第三章 刚体的定轴转动
第三章 刚体的转动
M
o
r
F
M r F
m
力矩是矢量，M 的方向垂直于r和 F所决定的平面，其指向 用右手螺旋法则确定。
力矩的方向
2）力矩的单位、
牛· 米(N· m)
3）力矩的计算：
M 的大小、方向均与参考点的选择有关
M
m
M Fr sin
r
F
※在直角坐标系中，其表示式为 M r F ( xi yj zk ) ( Fx i Fy j Fz k )
例2 设质量为m，半径为R的细圆环和均匀圆盘分别绕通过各 自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和圆盘的转动惯量.
解 (1)求质量为m，半径为R的圆环对中心轴的转动惯量.如图 (a)所示，在环上任取一质元，其质量为dm，该质元到转轴的距 离为R，则该质元对转轴的转动惯量为
dI R 2 dm
考虑到所有质元到转轴的距离均为R， 所以细圆环对中心轴的转动惯量为
dI x dm x dx
2 2
整个棒对中心轴的转 x dx ml 2 12
2
(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的转动惯量为
1 2 I x dx ml 0 3
l 2
由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯量不同.
刚体也是一个各质点之间无相对位置变化且质 量连续分布的质点系。
3.1 刚体定轴转动的描述
刚体的基本运动可以分为平动和转动，刚体 的各种复杂运动都可以看成是这两种运动的合成。
1.刚体的平动和定轴转动
平动
刚体的平动是指刚体在运动过 程中其中任意两点的连线始终保 持原来的方向（或者说，在运动 的各个时刻始终保持彼此平行）。 特点：其中各点在任意相同的时间内具有相同的位移和运动 轨迹，也具有相同的速度和加速度。因而刚体上任一点的运 动都可代表整个刚体的运动。 平动的刚体可看作质点。 刚体的转动比较复杂，我们只研究定轴转动。
第3章 刚体的定轴转动 习题答案
1
1 v r 78 . 5 1 78 . 5 m s (3) 解：
an r 78.5 1 6162 .2 m s
2 2
2
a r 3.14 m s
2
3-13. 如图所示，细棒长度为l，设转轴通过棒上距中心d的一 点并与棒垂直。求棒对此轴的转动惯量 J O '，并说明这一转 动惯量与棒对质心的转动惯量 J O之间的关系。(平行轴定理)
n0
J 2 2 n 收回双臂后的角动能 E k J n 0 2 J 0 n
1 2 2 1 2
Ek 0 J
1 2
2 0
3-17. 一人张开双臂手握哑铃坐在转椅上，让转椅转动起来， 此后无外力矩作用。则当此人收回双臂时，人和转椅这一系 统的转速、转动动能、角动量如何变化？
解：首先，该系统的角动量守恒。
设初始转动惯量为 J ，初始角速度为 0 收回双臂后转动惯量变为 J n ， 由转动惯量的定义容易知，n 1 由角动量守恒定理容易求出，收回双臂后的角速度 初始角动能
M t J
代入数据解得：M 12.5 N m
3-4. 如图所示，质量为 m、长为 l 的均匀细杆，可绕过其一 端 O 的水平轴转动，杆的另一端与一质量为m的小球固定在 一起。当该系统从水平位置由静止转过 角时，系统的角
速度、动能为？此过程中力矩所做的功？
解： 由角动能定理得：
解：设该棒的质量为m，则其
线密度为 m l
1 l d 2 1 l d 2
O
d O'
J O'
0
r dr
2
3
0
r dr
第三章刚体定点转动
第三章刚体定点转动§3.1定点转动运动学一、什么是定点转动？刚体转动时，如果刚体内只有一点始终保持不动，这种运动叫刚体的定点转动。
由于做定点转动时刚体上有一点固定不动，一般以定点为基点。
陀螺、回转罗盘（用于航空和航海方面）等，都是刚体绕定点转动的实例。
它们都只有一点不动。
如图3.1.1所示的常平架中的圆盘可绕对称轴z O ′转动，对称轴固结在内悬架上，内悬架可绕固结于外悬架的图3.1.1此，ON 轴转动而外悬架又可绕固定轴Oz 转动，此三轴的交点O 则是始终不动的，所以这种运动和定轴转动的情形不同。
二、定点转动和定轴转动的联系与区别1．联系：定点转动可以看成绕瞬时轴的定轴转动。
把某一瞬时角速度ω的取向，亦即在该瞬时的转动轴叫转动瞬轴。
跟转动瞬心相仿，转动瞬轴在空间和刚体内各描绘一个定点在O 的锥面，前者叫空间极面，后者则叫本体极面。
刚体绕固定点的转动，也可看作时本体极面在空间极面上作无滑动的滚动，如图3.1.2所示。
2．区别：（1）关于转轴：定点转动的轴恒通过一定点，但其在空间的取向随着时间的改变而改变，定轴转动的转轴在空间的取向不变。
（2）关于角速度：定点转动矢量的量值和方向都是时间的函数。
而定轴转动的角速度方向恒沿着固定的转动轴，量值可以是时间的函数。
ω三、定点转动时刚体上任一点的速度r dt r d v v vv ×==ωυ （3.1.1）P图3.1.3如图3.1.3所示,刚体上任一点P 的运动可以看成是绕瞬时轴的转动,所以其速度在圆周的切线方向,大小为R ωυ=.四、定点转动时刚体上任一点的加速度由加速度的定义知r r r dtd r r dt d r dt d dt d a vv v v v vv v v v v v v v v v v 2)()(ωωωωωωωυωωυ−⋅+×=××+×=×+×==而 R r r v v v v v 22)(ωωωω−=−⋅则R r dtd a v v v v 2ωω−×= (3.1.2)上式中的第一项r dtd vv×ω为转动加速度,第二项R v 2ω−为向轴加速度. 例:半径为a 的碾盘在水平面上做无滑滚动,长为b 的水平轴OA 绕竖直轴OE 以匀角速度1ω转动,如图3.1.4所示.求碾盘最高点P 的速度和加速度.x图3.1.4解: 碾盘绕定点O 运动,取如图所示的直角坐标系,OA=b,AB=OE=a,j a i b r P ˆˆ+−=v 要使碾盘在水平面上做无滑滚动,则瞬时角速度的方向为BO 方向,且iab j j i ˆˆˆˆ1121ωωωωω+=+=v.则 kb j a i b i ab j r P P ˆ2)ˆˆ()ˆˆ(111ωωωωυ=+−×+=×=vv v . 或用瞬轴法:P 点速度大小:b PD P 12ωωυ=⋅=. 方向:oz 轴方向.加速度: ja b i b r dt d dt d a P P Pˆˆ321221ωωυωωυ−=×+×==v v v v v v§3.2定点转动刚体对定点的动量矩一、刚体的动量矩图3.2.1刚体是一特殊的质点系，刚体作定点转动时对定点O 的动量矩（角动量）等于刚体上的各质点对定点O 的动量矩之和（矢量和）。
第三章 刚体的定轴转动
m r
i 1
n
2
i i
=J
1 2 Ek Jω 2
转动动能
ω 对应 v
J 对应 m
1 2 Ek mv 2
质点的动能
二 转动惯量 ( moment of inertia ) 质量 质点惯性大小的量度
J 与 m 对应
转动惯量 刚体转动惯性大小的量度
n
J mi ri
i 1
2
体分布
dm =ρdV dm =σdS dm =λdl
面分布 线分布
J r dm
2 m
单位:
kg · 2 m
说明： J r 2dm
m
1. J 与刚体的质量有关； 2. 质量一定，与质量的分布有关；
3. 与轴的位置有关。因此叫作绕轴的
转动惯量。
转动惯量的计算
例1 质量为m，半径为 r 的均匀细圆环， 对通过其中心并垂直环面的转轴的转动惯量。 解： 根据转动惯量的定义求解。
3. 题 3－2，3－8，3－9。
§3-1
刚体的定轴转动
刚体 ( rigid body ) ：在任何情况下，其形状和大 小都不发生任何变化的物体 刚体是一种理想模型
一 刚体的运动 刚体的运动
｛ 转动
平动
平动 ( translation ) 刚体运动时，其上任意两点的连线 ， 在运动过程中始终保持其方向不变 。 刚体的平动遵从质点运动的规律
ω ω0 αt
1 2 θ θ0 ω0t αt 2 2 2 ω ω0 2α(θ θ0 )
切向加速度 ( tangential acceleration )
dv at dt d (rω) dt dω r dt
3.刚体的定轴转动
2 3 2
2
6.16 10
3
2
3.14 m / s
2
2
6.16 10 m / s
例3-2：一飞轮在时间t 内转过角度 at bt 3 ct 4式中a、b、c都 是常量。求它的角加速度。 解:飞轮上某点的角位置可用θ 表示为： at bt 3 ct 4 将此式对t 求导数，即得飞轮角速度的表达式为:
O
刚体定轴转动的描述
（1） 定轴转动的角量描述
角位置： (t )
角位移： (t ) (t 0 ) 角速度：
d dt d
dt d
2
角加速度：
dt
2
角速度和角加速度均为矢量，定轴转动中其方向沿转轴的
方向并满足右手螺旋定则。
说明：在刚体的定轴转动中加速度、角加速度和角位移通常用 代数量表示。通常规定：当刚体作逆时针转动时，这些角量均 取正值；反之，取负值。
观察圆盘O和圆盘上一点P的运动：
O点的运动：沿着直线向前移动 圆盘上其他点的运动：除向前移动外，还绕圆盘中心O且垂直于盘面的轴转动。
1.刚体的平动：在运动过程中，若刚体上任意一条直线在各个时 刻的位置始终彼此平行，则这种运动叫做平动。
特点：刚体内所有点具有相同的位移、速度和加速度。 －－刚体上任一点的运动规律即代表刚体的平动规律。
2
2
则整个刚体的转动动能为：
Ek
1 2
m i vi
2
1 2
m i ri
2
2
1 2
J
2
二、 力矩的功和功率
1.力矩的功
刚体的定轴转动
第3章 刚体的定轴转动刚体定轴转动所遵从的力学规律，实际上是质点运动的基本概念和原理在刚体中的应用。
重要的概念有转动惯量和力矩。
刚体的动能和角动量都有其特殊的表达式，但守恒定律同样适用于包括刚体的系统。
§1 刚体的运动一 刚体刚体是固体物件的理想化模型。
实际的固体在受力作用时总是要发生或大或小的形状和体积的改变。
如果在讨论一个固体的运动时，这种形状或体积的改变可以忽略，我们就把这个固体当做刚体处理。
这就是说，刚体是受力时不改变形状和体积的物体。
刚体可以看成由许多质点组成，每一个质点叫做刚体的一个质元，刚体这个质点系的特点是，在外力作用下各质元之间的相对位置保持不变。
既然是一个质点系。
所以关于质点系的基本定律就都可以应用。
当然，由于刚体这一质点系有其特点，所以这些基本定律就表现为更适合于研究刚体运动的特殊形式。
二 刚体的运动形式刚体的运动可以是平动、转动或二者的结合。
如果刚体在运动中，连结体内两点的直线在空间的指向总保持平行，这样的运动就叫平动。
在平动时，刚体内各质元的运动轨迹都一样，而且在同一时刻的速度和加速度都相等。
因此在描述刚体的平动时，就可以用一点的运动来代表，通常就用刚体质心的运动来代表整个刚体的平动。
平动是刚体的基本运动形式之一。
转动也是刚体的基本运动形式之一，它又可分为定轴转动和定点转动。
定轴转动：运动中各质元均做圆周运动，且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。
定点转动：运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。
刚体不受任何限制的的任意运动。
它可分解为以下两种刚体的基本运动：随基点（可任选）的平动，绕通过基点的瞬时轴的定点转动。
三 刚体定轴转动的运动学描述刚体的定轴转动是最简单的转动情况。
在这种运动中各质元均做圆周运动，而且各圆的圆心都在一条固定不动的直线上，这条直线叫转轴。
刚体绕某一固定转轴转动时，各质元作圆周运动的轨道半径不同，所以各质元的线速度、加速度一般是不同的。
力学讲义-3刚体的定轴转动
物体（包括子弹）在 B 点的速度大小和θ 角的大小。
【思路分析】 此题可分两个过程，第一阶段，子弹射入木块前后，水平方向动量守恒；
第二阶段，含子弹的木块由 A 点沿曲线运动到 B 点，由于作用在木块上的弹簧拉力为有心
力，所以角动量守恒。同时，机械能也守恒，可解之。
解 子弹与木块作完全非弹性碰撞，水平方向动量守恒。设碰后的速度为 uK ，其大小为
（1）
T2 − m2 g sin α = m2a
（2）
另根据转动定律，对滑轮有
还有辅助方程
T1′R − T2′R = J β
T1′ = T1 T2′ = T2 a = Rβ
联立求解上述六个方程，解得 m1 的加速度大小为
a
=
(
m1 − m2 sinα (m1 + m2 )R2
) gR2
+J
（3）
（4） （5） （6）
与质点直线运动相对应的定理和定律，为便于记忆和理解，此处给出了质点一维运动与刚体
定轴转动的相应公式：
2
质点一维运动
刚体定轴转动
位移 Δx 速度 υ = dx
dt
加速度 a = dυ = d2 x dt dt2
质量 m
K 力F
运动定律
K F
=
maK
动量
K P
=
mυK
动量定理
JK dp
=
JK F
dt
∫K Fdt
向弹回，碰撞时间极短，如图 3-4 所示。已知滑块与棒碰撞
前后的速率分别为υ 和 u ，桌面与细棒间的滑动摩擦系数为 μ 。求从碰撞后到细棒停止运动所需的时间。
【思路分析】 首先由碰撞过程角动量守恒求出碰后细棒的角速度，再求得细棒受到的
大学物理上第3章 刚体的定轴转动
z
(ω, β )
r fi
F 两边乘以r 两边乘以ri ,有： it ri + f it ri = ∆mi ait ri
对所有质元的同样的式子求和， 对所有质元的同样的式子求和，有：
fit
∆mi
Fit
r Fi
Fir
o
Fit ri + ∑ f it r i = ∑ ∆mi ait ri = β ∑ ( ∆mi ri 2 ) ∑
表示合外力矩，记作M ∑ F r 表示合外力矩，记作 表示内力矩之和， ∑ f r 表示内力矩之和，其值等于零
it i
it i
(∆mi ri 2 ) 称为刚体对轴的转动惯量，记作J 称为刚体对轴的转动惯量，记作 ∑
则上式可简写成： 则上式可简写成：M = Jβ
11
M = Jβ
刚体定轴转动定律： 刚体定轴转动定律：刚体所受的对于某一固定转动 轴的合外力矩等于刚体对此转轴的转动惯量与刚体 在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。 在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。 说明: 说明: 1. 上式是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）。 上式是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）。 2. M、J、β是对同一轴而言的。 是对同一轴而言的。 3. 上式反映了力矩的瞬时效应。M = Jβ = J dω 上式反映了力矩的瞬时效应。 dt 4. 刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。 刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。 5. 转动惯量 是刚体转动惯性大小的量度。 转动惯量J是刚体转动惯性大小的量度 是刚体转动惯性大小的量度。
2
§3.1
3.1.1 刚体的运动
刚体定轴转动的描述
刚体的平动：刚体在运动过程中， 刚体的平动：刚体在运动过程中，其 上任意两点的连线始终保持平行。 上任意两点的连线始终保持平行。 可以用质点动力学的方法 来处理刚体的平动问题。 来处理刚体的平动问题。 刚体的定轴转动： 刚体的定轴转动：刚体上各点都绕同 一直线作圆周运动， 一直线作圆周运动，而直线本身在空 间的位置保持不动的一种转动。 间的位置保持不动的一种转动。这条 直线称为转轴 转轴。 直线称为转轴。
刚体的定轴转动和转动定律
受力： F Ft Fn
力矩：M r (Ft Fn )
r Ft rFt k
M F r ma r
z
M
Ft F
O r m
Fn
mr2
at r
即: M mr 2
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
2、刚体转动定律
质元 m j 受力为：
右手螺旋定则
第三章 刚体的转动
3– 1 刚体的定轴转动
4、角加速度（矢量）
第三章 刚体的转动
大小： d
dt
方向： 若 2 > 1 则 与角速度同向， 若 2 < 1 则 与角速度反向。
3– 1 刚体的定轴转动
第三章 刚体的转动
二、匀变速转动公式
匀变速转动：转动的角加速度为恒量的运动。
J R 2π r3dr π R4 所以 J 1 mR2
0
2
2
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第三章 刚体的转动
例3 ：质量为m、高为h、半径为r的均匀圆柱体，求其对 圆柱中心的转动轴的转动惯量？
解：dm dV 2 r h dr
其中：
m V
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第三章 刚体的转动
三 转动惯量 J mjrj2 , J r 2dm
1、物理意义：
j
描述刚体转动过程中转动惯性大小的物理量.（ 转动
惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转轴的位置 .）
2、转动惯量的计算方法：
1）质量离散分布刚体的转动惯量：
J mjrj2 m1r12 m2r22
对质量面分布的刚体： dm dS
第3章刚体的定轴转动
绕通过质心 由合外力矩决定（应用
轴的转动
转动定律）
第3章 刚体的定轴转动
例3 质量为 mA 的物体 A 静止在光滑水平面上，
和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质
量为 的圆mC柱形滑轮 C，并系在另一质量为 的物mB
体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴承间的摩
擦力可略去不计. 问：（1） 两物体的线加速度为多少？
dt
M
dL
作用于质点的合力对参考点 O 的力矩 ，等于质点对该点 O 的角
dt 动量随时间的变化率.
第3章 刚体的定轴转动
M
dL
dt
t2 t1
Mdt
L2
L1
冲量矩
t2
Mdt
t1
质点的角动量定理：对同一参考点 O ，质点所受
的冲量矩等于质点角动量的增量.
3 质点的角动量守恒定律
M 0, L 恒矢量
的大小与角速度的平方成正比，比例系数为 k
（ k 为大于零的常数).当 1 30 时，飞轮的角
加速度为
，所经历的时间为
M k2
M J
k 2
J
k
2 0
9J
第3章 刚体的定轴转动
M k2
M J J d
k 2 J d
dt
dt
t dt J
1
3
0
1
d
0
k 0 2
2J t
M mr 2
2）刚体
质量元受外力 Fej，内力 Fij
Mej Mij mjrj2
外力矩
内力矩
第3章 刚体的定轴转动
z
M
F
F
O
【大学物理上册课后答案】第3章 刚体的定轴转动
第3章 刚体的定轴转动习题解答3-1 一汽车发动机曲轴的转速在12s 内由每分钟1200转匀加速地增加到每分钟2700转，求：（1）角加速度；（2）在此时间内，曲轴转了多少转？解：（1）)/(401s rad πω= )/(902s rad πω=)/(1.13)/(6251240902212s rad s rad t≈=-=∆-=πππωωβ匀变速转动（2）)(78022122rad πβωωθ=-=)(3902圈==πθn3-2 一飞轮的转动惯量为J ,在0=t 时角速度为0ω，此后飞轮经历制动过程。
阻力矩M 的大小与角速度ω的平方成正比，比例系数0>K 。
求：（1）当30ωω=时,飞轮的角加速度；（2）从开始制动到30ωω=所需要的时间。
解：（1）依题意 2ωβK J M -== )/(92202s rad JK JK ωωβ-=-=（2）由JK dtd 2ωωβ-==得⎰⎰-=3200ωωωωK Jd dt tωK J t 2=3-3 如图所示， 发电机的轮A 由蒸汽机的轮B 通过皮带带动。
两轮半径A R =30cm ，=B R 75cm 。
当蒸汽机开动后，其角加速度π8.0=B βrad/s 2，设轮与皮带之间没有滑动。
求（1）经过多少秒后发电机的转速达到A n =600rev/min ？（2）蒸汽机停止工作后一分钟内发电机转速降到300rev/min ，求其角加速度。
解：（1）t A A βω= t B B βω=因为轮和皮带之间没有滑动，所以A 、B 两轮边缘的线速度相同，即B B A A R R ωω=又)/(20606002s rad A ππω=⨯=联立得)(10s R R t BB A A ==βω（2）)/(10603002s rad A ππω=⨯=)/(62s rad tAAA πωωβ=-'=3-4 一个半径为=R 1.0m 的圆盘，可以绕过其盘心且垂直于盘面的转轴转动。
第3章_刚体的定轴转动
T3
αB
T1
T2
2011-5-28
刚体的定轴转动
质量m的杆可绕过一端的水平轴转动 例：长l质量 的杆可绕过一端的水平轴转动。杆从水平静止开 质量 的杆可绕过一端的水平轴转动。 始转动，当转到与水平位置成θ角时 角时， 角速度ω和 始转动，当转到与水平位置成 角时，角法速度α ，角速度 和 质心法速度a 为多少？ 质心法速度 c为多少？ 解：(1) mg l cos θ = Jα
2011-5-28
刚体的定轴转动
转动定律及其应用： 转动定律及其应用：
对 刚 体 的 动 力学 问 题
M = Jα 与 F = ma 联合联来运用
2011-5-28
刚体的定轴转动
二、刚体的定轴转动
1、 定轴转动的运动学质律 、
刚体定轴转动 ( 运动学 ) —— 转动平面的定轴转动 转动平面上任一点 P
角量描述 : θ , ω = ω0 + α t
ω , α
v
v
θ = θ 0 + ω 0t + ω 2 − ω 02
1 α t2 2 = 2 α (θ − θ 0 )
本章教学基本要求 本章教学基本要求
1、掌握刚体平动、转动和定轴转动等概念，并角解刚体 、掌握刚体平动、转动和定轴转动等概念， 的基本运动为平动 定轴转动。 平动和 的基本运动为平动和定轴转动。 2、掌握描述刚体定轴转动的角量描述，熟练掌握刚体上 、掌握描述刚体定轴转动的角量描述， 法点的角量 线量关系 角量与 关系。 法点的角量与线量关系。 3、角解力矩 转动惯量的物角意义 了解平行轴定角 3、角解力矩和转动惯量的物角意义，了解平行轴定角， 力矩和 的物角意义， 平行轴定角， 掌握刚体定轴转动定律及其应用。 转动定律及其应用 掌握刚体定轴转动定律及其应用。 4、掌握刚体的动能和重力势能的计算，并能在有刚体转 动能和 的计算， 、掌握刚体的动能 重力势能的计算 动等问题中正确刚应用机械能守恒定律 机械能守恒定律。 动等问题中正确刚应用机械能守恒定律。 5、会计算刚体对固定轴的角动量，能正确应用角动量定 、会计算刚体对固定轴的角动量，能正确应用角动量定 角动量守恒定律。 角和角动量守恒定律。
大学物理课课件第3章_刚体的定轴转动
(m1-m2)g R(m1+ m2+ m 2) (m1-m2)g R(m1+ m2+ m 2)
a
gt 2
(rad)
两匀直细杆
两者瞬时角加速度之比 转动定律例题五
θ
θ
根据
1 2 1 2
θ θ
1 3 1 3
地面 从等倾角 处静止释放
短杆的角加速度大 且与匀质直杆的质量无关
第3节 机械能守恒定律
用两个对 转的顶浆
（支奴干 CH47)
A、B两轮共轴 A以ωΑ作惯性转动
守恒例题一
两轮啮合后 一起作惯性转动的角速度
ωΑΒ
以A、B为系统，忽略轴摩擦，脱离驱动力矩后，系 统受合外力矩为零，角动量守恒。
初态角动量 末态角动量
得
守恒例题二
木棒 弹
以弹、棒为系统 击入阶段 子弹击入木棒瞬间，系统在
铅直位置，受合外力矩为零，角动量守恒。 该瞬间之始 该瞬间之末 棒 弹 棒
对 质点运动和刚体转动定律
m 1 m 2 和 m 分别应用
及
β
R
T2 T2
m
T1 T1 m1
m1 g – T1 = m1a T2 – m2 g = m2a ( T1 – T2 ) R = Iβ
得 故
a = Rβ
1 I = 2 mR2 常量
β
(m1-m2)g = R(m1+ m2+ m 2) 由
m2
a
定轴转动物理量
1. 角位置
描述刚体（上某点）的位置 刚体定轴转动 的运动方程 刚体
刚体中任 一点
(t+△t) (t) 参考 方向
2. 角位移
第三章 刚体定轴转动
第三章 刚体定轴转动前面几章主要介绍了质点力学的基本概念和原理，以牛顿定律为基础，建立了质点和质点系的动量定理、动能定理和相应的守恒定律。
对于机械运动的研究，只限于质点和质点系的情况是非常不够的。
质点的运动规律事实上仅代表物体的平动。
当我们考虑了物体的形状、大小后，物体可以作平动、转动，甚至更复杂的运动，而且在运动过程中物体的形状也可能发生改变。
一般固体在外力的作用下，形状、大小都要发生变化，但变化并不显著。
所以，研究物体运动的初步方法是把物体看成在外力的作用下保持其大小和形状都不变，这样的物体叫刚体。
刚体考虑了物体的形状和大小，但不考虑形变，仍是一个理想模型。
本章主要在质点力学的基础上讨论刚体的定轴的转动及其运动规律，为进一步研究更复杂的机械运动奠定基础。
3.1 刚体的定轴转动的描述3.1.1 刚体的基本运动形式刚体是一种特殊的质点系统，它可以看成是由许多质点组成，每一个质点叫做刚体的一个质元，刚体这个质点系的特点就在于无论它在多大外力的作用下，系统内任意两质元之间的相对位置始终保持不变。
既然是一个质点系，所以以前讲过的关于质点系的基本定理就都可以应用。
刚体的这个特点使刚体力学和一般质点系的力学相比，大为简化。
因此，对于一般质点系的力学问题，求解往往很困难，而对于刚体的力学问题却有不少是能够求解的。
刚体的运动可分为两种基本形式：平动和转动。
刚体的运动一般来说是比较复杂的，一般可分解为平动和绕瞬时轴的转动，比如行进中的自行车轮子，可以分解为车轮随着转轴的平动和整个车轮绕转轴的转动。
因此，研究刚体的平动和定轴转动是研究刚体复杂运动的基础。
下面分别介绍刚体的平动和刚体的定轴转动。
当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直线，在运动中始终保持它的方向不变，这种运动就(b)(a)图3-1 刚体的平动和定轴转动是平动，如图3-1(a)所示。
在日常生活中，我们常见的升降机的运动就是平动。
平动的特点是，在任意一段时间内，刚体内所有质点的位移都是相同的，而且在任何时刻，各个质点的速度和加速度也都是相同的。
胡盘新主编《普通物理学简明教程》课件pdf-03刚体的定轴转动
ρ
：质量面密度 ：质量体密度
华海南热南带大农业学大学
第三章 刚体的定轴转动
Example2 -P97-3-3
例题3-3 一质量为m 、长为 l 的均匀细长棒，求
通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 .
海
O
纳
Or
大 道
百
− l 2 O´ dr l 2
O´ dr
l致
川
r 解 设棒的线密度为λ ，取一距离转轴 OO´ 为 远
立 川
道岛 致 生
远
业
根
华海南热南带大农业学大学
第第三三章章 刚刚体体的的定转轴动转动
§3-1 刚体的平动、转动和定轴转动
刚体定轴转动（一
维转动）的转动方向可
儋 海
以用角速度的正负来表
纳州 百
示. 角加速度
αK
=
dωK
立 川
dt
业 定轴转动的特点
ωzK
z
大宝
ωK
道岛
致
ω >0 ω <0
生
远
根
1） 2）
ρ
2
m
πR2
2π
ρ
dρ
= 1 mR2 4
oρ
大
dm
道
致
远
可见，转动惯量与刚体的质量分布有关。
海南大学
第第三三章章 刚刚体体的的定转轴动转动
Example
§3-1 刚体的平动、转动和定轴转动
例2: 计算质量为m, 半径为R的均匀薄圆环的转动惯量.
轴与圆环平面垂直并通过圆心。
儋
海 解: 如图各质元到轴的垂直距离相等
处的质量元 dm = λdr dJ = r 2dm = λr 2dr
第03章 刚体定轴转动01-转动定律
作用于刚体内每一质元上的内力矩的矢量和为零，即
fr 0
i i i
14
F r
i i
i
为作用于刚体内每一质元上的外力矩的矢量和。
M Fi ri
i
定义：刚体的转动惯量J (moment of interia) 则有：
2 m r ii i
M J
即：
M J
刚体定轴转动的转动定律：刚体定轴转动的角加速度与它所 受的合外力矩成正比 ，与刚体的转动惯量成反比。 —— 刚体定轴转动的基本动力学规律。
dm 2 π r dr
P
3 2
圆环对轴的转动惯量
dJ r dm 2π r dr R 3 J 2π r dr π R 4 0 2 1 2 而 m π R 所以 J mR 2
圆盘对P 轴的转动惯量
R
R
O O
r dr
1 J P mR 2 mR 2 2
19
15
三、转动惯量
J mi ri
i
2
物理意义：刚体转动惯性的量度。 对于质量离散分布刚体的转动惯量
J mi ri 2 m1r12 m2r22
i
质量连续分布刚体的转动惯量
J lim
mi 0
2 2 m r r i i dm i
P1 y
P2
23
（3）如图所示,不计绳子的质量，滑轮的质量与半径分别为M
和R，滑轮与绳间只滚不滑，不计滑轮与轴间的摩擦力。 且 m1 m2 。 求重物释放后，物体的加速度和绳的张力。 A
m1 FN m1 FT1
O
C
取坐标如图
M
第三章刚体的定轴转动
§3.1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律
二、刚体定轴转动的动能定理 B、对于定轴转动刚体，所有内力的功总和在任何过程中均为零。（内力成对，大小相等方向相反，
一对内力矩的代数和为零；∴内力矩的功总和为零。另一角度，内力的功相对位移为零 .）
3、功率：
d A F 2d r
pdAMdM
dt dt
当 与 M 同方向， 和 为正 当 与 M 反方向， 和 为负
§3.1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律
1 2 其中(：1 3M h 2 1 m l2l(12) ca 2o M s) 1( 3g )m h 2g(h 2 ) h 2 a (1 co )s(4 )
由（2）（3）（4）式求得：
2Mg(1lcos)/22mg(1acos)
M2l/3m a2
(Ml 2ma)g(1cos)
2
25
整理，得：
1 10 gh,
b7
vcb
10 gh 7
§3.2 定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律
（2）小球到达A点不脱离轨道，要求小球在A点的速 度vA 和角速度A满足：
m v a A 2 m g v A 2 a,gA 2 v b A 2 2 a b 2 g (4 )
由机械能守恒：
b<<a
飞轮作变加速转动
§3.1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律 例题3-1-2：一长为 l ，重为W的均匀梯子，靠墙放置，如图。墙光滑，地面粗糙, 当梯子与地面成角 时，处于平衡状态，求梯子与地面的摩擦力。
解：刚体平衡同时要满足两个条件：
Fi 0
Mi 0
列出分量方程：
O
水平方向：
f1N2 0
竖直方向：
《大学物理》第三章 刚体的定轴转动
P
t
=
1 2
ω J 2 自
t
=
ω J 2 自 2P
=
2×105× (30π)
2×736×103
2
=
1.21×103s
(2) ω进 = 1度 秒 = 0.0175rad/s
ω进 =
M
Jω自
M = Jω进ω自
M = 2×105×0.0175×30π= 3.3×105 N返回.m退出
3-14 在如图所示的回转仪中，转盘的 质量为 0.15kg , 绕其轴线的转动惯量为： 1.50×10-4 kg.m2 ,架子的质量为 0.03kg, 由转盘与架子组成的系统被支持在一个支柱 的尖端O，尖端O到转盘中心的距离为0.04 m , 当转盘以一定角速度ω 绕其轴旋转时， 它便在水平面内以1/6 rev/s的转速进动。
为25cm，轴的一端 A用一根链条挂起，如
果原来轴在水平位置，并使轮子以ω自=12 rad／s的角速度旋转，方向如图所示，求：
（1）该轮自转的角动量；
（2）作用于轴上的外力矩；
（3）系统的进动角速度， ω
并判断进动方向。
AO
B
R
l 返回 退出
解：
(1)
J
=
m
R
2
回
=
5×(0.25 )2
ω
= 0.313 kg.m2
a
=
m
1+
m m
1g 2+
J
r2
T1 =
m 1g (m 2+ J m 1+m 2 + J
r 2) r2
T2 =
m 1m 2g m 1+m 2 + J
3第三章_刚体的定轴转动
d dt
J
,
刚体定轴转动定律：刚体作定轴转动时，合外力矩等 于刚体的转动惯量与角加速度的乘积.
例:一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别 悬有质量为m1 和m2 的物体，滑轮可视为均质圆盘， 质量为m，半径为r，绳子不可伸长而且与滑轮之间无 相对滑动.求物体加速度、滑轮转动的角加速度和绳 子的张力. o 解: 受力图如下， 设 m 2 >m 1 r
(m 2 m1 ) g (m1 m 2 1 2
1 2 1 2 m m)g
1 2
m
m )r
m)g T2
T1
m 2 (2 m1
m1 m 2
m1 m 2
3-2 定轴转动的动量矩定理和 动量矩守恒定律
预习要点 1. 认识质点对定点的动量矩的定义， 刚体对转轴的动 量矩如何计算? 2. 刚体定轴转动的动量矩定理的内容及数学表达式是
认识刚体
在研究物体的运动时，根据问题的性质和要求， 有时需要考虑物体的形状和大小，而忽略物体在力 的作用下引起的形变，即把物体看作是形状、大小 不会改变的物体—刚体：在外力作用下形状和大小 保持不变的物体(ideal model） 刚体特征： 构成刚体任意两质点间的距离，在运动过程中恒保 持不变。是一种“速冻”质点系。 研究任务： 刚体的运动，突出转动，将其上升为研究的主要问 题和对象。忽略了振动及其它变形运动。
J J
i
m i ri
2
2
m
r dm
例：如图质点系
J
m3 r3
r1 m 1
m2 r2
i3
m i ri
2
2
i 1
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dt
则L 常量，即L （0 J C）
当物体所受的合外力矩为零时，物体的角动量保持不变。
M=0的原因，可能F＝0?；r=0; F∥r.在定轴转动中还有
M≠0，但它与轴平行，即Mz=0,对定轴转动没有作用，则刚体
对此轴的角动量依然守恒。
20
第三章 刚体的定轴转动
应用角动量守恒定律的两种情况：
1、当转动M惯量0保时持，不J变的 单个J刚0体,则。
R
dr
R
o
dr
2r
ds 2rdr
dm ds 2rdr
dJ r2dm 2r3dr
J r 2dm R r2 2r ldr 1 mR2
m
0
2
18
第三章 刚体的定轴转动 3-3 刚体对转轴的角动量
一、刚体的角动量
Z
ri
vi
质点对点的角动量为：
L r P r mv
mi
刚体上的一个质元,绕固定轴
这个结论称为平行轴定理。
14
第三章 刚体的定轴转动
右图所示刚体对经过棒端
且与棒垂直的轴的转动惯量
mL
如何计算？(棒长为L、圆半
径为R）
mO
J L1
1 3
mL L2
Jo
2 5
Hale Waihona Puke mo R2J L2 J0 m0d 2 J0 m0(L R)2
J
1 3
m
L
L2
2 5
mo R2
mo (L
R)2
15
第三章 刚体的定轴转动
i
✓质量连续分布 J miri2 r2dm i
刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量
与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。单
位：kgm2
10
第三章 刚体的定轴转动
➢ 质量连续分布刚体的转动惯量
I miri2 r2dm dm ：质量元 i
质量为线分布 dm dl 其中、、分
质量为面分布
刚体上各点都绕同一固定转轴作不同半径 的圆周运动，且在相同时间内转过相同的 角度。
z
A r1 o1
A
B
r2
o2
B
➢特点：
✓质点在垂直转轴平面内作圆周运动； ✓角位移，角速度和角加速度均相同； ✓ 质点的线速度，线加速度不一定相同.
5
第三章 刚体的定轴转动
四、刚体定轴转动的描述 ➢物理量
角坐标
(t)
0
当2、J转增动大惯时 量可，变的就物减 体。小； 当J减小时，就增大，从而J保持不变
21
第三章 刚体的定轴转动
22
第三章 刚体的定轴转动
(3) 多个物体组成的系统 Mi 0
i
Jii 恒量 相对与同一转轴
i
23
第三章 刚体的定轴转动
做圆周运动角动量为：
Li rimivi ri2mi
所以刚体绕此轴的角动量为：
L Li ( miri2 ) J
19
i
i
二.
第三章
刚体的角动量定理
M刚体r 的F定 d轴L 转动
刚体定轴转动
M外
dL dt
dt
M外dt dL
t2 t1
M外
d
t
L2 L1
角动量定理
三、在角M动 量 守dL恒中定，律若M 0，
Eki
1 2
mi vi2
1 2
mi (ri )2
Ek
Eki
1 2
mi
(ri
)2
1 2
(
miri2 ) 2
1 2
J 2
Ek
1 2
J 2
J 是定轴转动的转动惯量。
9
第三章 刚体的定轴转动
二、转动惯量
➢ 物理意义：转动惯性的量度
➢ 计算方法 ：
✓质量离散分布 J miri2 m1r12 m2r22
12
第三章 刚体的定轴转动
例：求质量为m,长为L的均匀细棒对转轴的转动惯量： 转轴通过棒的中心o并与棒垂直
A
O质 dm
X
x dx
解：以棒中心为原点建立坐标OX、将棒分割 成许 多质元dm.
dm dx m/ L
Jc
L
2 L
x2dm
2
L
2 L
2
x2
m L
dx
1 mL2 12
转轴通过棒的一端A并与棒垂直？ 13
五、了解陀螺的进动现象。
2
第三章 刚体的定轴转动
3
第三章 刚体的定轴转动
一、刚体
在无论多大的外力作用下形状和大小都保持不变的物体，
即 rij c 。
二、刚体运动基本类型
➢平动
➢转动
➢一般运动
+ ➢刚体的一般运动 质心的平动
绕质心的转动
4
第三章 刚体的定轴转动
三、刚体定轴转动的特点
➢定轴转动：
角位移 (t t) (t)
角速度
lim d
t0 t dt
角加速度 d
dt
6
第三章 刚体的定轴转动
➢ 匀变速转动公式
当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做 匀变速转动 .
刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
v v0 at
x
x0
v0t
1 2
at 2
v2
v
2 0
2a(x
x0 )
0 t
0
0t
1 2
t 2
2 02 2 ( 0 )
7
第三章 刚体的定轴转动
➢ 角量与线量的关系
s r
v re
a
an
r
a
e v
a r an r 2
a
re
r
2
en
8
第三章 刚体的定轴转动
3-2 转动动能 转动惯量 一、 刚体定轴转动的转动动能
dm ds
别为质量的线密 度、面密度和体
质量为体分布 dm dV 密度。
线分布
面分布
体分布
11
第三章 刚体的定轴转动
❖确定转动惯量的三个要素:(1)总质量 (2)质量分布 (3)转轴的位置
J m( l )2 m( l )2 m l 2 m
m
2
22
l
J ml2
m
m
l
J 2ml2
l 2m l
刚体的第定三轴章 转刚动体的定轴转动
刚体的定轴转动
1
第三章 刚体的定轴转动
一、掌握描述刚体定轴转动的三个物理量——角 位移、角速度、角加速度以及角量与线量的关系； 并能运用匀变速转动方程进行具体计算。
二、理解转动惯量物理意义，并能进行具体计算。
三、掌握刚体转动定律并能具体运用。
四、理解角动量的概念和角动量定理，掌握角动 量守恒定律并能具体运用。
几种刚体的转动惯量
16
第三章 刚体的定轴转动
例：试求质量为m 、半径为R 的匀质圆环对垂直于 平面且过中心轴的转动惯量.
解：细圆环 dm dl
R
2R
0
R
2
m
2R
dl
R
dl
mR2
17
第三章 刚体的定轴转动
例：试求质量为m 、半径为R 的匀质圆盘对垂直于 平面且过中心轴的转动惯量.
解：薄圆盘
第三章 刚体的定轴转动
平行轴定理
前例中JC表示相对通过质心的轴的转动惯量，JA表示相对 通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距L/2。可见：
J A＝JC＋m
L 2
2
1 12
mL2
1 4
mL2
1 3
mL2
推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平行， 相距为d，刚体对其转动惯量为J，则有：
J＝JC＋md2。