流体力学-06 不可压缩无粘流动流体力学
《工程流体力学》第六章 不可压缩流体平面有势流动
3) y = 0 将 y=0 代入
驻点：
把驻点坐标代入流函数y：
过驻点流函数值：y = 0
物体轮廓线方程为：
求物体半宽b/2： 把 x=0 代入物体轮廓线方程：
y：物体半宽b/2
已知流函数 -> 速度场，压强场 在物体前部：附面层很薄 粘性影响大的流动区域：很薄 计算结果：与实验较符合
在物体后部：附面层增厚 形成：尾部旋涡 无粘流势流理论：不再适用
2)在源点左边x轴上，y=0：存在一点s 该点处：源点与直匀流速度：大小相等
方向相反
该点：驻点，复合流场合速度 = 0
求驻点，令： 驻点确在x负轴上
3)从源点流出流体到达驻点s后：不能继续向左流动 被迫分成上下两路 形成绕物体流动轮廓线—— 半无限体
现求半无限体轮廓线方程： 把驻点极坐标： 代入流函数中：
一般称零流线
粘性流体切向速度：0 理想流体切向速度：不受限制
第三节 基本解叠加原理 线性方程叠加原理：两个解的和或差也是该方程的解 平面不可压势流势函数和流函数方程：拉普拉斯方程 拉普拉斯方程：线性方程，可以应用叠加原理
复杂流场的解：可由若干简单流场的解叠加得到
两个有势流动势函数： j1，j2
每一流动都满足拉普拉斯方程：
什么条件？ 无旋条件 二维不可压连续方程：
不可压平面有势流动的流函数方程
不可压连续方程和无旋条件 －> 流函数方程 流函数方程－拉普拉斯方程：仅适用于不可压平面有势流 动
不可压平面有旋流动或可压缩平面有势流动： 不存在流函数方程
三、边界条件： 流体：从无穷远流向某物体 条件：不分离 物面法向流体速度：0，即物面是一条流线
都存在流函数
只有无Байду номын сангаас流动：才存在势函数 平面流动：流函数更普遍
工程流体力学课件 第06章 流体流动微分方程 - 4
时 可以不考虑温度的影响，因此也不需要考虑能量方程。
③ 能量方程的微分形式，其推导过程与连续性方程和动量方程的推导 微分相方似程，方方法程：的结构也相似，数学上并没有太多的特殊性。 流体力学中，微分方法和积分方法都是为了研究流体的质量守恒、动量 守恒和能量守恒。积分法研究系统整体，揭示总体性能；微分法研究空 间任一点和包含该点的流体微元，揭示三维流场的空间分布细节。两种 分析方法相辅相成，都必须要学、必须学好。 微元体分析方法的核心：将雷诺输运定理应用于流体微元控制体。
t
z方向：vz dxdydz
t
6.2.3 以应力表示的运动方程
分别将微元控制体中x-,y-和z-方向的动量各对应项代入雷诺 输运定理，可得三个方向的运动微分方程。
X－：
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
fx
xx
x
yx
y
zx
z
Y－：
vy t
vx
vy x
vy
vy y
、vz z
)和体变形率(
vx x
vy y
vz z
)
正应力包含两部分：
v
①流体静压产生的正应力(压应力-p);
②流体运动变形产生的附加黏性正应力。与三个方向的线变形率
以及体变形率有关。这种关系类似于固体中的虎克定律。
xx
p
2
vx x
2 3
vx x
vy y
vz z
xx p xx
xx 附加黏性正应力(或附加正应力)
连续性方程变为：
t
(vx )
不可压缩流体名词解释
不可压缩流体名词解释
不可压缩流体是指在流动过程中，其体积或密度不发生显著变化的流体。
这类流体在平衡状态下，任何微小变化（如温度或压力的变化），都不会影响其深度、形状或体积等物理性质。
在工程和科学领域，不可压缩流体通常用来描述流体动力学中的一类理想化现象。
例如，一般假设在低速流动中，气体可以视为不可压缩的。
然而，当速度接近或超过音速时，气体的压缩效应就变得重要起来。
不可压缩流体的概念非常重要，因为在许多实际问题中，流体的性质足够接近不可压缩的性质，可以忽略其小的压缩性，从而简化对流体动力学进行的研究和计算。
例如，在研究和设计飞机、船舶、管道、水轮机等的流体力学问题时，常常
假设工作介质为不可压缩流体，以便于使用更简单的方程进行分析。
不可压缩流体理论在流体力学中占据重要位置。
流体运动的基本规律——质量守恒定律、动量守恒定律、能量守恒定律在不可压缩流体中的表现形式，成为流体力学的基础方程。
这些基础方程是研究流体运动最重要的工具，也是解决实际流
体力学问题的基础。
在模拟和解析实际问题时，不可压缩流体假设为工程师和科研人员提供了实用的工具。
这些工具不仅帮助他们理解和解决复杂的流体动力学问题，而且帮助他
们设计和优化了许多工程系统，例如管道输送系统、液压系统、制冷系统等等。
然而，需要注意的是，不可压缩流体模型只是一个理想化的模型，它不一定能完全描述所有类型的流体动力学现象。
例如，对于高速流、音速流或者强烈震动和振动的流，压缩效应可能不能忽略，需要使用其他更复杂的模型来描述其物理行为。
因此，使用不可压缩流体模型时，必须清楚它的适用范围和局限性，以避免误导设计和决策。
《工程流体力学》第六章 不可压缩流体平面有势流动
粘性流体切向速度：0 理想流体切向速度：不受限制
第三节 基本解叠加原理 线性方程叠加原理：两个解的和或差也是该方程的解 平面不可压势流势函数和流函数方程：拉普拉斯方程 拉普拉斯方程：线性方程，可以应用叠加原理
复杂流场的解：可由若干简单流场的解叠加得到
两个有势流动势函数： j1，j2
无旋流动：才存在势函数 平面流动：流函数更普遍
流函数与势函数一样：可以用来描述整个流场 由流函数：就可求出流速和压强分布
－流线微分方程
y=c曲线，即等流函数线：流线
给定一组常数值：就可得流线族
流体：不能穿越流线，也不能穿越固体表面 固体表面：可看作流线，通常是零流线
即y=0的流线：代替物体表面
2)在源点左边x轴上，y=0：存在一点s 该点处：源点与直匀流速度：大小相等
方向相反
该点：驻点，复合流场合速度 = 0
求驻点，令： 驻点确在x负轴上
3)从源点流出流体到达驻点s后：不能继续向左流动 被迫分成上下两路 形成绕物体流动轮廓线—— 半无限体
现求半无限体轮廓线方程： 把驻点极坐标： 代入流函数中：
过驻点的流函数值： 轮廓线方程：
可见 源的作用：是提前将前方来流的直匀流推开，与物体头部 作用相同
不同强度的源流：沿轴线排列 并：与直匀流叠加 可得到：直匀流绕实际钝头体物体的流动
三、直匀流与一对等强度源汇的叠加：
源：在x轴(-a, 0)处，强度 Q 汇：在x轴(a, 0 )处，强度 -Q 复合流动：直匀流与该源、汇叠加
注意： 三维流动：不存在流函数
不存在等流函数线 但存在流线
流函数与流量关系： 流动：二维 任意曲线：连接a、b两点 某瞬时过微元段ab的流量：
或
《流体力学》 第七章 不可压缩粘性流体的流动
应力与应变的关系--------本构关系
du
dy
对照牛顿实验
pyx
斯托克斯假设
(1). 应力与变形速率之间为线性关系(小变 形(各向同性假设) (3). 趋于零时, 应力状态退化为理想流体 的应力状态(当流体处于静止状态时,符合 静止流体的应力特征)
pyz pzy
pzx pxz
pyx
p y x y
dy 2
pyy
p y y y
dy 2
pxx
pxx x
dx 2
pxy
pxy x
dx 2
y x
pxx
pxx x
dx 2
pxy
pxy x
dx 2
pyx
p y x y
dy 2
pyy
p y y y
dy 2
p y x y
pzx z
)
将pxx pyx pzx 的表达式代入, 设不可压, 则有
同理有
ax
fx
1
p x
(
2u x 2
2u y 2
2u z 2
)
ay
fy
1
p y
(
2v x 2
2v y 2
2v z 2 )
az
fz
1
p z
pzz
p
2
w z
相 加
1 3
(
pxx
pyy
流体力学-06 不可压缩无粘流动流体力学
不可压缩无粘流动的流体动力学6 不可压缩无粘流动的流体动力学6无粘流动的应力场1 无粘流动的应力场6 1-1, z方向上微元质量应用牛顿第二定律,微元质量应用牛顿第二定律方程两边同除以dxdydz是微小量y方向的牛顿第二定律可以得出对运动的无粘流体而言，点的正应力各向对运动的无粘流体而言一点的正应力各向相同（即是一个标量），无粘流体中正应力等于热力学压强的负值，即等于热力学压强的负值无摩流动动方程欧方程无摩擦流动的动量方程：欧拉方程2 无摩擦流动的动量方程：欧拉方程6-2N S方程N-S方程在无摩擦流动中不存在剪应力，正应力是热力学压强的负值如果重力是唯一的质量力如果z坐标是垂直方向欧拉方程对于重力是唯的质量力的情况，柱对于重力是唯一的质量力的情况，柱坐标形式的分量方程如下：z轴是垂直向上的，因此，g r gθ，g z g=g=-做刚体运动的流体的欧拉方程3 做刚体运动的流体的欧拉方程6-3流体被加速而在相邻流体层之间没有相对运动，即，流体做没有变形的运动时，就不会产生剪应力。
运用合适的自由体动方程我们确定流体内体运动方程，我们可以确定流体内压强的变化。
的变化直线加速运动的流体绕着垂直轴线做稳定旋转运动的流体欧拉方程可以解决非惯性坐标系中做刚体运动的流体内压强分布的问题，可以得到相同的结果。
流线坐标中的欧拉方程6-44 流线坐标中的欧拉方程流线？定常流动中，流体质点的运动轨迹？流线坐标定常流动中，沿着流线：定常流动中，沿着流线的位移是用于描述运动方程较好的坐标坐标。
在非定常流动中，流线可以给出瞬在非定常流动中流线可以给出瞬时速度场的图形表示时速度场的图形表示。
运动方程可以写成沿着流线的位移坐标sn以及流线的法向位移坐标的表达式在流动方向上（即s方向）对体积为dsdndx的微元流体应用牛顿第二定律，并忽略粘性力β是流线的切线和水平方向的夹角αs 是流体质点沿着流线方向的加速度在流动方向上流体质点的随体加速度在具有垂直方向的z轴坐标系中沿着流线方向标系中，沿着流线方向对于定常流动，忽略质量力时，在流动方向上的欧拉方程速度的减小伴随着压强的增加，成反比关系。
流体力学第六章 流动阻力及能量损失
第六章流动阻力及能量损失本章主要研究恒定流动时，流动阻力和水头损失的规律。
对于粘性流体的两种流态——层流与紊流，通常可用下临界雷诺数来判别，它在管道与渠道内流动的阻力规律和水头损失的计算方法是不同的。
对于流速，圆管层流为旋转抛物面分布，而圆管紊流的粘性底层为线性分布，紊流核心区为对数规律分布或指数规律分布。
对于水头损失的计算，层流不用分区，而紊流通常需分为水力光滑管区、水力粗糙管区及过渡区来考虑。
本章最后还阐述了有关的边界层、绕流阻力及紊流扩散等概念。
第一节流态判别一、两种流态的运动特征1883年英国物理学家雷诺（Reynolds O.）通过试验观察到液体中存在层流和紊流两种流态。
1.层流观看录像1-层流层流（laminar flow），亦称片流：是指流体质点不相互混杂，流体作有序的成层流动。
特点：（1）有序性。
水流呈层状流动，各层的质点互不混掺，质点作有序的直线运动。
（2）粘性占主要作用，遵循牛顿内摩擦定律。
（3）能量损失与流速的一次方成正比。
（4）在流速较小且雷诺数Re较小时发生。
2.紊流观看录像2－紊流紊流（turbulent flow），亦称湍流：是指局部速度、压力等力学量在时间和空间中发生不规则脉动的流体运动。
特点：（1）无序性、随机性、有旋性、混掺性。
流体质点不再成层流动，而是呈现不规则紊动，流层间质点相互混掺，为无序的随机运动。
（2）紊流受粘性和紊动的共同作用。
（3）水头损失与流速的1.75~2次方成正比。
（4）在流速较大且雷诺数较大时发生。
二、雷诺实验如图6-1所示，实验曲线分为三部分：（1）ab段：当υ<υc时，流动为稳定的层流。
（2）ef段：当υ>υ''时，流动只能是紊流。
（3）be段：当υc<υ<υ''时，流动可能是层流（bc段），也可能是紊流（bde段），取决于水流的原来状态。
图6-1图6-2观看录像3观看录像4观看录像5实验结果（图6-2）的数学表达式层流：m1=1.0, h f=k1v , 即沿程水头损失与流线的一次方成正比。
流体力学中的流体的黏滞流动特性
流体力学中的流体的黏滞流动特性在流体力学中，黏性是指由于流体分子内部间的摩擦而产生的一种阻碍流体流动的现象。
黏性可以影响流体的流动速度、流体层间的相对运动以及流体中的剪切力等因素。
本文将探讨流体的黏滞流动特性，并介绍一些经典的黏滞流动模型。
黏性是指流体分子之间的内部摩擦力，也可以说是流体流动的内部阻力。
在流体的黏滞流动中，流体分子之间的摩擦力会导致流体内部各层间存在相对滑动。
黏滞系数是流体黏滞性的度量，常用符号为η。
流体的黏滞性取决于流体的物理性质，如温度、压力和组成等，通常是温度的函数。
黏滞流动可以分为层流和湍流两种模式。
层流是指流体在管道或流动通道中呈现的流线型流动，其中各个流体层之间不存在明显的相互干扰。
在黏滞流动的层流中，黏性力主导着流体的运动，使得流体的速度沿流动方向逐渐减小。
湍流是指流体在管道或流动通道中呈现的混乱和不规则的流动模式，其中各个流体层之间存在剧烈的相对运动。
在湍流中，黏性力无法抑制流体的变动和混乱，形成了涡旋和湍旋等流体结构。
黏滞流动的特性可以用流体黏滞系数来描述。
对于层流，流体的黏滞系数η可以用斯托克斯公式进行计算。
斯托克斯公式是一种经验公式，适用于小尺度和低速流动条件下的层流情况。
斯托克斯公式表明，流体的黏滞系数与流体的密度、流体粘度以及流体粒径等因素相关。
对于湍流，黏滞系数的计算较为复杂，需要考虑流体中的湍流结构、湍流强度以及涡旋等因素。
在工程应用中，黏滞流动的特性对于流体的传输、输运以及搅拌等过程具有重要的影响。
例如，在石油工业中，黏滞流动的特性对于油井生产、管道输送以及油品精炼等环节具有重要的作用。
在飞行器设计中，黏滞流动的特性影响着飞机、火箭等载具的气动性能，对于提高飞行器的飞行效率和稳定性有着关键的作用。
除了层流和湍流外，黏滞流动还可以分为准层流和过渡流动等模式。
准层流是介于层流和湍流之间的一种流动状态，具有一定的流体混合和层状流动的特性。
过渡流动是从层流到湍流的过渡过程，其中流体的黏滞力开始失去控制，流动呈现出不规则和混乱的特性。
6工程流体力学 第六章理想不可压缩流体的定常流动
§6-1 理想不可压缩流体的一元流动（续41）
分别取进口截面与喉部截面为1、2计算截面， 利用伯努利方程可得：
gz——重力场中单位质量流体从z=0上升至z克服重
力所做的功，因此具有的重力势能。
p
——单位质量流体从 p=0至状态p克服压力所做
功，也可以理解为流体相对于p=0的状态所
蕴含的能量，这种能量称为压力能。
§6-1 理想不可压缩流体的一元流动（续9）
引入压力能的概念后，伯努利方程就 可理解为：
在重力场中，当理想不可压缩流体定常 流动时，单位质量流体沿流线的重力势能、 压力能和动能之和为常数，该定理反映了机 械能转化和守恒定理。
表示理论出流射流速度。
上述分析中，忽略了粘性和表面张力的影响。
§6-1 理想不可压缩流体的一元流动（续30）
速度系数定义为：
CV
实 际 平 均 速 度——速度系数 理论速度
Cd
实
际出流的体积流 理论体积流量
量——流量系数
CC
收 缩截 面 面积AC 孔 口 面 积A
——面积收缩系数
§6-1 理想不可压缩流体的一元流动（续31）
Cd
实际体积流量 理 论 体 积 流 量
收
缩 截 面 面 积 孔 口 面 积
实 理
际 论
平 速
均 度
速
度＝CcCV
Q CdQth Cd A 2gH CcCV A 2gH
速度系数，体积收缩系数和流量系数均需由实 验确定。对于锐缘圆形孔口，
CV 0.97 0.99, Cc 0.61 0.66
§6-1 理想不可压缩流体的一元流动 一元流动： 所谓一元是指只有一个空间变量。
在流体力学中属于这种性质的流动是指沿流 线的流动。
流体力学考试复习资料
一、填 空 题1．流体力学中三个主要力学模型是（1）连续介质模型（2）不可压缩流体力学模型（3）无粘性流体力学模型。
2．在现实生活中可视为牛顿流体的有水 和空气 等。
3．流体静压力和流体静压强都是压力的一种量度。
它们的区别在于：前者是作用在某一面积上的总压力；而后者是作用在某一面积上的平均压强或某一点的压强。
4．均匀流过流断面上压强分布服从于水静力学规律。
5．和液体相比，固体存在着抗拉、抗压和抗切三方面的能力。
6．空气在温度为290K ，压强为760mmHg 时的密度和容重分别为 1.2a ρ= kg/m 3和11.77a γ=N/m 3。
7．流体受压，体积缩小，密度增大 的性质，称为流体的压缩性 ；流体受热，体积膨胀，密度减少 的性质，称为流体的热胀性 。
8．压缩系数β的倒数称为流体的弹性模量 ，以E 来表示9．１工程大气压等于98.07千帕，等于10m 水柱高，等于735.6毫米汞柱高。
10．静止流体任一边界上压强的变化，将等值地传到其他各点（只要静止不被破坏），这就是水静压强等值传递的帕斯卡定律。
11．流体静压强的方向必然是沿着作用面的内法线方向。
12．液体静压强分布规律只适用于静止、同种、连续液体。
13．静止非均质流体的水平面是等压面，等密面和等温面。
14．测压管是一根玻璃直管或U 形管，一端连接在需要测定的容器孔口上，另一端开口，直接和大气相通。
15．在微压计测量气体压强时，其倾角为︒=30α，测得20l =cm 则h=10cm 。
16．作用于曲面上的水静压力P 的铅直分力z P 等于其压力体内的水重。
17．通过描述物理量在空间的分布来研究流体运动的方法称为欧拉法。
18． 流线不能相交（驻点处除外），也不能是折线，因为流场内任一固定点在同一瞬间只能有一个速度向量，流线只能是一条光滑的曲线或直线。
19．静压、动压和位压之和以z p 表示，称为总压。
20．液体质点的运动是极不规则的，各部分流体相互剧烈掺混，这种流动状态称为紊流。
第八章不可压缩粘性流体内部流动-流体力学
二、流态与沿程阻力损失的关系
hf的变化规律 hf = kVm
(a)-(b)段，层流，m=1 hf = kV
( d)-(e)段，紊流，m=2 hf = kV2
(b)-(d)段，层流向 紊流过渡
hf = kV1.75~2
三、流态判别标准
雷诺数计算
Re vd vd
上临界Rec′: 与实验条件和初始状态有关。上临界 Rec′可高达13800。(不稳定）
1.紊流结构 层流底层厚度
32.8 d Re
2.混合长度和切应力
（1）粘性切应力
粘性
du dy
普朗特混合长度理论
（2）附加切应力
附加
l 2 ( du )2
dy
紊流切应力
τ= τ粘性+ τ附加 （层流底层τ附加=0）
3.速度分布
层流边层内
du
dy
积分 u 0 y
z2
)
Q(v2
v1 )
g
v2
A2
(v2
v1 )
( z1
p1
)
(
z
2
p2
)
v22 g
v 2 v1 g
代入伯努利方程
hr
v2 2 g
v2v1 g
v12 v2 2 2g
(v1 v2 )2 2g
（包达公式)
hr的另一形式
v1
v2
A2 A1
, 或v2
v1
进一步分析时均流速与脉动速度
高等流体力学--无粘性不可压缩流体的无旋运动 ppt课件
ppt课件
5
第一节 无粘性不可压缩流体无旋运动方程组
不可压缩的假设：
❖ 在自然界通常的条件下，流体(液体和气体)的运 动速度较低，压缩性的影响可以忽略。
❖ 可把液体和低速气体近似作为不可压缩流体。
无旋的假设：
❖ 涡保持性定理指出，在一定条件下(体力有势、 正压、无粘性)，如果在流体中初始时刻没有涡 量的话，以后就永远不能具有涡量。
关于速度势函数的说明：
• 速度势满足拉普拉斯方程的条件： 2 0 (1) 流动无旋；(2) 流体不可压。
• 对于粘性不可压缩流体，如果运动无旋，则也 存在速度势函数，且同样满足拉普拉斯方程， 但边界条件要发生变化。(什么变化？)
• 速度势满足拉普拉斯方程与流动是否定常无关； 对于非定常流动，时间 t 在方程中以参数的形 式出现。
• 在原基本方程组中，速度与压强耦合，引 入速度势函数后，基本方程组转化为只需 求解速度势就可以了，成为一个纯数学问 题；在求得速度势和流动速度后，代入运 动方程即可求解压强。
ppt课件
9
第一节 无粘性不可压缩流体无旋运动方程组
二、速度势函数
压强的求解：
正压
体力势
函数
对于正压和体力有势流体，当流动无旋时， 存在拉格朗日积分：
rotv 0
v x, y, z,t
divv 0
v
2 0
代入不可压 流体连续性
方程
ppt课件
拉普拉斯方 程
8
第一节 无粘性不可压缩流体无旋运动方程组
2 0
v
引入速度势函数的意义：
二、速度势函数
Dv Dt
Fb
1
流体力学课件不可压缩流体
称为曲线 s上的速度环量。并规定积分沿s逆时针方向绕 行为 s 的正方向。
12
1.斯托克斯定理
式中，s为流场中任意封闭曲线；A是曲线s所围成的曲面；； 是曲面A的外法线单位向量。 上式称为斯托克斯定理。定理给出了速度环量和涡通量之间 的关系：沿任意封闭曲线s的速度环量等于通过以该曲线为边 界的曲面A的涡通量。即
7
第7章 不可压缩流体动力学 涡量是空间坐标和时间的矢性函数：所以，它也构 成一个向量场，称为涡量场。 涡量连续性方程为：
8
第7章 不可压缩流体动力学
在涡量场中可以画出表征某一瞬时流体质点的旋转角速度 向量方向的曲线，称为涡线。在给定的瞬时，涡线上各点的 角速度向量在该点处与涡线相切。沿涡线取一微小线段ds， 由于涡线与角速度向量的方向一致，所以，ds沿三个坐标轴 方向的分量dx、dy、dz必然和角速度向量的三个分量ωx、 ωy 、ωz 成正比，即
11
第7章 不可压缩流体动力学
对于有旋流动，其流动空间既是速度场，又是涡量场。涡量 场中的涡线，涡管，涡通量等概念分别与流速场中的流线， 流管，流量等概念相对应，而涡线方程和涡管的涡通量方程 则分别与流线方程和元流连续性方程相对应。 通常，涡通量是利用速度环量这个概念来计算的。在流场中 任取一封闭曲线s，则流速沿曲线s的积分
u x dx dt u x x exx dx dt x
2
第7章 不可压缩流体动力学 则流体微团的线变形速度为
3
类似的研究分析，可以得到流体微团旋转角速度分量为：
因而角速度矢量为： 角速度大小为： 角速度矢量的为沿微团的旋转方向按右手定则确定。
4
第7章 不可压缩流体动力学 类似的研究分析，可以得到流体微团角变形速度为：
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不可压缩无粘流动的流体动力学
6 不可压缩无粘流动的流体动力学
6
无粘流动的应力场
1 无粘流动的应力场
6 1
-1
, z方向上微元质量应用牛顿第二定律,
微元质量应用牛顿第二定律
方程两边同除以dxdy
dz是微小量
y方向的牛顿第二定律可以得出
对运动的无粘流体而言，点的正应力各向对运动的无粘流体而言一点的正应力各向相同（即是一个标量），无粘流体中正应力等于热力学压强的负值，即
等于热力学压强的负值
无摩流动动方程欧方程
无摩擦流动的动量方程：欧拉方程
2 无摩擦流动的动量方程：欧拉方程
6-2
N S方程
N-S方程
在无摩擦流动中不存在剪应力，正应
力是热力学压强的负值
如果重力是唯一的质量力
如果z坐标是垂直方向
欧拉方程
对于重力是唯的质量力的情况，柱
对于重力是唯一的质量力的情况，柱
坐标形式的分量方程如下：
z轴是垂直向上的，因此，g r gθ，g z g
=g=-
做刚体运动的流体的欧拉方程
3 做刚体运动的流体的欧拉方程
6-3
流体被加速而在相邻流体层之间没有相对运动，即，流体做没有变形的运动时，就不会产生剪应力。
运用合适的自由体动方程我们确定流体内
体运动方程，我们可以确定流体内压强的变化。
的变化
直线加速运动的流体
绕着垂直轴线做稳定旋转运动的流体
欧拉方程可以解决非惯性坐标系中做刚体运动的流体内压强分布的问题，可以得到相同的结果。
流线坐标中的欧拉方程
6-4
4 流线坐标中的欧拉方程
流线？
定常流动中，流体质点的运动轨迹？
流线坐标定常流动中，沿着流线
：定常流动中，沿着流线的位移是用于描述运动方程较好的
坐标
坐标。
在非定常流动中，流线可以给出瞬
在非定常流动中流线可以给出瞬
时速度场的图形表示
时速度场的图形表示。
运动方程可以写成沿着流线的位移坐标s
n
以及流线的法向位移坐标的表达式
在流动方向上（即s方向）对体积为dsdndx的微元流体应用牛顿第二定律，并忽略粘性力
β是流线的切线和水平方向的夹角αs 是流体质点沿着流线方向的加速度
在流动方向上流体质点的随体加速度
在具有垂直方向的z轴坐
标系中沿着流线方向
标系中，沿着流线方向
对于定常流动，忽略质量力时，在流动方
向上的欧拉方程
速度的减小伴随着压强
的增加，成反比关系。
微元流体在n方向上应
用牛顿第二定律
对于水平面内的定常流动，流线法方向上
的欧拉方程变为
在流线曲率中心向外的方向上，压强是增
加的。
在直的流线区域，流线的曲率半径R 加的在直的流线区域流线的曲率半径
是无穷大的，因此，在直的流线的法方向
上没有压强梯度。
6-5 5 伯努利方程伯努利方程———定常流动时欧利方程流动欧拉方程沿着流线方向的积分
6-5.1 5.1 用流线坐标推导用流线坐标推导
沿着流线方向定常流动的欧拉方程为
流体质点沿着流线移动的距离为ds
两端同乘以ds
积分后
压强p和密度ρ之间的关系
沿着s方向不可压缩流动的情况：ρ=const
Bernoulli Equation））伯努利方程（Bernoulli Equation
伯努利方程（
适用条件：
1、定常流动；
2、不可压缩流动
3、无摩擦流动；
4、沿着流线的流动。
沿着流线的流动
•沿着流线方向的压强变化、速度和高度的变化；
的变化
•伯努利常数沿着不同的流线会有差别。
-5.26 5.2 5.2 用直角坐标推导
用直角坐标推导欧拉方程的矢量形式也能沿着流线方向进行积分
对于定常流动，直角坐标系中欧拉方程变为
用沿着流线方向的位移点乘方程中的各
项
沿着s方向
平行于，方程右边的最后一项为零
（沿着s s方向）
（沿着
积分
密度==常数
密度
直角坐标系中推导出的柏努利方程也限定在以下条件内
1、定常流动；
2、不可压缩流动；
3、无摩擦流动；
应用
5.3 应用
6 5.3
-53
伯努利方程可以应用于流线的任意两点
伯努利方程可以应用于流线上的任意两点
对个参考坐标系是非定常流动的情况，经过流对一个参考坐标系是非定常流动的情况，经过流动中的坐标转换，对于另一个坐标系流动可能是定常的。
因为伯努利方程是对流体质点的牛顿第二定律进行积分推导出来的，它可以应用于任何二定律进行积分推导出来的它可以应用于任何的惯性坐标系。
例题6-1
例题6-2
例
6-6 6 静压强、滞止压强和动压强静压强、滞止压强和动压强
•
伯努利方程中所用到的压强p 是热力学压强通常也称为静压强。
压强，通常也称为静压强。
•静压强是用随流体一起运动的仪表所能够测得的压强。
但对于实际情况，这样的测量是相当困难的。
我们如何通过实验测量静压强呢？
•当流线为直线时，在垂直于流线方向上没有压强变化
没有变
•滞止压强是指流体的速度无摩擦地减小为零时所获得的压强值。
•对于不可压缩流动过程，伯努利方程可以把对缩流动过程伯努利方程把沿着流线方向上速度和压强的变化关联在沿着流线方向上速度和压强的变化关联在一起，忽略高度差时
•流动过程中某点的静压强是p，速度为V，滞止压强p
•动压强
如果能够测出点处的滞止压强和静压强，就可如果能够测出一点处的滞止压强和静压强，就可以计算当地的流动速度。
滞止压强探针
(Pitot管
()
6-7 7 热力学第一定律与伯努利方程的关系热力学第一定律与伯努利方程的关系考虑不存在剪应力的定常流动问题，选择的控制体边界沿着流线的外围，这样
的控制体就是通常所谓的流管
(1)
(2)
(3)
(4)定常流动；
均匀流动，每个截面的特性参数也是均匀的。
(5)均匀流动，每个截面的特性参数也是均匀的。
(5)
连续性方程
（6）
不可压缩流动，
，即：（7）不可压缩流动
伯努利方程是从动量方程（牛顿第二定律）的角
度出发导出的，适用于定常的、不可压缩的、无
摩擦的、沿着流线方向的流动。
上面的方程是把摩擦的、沿着流线方向的流动上面的方程是把
热力学第一定律应用于流管控制体得出的，其限
）至（77）所示。
制条件如前（
制条件如前（11）至（
6-8 8 应用于无旋流动的伯努利方程应用于无旋流动的伯努利方程
1、定常流动；；
2、不可压缩流动；
3、无摩擦流动；
沿着流线的流动
4、沿着流线的流动。
•不同的流线，方程右侧的常数值不同。
•无旋流动
旋流动
欧拉方程的矢量形式
无旋流动的欧拉方程：
微小的时间增量d t，流体质点从矢径
的位置运动到的位置
用点乘方程的每一项
积分后
对于不可压缩流动
是任意位移，因此，对于定常的、不可
是任意位移因此对于定常的不可
压缩的、无粘性的、无旋流动，方程适用于压缩的无粘性的无旋流动方程适用于流场中的任意两点。
流场中的任意两点
6-9 9 非定常的伯努利方程非定常的伯努利方程——欧拉方程沿着流线的积分
无摩擦流动的动量方程
后转化成标量方程两边同时点乘后，转化成标量方程，
是沿着流线方向的微元距离
是沿着流线方向的微元距离。
沿着流线方向从点到点进行积分沿着流线方向从11点到22
密度
密度==常数。