指数函数(第一课)
4.2指数函数第一课时-人教A版(2021)高中数学必修第一册同步讲义
第四章指数函数与对数函数4.2指数函数第1课时指数函数的概念【课程标准】1.了解指数函数的概念2.区分两类指数函数，了解不同点。
3.掌握指数函数的性质【知识要点归纳】1.指数函数的定义一般地，函数(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.特别提醒：(1)规定y＝a x中a>0，且a≠1的理由：①当a≤0时，a x可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，a x＝1 (x∈R)，无研究价值.因此规定y＝a x中a>0，且a≠1.（2）要注意指数函数的解析式：①底数是大于0且不等于1的常数.②指数函数的自变量必须位于指数的位置上.③a x的系数必须为1.④指数函数等号右边不能是多项式，如y＝2x＋1不是指数函数.2.指数函数的图象和性质指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：R 判断一个函数是指数函数的方法(1)形式：只需判断其解析式是否符合y ＝a x (a >0，且a ≠1)这一结构特征. (2)看是否具备指数函数解析式具有的三个特征.只要一个特征不具备,则该函数不是指数函数.例1 下列函数中是指数函数的是________.(填序号)[跟踪训练] 1 （1）函数f (x )＝(m 2－m ＋1)a x (a >0，且a ≠1)是指数函数，则m ＝________.（2）若函数f (x )是指数函数，且f (2)＝2，则f (x )＝( )A.(2)xB.2xC.⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD.⎝ ⎛⎭⎪⎫22x()()()()()()()2123231=________.x x f x a a a f x a a a f =-=-例2.函数是指数函数，则的取值范围是________.函数是指数函数,则例3.已知指数函数的图像过点（2,81），求这个函数的解析式指数函数图象问题(1)指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y 的值，即可得函数图象所过的定点. (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移). (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性.例2 (1) 函数f (x )＝a x ＋1－2(a >0且a ≠1)的图象恒过定点________.[跟踪训练] 2 (1)已知函数f (x )＝4＋a x ＋1(a >0，且a ≠1)的图象经过定点P ，则点P 的坐标是( )A.(－1,5)B.(－1,4)C.(0,4)D.(4,0) (2)函数y ＝2|x |的图象是( )【当堂检测】一．选择题（共6小题）1．若函数(21)(x y a x =-是自变量）是指数函数，则a 的取值范围是( )A ．0a >且1a ≠B ．0a 且1a ≠C ．12a >且1a ≠ D ．12a2．函数()2x f x =和函数1()()2x g x =的图象关于( )对称．A ．原点B ．y x =C ．y 轴D ．x 轴3．若函数1(0x m y a a +=+>且1)a ≠的图象恒过定点(1,2)P -，则m 的值是( ) A ．1-B ．0C ．1D ．24．已知0.60.3a =，0.50.3b =，0.50.4c =，则( ) A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c b a >>5．下列函数不是指数函数的是( ) A ．12x y +=B ．3x y -=C ．4x y =D ．32x y =6．函数x y a =在[0，1]上最大值与最小值的和为3，则(a = )A ．2B ．12C ．4D ．14二．填空题（共2小题）7．已知函数1()32x f x a -=+的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是 ．8．已知函数23(0,1)x y a a a -=+>≠的图象恒过定点A ，且点A 在幂函数()y f x =的图象上，则()f x = ．当堂检测答案一．选择题（共6小题）1．若函数(21)(x y a x =-是自变量）是指数函数，则a 的取值范围是( )A ．0a >且1a ≠B ．0a 且1a ≠C ．12a >且1a ≠ D ．12a【分析】根据指数函数的定义，列出不等式组求出a 的取值范围． 【解答】解：函数(21)(x y a x =-是自变量）是指数函数，则210211a a ->⎧⎨-≠⎩，解得12a >且1a ≠；所以a 的取值范围是1{|2a a >且1}a ≠． 故选：C ．【点评】本题考查了指数函数的定义与应用问题，是基础题． 2．函数()2x f x =和函数1()()2x g x =的图象关于( )对称．A ．原点B ．y x =C ．y 轴D ．x 轴【分析】根据1()2()()2x x f x g x --===，即可得到结论．【解答】解：1()2()()2x x f x g x --===，∴函数()2x f x =和函数1()()2x g x =的图象关于y 轴对称，故选：C ．【点评】本题考查了指数函数的图象和性质，属于基础题．3．若函数1(0x m y a a +=+>且1)a ≠的图象恒过定点(1,2)P -，则m 的值是( ) A ．1-B ．0C ．1D ．2【分析】令0x m +=求出x 的值和此时y 的值，从而求出函数的图象恒过定点坐标，即可求出m 的值．【解答】解：令0x m +=得：x m =-，此时012y a =+=， 所以函数的图象恒过定点(,2)m -， 即点(,2)P m -，所以1m -=-，即1m =， 故选：C ．【点评】本题主要考查了指数型函数过定点问题，令指数整体为0是本题的解题关键，是基础题．4．已知0.60.3a =，0.50.3b =，0.50.4c =，则( ) A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c b a >>【分析】由题意利用指数函数、幂函数的单调性和特殊点，判断a 、b 、c 的大小关系． 【解答】解：函数0.3x y =在R 上是减函数，0.60.5>， 0.50.60.30.3∴>，即b a >．又函数0.5y x ==(0,)+∞上是增函数，0.40.3>，0.50.50.40.3∴>，即c b >．综上，可得c b a >>， 故选：D ．【点评】本题主要考查指数函数、幂函数的单调性和特殊点，属于基础题． 5．下列函数不是指数函数的是( ) A ．12x y +=B ．3x y -=C ．4x y =D ．32x y =【分析】由指数函数的定义即可判断出选项A 不是指数函数． 【解答】解：指数函数是形如(0x y a a =>且1)a ≠的函数，对于1:222x x A y +==⨯，系数不是1，所以不是指数函数； 对于1:3()3x x B y -==，符合指数函数的定义，所以是指数函数；对于:4x C y =，符合指数函数的定义，所以是指数函数；对于3:28x x D y ==，符合指数函数的定义，所以是指数函数； 故选：A ．【点评】本题主要考查了指数函数的定义，是基础题．6．函数x y a =在[0，1]上最大值与最小值的和为3，则(a = )A ．2B ．12C ．4D ．14【分析】由x y a =的单调性，可得其在0x =和1时，取得最值，列出方程求出a 的值．【解答】解：根据题意，由x y a =的单调性，可知其在[0，1]上是单调函数，即当0x =和1时，取得最值， 即013a a +=，可得01a =， 则12a =， 即2a =， 故选：A ．【点评】本题考查了指数函数的单调性以及其图象的特殊点问题，是基础题目． 二．填空题（共2小题）7．已知函数1()32x f x a -=+的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是 (1,5) ． 【分析】令10x -=求出x 的值和此时y 的值，从而求出点P 的坐标． 【解答】解：令10x -=得：1x =，此时032325y a =+=+=，∴函数()f x 的图象恒过定点(1,5)，即点(1,5)P ， 故答案为：(1,5)．【点评】本题主要考查了指数型函数过定点问题，令a 的指数整体等于0是本题的解题关键，是基础题．8．已知函数23(0,1)x y a a a -=+>≠的图象恒过定点A ，且点A 在幂函数()y f x =的图象上，则()f x = 2x ．【分析】令幂指数等于0，求得x 、y 的值，可得点A 的坐标，再利用待定系数法求幂函数的解析式．【解答】解：对于函数23(0,1)x y a a a -=+>≠，令20x -=，求得2x =，4y =，可得它的的图象恒过定点(2,4)A ，点A 在幂函数()y f x =的图象上，∴设()f x x α=，则有42α=，2α∴=，则2()f x x =， 故答案为：2x ．【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，用待定系数法求幂函数的解析式，属于基础题．。
高一数学指数函数ppt课件
图像法
运算性质法
利用指数函数的运算性质，如乘法公 式和指数法则，推导出奇偶性的判断 方法。例如，若f(x)和g(x)都是奇函数， 则f(x)*g(x)也是奇函数。
通过观察指数函数的图像，判断其是 否关于原点对称或关于y轴对称，从而 确定函数的奇偶性。
06 典型例题解析与 课堂互动环节
典型例题选讲及思路点拨
指数函数的图像关于y轴对称。
当a>1时，函数在定义域内单调递增，图 像上升；当0<a<1时，函数在定义域内单 调递减，图像下降。
指数函数图像特点 函数图像过定点（0,1）。
指数函数性质探讨
指数函数的单调性
01
当a>1时，函数在R上单调递增；当0<a<1时，函数在R上单调
递减。
指数函数的周期性
02
指数函数不是周期函数。
应用举例
$3^4 = (frac{3}{2})^4 times 2^4$
对数转换
当底数不同且难以直接 计算时，可通过对数转 换为相同底数进行计算。
应用举例
比较 $7^{10}$ 和 $10^7$ 的大小，可转 换为比较 $10 times
log7$ 和 $7 times log10$。
复杂表达式化简技巧
利用指数函数构建可持续增长模型，可以预测未来经济发展的趋势和可能遇到的问 题，帮助学生了解经济增长的复杂性和不确定性。
05 指数函数图像变 换与性质变化规 律
平移、伸缩变换对图像影响
平移变换
指数函数图像沿x轴或y轴平移，不改 变函数的形状和周期性，只改变函数 的位置。
伸缩变换
通过改变函数的参数，实现对指数函 数图像的横向或纵向伸缩，从而改变 函数的周期和振幅。
《指数函数》课件
应用广泛
指数函数是数学、物理、金融、 生物、化学等领域中的重要概 念，可应用于许多实际问题。
引领未来
了解和熟练掌握指数函数是探 索自然、认识世界和关注未来 的重要个人能力。
指数函数的导数可以通过 导数公式进行易解，使得 它在实际应用中更加方便。
指数函数和常见函数的比较
对数函数
指数函数和对数函数是一对互 为反函数的函数，它们在实际 应用中经常一同出现。
幂函数
幂函数是与指数函数类似的一 般形式函数，但其中自变量与 常数的次数可以不相等。
三角函数
三角函数是解析几何和物理学 中不可缺少的一部分，它们与 指数函数密切相关的。
指数增长可以应用于股票、金融市场的分析，为财 务规划和决策提供参考。
人口增长中的指数增长
应用于人口、社会发展的研究，探索城市规划、资 源分配等关键问题。
指数函数的特性
1 指数增长特性
指数函数的特殊增长和减 小特性使得它在许多现象 中都有着广泛的应用。
2 图像特性
3 求导特性
指数函数的图像特性是理 解和应用指数函数的关键， 因此必须加以理解。
指数函数PPT课件
欢迎来到《指数函数》PPT课件，我们将探讨指数函数的定义、性质和应用。 让我们开始吧！
指数函数是什么？
定义
指数函数的数学表达式是 $f(x)=a^x$，其中$a$是常数， $x$是自变量，$a>0$且 $a≠1$。
图像
当$a>1$时，函数增长迅速， 当$0<a<1$时，函数递减， 特殊情况：$a=1$时，函数 值恒为1。
基于指数函数的优化算法可以在数学和计算机应用领域中得到广泛应用。
梯度下降算法
梯度下降算法是使用最广泛的优化算法之一，它可以运用于指数函数的数据建模。
高一数学指数函数00ppt课件
在化学中，某些化学反应的速率与反应物的浓度成正比。当反应物浓度较高时，反应速率也较快；反之则较慢。 这种关系可以用指数函数来描述，其中反应速率常数与反应温度、压力等因素有关。
05
指数函数与对数函数关系 探讨
对数函数定义及图像特征回顾
对数函数定义
对于任意正实数a（a≠1），函数y=logax（x>0）叫做对数 函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）。
利用对数运算性质化 简得 $x = 3$。
两边取对数得 $x = log_2 8$。
一元二次指数方程求解
• 定义与性质：一元二次指数方程是指形如 $a^x + b^x = c$ 的方程，其中 $a > 0$，$b > 0$，$c > 0$。
一元二次指数方程求解
求解步骤 观察方程形式，尝试通过换元法将其转化为一元一次或一元二次方程。
高一数学指数函数00ppt课件
contents
目录
• 指数函数基本概念与性质 • 指数运算规则与技巧 • 指数方程求解方法 • 指数函数在生活中的应用举例 • 指数函数与对数函数关系探讨 • 课堂小结与拓展延伸
01
指数函数基本概念与性质
指数函数定义及图像特征
指数函数定义
形如 y = a^x (a > 0, a ≠ 1) 的函 数称为指数函数。
深入探讨了指数函数的四则运算，包 括加法、减法、乘法和除法。
学生自我评价报告分享
01
知识掌握情况
大部分学生表示能够理解和掌握指数函数的基本概念和性质，以及相关
的运算方法。
02
学习困难与挑战
部分学生反映在解决复杂问题和应用指数函数时仍存在一定困难，需要
第1课时指数函数(第一课)
想一想：函数 、 与上一节课所学的幂函数在形式上有何区别？（抽象出函数模型）
3、引入：今天，我们来学习指数函数的有关知识。
引导学生回顾已学函数。（为导入新课、学习新知作铺垫。）
从学生感兴趣的问题中导入新课，使学生对指数函数产生兴趣
教师展示
在老师的提问下，回顾已学知识。（为学习新知做好思想和知识准备。）
【小结】有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如y＝ax+k(a＞0且a≠1，k∈Z)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y=a-x(a＞0，且a≠1)，因为它可以化为y＝(a-1)x，其中a-1＞0，且a-1≠1.
判断是不是指数函数的关键是化简后的形式必须满足形如y＝ (a＞0，且a≠1)。
教学目标
知识目标：①理解指数函数的概念和意义，掌握指数函数的解析式；
②掌握由指数函数的图象找出函数的定义域、值域等。
③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想；
能力目标：①培养学生观察、联想、类比、猜测、归纳等思维能力；
②体会数形结合思想、分类讨论思想，增强学生识图用图的能力；
情感目标：①让学生自主探究，体验从特殊→一般→特殊的认知过程，了解指数函数的实际背景；
教学内容
及其分析
本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数，以及指数函数的图像与性质，它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用。在指数函数的研究的过程中蕴含了数形结合、分类讨论、归纳推理等数学思想方法，通过学习可以帮助学生进一步理解函数，培养学生的函数应用意识，提升学生分析解决问题的能力，增强学生对数学的兴趣。
高中数学《指数函数》ppt课件
课件•指数函数基本概念与性质•指数函数运算规则与技巧•指数函数在生活中的应用举例•指数函数与对数函数关系探讨目录•指数方程和不等式求解技巧•总结回顾与拓展延伸01指数函数基本概念与性质指数函数定义及图像特点指数函数定义形如y=a^x（a>0且a≠1）的函数称为指数函数。
指数函数图像特点当a>1时，图像上升；当0<a<1时，图像下降。
图像均经过点(0,1)，且y轴为渐近线。
指数函数性质分析指数函数的值域为(0,+∞)。
当a>1时，指数函数在R上单调递增；当0<a<1时，指数函数在R上单调递减。
指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
指数函数没有周期性。
值域单调性奇偶性周期性常见指数函数类型及其特点自然指数函数底数为e（约等于2.71828）的指数函数，记为y=e^x。
其图像上升速度最快，常用于描述自然增长或衰减现象。
幂指数函数形如y=x^n（n为实数）的函数，当n>0时图像上升，当n<0时图像下降。
特别地，当n=1时，幂指数函数退化为线性函数y=x。
对数指数函数底数为a（a>0且a≠1）的对数函数和指数函数的复合函数，记为y=log_a(a^x)=x。
其图像为一条直线，斜率为1，表示输入与输出之间呈线性关系。
复合指数函数由多个基本指数函数通过四则运算组合而成的复杂函数。
其性质取决于各基本函数的性质及组合方式。
02指数函数运算规则与技巧$a^m times a^n =a^{m+n}$，同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
乘法法则除法法则幂的乘方法则$a^m div a^n =a^{m-n}$，同底数幂相除，底数不变，指数相减。
$(a^m)^n =a^{m times n}$，幂的乘方，底数不变，指数相乘。
030201同底数指数运算法则$a^m times b^m =(a times b)^m$，不同底数幂相乘，指数不变，底数相乘。
乘法法则$a^m div b^m =(a div b)^m$，不同底数幂相除，指数不变，底数相除。
高一数学课件指数函数第一课
考虑到资源有限，人口增长率会随着人口数量的增加而逐渐降低。在这种情况下，人口数量与时间的关系可以 用Logistic函数来描述，该函数是指数函数的一种变形。
其他生活实例中的指数函数应用
放射性衰变
放射性元素的衰变速度与剩余质量之间的关系可以用指数 函数来描述。随着时间的推移，放射性元素的剩余质量呈 指数减少。
傅里叶变换简介
介绍傅里叶变换的基本思想和应用领域，阐述其在信号处理和图 像处理中的重要地位。
指数函数的频域表示
利用傅里叶变换，将指数函数表示为频域上的形式，从而分析其在 不同频率下的特性。
与其他函数的比较
通过比较指数函数与其他函数在傅里叶变换中的表现，揭示指数函 数在信号处理中的独特优势。
感谢您的观看
03
指数函数在生活中的应用
复利计算与指数函数关系
复利公式
A = P(1 + r/n)^(nt)，其中A表 示未来值，P表示本金，r表示年 利率，n表示每年计息次数，t表 示时间（年）。该公式是指数函
数在复利计算中的应用。
指数增长
在复利计算中，本金和利息不断 累积，形成指数增长。随着时间
的推移，增长速度逐渐加快。
不同底数指数运算法则
乘法法则
幂的乘方法则
$a^m times b^m = (a times b)^m$，不同底数的指数相乘，底数 相乘后指数不变。
$(a times b)^n = a^n times b^n$ ，不同底数的幂的乘方时，底数分别 乘方后相乘。
除法法则
$frac{a^m}{b^m} = left(frac{a}{b}right)^m$，不同底数 的指数相除，底数相除后指数不变。
05
指数函数的概念第一课时课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
五.指数型函数的定义域和值域
例5 函数 f(x)＝12x 在区间[－2,2]上的最小值是
A.－14
√B.14
C.－4
D.4
五.利用指数型函数的定义域和值域
练习：若函数 f x ax （ a 0 且 a 1）在区间2,2 上的最大值和
最小值的和为 10 ，则 a 的值为（ 3
A． 1 3
B． 3
3
C． 3
）
D． 3 或
3
3
五.利用指数型函数的定义域和值域 (1)求下列函数的定义域和值域.
①y＝ 1－12x；
②y＝ 2x－1.
五.利用指数型函数的定义域和值域
【例
6】求函数
y
(1) 2
x2
2x
的定义域和值域.
【练习】已知函数 y (1)x2 2x5 ，求其值域．
3
值域为 (0 ， 1 ] 81
五.利用指数型函数的定义域和值域
【例 7】求函数 y 4x 2x1 1 的定义域与值域．
【答案】解： y 4x 2x1 1 (2x )2 2 2x 1 ， 设 t 2x ，则 t 0 ， 则函数等价为 y t2 2t 1 (t 1)2 ， 则函数的定义域为 (,) ，
t 0， y t2 2t 1 (t 1)2 1 ， 即函数的值域为 (1, ) ．
-1
0.5
-0.5 0.71
0
1
0.5 1.41
1
2
1.5 2.83
2
4
函数y 2x图象上
任意一点P（x, y)
关于y轴的对称点
P（1 x, y)都在函数
y
1
x
的图象上
2
因为y ( 1 )x ax ,所以底数互为倒数的两 个指数函数 y a x与y ( 1 )x的图象
指数函数(第一课)
8 7
X Y=2x x. Y=2
x
y
… … 0.5 1.4
－３ 0.13 1 2
－２ 0.25 1.5 2.8
－1． ５ 0.35 2 4
－１ 0.5 3 8
－０.5 0.71 … …
0 1
6 5 4
3
2 1
-4 -3
-2
-1 ０
1
2
3
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x
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X Y=2x x. Y=2
x
y
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－３ 0.13 1 2
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－1． ５ 0.35 2 4
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x
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解得
a＞0 a≠1
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指数函数y=ax (a>0,a≠1) 的图象和性质 当a>1时 例如，我们来画y=2x的图象。 列表
0.13
0.25
0.35
0.5
0.71
1
1.4
2
2.8
4
8
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高中数学必修1 “指数函数”(第一课时)教案
“指数函数”（第一课时）教案教材分析(一)本课时在教材中的地位及作用：“指数函数”的教学共分三个课时完成。
第一课时为指数函数的定义，图像及性质；第二课时和第三课时为指数函数的应用。
“指数函数”第一课时是在学习指数概念的基础上学习指数函数的概念和性质，通过学习指数函数的定义，图像及性质，可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，并且为学习对数函数作好准备。
（二）教学目标：1．知识目标：掌握指数函数的概念，图像和性质2．能力目标：通过数形结合，利用图像来认识，掌握函数的性质，增强学生分析问题，解决问题的能力。
3．德育目标：对学生进行辩证唯物主义思想的教育，使学生学会认识事物的，培养学生善于探索的思维品质。
(三) 教学重点，难点：1、重点：指数函数的定义、性质和图象2、难点：底数a对于函数值变化的影响。
设计思想：本课时的整体设计是按照一般研究函数的规律设计的，由实例引入定义，然后根据定义画出函数的图像，再根据图像得到函数的性质。
由于本课时的容量比较大，为了提高效率，我采用多媒体教学手段，借助信息技术强大的作图和分析功能，让学生观察函数图像变化的动态演示，使学生方便的观察函数的整体变化情况。
而且本课时基本上都是由学生观察，分析特点，然后自己归纳规律，最后由老师进行总结，贯彻了新课标的现代教学理念，培养了学生自主探究，合作交流的精神。
学生分析：指数函数虽是在学生系统的学习了函数概念、基本掌握了函数的性质的基础上进行学习的，但是指数函数对学生来说还是完全陌生的一类函数，对于这样的一类函数，要怎么样进行较为系统的研究是学生要面临的重要问题。
学生在学习函数的时候，往往会感到比较困难和抽象，不易理解和掌握，在学习指数函数的时候，还是会出现这样的问题，但是由于学生在前面的课时里面已经掌握了学习函数的一般规律，因而学习指数函数，不会产生无所适从的感觉。
教学过程：。
2024版高一数学指数函数及其性质PPT课件图文
学习方法建议
深入理解指数函数的概念
掌握指数函数的定义、图像和性质， 理解底数、指数和幂的含义。
多做练习题
通过大量的练习题，加深对指数函数 的理解和掌握，提高解题能力。
系统学习指数函数的运算
学习指数函数的四则运算，掌握运算 规则和技巧。
解题技巧分享
换元法
通过将指数函数中的变量 进行换元，简化问题，使 问题更容易解决。
指数函数在数学模 型中的应用举例
在经济学中，指数函数被用来描 述复利、折旧等问题；在物理学 中，指数函数被用来描述放射性 元素的衰变等问题；在工程学中， 指数函数被用来描述材料的疲劳 寿命等问题。
数学模型在解决实际问题中的价值
提高解决问题的效率
揭示问题的本质和规律
通过建立数学模型，可以将实际问题转化为 数学问题，利用数学方法和技术进行求解， 从而提高解决问题的效率。
05
指数函数与数学模型
数学模型简介
01
数学模型的定义
数学模型是描述客观事物或它的本质和本质的一系列数学形 式。它或能利用现有的数学形式如数学公式、数学方程、数 学图形等加以表述，或能抽象出数学的基本概念和基本结构。
02
数学模型的分类
根据研究目的，可以将数学模型分为描述性模型和预测性模 型。
03
数学模型的作用
指数方程求解
通过对方程两边取相同的底数的对数或者 利用换元法等方法求解指数方程。
指数函数性质应用
利用指数函数的单调性、奇偶性、周期性 等性质解决相关问题。
03
指数函数性质探究
单调性
01
指数函数的单调性取决于底数a的 大小
02
当a>1时，指数函数在整个定义 域上是增函数；
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y
所以，
0.80.1 0.80.2
1
x 0
指数函数图象与性质的应用：
③ 30.9 . 0.80.9
④
(
1 6
)0.5
.
(
1 2
)0.5
y 0.8x
y
y 3x
1
x 0.9 0
x
指数函数图象与性质的应用：
⑤ 1.70.3
. 0.93.1
根据指数函数的性质知
1.70.3 1.70 1
0.93.1 0.90 1 即 1.70.3 1, 0.93.1 1
)x2
0.3 ② (3x1)(2x1) 1
练习：
①
2x2 x
(
1 4
)
x2
解：原不等式等价于：
2x2 x 22x4
由指数函数的单调性可得：
x2 x 2x 4 整理得： x2 3x 4 0 解之得： 4 x 1
原不等式的解集为：{x | 4 x 1}
练习：
0.3 ② (3x1)(2x1) 1
2
6
a a 3
5 正数 a 的范围 (1, ) .
a a 5
6
5 正数 a 的范围
(0,1)
.
分析:应用指数函数的单调性
练习：
一、判断大小
40.3
0.10.3
(
4 3
)0.3
40.3
40.3
40.4 0.10.4 30.3 30.3 0.30.4
练习：
二、解下列不等式
①
2x2 x
(
1 4
1.70.3 0.93.1
指数函数图象与性质的应用：
例3、解不等式
2x2 x 2x3
解：由指数函数的单调性可得：
x2 x x 3 整理得：x2 2x 3 0 解得： 3 x 1 原不等式的解集为：{x | 3 x 1}
指数函数图象与性质的应用：
例4、求满足下列不等式的正数 a 的范围
y 3x 与
y
(
1 3
)
x
y 3x
x…
3x … 3x …
-2.5 -2 -1 -0.5 0 0.06 0.1 0.3 0.6 1 15.6 9 3 1.7 1
0.5 1 2 2.5 … 1.7 3 9 15.6 … 0.6 0.3 0.1 0.06 …
y
y
(
1 10
)
x
8
y
(
1 3
)
x
7 6
y
4.在 R上是 增 函数 在R上是 减 函数
指数函数图象与性质的应用：
例1、指数函数 y ax , y bx , y cx , y d x 的图象如下图所示，则底数 a, b, c, d 与正整数 1
共五个数，从大到小的顺序是 ： 0 b a 1 d c.
y bx y ax
y 1
所以，
1
1.72.5 1.73
x 0
指数函数图象与性质的应用：
② 0.80.1 ，0.80.2
解① ：利用指数函数单调性0.80.1，0.80.2
的底数是0.8，它们可以看成函数 y 0.8x
当x=-0.1和-0.2时的函数值；
因为0<0.8<1，所以函数 y 1.7x
在R上是增函数，而-0.2<-0.1，
(
1 2
)
x
5
4
3
2 1
-4 -3 -2 -1 0 1
y 10x y 3x y 2x
y 10x
x 234
y ax (a 0且a 1) 的图象和性质：
a 1
0 a 1
y
y
图
象
1
1
0
x
1.定义域： R
x 0
性 2.值域： (0, ) 质 3.恒过点 (0,1) ，即x= 0 时，y= 1
叫做指数函数，其中x是自变量， 定义域是R。
探究：为什么要规定 a 0且a 1
探讨:若不满足上述条件 y a x 会怎么样?
（1）若 a 0 则当x > 0时，ax 0 当x≤0时,a x 无意义.
（2）若 a 0 则对于x的某些数值，可使
a x 无意义. 如 (2)x ，这时对于
x
1 2
y cx y dx
x 0
指数函数图象与性质的应用：
例2 、比较下列各题中两个值的大小：
① 1.72.5 ， 1.73
解① ：利用指数函数单调性1.72.5 ，1.73
的底数是1.7，它们可以看成函数 y 1.7x
当x=2.5和3时的函数值； y
因为1.7>1，所以函数 y 1.7x
在R上是增函数，而2.5<3，
引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个， 2个分裂成4个，……. 一个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是 什么？
分裂次数：1，2，3， 4，… ，x
细胞个数：2，4，8，16，… ，y
由上面的对应关系可知，函数关系是 y 2x
引例2：某种商品的价格从今年起每年降低15%，
解：原不等式等价于：
0.3(3x1)(2x1) 0.30
由指数函数的单调性可得：
(3x 1)(2 x 1) 0
解之得：
1 2
x
1 3
原不等式的解集为：{x
|
1 2
x
13}
y
8 7 6
5 4 3 2 1
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y bx y ax
y 1
y cx y dx
设原来的价格为1，x年后的价格为y，则y与x的
函数关系式为 y 0.85x
在 y 2x ，y 0.85x 中指数x是自变量，
底数是一个大于0且不等于1的常量. 我们把这种自变量在指数位置上而底数是一
个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.
指数函数的定义：
函数 y ax (a 0且a 1)
,数值不存在.
（3）若 a 1 则对于任何 x R
ax 1 是一个常量，没有研究的必要性
在同一坐标系中分别作出如下函数的图像：
y 2x
与
y
(
1 2
)
x
y 2x
x … -3 -2 -1 -0.5 0 0.5 1 2 3 …
2x … 0.13 0.25 0.5 0.71 1 1.4 2 4 8 … 2x … 8 4 2 1.4 1 0.71 0.5 0.25 0.13 …
x 0
x … -3 -2 -1 -0.5 0 0.5 1 2 3 … … 0.13 0.25 0.5 0.71 1 1.4 2 4 8 … … 8 4 2 1.4 1 0.71 0.5 0.25 0.13 …
x … -3 -2 -1 -0.5 0 0.5 1 2 3 … … 0.13 0.25 0.5 0.71 1 1.4 2 4 8 … … 8 4 2 1.4 1 0.71 0.5 0.25 0.13 …