向量的加法
向量的基本运算公式大全
向量的基本运算公式大全下面是向量的基本运算公式大全：1.向量加法：o a + b = b + a（交换律）o(a + b) + c = a + (b + c)（结合律）2.向量减法：o a - b = a + (-b)3.向量数量乘法：o ka = ak（交换律，其中k是标量）o(kl)a = k(la)（结合律）4.零向量：o a + 0 = ao a + (-a) = 05.向量点乘（内积）：o a·b = b·a（交换律）o(ka)·b = k(a·b) = a·(kb)（分配律）o a·(b + c) = a·b + a·c（分配律）6.向量叉乘（外积）：o a×b = -(b×a)（反对称性）o a×(b + c) = a×b + a×c（分配律）o(ka)×b = k(a×b) = a×(kb)（分配律）7.向量混合积：o a·(b×c) = b·(c×a) = c·(a×b)8.长度（模）：o||a|| = √(a·a)9.单位向量：o一个向量除以其长度得到单位向量： a/||a||10.平行和垂直：o两个向量平行：a与b平行，当且仅当存在标量k，使得a = kb或b = ka。
o两个向量垂直：a与b垂直，当且仅当a·b = 0。
这些是向量的基本运算公式，它们形成了向量运算的基础，可以用于解决向量计算和几何问题。
需要注意的是，这些公式适用于向量的二维、三维或更高维度空间。
具体运用时，根据具体的向量运算要求和问题，选择合适的公式和运算规则。
向量的加法全面版
B C
aaaaaaaaaa
b b
b
b
b bA
b
b
b
作法：[1]在平面内任取一点A ，
[2]作AB= a , BC= b ，
[3]则向量AC叫 a 与 b 的和。
这种作法叫做三角形法则
特例：
a b
A
B
C
ACab
方向相同
注： a + 0 = 0 + a = a
a b
CA
B
ACab
方向相反
Hale Waihona Puke 例1、已知向量 a 、b （如图），求作向量 a + b 。
A
B
练习答案
1、（1）
ab
b
a
（3） a b b
a
b
2、（1）
b
ab
ba
（2） b
ab b
a
（4） a b
b
a
b
（2） b
a
ab
a
向量的减法
定义：向量 a叫做向a的 量相反向量。
(a) a
aba(b)
b(ab)a
a(ab)b
ab
b
a
已知 a、 b,求作 ab。
光不会因你而停留，你却会随着光阴而老去。
有些事情注定会发生，有的结局早已就预见，那么就改变你可以改变的，适应你必须去适应的。面对幸与不幸，换一个角度，改变一种思维，也许心空就不再布满阴霾，头上就 是一片蔚蓝的天。一生能有多少属于我们的时光，很多事情，很多人已经渐渐模糊。而能随着岁月积淀下来，在心中无法忘却的，一定是触动心灵，甚至是刻骨铭心的，无论是 伤痛是欢愉。人生无论是得意还是失意，都不要错过了清早的晨曦，正午的骄阳，夕阳的绚烂，暮色中的朦胧。经历过很多世态炎凉之后，你终于能懂得：谁会在乎你？你又何 必要别人去在乎？生于斯世，赤条条的来，也将身无长物的离开，你在世上得到的，失去的，最终都会化作尘埃。原本就不曾带来什么，所以也谈不到失去什么，因此，对自己 经历的幸与不幸都应怀有一颗平常心有一颗平常心，面对人生小小的不如意或是飞来横祸就能坦然接受，知道人有旦夕祸福，这和命运没什么关系；有一颗平常心，面对台下的 鲜花掌声和头上的光环，身上的浮名都能清醒看待。花不常开，人不常在。再热闹华美的舞台也有谢幕的时候；再奢华的宴席，悠扬的乐曲，总有曲终人散的时刻。春去秋来， 我们无法让季节停留；同样如同季节一样无法挽留的还有我们匆匆的人生。谁会在乎你？生养我们的父母。纵使我们有千般不是，纵使我们变成了穷光蛋，唯有父母会依然在乎！ 为你愁，为你笑，为你牵挂，为你满足。这风云变幻的世界，除了父母，不敢在断言还会有谁会永远的在乎你！看惯太多海誓山盟的感情最后星流云散；看过太多翻云覆雨的友 情灰飞烟灭。你春风得意时前呼后拥的都来锦上添花；你落寞孤寂时，曾见几人焦急赶来为你雪中送炭。其实，谁会在乎你？除了父母，只有你自己。父母待你再好，总要有离 开的时日；再恩爱夫妻，有时也会劳燕分飞，孩子之于你，就如同你和父母；管鲍贫交，俞伯牙和钟子期，这样的肝胆相照，从古至今有几人？不是把世界想的太悲观，世事白 云苍狗，要在纷纷扰扰的生活中，懂得爱惜自己。不羡慕如昙花一现的的流星，虽然灿烂，却是惊鸿一瞥；宁愿做一颗小小的暗淡的星子，即使不能同日月争辉，也有自己无可 取代的位置其实，也不该让每个人都来在乎自己，每个人的人生都是单行道，世上绝没有两片完全相同的树叶。大家生活得都不容易，都有自己方向。相识就是缘分吧，在一起 的时候，要多想着能为身边的人做点什么，而不是想着去得到和索取。与人为善，以直报怨，我们就会内心多一份宁静，生活多一份和谐没有谁会在乎你的时候，要学会每时每 刻的在乎自己。在不知不觉间，已经走到了人生的分水岭，回望过去生活的点滴，路也茫茫，心也茫茫。少不更事的年龄，做出了一件件现在想来啼笑皆非的事情：斜阳芳草里， 故作深沉地独对晚风夕照；风萧萧兮，渴望成为一代侠客；一遍遍地唱着罗大佑的《童年》，期待着做那个高年级的师兄；一天天地幻想，生活能轰轰烈烈。没有刀光剑影，没 有死去活来，青春就在浑浑噩噩、懵懵懂懂中悄然滑过。等到发觉逝去的美好，年华的可贵�
向量的加法
§1.2向量的加法一、加法1．向量和的平行四边行法则:已知向量a ,b，以空间任意一点O作向量OA =a，OB =b 把两个向量OA 为邻边组成一个平行四边形OACB ，即有对角线向量OC =OA +OB ,记c OC =称作a 与b的和，记作c =a +b ，由两向量a 与b ，求它们的和a +b 的运算叫做向量的加法。
（根据力的合成原理得到的）2．三角形法则:作OA =a,AB =b ,则有OB =OA +AB 称为三角形法则.(位移的合成用三角形法则) 如果向量a OA =与向量b OB =在同一直线上，那么，规定它们的和是这样一个向量： 若OA 与OB 的指向相同时，和向量的方向与原来两向量相同，其模等于两向量的模之和。
如图：若OA 与OB 的指向相反时，和向量的模等于两向量的模之差，其方向与模值大的向量方向一致.3．运算规律（1）a +0 =a （2）a +（-a ）=0（3）a +b =b +a （4）（a +b ）+c =a+（b +c ） 结合律的证明：OAB二、减法1．定义1.2.2 若b +c =a ，则称c 为a ，b 的差，记为c =a -b 。
由a ，b求a -b的运算叫做向量的减法。
2．向量减法的作图法自空间任意点引向量OA =a ， OB =b， 则b+BA =a ，由减法定义得 BA =a -b。
3. 移项法则：因为b a c-=，即a c b =+，两边加b -，有)(b a c -+=因此，)(b a b a-+=-移项法则：在向量等式中，将某一向量从等号的一端移到另一端，只需改变它的符号。
三、三角不等式|a +b |≤|a |+|b |， 且等号成立等价于a ,b 中至少有一个为零向量或a ,b同向。
可以推广到任意多个向量的情况：|||||||2121n n a a a a a a ++≤+++四、例题例1： 设a ，b ，c不共线，则它们顺次终点与始点相连成一个三角形的充分必要条件是a +b +c =0。
向量的加法
2.2.1向量的加法
日常生活中遇到的向量加法: 1：如图，某人从点A到点B，再从点B按原方 向到点C，则两次位移的和可用哪个向量表示？ 由此可得什么结论？
AB BC AC A
BC
2：如图，某人从点A到点B，再从点B按反方 向到点C，则两次位移的和可用哪个向量表 示？由此可得什么结论？
AB BC AC
1.将向量平移使得它们首尾顺次相连 2.和向量即是第一个向量的首指向第二个向量的尾
向量和平行四边形作法:
1.将向量平移到同一起点 2.和向量即以它们作为邻边平行四边形的对角线
ab
三角形法则：首尾相接连端点； 平行四边形法则：起点相同连对角.
a
a
b
b
三角形法则
平行四边形法则
二：向量加法的代数运算性质
(2) MA BN AC CB ___M__N___
(3)AB BD CA DC ____0____
例２.根据图示填空
EeD
(1)a b
c
gf
d
(2)c d f
c
(3)a b d f
A
C
b
aB
(4)c d e g
例2.长江两岸之间没有大桥的地方,常 常通过轮渡进行运输.一艘船从长江南 岸A点出发,以5km/h的速度向垂直于对 岸的方向行驶,同时江水的速度为向东 2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及 船实际航行的速度； (2)求船实际航行的速度的大小和方向.
关系如何？
a
C
a
ｂ
a＋b ｂ
ｂ
A aB
a＋b
a＋b
|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a与b同向时取 等号；
|a＋b|≥||a|－|b||，当且仅当a与b反向时取 等号.
向量的加法
向量的加法1. 引言在线性代数中，向量是一种常用的数学工具，用于表示具有方向和大小的物理量。
向量的加法是指将两个向量相加，得到一个新的向量。
向量的加法在数学、物理、计算机图形学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍向量的加法的基本概念和运算规则，并给出一些常见例子。
2. 向量的表示方法向量可以用多种方式进行表示，常见的方法有以下几种：2.1. 笛卡尔坐标表示法笛卡尔坐标表示法是最常见的表示向量的方法。
在笛卡尔坐标系中，一个向量可以表示为一个有序数对或有序数组，例如 (x, y) 或 [x, y]。
其中，x 表示向量在 x 轴上的分量，y 表示向量在 y 轴上的分量。
2.2. 线段表示法线段表示法是将向量表示为连接两个点的有向线段。
线段的起点表示向量的原点，终点表示向量的终点。
线段的长度表示向量的大小，线段的方向表示向量的方向。
2.3. 极坐标表示法极坐标表示法将向量表示为极坐标系中的一个点。
极坐标由极径和极角组成，极径表示向量的大小，极角表示向量与极径的夹角。
3. 向量的加法规则向量的加法遵循以下规则：3.1. 用向量的分量进行加法向量的加法可以通过对应分量之间的加法实现。
对于两个向量 A 和 B，它们的加法结果 C 的分量等于 A 和 B 对应分量之和。
C_x = A_x + B_xC_y = A_y + B_y3.2. 用向量的线段进行加法向量的加法可以通过将两个向量的线段相连实现。
对于两个向量 A 和 B，它们的加法结果 C 的起点为 A 的起点，终点为 B 的终点。
3.3. 用向量的极坐标进行加法向量的加法可以通过将两个向量的极坐标相加实现。
对于两个向量 A 和 B，它们的加法结果 C 的极径等于 A 的极径加上 B 的极径，极角等于 A 的极角加上 B 的极角。
4. 示例4.1. 示例一假设有两个向量 A 和 B，其分量表示如下：A = [3, 4]B = [1, -2]根据向量的加法规则，可以计算出它们的和 C：C = [3 + 1, 4 + (-2)] = [4, 2]所以向量 A 和 B 的和为 C = [4, 2]。
向量的运算法则
向量的运算法则在数学中，向量是具有大小和方向的量，它可以用来表示物体的位移、速度、加速度等。
向量的运算法则是指对向量进行加法、减法、数量乘法和点乘等运算的规则。
本文将介绍向量的运算法则及其应用。
1. 向量的加法。
向量的加法遵循平行四边形法则。
假设有两个向量a和b，它们的起点相同，可以将b的起点移动到a的终点，那么a和b的和就是以a和b为邻边的平行四边形的对角线。
用数学公式表示为，a + b = c，其中c为和向量。
2. 向量的减法。
向量的减法可以看作是加法的逆运算。
假设有两个向量a和b，它们的起点相同，那么a减b就是以b的终点为起点，a的终点为终点的向量。
用数学公式表示为，a b = d，其中d为差向量。
3. 数量乘法。
向量与一个实数相乘，可以改变向量的大小和方向，但不改变它的方向。
如果实数为正，则向量的方向不变；如果实数为负，则向量的方向相反。
用数学公式表示为，k a = e，其中k为实数，a 为向量，e为数量乘积。
4. 点乘。
点乘又称为数量积，它是一种二元运算，将两个向量进行运算得到一个标量。
假设有两个向量a和b，它们的夹角为θ，那么a 点乘b的结果为|a| |b| cosθ。
用数学公式表示为，a · b = |a| |b| cosθ，其中|a|和|b|分别为向量a和b的模，θ为夹角。
5. 叉乘。
叉乘又称为向量积，它是一种二元运算，将两个向量进行运算得到一个新的向量。
假设有两个向量a和b，它们的叉乘结果为一个新的向量c，它的大小为|a| |b| sinθ，方向垂直于a和b所在的平面，并符合右手定则。
用数学公式表示为，a × b = c。
向量的运算法则在物理学、工程学、计算机图形学等领域有着广泛的应用。
例如，在物理学中，力和位移可以用向量表示，并通过向量的加法和数量乘法来计算合力和位移；在工程学中，速度和加速度可以用向量表示，并通过向量的减法和点乘来计算相对速度和相对加速度；在计算机图形学中，光线和表面法向量可以用向量表示，并通过向量的叉乘来计算光照效果和阴影效果。
向量的加法
⑴ 向量的两要素：大小（用模刻画）；方 向（用箭头表示）。 ⑵ 相等向量：长度相等且方向相同的向量。
⑶
平行向量：方向相同或相反的非零向量。
⑷ 共线向量：任一组平行向量都可移到同一 直线上，因此，平行向量也叫做共线向量。
B
A
F E
1 EF≠ (AB+DC) 2 1 EF = (AB+DC) 2
问题5：上述求和向量的过程，都是对 a进行平移，看看是否也能对b平移？ 共起点 共终点 a a
b
首尾相接 a b
b
既不共起点 又不共终点 a
b
问题６：通过上述习题，你发现了什 么运算律了吗？
向量加法的交换律：
a+b=b+a
请同学们思考如何使交换律的证明更 加完善？
问题７：通过以上求两个向量和的过程能不 能发现其它的求和法则？
B
A
F
E
G
D
C
B A
G
F E
D
C
引申：任意的四边形中上述等式仍然成立.
课时小结：
（1） 向量加法的三角形法则和平行四边形法则；
c a b A
D C
B
（2）向量加法的两个运算律；
(3)本节课包括的数学思想方法.
布置作业:
教材P107习题5.3 1，2，3，4
引申：A1A2+A2A3+A3A4+┅+A(n-)An+AnA1= 0
3. 已知命题P：非零向量 a ,b ,c 满 足 a + b + c = 0 ，命题q:表示 a ,b ,c 的有向线段可构成三角形，则p是q 的（D） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
向量加法课件
向量加法的定义
要点一
总结词
向量加法是将两个向量首尾相接，形成一个新的向量。
要点二
详细描述
向量加法是一种基本的向量运算，其操作方式是将两个向 量首尾相接，形成一个新的向量。设 $overset{longrightarrow}{A}$和 $overset{longrightarrow}{B}$为两个向量，则它们的和 向量$overset{longrightarrow}{C}$可以通过将 $overset{longrightarrow}{B}$的终点与 $overset{longrightarrow}{A}$的起点相连得到。
$overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}$。
进阶练习题
题目5
已知向量$overset{longrightarrow}{a} = (1,0)$， $overset{longrightarrow}{b} = (0,2)$，求 $overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}$的模长。
向量加法的平行四边形法则
总结词
平行四边形法则是向量加法的另一种几 何解释，它通过构造一个平行四边形来 完成向量加法。
VS
详细描述
平行四边形法则要求构造一个平行四边形 ，其中第一个向量的起点是平行四边形的 第一个顶点，第二个向量的起点是平行四 边形的第二个顶点。向量和则是从第一个 向量的起点到平行四边形的对角顶点的有 向线段。
$overset{longrightarrow}{b} = (4,1)$，求
$overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}$。
向量公式大全
向量公式之蔡仲巾千创作设a=（x，y），b=(x'，y')。
1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').4、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将暗示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣＞1时，暗示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，暗示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
3、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。
作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。
若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。
《向量的加法》
C A
B
一、向量加法的定义：
已知向量 a，b. 在平面内任取一点A， 作AB a，BC b， 则向量AC叫作 a
与b的和，记作： ab.
C A
B
一、向量加法的定义：
已知向量 a，b. 在平面内任取一点A， 作AB a，BC b， 则向量AC叫作 a
与b的和，记作： ab. 即 a b AB BC AC，
例1
已知向量a, b，求作向量a b .
例1
已知向量a, b，求作向量a b .
O
例1
已知向量a, b，求作向量a b .
O A
例1
已知向量a, b，求作向量a b .
O A
B
例1
已知向量a, b，求作向量a b .
O A
B
如果三个向量相加，四个向量相 加，…n 个向量相加，和向量又如何？
D C D
A
B
A
C B
思考: 向量的加法满足交换律和结合律吗?
D C D
A
B
A
C B
思考: 向量的加法满足交换律和结合律吗?
D C D
A
B
A
C B
思考: 向量的加法满足交换律和结合律吗?
D C D
A
B
A
C B
思考: 向量的加法满足交换律和结合律吗?
D C D
A
B
A
C B
思考: 向量的加法满足交换律和结合律吗?
A
B
如果三个向量相加，四个向量相 加，…n 个向量相加，和向量又如何？ F J 将n个向量首尾 E K 相接，以第一个向量 的起点为起点，最后 D 一个向量的终点为终 点的向量，即为这n C 个向量的和向量。
向量的加法法则
向量的加法法则
向量的加法法则是指两个向量在空间中进行相加的规则。
例如，将两个相同方向的向量相加可以得到一个更长的向量，相反方向的向量相加则会得到一个更短的向量。
向量的加法有以下几种情况：
①平行向量的加法
如果两个向量方向相同，那它们就是平行向量，它们可以直接相加。
其结果等于两个向量相加的模长值的向量。
例如，向量a和向量b都指向右方（平行），向量a的模长为3，向量b的模长为4，那么它们的和向量c的模长为7，并指向右方。
②反平行向量的加法
如果两个向量方向相反，那它们就是反平行向量，它们在相加前需要先取反其一。
其结果等于两个向量模长的差值向量。
例如，向量a和向量b方向相反，向量a的模长为3，向量b的模长为4，那么反平行向量a+b的模长为1（|3-4|=1），并指向a的反方向。
③垂直向量的加法
如果两个向量互相垂直，那它们的和向量等于它们之间组成的直角三角形的斜边长。
可以用勾股定理求出。
即：向量c²=向量a²+向量b²。
例如，向量a垂直于向量b，且向量a的模长为3，向量b的模长为4，那么它们的和向量c的模长等于根号(3²+4²)=5，同时c的方向和第一象限的y轴正方向夹角45°。
总之，向量的加法法则虽然简单，但也需要在实际问题中加以注意，需要根据向量所处的情况而进行不同的运算处理，才能得到正确的结果。
向量的加法运算
向量的加法运算向量的加法运算是数学中最基本的操作之一，在各种数学问题中常常用到。
它的定义是将两个向量加在一起，得到的新向量就是两个向量的和。
它具有多种性质，也可以用各种方法进行实现。
在本文中，将介绍向量的加法运算的定义、性质和实现方法，以及它的应用。
首先，介绍一下向量的加法运算的定义。
它是将两个或多个向量加起来，得到一个新的向量，就是原来两个向量的和。
如果是两个向量，则新向量的每个元素均为两个向量对应元素的和，即新向量的第i个元素等于两个老向量第i个元素的和，其中i=1,2,3,…n。
向量的加法运算具有多种性质。
其中最基本的性质是交换律，即两两向量的加法运算同次序无关，A+B=B+A；另一个性质是结合律，即多个向量相加得到一个新向量，次序不变， A+(B+C)=(A+B)+C；还有一个性质是零向量，即原向量加上零向量等于原向量，A+0=A。
在实际操作中，多种方法可以实现向量的加法运算。
最常用的方法是将两个向量的每个元素求和，得到新的向量；也可以用矩阵运算，将两个向量转化为两个相同行数的矩阵，再求矩阵的加法，得到的矩阵即为新的向量；也可以用几何图形的方法，即将两个向量对应的点进行连线，连线的另一端的点即为新的向量。
向量的加法运算是一种基本的操作，在数学中有着广泛的应用。
例如，它可用于解决多元一次方程组，求解向量空间中的距离和夹角；另外，它可用于物理学中的力学分析，将多个力的作用相加，从而得到结果；它还可以应用在流体力学中，求解流体速度场中流体分量之和。
总之，向量的加法运算是数学和物理学中最基本的操作之一，在多个学科中有着重要的应用。
它的定义、性质、实现方法以及应用都是数学领域中必须了解的内容。
本文介绍了向量的加法运算的定义、性质以及实现方法，并且介绍了它在数学和物理学中的应用，希望能给读者带来帮助。
向量的加法
B
a b
a
b
C
a+b
A
首 尾 顺 次 相 连
根据向量加法的定义得出的求向量和的方法,称为
向量加法的三角形法则。
注意： 1 两个向量的和仍是一个向量。
２．三角形法则：两向量首尾相连，和向 量由第一个向量的起点指向第二个向量的 终点. ３．当向量 a 与 b 不共线时，则 向量 a ＋ b , a , b 不同向，且/a+b/</a/+/b/
用向 形 注 。量 法 意 共则： 线对平 时于行 不两四 适个边
2. 平行四边形法则：
思考：两种方法作出的和向量是否一致？
ab
b
b ab a
a
注1：两种法则具有一致性. 注2：平行四边形法则对于两 个向量共线的情况不适用.
例1:如图，已知 a , b , c ，请作出 a + b , b + a , b + c
D
AB BC CD DE AE
C
C
c
A
b
a
B
AB BC CA 0
A
B
例 2 ．一艘船从 A 点出发以2 3 km/h 的速度向垂直于对 岸的方向行驶，同时江水的流速为向东2km/h
(1) 试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度 （ 2 ）求船实际航行的速度的大小与方向 . （用与江水速 度间的夹角表示，精确到度）
（1）
ab a b
b
（2）
b
ab
a
b
（3）
ab
（ 4）
C
a b
B
a
b
b
ab
O
b a
向量运算与相加减
向量运算与相加减向量运算是线性代数中的基本操作之一，它包括向量的加法和减法。
在实际应用中，向量运算广泛用于解决各种问题，比如力学、电磁学、计算机图形学等领域。
本文将对向量运算的原理、方法和应用进行详细介绍。
一、向量的表示和性质在数学中，向量可以用坐标表示，比如二维平面中的向量可以表示为(x, y)，三维空间中的向量可以表示为(x, y, z)。
向量的性质包括长度、方向和起点等，其中长度表示向量的大小，方向表示向量的指向，起点表示向量的起点位置。
二、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
它的原理是将两个向量的相应分量进行相加。
例如，对于二维向量A(x1, y1)和B(x2, y2)，其相加结果为C(x1+x2, y1+y2)。
同理，对于三维向量和更高维度的向量，也可以按照相应分量进行相加。
向量的加法具有以下性质：1. 交换律：A + B = B + A2. 结合律：(A + B) + C = A + (B + C)3. 零向量：对于任意向量A，有 A + 0 = A三、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
它的原理是将两个向量的相应分量进行相减。
例如，对于二维向量A(x1,y1)和B(x2, y2)，其相减结果为C(x1-x2, y1-y2)。
同理，对于三维向量和更高维度的向量，也可以按照相应分量进行相减。
向量的减法具有以下性质：1. 减法的定义：A - B = A + (-B)，其中-A表示向量B的方向相反、大小相同的向量。
2. A - A = 0，即一个向量减去自身等于零向量。
四、向量相加减的应用1. 平面几何：向量相加减可以用于计算平面上的点的移动和变换，如平移、旋转等操作。
2. 物理学：力可以用向量表示，向量相加减可以用于求解多个力的合力、分解力的分力等问题。
3. 计算机图形学：向量相加减可以用于计算机图形学中的坐标变换、曲线的绘制等操作。
4. 电磁学：电场和磁场可以用向量表示，向量相加减可以用于计算电场和磁场的叠加效应。
向量加法运算
线性代数中的向量
运算
在线性代数中，向量加法是基本 的线性运算之一，可以用来解决 线性方程组、矩阵运算等问题。
解析几何中的向量
运算
在解析几何中，向量加法可以用 来表示点的位置、直线的方向等 几何量，以及进行相关的几何运 算。
在计算机图形学中的应用
图形变换
在计算机图形学中，向量加法可 以用来实现图形的平移、旋转、
结合律
$(overset{longrightarrow}{AB} + overset{longrightarrow}{CD}) + overset{longrightarrow}{EF} = overset{longrightarrow}{AB} + (overset{longrightarrow}{CD} + overset{longrightarrow}{EF})$
详细描述
几何法中，向量被表示为有方向的线段。向量加法通过将一个向量的起点与另一个向量的终点相连， 形成一个新的向量，该向量的长度和方向即为两个向量相加的结果。这种方法直观易懂，适用于初学 者理解向量加法的几何意义。
代数法
总结词
代数法是一种基于向量的模和夹角进行 加法运算的方法。
VS
详细描述
在代数法中，向量被表示为模长和夹角的 形式。向量加法通过将两个向量的模长相 加，再根据两个向量的夹角来计算合力的 方向和模长。这种方法适用于解决向量问 题时，特别是涉及向量的合成与分解等问 题。
详细描述
三角形法则是一种更直观的向量加法方法。通过将一个向量 分解为两个部分，一部分是另一个向量的相反向量，另一部 分是与原向量共线的向量，然后将这两个部分相加，即可得 到原向量的和。
标量与向量的加法
向量的加法与减法
1.向量的加法：
2 5 3
0
1
2
3
4
5
6
7
A
a+b=? a b
A
C
a+b a
=
AC
b
B
a+b=
AB + BC
例1：已知向量a、 b,求作向量a+b。 b a
O A
三 角 形 法 则
B
作法：在平面内任取一点O，作OA=AB=b, 则
OB=a+b.
a+b=b+a
D
a
C
a+b
A
b
B
b+a
a
（a+b)+c=a+(b+c)
0 1 2 3 4 5 6
5-3=?
7 8
例3.已知：向量a、b如图所示，则ab=? O a A a b b a-b B
BA= a-b
注意方向呦！
例4.已知：如图，a//b,怎样做出
a-b?
a -b b
O
A
b -b b
B OB=
a
O
OA=
a-b
a-b
例5.已知：向量a,b,c,d,求作向量ab,c-d。
b d c
B A
BA =a-b
DC =c-d
a
a
b
O
d c
D C
例：如图：平行四边形ABCD中， AB=a,AD=b,用a,b表示向量 AC,DB。
解：由作向量和的平 行四边形法则，得 AC=a+b; 由作向量差的方法， 知DB=AB-AD=a-b.
A
D b a
向量加减法公式
向量加减法公式
向量加法和减法是在向量空间中进行的基本操作。
它们可以帮助我们计算多个向量之间的总和或差异。
向量加法的公式如下：
对于两个n维向量A和B，它们的和向量C可以表示为：
C = A + B = (A1 + B1, A2 + B2, ..., An + Bn)
例如，如果有两个二维向量A = (2, 3)和B = (1, -4)，它们的和向量C可以计算为：
C = (2 + 1, 3 + (-4)) = (3, -1)
向量减法的公式如下：
对于两个n维向量A和B，它们的差向量D可以表示为：
D = A - B = (A1 - B1, A2 - B2, ..., An - Bn)
例如，如果有两个二维向量A = (2, 3)和B = (1, -4)，它们的差向量D可以计算为：
D = (2 - 1, 3 - (-4)) = (1, 7)
向量加法和减法具有一些重要的性质：
1. 交换律：A + B = B + A，A - B ≠ B - A
2. 结合律：(A + B) + C = A + (B + C)，(A - B) - C ≠ A - (B -
C)
3. 零向量：对于任意向量A，都有A + 0 = A，A - 0 = A，其中0是全为零的向量。
在实际应用中，向量加法和减法可以用于计算两个向量的合力、位置变化等。
同时，它们也可以用于解决几何和物理问题，如平面几何中的位移、速度、加速度等概念。
向量的定义与加减运算
向量的定义与加减运算向量是线性代数中的重要概念，它可以用于描述物理力、方向和位移等概念。
本文将详细介绍向量的定义以及向量的加减运算。
一、向量的定义向量是由大小和方向组成的量，通常用箭头表示。
在数学上，向量可以表示为一个有序数列，在二维平面中通常以两个数表示，即(x, y)，在三维空间中则以三个数表示，即(x, y, z)。
二、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
假设有向量A和向量B，它们的加法运算可以表示为A + B。
具体计算方法如下：1. 如果A和B在同一方向上，则将它们的大小相加，并保持相同的方向。
例子：A = (3, 4)B = (2, 1)A +B = (3 + 2, 4 + 1) = (5, 5)2. 如果A和B在相反的方向上，则将它们的大小相减，并保持第一个向量的方向。
例子：A = (3, 4)B = (-2, -1)A +B = (3 - 2, 4 - 1) = (1, 3)3. 如果A和B不在同一方向上，则不能简单地将它们的大小相加，而是需要使用平行四边形法则来计算。
例子：A = (1, 2)B = (3, 4)A +B = (1 + 3, 2 + 4) = (4, 6)三、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
假设有向量A和向量B，它们的减法运算可以表示为A - B。
具体计算方法如下：1. 将B取负值，即将B中的每个分量变为相反数，然后进行向量的加法运算。
例子：A = (3, 4)B = (2, 1)A -B = A + (-B) = (3, 4) + (-2, -1) = (3 - 2, 4 - 1) = (1, 3)四、向量的运算性质向量的加减运算满足以下性质：1. 交换律：A + B = B + A，A - B ≠ B - A2. 结合律：(A + B) + C = A + (B + C)，(A - B) - C ≠ A - (B - C)3. 零向量：对于任何向量A，有A + 0 = A，A - 0 = A，其中0是大小为0的向量。
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C
P
思考：
在ABC中， 命题P： OB OC 0 OA 命题Q：O为ABC重心（三条中线的交点） 问：P是Q的什么条件？
O A
B
C
(1) 交换律 : a b b a (2) 结合律 : (a b) c a (b c) 性质3、A0 A1 A1 A2 An2 An1 An1 An A0 An
情境2：兄弟俩同拉一箱子
（1）两人齐心协力，方向相同
（2）两人意见分歧，方向不同
a
b
a
| a b || a | | b |
b b
| a b || a | | b |
（3）两人背道而驰，方向相反
a
| a b ||| a | | b ||
A
a a a a a a a
b O b b b
b
B
b
a+b
b
b
b
作法 1.在平面内任取一点O
3.则向量OB a b
这种作法叫做三角形法则
2.作OA a,AB b
特点？
1、三角形法则
首尾相连，则首尾连
C
a+b b
A
B
a
2.向量的加法的平行四边形法则
F 证明：由向量的加法法则可知： D AE AB BE , FC FD DC , A 四边形ABCD为平行四边形 AB DC 又 BE FD，且 BE、 同向 FD 则BE FD AE FC
柳 州 高 级 中 学 刘 继 淑
情境1 过去春节期间由于大陆和台北没有直 航，乘飞机要先从上海到香港，再从香港到 台北，这两次位移合成的结果是什么？ A上海
上海
C
B香港
香港
台 北
情境2：兄弟俩同拉一箱子，两人用力分
别为F1,F2，求这两个力的合力。
F1
F
F2
探究一：如何定义两个向量的和？
1、向量的加法的三角形法则
D
a a a a a a b
C
a
a+b
作法:(1)在平面取一点A (2)以点A为起点以向量a、b为邻边作平行 四边形ABCD. （3）则对角线AC＝a+b
b
b
b
b
A
B
b
这种作法叫做平行四边形法则
特点？
练习1.如图,已知 a b 用向量加法的三角形 法则作出 a b
（1）
B
ab
b a
（2）Leabharlann Cab四边形AECF 也为平行四边形
C
O
B
E
探究五：向量加法的初步应用 2. 三角形中线问题： 在ABC中，AD是BC边上的中线，则AB AC 2AD
A
D B
C
例2：如图所示的 ABCD ，对角线AC与BD交于 O点，P为平面内任意一点。 求证： PB PC PD 4PO PA
性质4、
|| a | | b ||| a b || a | | b |
当a、 b同向时右边取“=”; 当a、 b反向时左边取“=”
探究四：向量加法的性质 性质2、向量加法的运算律
性质1、规定： a 0 0 a a
ABbgbvb CD BC
(2) MA BN AC CB
(3) AB BD CA DC
MA AC CB BN MN
性质3.
A0 A1 A1 A2 An1 An An A0 0
若点A0与An重合
探究四：向量加法的性质
性质1、规定： a 0 0 a a
性质2、向量加法的运算律
A0与An重合时 A0 A1 A1 A2 An1 An An A0 0
a b b a a+ b
c
b a b+ a a
ab
abc
c bc
a b ba
b
(a b) c a (b c)
练习3：化简：
(1) AB CD BC
AB BC CD AD
A0与An重合时 A0 A1 A1 A2 An1 An An A0 0
(1) 交换律 : a b b a (2) 结合律 : (a b) c a (b c) 性质3、A0 A1 A1 A2 An2 An1 An1 An A0 An
a+b
b b
D
a+b
a b
C
A
B
a
A
B
a
特点：（通过平移） 首尾相接
特点：（通过平移） 起点相同
不同法则，效果相同
探究三： 1.平行向量的加法
若
a // b ，此时可以使用平行四边形法则吗？
a b a b B C C
A
A
B
AC a b
方向相同
AC a b
方向相反
探究三：2.求2个以上向量的和向量
AB BD DC CA 0
A0 A1 A1 A2 An2 An1 An1 An A0 An
C
则 AC 是船的实际航行速度.
A
B
探究五：向量加法的初步应用 2. 证明平行问题 例1：已知四边形ABCD的对角线AC与BD 相交于点O，且AO=OC,DO=OB. 求证：四边形ABCD是平行四边形
D
O A C
B
总结：论证此题的依据是证明四边形一组对边 所在向量相等。
变式：如图， ABCD的对角线延长线上有两点 E、F，BE=DF,用向量法证明：四边形AECF 也是平行四边形
b
A a c O C B
向量加法的三角形法则
向量加法的多边形法则
探究四：向量加法的性质
性质1、规定： a 0 0 a a
性质2、向量加法的运算律
(1) 交换律 : a b b a (2) 结合律 : (a b) c a (b c)
当a、 b同向时右边取“=”，当a、 b反向时左边取“=”
性质4、|| a | | b ||| a b || a | | b |
探究五：向量加法的初步应用 1. 解决实际问题：
一艘船以 2 3km/h 的速度和垂直于对岸的方向行 驶，同时，河水的流速为 2km/h ，求船实际航行 速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）． 分析：如图 设 AD 表示船速，AB表示水的流速， 以AB，AD为邻边作 ABCD，D
B
b
O
A
O
a
A
OB＝a+b即为所求
CA＝a+b即为所求
练习2.如图,已知 a b 用向量加法的平行四 边形法则作出 a b
（1）
b b b b
A
ab a
b
a
a
aO a
OA＝a+b即为所求 O
b a b b b
（2）
b
a
a
a
ab
a
A
OA＝a+b即为所求
探究二：三角形法则跟平行四边形法则 的区别是什么？ C