线性定常连续系统状态方程的解
Matlab程序解现代控制理论与工程中的状态方程
Matlab程序解现代控制理论与工程中的状态方程用矩阵指数法解状态方程的matlab函数vslove1：函数vslove1:求解线性定常连续系统状态方程的解function[phit,phitbu]=vsolves1(a,b,ut)%vsolves1谋线性已连续系统状态方程x’=ax+bu的求解%[phit,phitbu]=vsolves1(a,b,ut)%a,b系数矩阵%ut控制输入，必须为时域信号的符号表达式，符号变量为t%phit――输出phi(t)%phitbu――输入phi(t-tao)*b*u(tao)在区间（0，t）的分数symsttao%定义符号变量t,taophit=expm(a*t);%求矩阵指数exp(at)if(b==0)b=zeros(size(a,l),l);%重构系数矩阵bendphi=sub(phit,’t’,’t-tao’);%求exp[a(t-tao)]phitbu=int(phi*b*ut,’tao’,’0’,’t’);%谋exp[a(t-tao)]*b*u(tao)在0~t区间的分数用拉氏变换法解状态方程的matlab函数vslove2：函数vslove2:解线性定常已连续系统状态方程的求解function[sl_a,sl_abu]=vsolves1(a,b,us)%vsolves2求线性连续系统状态方程x’=ax+bu的解%[sl_a,sl_abu]=vsolves1(a,b,ut)%a,b系数矩阵%us掌控输出，必须为拉氏转换后的符号表达式，符号变量为s%sl_a――输入矩阵(sl-a)^(-1)拉式反华转换的结果%sl_abu――输出(sl-a)^(-1)*b*u(s)拉式反变换后的结果symss%定义符号变量t,taoaa=s*eye(size(a))-a;%谋si-ainvaa=inv(aa);%求（si-a）矩阵的逆intaataa=ilaplace(intaa);%求intaa的拉氏反变换si_a=simplify;%简化拉式反变换的结果if(b==0)b=zeros(size(a,l),l);%重构系数矩阵bendtab=ilaplace(intaa*b*us);%求intaa*b*us的拉氏反变换si_abu=simplify(tab);%化简拉式反变换的结果解时变系统状态方程的matlab函数tslove：函数tslove:求解线性时变连续系统状态方程的解function[phi,phibu]=tsolves(a,b,u,x,a,n)%tsolves求时变系统状态方程%[phi,phibu]=vsolves1(a,b,u,x,a,n)%a,b时变系数矩阵%phi――状态迁移矩阵计算结果%phibu――THF1求解分量%u――控制输入向量，时域形式%x――符号变量，阐明矩阵a中的时变参数，通常为时间t%a――积分下限%n――时变状态转移矩阵中计算重积分的最大项数，n=0时无重积分项%n=1时包含二重积分项，.....phi=transmtx(a,x,a,n);%排序状态迁移矩阵phitao=subs(phi,x,’tao’);%谋phi(tao)if(b==0)btao=zeros(size(a,l),l);%谋b(tao)endutao=subs(u,x,’tao’);%求u(tao)phibu=simple(int(phitao*btao*utao,’tao’,a,x));%排序THF1分量求解时变系统转移矩阵的matlab函数transmtx：函数transmtx:解线性时变系统状态迁移矩阵functionphi=transmtx(a,x,a,n)%transmtx计算时变系统状态转移矩阵%phi=transmtx(a,x,a,n)%phi――状态迁移矩阵计算结果%a时变系数矩阵%x――符号变量，指明矩阵a中的时变参数，通常为时间t%a――积分下限%n――时变状态迁移矩阵中排序轻分数的最小项数，n=0时并无轻分数项%n=1时涵盖二重积分项，.....phi=eye(size(a));%初始化phi=iforlop=0:naa=a;fori=1:lopif(aa==0)break;endatemp=subs(aa,x,’taoi’);aa=simplify(a*int(atemp,’tao’,a,x));endif(aa==0)break;endatemp=subs(aa,x,’taoi’);aa=simplify(a*int(atemp,’tao’,a,x));%计算重积分phi=simplify(phi+aa);%修正phiend解线性定常离散系统状态方程的matlab函数disolve：函数disolve:求解线性定常离散系统状态方程的解function[ak,akbu]=disolve(a,b,uz)%disolve谋线性离散系统状态方程x(k+1)=ax(k)+bu(k)的求解%[ak,akbu]=disolve(a,b,uz)%a,b系数矩阵%uz控制输入，必须为z变换后的符号表达式，符号变量为z%ak――输出矩阵[((zi-a)^(-1)z]z反变换后的结果%akbu――输入矩阵[((zi-a)^(-1)*b*u(z)]z反华转换后的结果symsz%定义符号变量zaa=z*eye(size(a))-a;%求zi-ainvaa=inv(aa);%谋（zi-a）矩阵的逆intaataa=iztrans(intaa*z);%谋intaa*z的z 反华转换ak=simple(taa);%精简z反华转换的结果if(b==0)b=zeros(size(a,l),l);%重构系数矩阵bendtab=iztrans(intaa*b*uz);%谋intaa*b*uz的z反华转换akbu=simple(tab);%化简z 反华转换的结果求解线性时变离散系统状态方程的matlab函数tdsolve：函数tdsolve:解线性时变离散系统状态方程的求解functionxk=tsolve(ak,bk,uk,x0,kstart,kend)%tdsolve求线性时变离散系统状态方程x(k+1)=a(k)x(k)+b(k)u(k)的解%xk=tsolve(ak,bk,uk,x0,kstart,kend)%ak,bk系数矩阵%uk掌控输出，必须为时域符号表达式，符号变量为k%x0初始状态%kstart――起始时刻%kend――中止时刻%xk――输出结果，矩阵每一列分别对应x(k0+1),x(k0+2)....symsk%定义符号变量kif(bk==0)bk=zeros(size(a,l),l);%重构系数矩阵bendxk=[];forkk=kstart+1:kendaa=eye(size(k));fori=kstart:kk-1%排序a(k-1)a(k-2)....a(k0+1)a(k0)a=subs(ak,’k’,i);aa=a*aa;endaab=eye(size(ak));bb=zeros(size(bk));fori=kk-1:-1:kk+1%排序a(k-1)a(k-2)....a(j+1)b(j)u(j)的递增和a=subs(ak,’k’,i);aab=aab*a;b=subs(bk,’k’,kk-1+i+kstart);u=subs(uk,’k’,kk-1+i+kstart);bb=bb+aab*b*u;endb=subs(bk,’k’,kk-1);u=subs(uk,’k’,kk-1);bb=bb+b*u;xk=[xkaa*x0+bb];%计算x(k)end已连续系统状态方程线性化后的matlab符号函数sc2d：函数sc2d:线性连续系统状态方程的离散化function[ak,bk]=sc2d(a,b)%sc2d线性化线性已连续系统状态方程x’=ax+bu%sysd=sc2d(a,b)%a,b――连续系统的系数矩阵%ak,bk――离散系统系数符号矩阵%线性状态方程为：x(k+1)=ak*x(k)+bk*u(k)%ak,bk中变量t为取样周期symstt%定义符号变量ttphit=expm(a*t);%求矩阵指数exp(at)if(b==0)b=zeros(size(a,l),l);%重构系数矩阵bendphitb=int(phit*b,’t’,0,’t’);%求exp(at)*b在0~t区间的积分ak=simple(subs(phit,’t’,’t’));bk=simple(phitb);线性时变系统线性化后的matlab函数tc2d：函数tc2d:线性时变系统的离散化function[ak,bk]=tc2d(a,b,x,n)%tc2d线性时变系统的离散化%[ak,bk]=tc2d(a,b,x,n)%a,b――已连续系统的系数矩阵%ak――离散化后的系数矩阵a(kt)%bk――离散化后的系数矩阵b(kt)%x――符号变量，阐明矩阵a\\b中的时变参数，通常为时间t%n――时变状态转移矩阵中计算重积分的最大项数，n=0时无重积分项，%n=1时包含二重积分项，.....symsttphit=transmtx(a,x,k*t,n);%计算时变系统的状态转移矩阵ak=simplify(subs(phi,x,(k+1)*t));%计算离散化后的系数矩阵a(kt)phitao=subs(phi,x,’tao’);%谋phi(tao)if(b==0)btao=zeros(size(a,l),l);elsebtao=subs(b,x,’tao’);%谋b(tao)endphitb=simple(int(phitao*btao,’tao,k*t,x’));%计算受控分量bk=simplify(subs(phib,x,(k+1)*t));%排序线性化后的系数矩阵b(kt)定常系统可控规范i型变换函数ccanonl：函数ccanonl:谋线性定常系统的受控规范i型形式function[abar,bbar,cbar,t]=ccanonl(a,b,c)ìanonl求系统x’=ax+bu，y=cx的可控规范i型系数矩阵?ar,bbar,cbar,――变换后的可控规范i型系数矩阵%t――相似变换矩阵n=length(a);co=ctrb(a,b);if(rank(co)~=n),%判断系统可控性error(‘系统不可控！’);。
第三章线性系统状态方程的解
第三章 系统的分析——状态方程的解§3-1线性连续定常齐次方程求解一、齐次方程和状态转移矩阵的定义１、齐次方程状态方程的齐次方程部分反映系统自由运动的状况（即没有输入作用的状况），设系统的状态方程的齐次部分为：)()(t Ax t x= 线性定常连续系统：Ax x= 初始条件：00x x t ==２、状态转移矩阵的定义齐次状态方程Ax x = 有两种常见解法：（1）幂级数法；（2）拉氏变换法。
其解为)0()(x e t x At ⋅=。
其中At e 称为状态转移矩阵（或矩阵指数函数、矩阵指数），记为：At e t =)(φ。
若初始条件为)(0t x ，则状态转移矩阵记为：)(00)(t t A e t t -=-Φ 对于线性时变系统，状态转移矩阵写为),(0t t φ，它是时刻t ，t 0的函数。
但它一般不能写成指数形式。
（１）幂级数法——直接求解设Ax x= 的解是t 的向量幂级数 +++++=k k t b t b t b b t x 2210)(式中 ，，，，，k b b b b 210都是n 维向量，是待定系数。
则当0=t 时， 000b x x t ===为了求其余各系数，将)(t x 求导，并代入)()(t Ax t x = ，得：+++++=-1232132)(k k t kb t b t b b t x)(2210 +++++=k k t b t b t b b A上式对于所有的t 都成立，故而有：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧======00323021201!1!31312121b A k b b A Ab b b A Ab b Ab b K K且有：00x b =故以上系数完全确定，所以有：+++++=k k t b t b t b b t x 2210)(+++++=k k t b A k t b A t Ab b 020200!1!21)0()!1!21(22x t A k t A At I kk +++++=定义（矩阵指数或矩阵函数）：∑∞==+++++=022!1!1!21K kk k k AttA k t A k t A At I e则)0()(x e t x At⋅=。
(完整word版)实验二-线性连续定常系统的运动分析
实验二 线性连续定常系统的运动分析一、实验目的1．掌握线性连续定常系统的状态转移矩阵的求法，学会用MATLAB 求解状态转移矩阵。
2．掌握线性连续定常系统的状态方程的求解方法，学会用MATLAB 求解线性连续定常系统的时间响应，并绘制相应的状态响应曲线和输出响应曲线。
二、实验原理1．线性连续定常系统状态转移矩阵的计算设线性连续定常系统的状态空间表达式为'=+⎧⎨=+⎩x Ax Buy Cx Du ，则其状态转移矩阵为()t t e =A Φ从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断地作坐标变换，不断地在状态空间中作转移，故称为状态转移矩阵。
对于线性连续定常系统，其状态转移矩阵与其矩阵指数函数相同，可利用直接求解法、拉氏变换法、标准型法和待定系数法等方法对其进行求解。
（1）直接求解法220111()!2!!tk k k kk t e t t t t k k ∞====+++++∑A A I A A A Φ（2）拉氏变换法()11()t t e L s --⎡⎤==-⎣⎦A I A Φ（3）标准型法对系统矩阵A 进行线性非奇异变换，将其变换为对角线矩阵或约旦矩阵1-=A P AP ，其中P 为非奇异变换阵。
状态转移矩阵为1()t t t e e -==A A P P Φ，其中1-=A P AP若A 的特征值12,,,n λλλ两两互异，则A 为对角线矩阵，此时1110()0n t tt t e t e e e λλ--⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦A A P P P P Φ 若A 有n 重特征值i λ，则A 为约旦矩阵，此时1111(1)!()0i i i i i ttt n t t tte te t e n t e e te e λλλλλ---⎡⎤⎢⎥-⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A A Q Q Q Q Φ （4）待定系数法根据凯莱－哈密顿（以下简称C-H ）定理，线性连续定常系统的状态转移矩阵为110110()()()()()n tj n j n j t ea t a t a t a t ---====+++∑A A I A A Φ其中，011(),(),,()n a t a t a t -为t 的标量函数，可按A 的特征值确定。
《自动控制原理》线性定常连续系统状态方程的解
2
k!
= P −1IP + P −1 APt + 1 P −1 A2 Pt 2 + + 1 P −1 Ak Pt k +
2
k!
= P −1 (I + At + 1 A2t 2 + + 1 Ak t k + )P = P −1e At P
2
k!
因而式（9-39）成立。
性质10: 两种常见的状态转移矩阵。设 A = diag[1, 2 ,,n ]，
2. 拉普拉斯变换法。将式（9-22）取拉氏变换有
sX (s) = AX (s) + x(0)
则
(sI − A) X (s) = x(0)
X (s) = (sI − A)−1 x(0)
（9-27）
进行拉氏反变换有
x(t) = −1[(sI − A)−1]x(0)
（9-28）
与（9-25）相比有
e At = −1[(sI − A)−1 ]
进行拉氏反变换有 x(t) = −1(sI − A)−1 x(0) + −1[(sI − A)−1 BU (s)]
由拉氏变换卷积定理
−1[F1(s)F2 (s)] =
t
0 f1 (t − ) f2 ( )d
=
t
0 f1 ( ) f2 (t − )d
在此将(sI − A)−1 视为F1 (s)，将BU (s) 视为 F2 (s) ，则有
x(t) = eA(t) x(0) + t eA(t− )Bu( )d 0 t = (t)x(0) + 0 (t − )Bu( )d
结果与式（9－43）相同。上式又可表示为
线性定常连续系统状态方程的解
...
eAtI
AtA2t2
...Aktk
...
2!
k!
其中eAt称为时间t的矩阵指数函数，并有
L1[(sIA)1]L1Is
A s2
A2 s3
.
..
Ak1 sk
.
..
I AtA2t2 ...Aktk ...
2!
k!
eAt
❖ 因此,基于上述(sI-A)-1的拉氏反变换,该齐次方程的解为
x(t)=L-1[(sI-A)-1]x0 = eAt x0
sI A s2 3s 2 (s 1)(s 2)
(sI
A)1
adj(sI A) sI A
(s
1 1)(s
ห้องสมุดไป่ตู้
2)
s 3
2
1 s
2 s 1
1 s2
s
2
1
s
2
2
1 s 1
1 s2
s
1 1
s
2
2
(2) 计算矩阵指数函数eAt。
e At L1[( sI A)1]
L1
s
证明 由指数矩阵函数的展开式,有
eAetAsIA t A 2!2t2... A k!ktk...IAsA 2!2s2... A k!ksk...
IA(ts)A2(t22tss2)... Ak(ts)k...
2!
k!
eA(ts)
3) [Φ(t2-t1)]-1=Φ(t1-t2)
e A ( t 2 t 1 ) 1 e A ( t 2 t 1 ) e A ( t 1 t 2 )
2. 矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质
❖ 由矩阵指数函数的展开式和状态转移矩阵的定义,可证明矩 阵指数函数和状态转移矩阵具有如下性质(Φ(t)为方阵A的状 态转移矩阵) 1) Φ(0)=eA0=I
现代控制理论--3控制系统的状态方程求解-离散化
0 1 0 x x u 0 2 1
近似离散化方法(4/6)—例3-12
解 由近似离散化法计算公式,对本例有
T 1 G(T ) I AT 0 1 2 T
于是该连续系统的离散化状态方程为
0 H (T ) BT T
x(( k 1)T ) Φ(T )x(kT )
( k 1)T
kT
Φ[( k 1)T τ ]dτ Bu(kT )
对上式作变量代换,令t=(k+1)T-,则上式可记为
x((k 1)T ) Φ(T )x(kT ) Φ(t )dtBu(kT )
0
T
将上式与线性定常离散系统的状态方程 x((k+1)T)=(I+AT)x(kT)+BTu(kT)
线性定常连续系统的离散化(2/3)
线性定常连续系统状态空间模型的离散化,实际上是指在采 样周期T下,将状态空间模型 x Ax Bu y Cx Du 变换成离散系统的如下状态空间模型:
x(( k 1)T ) G (T )x(kT ) H (T )u(kT ) y (kT ) C (T )x(kT ) D(T )u(kT )
近似离散化方法(2/6)
将上式代入连续系统的状态方程,有 [x((k+1)T)-x(kT)]/T=Ax(kT)+Bx(kT) 即 x((k+1)T)=(I+AT)x(kT)+BTu(kT) 将上式与线性定常离散系统状态空间模型的状态方程比 较,则可得如下近似离散化的计算公式: G(T)=I+AT H(T)=BT 将上述近似离散法和精确离散法比较知,
精确法、
现代控制理论第二章
= α n −1 (t ) An −1 + α n − 2 (t ) An − 2 + ⋯ + α1 (t ) A + α 0 (t ) I
【例2-5】见板书
（3）α i (t )的计算公式 A的特征值互异时 α 0 (t ) 1 λ1 α1 (t ) 1 λ2 ⋮ = ⋮ ⋮ α (t ) 1 λ n −1 n
λ λ λ
பைடு நூலகம்
2 1 2 2
⋮
2 n
⋯ λ e λ1t λ2 t ⋯ λ e ⋮ ⋮ λn t n −1 ⋯ λn e
At
2.变换A为约旦标准型 （1）A特征根互异 Λ = T −1 AT 有
例2-2 ，同例2-1
e At = Te ΛtT −1
（2）A特征值有重根
J = T AT e At = Te JtT −1
0 1 0 [例2 - 3]已知A = 0 0 1 , 求e At 2 - 5 4
若
σ ω A= −ω σ
则
cos ωt sin ωt σt e = Φ(t ) = e − sin ωt cos ωt
At
2.2.4 计算
1.根据 e At 或 Φ (t ) 的定义直接计算
1 2 2 1 33 1 n n e = I + At + A t + A t ⋯ A t + ⋯ 2! 3! k! 1 0 [例2 - 1]已知A = , 求e At − 2 − 3
连续系统的状态变量方程求解
连续系统的状态变量方程求解连续系统的状态变量方程求解通常采用数值方法，例如龙格-库塔法（Runge-Kutta）等。
在这个过程中，需要将连续系统的状态方程离散化，即将连续时间步长的微分方程转化为离散时间步长的离散方程。
求解离散方程可采用递推的方式，根据系统的初始条件和上一时刻的状态变量值，计算出当前时刻的状态变量值。
以下是一个求解连续系统状态变量方程的步骤：1. 确定连续系统的状态变量方程。
例如，给定线性定常系统dx/dt = Ax + Bu，其中x为状态变量，A和B为系统矩阵。
2. 离散化。
将状态变量方程转化为离散方程。
常见的离散化方法有前项差分变换、后项差分变换和Tustin变换。
具体变换方法取决于系统的特性以及所需的数值稳定性和精度。
例如，使用Tustin变换将连续系统离散化，得到离散状态方程x[k+1] = A*x[k] + B*u[k]。
3. 初始化。
给定初始条件，如x[0] 和u[0]，初始化状态变量值。
4. 数值求解。
使用数值方法（如龙格-库塔法）递推计算离散方程，得到一系列状态变量值x[1], x[2], ...，以及对应的输出值y[1], y[2], ...。
5. 分析结果。
根据求解得到的状态变量值和输出值，分析系统的性能，如稳定性、收敛速度等。
在MATLAB中，可以使用ode45等函数求解连续系统的状态变量方程。
以下是一个简单的示例：```MATLAB定义系统矩阵A、B和输入信号uA = [1 0; -1 1];B = [0 1];u = [1; 0.5];定义初始条件x0 = [1; 2];设置求解参数tspan = [0, 10];options = odeset('RelTol', 1e-6, 'AbsTol', 1e-6);求解状态变量方程[x, u] = ode45(@(t, x) A*x + B*u, tspan, x0, options);绘制状态变量曲线figure;plot(t, x(:, 1), 'b', 'LineWidth', 2);hold on;plot(t, x(:, 2), 'r', 'LineWidth', 2);xlabel('Time');ylabel('State Variables');legend('x1', 'x2');```这个示例中，我们使用ode45函数求解了一个线性定常系统在给定输入信号下的状态变量演化。
现代控制理论知识点汇总
１．状态空间表达式n 阶DuCx y Bu Ax x+=+= 1:⨯r u 1:⨯m y n n A ⨯:r n B ⨯:n m C ⨯:rm D ⨯:A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，Ｄ直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。
２．状态空间描述的特点①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。
②状态方程和输出方程都是运动方程。
③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。
④状态变量的选择不唯一。
⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。
⑥建立状态空间描述的步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。
⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。
３．模拟结构图（积分器加法器比例器）已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。
４．状态空间表达式的建立1由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b 每个积分器的输出选作i x ，输入则为i x；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。
2由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。
通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。
利用KVL 和KCL 列微分方程，整理。
③由描述系统的输入输出动态方程式（微分方程）或传递函数，建立系统的状态空间表达式，即实现问题。
实现是非唯一的。
方法：微分方程→系统函数→模拟结构图→状态空间表达式。
胡寿松《自动控制原理》笔记和课后习题(含考研真题)详解(线性系统的状态空间分析与综合)【圣才】
具有非正（负或零）实部，且具有零实部的特征值为 A 的最小多项式单根。
（2）系统的唯一平衡状态 xe＝0 是渐近稳定的充分必要条件：A 的所有特征根均具有
3．线性定常连续系统状态方程的解 （1）齐次方程求解方法：幂级数法；拉普拉斯变换法。 （2）非齐次方程求解方法：积分法；拉普拉斯变换法。
4．传递函数矩阵 表达式：G（s）＝C（sI－A）－1B＋D
二、线性系统的可控性与可观测性 1．可控性 如果系统的每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制，而由任意的始点达到原点， 则该系统是完全可控系统，简称为系统可控。 （1）可控标准形
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的任意初始态 x0 出发的运动轨迹 x（t；x0，t0），在 t→∞都满足：||x（t；x0，t0）－xe||≤ε，
t≥t0，则称 xe 是李雅普诺夫意义下稳定的。
（3）渐近稳定
系统不仅满足李氏意义下的稳定，且
（2）可观测性判据
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现代控制理论--3控制系统的状态方程求解
7
小结：
1.齐次状态方程的解表示了系统在初始条件作用 下的自由运动，又称为零输入解；
2.系统状态的变化实质上是从初始状态开始的状
态转移，而转移规律取决于 eAt ，eA(t-t0) 故称其
为状态转移矩阵.一般用
x
(t) eAt (t t0) eA(tt0)
来表示。 x 0
2 ! 3 !
AA2t1A3t2L 2!
A(I At 1 A2t2 L ) 2!
AeAt eAt A
13
所以当 Φ(t)=eAt时， &(t)A(t) 又因为 Φ(t)=eAt (t=0时) eA0 =I+A0+...=I 所以 Φ(0)=I 故 eAt 是状态转移矩阵Φ(t)
（2）状态转移矩阵Φ(t)是A阵同阶的方阵，其元 素均为时间函数.
sX(s)-x0=AX(s)+BU(s)
即
X(s)=(sI-A)-1[x0+BU(s)]
其中X(s)和U(s)分别为x(t)和u(t)的拉氏变换。
对上式两边取拉氏反变换,并利用卷积分公式,则有
x ( t ) L 1 ( s A ) I 1 x 0 L 1 ( s A ) I 1 B ( s )U
1 0 3x1u
试求：x(0)=0,u(t)=1(t) 时的状态解。
解：1.求 eAt ： 由前例得：
eAt
2et 2et
e2t 2e2t
et e2t et 2e2t
25
2. 求x(t)
x(t)eA tx00 teA (t )B u ()d
t2 e (t )e 2 (t ) e (t ) e 2 (t ) 0
由于状态空间表达式由两部分组成,即 x& Ax Bu y Cx Du
第2章线性定常系统的状态方程求解-0407N
(t ) Ax(t ) Bu(t ) x y Cx(t ) Du(t )
系统的初始状态 x (0) x 0 系统的输入 u(t ) 如何确定系统在任意时刻t的状态 x (t )、输 出 y(t ) ？——状态方程求解问题
本章主要内容
线性定常系统齐次状态方程的解 状态转移矩阵 直接计算法 e At 线性变换法 拉氏变换法 线性定常系统非齐次状态方程的解 拉氏变换法
(2)拉普拉斯变换法：
sxs Axs x0,
sI Axs x0
xs sI A x0,
1
Hale Waihona Puke 即xt L1sI A x0
1
e
At
L
1
sI A
1
2.2 状态转移矩阵的性质
性质 1：初始时刻t0=0时的状态转移矩阵为 单位矩阵。即
( A B ) t
e
e e
At
Bt
e e
Bt
At
例：已知状态转移矩阵
2e t e 2t (t ) t 2t 2 e 2 e e t e 2t t 2t e 2e
试求 1 (t ), A.
t 2t 2 e e 1 (t ) (t ) t 2t 2 e 2 e
1 I A 0
6
0 1 ( 1)( 2)( 3) 0 11 6
因此 (t 1 ) (t 2 ) e A( t1 t 2 ) (t 1 t 2 )
2.2 状态转移矩阵的性质
性质4：状态转移矩阵的逆矩阵。 1 (t ) (t ), 1 (t ) (t ) 证明：由性质3得： (t t ) (t ) (t ) (t ) (t ) (0) I 根据逆矩阵的定义，则： 1 (t ) (t ), 1 (t ) (t ) 性质5：通过状态转移矩阵进行状态转移。 x (t 2 ) (t 2 t 1 ) x (t 1 ) 证明： x(t 1 ) (t 1 ) x(0), x(0) 1 (t 1 ) x(t 1 ) (t 1 ) x(t 1 )
2.状态方程的解
4
3
3
100
(sI
A) 1
1 s3
0 1 0 s2
001
010
0 0 1s 000
001 000 000
11 1 s s2 s3 01 1
s s2 00 1
s
11 1
次（u(t) 0 ）状态方程的解
x(t) e At x0
At k 0 kk ! k x0
定义矩阵指数： e At
Akt k k 0 k!
I At 1 A2t 2 2
阵。
1
A t ，它仍是一个矩
kk
k!
若初始时间为t 0，则状态方程的解为
x(t ) e x A(t t0 ) 0
Ak (t t0 )k x0
幂零矩阵：存在某一正整数 k ，使得 A 0 称为 k 次“幂零矩阵”。 A 为幂零矩 阵的“充要条件”是 A 的所有特征值为k零： AX A ， i 0 i 1,2, , n
特例： A 为数字矩阵，即 A
P31 例 2-1： A
010 0 0 1 ， A2 000
001 0 0 0 ， A3 000
（2） e0 I ； （3） e A]t 称e A为频e域A(t求)法；或（叫4）Lapl(aecAet )变1 换法e A；t
（5） 若矩阵 A、B 满足交换律 AB BA，则有e At e Bt ( A B)t （；A 、 B 可交换的 e
充要条件是 AB 为反称矩阵， A A 称为对称矩阵， A A 称为反称矩阵）
（9） 传递性：对任意满足t t t ，有e A(t2 t ) e A(t1 t )
1
0
2
1
0
e A(t2 t0 ) 。这表明状态
现代控制理论-状态方程的解
e
At
Te JtT1
1
0
2
0
et
0
2
3
1 1 4 0 0 e 2 t 1 2
Iinv(A)
2
1
1
作业：p.536;9-9;9-10;9-11
2tete2t 3tet2et2e2t tetete2t
0 1 0
2(e2ttetet) 3tet5et4e2t tet2et2e2tA
iPi1APi1Pi
..................................
参见 现代控制论
教材p.490 刘豹 p.28
Matla 中，矩阵求逆 b 命令为
1 1 0
et tet 0
J
T1AT=
0
1
0
0 0 2
e Jt
0
0
et
0
0 e 2 t
1 1 1 e t te t 0 2 5
T
2 2
1 2
特征 向量 问题
Api i pi
T 1
1
1 2
1 1
T1AT
1 0
0 2
e At
TetT1
2 2
1 et
2
0
2et e2t 2et 2e2t
e
0
2
t
1
1
1 2 1
et e2t et 2e2t
利用拉氏变换的方法参见书 p.458 例9-4，9-5
证明→
1
0
0
2
1
，
n
2
...
n
e At
矩阵指数
的求法
现代控制理论经典习题
第一周绪论1、我国人民哪些发明属于在经典控制理论萌芽阶段的发明？（AB）A指南车B水运仪象台C指南针D印刷术2、经典控制理论也可以称为（BD）A现代控制理论B自动控制理论C近代控制理论D古典控制理论3、以下哪些内容属于现代控制理论基础的内容？（AB）A李雅普诺夫稳定性理论B极小值原理C频率响应法D根轨迹法4、传递函数模型假设模型初值不为零。
（X）5、传递函数描述的是单输入单输出的外部描述模型。
（X）6、线性系统理论属于现代控制理论的知识体系中数学模型部分。
（，）7、最优控制理论属于现代控制理论的知识体系中估计方法部分。
（X）8、控制科学的意义下，现代控制理论主要研究（数学建模）和（控制理论方法）的科学问题。
9、现代控制理论在整个控制理论发展中起到了（承上启下）的作用。
10、除了稳定性外，现代控制理论基础还考虑系统（能控性）和（能观测性）两个内部特性。
一、现代控制理论作为一门科学技术，已经得到了广泛的运用。
你还知道现代控制理论具体应用到哪些具体实际的例子么？第二周状态空间描述下的动态方程1、关于输出方程，下列哪些说法是正确的？（BD）A输出方程中状态变量必须是一阶的B输出方程中不含输入的任何阶倒数C输出方程中输入变量可以是任意阶的D输出方程中不含状态变量的任何阶倒数2、关于系统的动态方程，下列哪些说法是正确的？（AB）A系统的状态方程的状态变量的个数是惟一的B系统输出方程的输入输出变量是惟一的C系统输出方程的输入输出变量是不惟一的D系统的状态方程的状态变量是惟一的3、对于一个有多个动态方程表示的系统，下列说法正确的是？（AC）A这些动态方程一定是等价的B这些动态方程经过线性变化后，不能转化为一个动态方程C这些动态方程经过线性变化后，可以转化为一个动态方程D这些动态方程不一定是等价的4、选取的状态向量是线性相关的（X）5、状态向量的选取是不唯一的（/）6、状态向量的个数是不唯一的（X）7、输出方程的选取是不唯一的（/）8、（系统的输出量与状态变量、输入变量关系的数学表达式）称为输出方程。
线性系统理论大作业
《线性系统理论》大作业报告引言：研究线性定常连续系统状态方程的解时，求解状态方程是进行动态系统分析与综合的基础，是进行定量分析的主要方法。
而线性定常连续系统状态方程的解由两个部分相加组成。
第一个部分是由初始状态所引起的自由运动，即状态的零输入响；第二个部分是由输入所引起的系统强迫运动,其值为输入函数与矩阵指数函数的卷积，即状态的零状态响应。
由于这两部分中都包含有状态转移矩阵，因此状态转移矩阵的计算是线性定常连续系统状态方程求解的关键。
本文先总结了的计算方法，并运用matlab命令求解证明各方法的正确性及给出相应的零输入响应仿真结果。
然后推导了脉冲响应的公式，希望通过飞机模型的例子来研究其系统的脉冲响应。
最后推广研究了任意输入的零状态响应。
第一部分的计算方法及零输入响应的仿真证明一．的计算方法1.根据的定义直接计算定义式是一个无穷级数，故在计算中必须考虑级数的收敛条件和计算收敛速度问题。
类似于标量指数函数，对所有有限的常数矩阵A和有限的时间t来说，矩阵指数函数这个无穷级数都是收敛的。
显然用此方法计算一般不能写成封闭的解析形式，只能得到数值计算的结果。
2.变换A为约旦标准型因为任何都可经线性变换成为对角矩阵或约旦矩阵，因此下面将利用对角矩阵和约旦矩阵的矩阵指数函数计算的简便性质，通过线性变换将一般形式的系统矩阵变换成对角矩阵或约旦矩阵计算其矩阵指数函数。
对于矩阵A，若经过非奇异变换（相似变换）矩阵Ｐ作变换后，有则3. 利用拉氏反变换求已知齐次方程两边取拉氏变换即对上式两边取拉氏反变换得齐次微分方程的解：而由定义法求得的齐次微分方程的解为比较两式得4. 应用凯莱—哈密顿定理求（1）由凯莱—哈密顿定理，方阵A 满足其自身的特征方程，即()1110 0n n n fA A a A a A a I--=++++=故121210...n n n n n A a A a A a A a I ----=-----它是的线性组合。
3线性定常连续系统状态方程的解.ppt
(3) 状态方程的解为
t 2t 4e 3e At x (t ) e x0 t 2 t 4e 6e
线性定常连续系统的状态转移矩阵
q1+2q2t+3q3t2 +…+kqktk1+…=A(q +q t+q t2 +…+q tk+…) 0 1 2 k
– 如果所设解是方程的真实解,则对任意t,上式均 成立.因此,使t有相同幂次项的各项系数相等,即 可求得 q A q , q A q A2 q , , q A q Ak q
• 由常微分方程理论知,该方程的解连续可微。
– 因此,该解经泰勒展开可表征为无穷级数,即有
x(t ) q0 q1t q2t 2 qk t k
式中,qk(k=1,2,...)为待定级数展开系数。
级数展开法(2/12)
– 将所设解代入该微分方程,可得
q1 2q2t 3q3t 2 kqk t k 1 a(q0 q1t q2t 2 qk t k )
– 根据常微分方程理论求解一个一阶定常线性微 分方程组,通常是很容易的。
• 可是求解一个时变的一阶线性微分方程组却非易 事。
– 状态转移矩阵的引入,从而使得定常系统和时变 系统的求解公式具有一个统一的形式。 – 为此,本章将重点讨论状态转移矩阵的定义、性 质和计算方法,并在此基础上导出状态方程的求 解公式。
图3-1 状态转移特性
x ( t2 )
t
t2
0x1t1来自 ( t1 0) ( t2 t1 )
拉氏变换法
当初始状态给定以后,系统的状态转移特性就完全由状 态转移矩阵所决定。 所以,状态转移矩阵包含了系统自由运动的全部信息。 可见,状态转移矩阵的计算是齐次状态方程求解的关键。
现代控制理论——状态方程解
例
⎡ −1 0 ⎤ ⎡1⎤ & (t ) = ⎢ x ⎥ x(t ) + ⎢1⎥ u(t ) ⎣ 0 −2 ⎦ ⎣⎦ ⎡1 ⎤ x(0) = ⎢ ⎥ ⎣0⎦
求解 x(t )
u (t) = [1]
4
2011-3-10
五、线性定常连续系统状态方程的解
& (t ) = Ax(t ) + bu (t ) x由解）
当u(t)=0时，
& (t ) = Ax(t ) x
『法1：幂级数法』
x(0) = x0
即系统的零输入响应 系统的自由运动 即系统的零输入响应（系统的自由运动）
L−1[( sI − A) −1 Bu( s )]
( sI − A) −1 − − > F1 ( s )
Φ(t − τ )
Bu( s) − − > F2 ( s)
Bu(τ )
X( s ) = ( sI − A) −1 X(0) + ( sI − A) −1 Bu( s ) X(t ) = L [( sI − A) ]X(0) + L [( sI − A) Bu( s)]
Φ −1 (t ) = Φ ( − t )
另：
Φ −1 ( − t ) = Φ (t )
并且
Φ (t1 ), Φ (t2 )
可以交换
x(t ) = Φ (t )x(0)
x(0) = Φ −1 (t ) x(t ) = Φ (−t ) x(t )
【说明】：
转移矩阵的逆意味着时间的逆转，已知x(t)，可以求 出小于时刻t的x(t0)（t0<t）。
2
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(5)
x ( t 2 ) = Φ ( t 2 − t1 ) x ( t1 )
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❖ 求解状态方程是进行动态系统分析与综合的基础,是进行定 量分析的主要方法。 本节讲授的状态方程求解理论是建立在状态空间上,以矩 阵代数运算来描述的定系数常微分方程解理论。 下面基于矩阵代数运算的状态方程解理论中,引入了状态 转移矩阵这一基本概念。 该概念对我们深刻理解系统的动态特性、状态的变迁(动 态演变)等都是非常有帮助的,对该概念必须准确掌握和深 入理解。
❖ 在讨论一般线性定常连续系统状态方程的解之前,先讨论线 性定常齐次状态方程的解,以引入矩阵指数函数和状态转移 矩阵等概念。
所谓齐次状态方程就是指状态方程中不考虑输入项 (u(t)=0)的作用,满足方程解的齐次性。
❖ 研究齐次状态方程的解就是研究系统本身在无外力 作用下的自由(自治)运动。
所谓非齐次状态方程就是指状态方程中输入项的作用, 状态方程解对输入具有非齐次性。
x(t) t t0
x(t0 )
的解,也就是由初始时刻t0的初始状态x(t0)所引起的无输入强 迫项(无外力)时的自由运动。
❖ 对上述齐次状态方程,常用的常微分方程求解方法有 级数展开法 拉氏变换法
1. 级数展开法
❖ 在求解齐次状态方程式之前,首先观察标量常微分方程
x(t) ax(t)
在初始时刻t0=0的解。 该方程中x(t)为标量变量,a为常数。
❖ 研究非齐次状态方程的解就是研究系统在外力作用 下的强迫运动。
线性定常齐次状态方程的解
❖ 什么是微分方程的齐次方程? 齐次方程就是指满足解的齐次性的方程，即若x是方程的 解，则对任意非零的实数a,ax亦是该方程的解。 所谓齐次状态方程，即为下列不考虑输入的方程
x’=Ax 齐次状态方程满足初始状态
X(s)=(sI-A)-1x0
对上式取拉氏反变换,即得齐次状态方程的解为
x(t)=L-1[(sI-A)-1]x0 下面讨论如何求解拉氏反变换L-1[(sI-A)-1]。
❖ 主要思想为将标量函数的拉氏变换与反变换平行推 广至矩阵函数中。
❖ 对标量函数,我们有
(s a)1
1 s
a s2
a2 s3
...
aat a2t 2 ... ak t k ... L1[(s a)1 ]
2!
k!
将上述关系式推广到矩阵函数则有
(sI
A)1
I s
A s2
A2 s3
...
Ak 1 sk
...
e At
I
At
A2t 2
...
Akt k
...
2!
k!
a2 2!
t2
...
ak k!
tk
...x(0)
eat x(0)
❖ 上述求解标量微分方程的级数展开法,可推广至求解向量状 态方程的解。
为此,设其解为t的向量幂级数,即
x(t)=q0+q1t+q2t2+…+qktk+…
式中,qk(k=1,2,...)为待定级数展开系数向量。 将所设解代入该向量状态方程x’=Ax,可得
其中eAt称为时间t的矩阵指数函数，并有
L1[(sI
A) 1 ]
L1
I s
A s2
A2 s3
...
Ak 1 sk
...
A2t 2
Akt k
I At ... ...
2!
k!
eAt
❖ 因此,基于上述(sI-A)-1的拉氏反变换,该齐次方程的解为
x(t)=L-1[(sI-A)-1]x0 = eAt x0
q1+2q2t+3q3t2 +…+kqktk-1+…=A(q0+q1t+q2t2 +…+qktk+…)
如果所设解是方程的真实解,则对任意t,上式均成立。
❖ 因此,使t有相同幂次项的各项系数相等,即可求得
q1
A 1!
q0 ,
q2
A 2
q1
A2 2!
q0 ,
L,
qk
A k
qk
1
Ak k!
q0
若初始时刻t0=0,初始状态x(0)=x0,则可确定
如果所设解是方程的真实解,则对任意t,上式均成立。 ❖ 因此,使t有相同幂次项的各项系数相等,即可求得
q1
a 1! q0
,
q2
a 2
q1
a2 2!
q0 ,
L,
qk
a k qk1
ak k! q0
❖ 令x(t)的解表达式中t=0,可确定
q0=x(0) 因此, x(t)的解表达式可写为
x(t)
1
at
2．拉氏变换法
❖ 若将对标量函数拉氏变换的定义扩展到向量函数和矩阵函数, 定义对向量函数和矩阵函数的拉氏变换为分别对该向量函数 和矩阵函数的各个元素求相应的拉氏变换,那么可利用拉氏 变换及拉氏反变换的方法求解齐次状态方程的解。
❖ 对该齐次状态方程x’=Ax,设初始时刻t0=0且初始状态x(t)=x0, 对方程两边取拉氏变换,可得 sX(s)-x0=AX(s) 于是可求得该齐次状态方程的解x(t)的拉氏变换为
❖ 由常微分方程理论知,该方程的解连续可微。 因此,该解经泰勒展开可表征为无穷级数,即有
x(t) q0 q1t q2t 2 qkt k
式中,qk(k=1,2,...)为待定级数展开系数。
将所设解代入该微分方程,可得
q1 2q2t 3q3t 2 kqkt k 1 a(q0 q1t q2t 2 qkt k )
上述拉氏反变换法求解结果与前面的级数展开法求解结 果一致。
若初始时刻t00,对上述齐次状态方程的解作坐标变换,则 可得解的另一种表述形式:
x(t) eA(tt0 ) x(t0 )
状态方程的解表达式说明了齐次状态方程的解实质上是初始 状态x(t0)从初始时刻t0到时刻t系统运动状态的转移,其转移特 性和时刻t的状态完全由矩阵指数函数 eA(tt0) 和初始状态x(t0) 所决定。
❖ 为讨论方便,引入能描述系统状态转移特性的线性定常连续 系统的状态转移矩阵如下: (t)=eAt 因此,有如下关系式
(t-t0 ) e A(tt0 )
q0=x(0)=x0
因此, 状态x(t)的解可写为
x(t)
I
At
A2 2!
t2
...
Ak k!
tk
...
x0
该方程右边括号里的展开式是n×n维矩阵函数。
❖ 由于它类似于标量指数函数的无穷级数展开式,所 以称为矩阵指数函数,且记为
e At
I
At
A2
t2
...
Ak
tk
...
2!
k!
利用矩阵指数函数符号,齐次状态方程的解可写为： x(t)=eAtx0