线性代数二次形及其标准型

5 4 2 A4 5 2
2 2 2
A的特征多项式 5 4
2
I A 4 5 2 ( 1)2( 10)
2 2 2
A的特征值为 1 1(二重)， 2 10
f xT Ax (Qy)T A(Qy) yT (QT AQ) y yT y
1
y2 1
2
y2 2
n
y2 n
线性代数 第五章
111
例4
通 过 正 交 变 换化 二 次 型
f 5 x12 5 x22 2 x32 8 x1 x2 4 x1 x3 4 x2 x3
成 标 准 形.
解 二次型矩阵
nn
f ( x) aij xi x j
x cy
i1 j1
x cy
f xT Ax
f
(
y)
d1
y2 1
d2
y2 2
dn
y2 n
.
f yT By
因为有 f xT Ax (Cy)T A(Cy) yT (C T AC ) y yT By
所以经满秩线性变换后，新旧二次型的矩阵的关系：B CT AC.
写 成 矩 阵 形 式.
解
f
(
x1 ,
x2
,
x3
)
x1 ,
x2
,
x3
0½
½
2
½ x1
32 x2
½ 32
0
x3
注
aij
a ji (i
j
)为
交
叉
项xi
x
的
j
系
数
的
一
半
，
aii为 平 方 项xi2的 系 数,
线性代数 第五章
5
二.二次型的标准形. 1、变量的线性变换 定义5.2
关系式
x1
5 5
x1
x2
2 x1 x2
x2 2
0
2x2 x1 x3
x3
x2 3
5 2
x2
x1
x22
1
x2 x3
4
x1
,
x2
,
x3
5 2
0
0
x3 x1
1
x3 x2
x
2 3
5 2 1
0
1
x1 x2
1
1
x3
线性代数 第五章
4
例2
将f ( x1 , x2 , x3 ) x1 x2 x1 x3 2 x22 3 x2 x3
a12 x2 a22 x2
a1n xn a2n xn
an1 x1 an2 x2 ann xn
(
x1
,,
xn
)
a11 a21
a n1
a12 a22
an2
a1n a2n
a nn
x1 x2
xn
线性代数 第五章
2
令
a11
A
a21
an1
a12 a22
对任意实二次型f ( x1 , x2 ,, xn ) xT Ax,其中AT A,一定存在正交 变换 x Qy (Q为正交矩阵)，使f ( x1 , x2 ,, xn )为标准型.
证明：对于实对称矩阵A，存在正交矩阵Q，使
1
Q 1
AQ
QT
AQ
n
(i为A的 特 征 值)
令正交变换x=Qy ，在此变换下
线性代数 第五章
1
2、 二次型的矩阵表示法
f a11 x1 x1 a12 x1 x2 a1n x1 xn a21 x2 x1 a22 x2 x2 a2n x2 xn
an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn xn
( x1, x2 ,, xn )
a11 x1 a 21 x1
c11
y1 c12 y2
c1n
yn
xn cn1 y1 cn2 y2 cnn yn
称为由变量x1 ,, xn到y1 ,, yn的一个线性变换.
令
c11
C
c21
c12
c22
c1n c2n
cn1 cn2 cnn
x1
x
x2
xn
y1
y
y2
yn
合同是等价关系，具有反身性、对称性、传递性。
因此二次型经过满秩线性变换后，
f xT Ax (Cy)T A(Cy) yT (C T AC ) y yT By
所得到的二次型矩阵B与原二次型矩阵A是合同的.
线性代数 第五章
110
§5.3、化二次型为标准形
一、用正交变换化二次型为标准形 定理5.2
定理5.1 满秩线性变换x Cy将二次型 f ( x1 , x2 ,, xn ) xT Ax变换 成与其有相同秩的二次型 f yT By,它的矩阵B CT AC .
线性代数 第五章
9
3、矩阵的合同
定义5.4 设A, B为n阶 矩 阵 ， 如 果 存 在n阶 可 逆 矩 阵C , 使得 C T AC B 成 立 ， 则 称A与B合 同 ， 记 为A ~ B.
an2
a1n a2n ann
x1
x
x2
xn
其中
A是一个n阶对称矩阵
a11
f
(
x1
,,
xn
)
a21
a12
a22
a1n x1 a2n x2
an1 an2 ann xn
A称为二次型的矩阵，A的秩称为二次型的秩.
f ( x1 , x2 ,, xn ) xT Ax , ( AT A)
则线性变换的矩阵形式为
x = Cy
线性代数 第五章
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说明 （1）如果系数矩阵C可逆，即|C|0，则称线性变换x = Cy
为满秩（或可逆）的线性变换，此时 y C 1 x
（2）如果系数矩阵C为正交矩阵.则称线性变换x= Cy为 正交变换.
定义5.3
若二次型f ( x1 , x2 ,, xn ) xT Ax经过满秩线性变换 x Cy 化为只含平方项的二次 型
称为二次型的矩阵表达形式 说明：（1）二次型的矩阵都是对称矩阵； 线性代数 （第2）五二章次型和它的矩阵是相互唯一决定的（一一对3 应）；
例1：
f
x1 , x2 , x3
4
x2 1
5 x1 x2x2 22 Nhomakorabea2 x3
x2 3
写出它的矩阵表达式。
解：
f
x1 , x2 , x3
4
x2 1
4 x12
g(
y1 ,
y2
,,
yn
)
d1
y2 1
d2
y2 2
dn
y2 n
此形称为f的标准形.
线性代数 第五章
7
注：
g(
y1
,
yn
)
(
y1
,,
yn
)
d1
y1
dn yn
g( y) yT Dy
d1
D
d2
dn
标准形矩阵为对角矩阵（后面举例说明）
线性代数 第五章
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二次型研究的主要问题是：
寻找满秩线性变换 x cy，化二次型为标准形
§5.2 二次型及其标准形 一、二次型的矩阵表示
1、二次型
定义1 . n个变量x1, x2 ,, xn 的二次齐次函数
f
( x1 ,
x2 , xn )
nn
a
i1 j1
ij
xi
xj
(其中aij a ji , i, j 1,2,, n)
称为x1 , x2 , xn的n元二次齐次多项式，简 称为x1 , x2 , xn 的一个n元二次型.