洛伦兹变换
洛伦兹坐标变换公式推导
洛伦兹坐标变换公式推导洛伦兹变换是描述时空间随参考系的运动而发生变化的重要理论，它在爱因斯坦的狭义相对论中起到了关键的作用。
本文将从推导的角度来介绍洛伦兹变换的公式。
首先，我们来考虑一个参考系S和一个相对于S以速度v沿着x轴方向运动的参考系S'。
假设S'参考系的原点在S参考系中的x轴上的位置为x'，两个参考系的时间原点重合。
现在我们要推导出洛伦兹变换的坐标公式。
在S参考系中，假设有一个事件P，它的空间坐标为(x,y,z)，时间坐标为t。
在S'参考系中，事件P的空间坐标为(x',y',z')，时间坐标为t'。
根据狭义相对论原理，我们可以得到以下两个假设：1.时间的间隔在不同参考系中是一致的，即∆t=∆t'。
2.空间的间隔在不同参考系中也是一致的，即∆s^2=(c∆t)^2-(∆x)^2=∆s'^2=(c∆t')^2-(∆x')^2，其中c是光速。
我们将事件P的坐标代入上述的两个假设中，可以得到：(c∆t)^2-(∆x)^2-(∆y)^2-(∆z)^2=(c∆t')^2-(∆x')^2-(∆y')^2-(∆z')^2其中，∆x=x2-x1，∆y=y2-y1，∆z=z2-z1，∆x'=x'2-x'1，∆y'=y'2-y'1，∆z'=z'2-z'1接下来，我们假设S'参考系相对于S参考系的速度为v，那么∆x'、∆y'和∆z'可以表示为：∆x'=∆x-v∆t∆y'=∆y∆z'=∆z将上述的式子带入原方程中，我们可以得到：(c∆t)^2-(∆x)^2-(∆y)^2-(∆z)^2=(c∆t')^2-(∆x')^2-(∆y')^2-(∆z')^2(c∆t)^2-(∆x)^2-(∆y)^2-(∆z)^2=(c∆t')^2-(∆x-v∆t)^2-(∆y)^2-(∆z)^2提取引入速度v的项并进行整理，得到：(c∆t)^2-(∆x-v∆t)^2=(c∆t')^2展开括号可以得到：(c∆t)^2-(∆x^2-2v∆x∆t+v^2∆t^2)=(c∆t')^2继续整理得到：(c^2∆t^2-∆x^2)+2v∆x∆t-v^2∆t^2=(c^2∆t'^2)由于洛伦兹变换要保持事件之间的间隔不变，我们可以进一步简化上述方程：(c^2-v^2)∆t^2-∆x^2=(c^2-v^2)∆t'^2为了使得公式的形式更加简洁，我们可以引入一个名为γ的参数来表示：γ=1/√(1-v^2/c^2)其中，c是光速，γ被称为洛伦兹因子。
大学物理下相对论-洛伦兹变换
100%
长度收缩
在相对论中，当物体以接近光速 运动时，其长度相对于静止观察 者会缩短，这种现象被称为长度 收缩。
80%
相对论的多普勒效应
当光源或观察者以接近光速运动 时，光波的频率或波长会发生改 变，这种现象被称为相对论的多 普勒效应。
相对论的速度合成法则
相对论的速度合成法则
当两个物体以接近光速相对运动时，它们的相对速度不能简单地通过矢量相加得到，而是需要使用洛伦兹变换进 行计算。
速度合成法则的应用
在高速运动和强引力场中，相对论的速度合成法则对于精确描述物体的运动状态非常重要。
相对论的质量-能量关系（E=mc^2）
质量-能量等效原理
在相对论中，物体的质量与能量是等效的，即存在一个固定的转换关系 E=mc^2。
质能方程的应用
质能方程在核能、粒子物理和宇宙学等领域有广泛的应用，如核反应释放能量、黑洞的形成和演化等 。
洛伦兹变换公式描述了不同参 考系之间的长度和时间的关系 ，是相对论中的基本公式之一 。
通过洛伦兹变换公式，可以推 导出相对论中的其他重要结论 ，如时间膨胀和长度收缩。
04
洛伦兹变换的应用
时间和空间的测量
80%
时间膨胀
在相对论中，当物体以接近光速 运动时，其内部的时间相对于静 止观察者会变慢，这种现象被称 为时间膨胀。
洛伦兹变换的性质
线性性质
洛伦兹变换是线性变换，即变换前后线性组合的结 果与单个变换的结果相同。
逆变换
如果知道从一个参考系到另一个参考系的洛伦兹变 换，则可以推导出从另一个参考系回到原参考系的 逆变换。
相对性
对于任意两个惯性参考系之间的变换，其逆变换与 原变换是等价的。
03
洛伦兹变换
11 – 2
洛伦兹变换
第十一章 狭义相对论
相对论速度正变换式
说明
当 S 系观察者测得光 信号速度为c时，S测得
ux v u x v 1 2 ux c 2 uy v u y 1 2 v c 1 2 ux c 2 uz v u 1 2 z v c 1 2 ux c
S S
11 – 2
洛伦兹变换
第十一章 狭义相对论
例1 在惯性系 S 中，有两个事件同时发生在 x 轴 上相距 1000m 的两点，而在另一惯性系 S（沿 x 轴方 向相对于 S 系运动）中测得这两个系事件发生的地点 相距 2000m。求在 系中测得这两个事件的时间间隔 . 解： 已知 t 0 x 1000 m 正 变 换
v
( x, y, z, t ) y y ' P ( x' , y ' , z ' , t ' ) S S
z
o
z'
o'
x' x
v c
1 1
2Hale Waihona Puke 11 – 2洛伦兹变换
第十一章 狭义相对论
正 变 换
x' ( x vt ) y' y z' z v t ' (t 2 x) c
二
洛伦兹变换
第十一章 狭义相对论
洛伦兹速度变换
洛伦兹坐标正变换式
x x vt y y z z v t t 2 c
dx dx vdt dy dy dz dz
v dt dt 2 dx x c dx v ux v d x d t u x dt 1 v dx 1 v u 2 x 2 c c dt
洛伦兹变换
洛伦兹变换编辑由于爱因斯坦提出的假说否定了伽利略变换，因此需要寻找一个满足相对论基本原理的变换式。
洛伦兹导出了这个变换式，一般称它为洛伦兹变换式。
中文名洛伦兹变换外文名Lorentz transformation别称洛伦兹变换式提出者亨德里克·洛伦兹提出时间1904年应用学科数学适用领域范围狭义相对论目录1简介2理论3释义4推导▪公设一▪公设二▪过程▪另一种方式5区别6四维矢量改写1简介编辑洛伦兹变换（Lorentz transformation）是观测者在不同惯性参照系之间对物理量进行测量时所进行的转换关系，在数学上表现为一套方程组。
洛伦兹变换因其创立者——荷兰物理学家亨德里克·洛伦兹而得名。
洛伦兹变换最初用来调和19世纪建立起来的经典电动力学同牛顿力学之间的矛盾，后来成为狭义相对论中的基本方程组。
2理论编辑洛伦兹变换（Lorentz transformation）是狭义相对论中关于不同惯性系之间物理事件时空坐标变换的基本关系式。
设两个惯性系为S系和S′系，它们相应的笛卡尔坐标系彼此平行，S′系相对于S系沿x 方向运动，速度为v，且当t=t′=0时，S′系与S系的坐标原点重合，则事件在这两个惯性系的时空坐标之间的洛伦兹变换为式中，；c为真空中的光速。
其逆变换形式为不同惯性系中的物理定律必须在洛伦兹变换下保持形式不变。
19世纪后期建立了麦克斯韦方程组，标志着经典电动力学取得了巨大成功。
然而麦克斯韦方程组在经典力学的伽利略变换下并不是协变的。
由麦克斯韦方程组可以得到电磁波的波动方程，由波动方程解出真空中的光速是一个常数。
按照经典力学的时空观，这个结论应当只在某个特定的惯性参照系中成立，这个参照系就是以太。
其它参照系中测量到的光速是以太中光速与观察者所在参照系相对以太参照系的速度的矢量叠加。
然而1887年的迈克耳孙-莫雷实验测量不到地球相对于以太参照系的运动速度。
1904年，洛伦兹提出了洛伦兹变换用于解释迈克耳孙-莫雷实验的结果。
14.4 洛伦兹变换
∆x′ =
∆x −u∆t 1−u2 / c2
=
100 − 0.8×3×108 ×10 1− 0.82
= −4.0×109 m
因此， 因此， S' 系中测得选手跑过的路程为
| ∆x′ |= 4.0×109 m
(2) S' 系中选手从起点到终点的时间间隔为 ∆t'
u 0.8×100 ∆t − 2 ∆x 10 − c 3×108 =16.7 s ∆t′ = = 2 2 1−u / c 1− 0.82
14.4 洛伦兹变换
一、洛伦兹变换
在两参考系中的时间间隔、 在两参考系中的时间间隔、空间间隔的变换关系 时间间隔 洛仑兹速度变换
二、由洛仑兹变换看相对论时空观
• 同时性的相对性 • 时间延迟 • 长度收缩
一、洛伦兹变换 y'
u S' 时刻， 在t = t′＝0 时刻， S , S′ 原点重合 O' z' 线 性 变 换 关 系 x' z
∆t' = 0,
∆x' ≠ 0
同时异地事件 不是同时事件
∆t' + u∆x' c2≠ 0 ∆t = 1− β2
原时 ∆t' = τ0 ≠ 0
S′
∆x' = 0,
∆t =
同地异时事件
S
∆t' + u∆x' c2 1− β
2
∴ τ = ∆t =
τ0 1− β2
∴ τ 0 <τ 原时最短
(3) 长度收缩 a b u
∆t =10 s
∆x =100 m
l0 = 100 m
∆t' ∆x' l
写出洛伦兹变换及其逆变换的形式。
洛伦兹变换及其逆变换是狭义相对论中的重要概念，它描述了当两个惯性系之间相对运动时，时间和空间的变化规律。
本文将从以下几个方面展开讨论：一、洛伦兹变换的推导1.1 介绍洛伦兹变换的背景狭义相对论是爱因斯坦在19世纪初提出的一种理论，它颠覆了牛顿力学的观念，重新定义了时间和空间的概念。
在狭义相对论中，运动状态并不是绝对的，而是相对于观察者的。
当两个惯性系相对运动时，时间和空间的观测数值会发生变化，而这种变化规律由洛伦兹变换来描述。
1.2 推导洛伦兹变换的数学表达式根据狭义相对论的基本原理和洛伦兹对称性，可以推导出洛伦兹变换的数学表达式。
假设有两个惯性系S和S'，它们之间以速度v相对运动。
假设在S系中有事件的时空坐标为(x, y, z, t)，在S'系中的时空坐标为(x', y', z', t')，那么洛伦兹变换的数学表达式可以表示为：\[x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}, y'=y, z'=z, t'=\frac{t-\frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.\]其中c为光速。
1.3 推导出洛伦兹变换的矩阵形式将洛伦兹变换的以上数学表达式整理成矩阵形式，并引入矩阵运算的概念，可以得到洛伦兹变换的矩阵形式如下：\[ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ t' \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} 0 0 -\frac{v}{c^2}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \\ 0 1 0 0 \\ 0 0 1 0 \\ -\frac{v}{c^2}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} 0 0\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ t \end{bmatrix}.\]二、洛伦兹变换的逆变换形式2.1 介绍洛伦兹变换的逆变换洛伦兹变换的逆变换即是将事件的时空坐标从S'系变换到S系的坐标变换规律。
8.2洛伦兹变换
推导时间 t ' 与 t 之间的变换关系：
x
( x ut)
t
1 u
x
x
把 x ( x ut) 代入，得
t
1 u
x源自(xut)
u
1
2
1 x
ut
把 1 2 (1 u2 c2 ) 代入，得：
t
t
u c2
x
1 u2 c2
【例】一宇宙飞船相对地面以 0.8c 的 速度飞行，飞船上的观察者测得飞船的长 度为100m。一光脉冲从船尾传到船头， 求地面上的观察者测量，光脉冲 “从船尾 发出” 和 “到达船头” 这两个事件的空间间 隔是多少？
解 只涉及时空变换的问题称为运动学 问题，一般按以下步骤求解：
只需推导：
( x, t) ~ ( x, t) 之间的变换关系
伽利略变换 x x ut
注意：( x ut) 是同一参考系 S 中长度的合成，
只能整体地随 u 变化，所以新变换可表示为：
x ( x ut)
x ( x ut)
, 待定参量
根据爱因斯坦相对性原理：
（3）洛伦兹变换，求两事件在S系中的空间间隔。
已知：x2 x1 100m, t2 t1 ( x2 x1 ) c
x2
x1
( x2
x1 ) u(t2 1 u2 c2
t1 )
100 0.8 100
m 300 m
1 0.82
编者：陈信义
新变换可简单地写成：
x ( x ut) x ( x ut)
洛伦兹变换
设t = t' = 0时， O与O' 重合
S Px, y, z,t
yS
y' S' u
ut P
S Px, y, z, t
o
o' x'
x'
两个参考系中相应的
x
x
坐标值之间的关系：
x x ut (x ut) 1u2 c2
z y y
z'
z z
t'
t u x c2
(t u x)
x ( x ut)
则
t
(
t
u c2
x)
x ( x ut)
逆变换
t
(
t
u c2
x)
u c 1 1 2
二、由洛伦兹变换看长度的收缩(length contraction)
标尺相对 S系静止
y y'
在 S系中测量
l0 x'2 x'1 l'
s
s'
u
x'1
l0
x'2 x'
O'
说明上海站的乙火车先开，
时序颠倒!!
O z
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
狭义相对论的时空观： 两个事件在不同的惯性系看来，它们的空间关
系是相对的，时间关系也是相对的，时间和空间的 量度与参考系的选择有关。也就是说时间、空间和 运动三者之间紧密联系，是不可分割的一个整体。
光速 C 是建立不同惯性系间时空变换的纽带。
试求宇航员参考系中测得的甲乙两列火车发车的时间 间隔，哪一列先开?
解：取地面为 S 系，和飞船一起运动的参考系为 S 系，
洛伦兹变换推导过程详细
洛伦兹变换推导过程详细洛伦兹变换是描述相对论中时间和空间的变换关系的数学工具。
在狭义相对论中，洛伦兹变换被用来描述不同惯性参考系之间的时空变换。
这个变换关系是由荷兰物理学家洛伦兹在19世纪末提出的。
在相对论中，物体的运动状态和观察者的参考系有关。
当一个物体以速度v相对于某个参考系运动时，其时间和空间坐标在不同参考系中会发生变化。
洛伦兹变换就是描述这种变换关系的数学公式。
洛伦兹变换包括时间变换和空间变换两个方面。
对于时间变换，洛伦兹变换表明，当一个物体以速度v相对于某个参考系运动时，观察者在不同参考系中测量到的时间间隔会发生变化。
这个变化是根据运动物体的速度和光速来计算的。
对于空间变换，洛伦兹变换表明，当一个物体以速度v相对于某个参考系运动时，观察者在不同参考系中测量到的空间坐标也会发生变化。
这个变化也是根据运动物体的速度和光速来计算的。
洛伦兹变换的推导过程比较复杂，需要涉及到矩阵运算和向量的变换。
在推导过程中，需要考虑到时间和空间的变换关系，以及光速的不变性。
通过对物体的速度和光速进行变换，可以得到相对论中不同参考系之间的洛伦兹变换关系。
洛伦兹变换的推导过程中涉及到一些复杂的数学概念和计算方法，需要一定的数学基础才能理解和应用。
因此，在解释洛伦兹变换时，我们可以简化描述，重点强调变换关系的物理意义和应用。
通过给出具体的例子和实验结果，可以更好地理解洛伦兹变换的作用和意义。
洛伦兹变换是描述相对论中时间和空间变换关系的数学工具。
它在描述不同惯性参考系之间的时空变换方面起到了重要的作用。
通过理解和应用洛伦兹变换，我们可以更好地理解相对论的基本原理和物理现象。
洛伦兹变换.
当质点速率远小于真空中
的光速，新时空变换能退 化到伽利略变换 t 时刻，对惯性系 S 有
r
O z z' O'
r
x (x' )
x y z c t 0
2 2 2 2 2
对惯性系 S' ，根据光速不变原理，有
x' 2 y' 2 z' 2 c 2t' 2 0
在两个参考系中两者形式完全相同
x0
x
O A
v 0.6c V v cot θ θ 30
V c
?
例 一短跑选手在地面上以 10 s 的时间跑完 100 m。一飞船沿同 一方向以速率 u = 0.8 c飞行。 求 (1) 飞船参考系上的观测者测得百米跑道的长度和选手跑过 的路程；(2) 飞船参考系上测得选手的平均速度 。 解 设地面参考系为 S 系， 飞船参考系为 S'，选手起跑为事件1, 到终点为事件2，依题意有
0 b(t' 0) / e x' a ( x ut )
dx' b u dt' e
ae
t' d x a t
a
c 2d 2 x 2 y 2 z 2 2 u 22 2 a (1 2 )c t 2a(au d c 2 ) xt 0 c x 2 y 2 z 2 c 2t 2 0
二. 由洛仑兹变换看相对论时空观
Δ x uΔ t x' 1 β 2
同时性的相对性
Δ t' uΔ x' c 2 t 1 β 2
S t' 0 x' 0
时间延迟
洛伦兹变换的速度公式
洛伦兹变换的速度公式洛伦兹变换是描述相对论情况下空间时间坐标之间的关系的数学方法。
在狭义相对论中，当观察者的参考系以速度v相对于光速运动时，由于光速不变原理，时间和空间会发生相对论效应的变换。
速度变换公式推导假设存在两个参考系，分别为S系和S’系，S’系以速度v相对于S系运动。
考虑一个运动速度为u相对于S系的物体，我们要求其在S’系中的速度u’。
根据洛伦兹变换，时间的变换公式为：$$ \\Delta t' = \\gamma (\\Delta t - \\frac{v}{c^2} \\Delta x) $$空间的变换公式为：$$ \\Delta x' = \\gamma (\\Delta x - v \\Delta t) $$其中，$\\gamma = \\frac{1}{\\sqrt{1 - \\frac{v^2}{c^2}}}$。
考虑速度是空间坐标对时间的导数，即$u = \\frac{dx}{dt}$，$u' =\\frac{dx'}{dt'}$，代入变换公式，得到速度变换的公式为：$$ u' = \\frac{dx'}{dt'} = \\frac{\\gamma(dx - vdt)}{\\gamma(dt -\\frac{v}{c^2}dx)} $$将dx=udt代入，整理得到：$$ u' = \\frac{U - v}{1 - \\frac{vU}{c^2}} $$其中，U为速度u的分量，即U = u/c。
结论洛伦兹变换的速度变换公式表达了相对论情况下，观察者在不同参考系中测得的物体速度之间的关系。
这个公式揭示了在相对论情况下速度的变换会受到光速不变原理的影响，导致速度的合成与经典物理中不同。
通过相对论性的速度变换公式，我们可以更好地理解相对论情况下的运动问题。
洛伦兹变换
u << c
x' x ut t' t
绝对时空观是低速情况下，相对论时空观的近似
(2) 光速是各种物体运动的一个极限速度
uc
1 u 2 / c2
虚数
任何物体的运动都不会超过光速
(3) 两事件在S、S’系中的时间间隔、空间间隔的变换关系
S
事件1 事件2 空间间隔 时间间隔
S
x'1 , t'1 x'2 , t'2 x' x'2 x'1 t' t'2 t'1
( x', y', z', t' )
事件 (x,y,z ,t) x
y' y z' z
t' b1 x b2 t x' a1 x a2 t
其中，a1 a2 b1 b2 待定系数 原点O' ： S 系中 x = ut ； S' 系中 x' =0
0 a1 ut a2t
a2 a1 u
S
?
地球表面 S 大气
验证： l 9000 1 u 2 / c 2 569 m
一. 洛伦兹变换
y' y
u
S 在t = t’＝0 时刻， ' S
(x,y,z ,t) ( x', y', z', t' ) P
S , S' 原点重合
O' z' 线 性 变 换 关 系 z S系 x' O x
y' y z' z
t' b1 x b2 t x' a1 ( x ut )
洛伦兹变换
b. 在洛仑兹速度变换下，光速不变。 例 题 4-2 在 地 面 上 测 到 有 两 个 飞 船 A 、 B 分 别 以
+0.9c和-0.9c的速度沿相反的方向飞行, 如图所示。
求飞船A相对于飞船B 的 速度有多大。
y y
x
b a 0.09c
0.09c
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x
解: 设K系被固定在飞船B上，则飞船B在其中为静止， 而地面对此参考系以v=0.9c 的速度运动。以地面为参考 系K’，则飞船A相对于K’系的速度按题意为u’x=0.9c ， 可求得飞船A对K系的速度，亦即相对于飞船B的速度：
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由洛仑兹坐标变换
dx
dt
上面两式之比
1 1
1 1
' x
2
(dx vdt )
v dt 2 dx c
2
ux v dx vdt u v v dt 2 dx 1 2 ux c c
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同样得可导出
变换无意义
伽利略变换
速度有极限
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在实际应用时常用相对量的变换
{
x u t x = 2 1β 或 t u x c 2 t = 2 1β
{
x + ut x = 2 1β t +u x c 2 t = 2 1β
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思考题：
1. 在某一惯性系中同时同地发生的事件，在所有其他惯性 系中是否也是同时同地发生？ 0 0
①
M1
c
v
c
c v
2 2
v
以太风
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4.1洛伦兹变换
du a x a x dt a y a y a z a z
a x a x 惯性系 a y a y az a z
在两个惯性系中
a a
同一质点在两个不同惯性系中的加速度总是相同的。
伽利略相对性原理
S
S
F F
m
m
a a
F ma F ma
由洛仑兹变换知
dy dy dt dt
u2 vy 1 2 c 所以 v y u 1 2 vx c
u dt 2 dx c dt 2 1 (u c)
同样可得
u2 vz 1 2 c v z u 1 2 vx c
洛仑兹速度变换式 正变换
vx u v x u 1 2 vx c vy u2 v y 1 2 u c 1 2 vx c
加速度变换
du v v u a a x x x x a a x x dt a a 正 v y vy y y ay ay vz vz a u 恒定 a a z az z z
逆
v x v x u v y v y vz vz
l1 o
迈克耳孙－莫雷实验示意图
M2
G
M1
M2
M2
s
G T
v
c
-v
G
c 2 v2
c
-v
G
c 2 v2
（从地球上看）
T
s
G
M1
M2
M2
G
G
M1
G
v
t2
2l2 c 1 v2 c 2
l1 l1 t1 cv cv
§11-2洛伦兹变换
1
一、狭义相对论的基本假设
1.相对性原理
在所有惯性系中物理规律(力、热、光、 电、…)都是一样的.
力学的相对性原理的推广. 2.光速不变原理 在所有惯性系测量真空中的光速都是c. 光速不满足伽俐略速度变换式,抛弃了绝对 时空观。
令
x2-x1 u' 信号速度 t2-t1
即事件1发生后，发出一信号，经(t2 - t1)时间传 播(x2 - x1)距离到达2处，触发事件2发生.
16
因果关系的绝对性
因为u < c， u ´ c ， 由
t1 (t 2 t1 )[1 t2
c
u' ]
有 t 2 - t 1 和 t2 - t1 同号，S中和S中时序相同。 结论：有因果关系的事件，时序不会颠倒，因果 关系不变.
15
因果关系的绝对性
若两事件有因果关系，时序是不会颠倒的。
S中：若t2 - t1 > 0，即事件1---因(先), 2---果(后)
t1 [( t 2 t1 ) t2
c ( x2 x1 ) (t2 t1 )[1 ] c (t2 t1 )
( x2 x1 )]
14
举例
从飞船上看
若飞船的速度u = 0.6c可得t 2 - t 1 =0， 甲乙同时出生不分哥弟 若u = 0.8c可得t 2 - t 1 <0，甲后乙先 甲---弟 乙---哥 时序颠倒了 由相对论变换，会不会得到如此情况: 问题1 子弹先打到靶上而后出枪口? 问题2 儿子先出生而爸爸后出生?
13. 2 洛伦兹变换
推导过程略 y
S
2
y
u
P x x
O
S
O
x ( x ut ) (13-23) y=y z=z ux t (t 2 ) (13-25)
c
z
z O、O重合时， t=t=0
z1 z1
z 2 z2
“2”“1” ?
例1．在S 惯性系中观测到相距x=9108m的两地点相隔t=5s 发 生两事件，而在相对S系沿x方向匀速运动的S系中发现此两事件 恰好发生在同一地点。试求在S系中此两事件的时间间隔。
x = 9108m t =5 解： S：
S： x=0，
2
4) 物体运动速度的极限为 c 。 u<c ux u t (t 2 0 =1 5) 当u<<c时， c c x=xut y =y z =z t =t 洛伦兹变换 伽利略变换 经典力学是相对论力学的极限情况，仅在u<<c时成立。 uc时，用相对论； u<<c时，可以用经典理论。
带撇与不带撇互换、负号与正号互换
即：同一个研究“对象”被两个参 考系的观察者研究。 “二看一”！ 若不是同一事件，则无此关系。
1 说明： 1) 洛伦兹变换是同一事件在两个惯性 u c 1 系中的两组时空坐标间的变换方程。
“二看一”！ x ( x ut ) 2) 各惯性系的时间、空间度量基准必须一致。 y=y 各惯性系中的观察者、钟、尺必须相 对各自惯性系保持静止。 3) 时间、空间和物质运动密不可分！
A
x
A
B A
S：x=0 t=t=? 1 v x ( t ) t = t 2 c 1 2
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首先，我们要给出狭义相对论的两个基本假设：1、相对性原理。
2、光速不变原理。
所谓相对性原理指的是一个原则，物理规律在不同的惯性参照系中，有相同的数学形式。
关于这个原理，在我们这次推导过程中并没有显著地用到，这里就一笔带过吧。
这里要详细说一下光速不变原理。
光速不变原理的一个通俗的解释就是：光在任何惯性系中都有相同的速率。
这个解释其实和我们的日常生活是有尖锐矛盾的，下面我们通过例子来详细体会一下这种矛盾到底尖锐到什么程度。
我们设想一个场景：A和B两个人，A静止在地面上，A用一把枪瞄准了B，在某时刻开了一枪，B在子弹出膛的瞬间以一个恒定的速度逃跑。
我们知道，如果B逃跑的速度非常快，要是和子弹速度一样的话，子弹是追不上B的，看下图。
详细地考察这个过程，我们会看到是这样的：在子弹射出枪膛后的一段时间里，子弹以一个大的速度前进了一段距离（比如前进了4米）。
而B则相同的速度也前进了一段相同的距离（也前进了4米），子弹与B的间距并没有减小（一直是10米）。
无论子弹飞了多久，子弹和B的间距仍然是相同的（10米），子弹是追不上B的。
这是我们熟悉的常识。
现在这个例子中，我们假定A开的是激光枪，射出的不是子弹，而是一束激光。
再假定B 逃跑的速度十分接近光速（不设B逃跑速度为光速，是为了避免一个混乱）。
那么在地面上的A看来，在一段时间内，激光和B由于速度十分相近，所以激光慢慢地接近B，而追上B则会花大量的时间。
而在B看来会怎么样？B也是一个惯性系，而光速不变原理指出，激光在B惯性系里也是以光速前进的，所以B会惊恐地发现，激光在极短的时间内就击中了他。
如果仔细对比A和B这两人对同一个过程（A向B射击激光束，最后B被激光束击中）的观察，会发现俩人的看法具有很大的差异，在这里的巨大差异体现在两人对激光自射出枪膛到击中B所用的时间是完全不同的：A发现激光束击中B发生在激光束被射出后的很长的一段时间后（比如1小时之后），而B却发现激光束自被射出到射中自己，花了连1微妙都不到的时间。
这是多么不可思议的事情？对于同一个过程，两个处在不同运动状态的观察者，居然会有截然不同的描述。
我们现在把这个例子中的AB初始间距拉得长一点，比如300万公里。
于是在B的眼里，自激光发射到击中B的过程中，B竟然还享受了人生最后的一根烟。
他抽这根烟，花了10秒钟。
那么A怎么看呢？很明显，A发现激光击中B，和B抽完那根烟是同时同地发生的事情。
而A发现激光束追到B花了1个小时的时间，那也就是说，A发现B的这根烟，抽了1个小时。
A发现B抽烟的速度很慢，不但如此，A还发现B做任何事情的速度都很慢，比如点烟、心跳、呼吸等，都极其缓慢。
同样，A也发现B手上的手表指针也走得很慢很慢。
这是什么？这就是“时间膨胀”：A发现B惯性系中的时间，走得比A自己要慢。
这在我们日常经验中是不可思议的，然而光速不变原理指出，事情就是这样的。
现在的情况是这样的：我们假设光速不变是正确的，而这个假设成立，则意味着传统的关于空间距离和时间间隔的关系（两者独立无关）再也不能成立了，否则就会出现上述这种百思不得其解的结果。
那么也就是说，假设光速不变成立，那么我们就必须寻找一种新的空间距离和时间间隔之间的关系，使得在这种新的关系下，光速不变成立。
原有的空间距离和时间间隔的关系就是牛顿力学中的那一套：同一个空间距离在不同的观察者眼里都是相同的；同一个时间间隔在不同观察者眼里也是相同的。
也就是说，任何空间距离和时间间隔都是不变量，与观察者的位置、时间和运动速度都无关。
很显然，按照这套我们熟知的关系，对上面这个例子是完全无法解释的，也就是说，牛顿的那套时空关系，与光速不变假设是你死我活地彻底对立的。
爱因斯坦在他的一篇论文《相对性原理及其结论》中有这么一句话：“现在我们假设，在坐标系没有加速的前提下，这些钟可以这样来校准，使得真空中任何光线的传播速度--用这些钟来量度--总是等于一个普适常数c”。
这句话是在100年前说的，其中的一些用词与现在的用词有一些差异。
这里我尝试下用现在的用词重复一遍：“现在我们假设，在参考系没有加速的前提下，这些钟可以这样来校准，使得真空中任何光束的传播速度—— 用这些钟来测量—— 总是等于一个恒定的常数c”。
在这里，没有被加速的参考系就是惯性系。
而句中的“钟”十分耐人寻味，在这里其实就代表了“对时间的测量”。
这句话的意思就是：原有的校准钟的方式是无效的，因为用按照原有的校准方式的钟，我们无法让光束在任何惯性系中的传播速度保持一个恒定的常数。
我们要寻找一种新的校准方式，也就是新的空间距离和时间间隔的关系。
而在新的关系下，上面这个例子应该是十分标准的一种现象了：在一个观察者眼里具有极其漫长的过程，而在另一个观察者眼里却是一瞬间完成。
从这里可以看出，时间在不同观察者中不再有统一的测量了，不同观察者可以有不同的时间。
现在的问题就成为了一个“解答题”：已知存在一种时空关系，可以使得上述这个按照寻常思维会感到匪夷所思的光速不变例子合理地成立，求这个时空关系。
答案很明显，新的时空关系就是洛伦兹变换方程组。
我们接着看下面这个例子：在一个地面上竖着放着一个手电筒，地面上方有一个水平放置的镜子。
在某一时刻打开手电筒，光束从手电筒出发，到达镜子后反射，最后回到手电筒。
整个过程中，光束的运动轨迹位于同一直线上。
这个过程很清晰，但我们要指出的是，这是一个站在地面上与手电筒相对静止的观察者的观察结果。
如果有一个以一定速度向左边运动的观察者，他会发现什么呢？他会发现，地面、手电筒和镜子全部以一个速度向右边运动，手电筒发射出去的光线也同样有一个向右边的运动分量。
最终这束光线的运动轨迹为一个三角形，如下图①①①①。
仔细观察①②③④这个过程，会很有意思的。
在这里要运用光速不变原理，也就是说，在一个运动观察者眼里，走三角形长边轨迹的光束，其速度还是光速。
想一想，在地面静止观察者眼里，垂直上下的光线速度是光速c；在运动观察者眼里，多了一个水平分量后的光的“合速度”，还是光速c，而垂直方面的速度，显然比光速c要小一些！产生这个奇怪现象的原因是什么？就是“时间膨胀”：向左运动的观察者发现，地面惯性系的时间走得慢了，光线在垂直方面的速度也变慢了。
可是光线的整体速度，由于还存在一个水平速度，还是保持着原来的光速c。
现在来定量地看看，这其中的一系列因素之间的关系是什么。
在这里设A系中光线从手电筒到达镜子经过了Δt时间，在B系中光线从手电筒到达镜子经过了Δt’时间。
这就是一个关于俩惯性系中各自时间的变换公式。
根据这个求出的变换公式，可以保证光速在两个惯性系中保持同一个恒定的数值c。
很显然，这就是一个符合要求的关于时间的变换公式。
让我们仔细看看这个公式。
Δt指的是地面观察者所计量的光束从手电筒到镜子这个过程所花费的时间；Δt’是向左运动观察者所计量的这个过程的时间。
等号右边分母的值永远是一个小于1的正数，所以等号右边的数值总比t要来得大。
这意味着的相同一个过程，相对静止的观察者所测量到的时间间隔，总比相对运动观察者所测量到的时间间隔要小一点。
或者反过来说，运动观察者对一个静止过程的时间间隔的计数，总比相对静止观察者对这个过程的时间计数要大，也就是运动观察者的时间膨胀了。
需要注意的是，在这个推导的模型中，我们对两个观察者有很多的约定，比如：我们约定在手电筒发射光束的瞬间，两个观察者都位于手电筒的位置。
我们还约定在这个瞬间，两人手表的指针都指着同一个刻度（在去掉Δ的模型中，都指着0时刻）。
我们还约定，运动观察者向左运动，而没有垂直方向上的运动。
这些约定都导致了我们得到的这个变换公式具有最最简单的形式。
如果我们放宽其中的一个约定，比如第一个约定，也就是说我们假设手电筒与地面观察者有一个距离，并假设向左运动观察者在手电筒发射光束的瞬间，与地面观察者在同一个位置，那么我们得到的变换公式要稍微复杂一些，等号右边的分子部分不再是简单的t，而是一个稍微复杂点的与距离x有关的算式。
为了了解洛伦兹变换的本质，我们忽略了这些非本质的因素，也就是假定了那些约定，使得时间变换关系的导出显得更接近题意。
从这个推导过程可以看出，为了满足光速不变这个假设，我们必须抛弃原来的那种时间观念。
原来我们总认为，时间与距离是没有关系的，任何距离，对时间的测量都是可以保证统一的（这个我们称之为“绝对时间观”）。
但现在看来，这个结论是无法保证光速不变的。
只有改变我们对绝对时间的观念，才能保证光速不变。
好，现在我们继续看看空间距离会不会也有这样的变换？这里要说说如何测量一个物体的长度。
测量一个物体的长度有很多方法，其中有一个非常简单的方法，如下：我们在这个物体经过的方向上设立一个地面静止观察者，在物体的前端到达观察者的时候，观察者按下秒表，秒表开始计数。
在这个物体的尾端到达观察者的时候，观察者再次按下秒表，秒表停止计数。
这样我们就得到了这个物体经过观察者所需要的时间。
把这个时间乘以这个物体的速度，就得到了这个物体的长度。
这时候，物体上的观察者也可以根据地面观察者到达车头和车尾分别计时，以此来乘以速度来得到物体的长度。
按照牛顿时空观，这两种方法测量出来的长度是完全相同的。
然而，如果用满足光速不变的新的时空关系来看，这两个长度是不相等的。
为什么？因为地面观察者的时间，和物体观察者的时间是不同的，而两者所观察到的相对速度，数值上是相等的（方向相反）。
我们设以地面为参照系的时候，物体的头、尾相继经过地面观察者的时刻差为Δt。
那么地面观察者得到该物体的长度就是l=v×Δt。
可是那个物体上的时间变慢了，这段过程对应的时间间隔，在物体上是Δt’，并满足Δt’=γ×Δt的关系，其中γ=1/√(1-vv/cc)。
就如上面所说的，Δt’总是比Δt要大一些，也就是说，物体上的观察者所测量到的该物体的长度l’=v×Δt’=v×γΔt=γ×l，总比地面观察者测量的长度要大一些。
反过来说，地面上测量到的该物体的长度，总比该物体上所测量到该物体的长度要短一些。
总结这个结论，就有：测量相对运动物体的长度，总比测量相对静止的相应物体的长度要短一些。
如果我们把参照系的原点放在该物体的尾部，那么该物体头部的位置就是该物体的长度值。
这样我们就可以把公式中的Δ去掉了：x’=γx。
这样做的意义就是我们得到了一个空间距离的变换公式，这个公式和时间变换公式一起，构成了一个新的时空关系，这个新的时空关系可以保证光速不变成立。
同样需要说明的是，这个推导过程中所用到的模型，也有那些特定的约束。
所以得到的变换公式只适用于满足那些特定约束的参考系。
而那些放宽了约束的参考系之间的变换关系，比如假设物体的运动方向并不是水平的，而是与水平有一个角度，那么变换方程式将复杂一些。