空间直角坐标系整理

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《空间直角坐标系》知识讲解

1 空间直角坐标系：

（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i jk 表示；

（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量 ,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面； 2．空间直角坐标系中的坐标：

在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使O A x i y j z k =++

，

有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系

O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫

纵坐标，z 叫竖坐标．

3．空间向量的直角坐标运算律：（1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，

则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，

123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，112233a b a b a b a b ⋅=++，

112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈，

1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=．

知识要点空间直角坐标系

第5讲空间直角坐标系

★知识梳理★

1.右手直角坐标系

①右手直角坐标系的建立规则：x 轴、y 轴、z 轴互相垂直，分别指向右手的拇指、食指、中指；

②已知点的坐标),,(z y x P 作点的方法与步骤（路径法）：

沿x 轴正方向（0>x 时）或负方向（0<x 时）移动||x 个单位，再沿y 轴正方向（

0>y 时）或负方向（0<y 时）移动||y 个单位，最后沿x 轴正方向（0>z 时）或负方向（0<z 时）移动||z 个单位，即可作出点 ③已知点的位置求坐标的方法：

过P 作三个平面分别与x 轴、y 轴、z 轴垂直于C B A ,,，点C B A ,,在x 轴、y 轴、z 轴的坐标分别是c b a ,,，则),,(c b a 就是点P 的坐标

2、在x 轴上的点分别可以表示为),0,0(),0,,0(),0,0,(c b a ，

在坐标平面xOy ，xOz ，yOz 内的点分别可以表示为),,0(),,0,(),0,,(c b c a b a ;

3、点),,(c b a P 关于x 轴的对称点的坐标为),,(c b a --

点),,(c b a P 关于y 轴的对称点的坐标为),,(c b a --；

点),,(c b a P 关于z 轴的对称点的坐标为),,(c b a --；

点),,(c b a P 关于坐标平面xOy 的对称点为),,(c b a -；

点),,(c b a P 关于坐标平面xOz 的对称点为),,(c b a -；

点),,(c b a P 关于坐标平面yOz 的对称点为),,(c b a -；

知识要点-空间直角坐标系

第5讲空间直角坐标系

★知识梳理★

1.右手直角坐标系

①右手直角坐标系的建立规则：x 轴、y 轴、z 轴互相垂直，分别指向右手的拇指、食指、

中指；

②已知点的坐标),,(z y x P 作点的方法与步骤（路径法）：

沿x 轴正方向（0>x 时）或负方向（0<x 时）移动||x 个单位，再沿y 轴正方向（0

>y 时）或负方向（0<y 时）移动||y 个单位，最后沿x 轴正方向（0>z 时）或负方向（0

<z 时）移动||z 个单位，即可作出点

③已知点的位置求坐标的方法：

过P 作三个平面分别与x 轴、y 轴、z 轴垂直于C B A ,,，点C B A ,,在x 轴、y 轴、z 轴

的坐标分别是c b a ,,，则),,(c b a 就是点P 的坐标

2、在x 轴上的点分别可以表示为),0,0(),0,,0(),0,0,(c b a ，

在坐标平面xOy ，xOz ，yOz 内的点分别可以表示为),,0(),,0,(),0,,(c b c a b a ;

3、点),,(c b a P 关于x 轴的对称点的坐标为),,(c b a --

点),,(c b a P 关于y 轴的对称点的坐标为),,(c b a --；

点),,(c b a P 关于z 轴的对称点的坐标为),,(c b a --；

点),,(c b a P 关于坐标平面xOy 的对称点为),,(c b a -；

点),,(c b a P 关于坐标平面xOz 的对称点为),,(c b a -；

点),,(c b a P 关于坐标平面yOz 的对称点为),,(c b a -；

空间直角坐标系题型归纳学生版

空间直角坐标系一、学法指导与考点梳理

一、空间直角坐标系

二、空间直角坐标系中点的坐标

1．空间中的任意点与有序实数组()

x y z之间的关系

如图所示，设点M为空间直角坐标系中的一个定点，过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的__________，依次交x轴、y轴和z轴于点P、Q和R．设点P、Q和R在x轴，y轴和z轴上的坐标分别是x、y和z，那么点M就和有序实数组（x，y，z）是__________的关系，有序实数组__________叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作__________，其中x叫做点M的__________，y叫做点M的__________，z叫做点M 的__________．

2．空间直角坐标系中特殊位置点的坐标

3．空间直角坐标系中的对称点

设点P （a ，b ，c ）为空间直角坐标系中的点，则

三、空间两点间的距离公式

如图，设点11112222(,,),(,,)P x y z P x y z 是空间中任意两点，且点11112222(,,),(,,)P x y z P x y z 在xOy 平面上的射影分别为M ，N ，那么M ，N 的坐标分别为1122(,,0),(,,0)M x y N x y ．

在xOy 平面上，||MN =

21MNP P 内，过点1P 作2P N 的垂线，垂足为H ，

则11122||||,||||,||||PH MN MP z MP z ===，所以221||||HP z z =-．

在12Rt △PHP 中，1||||PH

MN ==，

根据勾股定理，得12||PP ==____________________________．因此，空间中点P 1（x 1，y 1，z 1）、P 2（x 2，y 2，z 2）之间的距离是12||PP =____________________________．

知识要点-空间直角坐标系

空间直角坐标系

★知识梳理★

1.右手直角坐标系

①右手直角坐标系的建立规则：轴、轴、轴互相垂直，分别指向右手的拇指、食指、中指；

②已知点的坐标作点的方法与步骤（路径法）：

沿轴正方向（时）或负方向（时）移动个单位，再沿轴正方向（时）或负方向（时）移动个单位，最后沿轴正方向（时）或负方向（时）移动个单位，即可作出点

③已知点的位置求坐标的方法：

过作三个平面分别与轴、轴、轴垂直于，点在轴、轴、轴的坐标分别是，则就是点的坐标

2、在轴上的点分别可以表示为，

在坐标平面，，内的点分别可以表示为;

3、点关于轴的对称点的坐标为

点关于轴的对称点的坐标为；

点关于坐标平面的对称点为；

点关于原点的对称点。

4. 已知空间两点，则线段的中点坐标为

5．空间两点间的距离公式

已知空间两点，

则两点的距离为，

特殊地,点到原点的距离为;

5．以为球心,为半径的球面方程为

特殊地,以原点为球心,为半径的球面方程为

★重难点突破★

重点:了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系表示点的位置，会推导和使用空间两点间的距离公式

难点:借助空间想象和通过与平面直角坐标系的类比，认识空间点的对称及坐标间的关系

重难点: 在空间直角坐标系中，点的位置关系及空间两点间的距离公式的使用

1．借助空间几何模型进行想象，理解空间点的位置关系及坐标关系

问题1：点到轴的距离为

[解析]借助长方体来思考，以点为长方体对角线的两个顶点，点到轴的距离为长方体一条面对角线的长度，其值为

2．将平面直角坐标系类比到空间直角坐标系

(整理)空间直角坐标系

【本讲教育信息】

一、教学内容：

空间直角坐标系，包括：

1、空间直角坐标系的建立；

2、空间直角坐标系中点的坐标；

3、空间两点间的距离公式

二、学习目标

1、通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；

2、通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式；

3、经历空间直角坐标系刻画点的过程，了解类比思维，经历用代数方法刻画几何位置的过程；

4、通过在几何体中建立空间直角坐标系，进一步培养空间观念和空间想象能力；进一步了解解析几何的本质思想。

三、知识要点

一）空间直角坐标系的建立

1、空间物体位置的描述

以上图为例：一只小蚂蚁站在水泥构件O点处，在A、B、C、D、E处放有食物，如何告诉小蚂蚁食物的位置？——可以结合放有食物的各点与O点的相对位置，用方位（东、西、南、北、上、下）及需要走过的距离来描述。

如：自O点出发，向东爬过5格，再向上爬过3格，再向北爬2格，即可取到放在B 处的食物。

2、建立空间直角坐标系：将平面直角坐标系的x轴（横轴）和y轴（纵轴）放置在水平面上，过原点O作一条与xOy平面垂直的z轴（竖轴），这样就建立了三个维度的空间直角坐标系，如图：

——右手系：符合右手螺旋法则，若顺着z轴看，从x轴到y轴是沿顺时针方向。

3、空间直角坐标系：空间直角坐标系中，O为坐标原点，x，y，z轴统称为坐标轴。坐标轴确定的平面称为坐标平面，x，y轴确定的平面记作xOy平面，y，z轴确定的平面记作yOz平面，x，z轴确定的平面记作xOz平面.

高中数学知识点：空间直角坐标系

1.空间直角坐标系

从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是xOy平面、yOz平面、zOx平面.

2.右手直角坐标系

在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.

3.空间点的坐标

空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.

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空间各种直角坐标系

本篇学习了空间直角坐标系、大地坐标系、平面坐标系、高斯平面直角坐标系。这个个坐标系有时很容易弄混淆！（一）空间直角坐标系

空间直角坐标系的坐标原点位于参考椭球的中心，Z轴指向参考椭球的北极，X轴指向起始子午面与赤道的交点，Y轴位于赤道面上切按右手系于X轴呈90度夹角，某点中的坐标可用该点在此坐标系的各个坐标轴上的投影来表示。空间直角坐标系可用如下图所示：

（二）大地坐标系

大地坐标系是采用大地纬度、经度和大地高程来描述空间位置的。纬度是空间的点与参考椭球面的法线与赤道面的夹角；经度是空间的点与参考椭球的自转轴所在的面与参考椭球的起始子午面的夹角；大地高程是空间的点沿着参考椭球的法线方向到参考椭球面的距离。

地面点的高程和国家高程基准

(1)绝对高程。地面点沿垂线方向至大地水准面的距离称为绝对高程或称海拔。过去我国采用青岛验潮站(tide gauge station)1950～1956年观测成果求得的黄海平均海水面作为高程的零点，称为“1956年黄海高程

系”(Huanghai height system1956水准原点高程为72.289m)。后经复查，发现该高程系的验潮资料时间过短，准确性较差，改用青岛验潮站1950～1979年的观测资料重新推算，并命名为“1985年国家高程基准”（Chinese height datum 1985）。国家水准原点(leveling origin高程为72.260m)设于青岛市观象山附近，作为我国高程测量的依据。它的高程值是以“1985年国家高程基准”所确定的平均海水面为零点测算而得。在使用原“1956年黄海高程系”的高程成果时，应注意将其换算为新的高程基准系统。

人教版高中数学【必修二】[知识点整理及重点题型梳理]_空间直角坐标系_提高

人教版高中数学必修二

知识点梳理

重点题型（常考知识点）巩固练习

空间直角坐标系

【学习目标】

通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式.

【要点梳理】

要点一、空间直角坐标系 1.空间直角坐标系

从空间某一定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz ，点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面.

2.右手直角坐标系

在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.

3.空间点的坐标

空间一点A 的坐标可以用有序数组(x ，y ，z)来表示，有序数组(x ，y ，z)叫做点A 的坐标，记作A(x ，y ，z)，其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标.

要点二、空间直角坐标系中点的坐标 1.空间直角坐标系中点的坐标的求法

通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标.

特殊点的坐标：原点()0,0,0；,,x y z 轴上的点的坐标分别为()()(),0,0,0,,0,0,0,x y z ；坐标平面

,,xOy yOz xOz 上的点的坐标分别为()()(),,0,0,,,,0,x y y z x z .

高一下册数学空间直角坐标系知识点的梳理

1定义

各轴之间的顺序要求符合右手法则,即以右手握住Z轴,让右手的四指从X轴的正向以90度的直角转向Y轴的正向,这时大拇指所指的方向就是Z轴的正向.这样的三个坐标轴构成的坐标系称为右手空间直角坐标系.与之相对应的是左手空间直角坐标系.一般在数学中更常用右手空间直角坐标系，在其他学科方面因应用方便而异。三条坐标轴中的任意两条都可以确定一个平面,称为坐标面.它们是:由X轴及Y轴所确定的`XOY平面;y轴与z轴所确定的yOz平面;z轴与x轴所确定的yOx 平面.这三个相互垂直的坐标面把空间分成八个部分，每一部分称为一个卦限.位于X，Y，Z轴的正半轴的卦限称为第一卦限，从第一卦限开始，在XOY平面上方的卦限，按逆时针方向依次称为第二，三，四卦限;第一，二，三，四卦限下方的卦限依次称为第五，六，七，八卦限.

2具体概念

以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴;x轴，y轴，z轴，这时建立了空间直角坐标系Oxyz,其中点O叫做坐标原点，三条轴统称为坐标轴，由坐标轴确定的平面叫坐标平面。

3点公式

空间中两点P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)，中点P坐标[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2,(z1+z2)/2

4距离公式

在空间中:

设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)

|AB|=[(x1-x2)2+ (y1-y2)2+ (z1-z2)2]

表示方法

设点M为空间的一个定点，过点M分别作垂直于x、y、z轴的平面，依次交x、y、z轴于点P、Q、R设点P、Q、R在x、y、z轴上的坐标分别为x、y、z，那么就得到与点M对应惟一确定的有序实数

知识要点-空间直角坐标系

空间直角坐标系

★知识梳理★

1.右手直角坐标系

①右手直角坐标系的建立规则：x 轴、y 轴、z 轴互相垂直，分别指向右手的拇指、食指、

中指；

②已知点的坐标),,(z y x P 作点的方法与步骤（路径法）：

沿x 轴正方向（0>x 时）或负方向（0

>y 时）或负方向（0z 时）或负方向（0

③已知点的位置求坐标的方法：

过P 作三个平面分别与x 轴、y 轴、z 轴垂直于C B A ,,，点C B A ,,在x 轴、y 轴、z 轴

的坐标分别是c b a ,,，则),,(c b a 就是点P 的坐标

2、在x 轴上的点分别可以表示为),0,0(),0,,0(),0,0,(c b a ，

在坐标平面xOy ，xOz ，yOz 内的点分别可以表示为),,0(),,0,(),0,,(c b c a b a ;

3、点),,(c b a P 关于x 轴的对称点的坐标为),,(c b a --

点),,(c b a P 关于y 轴的对称点的坐标为),,(c b a --；

点),,(c b a P 关于z 轴的对称点的坐标为),,(c b a --；

点),,(c b a P 关于坐标平面xOy 的对称点为),,(c b a -；

点),,(c b a P 关于坐标平面xOz 的对称点为),,(c b a -；

点),,(c b a P 关于坐标平面yOz 的对称点为),,(c b a -；

点),,(c b a P 关于原点的对称点),,(c b a ---。

4. 已知空间两点),,(),,(222111z y x Q z y x P ，则线段PQ 的中点坐标为

空间直角坐标系知识点

空间直角坐标系是我们在学习数学、物理等科学领域常常遇到的一

个重要概念。它是一种表示三维空间中点位置的方法，通过三个相互

垂直的坐标轴来确定点的位置。本文将介绍空间直角坐标系的基本概念、坐标轴的方向以及一些常见的知识点。

一、空间直角坐标系的基本概念

空间直角坐标系是由三个互相垂直的坐标轴构成的。我们可以将这

三个坐标轴分别标记为X轴、Y轴和Z轴。在空间直角坐标系中，任

意一个点的位置可以通过它在每一个坐标轴上的投影来确定。

在空间直角坐标系中，我们通常用（x，y，z）来表示一个点的坐标，其中x代表该点在X轴上的位置，y代表该点在Y轴上的位置，z

代表该点在Z轴上的位置。这三个坐标分别是实数。

二、坐标轴的方向

在空间直角坐标系中，坐标轴的方向是固定的。X轴的正方向为从

左向右，Y轴的正方向为从下向上，Z轴的正方向为从后向前。这个规

定是为了统一表示、计算和解析几何的方向。

需要注意的是，不同的学科、领域可能对坐标轴的方向有所不同。

在一些物理学或工程学的问题中，X轴的正方向可能定义为从右向左，Y轴的正方向可能定义为从上向下，Z轴的正方向可能定义为从前向后。因此，在应用空间直角坐标系时，我们需要根据具体问题确定坐标轴

的方向。

三、常见的空间直角坐标系知识点

1. 距离公式：在空间直角坐标系中，两点之间的距离可以通过勾股

定理计算。设两点分别为A（x1，y1，z1）和B（x2，y2，z2），则

AB的距离为√((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)。

2. 坐标轴的平面：由X轴和Y轴组成的平面叫做XY平面，由X