空间直角坐标系
空间直角坐标系
长度：使用直角坐标 系中的坐标值计算
面积：使用直角坐标 系中的坐标值计算
体积：使用直角坐标 系中的坐标值计算
角度：使用直角坐标 系中的坐标值计算
距离：使用直角坐标 系中的坐标值计算
相似性：使用直角坐 标系中的坐标值计算
平移：沿某个方向移动一定距 离不改变形状的大小和方向
旋转：绕某个轴旋转一定角 度改变形状的位置和方向
向量的坐标表示应用：向量的坐标表示方法在物理、工程、计算机科学等领域有着广泛的应 用。
向量的模：向量的长度表示为向量的平方和的平方根
向量的数量积：两个向量的点积表示为两个向量的坐标乘积的和
向量的坐标表示方法：用三个坐标值表示向量每个坐标值对应一个坐标轴
向量的数量积的坐标表示方法：用两个向量的坐标乘积的和表示向量的数量积每个坐标乘积 对应一个坐标轴
平移：沿坐标轴方 向移动保持原点位 置不变
旋转和平移的复合 ：先旋转后平移或 先平移后旋转
旋转和平移的逆操 作：旋转和平移的 逆操作可以恢复原 坐标系
空间直角坐标系的 表示方法
空间直角坐标 系：由三个互 相垂直的坐标 轴组成通常用x、
y、z表示
点的坐标表示： 用三个数字表 示分别对应x、 y、z轴上的坐
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汇报人：
示。
单位长度：平面直角坐标系中 的单位长度是固定的通常用1表
示。
空间直角坐标系是 三维的平面直角坐 标系是二维的
空间直角坐标系中的点 可以用三个坐标表示平 面直角坐标系中的点可 以用两个坐标表示
空间直角坐标系中 的点可以通过投影 变换转换为平面直 角坐标系中的点
平面直角坐标系中 的点可以通过升维 变换转换为空间直 角坐标系中的点
坐标轴：x轴、y轴、z 轴分别代表三个方向 的坐标。
空间直角坐标系(104)
空间直角坐标系具有方向性，即坐标 轴的正方向是确定的；同时，它还具 有唯一性，即对于空间中的任意一点 ，其坐标值是唯一的。
坐标系的建立
确定坐标原点
选择一个固定的点作为坐标系的原点， 该点是空间中唯一的一个点。
确定坐标轴方向
单位长度与坐标单位
根据实际需要选择适当的单位长度，如米、 厘米等，并规定x、y、z轴上的单位长度分 别为1、1、1，称为坐标单位。
点与坐标的关系
一个点的位置由其坐标值唯一确定， 而一个坐标值也唯一对应一个点。
02
空间直角坐标系的性质与 定理
点的坐标与向量表示
点的坐标
在空间直角坐标系中，一个点的 位置由三个坐标值$x, y, z$确定。
向量表示
一个点可以表示为一个向量，该 向量从原点出发，指向该点。
向量的加法、数乘及向量的模
向量在解决实际问题中的应用
向量还可以用于解决许多实际问题，如线性代数问题、微积分问题、流体力学问题等。通过空间直角坐 标系，可以更方便地表示和解决这些问题。
04
空间直角坐标系中的曲线 与曲面
曲线在空间直角坐标系中的表示
1 2
参数方程表示法
通过给定参数和参数方程，将曲线的坐标表示为 参数的函数。
直角坐标方程表示法
THANKS
感谢观看
空间几何体的运动分析
通过空间直角坐标系，可以分析空间几何体的运动规律，如平移、旋转、缩放等。
向量在解决实际问题中的应用
向量在物理中的应用
向量在物理中有广泛的应用，如力、速度、加速度等都可以用向量表示和计算。通过空间直角坐标系，可以更方便地 表示和计算这些物理量。
向量在解析几何中的应用
向量在解析几何中有重要的应用，如向量的加法、数乘、向量的模等都可以用于解决实际问题。通过空间直角坐标系 ，可以更方便地表示和计算这些向量运算。
空间直角坐标系
空间直角坐标系空间直角坐标系是一种用来描述物体在三维空间中位置的坐标系统。
它是一种常见且重要的坐标系，被广泛应用于数学、物理、工程等各个领域。
本文将详细介绍空间直角坐标系的定义、特点和使用方法。
一、空间直角坐标系的定义空间直角坐标系是由三个相互垂直的坐标轴构成的，通常用x、y、z表示。
x轴和y轴在水平平面上，z轴垂直于水平平面向上延伸。
在这个坐标系中，每个点可以由一个有序的三元组(x, y, z)唯一确定。
其中，x表示点在x轴上的坐标值，y表示点在y轴上的坐标值，z表示点在z轴上的坐标值。
二、空间直角坐标系的特点1. 三维描述：空间直角坐标系能够准确描述物体在三维空间中的位置。
通过确定点在x、y、z轴上的坐标值，可以得知物体在坐标系中的具体位置。
2. 直角关系：空间直角坐标系中的三个坐标轴彼此垂直。
这意味着任意两个轴的夹角为直角，使得坐标系的描述更加简洁明了。
3. 正负号：在空间直角坐标系中，每个坐标轴都有正负号之分。
通过正负号的不同，可以识别出点在轴的正方向还是负方向上。
三、空间直角坐标系的使用方法1. 坐标表示：在空间直角坐标系中，可以通过坐标表示物体的位置。
例如，一个点的坐标为(2, 3, 4)，表示该点在x轴上的坐标值为2，在y轴上的坐标值为3，在z轴上的坐标值为4。
2. 图形表示：使用空间直角坐标系，可以绘制出物体在三维空间中的图形。
例如，通过连接多个点可以绘制直线、曲线，通过连接多个面可以绘制立方体、圆柱体等。
3. 距离计算：在空间直角坐标系中，可以计算物体之间的距离。
根据勾股定理，可以计算出两点之间的直线距离。
例如，两点A(x1, y1,z1)和B(x2, y2, z2)之间的距离可以用以下公式表示：AB = √[(x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²]。
四、应用举例空间直角坐标系在许多领域有着广泛的应用。
以下是一些例子：1. 建筑设计：在建筑设计中，使用空间直角坐标系可以准确描述建筑物的位置、大小和形状，方便施工和规划工作。
空间直角坐标系
的几何特性. 为顶点的三角形ABC的几何特性. 解 由空间两点间距离公式有
| AB |2 = (10 − 4)2 + (−1−1)2 + (6 − 9)2 = 49,
同理有
| AC | = 49, | BC |2 = 98.
2
Q AB | =| AC | , ∴AB= AC， |
2 2
因而△ 为等腰三角形. 因而△ABC为等腰三角形.
2 2
2 2
2
2
= ( x 2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + ( z 2 − z1 )
所以空间两点间的距离 所以空间两点间的距离
d = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + (z2 − z1 ) .
2 2 2
特地， 特别地，
点 M ( x , y , z) 与原点O ( 0 , 0 , 0 ) 的距离
z
a aa Q( , , ) 2 22
D’ A’ B’
C’
Q
O A x C
Q’
B
y
典型例题
1 的小正方体堆积成的正方体）， ），其 图（可看成是八个棱长为 的小正方体堆积成的正方体），其 2
结晶体的基本单位称为晶胞， 例2 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意
中色点代表钠原子，黑点代表氯原子． 中色点代表钠原子，黑点代表氯原子．
典型例题
1 的小正方体堆积成的正方体）， ），其 图（可看成是八个棱长为 的小正方体堆积成的正方体），其 2
结晶体的基本单位称为晶胞， 例2 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意
中色点代表钠原子，黑点代表氯原子． 中色点代表钠原子，黑点代表氯原子． 如图建立空间直角坐标 系O-xyz后，试写出全部钠原子所在位置的坐标． 后 试写出全部钠原子所在位置的坐标．
空间直角坐标系
空间直角坐标系在数学和物理学中，空间直角坐标系是一种常用的坐标系统，用于描述三维空间中的点、向量和物体的位置。
它由三个互相垂直的坐标轴（x轴、y轴和z轴）组成，构成了一个三维的直角坐标系。
一、空间直角坐标系的定义空间直角坐标系以原点为起点，通过选定的单位长度建立了三个相互垂直的坐标轴。
x轴代表水平方向，y轴代表垂直于x轴的水平方向，z轴代表竖直方向垂直于x、y轴。
这样，每一个点都可以用三个数字（x，y，z）表示其在空间直角坐标系中的位置。
二、坐标轴的性质和方向在空间直角坐标系中，每个坐标轴都具有以下性质：1. x轴：位于水平方向，从负无穷到正无穷延伸。
正方向为从左往右。
2. y轴：位于垂直于x轴的水平方向，从负无穷到正无穷延伸。
正方向为从前往后。
3. z轴：位于竖直方向，从负无穷到正无穷延伸。
正方向为从下往上。
空间直角坐标系中，x轴和y轴的交点称为原点（O），z轴的正方向与x轴和y轴的正方向形成右手螺旋规则关系。
三、点的表示和距离计算在空间直角坐标系中，任意一点P的坐标为（x，y，z）。
这意味着点P在x轴上的坐标为x，在y轴上的坐标为y，在z轴上的坐标为z。
点P到原点的距离可以由勾股定理计算：距离= √(x² + y² + z²)四、向量和运算在空间直角坐标系中，向量可以用其起点和终点的坐标差来表示。
例如，向量V可以表示为V = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)，其中(x1, y1, z1)为起点坐标，(x2, y2, z2)为终点坐标。
向量的加法和减法可以分别通过坐标的相加和相减进行计算。
例如，向量A = (x1, y1, z1)和向量B = (x2, y2, z2)的加法结果为A + B = (x1 +x2, y1 + y2, z1 + z2)。
五、空间坐标系的应用空间直角坐标系在几何学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。
它可以用来描述点、线、面和三维物体的位置关系和运动状态。
空间直角坐标系
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空间中点 P 坐标的确定方法 (1)由 P 点分别作垂直于 x 轴、y 轴、z 轴的平面，依次 交 x 轴、y 轴、z 轴于点 Px、Py、Pz，这三个点在 x 轴、y 轴、z 轴上的坐标分别为 x、y、z，那么点 P 的坐标就是(x， y，z)． (2)若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点 P 在坐标轴或坐标平面上，则要充分利用这一性质解题．
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总结 1．求空间对称点的规律方法 空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问 题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．对称点的 问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反” 这个结论． 2．空间直角坐标系中，任一点 P(x，y，z)的几种特殊 对称点的坐标如下： ①关于原点对称的点的坐标是 P1(－x，－y，－z)；
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空间中点的对称
[例 2] (1)点 A(1,2，－1)关于坐标平面 xOy 及 x 轴的 对称点的坐标分别是________．
(2)已知点 P(2,3，－1)关于坐标平面 xOy 的对称点为 P1， 点 P1 关于坐标平面 yOz 的对称点为 P2，点 P2 关于 z 轴的对 称点为 P3，则点 P3 的坐标为________．
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②关于x轴(横轴)对称的点的坐标是P2(x，－y，－z)； ③关于y轴(纵轴)对称的点的坐标是P3(－x，y，－z)； ④关于z轴(竖轴)对称的点的坐标是P4(－x，－y，z)； ⑤关于xOy坐标平面对称的点的坐标是P5(x，y，－z)； ⑥关于yOz坐标平面对称的点的坐标是P6(－x，y，z)； ⑦关于xOz坐标平面对称的点的坐标是P7(x，－y，z)．
空间直角坐标系
解: D( 0, 0, 2),
C( 0, 4, 0), A( 3, 0, 2), 过点 A 的 x 轴的垂面 AB 交 x 轴于点 A, 得 x 坐标为 3;
z
2 D
A
3A O
x
C B
C
4y
B
过点 A 的 y 轴的垂面 AO 交 y 轴于原点,
得 y 坐标为 0;
过点 A 的 z 轴的垂面 AC 交 z 轴于点 D,
得 z 坐标为 2.
例1. 如图, 在长方体 OABC-DABC中, |OA|=3,
|OC|=4, |OD|=2. 写出 D, C, A, B 四点的坐标.
解: D( 0, 0, 2),
C( 0, 4, 0), A( 3, 0, 2), B( 3, 4, 2). 过点 B 的 x 轴的垂面 BA
o
y
y
o
o
y
x
x
课本中采用的是右手直角坐标系, (如图)
二、点的坐标
点P的坐标: P (x, y, z), z 过点P作 x 轴的垂面,
与 x 轴交点的坐标
就是点P的 x 坐标; 过点P作 y 轴的垂面,
z
P● (x, y, z)
与 y 轴交点的坐标
o
y
y
就是点P的 y 坐标;
x
过点P作 z 轴的垂面, x
N22( 1,
1 2
,
12),
N24(
1 2
,
1,
1 2
),
N14( 1, 1, 1 ),
N21(
1 2
,
0,
1 2
),
N23( 0,
1.3.1 空间直角坐标系(解析版)..
1.3空间向量及其运算的坐标表示1．3.1空间直角坐标系知识梳理知识点一空间直角坐标系1．空间直角坐标系及相关概念(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O 和一个单位正交基底{i ，j ，k }，以O 为原点，分别以i ，j ，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz .(2)相关概念：O 叫做原点，i ，j ，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy 平面、Oyz 平面、Ozx 平面，它们把空间分成八个部分．2．右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．知识点二空间一点的坐标在空间直角坐标系Oxyz 中，i ，j ，k 为坐标向量，对空间任意一点A ，对应一个向量OA →，且点A 的位置由向量OA →唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使OA →＝x i ＋y j ＋z k .在单位正交基底{i ，j ，k }下与向量OA →对应的有序实数组(x ，y ，z )叫做点A 在此空间直角坐标系中的坐标，记作A (x ，y ，z )，其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标．知识点三空间向量的坐标在空间直角坐标系Oxyz 中，给定向量a ，作OA →＝a .由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使a ＝x i ＋y j ＋z k .有序实数组(x ，y ，z )叫做a 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标，上式可简记作a ＝(x ，y ，z )．题型探究题型一、空间中点的位置及坐标特征1．若空间一点()21,1,11M a a +-+在z 轴上，则=a （）A ．1B ．0C ．±1D ．1-【答案】D【详解】因为空间一点()21,1,11M a a +-+在z 轴上，所以21010a a +=⎧⎨-=⎩，解得1a =-；故选：D2．在空间直角坐标系中，点()2,0,3P 位于（）A ．x 轴上B ．y 轴上C ．xOy 平面上D ．xOz 平面上【答案】D【详解】在空间直角坐标系Oxyz 中,点()2,0,3P ，因为坐标中0y =，所以点()2,0,3P 位于xOz 平面上.故选：D.3．已知点A '是点(2,9,6)A 在坐标平面Oxy 内的射影，则点A '的坐标为（）A ．(2,0,0)B ．(0,9,6)C ．(2,0,6)D ．(2,9,0)【答案】D【详解】因为点A '是点(2,9,6)A 在坐标平面Oxy 内的射影，所以A '的竖坐标为0，横、纵坐标与A 点的横、纵坐标相同，所以点A '的坐标为(2,9,0).故选：D4．已知点(),,P x y z ，若点P 在x 轴上，则点P 坐标为___________；若点P 在yOz 平面内，则点P 坐标为___________.若点P 在z 轴上，则点P 坐标为___________；若点P 在xOz 平面内，则点P 坐标为___________.【答案】(),0,0x ()0,,y z ()0,0,z (),0,x z 【详解】若点P 在x 轴上，则点P 坐标为(),0,0x ；若点P 在yOz 平面内，则点P 坐标为()0,,y z ；若点P 在z 轴上，则点P 坐标为()0,0,z ；若点P 在xOz 平面内，则点P 坐标为(),0,x z .故答案为：(),0,0x ；()0,,y z ；()0,0,z ；(),0,x z .题型二、求空间图形上的点的坐标1．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，1AD =，12AA =，先建立空间直角坐标系，再求长方体各顶点的坐标.【详解】以点D 为原点，分别以射线DA ､DC ､1DD 为x 轴､y 轴､z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ､()1,0,0A ､()1,3,0B ､()0,3,0C ､()10,0,2D ､()11,0,2A ､()11,3,2B ､()10,3,2C .2．如图所示，在空间直角坐标系中，2BC =，原点O 是BC 的中点，点D 在平面yOz 内，且90BDC ∠=，30DCB ∠=，则点D 的坐标为（）．A ．13(0)22--，，B ．13(0)22-，，C ．13(0)22-，，D ．13(0)22，，【答案】B【详解】过点D 作DE BC ⊥，垂足为E ，在Rt BDC 中，90BDC ∠=，30DCB ∠=，2BC =，得||1BD =、3CD =，所以3sin 302DE CD =⋅=，所以11cos 60122OE OB BE OB BD =-=-⋅=-=，所以点D 的坐标为13(0)22-，，，故选：B ．3．如图，长方体ABCD A B C D ''''-中，底面ABCD 是边长为10的正方形，高AA '为12，点P 为体对角线BD '的中点，则P 点坐标为（）A ．()5,6,5B ．()6,6,5C ．()5,5,6D ．()6,5,5【答案】C【详解】长方体ABCD A B C D ''''-中，底面ABCD 是边长为10的正方形，高AA '为12，所以()0,0,12D '，()10,10,0B ，所以对角线BD '的中点P 点坐标为010010012,,222P +++⎛⎫⎪⎝⎭即()5,5,6，故选：C.4．在如图所示的长方体1111ABCD A B C D -中，已知()10,2,2D ，()3,0,0B ，则点1C 的坐标为________．【答案】()3,2,2【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，已知()10,2,2D ，()3,0,0B ，所以3AB =，2AD =，12AA =，所以点1C 的坐标为()3,2,2，故答案为：()3,2,2题型三、关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标1．如图，分别求点()2,3,4，()1,2,3-关于各个坐标平面、坐标轴、原点对称的点的坐标．【详解】根据空间直角坐标系的概念，可得：点()2,3,4关于坐标平面,,xOy xOz yOz 的对称点分别为()()()2,3,4,2,3,4,2,3,4---；点()1,2,3-关于坐标平面,,xOy xOz yOz 的对称点分别为()()()1,2,31,2,,,31,2,3----；点()2,3,4关于x 轴、y 轴和z 轴的对称点分别为()()()2,3,4,2,3,4,2,3,4------；点()1,2,3-关于x 轴、y 轴和z 轴的对称点分别为()()()1,2,31,2,,,31,2,3-----；点()2,3,4关于原点O 的对称点分别为()2,3,4---；点()1,2,3-关于原点O 的对称点分别为()1,2,3--.2．已知点(3,2,1)P -，分别写出它关于zOx 平面、x 轴、原点的对称点的坐标．【详解】根据空间直角坐标系的定义，可得：点(3,2,1)P -关于平面zOx 的对称点为1(3,2,1)P ；点(3,2,1)P -关于x 轴的对称点为2(3,2,1)P -；点(3,2,1)P -关于原点的对称点为3(3,2,1)P --.3．（多选）下列各命题正确的是（）A ．点()1,2,3-关于平面xOz 的对称点为()1,2,3B ．点1,1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭关于y 的对称点为1,1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．点()2,1,3-到平面yOz 的距离为1D ．设{},,i j k 是空间向量单位正交基底且以i ，j ，k 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立了一个空间直角坐标系，若324m i j k =-+，则()3,2,4m =-【答案】ABD【详解】对于A ，点()1,2,3-关于平面xOz 的对称点为()1,2,3，所以A 正确，对于B ，点1,1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭关于y 的对称点为1,1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以B 正确，对于C ，点()2,1,3-到平面yOz 的距离为2，所以C 错误，对于D ，由于{},,i j k 是空间向量单位正交基底且以i ，j ，k 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立了一个空间直角坐标系，且324m i j k =-+，所以ۥ，所以D 正确，故选：ABD4．已知()2,3,1A v μ--+关于x 轴的对称点是(),7,6A λ'-，则,,v λμ的值为（）A ．2,4,5v λμ=-=-=-B ．2,4,5v λμ==-=-C ．2,10,8v λμ=-==D ．2,10,7v λμ===【答案】D【详解】由题意得：()()27361v λμ⎧=⎪=--⎨⎪-=--+⎩，解得：2107v λμ=⎧⎪=⎨⎪=⎩.故选：D.题型四、求空间两点的中点坐标1．在空间直角坐标系中，已知点(1,0,1)A -，(5,2,1)B ，则线段AB 的中点坐标是（）A ．(1,1,0)B ．(4,2,2)C ．(2,2,0)D ．(2,1,1)【答案】D【详解】因为点(1,0,1)A -，(5,2,1)B ，所以线段AB 的中点坐标是150211,,222-+++⎛⎫⎪⎝⎭，即()2,1,1.故选：D2．在空间直角坐标系中，记点(1,1,2)M -关于x 轴的对称点为N ，关于yOz 平面的对称点为P ，则线段NP 中点坐标为（）A ．(1,0,0)B ．(1,1,0)--C ．(1,0,1)D ．(0,0,0)【答案】D【详解】依题意，点(1,1,2)M -关于x 轴的对称点的坐标为(1,1,2)N ---，关于yOz 平面的对称点为(1,1,2)P ，所以线段NP 中点坐标为(0,0,0).故选：D3．已知三角形ABC 的三个顶点()()()2,0,00,3,00,0,4A B C ，，，则三角形的重心的坐标为___________.【答案】24,1,33⎛⎫⎪⎝⎭【详解】设重心坐标为(),,x y z ，由重心坐标公式得200233x ++==，03000441,333y z ++++====.所以重心的坐标为24,1,33⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：24,1,33⎛⎫⎪⎝⎭.题型五、空间向量的坐标1．在空间直角坐标系中，已知点()4,3,5A -，()2,1,7B --，则AB =uu u r______．【答案】(6,4,12)--【详解】(24,1(3),75)(6,4,12)AB =------=--故答案为：(6,4,12)--2．如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别为A 1B 1，A 1A 的中点，试建立恰当的坐标系求向量BN ，1BA ，1A B uuu r的坐标．【答案】BN ＝(1，－1，1)，1BA ＝(1，－1，2)，1A B uuu r＝(－1，1，－2)．【详解】由题意知CC 1⊥AC ，CC 1⊥BC ，AC ⊥BC ，以点C 为原点，分别以CA ，CB ，CC 1的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz ，如图所示．则B (0，1，0)，A (1，0，0)，A 1(1，0，2)，N (1，0，1)，∴BN ＝(1，－1，1)，1BA ＝(1，－1，2)，1A B uuu r＝(－1，1，－2)．跟踪训练1．设z 为任一实数，则点()2,2,z 表示的图形是（）A ．z 轴B ．与平面xOy 平行的一直线C ．平面xOyD ．与平面xOy 垂直的一直线【答案】D【详解】在空间直角坐标系中画出动点()2,2,z 表示的图形如图所示：故点()2,2,z 表示的图形为与平面xOy 垂直的一直线，故选：D.2．在空间直角坐标系O xyz -中，已知点M 是点()3,4,5N 在坐标平面Oxy 内的射影，则的坐标是（）A ．()3,0,5B ．()0,4,5C ．()3,4,0D ．()0,0,5【答案】C【详解】点()3,4,5N 在坐标平面Oxy 内的射影为()3,4,0，故点M 的坐标是()3,4,0故选：C3．判断正误（1）空间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标一定是()0,,b c 的形式．()（2）空间直角坐标系中，在xOz 平面内的点的坐标一定是(),0,a c 的形式．()（3）空间直角坐标系中，点()1,3,2关于yOz 平面的对称点为()1,3,2-．()【答案】⨯√√【详解】（1）⨯.空间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标一定是(),0,0a 的形式.（2）√.在xOz 平面内的点，y 坐标必为0.（3）√.空间直角坐标系中，点(),,a b c 关于yOz 平面的对称点为(),,a b c -.4．（多选）在空间直角坐标系中，下列结论中正确的是（）A ．x 轴上的点坐标可以表示为()0,,b cB ．y 轴上的点坐标可以表示为()0,,0bC ．xOz 平面上的点坐标可以表示为(),0,a cD ．yOz 平面上的点坐标可以表示为()0,,b c 【答案】BCD【详解】x 轴上的点坐标可以表示为(),0,0a ，故A 不正确；y 轴上的点坐标可以表示为()0,,0b 正确；xOz 平面上的点坐标可以表示为(),0,a c 正确；yOz 平面上的点坐标可以表示为()0,,b c 正确．故选：BCD ．5．已知正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，写出正方体各顶点的坐标．【详解】依题意得()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0A B C D ()()()()11110,0,2,2,0,2,2,2,2,0,2,2A B C D 6．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，3AD =，15AA =，点N 为棱1CC 的中点，以点A 为原点，分别以AB ，AD ，1AA 所在直线为x 轴､y 轴､z 轴建立空间直角坐标系.求点A ，B ，C ，D ，1A ，1B ，1C ，1D ，及N 的坐标.【详解】由题意，知()0,0,0A .由于点B 在x 轴上，且4AB =，则它的横坐标为4，又它的纵坐标和竖坐标都为0，所以点B 的坐标为()4,0,0.同理可得()0,3,0D ，()10,0,5A .由于点C 在xOy 平面内，则它的竖坐标为0，点C 在x 轴､y 轴上的投影依次为点B ､点D ，又4OB =，3OD =，所以点C 的横坐标和纵坐标依次为4，3，即点C 的坐标为()4,3,0.同理可得()14,0,5B ，()10,3,5D .点1C 在x 轴､y 轴和z 轴上的投影依次为点B ､点D 和点1A ，所以点1C 的坐标为()4,3,5.又N 为1CC 的中点，所以点N 的坐标为443305,,222+++⎛⎫ ⎪⎝⎭，即54,3,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭.7．在空间直角坐标系中，分别求点(2,1,4)P -关于x 轴、xOy 平面、坐标原点对称的点的坐标．【详解】点(2,1,4)P -关于x 轴对称的点的坐标为()2,1,4---，关于xOy 平面对称的点的坐标为()2,1,4--，关于坐标原点对称的点的坐标为()2,1,4--.8．在空间直角坐标系下，点()3,6,2M -关于y 轴对称的点的坐标为（）A ．()3,6,2-B ．()3,6,2---C ．()3,6,2-D ．()3,6,2--【答案】C【详解】关于y 轴对称的点的y 坐标不变，,x z 坐标变为相反数，()3,6,2M ∴-关于y 轴对称的点为()3,6,2-.故选：C.9．空间直角坐标系中，已知点()1,1,1M 关于x 轴的对称点为N ，则点N 的坐标为（）A ．()1,1,1--B ．()1,1,1-C ．()1,1,1--D ．()1,1,1--【答案】A【详解】因为点()1,1,1M 关于x 轴的对称点为N ，所以()1,1,1N --.故选：A10．在空间直角坐标系下，点()2,6,1M -关于平面yOz 对称的点的坐标为（）A ．()2,6,1B ．()2,6,1-C ．()2,6,1---D ．()2,6,1--【答案】A【详解】点()2,6,1M -关于平面yOz 对称的点的坐标为()2,6,1.故选：A.11．在空间直角坐标系Oxyz 中，点P （1，2，3）关于xOy 平面的对称点坐标是（）A ．(1,2,)3-B ．1,23(,)--C ．(1,2,3)-D ．(1,2,3)--【答案】A【详解】在空间直角坐标系O xyz -,关于xOy 平面的对称点只有竖坐标为原来的相反数，所以点P 关于平面xOy 对称点是()1,2,3-.故选：A12．在空间直角坐标系O-xyz 中，点(3,2,5)A -关于xoz 平面对称的点的坐标为（）A ．(3,2,5)-B ．(3,2,5)--C ．(3,2,5)D ．(3,2,5)-【答案】C【详解】关于xoz 平面对称的点，y 坐标互为相反数，所以(3,2,5)A -关于xoz 平面对称的点的坐标为(3,2,5).故选：C13．（多选）在空间直角坐标系中，已知点(),,P x y z ，下列叙述正确的是（）A ．点P 关于x 轴对称的点()1,,P x y z --B ．点P 关于y 轴对称的点()2,,P x y z --C ．点P 关于原点对称的点()3,,P x y z ---D ．点P 关于yOz 平面对称的点()4,,P x y z -【答案】ABC【详解】由点(),,P x y z ，对于A ，点P 关于x 轴对称的点()1,,P x y z --，故A 正确；对于B ，点P 关于y 轴对称的点()2,,P x y z --，故B 正确；对于C ，点P 关于原点对称的点()3,,P x y z ---，故C 正确；对于D ，点P 关于yOz 平面对称的点()4,,P x y z -，故D 错误．故选：ABC.14．空间直角坐标系中的两点()()1,2,3,1,0,1P Q -，则线段PQ 的中点M 的坐标为（）A ．()0,2,4B ．()0,1,2C ．()2,2,2D ．()2,2,2---【答案】B【详解】设M 的坐标为(,,)x y z ，则1(1)022*******x y z +-⎧==⎪⎪+⎪==⎨⎪+⎪==⎪⎩即M 的坐标为(0,1,2)，故选：B.15．已知()4,1,3A 、()2,4,3B --，则线段AB 中点的坐标是______.【答案】31,,32⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】已知()4,1,3A 、()2,4,3B --，则线段AB 中点的坐标是31,,32⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：31,,32⎛⎫- ⎪⎝⎭.16．如图PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，,M N 分别是,AB PC 的中点，并且1==PA AB ．试建立适当的空间直角坐标系，求向量MN的坐标．【答案】11(0,,)22MN =【详解】因为1==PA AB ，PA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，所以,,AB AD AP 是两两垂直的单位向量．设123e e AB AD AP e ===，，，以123{e e }e ，，为单位正交基底建立空间直角坐标系A xyz -，连接AC ．如图所示，因为1111()2222MN MA AP PN AB AP PC AB AP PA AC ++=-++=-+=++23111111()e 222222AB AP PA AB AD AD AP e =-++++=+=+所以11(0)22MN =，，．17．如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则AB 的坐标为____，1DC 的坐标为____，1B D 的坐标为_______．【答案】(1,0,0)(1,0,1)(1,1,1)--【详解】如题图示，11(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(1,0,1),(1,1,1)A B D B C ，∴(1,0,0)(0,0,0)(1,0,0)AB =-=，1(1,1,1)(0,1,0)(1,0,1)DC =-=，1(0,1,0)(1,0,1)(1,1,1)B D =-=--.故答案为：(1,0,0)，(1,0,1)，(1,1,1)--.18．（多选）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知ABC 的边长为2，三棱柱的高为111,,BC B C 的中点分别为1,D D ，以D 为原点，分别以1,,DC DA DD 的方向为x 轴､y 轴､z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（）A ．()10,3,1A B ．()11,0,1CC ．()10,3,1AD =-D ．()13,3,1B A =-【答案】ABC【详解】在等边ABC 中，2,1AB BD ==，所以3AD =，则()()()1110,3,0,0,3,1,1,0,1,)(0,0,1A A C D ，()11,0,1B -，则()()110,3,1,1,3,1AD B A =-=-.故选：ABC高分突破1．点()1,2,3P -在坐标平面Oxy 内的射影的坐标为（）A ．()1,2,3B ．()1,2,3---C ．()1,2,0D ．()0,0,3-【答案】C【详解】在空间直角坐标系中，可得点()1,2,3P -在坐标平面Oxy 内的射影的坐标为()1,2,0．故选：C.2．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AD =，4DC =，12DD =，以DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则点1B 的空间直角坐标为（）A ．()4,3,2B ．()2,4,3C ．()3,4,2D ．()3,2,4【答案】C【详解】横坐标为点1B 到坐标面yDz 的距离，纵坐标为点1B 到坐标面xDz 的距离，竖坐标为点1B 到坐标面xDy 的距离，因为3AD =，4DC =，12DD =，所以点1B 的空间直角坐标为()3,4,2.故选：C.3．已知空间向量(1,2,3)a =-，则向量a 在坐标平面xOz 上的投影向量是（）A ．(0,1,2)-B ．(1,2,0)-C ．(0,2,3)D ．(1,0,3)-【答案】D【详解】根据空间中点的坐标确定方法知，空间中点(1,2,3)A =-在坐标平面xOz 上的投影坐标，纵坐标为0，横坐标与竖坐标不变．所以空间向量(1,2,3)a =-在坐标平面xOz 上的投影向量是：(1,0,3)-，故选：D.4．在空间直角坐标系中，点()2,1,2M -和点()2,1,2N --的位置关系是（）A ．关于x 轴对称B ．关于z 轴对称C ．关于xOz 平面对称D ．关于yOz 平面对称【答案】C【详解】在空间直角坐标系中，点()2,1,2M -和点()2,1,2N --两点x 坐标，z 坐标相同，y 坐标相反，所以()2,1,2M -和点()2,1,2N --关于xOz 平面对称，故选：C.5．若点()(),,0P x y z xyz ≠关于xOy 的对称点为A ，关于z 轴的对称点为B ，则A ､B 两点的对称是（）A ．关于xOy 平面对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于坐标原点对称【答案】D【详解】点(),,P x y z 关于xOy 的对称点为(),,A x y z -，关于z 轴的对称点为(),,B x y z --，显然,A B 两点关于坐标原点对称.故选：D .6．笛卡尔是世界著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父.据说在他生病卧床时，还在反复思考一个问题：通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来呢？突然，他看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形.在如图所示的空间直角坐标系中，单位正方体顶点A 关于x 轴对称的点的坐标是（）A ．()1,1,1--B ．()1,1,1C ．()1,1,1-D ．()1,1,1---【答案】B【详解】由图可知，点(1,1,1)A --，所以点A 关于x 轴对称的点的坐标为(1,1,1).故选：B.7．在空间直角坐标系O xyz -，点()1,2,5A -关于平面yoz 对称的点B 为（）A ．()1,2,5--B ．()1,2,5--C ．()1,2,5---D ．()1,2,5-【答案】B【详解】关于平面yoz 对称的点：横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相同，故选：B8．向量(1,2,0),(1,0,6)OA OB ==-，其中C 为线段AB 的中点，则点C 的坐标为（）A ．(0,2,6)B ．(2,2,6)--C ．(0,1,3)D ．(1,1,3)--【答案】C【详解】∵(1,2,0),(1,0,6)OA OB ==-，∴由中点坐标公式可得，线段AB 的中点C 的坐标为()0,1,3.故选：C .9．在空间直角坐标系中，点(1,4,3)P -与点Q (3,2,5)-关于点M 对称，则点M 的坐标为（）A ．(4,2,2)B ．(2,1,2)-C ．(2,1,1)D ．(4,1,2)-【答案】C【详解】因为(1,4,3)P -与点Q (3,2,5)-，M 为PQ 的中点，所以由中点公式可知M 的坐标为()2,1,1．故选：C10．已知点1M ，2M 分别与点(1,2,3)M -关于x 轴和z 轴对称，则12M M =（）A ．(2,0,6)-B ．(2,0,6)-C ．(0,4,6)-D ．(0,4,6)-【答案】A【详解】依题意，点(1,2,3)M -关于x 轴对称点1(1,2,3)M -，关于z 轴对称点2(1,2,3)M -，所以12(2,0,6)M M =-.故选：A11．（多选）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则（）A ．点1C 的坐标为（2，0，2）B ．()12,2,2C A =--C ．1BD 的中点坐标为（1，1，1）D ．点1B 关于y 轴的对称点为（－2，2，－2）【答案】BCD【详解】根据题意可知点1C 的坐标为(0,2,2)，故A 错误；由空间直角坐标系可知：1(2,0,0),(2,2,2)A C A =--,故B 正确；由空间直角坐标系可知：1(2,2,0),(0,0,2)B D ,故1BD 的中点坐标为（1，1，1），故C 正确；点1B 坐标为(2,2,2)，关于于y 轴的对称点为（－2，2，－2），故D 正确，故选：BCD12．（多选）已知四边形ABCD 的顶点分别是()312A -，，，()121B -，，，()113C --，，，()353D -，，，那么以下说法中正确的是（）A ．()233AB =--，，B ．A 点关于 x 轴的对称点为()312-，，C ．AC 的中点坐标为()201--，，D ．D 点关于xOy 面的对称点为()353--，，【答案】ABD【详解】由于四边形ABCD 的顶点分别是(3A ，1-，2)，(1B ，2，1)-，(1C -，1，3)-，(3D ，5-，3)，对于A :(2,3,3)AB =--，故A 正确；对于B ：点A 关于x 轴对称的点的坐标为(3，1，2)-，故B 正确；对于C :AC 的中点坐标为(1，0，1)2-，故C 错误；对于D ：点D 关于xOy 面的对称点为(3，5-，3)-，故D 正确；故选：ABD ．13．点(),,P a b c 到坐标平面yOz 的距离是______.【答案】a【详解】由已知可得点(),,P a b c 到坐标平面yOz 的距离是a .故答案为：a .14．在空间直角坐标系中，点P 的坐标为()2,4,3-，过P 作xOz 平面的垂线，垂足为Q ，则Q 点的坐标为______．【答案】()2,0,3Q 【详解】由于垂足Q 在xOz 平面内，可设(),0,x z ，因为PQ ⊥平面xOz ，所以,P Q 两点的横坐标和竖坐标相等，故()2,0,3Q ，故答案为：()2,0,3Q .15．在空间直角坐标系中，点()1,4,2M --在xOz 平面上的射影的坐标是______，点M 关于原点对称的点的坐标是______．【答案】()1,0,2--()1,4,2-【详解】点()1,4,2M --在xOz 平面上的射影的坐标是()1,0,2--，点()1,4,2M --关于原点对称的点的坐标是()1,4,2-，故答案为：()1,0,2--，()1,4,2-16．若点()2,3,1A v μ--+关于x 轴的对称点为(),5,6A λ'-，则λ=___________，μ=___________，=v ___________.【答案】287【详解】点()2,3,1A v μ--+关于x 轴的对称点为()2,3,1v μ--，又其坐标为(),5,6λ-，故可得2,8,7v λμ===.故答案为：2；8；7.17．在空间直角坐标系中，已知点(,,)P x y z ，下列叙述中，正确的序号是_______.①点P 关于x 轴的对称点是1(,,)P x y z -②点P 关于yOz 平面的对称点是2(,,)P x y z --③点P 关于y 轴的对称点是3(,,)P x y z -④点P 关于原点的对称点是4(,,)P x y z ---【答案】④【详解】①点P 关于x 轴的对称点的坐标是(x ，y -，)z -，故①错误；②点P 关于yOz 平面的对称点的坐标是(x -，y ，)z ，则②错误；③点P 关于y 轴的对称点的坐标是(x -，y ，)z -，则③错误；④点P 关于原点的对称点的坐标是(x -，y -，)z -，故④正确，故正确的序号是④.故答案为：④.18．已知()3,1,2a =-，a 的起点坐标是()2,0,5-，则a 的终点坐标为______．【答案】()5,1,3--【详解】设a 的终点坐标为(),,x y z ，由题可得：()()2,,53,1,2x y z -+=-，故可得5,1,3x y z ==-=-，即a 的终点坐标为()5,1,3--.故答案为：()5,1,3--.19．已知(357)A -，，、(243)B -，，，设点A 、B 在yOz 平面上的射影分别为1A 、1B ，则向量11A B 的坐标为________．【答案】(0110)-，，【详解】点(357)A -，，、(243)B -，，在yOz 平面上的射影分别为1(057)A -，，、1(043)B ，，，∴向量11A B 的坐标为(0110)-，，．故答案为：(0110)-，，.20．已知三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，若3PA =，1AB =，2AC =，先建立空间直角坐标系.(1)求各顶点的坐标；(2)若点D 在线段PC 上靠近点P 的三等分点，求点D 的坐标.【详解】(1)因为PA ⊥平面ABC ，所以PA AC ⊥，PA AB ⊥，又因为AB AC ⊥，所以建立以点A 为原点，以射线AB 、AC 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴的空间直角坐标系，如图所示：因为3PA =，1AB =，2AC =，所以()0,0,0A 、()1,0,0B 、()0,2,0C 、()0,0,3P ；(2)若D 点在线段PC 上靠近P 点的三等分点，所以2CD DP =，设点D 的坐标为(),,x y z ，则020*******,1230232,12x y z +⋅⎧==⎪+⎪+⋅⎪==⎨+⎪+⋅⎪==⎪+⎩所以20,,23D ⎛⎫⎪⎝⎭.21．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB 4=，3AD =，15AA =，N 为棱1CC 的中点，分别以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z轴，建立空间直角坐标系．（1）求点1111,,,,,,,A B C D A B C D 的坐标；（2）求点N 的坐标．【详解】（1）D 为坐标原点，则()0,0,0D ，点A 在x 轴的正半轴上，且3AD =，()3,0,0A ∴，同理可得：()0,4,0C ，()10,0,5D ．点B 在坐标平面xOy 内，BC CD ⊥，BA AD ⊥，()3,4,0B ∴，同理可得：()13,0,5A ，()10,4,5C ，与B 的坐标相比，点1B 的坐标中只有z 坐标不同，115BB AA ==，()13,4,5B ∴．综上所述：()3,0,0A ，()3,4,0B ，()0,4,0C ，()0,0,0D ，()13,0,5A ，()13,4,5B ，()10,4,5C ，()10,0,5D .（2）由（1）知：()0,4,0C ，()10,4,5C ，则1CC 的中点N 为004405,,222+++⎛⎫ ⎪⎝⎭，即50,4,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭.22．如图，正方体OABC D A B C ''''-的棱长为a ，E ，F ，G ，H ，I ，J 分别是棱C D ''，D A ''，A A '，AB ，BC ，CC '的中点，写出正六边形EFGHIJ 各顶点的坐标．【答案】0,,2a E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,0,2a F a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,0,2a G a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,,02a H a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,,02a I a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,,2a J a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【详解】因为正方体OABC D A B C ''''-的棱长为a ，E ，F ，G ，H ，I ，J 分别是棱C D ''，D A ''，A A '，AB ，BC ，CC '的中点所以0,,2a E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,0,2a F a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,0,2a G a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,,02a H a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,,02a I a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,,2a J a ⎛⎫ ⎪⎝⎭23．已知三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，若3PA =，2AB =，2AC =，建立空间直角坐标系.(1)求各顶点的坐标；(2)若点Q 是PC 的中点，求点Q 坐标；(3)若点M 在线段PC 上移动，写出点M 坐标.【详解】(1)在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，则射线,,AB AC AP 两两垂直，以点A 为原点，射线,,AB AC AP 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，所以(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,3)P .(2)由（1）知，点Q 是PC 中点，则3(0,1,)2Q .(3)由（1）知，点M 在线段PC 上移动，则点M 的横坐标为0，设其纵坐标为t (02)t ≤≤，其竖坐标z ，当M 与A 不重合时，23,3322z t z t -==-，当M 与A 重合时，z =3满足上式，因此332z t =-，所以点3(0,,3)(02)2M t t t -≤≤.。
空间直角坐标系
一、空间向量的基本概念
平面向量
空间向量
定义
具有大小和方向的量
表示法 几何表示：有向线段 AB 字母表示: a
向量的模
向量的大小 AB a
相等向量 相反向量 单位向量 零向量
长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量 模为1的向量，没有规定方向 模为0的向量，与任何向量共线
空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，
( x y z 1)
判断四点共面，或直线平行 于平面
1.下列命题中正确的有：B
(1) p xa yb p 与 a 、b 共面 ; (2) p 与 a 、b 共面 p xa yb ；
(3) MP x MA y MB P、M、A、B共面；
(4) P、M、A、B共面 MP xMA yMB ；
预备知识
数轴Ox上的点M
实数x
O
直角坐标平面上的点M
y
M
x
x
实数对(x，y)
y A(x,y)
Ox
x
一、空间直角坐标系 —Oxyz
z
竖轴
1
纵轴
o
1
1
y
x
右手直角坐标系
横轴
右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让 右手拇指指向 x 轴的正方向，食指指向 y 轴的 正方向，如果中指指向 z 轴的正方向，则称这 个坐标系为右手直角坐标系．
【温故知新】
平面向量基本定理：
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
一对实数1，2，使a＝1e1＋2 e2。
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
五、共面向量
2. 如果两个向量 a,不b 共线，
空间直角坐标系
4
3
O
y
1
D`
x
P3(1, 1,1) z
o
x
P1(1, 1, 1)
P(1,1,1)
y
P2 (1,1, 1)
四、空间点的对称问题：
点M(x,y,z)是空间直角坐标系O-xyz中的一点
(1)与点M关于x轴对称的点: (x,-y,-z) (2)与点M关于y轴对称的点: (-x,y,-z) (3)与点M关于z轴对称的点: (-x,-y,z) (4)与点M关于原点对称的点: (-x,-y,-z)
的坐标．并指出哪些点在坐标轴上，哪些点在坐标平面上．
z
(0，0，1) D '
(1，0，1) A '
C '(0，1，1)
B '(1，1，1)
O(0，0，0) C(0，1，0) y
A(1，0，0) B(1，1，0)
x
三、特殊位置的点的坐标：
z
•C
1
•
E
•
F
B
O• 1 •
•1
A
•D
x
点P的位置
y
原点O
小提示：坐标轴
[答案] A
空间直角坐标系中任意 一点的位置如何表示？
二、空间点的坐标：
设点M是空间的一个定点，过点M分别作垂直 于x 轴、y 轴和z 轴的平面，依次交x 轴、y 轴 和z 轴于点P、Q和R．
z
R M
O
Qy
P
M’
x
二、空间点的坐标：
设点P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别
是x,y和z,这样空间一点M的坐标可以用有序实
上的点至少有两个
坐标等于0；坐标面
空间直角坐标系(86)
空间曲线的切线
空间曲线的切线方向由向量 $vec{T} = (x'(t), y'(t), z'(t))$ 给 出，其中 $x'(t), y'(t), z'(t)$ 分别 为 $x(t), y(t), z(t)$ 对参数 $t$
的导数。
空间曲面方程
一般形式
空间曲面方程可以表示为 $F(x, y, z) = 0$，其中 $F$ 为关于 $x, y, z$ 的 函数。
1 2 3
判断点、线、面的位置关系
通过比较点的坐标与直线或平面的方程，可以判 断点、线、面之间的位置关系，如点在直线上、 点在平面内等。
判断几何形状
根据空间直角坐标系中点的坐标，可以判断一些 基本几何形状，如判断四点是否共面、判断三条 直线是否共点等。
分析几何性质
利用空间直角坐标系可以方便地分析一些几何性 质，如直线的方向、平面的法向量、曲面的形状 等。
向量的长度
向量的长度（或模）是一个标量，表示向量的大小。在空间直角坐标系中，向量 A = (a1, a2, a3) 的长度 |A| = √(a1² + a2² + a3²)。
向量点积与叉积运算
向量的点积
两个向量的点积是一个标量，等于两个向量对应坐标的分量相乘后相加。即如果有向量 A = (a1, a2, a3) 和向量 B = (b1, b2, b3)，则它们的点积 A · B = a1b1 + a2b2 + a3b3。点积可以用来计算两个向量的夹角或判断两个向量的方向关系。
06
空间直角坐标系在物理问 题中的应用
运动学问题中位移、速度和加速度描述
位移描述
在空间直角坐标系中，物体的位移可以用矢量表示，其大小和方向 分别由坐标差和坐标轴方向确定。
空间直角坐标系(85)
THANKS
感谢观看
坐标系的建立
01
02
03
确定坐标原点
选择一个点作为坐标系的 原点，通常选择空间中的 任意一点。
确定坐标轴方向
根据需要确定x轴、y轴、 z轴的方向，通常采用右 手螺旋法则来确定。
确定单位长度
根据需要确定坐标轴上的 单位长度，通常采用国际 单位制（米、厘米等）。
空间点的坐标表示
点P在空间直角坐标系中的坐标为(x, y, z)，其中x、y、z分别表示点P到x轴、 y轴、z轴的距离。
计算机图形学中的坐标系
计算机图形学中，空间直角坐标系被 广泛用于描述二维或三维图形。在二 维图形中，坐标系通常由一个原点和 两个相互垂直的轴组成，用于表示图 形的位置和大小。在三维图形中，坐 标系由一个原点和三个相互垂直的轴 组成，用于表示图形的位置、方向和 大小。
VS
在计算机图形学中，空间直角坐标系 不仅用于描述图形的几何属性，还用 于实现图形的变换、投影和渲染等操 作。例如，通过坐标变换可以将一个 图形的位置、方向和大小改变；通过 投影可以将三维图形映射到二维平面 上；通过渲染可以将二维或三维图形 显示在屏幕上。
空间直角坐标系(85)
目录
• 空间直角坐标系的基本概念 • 空间直角坐标系的变换 • 空间直角坐标系的应用 • 空间直角坐标系的扩展 • 空间直角坐标系的实践应用
01
空间直角坐标系的基间直角坐标系是由三个互相垂 直的坐标轴组成的，通常称为x轴 、y轴、z轴。
性质
空间直角坐标系具有方向性，即 正方向和负方向，以及无穷远点 ，即正无穷远和负无穷远。
在建筑、机械、航空航天、地理信息系统等领域中，三维坐标
系被广泛用于测量、设计和定位。
空间直角坐标系
坐标为
0,
7 8
,
1 2
.
P(x,y,z) P(x,y,z) P(x,y,z) P(x,y,z) P(x,y,z) P(x,y,z) P(x,y,z)
空间直角坐标系中的点的对称问题
P1(-x,-y,-z); P2(-x,y,z); P3(x,-y,z); P4(x,y,-z);
P5(x,-y,-z); P6(-x,y,-z); P7(-x,-y,z).
4.3.1 空间直角坐标系
坐标系 空间直角 坐标系
右手直角 坐标系
空间直角坐标系
定义
图示
空间直角坐标系Oxyz,其中点O 叫做① 坐标原点 ,x轴、y 轴、z轴叫做坐标轴,通过每两 个坐标轴的平面叫做② 坐标 平面 ,分别称为xOy平面、yOz 平面、zOx平面
在空间直角坐标系中,让右手拇 指指向x轴的正方向,③ 食指
确定空间中的点的坐标
1.确定空间中的点P(x,y,z)的方法 (1)垂面法:找到点P在三条坐标轴上的射影,方法是过点P作三个平面分别垂直于x 轴、y轴、z轴于A、B、C三点(A、B、C即为点P在三条坐标轴上的射影),点A、 B、C在x轴、y轴、z轴上对应的数分别为a、b、c,则(a,b,c)就是点P的坐标. (2)垂线法:先将P投射(沿与z轴平行的方向)到xOy平面上,记为点P1,由P1P的长度 及点P和z轴正方向在xOy平面哪侧确定竖坐标z,再在xOy平面上用同平面直角坐 标系中一样的方法确定P1的横坐标x、纵坐标y,最后得出点P的坐标(x,y,z).
2.求空间几何体中的点的坐标 (1)建立适当的空间直角坐标系. ①在几何体中找到三条两两垂直且共点的直线. ②以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系. ③建立的坐标系不同,求出的点的坐标不尽相同. (2)通过解三角形等方法求出相关线段的长度. (3)利用线段长度结合符号写出各点坐标.
空间直角坐标系(98)
三个数轴分别称为x轴、y轴和z 轴，它们互相垂直并相交于原点
O。
空间直角坐标系具有三个基本性 质：坐标轴的正方向、单位长度
和原点位置。
坐标轴与坐标平面
x轴、y轴和z轴统称为坐标轴， 它们分别代表不同的方向。
由任意两个坐标轴确定的平面 称为坐标平面，共有三个：xy 平面、yz平面和zx平面。
坐标平面将空间分为八个象限， 每个象限内的点具有特定的坐 标符号组合。
通过已知点作给定直线的垂线，求出垂足坐标，再利用两点间
距离公式计算点到直线的距离。
两异面直线距离计算
公垂线法
找出两异面直线的公垂线，然后利用公垂线的长度计算两异面直 线的距离。
向量法
分别求出两异面直线上任意两点的向量，然后利用向量间的夹角 和模长计算两上的直线，然后利用平面几何知识 求解两直线的距离。
面。
点法式
$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(zz_0)=0$，其中$(x_0,y_0,z_0)$ 为平面上一点，$A,B,C$为平面
的法向量。
三点式
通过平面上不共线的三点 $(x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2),(x_ 3,y_3,z_3)$可确定一个平面。
直线与平面位置关系判断
点在空间直角坐标系中表示
空间中的任意一点P可以用三个 实数x、y、z来表示，称为点P的
坐标，记作P(x,y,z)。
坐标x、y、z分别表示点P到x轴、 y轴和z轴的垂直距离，距离的正
负号由点P所在的象限确定。
原点O的坐标为(0,0,0)，它是空 间中唯一一个三个坐标都为0的
点。
02 空间向量及其运算
几种常见的空间曲面
球面、柱面、旋转曲面等。例如，球 心在原点、半径为$R$的球面方程为 $x^2+y^2+z^2=R^2$。
空间直角坐标系
从空间某一点O引三条互相垂直的射线 从空间某一点 引三条互相垂直的射线Ox、Oy、Oz. 引三条互相垂直的射线 并取定长度单位和方向， 并取定长度单位和方向，就建立了空间直角坐标系 .其 其 点称为坐标原点 数轴Ox, Oy, Oz称为坐标轴，每两 坐标原点， 称为坐标轴 中O 点称为坐标原点，数轴 称为坐标轴， 个坐标轴所在的平面Oxy、Oyz、Ozx叫做坐标平面 叫做坐标平面 个坐标轴所在的平面 叫做坐标平面. 三个坐标轴的正方向符合右手系 右手系. 三个坐标轴的正方向符合右手系 z 竖轴
2
解得x = 9或x = −1.
所以点P的坐标为（9，0，0）或（－1，0，0）。
12
例3 在xoy平面内的直线x+y=1上确定一点M，使M到 点N（6，5，1）的距离最小。 解 由已知，可设M（x，1－x，0），则
MN = ( x − 6) 2 + (1 − x − 5) 2 + (0 − 1) 2
射线AB， 分别为x轴 轴的正半轴， 射线 ，AD,AA分别为 轴，Y轴，z轴的正半轴，建立空间 分别为 轴 轴的正半轴 直角坐标系，求各顶点坐标。 直角坐标系，求各顶点坐标。
z
A’ B’ O C’ D’
o A
D C
Cy
x
B
7
回顾与复习
长方体的对角线公式 已知长方体的长、宽、高分别为a，b，c
D1 A1 D C b A a B B1 C1 c
P (3,−2,5), P2 (6,0,−1) 两点间 1
11
例2 给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，
使它与点P0 (4,1,2)的距离为 30。
解 设点P的坐标是( x,0,0),由题意，0 P = 30 , P
空间直角坐标系(93)
点的坐标表示
点$P(x, y, z)$在空间直角坐标 系中的坐标表示为有序实数对 $(x, y, z)$。
点的坐标表示了该点在空间中 的位置。
点的坐标与直角坐标系的选择 有关。
向量的坐标表示
向量$overrightarrow{AB}$的起点是$A(x_1, y_1, z_1)$，终点是$B(x_2, y_2, z_2)$，则向 量的坐标表示为$overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$。
空间直角坐标系中的点与向量
点表示
在空间直角坐标系中，一个点的位置由其三个坐标值(x, y, z)唯一确定。
向量表示
一个向量在空间直角坐标系中可以用一个有向线段表示，起点为原点，终点为 该向量的终点。向量的坐标为(x, y, z)，其中x、y和z分别为该向量在x轴、y轴 和z轴上的投影长度。
02
空间直角坐标系中的坐标 表示
线性代数问题
线性方程组
在空间直角坐标系中，可以利用向量的线性组合和线性方程组的关系，解决线性 方程组问题。
矩阵运算
在空间直角坐标系中，可以利用矩阵表示向量的变换和运算，进行矩阵的加法、 数乘、乘法等基本运算。
05
空间直角坐标系的扩展
三维空间直角坐标系
定义
三维空间直角坐标系是在三维空间中， 以三个互相垂直的坐标轴作为基准， 用于描述点在空间中的位置。
平移变换是指图形在空间直角坐标系中沿某一方向移 动一定的距离，而保持其形状和大小不变的几何变换 。
平移变换不改变图形之间的相对位置关系，只改变它 们的绝对位置。
旋转变换
01
旋转变换是指图形绕某一固定点旋转一定的角度，而保持其形状和大小不变的 几何变换。
空间直角坐标系
05
空间直角坐标系的发展 历程
空间直角坐标系的起源和发展
起源：古希腊时期， 欧几里得提出平面 直角坐标系
发展：16世纪， 笛卡尔将平面直角 坐标系推广到三维 空间
应用：17世纪， 牛顿和莱布尼茨使 用空间直角坐标系 进行科学研究
现代发展：20世 纪，空间直角坐标 系在物理学、工程 学等领域得到广泛 应用
04
空间直角坐标系与笛卡 尔坐标系的关系
笛卡尔坐标系的概念和性质
笛卡尔坐标系是 数学中常用的坐 标系之一，由法 国数学家笛卡尔 提出
笛卡尔坐标系由 三个相互垂直的 坐标轴组成，通 常用x、y、z表 示
笛卡尔坐标系中 的点可以用三个 坐标值（x、y、 z）来表示，这 三个坐标值分别 对应三个坐标轴 上的位置
空间直角坐标系
XXX,a click to unlimited possibilities
汇报人：XXX
目录 /目录
01
空间直角坐标 系的定义
02
空间直角坐标 系的性质
03
空间直角坐标 系的应用
04
空间直角坐标 系与笛卡尔坐 标系的关系
05
空间直角坐标 系的发展历程
01 空间直角坐标系的定义
空间直角坐标系的定义和概念
空间直角坐标系是 描述三维空间中点 的位置的一种方法
空间直角坐标系由 三个互相垂直的坐 标轴组成，通常用 x、y、z表示
空间直角坐标系中 的点可以用三个坐 标值（x、y、z） 来表示
空间直角坐标系中 的点可以用向量来 表示，向量的起点 是原点，终点是点 所在的位置
空间直角坐标系的构成
原点：空间直角坐标系的中心点 坐标轴：x轴、y轴、z轴，分别代表三个相互垂直的方向 单位长度：规定每个坐标轴上的单位长度 坐标值：表示点在空间中的位置，由三个坐标值组成，分别对应x轴、y轴、z轴上的位置
空间直角坐标系
空间直角坐标系空间直角坐标系是在空间中用直角坐标来表示点的位置的一种坐标系。
它由三个相互垂直的坐标轴构成，分别为x轴、y轴和z轴。
这三个坐标轴通过原点O相交，并按照右手定则确定相互之间的正负方向。
在空间直角坐标系中，每个点P的位置可以用一个有序三元组(x, y, z)来表示。
其中，x表示点P在x轴上的投影长度，y表示点P在y轴上的投影长度，z表示点P在z轴上的投影长度。
这样，我们可以通过三个有序数来确定空间中的一个点的位置。
在空间直角坐标系中，各坐标轴之间的单位长度相等，且x轴与y轴在平面上呈直角，x轴与z轴在另一个平面上也呈直角，y轴与z轴在第三个平面上也呈直角。
这样，我们可以根据坐标轴的正负方向来确定点所在的象限和坐标轴。
空间直角坐标系在几何学、物理学、工程学等学科中广泛应用。
通过直角坐标系，我们可以描述和计算空间中的点、线、面、体等几何对象的位置和性质。
例如，在几何学中，可以通过坐标系方程来表示和研究直线、平面、球面等几何图形；在物理学中，可以利用坐标系对物体的运动、力学性质等进行描述和分析；在工程学中，可以利用坐标系来进行空间设计和布局等。
在空间直角坐标系中，我们还可以进行坐标变换、距离计算、角度计算、曲线方程的表示等操作。
通过坐标变换，我们可以将一个点在一个直角坐标系中的坐标转换到另一个直角坐标系中的坐标。
距离计算可以通过坐标差的运算来求得两点之间的距离。
角度计算可以通过向量的数量积来求得两个向量之间的夹角。
曲线方程的表示可以将曲线上的点的坐标表示为关于一个或多个变量的函数形式。
综上所述，空间直角坐标系是一种用于在空间中表示点位置的坐标系。
它通过三个相互垂直的轴和坐标的正负方向来确定点的位置。
空间直角坐标系在几何学、物理学和工程学等学科中都有广泛的应用，通过坐标系可以进行坐标变换、距离计算、角度计算和曲线方程的表示等操作。
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5、由点坐标确定点位置
优化设计 P115 题型一 例1
找x, 画y, 画z。
（∥y 轴）（∥z 轴）
1、在空间直角坐标系中描出下列 各点。
A（0,1,1） B（0,0,2） C（0,2,0） D（1,0,3） E（2,2,-1） F（-1,3,4）
平面直角坐标系中的对称点
关于y轴 x相反，y不变。
优化设计 P115 重难聚焦·释疑解惑 剖析2
关于谁，谁不变。（其余相反） 关于原点（-a ，-b ，-c ）
优化设计 P116 题型三 例3，变3
小结
C4
上层
B4
B3
B2
B1
o
A5
x
A2
A3 A1
中层
A4
y
下层
3、特殊位置点坐标 在谁上，谁有值。（其余为零） 在原点（0,0,0 ）
eg. 点（ 1, 0, 0）在x轴上。 点（ 1, 0，-4）在zOx平面上。 如一点在y轴上，则设为（ 0，y, 0）。
4、空间坐标系中的中点坐标公式
优化设计P116 变1，例2，例1
4.3.1 空间直角坐标系
1.数轴
A
x -1 0 1 2 数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。 数轴上的点：用实数x来表示。
1.平面直角坐标系
y
P
平面直角坐标系是由两条
y
原点重合、互相垂直的数轴
组成的。
0
x
x
平面直角坐标系上的点：
用有序实数对（x,y）表示。
1、空间直角坐标系的建立 z
在空间取定一点O (原点)
P2 (-x0 ,y0)
y y0
? 关于x 轴对称点 P 1 ? 关于y轴对称点 P 2 P (x0,y0) ? 关于原点对称点P 3
-x0
O
x0
x
P3 (-x0 , -y0)
-y0
P1 (x0 , -y0)
关于原点 x相反，y相反。
关于x轴 x不变，y相反。
关于谁，谁不变。（其余相反）
5、空间直角坐标系中对称点坐标
1
从O出发引三条两两垂直的直线
(坐标轴)
?
O1 1
y
选定某个长度作为单位长度
作图：一般使
x
Z
右手系
Y X
3
yoz平面
4
xoy平面
7
x
8
z zox平面
2
o
y1
6 5
空间直角坐标系共有 八个卦限
2.点的坐标
(x,y,z)
横，纵，竖
eg.点A(1,2,3)
3.由点的位置确定点的坐标 方法一：过P点分别做于 x,y,z 轴的垂面，
平面与三个坐标轴的交点坐标依次为 x,y,z， 那么点P的坐标就是 (x,y,z) 。
z
z
?
1
xx?
?o
1
1
?P
y
?y
3.由点的位置确定点的坐标
z
z P1
?o
x
xM
?P
yy
N?P0ຫໍສະໝຸດ P点坐标为 (x,y, z)
书P135 例1,例2
z
2
2
3 o?
x 3A
4
4C y
?B
例2
C2
z C5
C3 C1