洛伦兹变换推导
简单推导洛伦兹变换(狭义相对论)
简单推导洛伦兹变换（狭义相对论）洛伦兹变换是狭义相对论的基本公式，从中我们可以进一步得到尺度缩减、时钟慢度、质能转换等奇妙有趣的推论。
值得一提的是，虽然洛伦兹变换最早是由洛伦兹得到的，但他并没有赋予这组变换方程组以相对论的内涵，他只是编造了一个数学观点来纠正错误的以太时空。
所以作者认为洛伦兹变换的结果应该还是属于爱因斯坦的。
1. 先导知识：波速取决于介质的速度，而不是波源的速度或许你听说过，光即是粒子又是波。
没错，但这个“粒子”已经不是我们日常理解的小微粒了，一定不能将发射一束光想象成手枪发射子弹。
许多困扰可能就来自于此，把光想象成子弹你可能永远也想不明白相对论的奇妙变换。
为了方便思考我们需要把光理解成波，发射光就像在水面触发一个涟漪。
我们先看看机械波，建立起对波的正确看法发射一波和发射一颗子弹有什么区别？根本区别在于，触发机械波实际上并不发射任何物理粒子，而是触发介质的传播振动，所以波速完全取决于介质，而不是波源的速度。
站在地上观察时，跑步时说话不会改变声音传播的速度，蜻蜓高速掠过水面也不会改变波纹扩散的速度，只会造成多普勒效应(仔细观察图1中最外层波纹的速度是否受波源速度影响)。
相反，考虑谈话的例子。
如果你站着不动，风在动，声速就会变。
比如逆风说话，声速会增加，逆风说话，声速会变慢。
仔细理解这里的区别，跑步不会改变波的传播速度，但空气运动会。
图1：一个运动的波源并不会导致波速的变化（观察最外层涟漪的速度）现在我们来考虑光的一个例子一列以速度v前进的火车在经过你的时候突然向前进方向发出了一个闪光，光是电磁波，不同于手枪发射子弹，不管这个光源运动情况怎么样，在你看来，这个闪光就像在水面上激起的一个涟漪，以不变的速度c前行。
（但是这里说的不变速度c还不是相对论说的光速不变，只是说光速与光源速度无关）2.光在真空中是通过什么介质传播的？从上面的分析我们看到波的速度，甚至波的性质似乎完全都取决于传递波的介质，波的行为似乎只与介质有关，完全由介质定义，完全由介质约束，波源在触发波之后好像就没有什么关系了。
[理学]5、Lorentz transformation 的相对论推导
![[理学]5、Lorentz transformation 的相对论推导](https://img.taocdn.com/s3/m/76c7d01e10661ed9ac51f317.png)
5、Lorentz transformation 的相对论推导(一)、“Lorentz transformation”的推导方法1 洛仑兹变换反映的是同一研究对象在不同惯性系中运动规律都有相同数学形式。
如图1所示两坐标系的相对取向，该坐标系的x轴永远是重合的。
在这个情况下，首先只考虑x轴上发生的事件。
任何一个这样的事件，对于坐标系K是由横坐标x和时间t来表示，对于坐标系K′ 则由横坐标x′和时间t′来表示。
当给定x和t 时，我们要求出x′和t′。
Z′Zvy′vK′x′y vKx图1沿着正x轴前进的一个光信号按照方程x = ct或x –ct= 0 （1）传播。
由于同一光信号必须以速度c相对于K´传播，因此相对于坐标系K′的传播将由类似的公式x′–ct′= 0 （2）表示。
满足（1）的那些空时点（事件）必须也满足（2），显然这一点是成立的，主要关系(x′–ct′) = λ(x–ct) （3）一般被满足，其中λ表示一个常数；因为，按照（3），（x-ct）等于零时(x′-ct′) 就必然也等于零。
如果我们对沿着负x轴传播的光线应用完全相同的考虑，我们就得到条件x′+ct′ = u (x+ct) （4）方程（3）和（4）相加（或相减），并为方便起见引入常数a和b代换常数λ和u，令a = (λ+u)/2以及b = (λ–u)/2 我们得到方程x′ = ax–bctct′ = act–bx （5）因此，若常数a和b为已知，我们就得到我们的问题的解。
a和b可由下述讨论确定。
对于K´的原点我们永远有x′=0，因此按照（5）的第一个方程 x = bct/a如果我们将K′的原点相对于K的运动的速度称为v，我们就有v = bc/a （6）同一量值v可以从方程式（5）得出，只要我们计算K´的另一点相对于K的速度，或者计算K的一点相对于K′的速度（指向负x轴），总之，我们可以指定v为两坐标系的相对速度。
洛伦兹变换的推导[1]
![洛伦兹变换的推导[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/a829a79d83d049649b665855.png)
x 2 2 1 v / c y y z z 2 t vx / c t 1 v2 / c2
x vt
x 2 2 1 v / c y y z z 2 t vx / c t 1 v2 / c2
7
6
x vt
在v << c的情况下，洛伦兹变换过渡到伽利略变换。
从洛伦兹变换中可以看到，x 和t 都必须是实数， 所以速率v必须满足
v 1 2 0 c
或者
2
vc
我们得到了一个十分重要的结论，这就是一切物 体的运动速度都不能超过真空中的光速 c，或者说 真空中的光速c 是物体运动的极限速度。
洛伦兹变换的推导
1
三、狭义相对论的基本原理 1. 狭义相对论的基本原理 （1）相对性原理：基本物理定律在所有惯性系中 都保持相同形式的数学表达式，一切惯性系都是等 价的； （2）光速不变原理：在一切惯性系中，光在真空 中的传播的速率都等于c，与光源的运动状态无关。 这两条原理非常简明，但意义深远。它们是狭义相 对论的基础，其正确性要由它们所导出的结果和实验 事实来判定。
P
r
x
x
y = y
z = z
3
（2）时间变换 将 x = k( x v t ) 代入 x = k(x + vt ) ，得
x k ( x vt ) kvt
2
解出
1 k 2 t kt ( )x kv
当两个坐标系的原点重合时，t = t = 0。这时，如 果在原点处有一点光源发出一光脉冲，S系和S 系都 将观察到光脉冲以速率c向各个方向传播。
2
2. 洛伦兹变换
洛伦兹坐标变换公式推导
洛伦兹坐标变换公式推导洛伦兹变换是描述时空间随参考系的运动而发生变化的重要理论，它在爱因斯坦的狭义相对论中起到了关键的作用。
本文将从推导的角度来介绍洛伦兹变换的公式。
首先，我们来考虑一个参考系S和一个相对于S以速度v沿着x轴方向运动的参考系S'。
假设S'参考系的原点在S参考系中的x轴上的位置为x'，两个参考系的时间原点重合。
现在我们要推导出洛伦兹变换的坐标公式。
在S参考系中，假设有一个事件P，它的空间坐标为(x,y,z)，时间坐标为t。
在S'参考系中，事件P的空间坐标为(x',y',z')，时间坐标为t'。
根据狭义相对论原理，我们可以得到以下两个假设：1.时间的间隔在不同参考系中是一致的，即∆t=∆t'。
2.空间的间隔在不同参考系中也是一致的，即∆s^2=(c∆t)^2-(∆x)^2=∆s'^2=(c∆t')^2-(∆x')^2，其中c是光速。
我们将事件P的坐标代入上述的两个假设中，可以得到：(c∆t)^2-(∆x)^2-(∆y)^2-(∆z)^2=(c∆t')^2-(∆x')^2-(∆y')^2-(∆z')^2其中，∆x=x2-x1，∆y=y2-y1，∆z=z2-z1，∆x'=x'2-x'1，∆y'=y'2-y'1，∆z'=z'2-z'1接下来，我们假设S'参考系相对于S参考系的速度为v，那么∆x'、∆y'和∆z'可以表示为：∆x'=∆x-v∆t∆y'=∆y∆z'=∆z将上述的式子带入原方程中，我们可以得到：(c∆t)^2-(∆x)^2-(∆y)^2-(∆z)^2=(c∆t')^2-(∆x')^2-(∆y')^2-(∆z')^2(c∆t)^2-(∆x)^2-(∆y)^2-(∆z)^2=(c∆t')^2-(∆x-v∆t)^2-(∆y)^2-(∆z)^2提取引入速度v的项并进行整理，得到：(c∆t)^2-(∆x-v∆t)^2=(c∆t')^2展开括号可以得到：(c∆t)^2-(∆x^2-2v∆x∆t+v^2∆t^2)=(c∆t')^2继续整理得到：(c^2∆t^2-∆x^2)+2v∆x∆t-v^2∆t^2=(c^2∆t'^2)由于洛伦兹变换要保持事件之间的间隔不变，我们可以进一步简化上述方程：(c^2-v^2)∆t^2-∆x^2=(c^2-v^2)∆t'^2为了使得公式的形式更加简洁，我们可以引入一个名为γ的参数来表示：γ=1/√(1-v^2/c^2)其中，c是光速，γ被称为洛伦兹因子。
(完整版)洛伦兹变换的详细推导
第三节 洛伦兹变换式教学内容：1. 洛伦兹变换式的推导；2. 狭义相对论的时空观：同时性的相对性、长度的收缩和时间的延缓； 重点难点：狭义相对论时空观的主要结论。
基本要求：1. 了解洛伦兹坐标变换和速度变换的推导；2. 了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间延缓概念；3. 理解牛顿力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及两者的差异。
三、洛伦兹坐标变换的推导()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧--='='='--='22211c v c vx t t z z y y c v vt x x 或 ()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-'+'='='=-'+'=22211c v c x v t t z z y y c v t v x x据狭义相对论的两个基本假设来推导洛仑兹变换式。
1. 时空坐标间的变换关系作为一条公设，我们认为时间和空间都是均匀的，因此时空坐标间的变换必须是线性的。
对于任意事件P 在S 系和S '系中的时空坐标(x ，y ，z ，t )、(x '，y '，z '，t ')，因S ' 相对于S 以平行于 x 轴的速度v 作匀速运动，显然有y '=y , z '=z 。
在S 系中观察S 系的原点，x =0；在S '系中观察该点，x '=-v t '，即x '+v t '=0。
因此x =x '+v t '。
在任意的一个空间点上，可以设：x =k （x '+v t '），k 是—比例常数。
同样地可得到：x '=k '（x -v t ）= k '（x +(-v )t ）根据相对性原理，惯性系S 系和S '系等价，上面两个等式的形式就应该相同（除正、负号），所以k =k '。
洛仑兹变换的数学推导.
洛仑兹变换的数学推导其实洛仑兹变换的数学推导并不难，只需要中学的知识就行，请大家耐心一点，我们开始。
我们选择S系和S’系的坐标轴x和x'重合，y、y'和z、z'相互平行，且S'系沿x-x'轴相对于S系以速度v作匀速直线运动，并设当S和S'的原点O和O'重合时，两坐标系的钟的读数分别为t=0和t'=0.根据经验，我们假设所求的空间-时间坐标变换是线性的，因此变换方程式可设为：x'=a11(x-vt)y'=y}(1)z'=zt'=a41x+a44t式中a11,a41,a44是待定常数。
为了求出待定常数，我们利用光速不变原理，假定在两惯性系原点重合时（t=t'=0）有一闪光从原点发出，根据光速不变原理，两参考系上的观察者都将看到光以同样的速度c向外传播，换句话说，每一个观察者采用他们自己的坐标系，都看到波前是以自己的原点为中心的球面，其半径等于c乘以时间。
这样，S系与S'系的波前方程分别是x²+y²+z²-c²t²=0 (2)与x'²+y'²+z'²-c²t'²=0 (3)把变换（1）代入(3)式的S’系的波前方程，计及y’=y, z’=z得（a11²-c²a41²）x²-2(va11²+c²a41aa44)xt+y²+z²-(c²a44²-v²a11²)t²=0这应当就是S系的波前方程(2)，比较它们的方程的系数有：a11²-c²a41²=1va11²+c²a41aa44=0c²a44²-v²a11²=c²由此三个方程解得：a11=1/sqrt(1-v²/c²)a41=-(v/c²)/sqrt(1-v²/c²)a44=1/sqrt(1-v²/c²)将所得的a11,a41,a44代回（1）式就得到洛仑兹变换：x’=γ(x-vt)y’=y}(4)z’=zt’=γ(t-vx/c²)式中γ=1/sqrt(1-v²/c²)由于伽利略变换却是：x'=x-uty'=yz'=zt'= t比较一下洛仑兹变换伽利略变换，不难发现在运动系S’发生了尺缩钟慢。
五种洛仑兹变换的推导方法
一、首先来看看爱因斯坦在《狭义与广义相对论浅说》中的推导方法。 有两个坐标系 K 和 K' ，各坐标系内的事件分 别由坐标（x，y，z，t）和（x' ，y'，z' ，t'）表示。 我们把问题分成几部分，首先只考虑 x 轴上 发生的事件。任何一个这样的事件， 对于坐标系 K 是由横坐标 x 和时间 t 来表示， 对于坐标系 K'则由 横坐标 x' 和时间 t'来表示。当给定 x 和 t 时，我们 要求出 x' 和 t'。 约定 t=0 时刻 O 和 O' 重合， K' 有沿 x 正方向 的速度 v。 假设沿着 x 轴正方向有一束光信号从 t=t'=0 时刻射出，则光信号在 K 系中满足
⎧ x ' = ax + bt ⎨ ⎩t ' = dx + et
为了使（5）式满足于（3）式，要求
（5）
x 2 − c 2 t 2 = x ' 2 −c 2t ' 2
于是， （5）式应具有下列形式：
（6）
⎧ x ' = xchθ − ctshθ ⎨ ⎩ct ' = − xshθ + ctchθ
其中，θ为常量，shθ和 chθ为双曲函数，即
x − vt ⎧ ⎪ x' = v2 ⎪ 1− 2 c ⎪ ⎪ y' = y ⎪ ⎨z' = z ⎪ v ⎪ t− 2 x ⎪t ' = c ⎪ v2 1− 2 ⎪ c ⎩
进一步得逆变换式为
x'+vt ' ⎧ ⎪x = v2 ⎪ 1− 2 c ⎪ ⎪ y = y' ⎪ ⎨z = z' ⎪ ⎪ t ' + v x' ⎪t = c2 ⎪ v2 1− 2 ⎪ c ⎩
洛伦兹变换推导过程详细
洛伦兹变换推导过程详细全文共四篇示例，供您参考第一篇示例：洛伦兹变换（Lorentz transformation）是狭义相对论中的重要概念，描述了不同惯性参考系之间的时空坐标变换关系。
由荷兰物理学家亨德里克·安杰洛·洛伦兹（Hendrik Antoon Lorentz）首先提出，并由爱因斯坦在他的狭义相对论中进一步发展。
洛伦兹变换不仅在相对论中有着广泛的应用，而且也成为了后来爱因斯坦提出的广义相对论中的基础之一。
在这篇文章中，我们将详细推导洛伦兹变换的过程，并探讨其物理意义。
我们从狭义相对论的两个基本假设开始。
第一个假设是等效原理，即在加速度为零的惯性参考系中的物理定律是相同的。
第二个假设是光速不变原理，即光在真空中的传播速度对于所有惯性观察者都是相同的，不受光源或观察者的运动状态的影响。
根据这两个假设，我们可以推导出洛伦兹变换。
假设有两个惯性参考系S和S'，S'相对于S以速度v沿x轴方向匀速运动。
在S参考系中，事件的时空坐标为(x, y, z, t)，而在S'参考系中为(x', y', z', t')。
我们希望通过洛伦兹变换找到这两个参考系之间的坐标变换关系。
首先考虑S'参考系中的时间坐标t'和空间坐标x'之间的变换。
由光速不变原理可知，在S'参考系中静止的光源发出的光信号在空间中传播的速度是恒定不变的，即光速c。
假设光源在S参考系中坐标为(x, t)，在S'参考系中坐标为(x', t')，那么光信号在S参考系中的传播距离为c(t-t')，在S'参考系中的传播距离为c(t'-t)。
根据光速不变原理，这两个传播距离应该相等，即：c(t-t') = c(t'-t)整理得到：t' = γ(t - vx/c^2)其中γ为洛伦兹因子，定义为1/√(1-v^2/c^2)，即：γ = 1/√(1-v^2/c^2)这个式子描述了S'参考系中事件的时间与S参考系中事件的时间之间的关系。
洛伦兹变换的推导
一、间隔不变原理1、事件：一件事情发生可以用地点和时间来标识。
在一个参考系如S 中可以记作(,,,),x y z t 另一参考系'S 中可以记作''''(,,,),x y z t 两件事情发生，分别在两参考系中可以记为22222221212121()()()()s x x y y z z c t t ∆=-+-+---这两事件的间隔在'S 参考系中定义为'2''2''2''22''221212121()()()()s x x y y z z c t t ∆=-+-+---注意两事件的间隔只能在同一惯性参考系才有意义，2s ∆是一种整体记法，就表示两事件在S 系中的惯性，计算方法如下，22222221212121()()()()s x x y y z z c t t ∆=-+-+---不表示两间隔之差，这种写法22221s s s ∆=-是错误的。
由光速不变原理可以推出间隔不变：任何两事件的间隔，从一个惯性参考系变换到另一惯性参考系保持不变。
2'2s s ∆=∆ 二、洛伦兹变换设惯性参考系'S 相对于惯性参考系S 以速度v 运动，选取两个参考系的坐标轴相互平行，x 轴方向沿速度v 方向，且0t =时两坐标原点重合。
在这种情况下有'',y y z z ==考虑两个事件，事件1在0t =时刻发生在两惯性参考系的原点，事件2在S 系中发生t 时刻，两事件在两个惯性参考系S 和'S 分别记为 由两事件在两惯性参考系中间隔相等可以得到'2'2'22'222222x y z c t x y z c t ++-=++- （1）由于从一个惯性参考系到另一个惯性参考系的变换为线性变换，所以有'1112'2122x a x a ct ct a x a ct=+=+ （2）将（2）式代入（1）式再结合'',y y z z ==可以得到2222222221112212222222111221222222222222222111112122121222222222221121111221221222()()()()(2(2)(1)(22)(a x a ct y z a x a ct x y z c t a x a ct a x a ct x c t a x ca a xt a c t a x ca a xt a c t x c ta a x ca a ca a xt a c a c c +++-+=++-+-+=-++-++=---+-+-+22)0t =上式在任何情况下成立，所以只有相应的系数为零。
写出洛伦兹变换及其逆变换的形式。
洛伦兹变换及其逆变换是狭义相对论中的重要概念，它描述了当两个惯性系之间相对运动时，时间和空间的变化规律。
本文将从以下几个方面展开讨论：一、洛伦兹变换的推导1.1 介绍洛伦兹变换的背景狭义相对论是爱因斯坦在19世纪初提出的一种理论，它颠覆了牛顿力学的观念，重新定义了时间和空间的概念。
在狭义相对论中，运动状态并不是绝对的，而是相对于观察者的。
当两个惯性系相对运动时，时间和空间的观测数值会发生变化，而这种变化规律由洛伦兹变换来描述。
1.2 推导洛伦兹变换的数学表达式根据狭义相对论的基本原理和洛伦兹对称性，可以推导出洛伦兹变换的数学表达式。
假设有两个惯性系S和S'，它们之间以速度v相对运动。
假设在S系中有事件的时空坐标为(x, y, z, t)，在S'系中的时空坐标为(x', y', z', t')，那么洛伦兹变换的数学表达式可以表示为：\[x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}, y'=y, z'=z, t'=\frac{t-\frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.\]其中c为光速。
1.3 推导出洛伦兹变换的矩阵形式将洛伦兹变换的以上数学表达式整理成矩阵形式，并引入矩阵运算的概念，可以得到洛伦兹变换的矩阵形式如下：\[ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ t' \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} 0 0 -\frac{v}{c^2}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \\ 0 1 0 0 \\ 0 0 1 0 \\ -\frac{v}{c^2}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} 0 0\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ t \end{bmatrix}.\]二、洛伦兹变换的逆变换形式2.1 介绍洛伦兹变换的逆变换洛伦兹变换的逆变换即是将事件的时空坐标从S'系变换到S系的坐标变换规律。
洛伦兹变换的详细推导
第三节洛伦兹变换式教学内容：1.洛伦兹变换式的推导；2.狭义相对论的时空观：同时性的相对性、长度的收缩和时间的延缓；重点难点：狭义相对论时空观的主要结论。
基本要求：1.了解洛伦兹坐标变换和速度变换的推导；2.了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间延缓概念；3.理解牛顿力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及两者的差异。
三、洛伦兹坐标变换的推导1.时空坐标间的变换关系x=0；在S'系中观察该点，x'=-v t'，即x'+v t'=0。
因此x=x'+v t'。
在任意的一个空间点上，可以设：x=k（x'+v t'），k是—比例常数。
同样地可得到：x'=k'（x-v t）=k'（x+(-v)t）根据相对性原理，惯性系S系和S'系等价，上面两个等式的形式就应该相同（除正、负号），所以k=k'。
2.由光速不变原理可求出常数k设光信号在S系和S'系的原点重合的瞬时从重合点沿x轴前进，那么在任一瞬时t（或t'），光信号到达点在S系和S'系中的坐标分别是：x=c t,x'=c t'，则：由此得到()22211c v vc c k -=-=。
这样，就得到()21c v vt x x --='，()21c v t v x x -'+'=。
由上面二式，消去x '因此得相对论的速度变换公式： 21c vu v u u x x x --='、()2211c vu c v u u x y y --='、()2211c vu c v u u x z z --='其逆变换为：21c u v v u u x x x '++'=、()2211c u v c v u u x y y '+-'=、()2211c u v c v u u x z z '+-'=。
洛伦兹变换的详细推导
第三节洛伦兹变换式教学内容：1. 洛伦兹变换式的推导；2. 狭义相对论的时空观：同时性的相对性、长度的收缩和时间的延缓； 重点难点：狭义相对论时空观的主要结论。
基本要求：1. 了解洛伦兹坐标变换和速度变换的推导；2. 了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间延缓概念；3. 理解牛顿力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及两者的差异。
三、洛伦兹坐标变换的推导()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧--='='='--='22211c v c vx t t z z y y c v vt x x 或 ()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-'+'='='=-'+'=22211c v c x v t t z z y y c v t v x x据狭义相对论的两个基本假设来推导洛仑兹变换式。
1. 时空坐标间的变换关系作为一条公设，我们认为时间和空间都是均匀的，因此时空坐标间的变换必须是线性的。
对于任意事件P 在S 系和S '系中的时空坐标(x ，y ，z ，t )、(x '，y '，z '，t ')，因S ' 相对于S 以平行于 x 轴的速度v 作匀速运动，显然有y '=y , z '=z 。
在S 系中观察S 系的原点，x =0；在S '系中观察该点，x '=-v t '，即x '+v t '=0。
因此x =x '+v t '。
在任意的一个空间点上，可以设：x =k （x '+v t '），k 是—比例常数。
同样地可得到：x '=k '（x -v t ）= k '（x +(-v )t ）根据相对性原理，惯性系S 系和S '系等价，上面两个等式的形式就应该相同（除正、负号），所以k =k '。
洛伦兹变换的速度公式
洛伦兹变换的速度公式洛伦兹变换是描述相对论情况下空间时间坐标之间的关系的数学方法。
在狭义相对论中，当观察者的参考系以速度v相对于光速运动时，由于光速不变原理，时间和空间会发生相对论效应的变换。
速度变换公式推导假设存在两个参考系，分别为S系和S’系，S’系以速度v相对于S系运动。
考虑一个运动速度为u相对于S系的物体，我们要求其在S’系中的速度u’。
根据洛伦兹变换，时间的变换公式为：$$ \\Delta t' = \\gamma (\\Delta t - \\frac{v}{c^2} \\Delta x) $$空间的变换公式为：$$ \\Delta x' = \\gamma (\\Delta x - v \\Delta t) $$其中，$\\gamma = \\frac{1}{\\sqrt{1 - \\frac{v^2}{c^2}}}$。
考虑速度是空间坐标对时间的导数，即$u = \\frac{dx}{dt}$，$u' =\\frac{dx'}{dt'}$，代入变换公式，得到速度变换的公式为：$$ u' = \\frac{dx'}{dt'} = \\frac{\\gamma(dx - vdt)}{\\gamma(dt -\\frac{v}{c^2}dx)} $$将dx=udt代入，整理得到：$$ u' = \\frac{U - v}{1 - \\frac{vU}{c^2}} $$其中，U为速度u的分量，即U = u/c。
结论洛伦兹变换的速度变换公式表达了相对论情况下，观察者在不同参考系中测得的物体速度之间的关系。
这个公式揭示了在相对论情况下速度的变换会受到光速不变原理的影响，导致速度的合成与经典物理中不同。
通过相对论性的速度变换公式，我们可以更好地理解相对论情况下的运动问题。
★★★“洛伦兹变换”的推导及其意义!!
洛沦兹变换的推导],)([P ],)(P[t t r t t r ''''↔一般性的光速不变原理：Esp. 特殊性的光速不变原理：伽利略坐标变换s 'utxx 'Pz 'zOO 'xyy 'x 's)t ' 前提。
非公理性默认条件1a ） “S '系原点事件”的对应关系条件：),0(P ),P(t t t u ''↔⋅⇒⋅-=⇒⋅+⋅⋅=⇒''↔⋅⋅+⋅='u a a t a t u a t t t u t a x a x 1112121112110),0(P ),P(;)(11t u x a x ⋅-⋅='非公理性默认条件1b ） “S 系原点事件”的对应关系条件：),(P ),0P(t t u t ''⋅-'↔⇒⋅=⇒'⋅+'⋅-⋅=⇒''⋅-'↔'⋅+'⋅=u a a t a t u a t t u t t a x a x 212222212221)(0),(P ),0P(;)(21t u x a x '⋅+'⋅=非公理性默认条件1c ）满足“低速情形的退化连续性条件”和“左右对称条件”，意味着)(1)()(,)()(1)()(,)(2121212111111111c u u a u a u a a c u u a u a u a a <<→≡-=<<→≡-=2）相对性原理（且满足低速情形的退化条件）满足相对性原理，意味着)()(;)()()(2111u u u u a u a γγγ≡-=≡从而有：)(;)(t u x x t u x x '⋅+'⋅=⋅-⋅='γγ3）光速不变原理支持下的事件对应关系条件：),(P ),P(t t c t t c ''⋅'↔⋅⇒'⋅+'⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅='⋅⇒''⋅'↔⋅'⋅+'⋅=⋅-⋅=')(,)(),(P ),P(;)(,)(t u t c t c t u t c t c t t c t t c t u x x t u x x γγγγ⇒'⋅+'⋅⋅⋅-⋅⋅='⋅⋅)()(22t u t c t u t c t t c γ讨论1：)()(u u γγ=-满足对称性（偶函数）条件。
洛伦兹变换公式推导过程
洛伦兹变换是用来描述时空坐标系之间变换的数学公式，它是狭义相对论的核心概念之一。
下面是洛伦兹变换公式的推导过程：假设有两个惯性参考系S 和S'，它们之间以速度v 相对运动。
设S 系中有一事件P，在S' 系中的坐标为(x', y', z', t')，在S 系中的坐标为(x, y, z, t)。
我们希望得到S 和S' 系中事件P 的坐标变换关系。
首先，我们假设相对运动的两个惯性系S 和S' 的时间零点重合（即t = t' = 0），且两个系之间的相对速度在x 轴上，也就是说y, z 轴上的速度均为零。
在这个条件下，我们可以根据时间和空间的变换关系推导出洛伦兹变换公式。
根据狭义相对论的基本假设，不同惯性系之间的物理规律必须具有相同的形式，只是各个参量的数值不同。
因此，时间和空间的变换关系应该是线性变换关系。
我们设S 系中的时间t 和空间坐标x、y、z 分别变换到S' 系中的时间t' 和空间坐标x'、y'、z'，它们之间应该有如下线性变换关系：t' = at + bxx' = ct + dx其中，a, b, c, d 是待求的系数。
为了得到这些系数，我们需要找到两组关于事件P 的变换式，从而可以解出系数。
假设S 和S' 两个坐标系中都有一支长度相等、方向平行的光束在事件P 处发生。
我们设这两支光束在S 系中分别沿着x 轴和y 轴正方向传播，在S' 系中分别沿着x' 轴和y' 轴正方向传播。
根据相对论中的光速不变原理，可以得到：x^2 + y^2 + z^2 = c^2t^2x'^2 + y'^2 + z'^2 = c^2t'^2将上述两个式子代入变换关系式中，消去z 和z'：t' = at + bxx' = ct + dxx^2 + y^2 = c^2t^2 - b^2x^2 - 2abxtx'^2 + y'^2 = c^2t'^2 - d^2x^2 - 2cdxt接下来，我们可以将两组式子分别平方，然后展开，得到：x^2 + y^2 = c^2t^2 - b^2x^2 - 2abxtx^2 + y^2 = (c^2/a^2)*t'^2 - (b^2/a^2)*x'^2 - 2bc/ab * x' * t'将两个式子等式右边的t 和t' 消去，得到：(b^2/a^2)*x^2 - (c^2/a^2)*x'^2 = x^2 - x'^2将等式两边整理，得到：(b^2/a^2 - 1)*x^2 = (c^2/a^2 - 1)*x'^2由于光速不变原理要求任何坐标系中的光速都相等，因此可以得到：x/t = x'/t'将其代入上面的式子中，可以得到：(b^2 - a^2)*x^2 = (c^2 - a^2)*x'^2再将上面的式子代入最初的变换关系式，消去系数a，得到：t' = (b/c^2)*x + tx' = (c/b^2)*x + x这就是S 和S' 系之间的洛伦兹变换公式。
洛伦兹变换的详细推导
洛伦兹变换的详细推导本文介绍了洛伦兹变换式的推导以及狭义相对论的时空观。
首先，介绍了洛伦兹坐标变换和速度变换的推导方法，指出时空坐标变换必须是线性的。
其次，根据相对性原理，推导出了两个基本假设，即时空坐标间的变换关系和光速不变原理。
通过对光信号在S系和S'系的原点重合的瞬时从重合点沿x轴前进的分析，得到了洛伦兹变换式。
狭义相对论的时空观包括同时性的相对性、长度的收缩和时间的延缓。
同时性的相对性指不同惯性系中的两个事件是否同时发生是相对的。
长度的收缩指在运动方向上，物体的长度会变短。
时间的延缓指在运动中，时间会变慢。
这些结论与___力学中的时空观有很大的差异。
为了更好地理解狭义相对论的时空观，需要了解洛伦兹变换式的推导和基本假设。
同时，需要认识到狭义相对论与___力学的时空观存在巨大差异，这是我们理解狭义相对论的关键。
1、讨论相对论的速度变换公式和光速不变原理当速度u、v远小于光速c时，即在非相对论极限下，相对论的速度变换公式即转化为___速度变换式。
利用速度变换公式，可证明光速在任何惯性系中都是c。
假设S'系中观察者测得沿x'方向传播的一光信号的光速为c，在S系中观察者测得该光信号的速度为u'=(u-v)/(1-uv/c^2)，即光信号在S系和S'系中都相同。
2、讨论狭义相对论的时空观狭义相对论的时空观认为：同时是相对的。
即在一个惯性系中不同地点同时发生的两个事件，在另一个惯性系中不一定是同时的。
例如，假设两个事件P1和P2，在S系和S'系中测得其时空坐标不同，且两个彼此间作匀速运动的惯性系中测得的时间间隔，一般来说是不相等的。
这就是同时的相对性。
因此，同时性与参考系有关，这就是同时的相对性。
在相对论中，时间和空间的概念都发生了变化。
在相对论中，时间和空间是相互关联的，构成了时空的统一整体。
本文将介绍两个与时空相关的概念：时间膨胀和长度收缩。
一、时间膨胀（时间延长）在相对论中，时间不再是绝对的，而是相对的。
洛伦兹逆变换推导
洛伦兹逆变换推导
洛伦兹逆变换是洛伦兹变换的一种，它描述了一个观察者如何从另一个观察者的参考系中观察到的事件的时间和空间坐标。
以下是洛伦兹逆变换的推导过程：
设两个惯性参考系为S和S'，其中S'相对于S沿x轴以速度v运动。
设在S 系中有一事件发生在(x, y, z, t)，在S'系中同一事件发生在(x', y', z', t')。
根据洛伦兹变换，有：
$x' = \frac{x - vt}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$
$y' = y$
$z' = z$
$t' = \frac{t - vx/c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$
其中，c是光速。
现在我们要来推导洛伦兹逆变换，即从S'系到S系的变换。
为此，我们需要将上述变换中的x, y, z, t用x', y', z', t'表示出来。
$x = \frac{x' + vt'}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ $y = y'$
$z = z'$
$t = \frac{t' + vx'/c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ 这就是洛伦兹逆变换的公式。
洛伦兹变换详细推导
第三节 洛伦兹变换式教案内容：1. 洛伦兹变换式的推导；2. 狭义相对论的时空观：同时性的相对性、长度的收缩和时间的延缓； 重点难点：狭义相对论时空观的主要结论。
基本要求：1. 了解洛伦兹坐标变换和速度变换的推导；2. 了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间延缓概念；3. 理解牛顿力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及两者的差异。
三、洛伦兹坐标变换的推导()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧--='='='--='22211c v c vx t t z z y y c v vt x x 或 ()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-'+'='='=-'+'=22211c v c x v t t z z y y c v t v x x据狭义相对论的两个基本假设来推导洛仑兹变换式。
1. 时空坐标间的变换关系作为一条公设，我们认为时间和空间都是均匀的，因此时空坐标间的变换必须是线性的。
对于任意事件P 在S 系和S '系中的时空坐标(x ，y ，z ，t )、(x '，y '，z '，t ')，因S ' 相对于S 以平行于 x 轴的速度v 作匀速运动，显然有y '=y , z '=z 。
在S 系中观察S 系的原点，x =0；在S '系中观察该点，x '=-v t '，即x '+v t '=0。
因此x =x '+v t '。
在任意的一个空间点上，可以设：x =k （x '+v t '），k 是—比例常数。
同样地可得到：x '=k '（x -v t ）= k '（x +(-v )t ）根据相对性原理，惯性系S 系和S '系等价，上面两个等式的形式就应该相同（除正、负号），所以k =k '。
洛伦兹变换详细推导
洛伦兹变换详细推导洛伦兹变换是相对论中的一个重要概念，它在描述两个不同参考系之间的变换关系时起着关键作用。
在本篇文章中，我们将详细推导洛伦兹变换，并探讨其在不同参考系下的应用。
文章的结构将分为以下几个部分：一、洛伦兹变换的背景与基本原理1.牛顿力学中的变换关系在牛顿力学中，我们通常研究物体在某一惯性参考系下的运动状态。
当我们将研究对象转移到另一个惯性参考系时，物体的运动状态会发生改变。
例如，一个静止在地面上的物体，在观测者看来是静止的，而在另一个以匀速直线运动的参考系中，该物体的位置将发生改变。
2.相对论的基本原理相对论提出了两个基本原理：（1）洛伦兹不变性：在任何惯性参考系中，物理定律的形式都是相同的。
（2）光速不变原理：真空中光的速度对于所有惯性参考系都是常数，约为299,792,458米/秒。
二、洛伦兹变换的推导1.坐标变换假设有一个惯性参考系S，另一个惯性参考系S'，两个参考系在t=t'=0时重合，在x轴和y轴上分别以相对速度vx和vy相对移动。
我们需要推导出在S'系中观测到的物体位置、速度与在S系中的关系。
2.变换公式设物体在S系中的坐标为（x，y，t），在S'系中的坐标为（x'，y'，t'）。
根据坐标变换公式，我们可以得到：x' =γ(x -vx * t)y' =γ(y -vy * t)t' =γ(t -(vx * x + vy * y) / c²)其中，γ表示洛伦兹因子，定义为：γ=1 /√(1 -(vx²+ vy²) / c²)3.洛伦兹变换的推导根据上述坐标变换公式，我们可以将t'表示为：t' =γ* t -γ* vx * x / c²-γ* vy * y / c²将x'和t'的表达式代入y'的表达式，可以得到：y' =γ* (y -vy * t)将t'的表达式代入y'的表达式，可以得到：y' =γ* (y -vy * (γ* t -γ* vx * x /c²-γ* vy * y / c²))化简后，我们可以得到洛伦兹变换的基本形式：x' =γ* (x -vx * t)y' =γ* (y -vy * t)t' =γ* t -(vx * x + vy * y) / c²三、洛伦兹变换的应用1.电磁现象的研究在相对论中，电磁现象的规律也满足洛伦兹不变性。
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第三节 洛伦兹变换式教学内容：1. 洛伦兹变换式的推导；2. 狭义相对论的时空观：同时性的相对性、长度的收缩和时间的延缓； 重点难点：狭义相对论时空观的主要结论。
基本要求：1. 了解洛伦兹坐标变换和速度变换的推导；2. 了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间延缓概念；3. 理解牛顿力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及两者的差异。
三、洛伦兹坐标变换的推导()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧--='='='--='22211c v c vx t t z z y y c v vt x x 或 ()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-'+'='='=-'+'=22211c v c x v t t z z y y c v t v x x据狭义相对论的两个基本假设来推导洛仑兹变换式。
1. 时空坐标间的变换关系 作为一条公设，我们认为时间和空间都是均匀的，因此时空坐标间的变换必须是线性的。
对于任意事件P 在S 系和S '系中的时空坐标(x ，y ，z ，t )、(x '，y '，z '，t ')，因S ' 相对于S 以平行于 x 轴的速度v 作匀速运动，显然有y '=y , z '=z 。
在S 系中观察S 系的原点，x =0；在S '系中观察该点，x '=-v t '，即x '+v t '=0。
因此x =x '+v t '。
在任意的一个空间点上，可以设：x =k （x '+v t '），k 是—比例常数。
同样地可得到：x '=k '（x -v t ）= k '（x +(-v )t ）根据相对性原理，惯性系S 系和S '系等价，上面两个等式的形式就应该相同（除正、负号），所以k =k '。
2. 由光速不变原理可求出常数k设光信号在S 系和S '系的原点重合的瞬时从重合点沿x 轴前进，那么在任一瞬时t （或t '），光信号到达点在S 系和S '系中的坐标分别是：x =c t , x '=c t '，则：t t c x x '='2()()()()t v t c vt ct k t v x vt x k '+'-='+'-=22()222v c t t k -'=由由此此得得到到()22211c v v c c k -=-=。
这样，就得到()21c v t v x x -'+'=，()21c v vt x x --='。
由上面二式，消去x '得到()221c v c vx t t --='；若消去x 得到()221c v c x v t t -'+'=，综合以上结果，就得到 洛仑兹变换， 或 洛仑兹反变换()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧--='='='--='22211c v c vx t t z z y y c v vt x x ()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-'+'='='=-+'=22211c v c x v t t z z y y c v vt x x可见洛仑兹变换是两条基本原理的直接结果。
3. 讨论（1）可以证明，在洛仑兹变换下，麦克斯韦方程组是不变的，而牛顿力学定律则要改变。
故麦克斯韦方程组能够用来描述高速运动的电磁现象，而牛顿力学不适用描述高速现象，故它有一定的适用范围。
（2）当|v /c |<<1时，洛仑兹变换就成为伽利略变换，亦即后者是前者在低速下的极限情形。
故牛顿力学仅是相对论力学的特殊情形—低速极限。
四、相对论速度变换公式洛仑兹变换是事件的时空坐标在不同惯性系之间的关系，根据洛仑兹变换可以得到狭义相对论的速度变换公式。
设物体在S 、S '系中的的速度分别为()z yxu uu ,,，()z y x u u u ''',,，根据洛仑兹变换式可得：()()()()()222111c v dtv u c v dt v dt dx c v vdtdx x d x --=--=--='()()()2222111c v c vu dt c v c vdx dt t d x --=--=' 因此：()()()()222111c v c vu dt c v dt v u t d x d x x ----=''，即：21c vu vu u x x x --='因y '=y , z '=z ，有d y '=d y , d z '=d z 则()()2211c v c vu dt dyt d y d x --=''，即()2211c vu c v u u x y y --='。
同理：()2211c vu c v u u x z z --='因此得相对论的速度变换公式：21c vu vu u x x x --='、()2211c vu c v u u x y y --='、()2211c vu c v u u x z z --='其逆变换为：21c u v v u u x x x '++'=、()2211c u v c v u u x y y '+-'=、()2211c u v c v u u x z z '+-'=。
讨论（1）当速度u 、v 远小于光速c 时，即在非相对论极限下，相对论的速度变换公式即转化为伽利略速度变换式v u u x x-='。
（2）利用速度变换公式，可证明光速在任何惯性系中都是c 。
证明：设S '系中观察者测得沿x ' 方向传播的一光信号的光速为c ，在S 系中的观察者测得该光信号的速度为：c c vc v c u x =++=21，即光信号在S 系和S '系中都相同。
第四节 狭义相对论的时空观一、 一、 同时的相对性1. 概念狭义相对论的时空观认为：同时是相对的。
即在一个惯性系中不同地点同时发生的两个事件，在另一个惯性系中不一定是同时的。
例如：在地球上不同地方同时出生的两个婴儿，在一个相对地球高速飞行的飞船上来看，他们不一定是同时出生的。
如图设S '系为一列长高速列车，速度向右，在车厢正中放置一灯P 。
当灯发出闪光时：S '系的观察者认为，闪光相对他以相同速率传播，因此同时到达A 、B 两端；S 系（地面上）的观察者认为，A 与光相向运动（v 、c 反向），B 与光同向运动，所以光先到达A 再到达B ，不同时到达。
结论：同时性与参考系有关—这就是同时的相对性。
假设两个事件P 1和P 2，在S 系和S '系中测得其时空坐标为：()()()()2222111122221111t z y x t z y x S t z y x t z y x S '''''''''，，，，，，，：，，，，，，，：由洛伦兹变换得：()()222222211111c v c x v t t c v c vx t t --='--='，在S 系和S '系中测得的时间间隔为()12t t '-'和（t 2-t 1），它们之间的关系为：()()()221212121c v c x x v t t t t ----='-'可见，两个彼此间作匀速运动的惯性系中测得的时间间隔，一般来说是不相等的。
2. 讨论（1）在S 系中同时发生：t 2=t 1，但在不同地点发生，12x x ≠，则有：()()2221121c v cxx v t t --='-'这就是同时的相对性。
（2）在S 系中同时发生：t 2=t 1，而且在相同地点发生，12x x =，则有：()()()1222121212101t t c v c v x x t t t t t '='=----='-'='∆，()()()12212121201x x c v t t v x x x x '='=----='-'，即在S 系中同时同地点发生的两个事件，在S ’系中也同时同地点发生。
（3）事件的因果关系不会颠倒，如人出生的先后假设在S 系中，t 时刻在x 处的质点经过t ∆时间后到达x x ∆+处，则由：()221c v c v x t t --='得到()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆=--∆=-∆-∆='∆t x u c v c v u t c v c v x t t 1112222因为v ≯c ，u ≯c ，所以Δt '与Δt 同号。
即事件的因果关系，相互顺序不会颠倒。
（4）上述情况是相对的。
同理在S ’系中不同地点同时发生的两个事件，在S 系看来同样也是不同时的。
（5）当c v 〈〈时，t t ∆≈'∆，回到牛顿力学。
二、长度收缩（洛伦兹收缩）假设一刚性棒A B 静止于S ’系中12x x l '-'='，在S 系中同时()t t t ==21测量得12x x l -=。
由洛伦兹坐标变换式：()()2222211111c v vt x x c v vt x x --='--='，得：()()()()212212121211c v x x c v t t v x x x x --=----='-'即 ()21c v l l -'=1. 固有长度观察者与被测物体相对静止时，长度的测量值最大，称为该物体的固有长度（或原长），用l 0表示。
即()201c v l l -=2. 洛伦兹收缩（长度缩短）观察者与被测物体有相对运动时，长度的测量值等于其原长的()21c v -倍，即物体沿运动方向缩短了，这就是洛伦兹收缩（长度缩短）。
讨论：（1）长度缩短效应具有相对性。
若在S 系中有一静止物体，那么在S '系中观察者将同时测量得该物体的长度沿运动方向缩短，同理有()21c v l l -='即看人家运动着的尺子变短了。
（2）当v <<c 时，有l l '≈三、时间膨胀（时间延缓）由洛伦兹变换得()()()221212121c v c x x v t t t t -'-'+'-'=-，事件P 1、P 2在S 系中的时间间隔为12t t t -=∆，事件P 1、P 2在S ’系中的时间间隔为12t t t '-'='∆。