分离变量法——数学物理定解问题

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数理方程第二章分离变量法

解的唯一性
分离变量法得到的解可能不唯一，有时需要额外的条件或参数才能确定唯一解。
数值稳定性
分离变量法在数值实现时可能存在数值稳定性问题，如数值误差的累积和扩散等，需要采取适当的措施进行控制和校正。
06
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分离变量法的改进与拓展
改进方向一：提高求解精度
数值稳定性
通过改进数值算法，提高求解过程中数值的稳定性，减少误差的传播和累积。
原理推导
01
首先，将偏微分方程中的多个变量分离出来，使方程变为一个关于各个变量的常微分方程。
02
然后，对每个常微分方程分别求解，得到各个变量的解。
最后，将各个变量的解代回原偏微分方程，得到整个问题的解
03 。
原理应用
在物理学中，分离变量法广泛应用于求解具有多个独立变量的偏微分方程，如波动方程、热传导方程等。
高阶近似方法
研究高阶近似方法，以更精确地逼近真实解，提高求解精度。
自适应步长控制
引入自适应步长控制策略，根据解的精度要求动态调整步长，提高求解精度。
改进方向二：拓展应用范围
复杂边界条件
研究如何处理更复杂的边界条件，使得分离变量法能够应用于更广泛的数理方程问题。
多维问题
将分离变量法拓展到多维问题，以解决更复杂的数学模型。
04
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分离变量法的实例
实例一：一维波动方程的分离变量法
总结词
通过将一维波动方程转化为常微分方程，分离变量法能够简化求解过程。
详细描述
一维波动方程是描述一维波动现象的基本方程，通过分离变量法，我们可以将该方程转化为多个常微分方程，从而逐个求解，得到波动问题的解。
数学表达式

分离变量法在求解波动方程中的应用

分离变量法在求解波动方程中的应用作者：王平心来源：《科技视界》2021年第34期【全文】拆分变量法又称傅里叶级数法，它就是解数学物理方程定解问题的最为常用和最基本的方法之一。

该方法的基本思想就是将略偏微分方程的定求解问题转变为常微分方程的定求解问题。

将方程中所含各个变量的项拆分开去，从而将原方程拆毁分为多个更直观的只不含一个自变量的常微分方程。

它能解相当多的定求解问题，特别就是对一些常用区域上混合问题和边值问题，都可以用拆分变量法打声解。

本文将探讨拆分变量法在解波动方程中的应用领域。

【关键词】拆分变量法;波动方程;解0开场白自然界很多物理现象都可以归结为波动问题，在机械工程中经常遇到的振动问题，可归结为机械波;在船舶工业中使用的声纳，可归结为声波问题;在广播领域和光学领域，可归纳出电磁波。

他们都具有相同的数学物理基础，并且可以用一个式子表示：我们表示它为波动方程，因为它叙述了自然界的波动这种运动形式，其中△为拉普拉斯算子。

△中，变量的个数则表示波动船舶空间的维数，现实生活中的波动，通常都就是三维的。

但是为了研究便利，我们先探讨一维的波动。

分量变量法是求解数学物理方程的一种重要方法，这种方法的基本思想是把求解偏微分方程的混合问题，经过变量分离，转化为求解两个或多个只含一个变量的常微分方程的初值问题，使原问题得到简化，这是一种很常用的方法。

它通常用来求解有限区域（区间）上的边值问题或初边值问题。

利用高数知识、级数求解知识，以及其他巧妙的方法，求出各个方程的通解。

最后将这些通解“组装起来”。

分离变量法又称fourier方法，而在波动方程情形也称为驻波法。

1变量分离法的基本步骤第一步：边界条件齐次化。

如果关于未知函数u的混合问题中的边界条件不是齐次的，那么选取一个与u具有相同边界条件的已知函数，作变换u=v+w，代入关于u的混合问题，导出新的未知函数v的混合问题，这时v所满足的边界条件就是齐次的了。

当方程中的非齐次项与初始条件都与t无关时，可以选择合适的变换让方程与边界条件同时齐次化。

北京大学数学物理方程讲义第十四章：分离变量法

分离变量法的基本步骤
1. 分离变量必要条件: 偏微分方程和边界条件都是齐次的. 结果: 得到每一个一元函数满足的常微分方程. 其中包括齐次常微分方程+齐次边界条件的本征值问题.
2. 求解本征值问题. 即求非零解.
3. 求特解, 并叠加出一般解. 还是因为偏微分方程和边界条件都是齐次的. 另外, 本征函数的全体是完备的: 任何满足同样边界条件的, 足够“好” (一般要求连续, 分段光滑) 的函数都可以展开为
∞
nπ
nπ
nπ
u(x, t) =
Cn sin
l
at + Dn cos
at l
sin
l
x
n=1
这种形式的解称为一般解.
利用本征函数的正交性定叠加系数一般解满足方程和边界条件. 适当选择叠加系数 Cn 和 Dn, 使之满足初始条件
∞
nπ
u(x, 0) = Dn sin l x = φ(x)
(8)
n=1
n=1
∞
nπ
Ψ(x) = βn sin l x,
n=1
其中
1 αn = l
1 βn = l
l
nπ
2
Φ(x) sin xdx =
−l
l
l
l
nπ
2
Ψ(x) sin xdx =
−l
l
l
l
nπ
φ(x) sin xdx,
0
l
l
nπ
ψ(x) sin xdx.
0
l
与分离变量法的解比较,
αn = Dn,
nπa βn = l Cn.
第一项表示由初位移激发的行波, t = 0 时波形为 φ(x), 以后分成相等的两部分, 独立地向左右传播, 速率为 a;

分离变量法的适用条件

教改教法摘要分离变量法是求解数学物理方程有界区域定解问题的一种基本算法，本文首先给出分离变量法的数学思想和主要步骤，然后重点讨论分离变量法的适用条件，最后说明分离变量法的一种应用推广。

关键词数学物理方程分离变量法线性齐次边界条件Applicable Conditions of Separation of Variables//Yu ZhaoxianAbstract Separation of variables is a basic algorithm in solving equations of mathematical physics on limited region.This paper first simply introduces basic ideas and main steps of separation of variables,then focuses our discussion on the applicable condi-tions of separation of variables,and finally illustrates an extended application of separation of variables.Key words mathematical physics equation;separation of vari-ables;linear homogeneous boundary conditions1引言数学物理方程主要是指从物理科学研究和工程技术应用中所产生的偏微分方程，它是大学理工科专业的一门非常重要的数理基础课，不管是将来从事基础理论研究，还是进行技术开发都离不开它，与此同时它又公认是大学理工专业一门难教难学的课程，需要大家在教学中花费更多的时间和精力研究教学方法，对各种疑难问题必须清楚地向学生讲解，这样学生才能熟练掌握这门难度大要求高的必修课。

数学物理方程学习指导书第4章分离变量法

第4章分离变量法物理学、力学和工程技术等方面的许多问题都可归结为偏微分方程的定解问题，上一章我们已初步看到怎样把具体的物理问题表达为定解问题.下面一个重要任务是怎样去解决这些定解问题，也就是说在已经列出的方程与定解条件之后，怎样去求既满足方程又满足定解条件的解.从微积分学得知，在计算诸如多元函数的微分及重积分时总是把它们转化为单元函数的相应问题来解决.与此类似，求解偏微分方程的定解问题也是要设法把它们转化为常微分方程问题，分离变量法就是常用的一种转化手法.本章我们将通过实例来说明分离变量法的步骤和实质.在4.2我们讨论了如何处理第三类齐次边界条件（当然也包括第二类边界条件）.在4.3说明如何在极坐标系下使用分离变量法.在4.4及4.5我们讨论了如何处理非齐次方程及非齐次边界条件的问题，本章的最后还安排了两个较为综合性的例子作为总结.4.1 有界弦的自由振动为了使读者了解什么是分离变量法以及使用分离变量法应该具备什么条件，我们选取两端固定的弦的自由振动问题为例，通过具体地求解逐步回答这些问题.根据第3章所得的结论，讨论两端固定的弦的自由振动，就归结为求解下列定解问题22222000,0,0; (4.1)0,0;(4.2)(),().(4.3)x x l t t uu a x l t t x u u u u x x t ϕψ====⎧∂∂⎪=<<>∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪==⎪∂⎩这个定解问题的特点是：偏微分方程是线性齐次的，边界条件也是齐次的，求解这样的问题，可以运用叠加原理.我们知道.在求解常系数线性齐次常微分方程的初值问题时，是先求出足够多个特解（它们能构成通解），再利用叠加原理作这些特解的线性组合，使满足初始条件.这就启发我们，要解问题(4.1),(4.2),(4.3)，先寻求齐次方程（4.1)的满足齐次边界条件(4.2)的足够多个具有简单形式（变量被分离的形式）的特解，再利用它们作线性组合使满足初始条件(4.3).现在我们试求方程(4.1)的变量分离形式(,)()()u x t X x T t =的非零解，并要求它满足齐次边界条件(4.2),式中(),()X x T t 分别表示仅与x 有关及仅与t 有关的待定函数. 由(,)()()u x t X x T t =得2222''()(),()''(),u uX x T t X x T t x t∂∂==∂∂代入方程(4.1)得2()()()()X x T t a X x T t ''''=或2()()()()X x T t X x a T t ''''=这个式子左端仅是x 的函数，右端仅是t 的函数，一般情况下二者不可能相等，只有当它们均为常数时才能相等.令此常数为λ，则有2()()()()X x T t X x a T t λ''''==. 这样我们得到两个常微分方程：2()()0,T t a T t λ''-= （4.4）()()0.X x X x λ''-= （4.5）再利用边界条件(4.2)，由于(,)()()u x t X x T t =)，故有(0)()0,()()0.X T t X l T t ==但()0T t ≠,因为如果()0T t ≡，则(,)0u x t ≡，这种解显然不是我们所要求的，所以(0)0,()0.X X l == （4.6）因此，要求方程（4.1）满足条件(4.2)的分离变量形式的解，就先要从方程''()()0,(0)()0X x X x X X l λ-=⎧⎨==⎩中解出()X x .现在我们就来求非零解()X x ，但要求出()X x 并不是一个简单的问题，因为方程(4.5)中含有一个待定常数λ，所以我们的任务既要确定λ取何值时方程(4.5)才有满足条件(4.6)的非零解，又要求出这个非零数()X x .这种常微分方程问题称为固有值问题，λ称为特征值（固有值，本征值），函数()X x 称为特征函数（固有函数，本征函数）.下面根据第1章所介绍的方法，我们对λ分三种情况来讨论.1°λ＞0，此时方程(4.5)的通解为().X x Be =+-由条件(4.6)得0A B +=，0.Be +=解出,A B 得0A B ==，即()0X x ≡，不符合非零解的要求，因此λ不能大于零.2°设λ=0，此时方程(4.5)的通解为()X x Ax B =+，由条件(4.6)还是得0A B ==，所以λ也不能等于零.3°设λ＜0，并令ββλ,2-=为非零实数.此时方程(4.5)的通解为()cos sin ,X x A x B x ββ=+由条件(4.6)得0,A = Bsin 0.l β=由于B 不能为零（否则()0X x ≡），所以sin 0,l β=即),,3,2,1(. ==n ln πβ（n 为负整数可以不必考虑，因为例如21,sin n B x l π-=-实际上还是2sin B x lπ'的形式）从而222,n lπλ=- （4.7）这样，我们就求出了一系列固有值及相应的固有函数：222.(1,2,3,),n n n lπλ=-=()sin(1,2,3,),n n n X x B x n lπ== （4.8）限定了λ的值后，现在再来求函数()T t ，以(4.7)式中的λ值代入方程(4.4)中得2222()()0,n a n T t T t lπ''+= 显然，其通解为''()cossin (1,2,3,).n n n n at n at T t C D n l lππ=+= （4.9）于是由(4.8)，（4.9）得到满足方程(4.1)及边界条件(4.2)的一组变量被分离的特解(,)cos sin sin(1,2,3,),n n n n at n at n x u x t C D n l l l πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭(4.10)其中,n n n n n n C B C D B D ''==是任意常数，至此，我们的第一步工作已经完成了，求出了既满足方程(4.1)又满足边界条件(4.2)的无穷多个特解.为了求原定解问题的解，还需要满足条件(4.3).由(4.10)式所确定的一组函数虽然已经满足方程(4.1)及条件(4.2)，但不一定满足初始条件(4.3).为了求出原问题的解，首先我们将（4.10）中所有函数(,)n u x t 叠加起来1(,)(,)n n u x t u x t ∞==∑1c o s s i n s i n ,n nn n a n a n C t D x l l lπππ∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑ （4.11）如果(4.11)右端的无穷级数是收敛的，而且关于,x t 都能逐项微分两次，则它的和(,)u x t 也满足方程(4.1)和条件（4.2)（参考习题三第6题）.现在我们要适当选择,n n C D ，使函数(,)u x t 也满足初始条件（4.3），为此必须有01(,)(,0)sin(),n t n n u x t u x C x x lπϕ∞=====∑ 10sin (),n n t u n a n D x x t l lππψ∞==∂==∂∑ 因为(),()x x ϕψ是定义在[0,]l 上的函数，所在只要选取n C 为()x ϕ的傅氏正弦级数展开式的系数，n n aD lπ为()x ψ的傅氏正弦级数展开式的系数，也就是 002()sin ,2()sin .l n l nn C x xdx l ln D x xdx n a l πϕπψπ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⎰⎰ （4.12）初始条件(4.3)就能满足，以(4.12)所确定的,n n C D 代入(4.11)式，即得原定解解问题的解.当然，如上所述，要使(4.11)式所确定的函数u(x,t)确定是问题(4.1)，(4.2)，(2.3)的解，除了其中的系数,n n C D 必须由(4.12)确定以外，还要求只要对函数()x ϕ及()x ψ加一些条件就能满足，可以证明（参阅复旦大学数学系编《数学物理方程》第二章§1），如果()x ϕ三次连续可微，)(x ψ二次连续可微，且(0)()(0)()(0)()0l l l ϕϕϕϕψψ''''======，则问题(4.1)，(4.2)，（4.3)的解存在.并且这个解可以用(4.11)给出，其中,n n C D 由（4.12）式确定*).从上面的运算过程可以看出，用分离变量法求解定解问题的关键步骤是确定固有函数与运用叠加原理，这些运算之所以能够进行，就是因为偏微分方程与边界条件都是齐次的，这一点希望读者一定要注意.例1 设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为1000)10()(x x x -=ϕ，求弦作微小横向振动时的位移.解设位移函数为(,)u x t ，它是下列定解解问题2222201000,010,0;0,0;(10),01000x x l t uu a x t t x u u x x u u t ====⎧∂∂⎪=<<>∂∂⎪⎪==⎨⎪-∂⎪==⎪∂⎩的解，这时10l =，并给定210000a =（这个数字与弦的材料、张力有关）.显然，这个问题的傅氏级数形式解可由(4.11)给出，其系数按（4.12）式为10033330,1(10)sin 5000102(1cos )50,4,5n n D n C x x xdx n n n n n ππππ==-=-⎧⎪=⎨⎪⎩⎰当为偶数当为奇数因此，所求的解为33041(21)(,)sin cos10(21).5(21)10n n u x t x n t n πππ∞=+=++∑ 为了加深理解，下面我们扼要地分析一下级数形式解(4.11)的物理意义，先分析一下级数中每一项(,)cos sin sin n n n a n a n u x t C t D t x l l l πππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭*)这里所讲的结论经适当修改即可用于下面几节将要讨论的定解问题，所以，本书中凡是用分离变量法求解的定解问题都假定它的定解条件具备一定的条件，保证定解问题的解可以表示成级数的形式，或者说可以运用叠加原理.的物理意义，分析的方法是：先固定时间t ，看看在任一指定时刻波是什么形状；再固定弦上一点，看看该点的振动规律.把括号内的式子改变一下形式，可得(,)cos()sin,n n n n u x t A t x lπωθ=-其中,.n n n n nD n aA arctg l C πωθ=== 当时间t 取定值0t 时，得(,)sin,n n u x t A x lπ'= 其中0cos()n n n n A A t ωθ'=-是一个定值，这表示在任一时刻，波0(,)n u x t 的形状都是一些正弦曲线，只是它的振幅随着时间的改变而改变.当弦上点的横坐标x 取定值0x 时，得0(,)cos(),n n n n u x t B t ωθ=-其中0sinn n n B A x l π=是一个定值.这说明弦上以0x 为横坐标的点作简谐振动，其振幅为n B ，角频率为n ω，初位相为n θ.若x 取另外一个定值时，情况也一样，只是振幅n B 不同罢了，所以(,)n u x t 表示这样一个振动波：在考察的弦上各点以同样的角频率n ω作简谐振动，各点处的初位相也相同，而各点的振幅则随点的位置改变而改变；此振动波在任一时刻的图形是一正弦曲线.这种振动波还有一个特点，即在[0,]l 范围内还有1n +个点（包括两个端点）永远保持不动，这是因为在(0,1,2,,)m mlx m n n==那些点上，sinsin 0mn x m l ππ==的缘故，这些点在物理上称为节点.这就说明(,)n u x t 的振动是在[0,]l 上的分段振动，其中有1n +个节点，人们把这种包含节点的振动波叫做驻波.另外驻波还在n 个点处振幅达到最大值（读者可自己讨论），这种使振幅达到最大值的点叫做波腹.图4-1画出了在某一时刻1,2,3n =的驻波形状.综合上述，可知(,),(1,2,3,)n u x t n =是一系列驻波，它们的频率、位相与振幅图4-1都随n 不同而不同，因此我们可以说，一维波动方程用分离变量法解出的结果(,)u x t )是由一系列驻波叠加而成的，而每一个驻波的波形由固有函数确定，它的频率由固有值确定.这完全符合实际情况，因为人们在考察弦的振动时，就发现许多驻波，它们的叠加又可以构成各种各样的波形，因此很自然地会想到用驻波的叠加表示弦振动方程的解.这就是分离变量法的物理背景.所以分离变量法也称为驻波法.4.2 有限长杆上的热传导设有一均匀细杆，长为l ，两端点的坐标为0x =与x l =，杆的侧面是绝热的，且在端点0x =处温度是零度，而在另一端x l =处杆的热量自由发散到周围温度是零度的介质中去（参考第3章1.2中第三类边界条件），已知初始温度分布为().x ϕ求杆上的温度变化规律，也就是要考虑下列定解问题：222,0,0; 2.13(,)(0,)0,(,)0;(2.14)(,0)().(2.15)u u a x l t t x u l t u t hu l t x u x x ϕ⎧∂∂=<<>⎪∂∂⎪∂⎪=+=⎨∂⎪=⎪⎪⎩（）我们仍用分离变量法来解这个问题，首先求出满足边界条件而且是变量被分离形式的特解.设(,)()()u x t X x T t =, 2()().()()T t X x a T t X x '''=上式左端不含有x ，右端不含有t ，所以只有当两端均为常数时才可能相等.令此常数为2β-，（读者可以从方程()(),X x X x λ''=结合边界条件按λ取值的三种不同情况像4.1那样讨论后得出），则有22()(),()()T t X x a T t X x β'''==- 从而得到两个线性常数微分方程222()()0,()()0.T t a T t X x X x ββ'+=''+= （4.16）解后一个方程得()cos sin ,X x A x B x ββ=+由边界条件(4.14)可知(0)0,'()()0.X X l hX l =+=从(0)0X =得 0A =，从()()0.X l hX l '+=得cos sin 0.l h l βββ+= （4.17）为了求出β，方程(4.17)可改写成tg a γγ=，（4.18）其中1,.l a hlγβ==-方程(4.18)的根可以看作是曲线1y tg γ=与直线2y a γ=交点的横坐标（图4-1），显然它们的交点有无穷多个，于是方程(4.18)有无穷多个根，由这些根可以确定出固有值β.设方程(4.18)的无穷多个正根（不取负根是因为负根与正根只差一个符号（图4-2），再根据4.1中所述的同样理由）为123,,,,,n γγγγ于是得到无穷多个固有值图4-21212,,,,nn lllγγγβββ===及相应的固有函数()sin .n n n X x B x β= （4.19）再由(4.16)中第一个方程解得22().n a tn n T t A eβ-= （4.20）由(4.19)，（4.20)两式，我们得到方程（4.13）满足边界条件(4.14)的一组特解22(,)()()sin (1,2,3,),n a tn n n n n u x t X x T t C ex n ββ-=== （4.21）其中 .n n n C A B =由于方程(4.13)与边界条件(4.14)都是齐次的，所以2211(,)(,)sin n a t n n n n n u x t u x t C e x ββ∞∞-====∑∑ （4.22）仍满足方程与边界条件，最后考虑(,)u x t 是否能满足初始条件(4.15)，从(4.22)式得1(,0)sin .n n n u x C x β∞==∑现在希望它等于已知函数()x ϕ，那么首先要问[0,]l 上定义的函数()x ϕ是否能展开为1sin nn n Cx β∞=∑级数形式，其次要问系数n C 如何确定，关于前者，只要()x ϕ在[0,]l 上满足狄氏条件就可以了，现在主要谈求系数的问题.回忆傅氏系数公式的得来是根据函数系的正交性，所以现在也要考察函数系{}sin n x β在[0,]l 上的正交性，可以证明（参阅§5.3关于固有函数正交性的证明方法）sin sin 0,.lm n x xdx m n ββ=≠⎰令 20sin ,ln n L xdx β=⎰于是把1()sin n n n x C x ϕβ∞==∑ （4.23）的两端乘上sin k x β，然后在[0,l ]上积分得()sin lkk k x xdx L C φβ=⎰即 01()sin .Lk k kC x xdx L φβ=⎰（4.24）把(4.24)代入(4.22)式即得原定解问题的解.通过上面两节的讨论，我们对分离变量法已经有了一个初步的了解，它的主要步骤大体为：一、首先将偏微分方程的定解问题通过分离变量转化为常微分方程的定解问题，这对线性齐次偏微分方程来说是可以做到的.二、确定固有值与固有函数.由于固有函数是要经过叠加的，所以用来确定固有函数的方程与条件，当函数经过叠加之后仍旧要满足，当边界条件是齐次时，求固有函数就是求一个常微分方程满足零边界条件的非零解.三、定出固有值、固有函数后，再解其他的常微分方程，把得到的解与固有函数乘起来成为(,)n u x t ，这时(,)n u x t 中还包含着任意常数.四、最后为了使解满足其余的定解条件，需要把所有的(,)n u x t 叠加起来成为级数形式，这时级数中的一系列任意常数就由其余的条件确定，在这最后的一步工作中，需要把已知函数展开为固有函数项的级数，所以，必须考虑固有函数的正交性.由本节的例子还可以看出，用分离变量法求解第三类边界条件（第二类边界条件也一样）的定解问题时，只要边界条件都是齐次的，其过程与解第一类边界条件的定解问题是相同的，但在确定固有值时，一般说来是比较复杂的.4.3 圆城内的二维拉普拉斯方程的定解问题一个半径为0ρ的薄圆盘，上下两面绝热，圆周边缘温度分布为已知，求达到稳恒状态时圆盘内的温度分布.在第3章讲过，热传导问题达到稳恒状态时温度分布与时间无关，应满足拉普拉斯方程20.u ∇=因为边界形状是个圆周，它在极坐标下的方程为0ρρ=，所以在极坐标系下边界条件可表为(),u f ρρθ==既然边界条件使用了极坐标系，所以我们将方程也采用极坐标的形式，于是有220220110,;(4.25)(,)().(4.26)u uu u f ρρρρρρρθρθθ⎧⎛⎫∂∂∂∇=+=<⎪ ⎪∂∂∂⎨⎝⎭⎪=⎩此外，因为自变量,ρθ的取值范围分别是[0,0ρ]与[0,2]π，圆盘中心点的温度决不可能是无穷的，并且（,ρθ）与（,2ρθπ+）实际上表示同一点，温度应该相同，即应该有lim u ρ→<+∞ （4.27）(,)(,2).u u ρθρθπ=+ （4.28）现在来求满足方程(4.25 )及条件(4.26)，（4.27），（4.28）的解.先令(,)()(),u R ρθρθ=Φ代入方程(4.25)得2110R R R ρρ'''''Φ+Φ+Φ=即2,R R Rρρ'''''+Φ=-Φ令比值为常数λ即得两个常微分方程0,λ''Φ+Φ=20.R R R ρρλ'''+-=再由条件(4.27)及(4.28)可得(0),R <∞(2)().θπθΦ+=Φ （4.29）这样一来，我们得到了两个常微分方程的定解问题0,(2)().λθπθ''Φ+Φ=⎧⎨Φ+=Φ⎩（4.30）与20,(0).R R R R ρρλ'''⎧+-=⎨<∞⎩ （4.31）先解哪能一个呢？要看哪一个可以定出固有值，由于条件(4.29)满足可加性（即所有满足(4.29)的函数叠加起来仍旧满足(4.29)，所以只能先解问题(4.30).采用与4.1中同样的方法可以得到当0λ<时，问题(4.30)无解；当0λ=时，它的解为00()a θ'Φ=（常数）；当0λ>时，它的解为0(),n n a b θ''Φ=+且λ必须是整数n ，取1,2,3,n =（只取正整数的理由与4.1相同），则0()cos sin .n n a n b n θθθ''Φ=+至此，我们已经定出了固有值与固有函数，接下去是解问题(4.31)，其中的方程是欧拉(Euler)方程，它的通解为000ln ,R c d ρ=+当λ=0；,n n n n n R c d ρρ-=+ 当2(1,2,3,).n n λ==为了保证(0)R <∞，只有0n d = (0,1,2,),n =即 0(0,1,2,)nn R c n ρ==，因此利用叠加原理，方程(4.25)满足条件(4.27),（4.28）的解可以表示为级数01(,)(cos sin )2nn n n n a u a n b ρθρθθ∞==++∑ (2.32)此式中的2a 就是00;,n n a c ab '分别是.n n n n ac b c ''，最后为了确定系数,n n a b ，我们利用边界条件(4.26)得001()(cos sin )2nn n n n a f a n b θρθθ∞==++∑，（4.33）因此，000,,nnn n a a b ρρ就是()f θ展开为傅氏级数时的系数，即有2002002001(),1()cos ,1()sin .n n n n a f d a f n d b f n d πππθθπθθθρπθθθρπ⎧⎪=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩⎰⎰⎰ （4.34）将这些系数代入(4.32)式即得所求的解.为了以后应用起来方便，我们还可以将解(4.32)写成另一种形式.为此，将(4.34)式所确定的系数代入(4.32)式经过简化后可得201011(,)()cos ().2n n u f t n t dt πρρθθπρ∞=⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑⎰（4.35）利用下面已知的恒等式221111cos ()2212cos()n n k k n t k t k θθ∞=-+-=--+∑*）(1),k <*）这个恒等式的证明如下：[]∑∑∞=∞=---++=-+11)()(2121)(cos 21n n t in t in n n e e k t n k θθθ [][]∑∑∞=∞=---++=11)()(212121n n nt i n t i ke ke θθ)()()((1211)2121t i t i t i t i ke ke ke ke -------+-+=θθθθ（|K|＜1） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-----+-----+-+=)sin()cos(1)sin()cos()sin()cos(1)sin()cos(121t ik t k t ik t k t ik t k t ik t k θθθθθθθθ可将解(,)u ρθ（4.35）表达为()2220022001(,)(),.22cos()u f t dt t πρρρθρρπρρρρθ-=<+--⎰（4.36）公式(4.36)称为圆域上的泊松公式，它的作用在于把解写成了积分形式，这样便于作理论上的研究.4.4 有界弦的强迫振动前面所讨论的偏微分方程都限于齐次的，现在要讨论非齐次方程的解法，为方便起见，以弦的强迫振动为例，所用的方法对其他类型的方程也适用.我们研究的问题是一根弦在两端固定的情况下，受强迫力作用所产生的振动现象.即要考虑下列定解问题22222000(,),0,0;(2.37)0;(2.38)(),().(2.39)x x l t t uu a f x t x l t t x u u u u x x t ϕψ====⎧∂∂⎪=+<<>∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪==⎪∂⎩在现在的情况，弦的振动是由两部分干扰引起的，一是强迫力，一是初始状态，所以由物理意义可知，此时振动可以分解为仅由强近力引起的振动和仅由初始状态引起的振动的合成.由此得到启发，我们可设解为(,)(,)(,),U x t V x t W x t =+ （4.40）其中(,)V x t 表示仅由强迫力引起弦振动的位移，它满足22222000(,),0,0;0;(2.41)0.x x l t t VV a f x t x l t t x V V u V t ====⎧∂∂⎪=+<<>∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪==⎪∂⎩而(,)W x t 表示仅由初始状态引起弦振动的位移，它满足.)cos(21121)cos(212)cos(21212222kt k k k t k k t k +---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+----+=θθθ22222000,0,0;0;(2.42)(),().x x l t t WW a x l t t x W W W W x x t φψ====⎧∂∂⎪=<<>∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪==⎪∂⎩读者不难验证，若V 是(4.41)的解，W 是(4.42)的解，则U V W =+一定就是原定解问题的解.问题(4.42)可直接用分离变量法求解，因此现在的问题只要讨论如何解问题（4.41）就行了.关于问题（4.41），我们可以采用类似于线性非齐次常微分方程中所常用的参数变易法，并保持如下的设想，即这个定解问题的解可分解为无穷多个驻波的叠加，而每个驻波的波形仍然是由该振动体的固有函数所决定，这就是说，我们假设（4.41）的解具有如下的形式1(,)()sin,n n n V x t v t x lπ∞==∑ （4.43）其中()n v t 是待定的函数，为了确定()n v t ，将自由项(,)f x t 展成的傅氏正弦级数，即1(,)()sin,n n n f x t f t x lπ∞==∑ （4.44）其中 02()(,)sin .l n n f t f x t xdx l lπ=⎰ 将(4.43)及(4.44)代入(4.41)的第一个式了，得到222''21()()()sin 0,n n n n a n n v t v t f t x l l ππ∞=⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦∑ (4.45) 由此可见得222''2()()().nn n a n v t v t f t lπ+= 再将(４.41)中的初始条件代入(４.43)得'(0)0,(0)0.n n v v ==这样一来，确定函数()n v t 只需解下列定解问题：2222()()()(0)0,(0)0n n n nn a n v t v t f t l v v π⎧''+=⎪⎨⎪'==⎩ 1,2,n =. （４.46）用拉氏变换法解出（４.46），得到()()()sintn n ln a t v t f d n a lπτττπ-=⎰*)，*)在方程（4.46）的两端取关于t 的拉氏变换，得所以，01()(,)()sin sin .t n n ln a t n v x t f d x n a l l πτπττπ∞=-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑⎰ 将这个解与问题（４.42）的解加起来，就得到原定解问题（４.37），(４.38)，(４.39)的解.这里所给的求解问题(４.41)的方法，其实质是将方程的自由项及解都按齐次方程所对应的一族固有函数展开.随着方程与边界条件的不同，固有函数族也就不同，但总是把非齐次方程的解按相应的固有函数展开.所以这种方法也叫固有函数法.４.5 非齐次边界条件的处理前面所讨论的定解问题的解法，不论方程是齐次的还是非齐次的，边界条件都是齐次的.如果遇到非齐次边界条件的情况，应该如何处理？总的原则是设法将边界条件化成齐次的.具体地说，就是取一个适当的未知函数之间的代换，使对新的未知函数，边界条件是齐次的.现在以下列定解问题为例，说明选取代换的方法.设有定解问题2222212000(,),0,0;(4.47)(),();(4.48)(),().(4.x x l t t uu a f x t x l t t x u u t u u t u u x x t ϕψ====⎧∂∂⎪=+<<>∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪==⎪∂⎩49)我们设法作一代换将边界条件化为齐次的，为此令(,)(,)(,).u x t V x t W x t =+ （４.50）选取W(x,t)使V(x,t)的边界条件为齐次的，即0,0x x lVV==== （４.5１）120(),()x x lWu t Wu t ==== （４.52）也就是说，只要所选取的W 满足(４.52)就能达到我们的目的.而满足(４.52)的函数是容易找到的，例如取W 为x 的一次式，即设(,)()(),W x t A t x B t =+ 用条件(4.52)确定(),()A t B t 得2111()()(),()()A t u t u t B t u t l=-=⎡⎤⎣⎦.),()()(22222p F p U ln a p U p n n n =+π 其中U n (p),F n (p)分别为v n (t)与f n (t)的拉氏变换，解出),(1)(22222p F l n a p p U nn π+= 由于222221l n a p π+的逆拉氏变换为lat n an l ππsin，利用拉氏变换的卷积性质，即得v n (t).显然，函数211()()(,)()u t u t W x t u t x l-=+就满足(4.52)式，因而只要作代换211,u u u V u x l -⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦（4.53）就能使新的未知函数满足齐次的边界条件.经过这个代换后，得到V 的定解问题为22212201100(,),0,0;0,0;(2.54)(),(),x x l t t VV a f x t x l t t x V V V V x x t ϕψ====⎧∂∂⎪=+<<>∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪==⎪∂⎩其中211121112111()()(,)(,)();(0)(0)()()(0);(0)(0)()()(0).u t u t f x t f x t u t x l u u x x u x l u u x x u x l ϕϕψψ⎧⎡⎤''''-''⎪=-+⎢⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎪-⎡⎤⎪=-+⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎡⎤''-⎪'=-+⎢⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎩（4.55）问题（4.54）可用上一节的方法解出，将(4.54)的解代入(4.53)即是原问题的解.上面由(4.52)式定(,)W x t 时，取(,)W x t 为x 的一次式是为了使（4.55）中几个式子简单一些，并且(,)W x t 也容易定，但若12,,f u u 都与t 无关，则可适当的选择()W x （也与t 无关），使(,)V x t 的方程与边界条件同时都化成齐次的，这样做就可以省掉下面对(,)V x t 要进行解非齐次方程的繁重工作.这种()W x 究竟怎么找，将在后面的例题中说明.若边界条件不全是第一类的，本节的方法仍然适用，不同的只是函数(,)W x t 的形式，读者可就下列几种边界条件的情况写出相应的(,)W x t 来：1201201201(),();2(),();3(),().x x lx l x x x lu u u t u t xuu t u u t x u u u t u t xx======∂==∂∂==∂∂∂==∂∂ 以上各节我们说明了如何用分离变量法来解定解问题，为便于读者掌握此方法，现将解定解问题的主要步骤简略小结如下：一、根据边界的形状选取适当的坐标系，选取的原则是使在此坐标系中边界条件的表达式最为简单.圆、圆环、扇形等域用极坐标系较方便，圆柱形域与球域分别用柱坐标系与球坐标系较方便.二、若边界条件是非齐次的，又没有其他条件可以用来定固有函数，则不论方程是否为齐次，必须先作代换使化为具有齐次边界条件的问题，然后再求解.三、非齐次方程、齐次边界条件的定解问题（不论初始条件如何）可以分为两个定解问题，其一是具有原来初始条件的齐次方程，其二是具有齐次定解条件的非齐次方程.第一个问题用分离变量法求解，第二个问题按固有函数法求解.在结束本章之前，我们再举两个综合性的例子，目的是帮助读者掌握分离变量法的全过程.例2 求下列定解问题5)22222000,0,0;(2.56)0,;(2.57)0(2.8x x l t t uu a A x l t tx u u B u u t ====⎧∂∂⎪=+<<>∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪==⎪∂⎩的解，其中,A B 均为常数.解这个定解问题的特点是：方程及边界条件都是非齐次的.根据上述原则，首先应将边界条件化成齐次的，由于方程(2.56)的自由项及边界条件都与t 无关，所以我们有可能通过一次代换将方程与边界条件都变成齐次的，具体做法如下：令 (,)(,)(),u x t V x t W x =+ 代入方程（4.56）得22222''().V V a W x A t x ⎡⎤∂∂=++⎢⎥∂∂⎣⎦为了使这个方程及边界条件同时化成齐次的，选()W x 满足⎪⎩⎪⎨⎧===+==BW W A x W a l x X ,0,0)(''02（4.59） (4.59)是一个二阶常系数线性非齐次方程的边值问题，它的解可以通过两次积分求得222().22A Al B W x x x a al ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭ 求出函数()W x 之后，再由（4.58）可知函数(,)V x t 为下列定解问题的解.22222000,0,0;(4.60)00;(4.61)(),0.(4.62)x x l t t VV a x l t tx V V V V W x t ====⎧∂∂⎪=<<>∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪=-=⎪∂⎩采用分离变量法，令(,)()()V x t X x T t =,代入(4.60)得2,XT a X T ''''=或22.X T X a Tβ''''==- 由此得到2220,(4.63)0.(4.64)X X T a T ββ''+=''+=由(4.63)及(4.61)可以确定固有值与固有函数为2222.n l πβ=()sin .n n X x x lπ=再由(4.64)得()cossin ,n n n n a n aT t C t D t l lππ=+ 利用（4.62）中第二个条件可得0n D =.于是定解问题（4.60）,(4.61),(4.62)的解可表示为1(,)cossin .n n n a n V x t C t x l lππ∞==∑ 代入(4.62)中第一个条件得1()sin,n n n W x C x lπ∞=-=∑ 即2221sin .22nn A Al B n x x C x a a l l π∞=⎛⎫-+= ⎪⎝⎭∑ 由傅氏级数的系数公式可得22202sin .22l n A Al B n C x x xdx l a a l l π⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰ 2222002sinsin llAn A B n x xdx x xdx a ll a l l ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰⎰2223322222cos Al Al B n a n n a n ππππ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭（4.65）因此，原定解解问题的解为2221(,)cos sin ,22n n A Al B n a n u x t x x C t x a a l l l ππ∞=⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭∑其中n C 由(4.65)确定. 例3在环形域a b ≤内求解下列定解问题22222212();0,0.a b u u x y x y ⎧∂∂+=-⎪∂∂⎪⎨⎪==⎪⎩解由于求解区域是环形区域，所以我们选用平面极坐标系，利用直角坐标与极坐标系之间的关系cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 可将上述定解问题用极坐标,ρθ表示出来22211()122cos 2,;(4.66)0,0.(4.67)a b u ua b u u ρρρρθρρρρρθρ==⎧∂∂∂+=<<⎪∂∂∂⎪⎨∂⎪==⎪∂⎩这是一个非齐次方程附有齐次边界条件的定解问题，采用4.4所述的固有函数法，并注意在4.3中得到的关于圆域内拉普拉斯方程所对应的固有函数，可令问题（4.66）,(4.67)的解为(,)()cos ()sin ,n n n u A n B n ρθρθρθ∞==+⎡⎤⎣⎦∑代入(4.66)并整理得到22''''''222011()()()cos ()()()sin 12cos ,n n n n n n n n n A A A n B B B n ρρρθρρρθρθρρρρ∞=⎫⎧⎡⎤⎡⎤⎪⎪+-++-=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎪⎩⎭∑比较两端关于cos ,sin n n θθ的系数可得'''2222214()()()12,A A A ρρρρρρ+-= (4.68)2''''21()()()0(2),nnn n A A A n ρρρρρ+-=≠ (4.69)2'''21()()()0.nnn n B B B ρρρρρ+-= (4.70)再由条件(4.67)得()()0,n n A a B a == (4.71)()()0.n n A b B b ''== (4.72)由(4.69)，(4.70),(4.71),(4.72)可知()0(2),()0.n n A n B ρρ≡≠≡下面的任务就是要确定2().A ρ方程(4.68)是一个非齐次的欧拉方程，它的通解为224212(),A C C ρρρρ-=++由条件(4.71),(4.72)确定12,C C 得661442,a b C a b +=+4422244(2).a b a b C a b-=-+ 因此664422224244442(2)(),a b a b a b A a b a bρρρρ-+-=--+++ 原定解问题的解为()66244222444441(,)2(2)()cos 2.u a b a b a b a b a bρθρρρθ-⎡⎤=-++--+⎣⎦+习题四1、设弦的两端固定于0x =及x l =，弦的初始位移如图所示，初速度为零，又没有外力作用，求弦作横向振动时的位移函数(,)u x t .2、就下列初始条件及边界条件解弦振动方程(,0)0,u x =(,0)(),(0,)(,)0.u x x l x tu t u l t ∂=-∂== 3、就下列初始条件及边界条件解弦振动方程01,0211,1;2t x x u x x =⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩01(1);0.t x x ux x t u u ===∂=-∂== 4、解出习题三中第2题.5、试求适合于下列初始条件及边界条件的一维热传导方程的解00(),0.t x x t u x l x u u ====-==6、解一维热传导方程，其初始条件及边界条件为00,0,0.t x x tu x u u xx====∂∂==∂∂7、一根长为l 的细杆表面绝缘，其初始温度分布如图所示，由0t =开始两端温度保持于零度，求杆上温度分布.8、试解出具有放射衰变的热传导方程2220,xu u a Ae x tα-∂∂-+=∂∂ 已知边界条件为00,0,x x l u u ====初始条件为0t u T ==,T 为常数9、求下列定解问题22200;0;0x x l t u u a A t x u u u ===⎧∂∂=+⎪∂⎪⎪==⎨⎪=⎪⎪⎩的解.10、求满足下列定解条件的一维热传导方程的解010,5,x x l u u ==== 0,t u ks k ==为常数11、试确定下列定解问题22200();,;()x x l t u u a f x t x u A u B u g x ===⎧∂∂=+⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪=⎪⎪⎩解的一般形式.12、求稳恒状态下，由直线120,,0,x x l y y l ====所围矩形板内各点的温度，假设在10,,0x x l y ===三边上温度保持为零度，2y l =这边上各点温度为(),x ϕ其中1(0)()0.l ϕϕ== 13、一半径为a 的半圆形平板，其圆周边界上的温度保持(,)()u a T θθπθ=-，而直径边界上温度保持为零度，板的侧面绿缘，试求稳恒状态下的温度分布规律(,).u ρθ14、一圆环形平板，内半径为1r ，外半径为2r ，侧面绝缘，如内圆温度保持零度，外圆温度保持1度，试求稳恒状态下的温度分布规律(,).u r θ 15、如何解下列定解问题2222212000();,;(),().x x l t t uu a f x t x u M u M u u x x t ϕψ====⎧∂∂⎪=+∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪==⎪∂⎩16、在矩形域内求下列定解问题2120120(,);(),();(),().x x a y y b u f x y u y u y u x u x ϕϕψψ====⎧∇=⎪⎪==⎨⎪==⎪⎩ 的解.17、在扇形区域内求下列定解问题200;0;()a a u u u u f θθρθ===⎧∇=⎪⎪==⎨⎪=⎪⎩ 的解.18、在矩形域0,0x a y b ≤≤≤≤内求拉普拉斯方程的解，使满足边界的条件：000,;0,0.x x a y y b u u Ay uu y y ====⎧==⎪∂∂⎨==⎪∂∂⎩19、把高频输电线充电到具有电压E ，然后一端短路封闭，另一端仍保持断开，求以后的电压分布.20、求矩形膜振动的位移，即解下列定解问题22222220000;0;0;()(),0.x x a y y b y t u uu a tx y uu u u u u xy x a y b t ======⎧⎛⎫∂∂∂=+⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎪⎪==⎪⎨==⎪⎪∂⎪=--=⎪∂⎩。

数学物理方程经典教案分离变量法

数学物理方程经典教案分离变量法分离变量法是数学物理中常用的求解偏微分方程的方法之一、它适用于一类特殊的二元函数方程，即能够通过变量分离的方式将方程化为两个只依赖于一个变量的常微分方程。

为了更好地理解和应用分离变量法，下面将从理论和实践两个方面进行介绍和解释。

一、理论介绍1.分离变量法的基本思想：对于具有特定形式的二元函数方程，我们可以通过合适的变量变换，将方程化为两个只依赖于一个变量的常微分方程。

从而达到求解方程的目的。

2.分离变量法的基本步骤：(1)假设原方程的解具有特定的形式，例如f(x,y)=X(x)Y(y)。

(2)将f(x,y)代入原方程，化简得到两个只依赖于一个变量的常微分方程。

一个关于X(x)，一个关于Y(y)。

(3)解决两个常微分方程，得到X(x)和Y(y)的解。

(4)组合求解得到原方程的解。

3.分离变量法的适用范围：分离变量法适用于线性偏微分方程和一些非线性偏微分方程的特殊情况。

它在物理学、工程学和应用数学中有广泛的应用。

二、实践应用为了更好地说明分离变量法的应用，我们以热传导方程为例进行介绍。

热传导方程是一个描述物质内部热传导过程的重要方程，在热力学、材料科学等领域有广泛应用。

其方程形式为:∂u/∂t=α(∂²u/∂x²+∂²u/∂y²+∂²u/∂z²)其中u(x,y,z,t)表示温度分布随时间的变化，α为热扩散系数。

分离变量法的具体求解步骤如下：1.假设温度分布函数可以表示为u(x,y,z,t)=X(x)Y(y)Z(z)T(t)。

2.将u(x,y,z,t)代入热传导方程中，得到四个只依赖于一个变量的常微分方程：X''(x)/X(x)=Y''(y)/Y(y)=Z''(z)/Z(z)=T'(t)/αT(t)。

3.解决这四个常微分方程，得到X(x)、Y(y)、Z(z)和T(t)的解。

大学物理-分离变量法例题

所以 (6-1-8)
相应的本征函数为
思考：n 只取正整数的原因？
3. 求解关于 T(t) 的常微分方程
将
代入(6-1-6)，得到
其通解为
由此得到 u(x,t) 的特解
(6-1-9) (6-1-10)
(6-1-11)
4. 利用叠加原理，将特解进行叠加，得到通解一般说来，un(x,t) 不可能满足初始条件，但特解的线性叠加仍满足方程与边界条件。将特解线性叠加，得到通解：
(x) C1 x C2
而由 (7) 式有
C1a C2 0 C1a C2 0
于是有 C1= C2 = 0，从而有φ(x) = 0，所以λ≠ 0。
2. 若λ< 0，则由式 (6' ) 有
x C1e x C2e x
而由 (7) 式有 C1e x C2e x 0 C1e x C2e x 0
(k 1, 2,
)
故本征值问题 (6' ) ~ (7) 的本征值为
En
n 2 2
n2 2 2 8a2
(n 1, 2,
)
(13)
这是能量本征值，而由(10)和(12)式可得相应的本征函数为
n
(
x)
Cn
sin
n
2a
(
x
a)
(14)
这是第 n 个定态 (即不含时的) 波函数。
方法二通过坐标平移利用已知结果来求解。我们已看到上述求解本征值问题 (6' ) ~ (7) 的过程是相
即
i f '(t) 2 ''(x) 令 E (能量) f (t) 2 (x)
于是得
i
d f Ef dt
(5)

数学物理方程-第二章分离变量法

第二章分离变量法分离变量法是求解偏微分方程定解问题最常用的方法之一，它和积分变换法一起统称为Fourier 方法. 分离变量法的本质是把偏微分方程定解问题通过变量分离，转化为一个所谓的特征值问题和一个常微分方程的定解问题，并把原定解问题的解表示成按特征函数展开的级数形式. 本章介绍两个自变量的分离变量法，更多变量的情形放在其他章节中专门讨论.§21 特征值问题⋅2．1.1 矩阵特征值问题在线性代数中，我们已学过线性变换的特征值问题. 设为一阶实矩阵，A n 可视为到自身的线性变换。

该变换的特征值问题（eigenvalue problem ）A n R 即是求方程：，,n Ax x x R λ=∈（1.1）的非零解，其中为待定常数. 如果对某个，问题（1.1）有非零解C λ∈λ，则就称为矩阵的特征值(eigenvalue)，相应的称为矩阵n x R λ∈λA n x R λ∈的特征向量(eigenvector). 一般来讲，特征值问题（1.1）有不多于个相A n 异的特征值和线性无关的特征向量. 但可证明: 任一阶矩阵都有个线性无n n 关的广义特征向量，以此个线性无关的广义特征向量作为的一组新基，矩n n R 阵就能够化为标准型.Jordan 若为一阶实对称矩阵，在线性代数中有一个重要结果，即存在一个正A n 交矩阵使得T ， 1T AT D -=（1.2）其中diag 为实对角阵. 设，为矩阵的第列D =12(,,...,)n λλλ12[ ... ]n T T T T =i T T i 向量，则式（1.2）可写为如下形式(1)i n ≤≤ ，1212 [ ... ][ ... ]n n A T T T T T T D =或, 1.i i i A T T i n λ=≤≤（1.3）上式说明，正交矩阵的每一列都是实对称矩阵的特征向量，并且这T A 个特征向量是相互正交的. 由于此结论在一定意义下具有普遍性，我们以定n 理的形式给出.定理1.1 设为一阶实对称矩阵，考虑以下特征值问题A n ，,n Ax x x R λ=∈则的所有特征值为实数，且存在个特征向量，它们是相互正交的A n ,1i T i n ≤≤（正交性orthogonality ），可做为的一组基（完备性completeness ）.n R 特征值问题在线性问题求解中具有重要的意义，下面举例说明之.为简单起见，在下面两个例子中取为阶非奇异实矩阵，故的所有特A n A 征值非零，并且假设有个线性无关的特征向量相应的特征值为A n ,i T ., 1i i n λ≤≤例1.1 设，求解线性方程组 .n b R ∈Ax b =解由于向量组线性无关，故可做为的一组基. 将按此{1}i T i n ≤≤n R ,x b 组基分别展开为，则等价于11 ,nni i i i i i x x T b bT ====∑∑Ax b =，11nni ii ii i x AT bT ===∑∑或，11nni i ii ii i x T bT λ===∑∑比较上式两边的系数可得i T ，1, 1i i i x b i n λ-=≤≤便是原问题的解.12( ... )n x x x x T =例1.2 设,. 求解非齐次常微0n x R ∈12()((),(),...,()), 0n n f t x t x t x t R t T =∈>分方程组， 0(), (0)dxAx f t x x dt=+=（1.4）其中 . '''12((),(),...,()),0n dx x t x t x t t dtT =>解类似于上例，将按基分别展开为0,,()x x f t {1}i T i n ≤≤ .0111, , ()()nn n i i i ii i i i i x x T x x T f t f t T ======∑∑∑则（1.4）等价于，0111()() +(), (0), 1n n ni i i i i i i i i i i dx t T x t AT f t T x x i n dt =====≤≤∑∑∑或，011()(()()), (0),1nni i i i i i i i i i dx t T x t f t T x x i n dt λ===+=≤≤∑∑比较上式两边的系数可得i T . 0()()(), (0), 1i i i i i i dx t x t f t x x i n dtλ=+=≤≤（1.5）（1.5）是个一阶线性方程的初始值问题，很容易求出其解.请同学们给出解n 的具体表达式.(),1i x t i n ≤≤2.1.2 一个二阶线性微分算子的特征值问题在这一小节，我们讨论在本章常用的一些特征值问题. 代替上节的有限维线性空间和阶实对称矩阵，在这儿要用到线性空间的某个子空间n R n A [0,]C l 和该子空间上的二阶线性微分算子. 一般地取H A在满足齐次边界条件.2{()[0,]()H X x C l X x =∈0,x l =}（1.6）下面我们讨论二阶线性微分算子的特征值问题. 先取边界条件为22d A dx=-，设是的特征函数，即且满足(0)0,()0X X l ==()X x H ∈A ()0X x ≠.()()AX x X x λ=此问题等价于是下面问题的非零解()X x "()()0, 0(0)()0 .X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎨==⎩（1.7）（1.7）便是二阶线性微分算子的特征值问题，即要找出所有使22d A dx=-得该问题有非零解的. 下面求解特征值问题（1.7）.λ首先证明要使（1.7）具有非零解，必须非负.λ设是相应于的一个非零解，用乘（1.7）中的方程，并在)(x X λ)(x X 上积分得[]l ,0，0)()()()("=+x X x X x X x X λ，0)()()( 0 2 0 "=+⎰⎰dx x X dx x X x X llλ.0)())(()()( 0 2 0 2'0'=+-⎰⎰dx x X dx x X x X x X lll λ由于，故有0)()0(==l X X ，2'2 0()(())llX x dx X x dx λ=⎰⎰.'22 0(())()0llX x dxX x dx λ=≥⎰⎰（1.8）当时，方程的通解为. 利用边界条件0λ=0)()("=+x X x X λ12()X x c c x =+可得，即. 因此，不是特征值.0)()0(==l X X 120c c ==()0X x =0λ=当时，方程的通解为0λ>0)()("=+x X x X λ. （1.9x C x C x X λλsin cos )(21+=）利用边界条件确定常数如下0)()0(==l X X 21,C C , ,10C =l C l C λλsin cos 021+=或.0sin 2=l C λ由于要求（1.7）中齐次微分方程的非零解，故不能为零. 故有2C .0sin =l λ，从而有0> ， ,πλn l =1n ≥， .2)(ln n πλ=1n ≥将代入到（1.8）中，并略去任意非零常数得n C C λ,,212C ， .x ln x X n πsin)(=1n ≥故特征值问题（1.7）的解为，， 2(l n n πλ=x ln x X n πsin )(=1n ≥（1.10）注1 特征值问题是分离变量法的理论基础. 上面已求出特征值问题（1.7）的解为. 在高等数学中知道，在一定条件下区间{ sin 1 }n x n lπ≥的任一函数可按特征函数系展开为Fourier 级数. 换言[0 , ]l { sin 1 }n x n lπ≥之，特征函数系是区间上满足一定条件的函数所成无穷维空间的一组基，{ sin 1 }n x n lπ≥[0 , ]l 而且还是该空间上的一组正交基，即有. 特征函0sinsin 0 , ln m x n m l lππ=≠⎰数系的这两个根本性质：正交性和完备性（基），和定理1.1{ sin1 }n x n lπ≥有限维空间中相应结论很相似，只是现在的特征值和特征函数是无穷个. 另n R 外，若改变（1.7）中的边界条件，其相应的特征值和特征函数也会有所变化.如将边界条件变为，则特征值和特征函数分别为(0)0,'()0X X l ==. 2(21)(21)(),()sin ,022n n n n X x x n l lππλ++==≥该特征函数系也具有和特征函数系类似(21){ sin1 }2n x n l π+≥{ sin 1 }n x n lπ≥的性质，既正交性和完备性.此类问题的一般结果便是著名的Sturm—Liouville定理，有兴趣的同学可参阅参考文献.[1][4]-将以上的结果以定理的形式给出.定理1.2 考虑二阶线性微分算子的特征值问题[1],[4]22d A dx=- "()()()()0 , 0 ,(0)0,()0 .k m X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎪⎨==⎪⎩（1.11）其中. 则该问题的特征值非负，且满足0,1k m ≤≤.120......n λλλ≤<<<<→∞相应的特征函数系在上是相互正交的. 且对于任一在区间上1{()}n n X x ≥[0,]l [0,]l 分段光滑的函数，可按特征函数系展开为如下的级数()f x 1{()}n n X x ≥Fourier ，1()()n n n f x f X x ∞==∑其中系数为Fourier .20()(), 1()l nn lnf x Xx dxf n Xx dx =≥⎰⎰为后面需要，下面再求解二阶线性微分算子带有周期边界条件的22d A dx=-特征值问题. 在偏微分方程教材中，习惯上用表示周期函数，即考虑下面()θΦ二阶线性微分算子的周期边值问题22d A dx=- "()()0, () (2), .θλθθθπθθ⎧Φ+Φ=-∞<<+∞⎨Φ=Φ+-∞<<+∞⎩（1.12）可证（1.12）和以下问题等价"''()()0, 02(0) (2), (0) (2).θλθθπππ⎧Φ+Φ=≤≤⎪⎨Φ=ΦΦ=Φ⎪⎩（1.13）和（1.8）的证明相似易得（1.13）中的特征值.当时，0≥λ0λ=, 由周期边界条件可得. 所以为特征函数.12()c c θθΦ=+20c =0()1θΦ=当时，方程通解为0λ>,θλθλθsin cos )(21c c +=Φ求导得.'()c c θΦ=-+由周期边界条件可得112cos(2sin(2c c c c c c ππ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩或1212[1cos(2sin(20sin(2[1cos(20.c c c c ππ⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩（1.14）由于要求非零解，故不能同时为零. 因此，齐次方程组（1.14）的系数矩12,c c 阵行列式必为零，即 .解之可得1cos(20-=，2n n =λ()cos sin .n n n c n d n θθθΦ=+此时对每个正特征值，特征函数有二个，既，. 总结所得2n n =λθn cos θn sin 结果为如下定理.定理1.3 考虑二阶线性微分算子带有周期边界条件的特征值问22d A d θ=-题"''()()0, 02(0) (2), (0) (2).θλθθπππ⎧Φ+Φ=≤≤⎪⎨Φ=ΦΦ=Φ⎪⎩则该问题的特征值和特征函数分别为，.00,λ=0()1;θΦ=2n n =λ(){cos ,sin }, 1n n n n θθθΦ=≥§22 分离变量法⋅本节结合具体定解问题的求解来介绍分离变量法（method of separation of variables ）. 所举例子仅限于一维弦振动方程，一维热传导方程混合问题以及平面上一些特殊区域上的位势方程边值问题. 对高维问题的处理放在其它章节中介绍.以下多数例子均假定定解问题带有齐次边界条件. 否则,可利用边界条件齐次化方法转化之. 我们以弦振动方程的一个定解问题为例介绍分离变量法.2．2.1 弦振动方程定解问题例2.1求解两端固定弦振动方程的混合问题2(,), 0, 0 (2.1)(0,)0, (,)0, 0 (2.2)(,0)(), (,0)(),0. tt xx t u a u f x t x l t u t u l t t u x x u x x x l ϕψ-=<<>==≥==≤≤ (2.3)⎧⎪⎨⎪⎩解分四步求解.第一步导出并求解特征值问题. 即由齐次方程和齐次边界条件，利用变量分离法导出该定解问题的特征值问题并求解.令，并代入到齐次方程中得)()(),(t T x X t x u =,0)()()()(''2''=-t T x X a x X t T 或.''''2()()()()X x T t X x a T t =上式左端是的函数而右端是的函数，要二者相等，只能等于同一常数.x t 令此常数为-，则有λ ，，λ-=)()("x X x X "2()()T t a T t λ=-上面的第一个方程为.0)()("=+x X x X λ利用齐次边界条件（2.2），并结合得0)(≠t T .0)()0(==l X X 由此便得该定解问题的特征值问题为"()()0, 0(0)()0.X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎨==⎩其解为特征值：特征函数： 2() , 1 ;n n n lπλ=≥()sin, 1 .n n X x x n lπ=≥第二步正交分解过程. 即将初值和自由项按特征函数系展成{}1()n n X x ≥Fourier 级数，并将也用特征函数表出.),(t x u {}1()n n X x ≥ ,11()()sinn n n n n n x X x x lπϕϕϕ∞∞====∑∑（2.4）, 11()()sinn n n n n n x X x x lπψψψ∞∞====∑∑（2.5）, 11(,)()()()sinn n n n n n f x t f t X x f t x lπ∞∞====∑∑（2.6）（2.711(,)()()()sinn n n n n n u x t T t X x T t x lπ∞∞====∑∑）这里，和分别为，和的Fourier 系数，具体表示如n ϕn ψ)(t f n )(x ϕ)(x ψ),(t x f 下,02()sin l n n d l l πϕϕααα=⎰,02()sin l n n d l l πψψααα=⎰,02()(,)sin l n n f t f t d l lπααα=⎰而为待定函数.)(t T n 第三步待定系数法. 即先将和的Fourier 级数代入到（2.1）),(t x f ),(t x u 中，导出关于满足的常微分方程. 再利用初值条件（2.3）得出满足)(t T n )(t T n 的初始条件.假设(2.7)中的级数可逐项求导，并将（2.6）和（2.7）代入到（2.1）中得,"2"111()()()()()()nnnnn n n n n T t Xx aT t Xx f t X x ∞∞∞===-=∑∑∑,"2111()()()(())()()nnn nnn n n n n T t Xx aT t Xx f t X x λ∞∞∞===--=∑∑∑ . （2.8"211(()())()()()nn n n n n n n T t a T t X x f t X x λ∞∞==+=∑∑）由于Fourier 展式是唯一的，比较（2.8）两端系数得)(x X n（2.9"2()()(), 1.n n n n T t a T t f t n λ+=≥）在（2.7）中令并结合（2.4）得0=t （2.10()(0)()()n n n n n n x T X x X x ϕϕ∞∞====∑∑）比较（2.10）两端系数得)(x X n(0), 1.n n T n ϕ=≥（2.11）类似地可得'(0), 1.n n T n ψ=≥（2.12）结合（2.9），（2.11）和（2.12）便得出关于满足的二阶常系数非齐)(t T n (1)n ≥次方程初始值问题"2'()()(), 0(0), (0).n n n n n n n n T t a T t f t t T T λϕψ⎧+=>⎪⎨==⎪⎩（2.13）第四步求解关于的定解问题（2.13），并将其结果代入到（2.7）中)(t T n 即可.为简单起见，我们设. 将代入到（2.13）中可得方程的通()0,1n f t n =≥n λ解为， t lan d t l a n c t T n n n ππsin cos)(+=利用初始条件确定常数如下,n n c d.'(0), (0)n n n n nn aT c T d lπϕψ====故有. ()cossin n n n l n a n a T t t t l n a lψππϕπ=+最后将上式代入到（2.7）中便得定解问题（2.1）—（2.3）的解为12(,)()sin cos sin l n n n a n u x t d t xlll lπππϕααα∞==∑⎰ (2.14)012()sin sin sin l n n n a n d t x n a l l l πππψαααπ∞=+∑⎰注1 利用分离变量法求解（2.1）—（2.3），需要假设在（2.7）中可通过无穷求和号逐项求导. 而通过号求导要对无穷级数加某些条件，在这里就∑∑不做专门讨论了. 今后遇到此类问题，我们均假设一切运算是可行的，即对求解过程只作形式上的推导而不考虑对问题应加什么条件. 通常称这样得出的解为形式解. 验证形式解是否为真解的问题，属于偏微分方程正则性理论的范围. 一般地讲，偏微分方程定解问题的解大多数是以无穷级数或含参变量积分形式给出的. 对这两类函数可微性的研究需要较深的数学知识，也有一定的难度，有兴趣的同学可查阅参考文献和. 我们约定：本书只求定解问题的形式解.[1][2]注2 当时，由（2.14）可以看出：两端固定弦振动的解是许多(,)0f x t =简单振动的叠加，当时，对任意的(,)()sinn n n u x t T t x l π=(11)k klx x k n n==≤≤-时刻，，即在振动的过程中有个点永远保持不动，所t (,)0n k u x t =(,)n u x t (1)n +以称这样的振动为驻波,而称为该驻波的节点.显然当k x 时，在这些点上振幅最大，称这些点为驻波的21(11)2k x l k n n+=≤≤-sin 1x =腹点. 因此，求特征函数实际上就是求由偏微分方程及边界条件所构定的系统所固有的一切驻波. 利用由系统本身所确定的简单振动来表示一些复杂的振动，便是分类变量法求解波动问题的物理解释.注3 例2.1的求解方法也叫特征函数法（eigenfunction method ），现已成为固定模式，也具有普适性. 初学者似乎会感到有些繁琐，但随着进一步的学习，同学们就会熟练掌握这一方法. 特征函数法的关键之处是求解偏微分方程定解问题相应的特征值问题，而基本思想就是笛卡尔（Descartes ）坐标系的思想.如在三维空间中，每个向量可由基的线性组合表出，两个向量3R {,,}i j k 111222 , a i b j c k a i b j c kαβ=++=++相等当且仅当在基下两个向量的坐标相等. 既.{,,}i j k121212 , , a a b b c c ===与此相类似，在例2.1求解中也是比较方程或初始条件两边的系数而得()n X x 到（2.13）. 与三维空间相比较，例2.1中特征函数系相当3R { sin1 }n x n lπ≥于3R 中的基，而也就相当于上面的，即定解问题的解{,,}i j k{ T () 1 }n t n ≥111{,,}a b c 关于基函数的坐标. 因此，在具有可数基的无穷维空间中，特{ sin1 }n x n lπ≥征函数法也称为待定系数法.例2.2 设有一均匀细弦，其线密度为. 若端为自由端，端固ρ0x =x l =定.初始速度和初始位移分别为零，并受到垂直于弦线的外力作用，其单位长度所受外力为. 求此弦的振动. sin t ω 解所求定解问题为（2.1521 sin , 0, 0(0,)0, (,)0, 0(,0)0, (,0)0, 0.tt xx x t u a u t x l t u t u l t t u x u x x l ρω-⎧-=<<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩）利用特征函数法求解该问题.情形1 非共振问题，即.22, 0n a n ωλ≠≥ 该定解问题的特征值问题为(2.16)"'()()0, 0(0)0, ()0.X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎪⎨==⎪⎩其解为，， 2(21)()2n n l πλ+=(21)()cos 2n n X x x lπ+=0n ≥将按特征函数展开成Fourier 级数得1sin t ρω-{}0)(≥n n x X , （2.17)11sin ()()n n n t f t X x ωρ∞==∑.021214()sin sin sin sin 2(21)l n n n f t t d t f t l l n ωπααωωρπρ+===+⎰令(,)()()n n n u x t T t X x ∞==∑（2.18）完全类似例2.1的求解过程可得，对于任意满足下面问题0, ()n n T t ≥（2.19"2'()()sin , 0(0)0, (0)0.n n n n n n T t a T t f t t T T λω⎧+=>⎪⎨==⎪⎩）初值问题(2.19)中齐次方程的通解为，12()cos sin n T t c c =+而非齐次方程的一个特解为.22()sin nn n f T t t a ωλω=-因此，（2.19）的通解为. 1222()cos sin sin nn n f T t c c t a ωλω=++-（2.20）由初始条件可确定出120, c c ==最后将所得到的代入到（2.18）中便得（2.15）的解.()n T t 情形2 共振问题，即存在某个使得.0,n ≥22n a ωλ=不妨假设.此时，在情形1中求解所得到的不变.220a ωλ={ T () 1 }n t n ≥当时，要求解以下问题0n = "2000'00()()sin , 0(0)0, (0)0.T t T t f t t T T ωω⎧+=>⎪⎨==⎪⎩（2.21）（2.21）中齐次方程通解为.012()cos sin T t c t c t ωω=+为求得非齐次方程的一个特解，要将（2.21）中方程的自由項换为，而求0i t f e ω以下问题的一个特解"2000()().i t T t T t f e ωω+=令并代入到上面非齐次方程中可得，故有()i t T t Ate ω=02f iA ω=-，00()sin cos 22f t f tT t t i t ωωωω=-取其虚部便得（2.21）中方程的一个特解为. 00()Im(())cos 2f tT t T t t ωω==-结合以上所得结果便可得到（2.21）中方程的通解为，0012()cos sin cos 2f tT t c t c t t ωωωω=+-由初始条件确定出，由此可得01220, 2fc c ω==.0002()sin cos 22f f tT t t t ωωωω=-将代入到（2.18）中便得在共振条件下（2.15）的解为()n T t 000102112(,)()()()()()()(sin cos )cos ()()222 (,)(,) .n n n n n n n n n u x t T t X x T t X x T t X x f f t t t x T t X x l u x t u x t πωωωω∞=∞=∞===+=-+=+∑∑∑可以证明: 是有界的. 而在的表达式中取，则2(,)u x t 1(,)u x t 2k k t πω=中的基本波函数的振幅当逐渐变大时将趋于无穷大，最1(,)u x t cos2x lπ0()k T t k 终要导致弦线在某一时刻断裂，这种现象在物理上称为共振. 注意到在上面求解过程中我们取周期外力的频率等于系统的第一固有频率ω波函数分量上发生共振. 一般地讲，当周期外力的频率很接近或等于系统的ω某个固有频率时，系统都会有共振现象发生，即弦线上一些点的振幅将随着时间的增大而不断变大，导致弦线在某一时刻断裂.2．2.2 热传导方程定解问题例2.3 求解下面热方程定解问题（2.2220, 0, 0 (0,), (,)sin , 0(,0)0, 0.t xx x u a u x l t u t u u l t t t u x x l ω⎧=<<>⎪==≥⎨⎪=≤≤⎩）解利用特征函数法求解(2.22).首先将边界条件齐次化,取，并令，则0(,)sin w x t u x t ω=+w u v -=（2.22）转化为（2.2320cos , 0, 0 (0,)0, (,)0, 0(,0), 0.t xx x v a v x t x l t v t v l t t v x u x l ωω⎧-=-<<>⎪==≥⎨⎪=-≤≤⎩）利用分离变量法可得（2.23）的特征值问题为"()()0, 0(0)0, '()0.X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎨==⎩特征值和特征函数分别为,2(21)()2n n lπλ+=0≥n .(21)()sin 2n n X x x lπ+=0≥n 将，按特征函数展成Fourier 级数(,)cos f x t x t ωω=-0)(u x -=ϕ{}0)(≥n n x X 得， (2.24)cos ()()n n n x t f t X x ωω∞=-=∑,02(21)()(1)cos sin cos 2l n n n f t t d f t l lπωαωααω+=-=⎰其中. 1228(1)(12)n n l f n ωπ+-=+ ， (2.25)00n n n u X ϕ∞=-=∑其中.00042(21)()sin 2(12)l n u n u d l l n πϕααπ-+=-=+⎰令(2.26)(,)()(), n n n v x t T x X x ∞==∑并将（2.26）代入到（2.23）中的方程得,'2"()()()()cos ()nnnnn n n n n T t Xx aT t Xx f tX x ω∞∞∞===-=∑∑∑.'2(()())()cos ()nn nnn n n n T t a T t Xx f tX x λω∞∞==+=∑∑在（2.26）中令并结合（2.25）得0=t .()(0)()()n n n n n n x T X x X x ϕϕ∞∞====∑∑比较上面两式中特征函数的系数便得()n X x（2.27'2()()cos , 0(0).n n n n n n T t a T t f t t T λωϕ⎧+=>⎪⎨=⎪⎩）（2.27）是一阶常系数常微分方程初值问题.齐次方程通解为.t a n n Ce t T λ2)(-=令，并利用待定系数法求特解可得()cos sin n T t A t B t ωω=+ ,2242242()cos sin n n nn n na f f T t t t a a λωωωωλωλ=+++故有（2.2822242242()cos sin n a tn n nn n na f f T t Cet t a a λλωωωωλωλ-=++++）在上式中代得0t =,2242n nn na f C a λϕωλ=++ . 2242n nn na f C a λϕωλ=-+最后将(2.28)代入到(2.26)中便得(2.23)的解为.0(21)(,)()sin2n n n v x t T t x lπ∞=+=∑故（2.21）的解为),(),(),(t x w t x v t x u +=0 (,)sin v x t u x t ω=++其中由（2.28）给出. )(t T n2．2.3 平面上位势方程边值问题考虑矩形域上Poisson 方程边值问题1212(,), , (,)(), (,)(), (,)(), (,)(), .xx yy u u f x y a x b c y d u a y g y u b y g y c y d u x c f x u x d f x a x b +=<<<<⎧⎪==≤≤⎨⎪==≤≤⎩（2.29）我们假设或. 否则，利用边界条件齐次化方法0)()(21==x f x f 0)()(21==y g y g 化非齐次边界条件为齐次边界条件. 当然，也可以利用叠加原理将（2.29）分解为二个问题，其中一个关于具有齐次边界条件，而另一个关于具有齐次边x y 界条件.例2.4 求解Dirichlet 问题（2.300, 02, 0 1 (0,)0, (2,)0, 01(,0)1, (,1)(1), 0 2.xx yy u u x y u y u y y u x u x x x x +=<<<<⎧⎪==≤≤⎨⎪==-≤≤⎩）解令并将其代入到（2.29）中齐次方程得)()(),(y Y x X y x u =,0)()()()(""=+y Y x X y Y x X ,λ-=-=)()()()(""y Y y Y x X x X （2.31"()()0, 0 2(0)0, (2)0.X x X x x X X λ⎧+=<<⎨==⎩）0)()("=-y Y y Y λ（2.32）（2.31）便是（2.30）的特征值问题，其解为，， .2)2(πλn n =x n x X n 2sin)(π=1≥n 将代入到（2.32）中得n λ ，0)()("=-y Y y Y n λ（2.33）该方程有两个线性无关解，. 由于，也是（2.33）的y n e2πy n e2π-2n shy π2n ch y π解且线性无关，故（2.33）通解为.y n ch d y n shc y Y n n n 22)(ππ+=令(2.34)11(,)()()()sin 222n n n n n n n n n u x y X x Y y c shy d ch y x πππ∞∞====+∑∑则满足（2.30）中方程和关于的齐次边界条件. 利用关于的边界条),(y x u x y 件可如下确定，，n c n d ,∑∞==12sin1n n x n d π . （2.35))1(1(22sin12220n n n d n d --=⨯=⎰πααπ）,x n n ch d n shc x x n n n ∑∞=+=-12sin )22()1(πππ . 22))1(1(22)1(416)1(163322ππππππn sh n chn n sh n n c n nnn -------=（2.36）故（2.30）解为（2.371(,)()sin ,222n n n n n n u x y c shy d ch y x πππ∞==+∑）其中，由（2.36）和（2.35）确定.n c n d 对于圆域，扇形域和圆环域上的Poisson 方程边值问题，求解方法和矩形域上的定解问题无本质区别，只是在此时要利用极坐标.同学们自己可验证：令，作自变量变换，则有θρcos =x θρsin =y .θθρρρρρu u u u u yy xx 211++=+令，将其代入到极坐标下的Laplace 方程中得)()(),(θρθρΦ=R u 222330216(1)164(1)(1)sin ,2222n nn n n n n n c sh d ch d n ππππααααπ----+=-=⎰,"'"211()()()()()()0R R R ρθρθρθρρΦ+Φ+Φ=,"'"211(()())()()()0R R R ρρθρθρρ+Φ+Φ=,"'"21()()()1()()R R R ρρθρλθρρ+Φ=-=-Φ故有, （2.380)()("=Φ+Φθλθ）. （2.390)()()('"2=-+ρλρρρρR R R ）方程（2.38）结合一定的边界条件便得相应定解问题的特征值问题,而（2.39）是欧拉（Euler ）方程. 对（2.39）作自变量变换可得s e =ρ ， ,s e =ρρln =s ,'1s dR dR ds R d ds d ρρρ==.2222'''2222211()ss s d R d R ds dR d s R R d ds d ds d ρρρρρ=+=-将以上各式代入到（2.39）得. （2.40''0ss R R λ-=）例2.5 求下面扇形域上Dirichlet 问题（2.4122220, 0, 0, 4(,0)0, 0 2(0,)0, 0 2 (,), 4. xx yy u u x y x y u x x u y y u x y xy x y ⎧+=>>+<⎪=≤≤⎪⎨=≤≤⎪⎪=+=⎩）的有界解.解令，作自变量变换，（2.41）转化为θρcos =x θρsin =y（2.42）2110, 0, 0 2 2(,0)0, (,0, 022(2,)2sin 2, 0.2u u u u u u ρρρθθπθρρρπρρρπθθθ⎧++=<<<<⎪⎪⎪==≤≤⎨⎪⎪=≤≤⎪⎩令代入到（2.42）中的方程，并结合边界条件可得)()(),(θρθρΦ=R u"()()0, 0<</2(0)0, (/2)0.θλθθππ⎧Φ+Φ=⎨Φ=Φ=⎩（2.43）. （2.440)()()('"2=-+ρλρρρρR R R ）（2.43）便是（2.42）的特征值问题.求解特征值问题（2.43）可得，， .224)2/(n n n ==ππλθθn n 2sin )(=Φ1≥n 将代入到（2.44）中，并令作自变量变换可得n λs e =ρ,"240ss R n R -=.2222()ns ns n n n n n n n R c e d e c d ρρρ--=+=+由于是求（2.42）的有界解，故有，即. 从而有∞<)0(R 0=n d .n n n c R 2)(ρρ= 上面求出的对每个都满足（2.42）中的方程和齐(,)()()n n n u R ρθρθ=Φ1n ≥次边界条件，由叠加原理得, （2.45∑∑∞=∞==Φ=1212sin )()(),(n n n n n n n c R u θρθρθρ）也满足（2.42）中的方程和齐次边界条件.为使（2.42）中的非齐次边界条件得以满足，在（2.45）中令得(2,)2sin u θθ=2ρ= ，212sin 22sin 2n n n c n θθ∞==∑（2.46）比较上式两边特征函数的系数得θθn n 2sin )(=Φ ， .112c =1)( 0≠=n c n 将，代入到（2.45）中便得（2.42）的解为1c 1)(≠n c n . θρθρ2sin 21),(2=u 例2.6 求解圆域上Dirichlet 问题2110, 0, 02(,)(), 02.u u u a u a ρρρθθρθπρρθϕθθπ⎧++=<<≤<⎪⎨⎪=≤≤⎩（2.47）解圆域上的函数相当于关于变量具有周期. 令(,)u ρθθ2π并代入到（2.46）中的方程可得)()(),(θρθρΦ=R u（2.48"()()0() (2).θλθθπθ⎧Φ+Φ=⎨Φ=Φ+⎩）. （2.490)()()('"2=-+ρλρρρρR R R ）（2.48）是定解问题（2.47）的特征值问题. 由定理1.3知（2.48）的解为.2, ()cos sin , 0n n n n n c n d n n λθθθ=Φ=+≥将代入到（2.49）中可得(要利用自然边界条件)n λ(0,)u θ<∞,，00)(c R =ρn n n c R ρρ=)(1≥n 利用叠加原理可得（2.47）的如下形式解.∑∞=++=10)sin cos (),(n n n n n d n c c u θθρθρ（2.50）根据边界条件得)(),(θϕθ=a u ,01()(cos sin )n n n n c a c n d n ϕθθθ∞==++∑其中,2001()2c d πϕττπ=⎰,⎰=πτττϕπ20cos )(1d n a c n n .⎰=πτττϕπ20sin )(1d n a d n n 将以上各式代入到（2.50）中便得（2.47）的解为2 2 0 0111(,)()()(()cos cos 2n n u d n d n a ππρρθϕττϕτττθππ∞==+∑⎰⎰ .)sin sin )(12 0 ⎰+πθτττϕπn d n （2.51）注4 利用等式可将（2.51）化为如下形)Re()(cos 1)(1∑∑∞=-∞==-n in n n n e c n c τθτθ式（2.522222201()()(,),22cos()a u d a a πρϕτρθτπρρθτ-=+--⎰）式（2.52）称为圆域上调和函数的Poisson 公式. 在后面学习中还将用其它方法导出它. 注5 在例2.5和例2.6中，如果方程中自由项不为零，若),(θρf 特殊，可用函数代换将自由项化为零而转化齐次方程. 对于一般的),(θρf ，要利用特征函数方法求解.),(θρf 注6 上面例2.3—例2.6几个定解问题的求解思想和主要过程，是伟大的数学家和物理学家Fourier 给出的，详细内容见参考文献. 在这部著名论著[5]中，Fourier 首次利用偏微分方程来研究热问题，并系统地介绍了分离变量法的基本思想和主要步骤. 结合本节所举例子，请同学们小结一下在本章所学过的特征值问题，二阶常系数非齐次常微分方程和欧拉方程的求解方法. 习题二1. 设有如下定解问题2(,), 0, 0 (0,)0, (,)0, 0(,0)(), (,0)(), 0.tt xx x t u a u f x t x l t u t u l t t u x x u x x x l ϕψ⎧-=<<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩利用分离变量法导出该定解问题的特征值问题并求解.2.求解下列特征值问题（1） "''()()0, 0 (0)()0.X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎪⎨==⎪⎩ （2） "()()0, 1 1 (1)0,(1)0X x X x x X X λ⎧+=-<<⎨-==⎩ （3） "()()0, 0 '(0)0, ()0.X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎨==⎩ （4） "()()0, 02 (0)(2), '(0)'(2).X x X x x l X X l X X l λ⎧+=<<⎨==⎩3 考虑下面特征值问题*"()()0, 0 (0)0, '()()0.X x X x x l X X l X l λ⎧+=<<⎨=+=⎩（1）证明一切特征值0.λ>（2）证明不同的特征值对应的特征函数是正交的.（3）求出所有的特征值和相应的特征函数.4．设在区间一阶连续可导且考虑如下特(),()p x q x [0,]l ()0,()0.p x q x >≥征值问题[()()]()()(), 0 (0)0, ()0.d d p x X x q x X x X x x l dx dx X X l λ⎧-+=<<⎪⎨⎪==⎩（1）证明一切特征值0.λ≥（2）证明不同的特征值对应的特征函数是正交的.5．求解下列弦振动方程的定解问题（1）20, 0<, 0(0,)0, (,)0, 0(,0), (,0)0, 0.tt xx x x t u a u x l t u t u l t t u x x u x x l ⎧-=<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩ （2） 20, 0<, 0(0,)0, (,)0, 035(,0)sin , (,0)sin , 0.22tt xx x t u a u x l t u t u l t t u x x u x x x l l l ππ⎧⎪-=<>⎪==≥⎨⎪⎪==≤≤⎩（3） 240, 0<1, 0(0,)0, (1,)0, 0(,0), (,0)0, 0 1.tt xx t u u u x t u t u t t u x x x u x x ⎧-+=<>⎪==≥⎨⎪=-=≤≤⎩（4） 242sin , 0<, 0(0,)0, (,)0, 0(,0)0, (,0)0, 0.tt xx x x t u u u x x t u t u t t u x u x x πππ⎧--=<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩（5） 22, 0, 0 (0,) (,)0, 0(,0)0, (,0), 0.tt xx x t u a u x l t u t u l t t u x u x A x l ⎧-=<<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩6．求解下列热传导方程的定解问题（1） 2cos , 0<, 02(0,)1, (,), 0(,0)0, 0<.t xx x x u a u x t u t u t t u x x ππππ⎧-=<>⎪⎪==≥⎨⎪=<⎪⎩（2） 22, 0<1, 0(0,)0, (1,)0, 0(,0)sin , 0< 1.t xx x u a u u x t u t u t t u x x x π⎧-=<>⎪==≥⎨⎪=<⎩（3） 220, 0<, 0(0,)0, (,)0, 0(,0)(), 0.t xx u a u b u x l t u t u l t t u x x x l ϕ⎧-+=<>⎪==≥⎨⎪=≤≤⎩（4） 2, 0, 0 (0,)0, (,)0, 0(,0)1, 0.t xx x x u a u xt x l t u t u l t t u x x l ⎧-=<<>⎪==≥⎨⎪=≤≤⎩7. 求解下面位势方程定解问题（1） , 0, 0 (,0)0, (,)0, 0(0,)0, (,), 0.xx yy y y u u x x a y b u x u x b x a u y u a y Ay y b +=<<<<⎧⎪==≤≤⎨⎪==≤≤⎩（2）22220, 0, , 4 (,0)0, 02, (,)0, 0(,), 4.xx yy u u y x y x y u x x u x x x u x y x y x y ⎧+=>>+<⎪⎪=≤≤=≤≤⎨⎪=++=⎪⎩（3） 22220, 4 (,)1, 4.xx yy u u x y u x y x x y ⎧+=+<⎪⎨=++=⎪⎩（4） 222222, 1< 4 (,)0, 1 (,), 4.xx yy u u xy x y u x y x y u x y x y x y ⎧+=+<⎪⎪=+=⎨⎪=++=⎪⎩8 设在区间的Fourier 展开式为 *()x ϕ[0,]l 1()sin ,k k k x x c l πϕ∞==∑（6.1）其部分和为求解或证明以下结果.1()sin ,n n k k k x S x c l π==∑（1）设，求.()[0,]x C l ϕ∈20[()()]l n x S x dx ϕ-⎰（2）证明下面贝塞尔（Bessel ）不等式 22012().l k k c x dx l ϕ∞=≤∑⎰（6.2）（3）设，的二阶导数的Fourier 展开式为2()[0,]x C l ϕ∈()x ϕ1''()sin ,n n n x x d l πϕ∞==∑如果，利用分部积分法证明(0)()0l ϕϕ==2, 1,n n d An c n =≥（6.3）其中为正常数.A （4）利用（6.2）和（6.3）证明（6.1）中的三角级数在区间上一致[0,]l 收敛，并且可以逐項求导.9 考虑如下定解问题* 2, 0, 0 (0,)0, (,)0, 0(,0)(), 0.t xx x x u a u x l t u t u l t t u x x x l ϕ⎧=<<>⎪==≥⎨⎪=≤≤⎩（1）给出该定解问题的物理解释.（2）当经过充分长的时间后，导热杆上的温度分布如何？(,)u x t （3）求极限.lim (,)t u x t →+∞10 考虑如下定解问题*2, 0, 0 (0,), (,), 0(,0)(), 0.t xx x u a u x l t u t A u l t B t u x x x l ϕ⎧=<<>⎪==≥⎨⎪=≤≤⎩（1）给出该定解问题的物理解释.（2）求极限.lim (,)t u x t →+∞11 考虑下面定解问题 *20, 0<, 0(0,)(,)0, 0(,0), (,0)0, 0.tt xx t t u u u u x t u t u t t u x x u x x πππ-++=<>⎧⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩（1）解释该定解问题方程中各项的物理意义.（2）推导出问题的特征值问题并求解.（3）写出该问题解的待定表示式并求出表达式中第一特征函数的系数.12 考虑下面定解问题 * (,), 0<, 0(0,)(,)0, 0(,0)(), (,0)(), 0.tt xx x x t u u f x t x t u t u t t u x x u x x x ππϕψπ-=<>⎧⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩（12.1）（1）写出该定解问题的特征值和特征函数 ,(),0.n n X x n λ≥（2）如果，而，求解该定解问题.()0,()0x x ϕψ==(,)f x t t =（3）如果，证明，下面等式(,)0f x t =0τ∀>，222200[(,)(,)][()()]l l t x x u x u x dx x x dx ττψϕ+=+⎰⎰（12.2）成立，解释该等式的物理意义.（4）证明（12.1）的解是唯一的.。

数学物理方法习题

第一章分离变量法1、求解定解问题：200000000,(01),||0,,(0),|(),(),|0,(0).tt xx x x l t t u a u x u u n h l x x l n u h l l x x l l n l n u x l ====-=<<==⎧≤≤⎪⎪⎪=⎨-≤≤⎪-⎪⎪⎩=≤≤（P-223） 2、长为l 的弦，两端固定，弦中张力为T ，在距一端为0x 的一点以力0F 把弦拉开，然后撤出这力，求解弦的震动。

[提示：定解问题为200000000,(0),(0,)(,)0,,(0),(,0)(),(),|0.tt xx t t u a u x l u t u l t F l x x x x T l u x F x l x x x l T lu =-=<<==-⎧<<⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩= ] (P-227)3、求解细杆导热问题，杆长l ，两端保持为零度，初始温度分布20|()/t u bx l x l ==-。

[定解问题为 220200,()(0),||0,|()/.t xx x x l t k u a u a x l C u u u bx l x l ρ===⎧-==≤≤⎪⎪⎪==⎨⎪=-⎪⎪⎩] (P-230) 4、求解定解问题2220,0,0220,0.03sin ,0.00u u a x l t t x u u x x l x u u A t l t t π⎧∂∂⎪-=<<>⎪∂∂⎪==⎨==⎪∂⎪===⎪∂=⎩4、长为l 的均匀杆，两端受压从而长度缩为(12)l ε-，放手后自由振动，求解杆的这一振动。

[提示：定解问题为20000,(0),||0,2|2(),|0.tt xx x x x x l t t t u a u x l u u u x l u ε====⎧-=<<⎪==⎪⎪⎨=-⎪⎪=⎪⎩] (P-236) 5、长为l 的杆，一端固定，另一端受力0F 而伸长，求解杆在放手后的振动。

数学物理方程中的分离变量法

数学物理方程中的分离变量法作者：王晶来源：《中国校外教育·高教(下旬)》2014年第04期分离变量法是数学物理方程中求解有限域上的初边值问题的主要方法。

本文首先给出了分离变量法的思想，进一步讨论了不同类型的初边值问题的求解。

通过举例说明加深了我们对分离变量法的理解。

分离变量法数学物理方程初边值问题一、引言数学物理方程是研究物理学以及其他自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程的学科，它是具有广泛应用背景的一门数学基础理论课程，不论从事基础研究，还是工程技术开发工作都离不开它。

客观世界的复杂性，导致描述关系的数学方程的复杂性，使这些偏微分方程都含有较多的自变量，其求解相当复杂。

如何简化求解方法，成为求解数理方程的一个重要方面。

分离变量法就是一种求解偏微分方程的普遍的重要方法。

该方法可将偏微分方程分离为常微分方程使得一些偏微分方程变得可解。

先求数学物理方程通解的办法只适用于极少数的某些定解问题，而分离变量法是定解问题的一种基本解法，适用于大量的有限域上的初边值问题\[1-2\]。

文中所用记号和术语均来自\[3\].二、分离变量法求解数学物理方程的思想分离变量法的提出是受“驻波”问题的启示，“驻波”是振动现象中的一种常见形式。

描述“驻波”的偏微分方程，可表示为变量分离状态的形式。

虽然我们是从驻波引出解题的线索，其实整个求解过程跟驻波并没有特殊的关系。

简单说来，分离变量法就是利用方程与边界条件的线性性质和齐次性质，首先把偏微分方程分离为常微分方程，找到满足方程和边界条件的特解，然后将这些特解线性叠加，使其满足初始条件，方程则解出。

三、分离变量法求解数学物理方程的应用（一）求解带有齐次边界条件的齐次方程的初边值问题(举例说明)研究两端固定的均匀弦的自由振动，即定解问题：（二）分离变量法求解带有齐次边界条件的非齐次方程的初边值问题首先根据叠加原理将初边值问题分解为两个初边值问题，一个是带有非齐次初始条件的齐次方程的初边值问题，求解方法见3.1。

《数学物理方法》5分离变数法

（An
n1
cos
nat
l
Bn
sin
nat
l
）cos
nx
l
[例3] 杆的导热。设初始杆的一端温度为零，另一端为u0。杆上温度梯度均匀，一端保持零度不变，另一端与外界绝热。求杆温度
ut a 2uxx 0
a2 k
c
（0 xl）
u 0 x0
ux
0
xl
u（x，t）
t0
u0
x l
（0 xl）
[解] 设 u（x，t） X（x）T（t）
X（a） 0
C2 sin ka 0
X（x）要有非零解 C2 0 sin ka 0
ka n
k2
n2 2
a2
（n 1，2，3，）
本征值：
n
n2
a2
2
（n 1，2，3，）
本征函数：
X（n x）
sin n
a
x
Y Y 0
Y
通解：
Y（n y）
n y
Ane a
（n 1，2，3，）
X X 0
X（0） 0 X （l） 0
X X 0
X（0） 0 X （l） 0
？满足边界条件的常微分方程有非零解
（1） 0
X
d2X dx 2
0
通解：X（x） C0 D0 x
X（0） 0 X （l） 0
C0 0 D0 0
X（x） 0 0 应排除
（2） 0
设 k2
代入泛定方程和边界条件：
X（x）T （t） a2 X （x）T（t） 0
X（0）T（t） 0 X（l）T（t） 0
分离变量 X（x）T （t） a2 X （x）T（t）

分离变量法求解齐次方程和齐次边界的拉普拉斯方程的边值问题 2(DOC)

分离变量法求解齐次方程和齐次边界条件的拉普拉斯方程的边值问题33 隋沆锐34 程文博29袁盼盼分离变量法又称fourier 级数法，是求解数学物理定解问题问题的一种最普遍最基本的方法之一。

从数学的角度来说，其基本的思想是降低自变量的维数，把偏微分方程问题设法变成能解的常微分问题。

● 分离变量法的主要步骤：（1）根据区域边界的形状，适当选择坐标系。

选取的原则是使坐标面与边界面一致，这样可使边界条件简化，即使在该坐标系中边界条件的表达式最为简单。

（2）将满足齐次偏微分方程和齐次边界的解通过变量分离，使其转化为常微分方程的定解问题。

（3）确定特征指和特征函数。

当边界条件是齐次时，求特征值和对应的特征函数就是求一个满足常微分方程和零边界条件的非零解。

（4）定出特征值和特征函数后，再求其他常微分方程的解，然后把该解与特征函数相乘，得到变量分离的特解。

（5）为了得到原定解问题的解，将所有变量分离的特解叠加成级数，成为形式解，其中任意常数有其他条件确定。

（6）为了使形式解成为古典解，必须对定解条件附加适当的光滑性要求和相容性要求，以保证微分运算得以进行，并使微分后的级数任然是收敛的。

● 用分离变量法解拉普拉斯方程的边值问题常用的结论和规律： 1.设)(),...,('),(x f x f x f n 在区间【0，L 】上连续，)0(1+m f在【0，L 】上分段连续，,22....2,0,0)()0(⎥⎦⎤⎢⎣⎡===m n L f f n n其中【x 】表示不超过x 的最大整数。

那么，如果函数f （x ）在区间【0，L 】上可以张开傅里叶正弦级数)1(],,0[,sin~)(1L x Lxn b x f n n ∈∑∞=π 则级数∑∞=1||n n mb n是收敛的。

类似的，如果)(x f 在],0[L 上可以展开成傅里叶余弦级数)2(],,0[,cos 2~)(10L x Lx n a a x f n n ∈+∑∞=π则级数||1n n m a n ∑∞=是收敛的。

数理方程总复习复习1(第二章分离变量法)

∂u ∂ 2u = a 2 2 + f ( x, t ), 0 < x < l , t > 0, ∂t ∂x ( III ) u x =0 = u1 (t ), u x =l = u2 (t ), t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ l. u t = 0 = ϕ ( x), 特点：非齐次边界
边界条件非齐次，转换为齐次边界条件定解问题选择合适的坐标系非齐次方程，齐次边界条件
非齐次方程，齐次定解条件特征函数法
齐次方程，齐次边界条件分离变量法
第二章、分离变量(fourier级数)法
分离变量法是数学物理方程的基本解法，主要讲：
(1)有限空间的分离变量法(fourier级数法)(本章) (2)无限空间的分离变量法(fourier积分法)(第三章积分变换法) (3) Laplace方程的圆上的定解问题－－在极坐标系下的分离变量法 (4)特征函数法－－在柱坐标系和球坐标系下的分离变量法 (第五、六章)
第三步：将展开式代入方程与初始条件，比较系数得到关于 Tn (t )的常微分方程定解问题，求解确定出Tn (t )。 (Laplace变换法、常数变易法)
方法三、齐次化原理
三、第三种类型定解问题( III )
2 ∂ 2u 2 ∂ u + f ( x, t ), 0 < x < l , t > 0, 2 =a 2 ∂x ∂t ( III ) u x =0 = u1 (t ), u x =l = u2 (t ), t ≥ 0, ∂u u = ψ ( x), 0 ≤ x ≤ l. t = 0 = ϕ ( x ), ∂t t =0
∂V 1 ∂ 2V A −α x − 2 2 = 2 e , 0 < x < l , t > 0, a ∂t a ∂x V x =0 = 0, V x =l = 0, t ≥ 0, V t =0 = 0, 0 ≤ x ≤ l. ∂W 1 ∂ 2W

偏微分方程的分离变量法与定解问题

偏微分方程的分离变量法与定解问题偏微分方程（Partial Differential Equation，PDE）是数学中非常重要的研究方向之一，它包含了很多数值逼近、物理和工程方面的问题。

对于一些特殊的偏微分方程，我们可以采用分离变量法来求解，而定解问题则可以帮助我们确定合适的初值和边界条件，以保证求解结果的正确性。

一、分离变量法偏微分方程要想求出来，通常需要一些特殊的求解方法，而分离变量法就是其中一种。

简单来说，分离变量法就是把方程中的变量“分离”出来，只留下一个变量来求解。

具体来看，我们假设方程可以写成下面的形式：$$u_{tt} + a(x,y) \, u_{xx} + b(x,y) \, u_{yy} + c(x,y) \, u_{xy} +d(x,y) \, u_x + e(x,y) \, u_y + f(x,y) \, u = 0$$其中 $u = u(x,y,t)$，$a, b, c, d, e, f$ 都是函数。

我们需要找到一种方式将 $u$ 表示成 $x$，$y$，$t$ 三个变量的乘积，即：$$u(x,y,t) = X(x) \, Y(y) \, T(t)$$将上式代入原方程，并分离出$x$，$y$，$t$ 三个变量，得到：$$\frac{X''}{X} + \frac{a}{T} \, \frac{T''}{T} + \frac{b}{Y} \,\frac{Y''}{Y} + c \, \frac{X'Y'}{XY} + d \, \frac{X'}{X} + e \,\frac{Y'}{Y} + f = 0$$由于此式左边只含有 $x$ 的函数、$y$ 的函数和 $t$ 的函数，右边只是一个常数，因此我们可以令它等于$-\lambda$，于是有：$$\begin{cases}\frac{X''}{X} + \left(d + \frac{\lambda}{a}\right) \, \frac{X'}{X} = - \frac{c}{a} \, \frac{Y'}{Y} - \frac{b}{a} \, \frac{Y''}{Y} - \left(e +\frac{\lambda}{a}\right) \, \frac{T'}{T} - f \\\frac{Y''}{Y} + \frac{\mu}{b} \, \frac{Y'}{Y} = -\frac{\lambda}{cb} X Y - \frac{a}{cb} X'' - \frac{c}{b}\frac{X'Y'}{XY} - \frac{e}{b} \frac{T'}{T} - \frac{f}{b} \\\frac{T''}{T} + \left(\frac{\mu}{c} + \frac{\lambda}{a}\right) \,\frac{T'}{T} = - \frac{\mu}{ca} \, \frac{X''}{X} - \frac{\lambda}{ca}\, \frac{Y''}{Y} - \frac{c}{a} \, \frac{X'Y'}{XY} - \frac{d}{a} \,\frac{X'}{X} - \frac{b}{c} \, \frac{Y''}{Y} - e \, \frac{Y'}{Y} - f \end{cases}$$这三个方程需要满足一定的初值条件和边界条件，才能求解。

数学物理第二章-分离变量法

例1 设 b Rn ，求解线性方程组 Ax b.
4
解 A的n个线性无关的特征向量{Ti}(1 i n) 可以作为 Rn
n
n
的一组基。将x，b按此基展开为 x xi Ti ,b bi Ti，则
Ax b 等价于 n
i1
i1
n
xi ATi bi Ti
i1
i1
或
n
n
xi iTi bi Ti
l n ,n 1
n
n
l
2
,n
1
所以，可得
11
Xn (x)
sin
n
l
x, n
1
因此,特征值问题（1）的解为
n
n
l
2
,n
1,
Xn (x)
sin
n
l
x, n
1.
注：
特征值问题是分离变量法的理论基础；
改变边界条件，相应的特征函数系也会改变；
Sturm-Liouville定理：特征函数系的正交性和完备性。
（3）导出 Tn (t)满足的方程，给出通解（傅里叶展开）；
（4）由初始条件确定通解系数.
注2 对齐次问题
u(x,t) 2 l(s)sin( n s)ds cos n a t sin n x
l0 n1
l
l
l
2
l
(s)sin( n
s)ds sin
0
xi0 i ,
n
f (t) fi T (t)6 i.
i 1
i 1
i 1
则原问题等价于 dx Ax f (t), x(0) x0
dt
T T n dxi
i1 dt

第二章-分离变量法-1

T = F (x )
0 ≤ x ≤L ，τ＝ 0 ＝
解：1．分离函数．
假定该问题的解可以分解成空间函数与时间函数的乘积形式
T ( x,τ ) = X ( x )Γ(τ )
代入微分方程及定界条件，转化为个常代入微分方程及定界条件，转化为2个常微分方程——分离方程微分方程分离方程
T ( x,τ ) = X ( x )Γ (τ )
上式所示的解既满足原导热问题的微分方程，上式所示的解既满足原导热问题的微分方程，又满足边界条件，但它不一定满足初始条件。因此，足边界条件，但它不一定满足初始条件。因此，还需将初始条件应用于上式。需将初始条件应用于上式。
F ( x) = ∫
∞
β =0
C ( β )[β cos( β x) + H sin( β x)]dβ
数学描述：数学描述：
h
1
初始时 T=F(x)
1 ∂T ( x,τ ) ∂ 2T ( x,τ ) = a ∂τ ∂x 2
x
0 ＜ x ＜ ∞，τ＞0 ，＞
O
∂T λ − hT = 0 ∂x ∂x
x ＝0 ，τ＞0 ＞
半无限大物体的导热
T = F (x )
0 ≤x ≤L ，τ＝ 0 ＝
解：1．分离函数．
1 d 2 X ( x) 1 d Γ (τ ) = X ( x ) dx 2 a Γ (τ ) d τ
dΓ(τ ) + aβ 2 Γ(τ ) = 0 dτ
1 ∂T ( x,τ ) ∂ 2T ( x,τ ) = a ∂τ ∂x 2
= -β
2
d 2 X ( x) + β 2 X( x) = 0 dx 2
∂X + HX = 0 ∂x

在利用分离变量法求解定解问题的时候，对方程和边界条件都

在利用分离变量法求解定解问题的时候对方在利用分离变量法求解定解问题的时候，对方程和边界条件都要进行变量分离。

般而言，能否程和边界条件都要进行变量分离。

一般而言，
应用分离变量法，除了和方程和边界条件本身的形式有关之外，还和所选择的坐标系有关系。

这个时候要根据边界情况来选取合适的坐标系在进步候要根据边界情况来选取合适的坐标系。

在进一步讨论之前，我们引入正交曲线坐标系的概念
的概念。

1
几点说明
1.这些线性二阶常微分方程常常不能用通常的解法解出，但
可用幂级数解法解出．
2所谓幂级数解法的邻域上把待求2.所谓幂级数解法，就是在某个任意点z0 的邻域上，把待求
的解表为系数待定的幂级数，代入方程以逐个确定系数．3.幂级数解法是一个比较普遍的方法，适用范围较广，可借
助于解析函数的理论进行讨论
助于解析函数的理论进行讨论．
4.求得的解既然是级数，就有是否收敛以及收敛范围的问题.
5.尽管幂级数解法较为繁琐，但它可广泛应用于微分方程问
中
题的求解中．
24。