二次根式(第3课时)练习
人教版数学八年级下册：习题word版：第十六章 二次根式
第十六章 二次根式16．1 二次根式第1课时 二次根式的概念基础题知识点1 二次根式的定义1．(2019·黔东南期末)下列式子中一定是二次根式的是( A )A . 2B .32C .－2D .x2．下列各式中，不一定是二次根式的为( A )A .a ＋1B .b 2＋1C .0D .（a －b ）23．小红说：“因为4＝2，所以4不是二次根式．”你认为小红的说法对吗？错(填“对”或“错”)．知识点2 二次根式有意义的条件 4．(2019·黔南期中联考)二次根式x ＋3有意义的条件是( C )A ．x ＞3B ．x ＞－3C ．x ≥－3D ．x ≥35．当x 为何值时，下列各式有意义？(1)－x ；解：由－x ≥0，得x ≤0. ∴当x ≤0时，－x 有意义．(2)5－2x ；解：由5－2x ≥0，得x ≤52. ∴当x ≤52时，5－2x 有意义．(3)x 2＋1；解：由x 2＋1≥0，得x 为任意实数．∴当x 为任意实数时，x 2＋1都有意义．(4)14－3x. 解：由4－3x>0，得x<43. ∴当x<43时，14－3x有意义．知识点3 二次根式的实际应用6．已知一个表面积为12 dm 2的正方体，则这个正方体的棱长为( B )A ．1 dm B. 2 dm C. 6 dm D ．3 dm易错点 考虑不全造成答案不完整7．若式子a ＋1a －2有意义，则实数a 的取值范围是( C ) A ．a ≥－1 B ．a ≠2 C ．a ≥－1且a ≠2 D ．a >202 中档题8．(2019·毕节织金县期末)如果y ＝1－x ＋x －1＋2，那么(－x)y 的值为( A )A ．1B ．－1C ．±1D ．0 9．(2020·遵义汇川区模拟)若x －1＋2x －3在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是x ≥1且x ≠3． 10．要使二次根式2－3x 有意义，则x 的最大值是23． 11．若整数x 满足|x|≤3，则使7－x 为整数的x 的值是3或－2．(只需填一个)12．x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)32x －1； 解：x>12.(2)21－x； 解：x ≥0且x ≠1.(3)1－|x|；解：－1≤x ≤1.(4)x －3＋4－x.解：3≤x ≤4.03 综合题13．已知a ，b 分别为等腰三角形的两条边长，且a ，b 满足b ＝4＋3a －6＋32－a ，求此三角形的周长． 解：∵3a －6≥0，2－a ≥0，∴a ＝2，b ＝4.当边长为4，2，2时，不符合实际情况，舍去；当边长为4，4，2时，符合实际情况，4×2＋2＝10.综上，此三角形的周长为10.第2课时 二次根式的性质01 基础题知识点1 (a)2＝a(a ≥0) 1．计算：(3)2＝3；(49)2＝49． 2．把下列非负数写成一个非负数的平方的形式：(1)5＝(5)2； (2)3.4＝( 3.4)2； (3)16＝(16)2; (4)x ＝(x)2(x ≥0)． 3．在实数范围内分解因式：x 2－5＝(x ＋5)(x －5)．知识点2 a 2＝a(a ≥0)4．(2019·黔东南期末)计算：（－1）2＝1．5．若（a －2）2＝2－a ，则a 的取值范围是a ≤2.6．计算：(1)49；解：原式＝72＝7.(2)（－5）2；解：原式＝52＝5.(3)－（－13）2； 解：原式＝－（13）2＝－13.(4)4×10－4. 解：原式＝（2×10－2）2＝2×10－2.知识点3 代数式用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．7．下列式子中属于代数式的有( A )①0；②x ；③x ＋2；④2x ；⑤x ＝2；⑥x>2；⑦x 2＋1；⑧x ≠2.A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个8．若一个正方体的表面积为S ，则用含S 的代数式表示正方体的棱长a ＝S 6；当S ＝18时，a ＝3．知识点4 二次根式的非负性二次根式a的两个非负性：(1)被开方数a必须是非负数；(2)a的结果一定是非负数．9．已知x，y为实数，且x－1＋3(y－2)2＝0，则x－y的值为( D )A．3 B．－3 C．1 D．－110．当x＝2_020时，式子2 021－x－2 020有最大值，且最大值为2_021．易错点运用a2＝a(a≥0)时，忽略a≥011．计算：（1－2）2＝2－1．02中档题12．下列等式正确的是( A )A．(3)2＝3 B.（－3）2＝－3 C.33＝3 D．(－3)2＝－3 13．化简二次根式（3.14－π）2，结果为( C )A．0 B．3.14－πC．π－3.14 D．0.114．(2020·呼伦贝尔)已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简|a－1|－（a－2）2的结果是( D )A．3－2a B．－1 C．1 D．2a－315．若等式（x－2）2＝(x－2)2成立，则字母x的取值范围是x≥2．16．计算下列各式：(1)13＋23＝3；(2)13＋23＋33＝6；(3)13＋23＋33＋43＝10；(4)13＋23＋33＋43＋53＝15；(5)13＋23＋33＋…＋203＝210；(6)猜想13＋23＋33＋…＋n3＝n（n＋1）2．(用含n的代数式表示)17．比较211与35的大小．解：∵(211)2＝22×(11)2＝44，(35)2＝32×(5)2＝45，又∵44＜45，且211＞0，35＞0，∴211＜3 5.18．已知实数m满足（2－m）2＋m－4＝m2，求m的值．解：由题意，得m－4≥0，解得m≥4.∴原等式化为m－2＋m－4＝m.整理，得m－4＝2，解得m＝8.03综合题19．甲、乙两人同时解答题目：“化简并求值：a＋1－6a＋9a2，其中a＝5.”甲、乙两人的解答不同，甲的解答是：a＋1－6a＋9a2＝a＋（1－3a）2＝a＋1－3a＝1－2a＝－9；乙的解答是：a＋1－6a＋9a2＝a＋（1－3a）2＝a＋3a－1＝4a－1＝19.(1)甲的解答是错误的；(2)(用公式表示)(3)模仿上题解答：化简并求值：|1－a|＋1－8a＋16a2，其中a＝2.解：|1－a| ＋1－8a＋16a2＝|1－a|＋（1－4a）2.∵a＝2，∴1－a<0，1－4a<0.∴原式＝a－1＋4a－1＝5a－2＝8.16．2 二次根式的乘除第1课时 二次根式的乘法01 基础题知识点1 二次根式的乘法二次根式的乘法法则：a·b ＝ab(a ≥0，b ≥0)．1．计算并化简8×2的结果为( C )A .16B . 4C ．4D ．162．下列各等式成立的是( D )A ．45×25＝8 5B ．53×42＝20 5C ．43×32＝7 5D ．53×42＝20 63．等式x ＋1·x －1＝x 2－1成立的条件是( A )A ．x ≥1B ．x ≥－1C ．－1≤x ≤1D ．x ≥1或x ≥－1 4．计算：(1)12×8＝2；(2)221×(－37)＝－6．5．计算：(1)2×11；解：原式＝22.(2)125×15； 解：原式＝125×15＝25 ＝5.(3)32×27；解：原式＝3×2×2×7＝614.(4)3xy·1y .解：原式＝3xy·1y＝3x.知识点2 积的算术平方根积的算术平方根的性质：ab＝a·b(a≥0，b≥0)．6．化简40的结果是( B )A．10 B．210 C．4 5 D．20 7．化简：(1)（－3）2×6＝36；(2)2y3＝y2y．8．化简：(1)144×169；解：原式＝144×169＝12×13＝156.(2)9x2y5z.解：原式＝9·x2·y5·z＝3x y4·y·z＝3xy2yz.9．计算：(1)36×212；解：原式＝662×2＝36 2.(2)15ab2·10ab.解：原式＝2a2b＝a2b.易错点忽视被开方数不能小于零10．化简：（－4）×（－9）.解：原式＝－4×－9＝(－2)×(－3)＝6. 以上解答过程正确吗？若不正确，请改正．解：不正确．原式＝36＝6.02中档题11．已知m ＝(－33)×(－221)，则有( A ) A ．5＜m ＜6 B ．4＜m ＜5 C ．－5＜m ＜－4 D ．－6＜m ＜－512．(教材P 16“阅读与思考”变式)已知三角形的三边长分别为a ，b ，c ，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦(Heron ，约公元50年)给出求其面积的海伦公式S ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ），其中p ＝a ＋b ＋c 2；我国南宋时期数学家秦九韶(约1202－约1261)曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S ＝12a 2b 2－（a 2＋b 2－c 22）2.若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是( B ) A .3158 B .3154 C .3152 D .15213．(教材P5习题T9(2)变式)(2020·益阳)若计算12×m 的结果为正整数，则无理数m 写出一个符合条件的即可)． 14．(2019·铜仁期末)计算：133x 3y 2·1212xy 2＝x 2y 2． 15．化简：(1)75×20×12； 解：原式＝25×3×4×5×3×4＝60 5.(2)（－14）×（－112）；解：原式＝14×112 ＝2×72×42＝2×72×42＝28 2.(3)－32×45×2；解：原式＝－3×16×22＝－96 2.(4)200a 5b 4c 3(a ＞0，c ＞0)．解：原式＝2×102·（a 2）2·a ·（b 2）2·c 2·c＝10a 2b 2c 2ac.16．将下列二次根式中根号外的因数或因式移至根号内：(1)35；解：原式＝32×5＝45.(2)－23；解：原式＝－22×3＝－12.(3)x－x.解：原式＝－(－x)－x＝－（－x）2·（－x）＝－－x3.17．交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是v＝16df，其中v表示车速(单位：千米/时)，d表示刹车后车轮滑过的距离(单位：米)，f表示摩擦因数，在某次交通事故调查中，测得d＝20米，f＝1.2，肇事汽车的车速大约是多少？(6≈2.449 5，结果精确到0.01千米/时)解：当d＝20米，f＝1.2时，v＝16df＝16×20×1.2＝1624＝326≈78.38(千米/时)．答：肇事汽车的车速大约是78.38千米/时．03综合题18．观察分析下列数据：0，－3，6，－3，23，－15，32，…，根据数据排列的规律得到第16个数据应是(结果需化简)第2课时 二次根式的除法01 基础题知识点1 二次根式的除法二次根式的除法法则：a b ＝a b(a ≥0，b>0)． 1．计算：10÷2＝( A )A . 5B ．5C .52D .1022．下列运算正确的是( D ) A .50÷5＝10B .10÷25＝2 2C .32＋42＝3＋4＝7D .27÷3＝3 3．计算：(1)40÷5； 解：原式＝40÷5 ＝8＝2 2.(2)322；解：原式＝322＝16＝4.(3)45÷215； 解：原式＝45÷215 ＝45×152＝ 6.(4)2a 3bab (a>0)．解：原式＝2a.知识点2 商的算术平方根商的算术平方根的性质：a b ＝a b (a ≥0，b>0)． 4．下列各式成立的是( A )A .－3－5＝35＝35 B .－7－6＝－7－6 C .2－9＝2－9D .9＋14＝9＋14＝312 5．化简： (1)7100； 解：原式＝7100＝710.(2)11549； 解：原式＝6449＝6449＝87.(3)25a 49b 2(b>0)． 解：原式＝25a 49b 2＝5a 23b.知识点3 最简二次根式最简二次根式应有如下两个特点：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．6．(2020·遵义汇川区模拟)下列各式中，是最简二次根式的是( C )A .12B .8C . 6D .0.37．把下列各个二次根式化为最简二次根式：(1)85； 解：原式＝8×55×5 ＝22×1052 ＝22×1052(2)2 3；解：原式＝2×3 3×3＝6 3.(3)8a2b3(a>0)．解：原式＝8·a2·b3＝22·a·b b＝2ab2b.易错点忽视二次根式的被开方数为非负数8．小东在学习了ab＝ab后，认为ab＝ab也成立，因此他认为一个化简过程－27－3＝－27－3＝－3×9－3＝9＝3是正确的．你认为他的化简正确吗？若不正确，请指出错误，并给出正确的解答过程．解：不正确.－27－3≠－27－3.正确解答过程：－27－3＝273＝9＝3.02中档题9．下列等式不成立的是( B )A．62×3＝6 6 B.8÷2＝4C.13＝33D.8×2＝410．计算212×34÷32的结果是( A )A.22B.33C.23D.3211．已知长方形的宽是32，它的面积是186，则它的长是12．不等式22x－6＞0的解集是x＞213．计算：(1)215；解：原式＝115＝115＝11×55×5＝555.(2)(2019·黔南期中)23÷223×25； 解：原式＝23×38×25＝1010.(3)0.9×121100×0.36. 解：原式＝12140＝11222×10＝112110＝112×1010＝111020.14．先化简，再求值：x －1x 2－1÷x 2x 2＋x，其中x ＝ 3. 解：原式＝x －1（x ＋1）（x －1）÷x 2x （x ＋1）＝1x ＋1·x ＋1x＝1x. 当x ＝3时，原式＝13＝33.15．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，S △ABC ＝18 cm 2，BC ＝ 3 cm ，AB ＝3 3 cm ，CD ⊥AB 于点D.求AC ，CD 的长．解：∵S △ABC ＝12AC·BC ＝12AB·CD ， ∴AC ＝2S △ABC BC ＝2183＝26(cm )， CD ＝2S △ABC AB ＝21833＝236(cm )．03 综合题16．已知x －69－x ＝x －69－x，且x 为奇数，求(1＋x)·x 2－2x ＋1x 2－1的值． 解：∵x －69－x ＝x －69－x ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －6≥0，9－x ＞0.∴6≤x ＜9. 又∵x 是奇数，∴x ＝7.∴原式＝(1＋x)·（x －1）2（x ＋1）（x －1） ＝(1＋x)·x －1x ＋1＝（x ＋1）（x －1）＝（7＋1）（7－1）＝8×6＝4 3.16.3 二次根式的加减第1课时 二次根式的加减01 基础题知识点1 可以合并的二次根式1．下列二次根式中，能与3合并的是( C ) A .8 B . 6 C .12 D .122．若最简二次根式2x ＋1和4x －3能合并，则x 的值为( C )A ．－12B .34C ．2D ．5 3．若m 与18可以合并，则m 的最小正整数值是( D )A ．18B ．8C ．4D ．2知识点2 二次根式的加减二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．4．下列计算18－2的结果是( C )A ．4B ．3C ．2 2D . 25．下列计算正确的是( C )A ．2＋3＝2 3B ．52－2＝5C ．52a ＋2a ＝62aD .y ＋2x ＝3xy6．(2019·遵义)计算35－20的结果是5．7．(2020·遵义红花岗区模拟)计算：27－313＝23． 8．三角形的三边长分别为20 cm ，40 cm ，45 cm ，这个三角形的周长是(55＋210)cm .9．计算：(1)(2020·遵义汇川区期末)27－12＋32；解：原式＝33－23＋4 3＝5 3.(2)6－32－23； 解：原式＝6－62－63(3)(2019·黔南期中)8＋23－(27－2)；解：原式＝22＋23－33＋ 2＝32－ 3.(4)45＋45－8＋4 2.解：原式＝45＋35－22＋4 2＝75＋2 2.易错点错用运算法则致错10．计算：18＋98＋27.解：原式＝32＋72＋33①＝102＋33②＝(10＋3)2＋3③＝13 5.④(1)以上解答过程中，从③开始出现错误；(2)请写出本题的正确解答过程．解：原式＝32＋72＋3 3＝102＋3 3.02中档题11．若x与2可以合并，则x可以是( A )A．0.5 B．0.4 C．0.2 D．0.112．计算|2－5|＋|4－5|的值是( B )A．－2 B．2 C．25－6 D．6－2 513．如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知小长方形的长为27，宽为12，下列是四位同学对该大长方形的判断，其中不正确的是( C )A．大长方形的长为6 3B．大长方形的宽为5 314．若a ，b 均为有理数，且8＋18＋18＝a ＋b 2，则a ＝0，b ＝214.15．当y ＝23时，8y ＋4－5－4y 316．已知一个等腰三角形的周长为125，其中一边的长为25，则这个等腰三角形的腰长为17．计算： (1)(45＋27)－(43＋125)； 解：原式＝35＋33－233－5 5 ＝733－2 5.(2)8－612＋12－|2－3|； 解：原式＝22－32＋23＋2－ 3＝ 3.(3)18－22－82＋(5－1)0； 解：原式＝32－2－2＋1＝2＋1.(4)254x ＋16x －9x ； 解：原式＝52x ＋4x －3x ＝72x.(5)(30.5－513)－(20.125－20)． 解：原式＝(312－513)－(218－20) ＝322－533－22＋2 5 ＝2－533＋2 5.面积为800 cm2，另一张面积为450 cm2，他想如果再用金色细彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他手上现有1.2 m长的金色细彩带，请你帮忙算一算，他的金色细彩带够用吗？如果不够用，还需买多长的金色细彩带？(2≈1.414，结果保留整数)解：镶壁画所用的金色细彩带的长：4×(800＋450)＝4×(202＋152)＝1402≈197.96(cm)．因为1.2 m＝120 cm＜197.96 cm，所以小刚的金色细彩带不够用．197．96－120＝77.96≈78(cm)，即还需买78 cm的金色细彩带．03综合题19．若a，b都是正整数，且a＜b，a与b可以合并，是否存在a，b，使a＋b＝75？若存在，请求出a，b的值；若不存在，请说明理由．解：∵a与b可以合并，a＋b＝75＝53，且a，b都是正整数，a＜b，∴a＝3，b＝43或a＝23，b＝33，即a＝3，b＝48或a＝12，b＝27.第2课时 二次根式的混合运算01 基础题知识点1 二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．1．下列计算错误的是( D )A .14×7＝7 2B .60÷30＝ 2C .9a ＋25a ＝8 aD ．32－2＝32．(2020·朝阳)计算12－12×14的结果是( B )A ．0B . 3C ．3 3D .12 3．计算(515－245)÷(－5)的结果为( A )A ．5B ．－5C ．7D ．－7 4．计算：(1)(2019·南京)计算147－28的结果是0；(2)(2019·青岛)计算：24＋82－(3)2＝23－1．5．计算：(1)3(5－2)；解：原式＝3×5－3× 2＝15－ 6.(2)(2019·黔南期中)348－427÷23；解：原式＝123－123÷2 3 ＝123－6.(3)(2＋3)(2＋2)．解：原式＝(2)2＋32＋22＋6＝2＋52＋6＝8＋5 2.乘法公式：(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2；(a －b)2＝a 2－2ab ＋b 2；(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2．6．(2019·遵义桐梓县模拟)计算(5＋4)(5－4)的结果是1．7．计算(25－2)2的结果是22－4108．计算：(1)(2019·黔东南期末)(7＋43)(7－43)； 解：原式＝49－48＝1.(2)(3－3)2.解：原式＝(3)2－2×3×3＋32＝3－63＋9＝12－6 3.易错点 错用运算法则进行运算9．嘉淇计算12÷(34＋233)时，想起分配律，于是她按分配律完成了下列计算： 解：原式＝12÷34＋12÷233＝12×43＋12×323 ＝11.她的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程．解：不正确，正确解答过程为： 原式＝12÷(3312＋8312) ＝12÷11312＝23×12113 ＝2411.02 中档题10．计算(2＋1)2 021(2－1)2 020的结果是( C )A ．1B ．－1C .2＋1D .2－1A ．14B ．16C ．8＋5 2D ．14＋ 2 12．(2019·滨州)计算：(－12)－2－|3－2|＋32÷118＝2＋43． 13．已知m ＝1＋2，n ＝1－2，则代数式m 2＋n 2－3mn 的值为3． 14．计算： (1)48÷3－12×12＋24； 解：原式＝48÷3－12×12＋2 6 ＝4－6＋2 6 ＝4＋ 6.(2)(2019·黔东南期末)18－412＋24÷3； 解：原式＝32－22＋24÷3 ＝2＋2 2 ＝3 2.(3)(32＋23)×(32－23)－(3－2)2.解：原式＝(32)2－(23)2－[(3)2－2×3×2＋(2)2] ＝18－12－(3－26＋2) ＝6－5＋2 6 ＝1＋2 6.15．已知x ＝3＋2，y ＝3－2，求x 3y －xy 3的值． 解：原式＝xy(x 2－y 2)＝xy(x ＋y)(x －y)． 当x ＝3＋2，y ＝3－2时， xy ＝1，x ＋y ＝23，x －y ＝2 2. ∴原式＝1×23×22＝4 6.16．先化简，再求值：(a －2a 2＋2a －a －1a 2＋4a ＋4)÷a －4a ＋2，其中a ＝2－1.解：原式＝[a －2a （a ＋2）－a －1（a ＋2）2]·a ＋2a －4＝a 2－4－a 2＋a a （a ＋2）2·a ＋2a －4 ＝a －4a （a ＋2）2·a ＋2a －4＝1a （a ＋2）.当a ＝2－1时，原式＝1（2－1）（2－1＋2）＝1.03 综合题17．(2019·遵义期末改编)观察下列运算： ①由(2＋1)(2－1)＝1，得12＋1＝2－1； ②由(3＋2)(3－2)＝1，得13＋2＝3－2； ③由(4＋3)(4－3)＝1，得14＋3＝4－3； …(1)通过观察你得出什么规律？用含n 的式子表示出来； (2)利用(1)中发现的规律计算：(12＋1＋13＋2＋14＋3＋…＋12 020＋ 2 019＋12 021＋ 2 020)×( 2 021＋1)． 解：(1)1n ＋1＋n＝n ＋1－n(n ≥0)．(2)原式＝(2－1＋3－2＋4－3＋…＋ 2 021－ 2 020)×( 2 021＋1) ＝(－1＋ 2 021)×( 2 021＋1) ＝( 2 021)2－1 ＝2 020.小专题(一) 二次根式的性质及运算类型1 二次根式的非负性1．已知a －b ＋|b －1|＝0，则a ＋1＝2．2．已知x ，y 为实数，且y ＝x －9＋9－x ＋4，则x －y 的值为5． 3．当x ＝15时，5x －1＋4的值最小，最小值是4．类型2 二次根式的运算 4．计算： (1)62×136；解：原式＝(6×13)2×6＝212 ＝4 3.(2)(－45)÷5145； 解：原式＝－45÷(5×355)＝－45÷3 5 ＝－43.(3)72－322＋218； 解：原式＝62－322＋6 2 ＝2122. (4)(25＋3)×(25－3)． 解：原式＝(25)2－(3)2 ＝20－3 ＝17.5．计算：(1)334÷(－12123)； 解：原式＝[3÷(－12)]34÷53＝－6920 ＝－69×520×5＝－95 5.(2)(6＋10×15)×3； 解：原式＝32＋56× 3 ＝32＋15 2 ＝18 2.(3)354×(－89)÷7115； 解：原式＝3×(－1)×54×89÷7115＝－348÷765＝－3748×56＝－6710.(4)(12－418)－(313－40.5)； 解：原式＝23－2－3＋2 2 ＝3＋ 2.(5)(32－6)2－(－32－6)2. 解：原式＝(32－6)2－(32＋6)2 ＝18＋6－123－(18＋6＋123) ＝－24 3.6．计算：(1)(2019·南充)(1－π)0＋|2－3|－12＋(12)－1； 解：原式＝1＋3－2－23＋ 2 ＝1－ 3.(2)|2－5|－2×(18－102)＋32. 解：原式＝5－2－12＋5＋32＝25－1.类型3 与二次根式有关的化简求值7．已知实数a ，b ，定义“★”运算规则如下：a ★b ＝⎩⎨⎧b （a ≤b ），a 2－b 2（a>b ），求7★(2★3)的值．解：由题意，得2★3＝ 3.∴7★(2★3)＝7★3＝7－3＝2.8．已知x ＝3＋1，求x 2－2x －3的值． 解：x 2－2x －3＝x 2－2x ＋1－4 ＝(x －1)2－4. 当x ＝3＋1时， 原式＝(3＋1－1)2－4 ＝3－4 ＝－1.9．已知x ＝1－2，y ＝1＋2，求x 2＋y 2－xy －2x ＋2y 的值． 解：∵x ＝1－2，y ＝1＋2，∴x －y ＝－22，xy ＝(1－2)(1＋2)＝－1. ∴原式＝(x －y)2－2(x －y)＋xy ＝(－22)2－2×(－22)＋(－1) ＝7＋4 2.10．(2020·烟台)先化简，再求值：(y x －y －y 2x 2－y 2)÷xxy ＋y 2，其中x ＝3＋1，y ＝3－1.解：原式＝[y （x ＋y ）（x ＋y ）（x －y ）－y 2（x ＋y ）（x －y ）]÷xy （x ＋y ）＝xy（x ＋y ）（x －y ）·y （x ＋y ）x＝y 2x －y. 当x ＝3＋1，y ＝3－1时， 原式＝（3－1）22＝2－ 3.11．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋22＝(1＋2)2，善于思考的小明进行了以下探索：设a ＋b 2＝(m ＋n 2)2(其中a ，b ，m ，n 均为正整数)，则有a ＋b 2＝m 2＋2n 2＋22mn ， ∴a ＝m 2＋2n 2，b ＝2mn.这样小明就找到了一种把a ＋b 2的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)当a ，b ，m ，n 均为正整数时，若a ＋b 3＝(m ＋n 3)2，用含m ，n 的式子分别表示a ，b ，得a ＝m 2＋3n 2，b ＝2mn ；(2)利用所探索的结论，找一组正整数a ，b ，m ，n 填空：4＋(1＋2；(答案不唯一) (3)若a ＋43＝(m ＋n 3)2，且a ，m ，n 均为正整数，求a 的值．解：根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝m 2＋3n 2，4＝2mn.∵2mn ＝4，且m ，n 为正整数， ∴m ＝2，n ＝1或m ＝1，n ＝2. ∴a ＝7或13.章末复习(一)二次根式01分点突破知识点1二次根式的相关概念二次根式有意义的条件：(1)1A有意义⇒A＞0；(2)A＋1B有意义⇒⎩⎪⎨⎪⎧A≥0，B≠0.1．(2019·黔东南期末)在二次根式a－2中，a能取到的最小值为( C ) A．0 B．1 C．2 D．2.52．(2019·毕节模拟)使代数式2x－13－x有意义的x的取值范围是x≥12且x≠3．知识点2二次根式的性质3．若a－1＋(b－2)2＝0，则ab的值等于( D )A．－2 B．0 C．1 D．2 4．若xy＜0，则x2y化简后的结果是( D )A．x y B．x－y C．－x－y D．－x y 5．(2019·黔东南期末)若m＝n－2＋2－n＋5，则m n＝25．6．如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a＋a2－4a＋4＝2．知识点3二次根式的运算在二次根式的运算中，最后结果一般要求分母中不含二次根式，具体化简方法如下：(1)ab＝a·bb·b＝abb(a≥0，b＞0)；(2)abb＝a（b）2b＝a b(b＞0)．7．与－5可以合并的二次根式的是( C )A.10B.15C.20D.25 8．下列计算正确的是( D )A.3＋5＝8B.2÷5＝2 5C．23×33＝6 3 D.7－27＝－79．计算： (1)68－32； 解：原式＝122－4 2 ＝8 2. (2)27－13＋12； 解：原式＝33－33＋2 3 ＝1433.(3)212×34÷2； 解：原式＝2×14×12×3×12＝322. (4)(48＋20)－(12－5)． 解：原式＝43＋25－23＋ 5 ＝23＋3 5.02 易错题集训10．下列计算正确的是( D )A .2＋5＝7B ．2＋2＝2 2C ．32－2＝3D .2－12＝2211．计算：23÷5×15. 解：原式＝23×15×15＝235.12．小明在学习中发现了一个“有趣”的现象：∵23＝22×3＝22×3＝12，①－23＝（－2）2×3＝（－2）2×3＝12，② ∴23＝－2 3.③ ∴2＝－2.④(1)上面的推导过程中，从第②步开始出现错误(填序号)； (2)写出该步的正确结果．解：－23＝－22×3＝－22×3＝－12.03 常考题型演练13．(2019·遵义期中)下列式子是最简二次根式的是( D ) A .8 B .3m 2 C .12D . 6 14．(2020·遵义汇川区模拟)下列运算正确的是( C )A ．x －2x ＝xB ．(xy)2＝xy 2C .2×3＝ 6D ．(－2)2＝4 15．(2019·遵义期中)下列各式计算错误的是( C ) A ．(3－2)(3＋2)＝1 B .2×3＝ 6 C ．55－25＝3 D .18÷2＝316．(2019·黔东南期末)已知x ＝5＋1，y ＝5－1，则x 2＋2xy ＋y 2的值为( A ) A ．20 B ．16 C ．2 5 D ．4 517．已知实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简：（a ＋1）2＋（b －1）2－|a －b|＝－2．18．观察下列各式：1＋13＝213，2＋14＝314，3＋15＝415，…，请你将发现的规律用含自然数n(n ≥1)的代数式表达出来n ＋1n ＋2＝(n ＋1)1n ＋2(n ≥1)． 19．计算： (1)(24－12)－(18＋6)； 解：原式＝26－22－24－ 6 ＝6－324.(2)6×13－16×18；解：原式＝2－4×3 2＝2－12 2＝－11 2.(3)(5＋3)2－(5＋3)(5－3)；解：原式＝5＋3＋215－(5－3)＝6＋215.(4)48÷3－12×12＋24；解：原式＝43÷3－22×23＋2 6＝4－6＋2 6 ＝4＋ 6.(5)18－22－(5－1)0－82.解：原式＝32－2－1－ 2＝2－1.20．(2019·遵义期中)先化简，再求值：a＋1－2a＋a2，其中a＝1 010.如图是小亮和小芳的解答过程．(1)小亮的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：a2＝－a(a＜0)；(2)先化简，再求值：x＋2x2－4x＋4，其中x＝－2 019.解：x＋2x2－4x＋4＝x＋2（x－2）2.∵x＝－2 019，∴x－2<0.∴原式＝x＋2(－x＋2)＝x－2x＋4＝－x＋4＝2 019＋4＝2 023.。
二次根式(第3课时)八年级数学
5.
3.设 a 1 ，b 10 3 , 则= a
10 3
b
课堂检测
基础巩固题
4.三角形的三边长分别为 20 ，40 ，45 ， 则这个三角形的 周长为_5_5_+_2__1_0___.
5.计算: （1）5 2 18 =_8__2
（2）4 18 - 9 2 =_3__2
8
1
32 2
22 2
2 3 22 21 2
8
16
4
5 4
2
（3）( 24 1 ) 3
6
24
3
1 6
3
24 3
1 6
3
42
6
2
6
2
2
1 6
2
11 6
2
8
1 63
（4） 25
2
99 18
25 2 22
911
92
5 2
2 3 11 3 2
1 2 3 11 2
巩固练习
变式训练
化简：
（1） 2 1 ； （2）12 3 1； （3）( 18 1 ) 8 .
5 10
3
2
解（：1 ） 2
5
1 10
25 55
110 1 1010 5
10 1 10 1 10 ;
10
10
（2）12
3
1
43
3
1 3 2 3
1 3
34
3;
3
33
3
3
（3）( 18 1 ) 8 18 8 1 8 18 8 1 8
变式训练
已知
2023八年级数学上册第二章实数7二次根式第3课时二次根式的混合运算教案(新版)北师大版
1.教材：确保每位学生都提前准备好北师大版《数学》八年级上册教材，翻到第二章实数7二次根式相关内容，以便课堂上随时翻阅和标注。
2.辅助材料：
-准备与二次根式混合运算相关的教学图片，如含有二次根式的实际应用题目图片，以直观展示数学在生活中的运用。
-制作动态图表，展示二次根式乘除运算的过程，帮助学生理解运算规则。
-设计课堂小测验，测试学生对二次根式混合运算规则的理解程度和运算能力，根据测试结果调整教学策略，针对性地进行辅导。
-利用课堂反馈表，让学生自我评价学习效果，反思学习过程，促进学生的自我管理和自我提升。
2.作业评价：
-对学生的课后作业进行认真批改，点评作业中的亮点和不足，及时反馈学生的学习效果，帮助学生明确自己的学习进步和需要改进的地方。
简要回顾本节课学习的二次根式混合运算内容，强调重点和难点。肯定学生的表现，鼓励他们继续努力。
布置作业：
根据本节课学习的内容，布置适量的课后作业，巩固学习效果。提醒学生注意作业要求和时间安排，确保作业质量。
学生学习效果
1.知识与技能：
-学生能够理解并掌握二次根式混合运算的规则，包括二次根式的乘除法运算，以及与整数、分数的混合运算。
-学生通过对比、归纳等学习方法，加深了对二次根式混合运算规则的理解，提高了逻辑思维能力和数学素养。
3.情感态度与价值观：
-学生在学习过程中，逐渐消除了对二次根式混合运算的恐惧和畏难情绪，增强了自信心和耐心。
-学生认识到数学与现实生活的紧密联系，培养了学以致用的意识，增强了学习数学的兴趣和动力。
-学生通过拓展知识的学习，拓宽了知识视野，激发了探索学科前沿的兴趣，培养了创新精神和探索意识。
核心素养数学学习后，已具备了一定的数学基础和逻辑思维能力。在本章节的学习中，他们在知识层面，对二次根式的概念和基本性质有初步了解，但混合运算的掌握程度参差不齐。在能力方面，学生的运算能力和问题解决能力有待提高，特别是将二次根式与整数、分数结合进行混合运算时，需要加强练习以提升熟练度和准确性。
四川省九年级数学上册第21章《二次根式》(第3课时)二次根式导学案+新华东师大版
二次根式 一、学习目标 1.掌握二次根式的基本性质：a a =2，并能对二次根式进行化简。
二、学习重点 重点：二次根式的a a =2性质．难点：综合运用性质a a =2进行化简和计算。
三、 自主预习 自学课本的内容，完成下面的题目：1.计算：=24 =22.0 =2)54( =220观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=>a a ,0时2.计算：=-2)4( =-2)2.0( =-2)54( =-2)20(观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=<a a ,0时3.计算：=20 ，那么当==a a ,0时综上所述，二次根式 练习：化简下列各式：2(1)0.3______=()2(2)0.3______-=()2(3)5_______-= 2(4)(2)_____a 0a =（<）四、 合作探究1.化简下列各式：（1）)0(42≥x x (2))3()3(2≥-a a练习：化简下列各式：（1）4x （2）()232+x （x ＜-2）=2a五、巩固反馈 1.填空：（1）2)12(-x -2)32(-x )2(≥x =______（2）2)4(-π=(3)a 、b 、c 为三角形的三条边，则=--+-+c a b c b a 2)(____________。
2.把(2-x)21-x 的根号外的（2-x ）适当变形后移入根号内，得（ ） A 、x -2 B 、2-x C 、x --2 D 、2--x 3.已知2＜x ＜3，化简：3)2(2-+-x x4.已知0 ＜x ＜1，化简：4)1(2+-x x －4)1(2-+x x5.边长为a 的正方形桌面，正中间有一个边长为3a 的正方形方孔．若沿图中虚线锯开，可以拼成一个新的正方形桌面．你会拼吗？试求出新的正方形边长。
华东师大版九年级上册数学第21章《二次根式》分课时练习题 及答案
第21章_21.1_二次根式_同步课堂检测考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.下列各式中，为二次根式的是（）A. B.C. D.2.若、是实数，且，则的值是（）A.或B.或C.或D.或3.要使二次根式有意义，字母必须满足的条件是（）A. B. C. D.4.若，则（）A. B. C. D.5.计算，结果是（）A. B. C. D.6.若在实数范围内有意义，则的取值范围是（）A. B. C. D.7.当的值为最小时，则A. B. C. D.无法确定8.若是二次根式，则下列说法正确的是（）A.，B.且C.，同号D.9.下列说法正确的是（）A.有意义，则B.在实数范围内不能因式分解C.方程无解D.方程的解为10.下列命题正确的个数是（）个．①用四舍五入法按要求对分别取近似值为（精确到）；②若代数式有意义，则的取值范围是且；③数据、、、的中位数是；④月球距离地球表面约为米，将这个距离用科学记数法（保留两个有效数字）表示为米．A. B. C. D.二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.若，化简的正确结果是________．12.若，则________．13.当时，二次根式的值是________．14.已知实数满足，则代数式的值为________．15.使有意义的条件是________．16.计算：________．17.把根号外的因式移到根号内：________．18.已知，则的算术平方根是________．19.若是正整数，则正整数的最小值为________．20.设，，…，，则化简的结果用（为整数）的式子表示为________．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.化简：；；；．22.若时，试化简：．23.小明同学在做“当是何实数时，在实数范围内有意义”时，他把此题转化为“当取什么实数时，是二次根式”，这种转化对吗？请说明理由．24.若满足，求的值．25.已知，均为实数，且，求的值．26.阅读材料，解答下列问题．例：当时，如则，故此时的绝对值是它本身；当时，，故此时的绝对值是零；当时，如则，故此时的绝对值是它的相反数．∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即，这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想．问：请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式的各种展开的情况；猜想与的大小关系．答案1.D2.B3.A4.D5.A6.C7.A8.D9.C10.C11.或12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.解：原式；原式；原式；原式．22.解：∵，∴，，，则原式．23.解：这种转化对，理由：∵形如，的形式叫二次根式，∴当是何实数时，在实数范围内有意义，可以转化为：当取什么实数时，是二次根式，即这种转化对．24.解：由，得，，平方，得，移项，得．25.解：由题意得，，且，∴且，解得，，∴．26.解：由题意可得；由可得：．21.2_二次根式的乘除_同步课堂检测考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.下列根式中，最简二次根式为（）A. B.C. D.2.下列根式中，最简二次根式是（）A. B. C. D.3.下列各数中，与的积为有理数的是（）A. B. C. D.4.若，则的取值范围是（）A. B.C. D.5.下列根式中，是最简二次根式的是（）A. B.C. D.6.一个矩形的长和宽分别是、，则它的面积是（）A. B. C. D.7.已知，，则，的关系为（）A. B. C. D.8.下列各式中，最简二次根式为（）A. B. C. D.9.下列各式中，是最简二次根式的是（）A. B. C. D.10.下列等式中，错误的是（）①，②，③，④；A.①②B.①②③C.①②④D.②③④二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.的有理化因式可以是________．12.将化成最简二次根式的结果为________．13.在二次根式①；②；③；④；⑤；⑥中，最简二次根式有________．（填序号）14.________．15.计算：________．16.下列各式：①②③④是最简二次根式的是________（填序号）．17.（江西）计算：________18.观察下列等式：①；②；③，根据以上的规律则第个等式________．19.在下列二次根式，中，最简二次根式的个数有________个．20.将根式，，，化成最简二次根式后，随机抽取其中一个根式，能与的被开方数相同的概率是________．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.判断下列二次根式是否是最简二次根式，并说明理由．；；；；；．22.计算：；；．23.计算：；．24.已知为奇数，且，求的值．25.观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：例，例，，观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：例，例，，________；________．请你用含（为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律．利用上面的结论，求下列式子的值．．26.观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：，，同理可得：，…从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算的值．答案1.B2.C3.A4.B5.B6.B7.A8.D9.C10.B11.12.13.②③⑥14.15.16.②③17.18.19.20.21.解：，不是最简二次根式；，不是最简二次根式；是最简二次根式；，不是最简二次根式；，不是最简二次根式；是最简二次根式．22.解：原式；原式；原式．23.解：，，，；，，．24.解：∵，∴，解得；又∵为奇数，∴，∴．25.26.解：原式．21.3_二次根式的加减法_同步课堂检测考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为（）A. B. C. D.2.下列各组根式是同类二次根式的是（）A.和B.和C.与D.与3.下列式子计算正确的是（）A. B.C. D.4.下列各式成立的是（）A. B.C. D.5.下列计算正确的是（）A. B.C. D.6.若，那么的值是（）A. B. C. D.7.设，，则的值为（）A. B. C. D.8.下列运算正确的是（）A. B.C. D.9.将一个边长为的正方形硬纸板剪去四角，使它成为正八边形，求正八边形的面积（）A. B.C. D.10.的两边的长分别为，，则第三边的长度不可能为（）A. B. C. D.二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.若最简根式和是同类根式，则________．12.下列四个二次根式①，②，③，④，其中与是同类项二次根式的是________（只填序号）13.计算：________．14.当，时，________．15.化简________．16.计算：________．17.________．18.已知：，是两个连续自然数，且．设，则是________．（填：奇数、偶数或无理数）19.已知，，则代数式的值为________．20.如图，正方形被分成两个小正方形和两个长方形，如果两小正方形的面积分别是和，那么两个长方形的面积和为________．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.计算：；．22.已知和是同类二次根式，求，的值．23.如果与是同类二次根式，求正整数，的值．24.计算：．24.已知，，求的值．25.已知，，求的值；25.已知，，求的值．26.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：…①（其中、、为三角形的三边长，为面积）．而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：…②（其中．）若已知三角形的三边长分别为，，，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积；你能否由公式①推导出公式②？请试试．答案1.B2.A3.C4.D5.B6.C7.C8.D9.A10.A11.12.①③13.14.15.16.17.18.奇数19.20.21.解：原式；原式．22.解：由和是同类二次根式，得，解得．23.解：因为与是同类二次根式，可得：，，因为正整数，，解得：，．24.解：原式；∵，，∴，∴．25.解：∵，，∴，，∴原式；∵，∴，∴原式．26.解：，；，又；，，，，∴．（说明：若在整个推导过程中，始终带根号运算当然也正确）。
八年级数学上册第二章实数：二次根式第3课时二次根式的混合运算教案新版北师大版
八年级数学上册教案新版北师大版：2.7二次根式3课时二次根式的混合运算教学目标熟练掌握二次根式的综合运算．(重点、难点)教学过程一、情境导入已知一个直角三角形的两条直角边长分别为(3－2)cm、(3＋2)cm，求这个三角形的面积和周长．二、合作探究探究点一：二次根式的混合运算计算：(1)ab(a3b＋ab3－ab)(a≥0，b≥0)；(2)(232－12)×(128＋23)；(3)(32＋48)×(18－43)．解：(1)原式＝ab(a ab＋b ab－ab)＝a ab×ab＋b ab×ab－ab ab＝a2b＋ab2－ab ab；(2)原式＝(6－22)(2＋63)＝6×2＋6×63－22×2－22×63＝23＋2－1－33＝1＋533；(3)原式＝(32＋43)(32－43)＝(32)2－(43)2＝18－48＝－30.方法总结：二次根式的混合运算，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再灵活运用乘法公式等知识来简化计算．探究点二：二次根式的化简求值已知a＝15－2，b＝15＋2，求a2＋b2＋2的值．解析：先化简已知条件，再利用乘法公式变形，即a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，最后代入求解．解：∵a＝15－2＝5＋2（5－2）（5＋2）＝5＋2，b＝15＋2＝5－2（5＋2）（5－2）＝5－2，∴a＋b＝25，ab＝1.∴a2＋b2＋2＝（a＋b）2－2ab＋2＝（25）2－2＋2＝20＝2 5.方法总结：解此类问题时，直接代入求值很麻烦，要先化简已知条件，再用乘法公式变形代入即可求得．探究点三：运用二次根式的运算解决实际问题教师节就要到了，李欣同学准备做两张大小不同的正方形贺卡送给老师以表示祝贺，其中一张面积为288平方厘米，另一张面积为338平方厘米，如果用彩带把贺卡镶边会更漂亮，她现在有1.5米的彩带，请你帮忙算一算她的彩带够不够用．(2≈1.414)解析：可以通过两个正方形的面积分别计算出正方形的边长，进一步求出两个正方形的周长之和，与1.5米比较即可得出结论．解：贺卡的周长为4×(288＋338)＝4×(122＋132)＝4×252≈141.4(厘米)．∵1.5米＝150厘米，150>141.4，∴李欣的彩带够用．方法总结：本题是利用二次根式的加法来解决实际生活中的问题，解答本题的关键在于理解题意并列出算式．三、板书设计二次根式⎩⎪⎨⎪⎧综合运算化简求值实际应用教学反思经历本节课的学习，进一步理解二次根式的概念，熟悉二次根式的化简，了解根号内含有字母的二次根式的化简，利用二次根式的化简解决简单的数学问题．学生通过独立思考，能选择合理的方法解决问题；在运算过程中巩固知识，与小组成员交流总结方法．。
3.2 二次根式的乘除第3课时
3.2 二次根式的乘除第3课时教学过程：一、情境创设1、想一想：a ·b =ab （a ≥0，b ≥0）是用什么样的方法引出的？2、思考：b a= ？（a ≥0，b ＞0）二、探索活动1、计算并观察两者关系： ⑴254=________；254=_________； ⑵169=________；169=_________； ⑶10049=_______；10049=________； ⑷2252=________；2252=_________； 2、请再举例试一试。
你猜想到什么结论呢？3、由此猜想可得： b a =ba （a ≥0，b ＞0） 注意：为什么要加a 、b 条件？三、例题教学例1 计算： ⑴312⑵756⑶27÷3 ⑷321÷31 分析：本例前两条可先利用除法法则计算，再化简；第三条可先将之化为“分式”形式，再同前两题的方式一样去计算化简；而第四条计算前应先将带分数化为假分数，再用除法法则计算，此时运用“除以一个数等于乘以这个数的倒数”来计算。
注意：本例还可以用另外一种方法计算，如：312=343⨯=4=2 思考：ba = ？（a ≥0，b ＞0）利用这个等式可以化简一些二次根式。
例2、化简： ⑴2516 ⑵971 ⑶163 ⑷2294ab （a ＞0，b ≥0） 四、课堂练习P 65 练习1、2、3五、小结二次根式除法运算如何进行？对于简单的二次根式如何逆用二次根式除法运算法则进行化简？六、思维拓展1、怎样计算： 313÷（31252）×（4521）？ 2、计算过程：520--=545-⨯-=545-⨯-=4=2正确吗？为什么？ 七、作业 优秀生：P 67 习题3.2 5、7 后进生：P 65 练习 1、2八、教后反思：。
人教版八年级数学下册第十六章16.2二次根的乘除课件(3课时,共61张PPT)
证明：根据积的乘方法则，有 ( a b)2 ( a)2 ( b)2 ab.
∴ a b 就是ab算术平方根.
又∵ ab 表示ab算术平方根， ∴ a b ab (a 0,b 0.)
知识归纳
二次根式乘法法则：
例8 设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.
反之： ab = a b （a≥0，b≥0 ）． （a≥0，b≥0 ）．
我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
解：(2)∵
，
(1)
___×___=____;
（a≥0，b≥0 ）．
当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得
2 7= ？
精典例题
例1 计算：
（1） 16 81 ；（2） 12 ；（3） 4a2b3 ． 解：（1） 16 81=36；
（3） 3x 1 xy = 3x 1 xy =x y.
3
3
目标导学三：二次根式的除法
我们知道，两个二次根式可以进行乘法运算，那 么，两个二次根式能否进行除法运算呢？
24 = _____ ； 3 1 = _____ ．
3
2 18
合作探究
问题 计算下列各式，观察计算结果，你能发现 什么规律？
（1） ４ = ９
特殊化，从能开得尽方的 二次根式乘法运算开始思考！
2 7= ？
目标导学一：二次根式的乘法 计算下列各式:
(1) 4 9= __2_×_3__=__6__; 4 9 =___3_6___6__;
(2) 16 25 __4_×_5__=__2_0_; 16 25 =__4_0_0___2_0_; (3) 25 36=__5_×_6__=__3_0_; 25 36 =__9_0_0___3_0_.
2.7二次根式第三课时(教案)
在今天的二次根式教学中，我发现学生们对于二次根式的概念和性质的理解普遍较好，但在具体的运算和应用上还存在一些问题。首先，我在导入环节通过日常生活中的例子引入二次根式的概念，这一点看来是成功的，学生们能够很快地进入到学习状态，对二次根式的意义有了直观的认识。
然而，在讲解二次根式的乘除法则时，我发现部分学生在处理非完全平方数时感到困惑。我意识到，这里需要更多的例题和练习来巩固他们的理解。在接下来的教学中，我会增加一些针对性的练习，特别是对于乘除法则的运用，让学生们通过实际操作来加深记忆。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次根式的基本概念、性质、乘除法则及其在实际中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对二次根式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
-二次根式的乘除法：熟练运用二次根式的乘法法则（如√a * √b = √(ab)）和除法法则（如√a / √b = √(a/b)，其中b不为零）进行运算。
-二次根式的化简：掌握将二次根式化简为最简形式的方法，包括分解质因数、提公因数等，如√(12x^5)化简为2x^2√3x。
-二次根式的应用：解决实际问题时运用二次根式，如计算矩形对角线长度或三角形面积。
在实践活动中，分组讨论的环节学生们表现得非常积极，能够主动思考二次根式在实际问题中的应用。但在实验操作中，我发现有些小组在具体测量和计算时遇到了一些困难。这可能是因为他们在将理论知识应用到实际操作时还不够熟练。我考虑在未来的课程中，加入更多的实际操作环节，让学生在实践中学习和体会数学知识的应用。
15.1二次根式的乘法(3课时)
1 0 ，则 b 2 a c =（ ） 4
D．1
4
A．4
B．2
C．-2
（2）下列各式的计算中，不正确的是（ ） A． (4) (6)
4 B． 4 a
4 6 =（-2）×（-4）=8
4 a 4 2 2 ( a 2 ) 2 2a 2
2
C． 3 4
2
2 2 D． 13 12
9 16 25 5
(13 12)(13 12) 13 12 13 12 25 1
（2） 8ab 6ab ；
3
4、计算： （1）6 8 ×（-2 6 ） ；
5、不改变式子的值，把根号外的非负因式适当变形后移入根号内。 (1) -3
（2） 16 25 =___ ， 16 × 25 =____；
（3） 100 36 =___， 100 × 36 =___； 100 36 __ 100 × 36 讨论： a b 等于什么？
ab =
（a
0
b
0）
2
数学活动四：新知应用
例 2 化简： （1） 16 81 （2） 4a b
教师解读目标
学生思考，归纳二 次根的乘方法则， 后，小组发言， 其他小组补充
6
a · b ＝ ab ． （a
≥0，b≥0
教师讲解二次根 是乘法法则注意 事项及其作用
数学活动二 要求学生根据二次根式乘 新知应用 方法则计算例 1 学生自己做题 5′ 教师巡视，指导潜能生
学生口述计算过 程，共同矫正
数学活动三 8′
2 3
（3）
54
例3
计算
（1） 14 × 7
人教八年级数学下册-二次根式(附习题)
探索新知
思考 （1）面积为3 的正方形的边长为___3____，面积为
S 的正方形的边长为___S____．
被开方数都大于0
（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130
m2，则它的宽为__6_5___m．
被开方数可
（3）一个物体从高处自由落下，落以到是地分面数所用的
时间 t(单位:s)与开始落下的高度h(单位:m)满足关系
（1）3的平方根是___3___
（2）3的算术平方根是___3____
（3）5 有意义吗？为什么？ 0 呢？
（4）一个非负数a的算术平方根应表示为__a___a___0__
正数有两个平方根且互为相反数；
平方根的性质：0有一个平方根就是0；
负数没有平方根.
算术平方根的性质：正数和0都有算术平方根；
16.1 二次根式
第2课时 二次根式的性质
新课导入
我们知道二次根式 a 中a≥0，那么二次 根式 a 还有哪些性质呢？
学习目标
（1）知道 a ≥0(a≥0)，会用非负数的性质
解题.
a
（2）会用公式 a2 =a(a≥0)进行计算.
（3）知道形如 的化简方法及结果.
探索新知
知识点 1 二次根式的性质 探究 当a>0时，a 是什么数？ a 0 当a=0时，a 是什么数？ a 0 当 a 有意义时，a是什么数? a≥0
2.使 x 3 有意义的x的取值范围是 x≥-3 .
3.下列各式中一定是二次根式的是( B )
A. x 1
B. ( x 1)2
C. a2 1
D. 1 x
4.二次根式
1 a
中，字母a的取值范围是(
7 二次根式第3课时 二次根式混合运算 省优获奖课件
所捂二次三项式的值为____6_____.
三、解答题 9. 计算：
(1) 48÷ 3－
21× 12＋ 24；
解：原式＝4＋ 6
(2)
（ 8＋
2－2 1）2－(
5＋1)(
5－1)； 解：原式＝
2－52
10.
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上像
5 3
，
2 3＋1
这样的式
子，其实我们还可以将其进一步化简：
A)
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八 拍》 郭璞的《游仙诗》 鲍照的《拟行路难》 庾信的《拟咏怀》 都特别喜欢。不过都是组诗，太长了 ，就不 贴了orz 。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四 首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外 迫强敌 ，内失 人和。 魏师至 ，方征 兵四方 ，未至 而城见 克。在 幽逼求 酒，饮 之，制 诗四绝 。后为 梁王詧 所害。 】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿 里，终 非封禅 时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼 蚁，一 旦损鲲 鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载 后，谁 畏轩辕 台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树 杏，空 得动耕 人。
2 ，n＝1－
2 ，则代数式
二、填空题
6.
计算：
72－ 8
24·(3＋
3)＝____6_____.
7. 设a＝ 7－1，则代数式a2＋2a－10的值为___－__4____.
8. (深圳二模)老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂
住了一个二次三项式，形式如下： －3x＝x2－5x＋1，若x＝ 6 ＋1，则
【变式训练】
1. 化简 54× 12＋ 12的结果是( D ) A．5 2 B．6 3 C. 3 D．5 3 2. 计算 8－ 2( 2＋2)的结果是( D ) A．2 3＋2 B．2 3－2 C．2 D．－2
21.2二次根式的乘除(第3课时)
2
6 原式 5
当c=5时,
2 5 原式 5
观察、猜想训练
验证下列各式，猜想下一个式子是什么？ 你能找到反映上述各式的规律吗？
1 2 3
2 2 2 3 3 3 3 8 4 4 4 15 2 3 3 8 4 15
n
n n2 1
n
n n2 1
n 2
5 5 4 5 5 24 24
试用学过的知识说明 你的猜想是正确的.
课堂小结：
1. 利用商的算术平方根的性质化简二次根式.
2. 二次根式的除法有两种常用方法：
（1）利用公式：
a b = a (a ≥0，b > 0) b
（2）把除法先写成分式的形式，再进行分母有理 化运算. 3. 在进行分母有理化之前，可以先观察把能 化简的二次根式先化简，再考虑如何化去分母 中的根号.
复习提问
二次根式的除法
a b
=
a (a ≥0，b > 0) b
a b
a ( a ≥ ，b 0) 0 b
想一想,填一填:
a （ ）若 是二次根式，则 ，b应满足 1 a b
2k 1 2k 1 (2)若 成立，则k的取值范围是 k 3 k 3
1 (3)化简 a
计算:
练习
1 1 (2) 1 1 3 5 1 (4) 0.2 0.125 2 1 a (6) (1 a 1) 1 a
(1) 72 3 3 (3) 90 3 5 1 3 1 (5)9 ( 2 ) 48 2 4
例：把下列各式பைடு நூலகம்简： －4 2 （2） 2a （1） a＋b 3 7
（3） 3 40
2
－4 2 • 7 －4 2 －4 14 ＝ 解： 1） （ ＝ ； 21 3 7• 7 3 7
春八年级数学下册 第16章 二次根式 16.2 二次根式的运算 16.2.1 二次根式的乘除 第3课
第3课时二次根式的大小比较知识要点基础练知识点二次根式的大小比较1.下列式子中,值最小的是(D)A.√10B.πC.3D.√72.比2√3小的正整数有(B)A.4个B.3个C.2个D.1个3.比较大小:(1)3√2>2√3;(2)-2√6>-6√2.综合能力提升练4.比较2,√5,√6的大小,正确的是(A)A.2<√5<√6B.2<√6<√5C.√6<2<√5D.√5<√6<25.比较大小:√32×√2与√128÷√2的结果是(B)A.前者大B.一样大C.后者大D.无法确定6.下列判断正确的是(A)<√3<2 B.2<√2+√3<3A.32C.1<√5−√3<2D.4<√3×√5<57.若两个连续整数x,y满足x<√13+1<y,则x+y的值为9.8.把5的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为-√5<√53<√5.9.比较大小:√5+√6与√6+√7(求差法).解:∵(√5+√6)-(√6+√7)=√5+√6−√6−√7=√5−√7<0,∴√5+√6<√6+√7.10.比较下列各式的大小:(1)-2√13与-3√6;(2)5-√3与2+√3.解:(1)∵(-2√13)2=52,(-3√6)2=54,52<54,∴(-2√13)2<(-3√6)2,∴-2√13>-3√6.(2)(5-√3)-(2+√3)=3-2√3,∵3=√9,2√3=√12,9<12,∴3<2√3,即3-2√3<0,∴5-√3<2+√3.拓展探究突破练11.阅读下列材料,解答后面的问题.材料:√2+√3=√2+√3)(√2-√3)√2-√3=√2-√3=√3-√2,我们把这种化简的方法叫做分子有理化.问题:采用分子有理化,比较√2019−√2018与√2018−√2017的大小.解:∵√2019−√2018=√2019-√2018)(√2019+√2018)√2019+√2018=√2019+√2018,√2018−√2017=√2018-√2017)(√2018+√2017)√2018+√2017=√2018+√2017,又∵√2019+√2018>√2018+√2017,∴√2019+√2018<√2018+√2017,∴√2019−√2018<√2018−√2017.。
北师版八年级数学上册作业课件(BS) 第二章 实数 二次根式第3课时 二次根式的混合运算
别表示 a，b 得：a＝__m__2＋___3_n_2_，b＝__2_m__n； (2)利用所探索的结论，找一组正整数 a，b，m，n 填空：_1_3_＋_4_ 3 ＝(_1_＋_2_ 3 )2；
(3)若 a＋6 5 ＝(m＋ 5 n)2，且 a，b，m，n 均为正整数，求 a 的值．
解：(3)因为 a＋6 5 ＝(m＋ 5 n)2＝m2＋2 5 mn＋5n2，所以 a＝m2＋5n2，6 ＝2mn，即 mn＝3，而 m，n 为正整数，所以 m＝3，n＝1 或 m＝1，n＝3.当 m＝3， n＝1 时，a＝m2＋5n2＝14；当 m＝1，n＝3 时，a＝m2＋5n2＝46，故 a 的值为 14 或 46
＋
8 的结果是(
A
)
B．5－ 2
D．2 2
3．估计 8 ×
1 2
＋
3 的结果应在(
C
)
A．1 到 2 之间 B．2 到 3 之间
C．3 到 4 之间 D．4 到 5 之间
4．计算：6
1 3
－(
3
－4 ＋1)2＝_____．
5．计算： 27 －2－1 3 － 12 ＝_－__2__．
6．计算：
(1)(
17．阅读材料：一些含根号的式子可以写成另一个含根号的式子的平方，如 3＋2 2 ＝(1＋ 2 )2，其思考过程如下：
设 a＋ 2 b＝(m＋ 2 n)2(其中 a，b，m，n 均为正整数)，则有 a＋ 2 b＝m2＋2 2 mn＋2n2，所以 a＝m2＋2n2，b＝2mn.
请你解决下列问题： (1)当 a，b，m，n 均为正整数时，若 a＋ 3 b＝(m＋ 3 n)2，用含 m，n 的式子分
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