向量数量积的坐标运算和度量公式

复习提问提问1：如何用向量的长度、夹角

反映数量积？又如何用数量积、长

度来反映夹角？向量的运算律有哪

些？

由学生口答，教师板书向量数量积的定

义及向量的运算律公式

为数

量积

的坐

标运

算及

度量

公式

的推

导证

明打

好理

论基

础

练习2：已知|a|=1，|b|=2，(1)

若a∥b，求a·b；(2)若a、b的夹

角为６０°，求|a+b|；(3)若a-b

与a垂直，求a与b的夹角.

练习3：设i，j为正交单位向量，

则

① _______②

____________

③ ________ ④

____________

学生板书，教师分析，引导学生复习

前课重点……两个向量的数量积的运

算性质

引入新课及公式推导向量的坐标表示，为我们解决向量

的加、减、数乘向量带来了极大的

方便，那么向量的坐标表示，对数

量积的表达方式会带来哪些变化

呢？

问题1

如果已知，

怎样用、的坐标表示

呢？

推广1：设)

,

(y

x

a=

，则

2

2

2|

|y

x

a+

=

或2

2

|

|y

x

a+

=

学生独立进行每个公式的证明，教师

个别指导

教师小结：

（1）两个向量的数量积等于它们对应

坐标的乘积的和

在充

分复

习的

基础

上，培

养学

生用

旧知

解决

新问

题的

能力，

独立

思考

探索

的意

识

(长度公式)

推广2：设

、

则(距离

公式)

推广3： co s

=|

|||b a b a ⋅⋅ 2

2

222

1

2

12121y x y x y y x x +++=（πθ≤≤0）(夹角公式)

即b a

⋅2121y y x x +=

(2) 向量的长度、距离和夹角公式

问题2 内积为何值时说明两个向量是垂直的？

b a ⊥ ⇔02121=+y y x x

教师小结：向量垂直的充要条件

设

)

,(11y x a =

，

)

,(22y x b =

，

则

b

a ⊥ ⇔02121=+y y x x

应用举例

例1 设a

= (3, 1)，b = (1,

2)，求a b ，b a b a ,,,

教师演示第一问，强调先写公式，后计算，学生完成全题。 巩固向量数量

积的坐

标运算和度量公式的基本应用

例2 已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(2,

5)，

求证：△ABC是直角三角形（1）教师引导，师生共同完成。

(2)教师提问：该题还有其他证明

方法吗？

（提示可计算、、

，然后用勾股定理验证）

运用向

量垂直

的坐标

表示的

充要条

件解决

问题；培

养学生

灵活运

用所学

公式解

决问题

的能力

例3 已知A（1，2），B（3，4），C （5，0），求∠BAC的值。教师引导，师生共同完成。应用夹

角的坐

标公式，

揭示向

量与三

角的联

系,训练

学生的

运算能

力

例4 已知，求与垂直

的单位向量

教师讲解，学生归纳方法

课堂练习练习A 1（1），（2）学生独立完成，教师指导巩固新

知

归纳小结1、向量垂直的坐标表示的充要条件，

及向量的长度、距离和夹角公式

（1）用坐标表示的数量积公式，常

用来计算两向量的夹角.

（2）两向量垂直时，在表达方式上

有一定技巧，如与

师生共同完成使学生

养成归

纳总结

的习惯，

主动独

立思考

问题的

能力

总是垂直的。

2、平面向量数量积的两种形式的内在联系及有关知识的灵活运用。

布置作业

练习A 1（3）（4）,2,3

练习B 1

学生独立完成巩固新

知（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）