(412--k k∵｜A 1B 1｜=5｜A 2B 2｜∴解得 k 1=±2,k 2=±22 ∴所求直线方程为 l 1:y=2(x+2),l 2:y=-22(x+2) 或l 1:y=-2 (x+2),l 2:y=22(x+2). 例3 如图，给出定点A(a,0)，(a ＞0)和直线l :x=-1.B 是直线l 上的动点，∠BOA 的角平分线交AB 于C.求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系.分析 设B(-1，y 0)，C(x,y)，由角平分线的性质有CB AC =OB OA ,当y 0≠0时，又由平行线性质有CBAC =EDAE =BFFD =BFCE∴OBOA =EDAE =BFCE即有21y a+=1+-x x a =yy y -0 (易知y 与y 0-y 同号，0＜x ＜a) 由21y a+=1+-x xa 得 a 2(x+1)2=(a-x)2(1+y 20) ① 又由1+-x x a =y y y -0得y 0=xa a -+1·y②由①、②消去y 0并整理得(1-a)x 2-2ax+(1+a)y 2=0 ③当y 0=0时易知点C 即为原点，现在x=0，y=0，亦满足③，故所求点C 的轨迹方程是：(1+a)x 2-2ax+(1+a)y 2=0(0≤x ＜a)④(1)当a=1时，方程为y 2=x(0≤x ＜1) 表示抛物线弧段.(2)当a ≠1时，④变形为22)1()1(a a a a x ---+2221a a y -＝1(0≤x ＜a) 当0＜a ＜1时，方程④表示椭圆弧段； 当a ＞1时，方程④表示双曲线一支的弧段.【同步达纲检测】A 级一、选择题 1.设θ∈(43π，π)则方程x 2·cos θ-y 2sec θ=1所表示的曲线是( ) A.焦点在x 轴上的双曲线 B.焦点在y 轴上的椭圆C.焦点在x 轴上的椭圆D.焦点在y 轴上的双曲线2.假如双曲线92x -y 2=1的两个焦点为F 1、F 2，A 是双曲线上一点，且｜AF 1｜=5，那么｜AF 2｜等于( )A.5+10B.5+210C.8D.113.与两圆x 2+y 2=1和x 2+y 2-8x+7=0都相切的圆的圆心轨迹是( ) A.两个椭圆 B.两条双曲线C.一条双曲线和一条直线D.一个椭圆与一条双曲线4.以椭圆32x +42y =1的焦点为顶点，以那个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是( )A.32x -y 2=1B.y 2-32x =1 C.32x -42y =1D. 32y -42x =15.设动点P 到定点F 1(-5，0)的距离与它到定点F 2(5，0)的距离的差等于6，则P 点轨迹方程是( )A. 92x -162y =1B. 92y -162x =1C. 92x -162y =1(x ≥3)D. 92y -162x =1(x ≤-3)二、填空题6.若椭圆mx 2+ny 2=1(0＜m ＜n)和双曲线ax 2-by 2=1(a ＞0,b ＞0)有相同的焦点F 1、F 2，P 是两曲线的一个交点，则｜PF 1｜·｜PF 2｜= .7.过点A(-23，42)、B(3，-25)的双曲线的标准方程为 . 8.与双曲线16x 2-9y 2=-144有共同焦点，且过点(0，2)的双曲线方程为 . 三、解答题9.已知点A(3，0)，圆C ：(x+3)2+y 2=16，动圆P 与圆C 相外切并过点A ，求动圆圆心P 的轨迹方程.10.在双曲线x 2-y 2=1上求一点P ，使它到直线y=x 的距离为2.AA 级一、选择题1.直线l 过双曲线22a y -22bx =1的下方焦点F 1且与双曲线的下支交于A 、B 两点，F 2是双曲线的另一个焦点，且｜AB ｜=m,则△ABF 2的周长为( )A.4a+mB.4a+2mC.4a-mD.4a-2m2.若曲线x 2-y 2=a 2与曲线(x-1)2+y 2=1恰好有三个不同的公共点，则实数a 的值只能是( )A.a=0B.a=±1C.0＜｜a ｜＜1D.｜a ｜＞13.若a m x +32+am y -42=1表示双曲线，a 为负常数，则m 的取值范畴是( )A.(3a ,-4a) B.(4a ,-3a) C.(-∞,-4a )∪(3a,+∞)D.(- 3a ,4a )4.依次连接双曲线x 2-y 2=12与圆x 2+y 2=25的交点，则所成的图形是( ) A.三角形 B.菱形 C.矩形 D.正方形5.斜率为2的直线与双曲线2x 2-y 2=2交于P 、Q 两点，则线段PQ 的中点M 的轨迹方程是( )A.y=xB.y=x(｜x ｜＞2)C.y=x(｜x ｜＞22)D.y=x(｜x ｜≥2 )二、填空题6.已知B(-5，0)，C(5，0)是△ABC 的两个顶点，且sinB-sinC=53sinA,则顶点A 的轨迹方程是.7.已知双曲线22a x -22by =1(a ＞0,b ＞0)的弦AB 的中点为M ，O 为坐标原点，则直线OM和直线AB 的斜率的乘积为.8.关于x 的方程12 x =x+b 没有实数根，则实数b 的取值范畴是 . 三、解答题9.已知不论b 取何实数，直线y=kx+b 与双曲线x 2-2y=1总有公共点，试求实数k 的取值范畴.10.双曲线3x 2-y 2=1上是否存在关于直线=2x 对称的两点A 、B?若存在，试求出A 、B 两点的坐标；若不存在，说明理由.【素养优化训练】1.平面内有一条定线段AB ，其长度为4，动点P 满足｜PA ｜-｜PB ｜=3,O 为线段AB 的中点，则｜OP ｜的最小值是( )A.1B.23C.2D.42.P 为双曲线C 上的一点，F 1、F 2是双曲线C 的两个焦点，过双曲线C 的一个焦点作∠F 1PF 2的平分线的垂线，设垂足为Q ，则Q 点的轨迹是( )A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线3.给出下列曲线：①4x+2y-1=0;②x 2+y 2=3;③22x +y 2=1;④22x -y 2=1，其中与直线y=-2x-3有交点的所有曲线是( )A.①③B.②④C.①②③D.②③④4.若动圆P 与两定圆(x+5)2+y 2=1及(x-5)2+y 2=49都相内切或都相外切，则动圆圆心轨迹方程是( )A. 32x -42y =1B.32x -42y =1(x ＞0)C.92x -162y =1D.92x -162y =1(x ＞0)5.已知m,n 为两个不相等的非零实数，则方程mx-y+n=0与nx 2+my 2=mn 所表示的示意曲线是( )二、填空题6.已知双曲线x 2-32y =1,过点P(2，1)作直线交双曲线于A 、B 两点，并使P 为AB 的中点，则｜AB ｜= .7.若圆C 过双曲线92x -162y =1的两焦点，且截直线y=-1所得弦长为8，则圆C 的方程为 .8.过点M(3，-1)且被点M 平分的双曲线42x -y 2=1的弦所在直线方程为 .三、解答题9.若双曲线y 2-x 2=1上的点P 与其焦点F 1、F 2的连线互相垂直，求P 点的坐标.10.设k 和r 是实数，且r ＞0，使得：直线y=kx+1既与圆x 2+y 2=r 2相切，又与双曲线x 2-y 2=r 2有两个交点.(1)求证：21r-k 2=1,且｜k ｜≠1; (2)试问：直线y=kx+1能否通过双曲线x 2-y 2=42的焦点?什么缘故?【生活实际运用】活动1：求证直线y=kx+m 与双曲线22a x +22by =1相切的充要条件是：m 2=a 2·k-b 2若过双曲线上一点P(x 0,y 0)斜率为k 的切线为y=kx+y 0-kx 0,其中m=y 0-kx.且b 2x 20-a 2b 2,联立可解得斜率k=0202y a x b (y ≠0),代入切线方程可得过点P(x 0,y 0)双曲线的切线方程为20a x x -20byy =1 专门地，当y 0=0时亦合上面的方程.活动2：运用上面结论可求过双曲线22a x -22by =1上一点(x 0,y 0)的切线方程与法线方程，若双曲线方程为22a y -22bx =1时，过曲线上点(x 0,y 0)的切线和法线方程又是如何样?【知识验证实验】1.运用双曲线定义解方程｜｜x-3｜-｜x+3｜｜=2.解：该方程的解是以(-3，0)，(3，0)为焦点，2为实轴长的双轴线与x 轴交点的横坐标，其方程为x 2-82y =1，令y=0得x=±1，即原方程的解为x=±1. 2.运用双曲线图形解无理不等式212-x ＞x+1解：令y 1=212-x ,y 2=x+1，即x 2-421y =1(y 1≥0),在同一坐标系中画出两图形，使得双曲线的部分在直线部分上方的x 的值为原不等式的解.故原不等式的解集为(-∞，-1). 【知识探究学习】1.设声速为a 米/秒，在相距10a 米的A 、B 两监听室中，听到一爆炸声的时刻差为6秒，且纪录到B 处的声强是A 处的4倍，若已知声速a=340米/秒，声强与距离的平方成反比，试确定爆炸点P 到AB 的中点M 的距离.解：以AB 所在直线为x 轴，以线段AB 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，则A(-5a ，0)，B(5a,0)，P(x,y)，｜PA ｜-｜PB ｜=6a ，到A 、B 两点距离差为6a 的点在双曲线，22)3(a x -22)4(a y =1(x ≥3a)上 ①, 又B 处的声强是A 处声强的4倍，∴｜PA ｜2=4｜PB ｜2,即(x+5a)2+y 2=4［(x-5a)2+y 2］，3x 2+3y 2-50ax+75a 2=0 ②，由①、②消去y,得25x 2-150ax+81a 2=0，x=527a 或x=53a(舍去)，y=5896a ，∴｜PM ｜=22)5896()527(a a +=65a=34065(米)， 答：P 点到AB 中点M 的距离为34065米.2.如图所示，某农场在P 处有一肥堆，今要把这堆肥沿道路PA 或PB 送到大田ABCD 中去，已知AP=100m ，PB=150m,∠APB=60°，能否在大田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿PA 送肥较近，而另一侧的点沿PB 送肥较近?如能，请确定这条界线.解题思路：大田ABCD 中的点分成三类：第一类设PA 送肥较近，第二类沿PB 送肥较近，第三类沿PA 和PB 送肥一样远近，第三类构成第一类、第二类点的界线，即我们所要求的轨迹，设以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，设M 为界线所在曲线上的一点，则满足｜PA ｜+｜AM ｜=｜PB ｜+｜BM ｜,因此｜MA ｜-｜MB ｜=｜PB ｜-｜PA ｜=50.可知M 点的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线一支其方程可求得为6252x -37502y =1.(0≤y ≤60，25≤x ≤35)界线为双曲线在矩形中的一段.参考答案：【同步达纲检测】A 级1.D2.D3.C4.B5.C6. m 1-a17.42x -162y =1 8. 42y -212x =19.解：设P(x,y),依题意有｜PC ｜=｜PA ｜+4，∴P 点的轨迹是以C(-3，0)，A(3，0)为焦点，且实轴长为4的双曲线的右支、其方程为42x -52y =1(x ≥2)10.解：设P(csc θ,cot θ)，则2cot csc θ-θ=2∴,θθsin cos 1- =±2，∴tan 2θ=±2，由万能公式求得P(±45,±43)AA 级1.B2.A3.B4.C5.B6. 92x -162y =1(x ＜-3) 7. 22ab 8.(-∞,-1)∪［9，1］9.解：联立方程组⎩⎨⎧=-+=1222y x b kx y 消去y 得(2k 2-1)x 2+4kbx+2b 2+1=0,依题意有△=(4kb)2-4(2k 2-1)(2b 2+1)=-4(2k 2-2b 2-1)＞0，对所有实数b 恒成立，∴2k 2-1＜0，得-2k ＜k＜22 10.解：设AB ：y=-21x+m,代入双曲线方程得11x 2+4mx-4(m 2+1)=0,那个地点△=(4m)2-4×11［-4(m 2+1)］=16(2m 2+11)＞0 恒成立，设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),AB 的中点为M(x 0,y 0,)则x 1+x 2=-11m4，∴x 0=-112m ,y 0=-21x 0+m=1112m ,若A 、B 关于直线y=2x 对称，则M 必在直线y=2x 上，∴1112m =-114m得m=1，由双曲线的对称性知，直线y=-21x 与双曲线的交点的A 、B 必关于直线y=2x 对称.∴存在A 、B 且求得A(112，-111)，B(-112，111)【素养优化训练】1.B2.B3.D4.C5.C6.43374 7.x 2+(y-4)2=41 8.3x+4y-5=0 9.解：设P(x,y),∵F 1(0,-2),F 2(0, 2),∴1PF k =x y 2+,2PF k =xy 2-,∵x y 2+·x y 2-=-1,即x 2+y 2=1,又y 2-x 2=1，∴x=±22,y=±26,∴P 的坐标为(22，26)，(22，-26)，(-22，26)和(-22，-26) 10.解(1)因为直线y=kx+1与圆x 2+y 2=r 2相切，因此有1k 10k 02++-•=r,∴2k11+=r 2,∵r 2≠0,∴21r-k 2=1，又由于直线y=kx+1与双曲线x 2-y 2=r 2相交，故交点坐标(x,y)满足方程组⎩⎨⎧=-+=2221r y x kx y ②①,将①代入②得(1-k 2)x 2-2kx-(1+r 2)=0 ③,因直线与双曲线有两个交点，且对任意实数k ，直线不平行y 轴，故③有两个不同的实数根，因此1-k 2≠1,∴｜k ｜≠1(2)双曲线x 2-y 2=r 2的过点是F 1(-2r,0),F 2(2r,0)，若直线y=kx+1过点F 1,则 -2rk+1=0,即k=r21-，又由(1)结论21r -k 2=1得k 2=1与｜k ｜≠1矛质.故直线y=kx+1不可能过双曲线x 2-y 2=r 2的左焦点，同理可得，直线y=kx+1也不可能过双曲线x 2-y 2=r 2的右焦点.。
双曲线及其标准方程ppt课件
(2) MF1 MF2 2a 2c
(3) MF1 MF2 2a 2c
F1
M oF
2
结论：
1、当||MF1|-|MF2||= 2a<|F1F2|时，M点轨迹是双曲线
其中当|MF1|-|MF2|= 2a时，M点轨迹是双曲线 中靠近F2的一支； 当|MF2| - |MF1|= 2a时，M点 轨迹是双曲线中靠近F1的一支. 2、当 ||MF1|-|MF2||= 2a=|F1F2|时，M点轨迹是在直 线F1F2上且以F1和F2为端点向外的两条射线。
y2 a2
x2 b2
1(a0, b来自0)F (c,0), F (0,c)
焦点位 看分母大小，哪个大 看 x2 , y2 的系数正负，
置判断：就在对应的轴上
哪个为正就在哪个轴上
a,b,c 关系
c2 a2 b2
c2 a2 b2
例2已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹
爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮
弹爆炸点的轨迹方程.
解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地 晚2s,可知A地与爆炸点的距离比B地与爆炸点 的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点 的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的
生活中的双曲线
可口可乐的下半部 玉枕的形状
生活中的双曲线
双曲线的标准方程
求曲线方程的步骤： 1. 建系.
以F1,F2所在的直线为x轴，线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系 2.设点．
设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0)
3.列式 |MF1| - |MF2|=±2a
y
M
F OF
当焦点不明确在哪个轴上时，可设双曲线方程为Ax2＋ By2＝1(AB<0)．
双曲线及其标准方程概要课件
• 双曲线的定义与性质 • 双曲线的标准方程 • 双曲线的焦点与离心率 • 双曲线的渐近线与切线 • 双曲线的实际应用
01
双曲线的定义与性质
双曲线的定义
总结词
双曲线是由平面与双曲面相交形成的曲线，也可以由两定点和固定距离的点的轨 迹形成。
详细描述
双曲线是由平面与双曲面相交形成的曲线，其形状取决于平面的位置和双曲面的 形状。双曲线有两个分支，分别位于两个不同的平面上。双曲线也可以由两个定 点和固定距离的点的轨迹形成，其中固定距离称为焦距。
双曲线的焦点与离心率的关系
01
02
03
关系
推导
应用
04
双曲线的渐近线与切线
双曲线的渐近线
定义
双曲线的渐近线是与双曲线无限接近 但永不相交的直线。
几何意义
渐近线反映了双曲线的弯曲程度和方 向。
计算方法
对于标准方程$frac{x^2}{a^2} frac{y^2}{b^2} = 1$，渐近线方程为 $frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 0$。
双曲线的切线
定义
计算方法
几何意义
渐近线与切线的几何意义
相互关系 应用
05
双曲线的实际应用
双曲线在天文学中的应用
星体轨道计算
01
哈勃定律
02
宇宙膨胀理论
03
双曲线在物理学中的应用
声学波动 波动光学 量子力学
双曲线在其他领域的应用
经济预测
在经济领域，双曲线模型被用于预测经济趋势和周期性波动。
02
双曲线的标准方程
双曲线标准方程的推导
定义双曲线的焦点和准线
双曲线及其标准方程(新授课)
双曲线及其标准方程（新授课）高二年级：范兆强一、教学分析1、学生已有的主要知识结学生已经学习过椭圆，了解椭圆的定义。
经历了根据椭圆的几何特征，建立适当的直角坐标系，求椭圆标准方程的过程。
也了解椭圆的简单几何性质。
2、建立新的知识结构建立曲线方程的依据是：弄清曲线上的动点运动时所满足的几何条件。
与椭圆类比，弄清双曲线上的点所满足的几何条件。
类建立椭圆标准方程的过程，建立双曲线的标准方程。
3、在这个过程中，注意与建立椭圆的标准方程进行比较。
二、教学重点与难点 重点：了解双曲线的定义。
难点：双曲线标准方程推导过程中的化简。
三、教学流程,,↓↓↓回忆椭圆的定义与已有的知识联系 提出类似的问题引入双曲线的定义 根据条件,建立双曲线的标准方程 小结与布置作业四、教学情景设计圆锥曲线与方程（复习课）高二年级：范兆强一、知识体系构建二、要点问题归纳（一）圆锥曲线的定义、标准方程及几何性质的应用椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质是圆锥曲线的重点内容，是历年高考的重点。
重在考查基础知识、基本思想方法，例如数形结合思想和方程思想等。
而该部分在高考中多以选择题、填空题为主，为中档题目。
[例1] （2007·天津高考）设椭圆22221x y a b-=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，A 是椭圆上的一点，AF 2⊥F 1F 2，原点O 到直线AF 1的距离为11||3OF 。
证明：a =。
[例2]如图所示，已知F1，F2为双曲线22221x ya b-=（a＞0，b＞0）的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2=30°求双曲线的渐近线方程。
[例3] 定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线y2=x上移动，求AB中点到y轴距离的最小值，并求出此时AB中点的坐标。
（二）直线与圆锥曲线的位置关系1、直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题，是解析几何部分综合性最强的问题，也是以往高考的重点和热点问题。
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第13讲
1．双曲线的定义的内涵与外延
文字语言：
平面内与两个定点 F1 ， F2的距离之差的绝对值等于常数 (小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．
即： |PF1|-|PF2| ＝2a（2a<|F1F2|）,点M的轨迹是双曲线．
思考1：
|
|
① |PF1|-|PF2| ＝2a (2a<|F1F2|), 点M的轨迹是 双曲线的一支 ．
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性 对称轴：x轴，y轴 质 对称 性 对称中心：__________ 坐标原点
思考3：你能区分双曲线和椭圆吗？
x y 1 9 16
a= b= ; ;
2
2
x y 1 9 16
a= b= ; ;
2
2
c=
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.
c=
.
a2=b2+c2
c2=a2+b2
x y 例题 1. 若方程 ＋ ＝1 表示双曲线， 5－ k k － 3
标准方程
y2 x2 x2 y2 2－ 2＝ 1(a＞0，b＞ 0) 2－ 2＝ 1(a＞0，b＞ 0) a b a b
图形
x≥a或x≤－a 范围 思考 2： ________________
y≥a或y≤－a ________________ 对称轴：x轴，y轴
如何判定双曲线焦点的位置？ 对称中心：坐标原点
P
A
y =x+b
KAB KPQ = -1
Q B
求点Q(x,y)的坐标 成为本题的关键.
2
2
( ∞,3) ∪ (5, +∞) 则 k 的取值范围是 ．
变式 1. 若方程表示焦点在 y 轴上的双曲线， 则 k 的取值范围是 (5, +∞) ．
变式 2. 若方程表示焦点在 x 轴上的双曲线， ( ∞,3) 则 k 的取值范围是 ．
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例题2. 求满足下列条件的双曲线的方程.
② ||PF1|-|PF2||＝2a (2a=|F1F2|), 点M的轨迹是 ③ ||PF1|-|PF2||＝2a (2a>|F1F2|), 点M的轨迹是
两条射线 不存在的
． ．
④ ||PF1|-|PF2||＝2a (2a=0), 点M的轨迹是 F1F2的中垂线 ．
20). 虚轴长是实轴长的2倍 ,焦点 5,0 .
x y (2). 与椭圆 1 共焦点, 过点 1, 3 16 12
2
2
.
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x y 1 的两 例题 3. F1, F2是双曲线 9 16
个焦点,过F2的直线与双曲线交于A,B. ①若 |AB|=16, 则△ F1AB的周长是 .
2
2
②若∠F1AF2=60°, 则△AF1F2的面积是
A F1
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.
F2
B
Thank You!
今天可以建立这样的专题，以后扩充. 数形结合专题 1.复杂图形中“去伪存真”
例题1.作业P251第6题
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转化化归专题 1. 题目条件的“有效转化”.
例题1．以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．