【专题整理】【解答题】【数学归纳法、放缩法】【数列】

（1）求函数 的最大值；
（2）设 ，证明： ．
【分析】
对于第（2）小问，绝大部分的学生都会望而生畏．学生的盲点也主要就在对所给函数用不上．如果能挖掘一下所给函数与所证不等式间的联系，想一想大小关系又与函数的单调性密切相关，由此就可过渡到根据所要证的不等式构造恰当的函数，利用导数研究函数的单调性，借助单调性比较函数值的大小，以期达到证明不等式的目的．
（2）由 ， 得： ，对 均成立； 得： ．
（3）【证法一】当 时， ；当 时， ； ；由上式得：对一切正整数 ，有 ．
【证法二】∵ ，∴ ，∴ ，于是 ．
2、【2012年大纲卷，理】函数 ．定义数列 如下： ， 是过两点 、 的直线 与 轴交点的横坐标．
（1）证明： ；
（2）求数列 的通项公式．
【解析】
因此 ．
5、【2011年广东惠州】已知曲线 上有一点列 ，点 在x轴上的射影是 ，且 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设四边形 的面积是 ，求证： ．
【解析】
（1）由 得： ，∵ ，∴ ，故 是公比为2的等比数列 ，∴ ．
（2）∵ ，∴ ，而 ，∴四边形 的面积为： ，∴ ，故 ．
6、【2011年重庆八中月考】已知数列 满足递推式： ．
【解析】
由已知：x + >0，∴构造函数 ，则 x + >0，从而 在R上为增函数， ，∴ ，即a >b ．
【点评】由条件移项后 ，容易想到是一个积的导数，从而可以构造函数 ，求导即可完成证明．若题目中的条件改为 ，则移项后 ，要想到是一个商的导数的分子，平时解题多注意总结．
5、主元法构造函数
【例5】已知函数 ．
（3）当 时， 即 时命题成立；假设 时命题成立，即： ；当 时， = ，即 时命题也成立．综上可得，对于任意 ， ．
3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）
【例3】已知： ，求证： ．
【解析】
．
【点评】本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标．
4、放大或缩小“因式”
【例4】已知数列 满足： ，求证： ．
【解析】
， ， ．
【点评】本题通过对因式 放大，而得到一个容易求和的式子 ，最终得出证明．
（1）∵ ，故点 在函数 的图像上，故由所给出的两点 、 ，可知直线 的斜率一定存在．故直线 的方程为 ，令 可得： ，∴ ．
下面用数学归纳法证明 ：①当 时， ，满足 ；②假设 时， 成立，则当 时， ，由 ，即 也成立．综上可知： 对任意正整数恒成立．
下面证明 ：由 ；由 ，故有 ，即 ．综上可知： 恒成立．
4、【解析】 ， ，故 在 上是减函数，由 有 ，故选A．
高考真题荟萃
1、【2012年广东卷，理】设数列 的前 项和为 ，满足 （ ），且 、 、 成等差数列．
百度文库（1）求 的值；
（2）求数列 的通项公式；
（3）证明：对一切正整数 ，有 ．
【解析】
（1） ， ；两式相减得： ． ， ； 、 、 成等差数列 ．
2、先放缩再求和（或先求和再放缩）
【例2】函数 ，求证： （ ）．
【解析】
由 得： （ ）．
【点评】此题不等式左边不易求和，此时根据不等式右边特征，先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和．若分子，分母如果同时存在变量时，要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式．如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可．
（1）若 的通项公式；
（2）求证：
【解析】
（1） ，
．
（2）由（1）知： ， ，
7、【2011年河北省唐山一中】已知数列 满足 = ， ，数列 满足 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，求证：当 时， ；
（3）求证：当 时， ．
【解析】
（1）由题意得： ，即 ， ．
（2） ，当 时， ，平方则 ，叠加得 ， ， ．
2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键．
一、移项法构造函数
【例1】已知函数 ，求证：当 时，恒有 ．
【分析】
本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数 ，从其导数入手即可证明．
5、逐项放大或缩小
【例5】设 ，求证： ．
【解析】
∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ．
【点评】本题利用 ，对 中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简的目的．
6、固定一部分项，放缩另外的项
【例6】求证： ．
【解析】
， ．
【点评】此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处．
【点评】我们知道，当 在 上单调递增，则 时，有 ．如果 ＝ ，要证明当 时， ，那么，只要令 ＝ － ，就可以利用 的单调增性来推导．也就是说，在 可导的前提下，只要证明 0即可．
4、从条件特征入手构造函数证明
【例4】若函数y= 在R上可导，且满足不等式x >－ 恒成立，常数a、b满足a>b，求证：a >b ．
【解析】
由题意得： ，∴当 时， ，即 在 上为增函数；当 时， ，即 在 上为减函数；故函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间 ；于是函数 在 上的最大值为 ，因此，当 时， ，即 ∴ （右面得证）．
现证左面，令 ， ，当 ，即 在 上为减函数，在 上为增函数，故函数 在 上的最小值为 ，∴ 当 时， ，即 ，∴ ，综上可知，当 ．
【解析】
原不等式等价于 ，令 （ ），则 ，即 在 上严格递减，∴ ，即 成立．
【思维挑战】
1、（2007年，安徽卷）设 ， ．
求证：当 时，恒有 ．
2、（2007年，安徽卷）已知定义在正实数集上的函数 ， ，其中 ，且 ，求证： ．
3、已知函数 ，求证：对任意的正数 、 ，恒有 ．
4、（2007年，陕西卷） 是定义在 上的非负可导函数，且满足 ，对任意正数 、 ，若 ，则必有（）
数学归纳法和放缩法
放缩法证明不等式
1、添加或舍弃一些正项（或负项）
【例1】已知： ，求证： ．
【解析】
， ， ．
【点评】若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小．由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的．本题在放缩时就舍去了 ，从而是使和式得到化简．
【解析】
设 ，即 ，则 = ；当 时， = ，从而 在 上为增函数，∴ ，∴当 时， ，即 ，故在区间 上，函数 的图象在函数 的图象的下方．
【点评】本题首先根据题意构造出一个函数（可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数），并利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要证的不等式．读者也可以设 做一做，深刻体会其中的思想方法．
（2）记 ， ，当 时，试比较 与 的大小．
【解析】
（1）设等差数列 的公差为d，由 得： ；因为 ，所以 所以 ．
（2）因为 ，所以 ；因为 ，所以 ；当 ，即 ，所以当 ；当 ．
4、【2011年重庆卷，理21】设实数数列 的前n项和 ，满足 ．
（1）若 成等比数列，求 和 ；
（2）求证：对 ．
【解析】
【分析】
此题目具有幂指数形式，对不等式两边分别取对数得 ，整理为 ，在此基础上根据“形似”构造辅助函数 ，再根据函数的单调性证明之．
【解析】
不等式两边分别取对数得 ，可化为 ．令 ，显然 在 内连续并可导， （ ），故 在 内严格单调递减，由 得： ，∴ ，即 ，故 ．
【例9】已知 、 都是正整数，且 ，证明： ．
（1）证明： ；（2）证明： ．
【解析】
（1）对于 ，且 ， ，同理 ，由于 ，对于整数 1、2、 、 ，有 ，∴ ，即 ．
（2）由二项式定理有： ， ，由（1）知： （ ），而 ， ，∴ （ ），∴ ， ， ， ， ， ， ， ，∴ ，即 成立．
构造法证明不等式
1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点．
A． B． C． D．
【参考答案】
1、【解析】 ，当 ， 时，不难证明 ，∴ ，即 在 内单调递增，故当 时， ，∴当 时，恒有 ．
2、【解析】设 ，则 = ， ，∴当 时， ，故 在 上为减函数，在 上为增函数，于是函数 在 上的最小值是 ，故当 时，有 ，即 ．
3、【解析】函数 的定义域为 ， ，∴当 时， ，即 在 上为减函数；当 时， ，即 在 上为增函数；因此在 取得极小值 ，而且是最小值，于是 ，即 ，令 ，于是 ，因此 ．
【点评】如果 是函数 在区间上的最大（小）值，则有 （或 ），那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过 就可得证．
2、作差法构造函数证明
【例2】已知函数 ，求证：在区间 上，函数 的图象在函数 的图象的下方．
【分析】
函数 的图象在函数 的图象的下方 问题，即 ，只需证明在区间 上，恒有 成立，设 ， ，考虑到 ，要证不等式转化变为：当 时， ，这只要证明： 在区间 是增函数即可．
【点评】当函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把不等式的恒成立问题可转化为求函数最值问题．不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为 （或 ）恒成立，于是 大于 的最大值（或 小于 的最小值），从而把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题．因此，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法．
（2）由 得到该数列的一个特征方程 ，即 ，解得： 或 ，∴ ①； ②；两式相除可得 ，而 ，故数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，则 ，故 ．
3、【2011年浙江卷，理19】已知公差不为0的等差数列 的首项 为a（ ），设数列的前n项和为 ，且 ， ， 成等比数列．
（1）求数列 的通项公式及 ；
7、对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式）
【例7】证明：当 时， ．
【解析】
对不等式两边取对数得 ，化简为 ，设辅助函数 （ ）， ，又 （ ），易知 在 上严格单调增加，从而 （ ），又由 在 上连续，且 ，得 在 上严格单调增加，∴ （ ），即 ， ，故 （ ）．
8、构造形似函数
【例8】证明：当 ，证明 ．
3、换元法构造函数证明
【例3】（2007年山东卷）证明：对任意的正整数n，不等式 都成立．
【分析】
本题是山东卷的第（2）问，从所证结构出发，只需令 ，则问题转化为：当 时，恒有 成立，现构造函数 ，求导即可达到证明．
【解析】
令 ，则 在 上恒正，∴函数 在 上单调递增，∴ 时，恒有 ，即 ，∴ ，对任意正整数n，取 ．
【例6】已知函数 ．
（1）若 在 上为增函数，求 的取值范围；
（2）若 ，求证：当 时， ．
【解析】
（1） ，∵ 在 上为增函数，∴ 对 恒成立，即 对 恒成立；记 ，则 ；当 时， ；当 时， ．知 在 上为增函数，在 上为减函数，∴ 在 时，取得最大值，即 ，∴ ，即 的取值范围是 ．
（2）记 （ ），则 ，令 ，则 ；当 时， ，∴ 在 上为增函数，又 在 处连续，∴ ，即 ，∴ 在 上为增函数，又 在 处连续，∴ ，即 ．
【解析】
（1）过程略；
（2）对 求导，则 ．在 中以b为主变元构造函数，设 ，则 ．当 时， ，因此 在 内为减函数；当 时， ，因此 在 上为增函数．从而当 时， 有极小值 ，∵ ，∴ ，即 又设 ，则 ；当 时， ．因此 在 上为减函数，∵ ∴ ，即 ．
6、构造二阶导数函数证明导数的单调性（二次求导）
（1）由题意 ，由S2是等比中项知 ；由 解得： ．
（2）【证法一】由题设条件有 ，故 ，从而对 有 ①；因 ，由①得 ，要证 ，由①只要证 ，即证 ，此式明显成立．因此 最后证 若不然 又因 矛盾．因此 ．
【证法二】由题设知 ，故方程 （可能相同）．因此判别式 又由 因此 ，解得 因此 由 ，得：
7、利用基本不等式放缩
【例7】已知： ，证明：不等式 ，对任何正整数 、 都成立．
【解析】
要证 ，只要证： ，∵ ， ，故只要证： ，即只要证： ，∵ ，∴命题得证．
【点评】本题通过化简整理之后，再利用基本不等式由 放大即可．
8、先适当组合、排序，再逐项比较或放缩
【例8】已知： 、 、 是正整数，且 ．