极值点偏移PPT
高三数学 极值点和拐点的偏移——课件
极值点和拐点的偏移
专题概况
一、极值点偏移（
）
专题概况
思维聚焦
解题思路
极值偏移与拐点偏移解题思路 极值拐点话偏移，对称构造最给力； 变量范围极值分，导数再把单调论； 结论无关极拐点，衍生函数命题变.
处理策略
一.不含参数的问题
处理策略
处理策略
Байду номын сангаас
处理策略
处理策略
处理策略
处理策略
处理策略
处理策略
处理策略
注:以上的四种方法都实现了将双变元的不等式转化为单 变元的不等式,解法1, 2利用构造新的函数来达到消元的 目的，最后利用在极值点一侧的单调性来处理二者的关 系；解法3, 4则利用构造新的变元，将两个旧的变元都 转化为新的变元来表示，从而达到消元的目的，最后转 化为一个新的单元不等式，再构造函数,利用新函数的单 调性结合端点值来解决!
下节课再见 谢谢！
备战高考数学复习知识点讲解课件27---极值点偏移问题
(2)设m，n为两个不相等的正数，且mln n－nln m＝m－n，证明：mn＞e4. 解：(2)证明：mln n－nln m＝m－n⇔m(ln n－1)＝n(ln m－1)⇔ln nn－1＝
ln mm－1⇔lnenln－n 1＝lnemln－m 1， 即f(ln m)＝f(ln n)，ln m≠ln n.
2．(2022·金太阳联考)函数f(x)＝
x－1 ex
(其中e为自然对数的底数)．
(1)求f(x)的单调区间与极值；
解：(1)f(x)的定义域为R，f′(x)＝2－ex x，
当x∈(－∞，2)时，f′(x)＞0，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＜0.
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，2)，单调递减区间为(2，＋∞)． 故f(x)在x＝2处取得极大值，且极大值为 e12，无极小值．
g′(x)>0，可得
3
1≤x<e8，
3
由 g′(x)<0，可得 e8<x≤3.
3
3
所以 g(x)在[1，e8)上单调递增，在(e8，3]上单调递减，
所以 g(x)的最小值在 x＝1 或 x＝3 处取得．
又 g(1)＝14，g(3)＝14＋29ln 3>14，
所以 g(x)min＝g(1)＝14，
所以 a≤14，即 a 的取值范围为(－∞，14]．
不妨设x1＝ln m，x2＝ln n，x1＜x2， 由(1)可知f(1)＝0，当x→＋∞时，f(x)→0，
所以x2∈(2，＋∞)，f(x1)＝f(x2)＞0，x1∈(1，2)． 当x2≥3时，x1＋x2＞4，mn＞e4.
当 2＜x2＜3 时，1＜4－x2＜2，f(x2)－f(4－x2)＝x2e－x2 1－4－e4x－2x－2 1＝
高考数学：极值点偏移问题与拐点偏移问题
极值点偏移问题与拐点偏移问题【考点预测】1.极值点偏移的相关概念所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。
若函数f (x )在x =x 0处取得极值，且函数y =f (x )与直线y =b 交于A (x 1,b ),B (x 2,b )两点，则AB 的中点为M x 1+x 22,b ，而往往x 0≠x 1+x 22。
如下图所示。
图1 极值点不偏移图2 极值点偏移极值点偏移的定义：对于函数y =f (x )在区间(a ,b )内只有一个极值点x 0，方程f (x )的解分别为x 1、x 2，且a <x 1<x 2<b ，(1)若x 1+x 22≠x 0，则称函数y =f (x )在区间(x 1,x 2)上极值点x 0偏移；(2)若x 1+x 22>x 0，则函数y =f (x )在区间(x 1,x 2)上极值点x 0左偏，简称极值点x 0左偏；(3)若x 1+x 22<x 0，则函数y =f (x )在区间(x 1,x 2)上极值点x 0右偏，简称极值点x 0右偏。
【方法技巧与总结】1.对称变换主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)定函数(极值点为x 0)，即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x 0.(2)构造函数，即根据极值点构造对称函数F (x )=f (x )-f (2x 0-x )，若证x 1x 2>x 20，则令F (x )=f (x )-f 2x 0x.(3)判断单调性，即利用导数讨论F (x )的单调性．(4)比较大小，即判断函数F (x )在某段区间上的正负，并得出f (x )与f (2x 0-x )的大小关系．(5)转化，即利用函数f (x )的单调性，将f (x )与f (2x 0-x )的大小关系转化为x 与2x 0-x 之间的关系，进而得到所证或所求．【注意】若要证明f x 1+x 22 的符号问题，还需进一步讨论x 1+x 22与x 0的大小，得出x 1+x 22所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负．构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法，函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效2.应用对数平均不等式x1x2<x1-x2ln x1-ln x2<x1+x22证明极值点偏移：①由题中等式中产生对数；②将所得含对数的等式进行变形得到x1-x2ln x1-ln x2；③利用对数平均不等式来证明相应的问题.3.比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可.【题型归纳目录】题型一：极值点偏移:加法型题型二：极值点偏移:减法型题型三：极值点偏移:乘积型题型四：极值点偏移:商型题型五：极值点偏移:平方型题型六：拐点偏移问题【典例例题】题型一：极值点偏移:加法型例1.(2022•浙江期中)已知函数f(x)=x-ln x-a有两个不同的零点x1，x2．(1)求实数a的取值范围；(2)证明：x1+x2>a+1．例2.(2022•汕头一模)已知函数f(x)=x-ln x-a有两个相异零点x1，x2(x1<x2)．(1)求a的取值范围；(2)求证：x1+x2<4a+23．例3.(海淀区校级月考)已知函数f(x)=(x-2)e x+a(x-1)2，a∈R．(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程；(Ⅱ)若a≥0，求f(x)的零点个数；(Ⅲ)若f(x)有两个零点x1，x2，证明：x1+x2<2．例4.(2022•江门一模)已知函数f(x)=ln|x-1|-ax，a∈R是常数．(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程，并证明对任意a∈R，切线经过定点；(Ⅱ)证明：a<0时，设x1、x2是f(x)的两个零点，且x1+x2>2．题型二：极值点偏移:减法型例5.(2022•七星区校级月考)已知函数f(x)=x ln x-a2x2+1．(1)若f(x)在(0,+∞)上单调递减，求a的取值范围；(2)若f(x)在x=1处的切线斜率是12，证明f(x)有两个极值点x1x2，且3ln2<|ln x2-ln x1|<3．例6.(2022•常熟市月考)设函数f(x)=ln x，g(x)=a(x-1)，其中a∈R．(1)若a=1，证明：当x>1时，f(x)<g(x)；(2)设F(x)=f(x)-g(x)e x，且0<a<1e，其中e是自然对数的底数．①证明F(x)恰有两个零点；②设x0如为F(x)的极值点，x1为F(x)的零点，且x1>x0，证明：3x0-x1>2．例7.(2022•黄州区校级模拟)已知函数f(x)=ax ln x-(a+1)ln x，f(x)的导数为f (x)．(1)当a>-1时，讨论f (x)的单调性；(2)设a>0，方程f(x)=3e-x有两个不同的零点x1，x2(x1<x2)，求证：x1+e>x2+1e．例8.(2022•道里区校级二模)已知函数f(x)=mx ln x-(m+1)ln x，f (x)为函数f(x)的导数．(1)讨论函数f (x)的单调性；(2)若当m>0时，函数f(x)与g(x)=3e-x的图象有两个交点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)，求证：x2+1e<x1+e．题型三：极值点偏移:乘积型例9.(2021春•汕头校级月考)已知，函数f(x)=ln x-ax，其中a∈R．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)有两个零点，(i)求a的取值范围；(ii)设f(x)的两个零点分别为x1，x2，证明：x1x2>e2．例10.(2022•攀枝花模拟)已知函数f(x)=ln x+bx-a(a∈R,b∈R)有最小值M，且M≥0．(Ⅰ)求e a-1-b+1的最大值；(Ⅱ)当e a-1-b+1取得最大值时，设F(b)=a-1b-m(m∈R)，F(x)有两个零点为x1，x2(x1<x2)，证明：x1⋅x22>e3．例11.(2022•张家口二模)已知函数f(x)=e x-a ln xx-a(e是自然对数的底数)有两个零点．(1)求实数a的取值范围；(2)若f(x)的两个零点分别为x1，x2，证明：x1x2>e2e x1+x2．例12.(2022•武进区校级月考)已知函数f (x )=ln x +12x 2-ax ．(1)若函数f (x )在x =1处的切线与x 轴平行，求a 的值；(2)若存在t ∈[-1，1]，使不等式f (x )≤tx -(a -1)ln x 对于x ∈[1，e ]恒成立，求a 的取值范围；(3)若方程f (x )=12x 2有两个不等的实数根x 1、x 2，试证明x 1x 2>e 2．题型四：极值点偏移:商型例13.已知函数f (x )=x -e x a (a >0)有两个相异零点x 1、x 2，且x 1<x 2，求证：x 1x 2<e a．例14.(2022•新疆模拟)已知函数f(x)=ln x-ax+12x2．(1)当a=52时，求f(x)的单调区间；(2)已知a≥433，x1，x2(x1>x2)为函数f(x)的两个极值点，求y=2(x1-x2)x1+x2-lnx1x2的最大值．例15.．(2021春•湖北期末)已知函数f(x)=ae-x+ln x-1(a∈R)．(1)当a≤e时，讨论函数f(x)的单调性：(2)若函数f(x)恰有两个极值点x1，x2(x1<x2)，且x1+x2≤(2e+1)⋅ln2e2e-1，求x2x1的最大值．例16.(2022•宁德三模)已知函数f(x)=ae-x+ln x-1(a∈R)．(1)当a≤e时，讨论函数f(x)的单调性：(2)若函数f(x)恰有两个极值点x1，x2(x1<x2)，且x1+x2≤2ln3，求x2x1的最大值．题型五：极值点偏移:平方型例17.(2022•广州一模)已知函数f(x)=x ln x-ax2+x(a∈R)．(1)证明：曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线l恒过定点；(2)若f(x)有两个零点x1，x2，且x2>2x1，证明：x21+x22>4e．例18.(2022•浙江开学)已知a∈R，f(x)=x⋅e-ax(其中e为自然对数的底数)．(Ⅰ)求函数y=f(x)的单调区间；(Ⅱ)若a>0，函数y=f(x)-a有两个零点x，x2，求证：x21+x22>2e．例19.(2021秋•泉州月考)已知函数f(x)=ln x+1 ax．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若(ex1)x2=(ex2)x1(e是自然对数的底数)，且x1>0，x2>0，x1≠x2，证明：x21+x22>2．例20.(2022•开封三模)已知函数f(x)=ln x mx2．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若m=2，对于任意x1>x2>0，证明：(x21⋅f(x1)-x22⋅f(x2))⋅(x21+x22)>x1x2-x22．题型六：拐点偏移问题例21.已知函数f(x)=2ln x+x2+x．(1)求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．(2)若正实数x1，x2满足f(x1)+f(x2)=4，求证：x1+x2≥2．例22.已知函数f(x)=12a x2-1+1a2x+1a Inx(a∈R)．(1)当a>0时，讨论函数f(x)的单调性；(2)当a=12时，设g(x)=f(x)+6x，若正实数x1，x2，满足g(x1)+g(x2)=4，求证：x1+x2≥2．例23.已知函数f(x)=ln x+2x-ax2，a∈R．(Ⅰ)若f(x)在x=1处取得极值，求a的值；(Ⅱ)设g(x)=f(x)+(a-4)x，试讨论函数g(x)的单调性；(Ⅲ)当a=-2时，若存在正实数x1，x2满足f(x1)+f(x2)+3x1x2=x1+x2，求证：x1+x2>12．【过关测试】1.(2022·天津河东·二模)已知函数f x =x2a-2ln x(a∈R且a≠0)．(1)a=2，求函数f x 在2,f2处的切线方程．(2)讨论函数f x 的单调性；(3)若函数f x 有两个零点x1、x2x1<x2，且a=e2，证明：x1+x2>2e．2.(2022·河北·沧县中学高二阶段练习)已知函数f x =x+3x+2ln x-a a∈R有两个不同的零点x1,x2.(1)求实数a的取值范围；(2)求证：x1x2>1.3.(2022·江苏泰州·模拟预测)已知函数f x =e x-ax2+bx-1，其中a，b为常数，e为自然对数底数，e =2.71828⋅⋅⋅．(1)当a=0时，若函数f x ≥0，求实数b的取值范围；(2)当b=2a时，若函数f x 有两个极值点x1，x2，现有如下三个命题：①7x1+bx2>28；②2a x1+x2>3x1x2；③x1-1+x2-1>2；请从①②③中任选一个进行证明．(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)4.(2022·湖北武汉·模拟预测)已知函数f x =x-ln x(1)求证：当x>1时，ln x>2x-1x+1；(2)当方程f x =m有两个不等实数根x1,x2时，求证：x1+x2>m+15.(2022·浙江绍兴·模拟预测)已知函数f x =e x-2x-a+1(其中ex-a+2，g x =x2+a-1≈2.71828是自然对数的底数)(1)试讨论函数f x 的零点个数；(2)当a>1时，设函数h x =f x -g x 的两个极值点为x1、x2且x1<x2，求证：e x2-e x1<4a+2.e x-k(x-1),x>-1,k∈R．6.(2022·安徽淮南·二模(理))已知函数f(x)=1-2x+1(1)若k=0，证明：x∈(-1,0)时，f(x)<-1；(2)若函数f(x)恰有三个零点x1,x2,x3，证明：x1+x2+x3>1．7.(2022·湖南·岳阳一中一模)已知函数f x =a ln x+2-x a∈R.(1)讨论f(x)的单调性和最值；(2)若关于x的方程e x=2m-1m ln mx+2(m>0)有两个不等的实数根x1,x2，求证：e x1+e x2>2 m.8.(2022·山东·青岛二中高三期末)已知函数f x =x1-a ln x，a∈R.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若x∈0,12时，都有f x <1，求实数a的取值范围；(3)若有不相等的两个正实数x1，x2满足1+ln x21+ln x1=x2x1，证明：x1+x2<ex1x2.9.(2021·广东·新会陈经纶中学高三阶段练习)已知函数f x =x1-ln x.(1)讨论f x 的单调性；(2)设a，b为两个不相等的正数，且b ln a-a ln b=a-b，证明：2<1a+1b.10.(2022·全国·高三专题练习)已知函数f x =-e x-ax2a∈R.(1)当a=0时，求曲线y=f x 在点1,f1处的切线方程；(2)当a>0时，若函数g x =xe x+f x ，求g x 的单调区间；(3)当a>0时，若函数h x =f x +2e x-ax恰有两个不同的极值点x1、x2，且x1<x2，求证：x1+x22<ln2a.11.(2022·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=a-1-xe x(x>0)(e为自然对数的底数，a∈R)．(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)若存在x1≠x2，满足f x1=f x2，求证：x1+x2>4aa+2．12.(2022·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=x-a-1x+a,a∈R.(1)若f(1)=2，求a的值；(2)若存在两个不相等的正实数x1,x2，满足f(x1)=f(x2)，证明：①2<x1+x2<2a；②x2x1<a2+1.13.(2022·四川省泸县第二中学模拟预测(文))已知函数f(x)=x-x.e x(1)求f(x)的单调区间；(2)已知a,b∈R，且a≠b，若ae a+b+be a=ae b+be a+b，求证：a+b>0.。
数学-极值点偏移问题的求解策略(共14张PPT)
解法二：（分离参数）
f ( x) ( x 2)e a( x 1) 有两个零点 x (2 x)e 有两根. 方程 a 2 ( x 1)
x 2
(2 x)e g ( x) 2 ( x 1)
x
(0, )
问题提出
【2016 全国课标Ⅰ卷理 21】 【题目】已知函数 f ( x) ( x 2)e a( x 1) 有两个零点. （Ⅰ）求 a 的取值范围； (0, ) （Ⅱ） 设 x1 , x2 是 f ( x) 的两个零点， 证明：x1 x2 2 .
2
所以f (2 x2 ) x2e
2 x2
( x2 2)e . 令g ( x) xe2x ( x 2)ex .
x2
x
令g( x) ( x 1)(e e ). 所以当 x 1 时， g ( x) 0 ，而 g (1) 0 ，
2 x
故当 x 1 时， g ( x) 0. 从而 g ( x2 ) f (2 x2 ) 0, 故x1 x2 2.
x 2
x1 x2 1 x1 x2 2 2
问题解决
f (2 x2 ) 0 0 f ( x2 ) f (2 x2 )
f ( x1 ) f (2 x2 )
x1 2 x2 x1 x2 2
问题解决
不妨设 x1 1 x2 ， 则2 x2 (1, ).
问题提出
【2016 全国课标Ⅰ卷理 21】 【题目】已知函数 f ( x) ( x 2)e a( x 1) 有两个零点. （Ⅰ）求 a 的取值范围； （Ⅱ） 设 x1 , x2 是 f ( x) 的两个零点， 证明：x1 x2 2 .
极值点偏移问题课件-2025届高三数学一轮复习
(3)用导求解:利用导数求解函数h(t)的最值,从而可证得结论.
视角二
极值点偏移问题之消参减元、差值代换
[例2]若函数f(x)=x-aex+b(a>0,b∈R)有两个不同的零点x1,x2,证明:x1+x2<-2ln a.
1 − e1 + = 0,
1 −2
1
2
【证明】由题知
两式相减得x1-x2=a(e -e ),即a= 1 2 .
令h'(x)>0,则x>1,令h'(x)<0,则0<x<1.
所以函数h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
因为函数g(x)有两个不同的零点,即h(x)=a有两个不同的根,所以a>h(1)=1,
所以g(x)有两个不同的零点x1,x2且0<x1<1<x2,且h(x1)=h(x2)=a,
ln 1 −ln 2
2
>
,即ln
1 −2
1 +2
1 2(1 −2 )
>
,
2
1 +2
1
令c= (c>1),则不等式变为ln
2
2(−1)
c>
.
+1
2
1 +2
,所以原问题等价于证明
令h(c)=ln
2(−1)
c,c>1,
+1
1
4
(−1)2
所以h'(c)= =
>0,
化变形.
【极值点偏移的定义】
一般地,若连续函数f(x)在[a,b]内有唯一的极值点x0,对于任意的x1,x2∈[a,b],当
高中数学课件-拓展视野9 极值点偏移问题
＝(x1＋x2)ln
x1－Hale Waihona Puke n x1－x2x2，只需证ln
x1－ln x1－x2
x2＞x1＋2 x2，
只需证 ln x1－ln x2＜2（xx11＋－xx22），只需证 ln xx12＜2（xxxx1212＋－11），
11
令xx12＝t(0＜t＜1)，只需证 ln t＜2（tt＋－11）， 令 H(t)＝ln t－2（tt＋－11）， H′(t)＝1t －（t＋41）2＝（tt（＋t1＋）12）－24t＝t（（tt－＋11））22＞0， 所以 H(t)在(0，1)上单调递增， 所以 H(t)＜H(1)＝0，即 ln t＜2（tt＋－11）成立， 所以 x1x2＞e2 成立.
9
类型 二 比(差)值换元构造辅助函数 通过代数变形，将所证的双变量不等式通过代换 t＝xx12(t＝x1－x2)化为
单变量的函数不等式，利用函数单调性证明. 例 2 (2024·通州模拟节选)已知函数 f(x)＝ax－ax－ln x(a＞0)，且当 0
＜a＜1e时 g(x)＝f(x)＋ax有两个零点 x1，x2，证明：x1x2＞e2.
1
拓展视野9 极值点 偏移问题
2
已知函数 f(x)图象顶点的横坐标就是极值点 x0，若 f(x)＝c 的两根的中 点刚好满足x1＋2 x2＝x0，即极值点在两根的正中间，也就是说极值点没有偏 移，此时函数 f(x)在 x＝x0 两侧，函数值变化快慢相同，如图(1)所示.若x1＋2 x2 ≠x0，则极值点偏移，此时函数 f(x)在 x＝x0 两侧，函数值变化快慢不同， 如图(2)(3)所示.
极值点偏移问题-2024届高三数学二轮复习课件
(3)对F ( x)求导, 得出极值点"某一侧" (不需完整 )的单调性
(4)代该侧中的 xi (如此题中的 x2 )进F (x) ()F (x0 ) 0 (5)利用f (x j ) f (xi )替换(4)中不等式, 回归f (x)在"另一侧"的单调性
f (x1) f (2 x2 ) 0
a[ln(2a) 2]2 a 0
在(1,)上单调递增
f (x)的两个极值 f (1), f (ln(2a))均小于零,
易知f (1) e 0
f (x)的零点最多只有一个 .
x 时,
综上所述 , a的取值范围是 [0,)
(x 2)ex 0, a(x 1)2
f (x) x 时,易知f (x) f (x)有两个零点
对极点左右两边的陡缓 研究,可转化成 由原函数与对称函数构 成的差函数 ,以及对差值函数单调性 研究.
如何求一个函数的对称 函数,理论依据是什么 ?
理论 : 如果f (a x) f (a x), 则f (x)关于x a对称 f (x)关于x a对称后得 f (2a x)
(x0是f (x)的一个极值点 )
设F (x) f (x) f (e2 )( x e1)
F
'(x)
ln
x
1
x e2 x 2
[(ln(
e2
)
1]
(1
ln
x)(e2 x2
1)
x
e2x2
f (x)在(0, e1)上单调递减 x e1, F'(x) 0 F(x)在(e1,)上单调递增
f (x)在(e1,)上单调递增 f (x)只有极小值为 f (e1) e1 0,无极大值 f (x)只有极小值为 f (e1) e1 0,无极大值
极值点偏移课件高二下学期数学人教A版选择性
知识梳理
极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象 不具有对称性.
极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，这类题往往对思维 要求较高，过程较为烦琐，计算量较大.
解决极值点偏移问题，有对称化构造函数法和比值代换法，二者各有 千秋，独具特色.
例题讲解 题型一 不含参数的极值点偏移
x x 1 1 2
即：x1＋x2>2.
2
x x 1 2
2
例题讲解 题型二 含参数的极值点偏移
方法： 比值代换
例题讲解 题型二 含参数的极值点偏移
方法： 比值代换
例题讲解 题型二 含参数的极值点偏移
方法： 比值代换
例题讲解 题型二 含参数的极值点偏移
方法： 对称化构造函数
跟踪训练 题型二 含参数的极值点偏移 方法： 比值代换
恒成立， 故原不等式 x1 x2 2 亦成立.
归纳总结
归纳总结
【对称构造法】
本质： 将双变元的不等式转化为单变元不等式，利用构造新的函数来
达到消元的目的，
口诀： 极值偏离对称轴， 构造函数觅行踪； 四个步骤环相扣， 一求二构造三单调四比较。
归纳总结
【对称构造法】
对称化构造函数法构造辅助函数 (1)对结论x1＋x2>2x0型，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x). (2)对结论 x1x2>x20型，方法一是构造函数 F(x)＝f(x)－f xx20，通过研究 F(x) 的单调性获得不等式；方法二是两边取对数，转化成 ln x1＋ln x2>2ln x0， 再把 ln x1，ln x2 看成两变量即可.
方法一 差值代换
第1步: 确定变量范围 0 x1 1 x2
极值点偏移问题课件-高三数学一轮复习
对称构造法求极值点偏移问题
已知函数f(x)＝xe－x(x∈R )．
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>2．
[解] (1)f′(x)＝(1－x)e－x，令f′(x)＝0，解得x＝1，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，1) 1 (1，＋∞)
f′(x) ＋
0
－
f(x)
极大值
∴f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴f(x)在x＝1处取得极 大值1e．
(2)证明：构造辅助函数F(x)＝f(x)－f(2－x)，x>1， 则F′(x)＝f′(x)＋f′(2－x)＝e－x(1－x)＋ex－2(x－1)＝(x－1)(ex－2－e－x)， ∵当x>1时，x－1>0，ex－2－e－x>0， ∴F′(x)>0，∴F(x)在(1，＋∞)上单调递增，且x→1时，F(x)→0， ∴F(x)>0，故当x>1时，f(x)>f(2－x)，(*) 由f(x1)＝f(x2)，x1≠x2，可设x1<1<x2， 将x2代入(*)式可得f(x2)>f(2－x2)， 又f(x1)＝f(x2)，∴f(x1)>f(2－x2)． 又x1<1,2－x2<1，而f(x)在(－∞，1)上单调递增， ∴x1>2－x2，即x1＋x2>2．
对称构造法，主要用来解决与两个极值点之和(积)相关的不等式问题．其解题要
点如下：
(1)定函数(极值点为x0)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定 函数的极值点x0；
(2)构造函数，即根据极值点构造对称函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)，若证x1x2＞x
专题07 极值点偏移问题 (解析版)
导数及其应用 专题七：极值点偏移问题一、知识储备1、极值点偏移的相关概念所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。
若函数)(x f 在0x x =处取得极值，且函数)(x f y =与直线b y =交于),(),,(21b x B b x A 两点，则AB 的中点为),2(21b x x M +，而往往2210xx x +≠。
如下图所示。
图1 极值点不偏移 图2 极值点偏移极值点偏移的定义：对于函数)(x f y =在区间),(b a 内只有一个极值点0x ，方程)(x f 的解分别为21x x 、，且b x x a <<<21，（1）若0212x x x ≠+，则称函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 偏移；（2）若0212x x x >+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 左偏，简称极值点0x 左偏；（3）若0212x x x <+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 右偏，简称极值点0x 右偏。
2、对称变换主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)定函数(极值点为0x )，即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x 0.(2)构造函数，即根据极值点构造对称函数0()()(2)F x f x f x x =--，若证2120x x x > ，则令2()()()x F x f x f x=-. (3)判断单调性，即利用导数讨论()F x 的单调性．(4)比较大小，即判断函数()F x 在某段区间上的正负，并得出()f x 与0(2)f x x -的大小关系．(5)转化，即利用函数()f x 的单调性，将()f x 与0(2)f x x -的大小关系转化为x 与02x x -之间的关系，进而得到所证或所求．[提醒] 若要证明122x x f +⎛⎫'⎪⎝⎭的符号问题，还需进一步讨论122x x +与x 0的大小，得出122x x +所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负． 二、例题讲解1．（2022·贵州省思南中学高三月考（文））设函数()22ln 1f x x mx =-+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1m =时，若在()f x 定义域内存在两实数1x ，2x 满足12x x <且()()12f x f x =，证明：122x x +>.【详解】(1)依题意，函数()f x 定义域为(0,)+∞，()222(1)2mx f x mx x x-'=-=，当0m ≤时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0m >时，由()0f x '=得m x m =，当0mx m <<时，()0f x '>，当m x m >时，()0f x '<，于是得()f x 在(0,)m m 上单调递增，在(,)mm+∞上单调递减，所以，当0m ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0m >时，()f x 在(0,)m m 上单调递增，在(,)mm+∞上单调递减；（2）分析 ：如图：1201x x <<< 要证122x x +> 只需证：122x x -<由于101x <<，则112x <-即只需证1212x x <-< 如图，只需证12(2)()f x f x ->；由于()()12f x f x = 只需证11(2)()f x f x ->此时可构造函数()()(2)F x f x f x =--（即用x 替代了上式1x ） 只需证：在01x <<，()()(2)0F x f x f x =--<。
极值点偏移问题课件
05
总结与展望
研究成果总结
01
02
03
04
极值点偏移问题的理论框架得 到完善
针对不同类型的数据，提出了 多种极值点偏移的检测方法
分析了极值点偏移现象在气候 、金融等领域的应用效果
与之前的研究相比，提高了极 值点偏移的检测精度
存在的问题与不足
现有的检测方法仍存在一定的误 报和漏报概率
对于复杂数据分布情况下的极值 点偏移问题，还需进一步研究
THANK YOU
03
极值点偏移问题的解决方法
基于数值计算的解决方法
01
02
03
数值逼近法
利用数值逼近理论，通过 选取适当的逼近函数和参 数，对极值点进行近似求 解。
梯度下降法
通过迭代计算，不断调整 函数的参数，使函数在极 值点的附近达到最小值。
牛顿法
利用牛顿定理，通过已知 函数的一阶导数和初始值 ，求解函数的极值点。
极值点偏移问题课件
contents
目录
• 引言 • 极值点偏移问题的基础知识 • 极值点偏移问题的解决方法 • 极值点偏移问题的应用实例 • 总结与展望
01
引言
背景介绍
01
极值点偏移问题在经济、社会、 自然等领域都有广泛的应用，例 如在金融分析、人口统计、气候 变化等领域。
02
随着大数据时代的到来，极值点 偏移问题在数据挖掘、预测分析 等领域也受到越来越多的关注和 研究。
研究目的和意义
研究极值点偏移问题的目的在于寻找 数据中出现的极端异常值，并分析其 产生的原因和影响。
通过极值点偏移问题的研究，可以更 好地理解数据分布和变化规律，为决 策提供科学依据。
内容结构概述
极值点偏移课件
不妨设0＜ x 1＜1＜ x 2，∵0＜ x 1＜1，∴2－ x 1＞1，
设 G ＝ g － g 2 − ，则 G ＝ ln − 2 ＋ + 1 －[ln 2 −
－ 2 − 2 ＋ 2 − ＋1]＝ln x －ln 2 − －2 x ＋2，
③
④
ln 1 −ln 2
由③－④得
＝a，
1 −2
1
故要证 x 1·x 2＜ 2 ，
即证 x 1·x 2＜
2
1 −2
1
1
2
2
，即证ln ＜ ＋ －2，
ln 1 −ln 2
2
2
1
1
1
2
设 ＝ t ， t ∈(0，1)，ln t ＜ t ＋ －2，
2
1
2
设 g ( t )＝ln t － t － ＋2，只需证 g ( t )＜0.
f'
2 −4+2
＝－
.
e
令 h ＝ x 2－4 x ＋2，则 h ＝0的两根分别为 x 1＝2－ 2 ，
x 2＝2＋ 2 .
当 x ＜2－ 2 或 x ＞2＋ 2 时，f' ＜0；
当2－ 2 ＜ x ＜2＋ 2 时，f' ＞0，
所以 f 的单调递增区间为 2 − 2，2 + 2 ，单调递减区间为
∴只要证明 f ( x 2)＞ f (2 a － x 1)，
即证 f ( x 1)＞ f (2 a － x 1).
设函数 g ( x )＝ f ( x )－ f (2 a － x )，
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(1)a (0, 1) e
(2) ln x ax, 有 ln x1 ax1, ln x2 ax2
ln x1 ln x2
a(x1 x2 )
x1 x2 ln x1 ln x2
1 a
ln x1 ln x2 a(x1 x2 )
由对数均值不等式 a b a b ln a ln b 2
g(x)mine1,me1
11
例 3、已知 f(x函 )ex数 x的图y像 a与 的 x 图x像 (0在 , )上有两个 交p点 (x1,y1)Q , (x2,y2) （ 1）a求 的取值范围； （ 2）求x证 1x2： 2
解：
（2）证明：ex x ax ex (a 1)x x ln(a 1)x
ln
x1
ln
x2
a( x1
x2 )
a
2 a
2
ln(x1x2 )
2
x1 x2
e2
16
例 7 ：f 已 ( x ) x x , 若 e 知 x 1 x 2 , 有 f ( x 函 1 ) f ( x 2 ) 证 数 , x 1 x 2 明 2
解法一：构造法f ， (x) (1 x)ex 0 x 1
g(x)
(x
1)(ex
e2 ex
)
0
x
1,
有g(x)
பைடு நூலகம்
0恒成立，g(x)在(,1)上递增
g(1) 0, 设x1 1 x2,g(x1) 0 f (x1) f (2 x1),又 f (x1) f (x2)
f (x2 ) f (2 x1),又x21,2 x1 1, f (x)在（1， ），x2 2 x1
x1 ln(a 1) ln x1
x2 ln(a 1) ln x2
x1 x2
ln x1 ln x2
x1 x2 ln x1 ln x2
1,由对数均值不等式
ab ln a lnb
a b ,可知 x1 x2
2
ln x1 ln x2
x1 x2 2
,x1 x2
2
12
13
14
f (x1) f (2 x2), x1 1 x2,2 x2 1,x1 2 x2
x1 x2 2
解法二：公 xex 式 a 法 x： lnaxx1lnxlna,x2lnxlna
x1x2lnx1lnx2lnxx1 1 lx2nx2
1,由对数均值a不 b 等 a式 b lnalnb 2
x1x2 2
a b a b 可知 :
ln a ln b
2
(2 x1 3) (2 x 2 3) ln( 2 x1 3 ) ln( 2 x 2 3 )
2 x1 2 x 2 2
6 , ( x1
x2 )
15
x1 x 2 5
例 6、已知f(函 x)数 lnxa有 x 两个x1零 ,x2, 点 （ 1）求实 a的数 取值范围 （ 2）求证 x1.x2： e2
高考专题研究
巧解高考压轴题---导数 铜仁二中曾凡界老师
1
函数问题中的极值点偏移研究
铜仁二中教师： 曾凡界
2
什么叫极值点偏移问题？
3
极值点偏移的常见几何形态与代数表达
4
极值点偏移函数的常见基本形态
5
（Ⅱ）分析：
6
7
解答极值点偏移函数问题
基本 步骤
化双变量为单变量
构造函数法
8
例（ 2201年 6 全国卷）已 f(x知 )函 (x数 2)ex a(x1)2有两个x零 1、x点 2 （1）求 a的取值;范围 （2）证明 x1： x2 2
x1 x2 2
10
例 3、已知 f(x函 )ex数 x的图y像 a与 的 x 图x像 (0在 , )上有两个 交p点 (x1,y1)Q , (x2,y2) （ 1）a求 的取值范围； （ 2）求x证 1x2： 2
解：1） （由 ex xaxex 1a(x0),设g(x)ex 1
x
x
g(x)(x1)ex 0x1,有g(x)在(0,1)上递减 (1,， )上递增 x2
9
例（ 2 2016年全国卷）已知函数f (x) (x 2)ex a(x 1)2有两个零点x1、x2 （1）求a的取值范围;(a 0)
（2）证明：x1 x2 2 证明：f (x) (x 1)(ex 2a) 0 x 1,有f (x)在（1， ）上递增
设g(x) f (x) f (2 x) (x 2)ex xe2x
x1 ln m ( 2 x1 3 ) 1, x 2 ln m ( 2 x 2 3 ) 1
x1 x 2 ln( 2 x1 3 ) ln( 2 x 2 3 )
2 x1 3 ( 2 x 2 3 ) 2[ln( 2 x1 3 ) ln( 2 x 2 3 )]
由对数均值不等式
1x1x2
2
17
世上有一条很长很美的路，叫做梦想； 还有一堵很高很硬的墙，叫做现实； 翻越那堵墙，叫做坚持； 推倒那堵墙，叫做突破。 只有拼搏了才会知道自己有多优秀!
18
谢谢 聆听
19
（201年 9 适应性考试）已数知 f (x函 ) lnx2(x1),g(x) ex1
1x
2x3
（1）求函f数(x)在[1,)上的最小;值
（2）设ba0,证明：ba ab; lnblna 2
（3）若存在实m， 数使方g程(x)
m有两个实x1根 , x2,且x1
x2
3 2
证明： x1 x2 5
证明： e x 1 m x ln m ( 2 x 3 ) 1 2x 3
f (x)在(,1)上为单调递增函数， （1在 ， ）上递减
设g(x) f (x) f (2 x) xex (2 x)ex2
g(x)
(1
x)(1e2x2 ex
)
,
g(x)
0,
g(x)在R上单调递增g， (1)
0
x2 1,g(1) 0,有f (x2) f (2 x2), f (x1) f (x2),