李雅普诺夫稳定性理论
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1.1 非线性系统相关基本概念
继电器特性的影响
理想继电控制系统最终多半处于自振工作状态。 可利用继电控制实现快速跟踪。 带死区的继电特性,将会增加系统的定位误差,对
其他动态性能的影响,类似于死区、饱和非线性特 性的综合效果。
1.2 李雅普诺夫稳定性及判别方法
线性系统稳定性分析的理论框架 稳定性分析
与稳定性相关的几个定义 x xe :状态向量x与平衡状态 xe 的距离。
点集s():以xe为中心,为半径的超球体。 若xs() : 则 x xe ,其中 x xe 为欧几里德范数。 当很小时,则称s()为xe的邻域。 如系统的解 x (t; x0 ,t0 ) 位于球域s()内,则:
(t; x0 , t0 ) xe , t t0 表明系统由初态x0或短暂扰动所引起的自由响应是有界的。
平衡态为孤 立的平衡态。
1.2 李雅普诺夫稳定性及判别方法
4) 对于线性定常系统 x f [x,t,] 当A为x 非奇异矩阵时,
的解Axe 是0 系统唯xe一存0在的平衡状态,当A为非奇异时,则
会有无穷多个。xe
5) 由于任意一个已知的平衡状态,都可以通过坐标变换将其变
换到坐标原点 xe 处0。所以今后将只讨论系统在坐标原点处的
稳定性就可以了。 6) 稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的。(这一点从线 性定常系统中的描述中可以得到理解) 7) 如果一个系统有多个平衡点。由于每个平衡点处系统的稳 定性可能是不同的。对有多个平衡点的系统来说,要讨论该 系统的稳定性必须逐个对各平衡点的稳定性都要逐个讨论。
1.2 李雅普诺夫稳定性及判别方法
减小了系统的开环增益,提高了系统的平稳 性,减弱动态响应的振荡倾向。
1.1 非线性系统相关基本概念
饱和特性
x1 ,a等效增益为常值, 即线性段斜率;
而 x1 ,a输出饱和,等
效增益随输入信号的加 大逐渐减小。
1.1 非线性系统相关基本概念
饱和特性的影响 饱和特性使系统开环增益下降, 对动态响应的平稳 性有利。 如果饱和点过低,则在提高系统平稳性的同时,将 使系统的快速性和稳态跟踪精度有所下降。 带饱和的控制系统,一般在大起始偏离下总是具有 收敛的性质,系统最终可能稳定,最坏的情况就是 自振,而不会造成愈偏愈大的不稳定状态。
1.1 非线性系统相关基本概念
非线性系统的运动形式 (1)非线性系统在小偏离时单调变化,大偏离时 很可能就出现振荡。 (2)非线性系统的动态响应不服从叠加原理。
Fra Baidu bibliotek
1.1 非线性系统相关基本概念
非线性系统的自振 非线性系统的自振却在一定范围内能够长期存在, 不会由于参数的一些变化而消失。
1.1 非线性系统相关基本概念
几 种 典 型 的 非 线 性 特 性
1.1 非线性系统相关基本概念
不灵敏区(死区)特性
x1表示输入 x2表示输出
△ 表示不灵敏区, 也常称死区。
1.1 非线性系统相关基本概念
不灵敏区(死区)特性的影响
当系统前向通道中串有死区特性的元件时, 最主要的影响是增大了系统的稳态误差,降 低了定位精度。
1.2 李雅普诺夫稳定性及判别方法
李雅普诺夫根据系统自由响应是否有界把系统的稳定性定义为 四种情况:李雅普诺夫意义下的稳定、渐近稳定、大范围渐近 稳定、不稳定。
t的函数;一般f 为时变的非线性函数,如果不含t,则为定常
的非线性函数.。
设(1-1)在给定初始条件 (t0 x0 ) 下,有唯一解:
x (t, x0,t0 )
(1-2)
式(1-2)描述了系统(1-1)在n维状态空间中从初始条件 (t0 x0出) 发
的一条状态运动的轨迹,简称为系统的运动和状态轨线。
非线性系统的稳定性
李雅普诺夫第二方法是一种普遍适用于线性系统、非线性 系统及时变系统稳定性的分析的方法。李雅普诺夫给出了 对任何系统都普遍适用的稳定性的一般定义。
1.2 李雅普诺夫稳定性及判别方法
系统状态的运动及平衡状态
状态轨迹:设所研究系统的齐次状态方程为
x f [x,t]
(1-1)
式中:x—n维状态矢量;f—与x同维的矢量函数;是 x和i 时间
非线性系统的分类: 非本质非线性 能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性。 本质非线性 用小偏差线性化方法不能解决的非线性。
1.1 非线性系统相关基本概念
非线性系统的稳定性 (1)非线性系统的稳定性,则除了与系统的结构、参数 有关外,很重要的一点是与系统起始偏离的大小密切相连。
(2)不能笼统地泛指某个非线性系统稳定与否,而必须 明确是在什么条件、什么范围下的稳定性。
第一讲 李雅普诺夫稳定性理论
目录
非线性系统相关基本概念 李雅普诺夫关于稳定性的定义
及李雅普诺夫第一,第二方法 拉塞尔不变集理论 Barbalat引理 类李雅普诺夫引理 稳定性分析方法概述 一致最终有界
1.1 非线性系统相关基本概念
非线性系统的定义: 含有非线性元件的系统,称之为非线性系统。
解析 方法
SISO的代数 分析方法
1892年俄国数 学家李雅普诺夫
Routh判据 Houwitz判据
第一 方法
第二 方法
根据SISO闭环特 征方程的系数判
定系统的稳定性
根据状态方程A阵 判定系统的稳定性
1.2 李雅普诺夫稳定性及判别方法
关于李雅普诺夫稳定性的基本概念
系统的结构
系统的参数
线性系统的稳定性 系统的结构和参数 初始条件 外界信号的类型和大小
1.2 李雅普诺夫稳定性及判别方法
系统的平衡状态:若系统(1-1)存在状态矢量 xe ,对所有t,
使得:
f (xe , t) 0
(1-3)
成立,则称 xe 为系统的平衡状态。
说明:
1)对于任一个系统,不一定都存在平衡状态.
2) 如果一个系统存在平衡状态,其平衡状态也不一定是唯一的.
3) 当平衡态的任意小邻域内存在系统的别的平衡态时,称此
1.1 非线性系统相关基本概念
回环(间隙)特性
x1表示输入 x2表示输出
b 表示间隙。
1.1 非线性系统相关基本概念 回环(间隙)特性的影响
降低了定位精度,增大了系统的静差。 使系统动态响应的振荡加剧,稳定性变坏。
1.1 非线性系统相关基本概念 继电器特性
(a)理想继电特性 (b)死区继电特性 (c)一般的继电特性