向量数量积的坐标运算和度量公式
向量数量积的坐标运算与度量公式
《向量数量积的坐标运算与度量公式》《向量数量积的坐标运算与度量公式》一、知识讲解1.向量数量积的坐标表示:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和， 即：a =1,1()x y , b=2,2()x y ，则a ⋅ b = .2.向量模的坐标表示:若a =1,1()x y , 则向量a 的起点和终点坐标分别为1,1()x y ,2,2()x y ,那么a = 已知点A 1,1()x y ,B 2,2()x y ,那么AB 距离= 3.两向量垂直、平行的坐标表示:设a =1,1()x y , b=2,2()x y ,则 (1) （2）4.两向量夹角的坐标表示:非零向量, a =1,1()x y , b=2,2()x y , θ是a 与b 的夹角 可得： 二、典型例题例1 设a =(5,-7), b=(-6,-4),求a ·b ，a 与b 的模长，a 与b 夹角θ.例2 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，试判断三角形ABC 的形状，并给出证明.例3已知|a |=3, b =(2,3) ,试分别解答下面两个问题: (1) 若a ⊥b ,求a 坐标; (2) 若a ∥b 求a 坐标.例4已知向量(2,3),(3,)a b k ==-，且,a b <>是钝角。
求k 的取值范围三、课堂检测1.已知向量a ＝(3,1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(0,2)，若a ⊥(b －c )，则实数x 的值为( )A.43B.34C.－34D.－43 2.已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(x,4)，且a ∥b ，则|a －b|＝( )A.5 3B.3 5C.2 5D.2 2 3.已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2,23)，则a 与b 的夹角是( )A.π6B.π4C.π3D.π24.若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为( )A.655B.65C.135D.135.已知正方形OABC 两边AB ，BC 的中点分别为D 和E ，则∠DOE 的余弦值为( )A.12B.32C.35D.45 6.已知O A →＝(－2,1)，O B →＝(0,2)，且A C →∥O B →，B C →⊥A B →，则点C 的坐标是________.7.若向量a ＝(－2,2)与b ＝(1，y)的夹角为钝角，则y 的取值范围为________.8.已知AB →＝(6,1)，BC →＝(4，k)，CD →＝(2,1).(1)若A ，C ，D 三点共线，求k 值； (2)在(1)的条件下，求BC →与CD →的夹角的余弦值.9.已知a ＝(1,1)，b ＝(0，－2)，当k 为何值时，(1)k a －b 与a ＋b 共线； (2)k a －b 与a ＋b 的夹角为120°.10.向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3).若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73 11.在平面直角坐标系内，已知三点A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，求： (1)AB →，AC →的坐标； (2)|AB →－AC →|的值； (3)cos ∠BAC 的值.。
19-20版 第2章 2.3 2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式
2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 (1)向量内积的坐标运算：已知a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2. (2)用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0. 2．向量的长度、距离和夹角公式 (1)向量的长度：已知a ＝(a 1，a 2)，则|a |(2)两点间的距离：如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|(3)两向量的夹角：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)， 则cos 〈a ，b思考：与向量a ＝(a 1，a 2)同向的单位向量的坐标如何表示？ [提示] 由于单位向量a 0＝a|a |，且|a |＝a 21＋a 22，所以a 0＝a|a |＝1a 21＋a 22(a 1，a 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫a 1a 21＋a 22，a 2a 21＋a 22，此为与向量a ＝(a 1，a 2)同向的单位向量的坐标．1．已知a＝(1，－1)，b＝(2,3)，则a·b＝()A．5 B．4C．－2D．－1D[a·b＝(1，－1)·(2,3)＝1×2＋(－1)×3＝－1.]2．(2019·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cos〈a，b〉＝________.－210[∵a＝(2,2)，b＝(－8,6)，∴a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4，|a|＝22＋22＝22，|b|＝(－8)2＋62＝10.∴cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－422×10＝－210.]3．已知a＝(3，x)，|a|＝5，则x＝________. ±4[|a|＝32＋x2＝5，∴x2＝16.即x＝±4.]A ．12 B ．－12 C ．32D ．－32(2)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3,2)，则a·b ＝________，a·(a －b )＝________. (3)已知a ＝(2，－1)，b ＝(3,2)，若存在向量c ，满足a·c ＝2，b·c ＝5，则向量c ＝________.[思路探究] 根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程(组)来进行求解．(1)D (2)1 4 (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫97，47 [(1)因为a ＝(1,2)，b ＝(2，x )，所以a·b ＝(1,2)·(2，x )＝1×2＋2x ＝－1，解得x ＝－32.(2)a·b ＝(－1,2)·(3,2)＝(－1)×3＋2×2＝1，a·(a －b )＝(－1,2)·[(－1,2)－(3,2)]＝(－1,2)·(－4,0)＝4. (3)设c ＝(x ，y )，因为a·c ＝2，b·c ＝5， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝2，3x ＋2y ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝97，y ＝47，所以c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫97，47.]1．进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：|a|2＝a·a；(a＋b)(a－b)＝|a|2－|b|2；(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.2．通过向量的坐标表示可实现向量问题的代数化，应注意与函数、方程等知识的联系．3．向量数量积的运算有两种思路：一种是向量式，另一种是坐标式，两者相互补充．1．设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3,4)，向量c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝() A．(－15,12) B．0C．－3 D．－11C[依题意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)，∴(a＋2b)·c＝(－5,6)·(3,2)＝－5×3＋6×2＝－3.]A．4 B．5C．3 5 D．4 5(2)已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.[思路探究](1)两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标表示：x1y2－x2y1＝0.(2)已知a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.(1)D(2)254[(1)由a∥b，得y＋4＝0，y＝－4，b＝(－2，－4)，∴2a－b＝(4,8)，∴|2a－b|＝4 5.故选D.(2)由题意知，a＋b＝(－2,4)，a－b＝(4,0)，因此|a＋b|＝25，|a－b|＝4.]向量模的问题的解题策略：(1)字母表示下的运算，利用|a|2＝a2将向量模的运算转化为向量的数量积的运算．(2)坐标表示下的运算，若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.2．已知向量a＝(2x＋3,2－x)，b＝(－3－x,2x)(x∈R)，则|a＋b|的取值范围为________．[2，＋∞)[∵a＋b＝(x，x＋2)，∴|a＋b|＝x2＋(x＋2)2＝2x2＋4x＋4＝2(x＋1)2＋2≥2，∴|a＋b|∈[2，＋∞)．]1．设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？[提示] cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.2．已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，当a 与b 的夹角α为钝角时，λ的取值范围是什么？[提示] ∵a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)， ∴|a |＝2，|b |＝1＋λ2，a ·b ＝λ－1.∵a ，b 的夹角α为钝角， ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－1<0，21＋λ2≠1－λ，即⎩⎪⎨⎪⎧λ<1，λ2＋2λ＋1≠0，∴λ<1且λ≠－1.∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1)．【例3】 (1)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，k )，且a 与b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．(－∞，－2)D ．(－2,2)(2)已知a ＝(3,4)，b ＝(2，－1)，且(a ＋m b )⊥(a －b )，则实数m 为何值？ [思路探究] (1)可利用a ，b 夹角为锐角⇔⎩⎨⎧a·b>0a ≠λb 求解． (2)可利用两非零向量a ⊥b ⇔a·b ＝0来求m .(1)B [当a 与b 共线时，2k －1＝0，k ＝12，此时a ，b 方向相同，夹角为0°，所以要使a 与b 的夹角为锐角，则有a·b>0且a ，b 不同向．由a·b ＝2＋k >0得k >－2，且k ≠12，即实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，选B.](2)解：a ＋m b ＝(3＋2m,4－m )，a －b ＝(1,5)，因为(a ＋m b )⊥(a －b )，所以(a ＋m b )·(a －b )＝0，即(3＋2m )×1＋(4－m )×5＝0，所以m ＝233.1．利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤：(1)求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积． (2)求模．利用|a|＝x 2＋y 2计算两向量的模． (3)求夹角余弦值．由公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22求夹角余弦值．(4)求角．由向量夹角的范围及cos θ求θ的值．2．涉及非零向量a ，b 垂直问题时，一般借助a ⊥b ⇔a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＝0来解决．3．若向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3 [2a －3b ＝2(k,3)－3(1,4)＝(2k －3，－6)． 因为2a －3b 与c 的夹角为钝角，则(2k －3，－6)·(2,1)<0且不反向，即4k －6－6<0，解得k<3.，当2a－3b与c反向时，k＝－92所以k的范围是k<3且k≠－92.](教师用书独具)1．向量垂直的坐标表示(1)记忆口诀和注意问题注意坐标形式下两向量垂直的条件与两向量平行的条件不要混淆，“a⊥b ⇔x1x2＋y1y2＝0”可简记为“对应相乘和为0”；“a∥b⇔x1y2－x2y1＝0”可简记为“交叉相乘差为0”．(2)可以解决的问题应用公式可解决向量垂直，两条直线互相垂直等问题．2．区分向量平行与垂直的坐标公式(1)向量的坐标表示与运算不但简化了数量积的运算，而且使有关模(长度)、角度、垂直等问题用坐标运算来解决尤为简单．(2)注意向量垂直的充要条件和向量平行的充要条件公式的区别.1．(2019·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|＝() A. 2 B．2C．5 2 D．50A[∵a－b＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)，∴|a－b|＝(－1)2＋12＝ 2.故选A.]2．若a＝(3，－1)，b＝(x，－2)，且〈a，b〉＝π4，则x等于()A．1 B．－1 C．4 D．－4A[∵a·b＝|a|·|b|cos π4，∴3x＋2＝10×x2＋4×2 2，解得x＝1或x＝－4.又∵3x＋2>0，∴x>－23，故x＝1.]3．设a＝(x，x＋1)，b＝(1,2)且a⊥b，则x＝________.－23[∵a⊥b，∴a·b＝0.即x＋2(x＋1)＝0.解得x＝－23.]4．已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，求：(1)a·b；(2)(a＋b)2；(3)(a＋b)·(a－b)．[解](1)因为a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，所以a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝3＋2＝5.(2)a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)，所以(a＋b)2＝|a＋b|2＝42＋(－3)2＝25. (3)a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)，a－b＝(3，－1)－(1，－2)＝(2,1)，(a＋b)·(a－b)＝(4，－3)·(2,1)＝8－3＝5.。
空间向量数量积及坐标运算
空间向量数量积及坐标运算在空间解析几何中，向量是研究的重要对象之一，而向量的数量积和坐标运算是向量运算中的基本概念。
本文将介绍空间向量的数量积及其坐标运算方法。
一、空间向量的数量积空间中的向量可以用其坐标表示，记作a = (x1, y1, z1)和b = (x2, y2,z2)，其中a、b分别是空间中的两个向量，xi、yi、zi为它们在笛卡尔坐标系中的坐标。
向量的数量积（又称点积或内积）定义为两个向量的对应坐标的乘积之和，即：a ·b = x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2其中·表示数量积运算。
性质：1.数量积是实数。
2.数量积的结果等于向量乘积和坐标乘积之和。
3.数量积满足交换律：a · b = b · a。
4.数量积满足分配率：(a + b) · c = a · c + b · c。
二、向量的坐标运算1. 向量的加法设a = (x1, y1, z1)和b = (x2, y2, z2)是空间中的两个向量，它们的和记为c，则c的坐标为：x = x1 + x2y = y1 + y2z = z1 + z2即向量的和的每个坐标等于对应向量的坐标之和。
性质：1.向量的加法满足交换律：a + b = b + a。
2.向量的加法满足结合律：(a + b) + c = a + (b + c)。
2. 向量的减法设a = (x1, y1, z1)和b = (x2, y2, z2)是空间中的两个向量，它们的差记为c，则c的坐标为：x = x1 - x2y = y1 - y2z = z1 - z2即向量的差的每个坐标等于对应向量的坐标之差。
3. 向量的数乘设k为实数，a = (x, y, z)是空间中的一个向量，ka为向量a的数乘，即ka 的坐标为：x' = k * xy' = k * yz' = k * z性质：1.数乘满足结合律：k(ka) = (k * k')a。
向量数量积的坐标运算与度量公式PPT课件
k t3 3t 4
k t2 1 t2 4t 3 1 t 22 7
t4
4
4
当t 2时，k t 2 有最小值 7 .
t
4
说明：本题考查平面的数量积及相关知识，与函数联 系在一起，具有综合性。要注意观察揭示题中的隐含 条件，然后根据垂直条件列出方程得出k与t的关系， 利用二次函数求最值。
2 2 ≤ cos ≤1
3
课堂小结：
这节课我们主要学习了平面向量数量积 的坐标表示以及运用平面向量数量积性质的坐 标表示解决有关垂直、平行、长度、角度等几
何问题。 设a （x1，y1），b （x2，y2）
a b x1 x2 y1 y2
（1）两向量垂直条件的坐标表示
a b x1 x2 y1 y2 0
解: (Ⅰ) OP OQ 2 cos x , OP OQ 1 cos2 x ,
cos
OP OQ OP OQ
2cos x 1 cos2 x
,∴
f
(x)
2cos x 1 cos2 x
(x
4
, 4
)
第20页/共24页
变形 2：平面直角坐标系有点 P(1, cosx) ， Q(cos x,1) ，
（2）两向量平行条件的坐标表示
a / /b x1y2 x2 y1 0
第22页/共24页
设a （x1，y1），b （x2，y2）
（3）向量的长度（模）
a
2
2
a
x2 1
y2 1
或a
x2 1
y2 1
（4）两向量的夹角
cos a b
ab
= x1x2 + y1y2 x12 + y12 x22 + y22
向量数量积的坐标运算和度量公式
§2.3.3 向量数量积的坐标运算和度量公式学习目标：1、能推导并掌握向量数量积的坐标运算与度量公式；2、能灵活运用有关公式解决有关夹角、线段长度等问题. 学习过程： 一、复习回顾1、向量的数量积（内积）的定义： .2、向量长度的定义： .3、两个向量垂直的条件： .4、两点之间的距离公式： . 二、新学内容 阅读自学课本P 112—P 114并回答下面问题：问题1：已知()1212(,),,a a a b b b ==，请用坐标表示下列各式：a b ⋅= ，⇔⊥b a ,a =. 问题2：由向量的数量积公式你能否得到向量的夹角公式？cos ,a b =_______________________________.问题3：如果1122(,),(,)A x y B x y ，则向量AB =_______________________________.例题解析：例1： 1、已知(3,1),(1,2)a b =-=-，求,,,,a b a b a b.2、已知点A （1，2），B （2，3），C （-2，5），求证AB AC ⊥.3、已知点A （1，2），B （3，4），C （5，0），求∠BAC 的正弦值.例2：已知三点(2,1),(3,2),(1,4)A B D -，（1）求证AB AD ⊥.（2）若四边形ABCD 是矩形，试确定点C 的坐标，并求该矩形的两条对角线所成的锐角.课堂达标：1、已知3,5a b == 且12,a b =则向量a 在向量b 上的正射影的数量为（ ）12..3.4.55A B C D2、在ABC ∆中，若()()0,BA BC CA CB ABC --=∆则为（ ）A.直角三角形B.正三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形3、若a b == ()a b a +⊥，则a 与b 的夹角为（ ）2....6433A B C D ππππ4、若)2,(λ=，)5,3(-=，且与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ） A. ),310(+∞ B. ),310[+∞ C .)310,(-∞ D .]310,(-∞ 5、已知点A （1,1），B （5,3）有向线段绕点A 旋转2π到的位置，则点C 的坐标为____________.6、写出与下列向量垂直的单位向量：（1）)4,3(--=a （2）)5,12(-= _______________________7、设向量,，满足52=，)1,2(-=， 且与的方向相反，则的坐标为 .8、已知坐标原点是正方形的中心，顶点A （2,2），则其他三个顶点的坐标分别为 .9、(选作)已知ABC ∆中，点)2.1(-A ，)3,2(--B ，)1,1(C ，求边BC 边上的高.小结与反思：。
向量数量积的坐标运算与度量公式
02
向量数量积的性质
向量数量积的交换律
总结词
向量数量积的交换律是指两个向量的数量积与其顺序无关。
详细描述
根据向量数量积的定义，向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$的数量积可以表示为$mathbf{A} cdot mathbf{B}$ 或$mathbf{B} cdot mathbf{A}$，其结果相同。这意味着交换向量的顺序不会改变数量积的值。
向量数量积的分配律
总结词
向量数量积的分配律是指数量积满足分 配性质。
VS
详细描述
根据向量数量积的分配律，对于任意两个 向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$以及标 量$k$，有$k(mathbf{A} cdot mathbf{B}) = (mathbf{A}k) cdot mathbf{B} = mathbf{A} cdot (mathbf{B}k)$。这意味 着数量积满足分配性质，可以与标量进行 分配运算。
分配律
$(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) cdot overset{longrightarrow}{c} = overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{c} + overset{longrightarrow}{b} cdot overset{longrightarrow}{c}$。
向量数量积的坐标表示
坐标表示
向量$overset{longrightarrow}{a} = (a_1, a_2, ..., a_n)$和 $overset{longrightarrow}{b} = (b_1, b_2, ..., b_n)$的数量积为$a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n$。
2.3.2、2.3.3向量积的运算公式及度量公式概述.
张喜林制2.3.2 向量数量积的运算律2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式考点知识清单1．向量数量积的运算律： (1)交换律： (2)分配律：(3)数乘向量结合律： 2．常用结论：=+2))(1(b a =-2))(2(b a=-⋅+)())(3(b a b a3．两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若=a ),,(21a a ),,(21b b b =则=⋅b a 4．设).,(),,(2121b b b a a a == 如果,b a ⊥则 如果,02211=+b a b a 则对于任意实数k ，向量),(12b b k -与向量),(21b b 垂直．5．向量),,(),,(2121b b b a a a ==则=||a ,cos a <>=b6．若),,(),,(2211y x B y x A 则),,(1212y y x x AB --=所以=||AB要点核心解读1．向量数量积的运算律 a b b a ⋅=⋅)1(（交换律）； )()())(2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅（结合律）； c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+))(3(（分配律）． 2．向量数量积的运算律的证明a b b a ⋅=⋅)1(（交换律）证明：,,cos ||||,cos ||||a b a b a b b a b a b a ⋅>=<>=<=⋅.a b b a ⋅=⋅∴)()()()2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅（结合律）证明：.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλ①.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλλ②当0>λ时，a λ与a 同向，),,(,b a b a >=<λ.,cos ||||)(><=⋅∴b a b a b a λλ当0=λ时，,00)0()(=⋅=⋅=⋅b b a b a λ,0,cos ||||>=<b a b a λ.,cos ||||)(><=⋅∴b a b a b a λλ,0时当<λb a 与λ反向，),,,(b a b a <->=πλ],cos[||||)()(><--=⋅∴b a b a b a πλλ],cos [||||><--=b a b a λ .,cos ||||><=b a b a综合以上可得.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλ ③由②同理可证得：.,cos ||||)(><=b a b a b a λλ综合以上可得：.||||)()()(b a b a b a b a λλλλ=⋅=⋅=⋅.,cos ><b ac b c a c b a ⋅+⋅=⋅+))(3(（分配律）证明：作轴L 与向量c 的单位向量0c 平行． 如图2-3 -2 -1，作==a ,,b 则.b a +=设点0、A 、B 在轴L 上的射影为、O ,//B A 、跟据向量的数量积的定义有,00/c a c OA ⋅=⋅= ,00//c b c AB B A ⋅=⋅== ,)(00/c b a c OB OB ⋅+=⋅=但对轴上任意三点,//B A O 、、都有,0////B A A OB += 即,)(000c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+ 上式两边同乘以|,|c 由c c c =0||得：.)(c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+∴ 得证．3．关于向量数量积的运算律需要注意的几点(1)数量积是由向量的长度和夹角来确定的，它对于这两个向量是对称的，即与次序无关，因而有交换律．.a b b a ⋅=⋅(2)从力做功情况来看，若力增大几倍，则功也增大几倍，而当力反转方向时，功要变号，于是有).()(b a b a ⋅=⋅λλ(3)两个力在同一物体上所做的功等于合力所做的功，于是有分配律.)(2121b a b a b a a ⋅+⋅=⋅+(4)值得注意的是，平面向量的数量积不满足结合律，.a C b a c b ⋅⋅=⋅)()(是错误的，这是因为c b b a ⋅⋅与都是数量，所以c b a c b a ⋅⋅⋅⋅)()(与分别表示a 的共线向量和c 的共线向量，当然就不能相等．(5)由,)()(d b c b d a c a d c b a ⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+可得向量的三个运算公式：,||||)()(22b a b a b a -=-⋅+,||2||)(222b b a a b a +⋅+=+ .||2||)(222b b a a b a +⋅-=-4．向量内积的坐标运算建立正交基底}.,{21e e 已知),(),,(2121b b b a a a ==，则.)()(121111122112211e b a e e b a e b e b e a e a b a +⋅=+⋅+=⋅.2122e b a e +⋅⋅+22221e e b a e因为,0,112212211=⋅=⋅=⋅=⋅e e e e e e e e 所以我们得到数量积的坐标表达式：5．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件 设),,(),,(2121b b b a a a == 则.02211=+⇔⊥b a b a b a 6．向量的长度、距离和夹角公式(1)如图2-3 -2 -2，已知,1a a （=),2a 则=⋅=⋅=),(),(||21212a a a a a a a .2221a a +因此①这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式， 这个公式用语言可以表述为：向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．(2)如果),,(),,(2211y x B y x A 则),,(1212y y x x AB --=从而②AB 的长就是A 、B 两点之间的距离，因此②式也是求两点的距离公式．这与我们在解析几何初步中得到的两点距离公式完全一样．(3)设),,(),,(2121b b b a a a == 则两个向量夹角余弦的坐标表达式7．如何运用坐标来解决垂直问题(1)设两非零向量),,(),,(2211y x b y x a ==则⇔⊥b a .02121=+y y x x利用向量垂直的坐标的条件，可使向量垂直问题代数他，从而有利于问题的解决．例如：已知： <<<<==βαββαα0)sin ,(cos ),sin ,(cos b a ),π则b a +与b a -是否互相垂直？并说明理由．解：由已知),sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==b a 有=+b a ),sin sin ,cos (cos βαβα++),sin sin ,cos (cos βαβα--=-b a又++-+=-<+αβαβα(sin )cos )(cos cos (cos )).(b a b a ).sin β)sin (sin βα-.0sin sin cos cos 2222=-+-=βαβα所以).()(b a b a -⊥+(2)平面向量数量积的坐标形式，一定要注意a 与b 的数量积等于两个向量对应坐标乘积之和．在用坐标形式判断两个向量垂直时，要与判断两个向量平行的坐标条件相区别：.0//;012212121=-⇔=+⇔⊥y x y x b a y y x x b a8．利用数量积求两个向量的夹角一定要注意两个向量的数量积为正不能得到它们的夹角一定为锐角，同样，两个向量的数量积为负也不能得到它们的夹角一定为钝角．设a ，b 为非零向量，如果,0>⋅b a 那么a ，b 的夹角为锐角或a ，b 同向，反之也成立；如果,0<⋅b a 那么a ，b 的夹角为钝角或a ，b 反向，反之也成立，典例分类剖析考点1 判断向量运算的正误[例1] 给出下列命题：①设a 、b 、c 是非零向量，则c b a ⋅⋅)(与c 共线；②若=a λ,R b ∈<λλ 且),0=/λ则0;=⋅=b a b a ③与a ⊥b 是等价命题；④若,.c b c a =⋅则;b a =⑤若a 与b 共线，则.||a b a =⋅ |;|b ⑥若.0<⋅b a 则),(b a 是钝角．其中真命题为 （填序号）．[解析] 向量的加、减、数乘、数量积运算及运算律要理解透彻；注意有些命题在特殊情况下是否成立．①因为a ×b 是一个实数，不妨记作λ，故.)(λ=⋅⋅c b a ,//c c C λ=所以①正确．,0)(0=-⇔=-⇔=b a b a b a λλλλλ②因为,0=/λ所以,0=-b a 所以,b a =故②正确．③因为,c o s ||||,0θb a b a b a =⋅=⋅所以0||0||==b a 或或,0cos =θ所以0=a 或0=b 或.90 =θ又因为规定O 与任意向量垂直，所以.b a ⊥反之，.0cos 90,a b a b a ⇔=⇔>=⇔<⊥θ ,090cos ||||== b a b 故③正确．c b c a ⋅=⋅④不一定有.b a =例如,,C b c a ⊥⊥且,2b a =此时,0=⋅=⋅c b C a 但.b a =/故④错．⑤a 与b 共线b a 与⇒方向相同或方向相反0,>=⇒<b a 或.||||),(b a b a b a ±=⋅⇒=π故⑤错， ⑥因为,cos ||||,0θb a ab b a ⋅=<⋅所以,0cos <θ所以),,2(ππθ∈所以θ为钝角或平角，故⑥错．[答案] ①②③[点拨] 此例题为概念综合题，其中③是重要结论，注意深刻理解，灵活应用；⑤⑥的完整形式应用也较广泛，注意特殊情况1．已知a 、b 、c 是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为( )．;//||||||b a b a b a ⇔⋅=⋅①②a 、b 反向.||a b a -=⋅⇔|;|b |;|||b a b a b a -=+⇔⊥③④=a;c b c a b ⋅=⋅⇔⑤.000==⇔=⋅b a b a 或 1.A 2.B 3.C 4.D考点2 向量的混合运算[例2] (1)已知,2||,4||,120==>=⋅<b a b a则+a |=+⋅-+)()2(|b a b a b(2)若向量a 、b 、c 满足,0=++c b a 且,1||,3||==b a .4||=c 则=⋅+⋅+⋅a c c b b a [解析] （1）)()2(b a b a b a +⋅-++2222)(b a b b a a b a -⋅-⋅+++= 2222b b a a b b a a -⋅-++⋅+=222120cos 24164120cos 24216⨯-⨯⨯-++⨯⨯+= .1232+=(2)根据已知条件，可知a 与b 同向，c 与a+b 反向．解法一：由已知得.|,|||||b a c b a c --=+=可知向量a 与b 同向，而向量c 与它们反向，-=++=⋅+⋅+⋅∴3180cos 12180cos 40cos 3 o a c c b b a .13124-=-解法二： ),(2)(2222a c cb b ac b a c b a ⋅+⋅+⋅+++=++a c cb b a ⋅+⋅+⋅∴2)()(2222c b a c b a ++-++=2)413(0222++-=.13-=[答案] 2132)1( + 13)2(- [点拨] ①利用公式2||a a a =⋅和向量数量积的运算性质计算．②(2)问解法二是利用2222)(b b a a b a +⋅+=+推广到=++2)(C b a +++222C b a)(2a c c b b a ⋅+⋅+⋅予以解答的．2．已知,21||,5||,4||=+==b a b a 求：;)1(b a ⋅)2()2)(2(b a b a -⋅+的值，考点3 利用数量积及运算律求横[例3] 已知向量a 、b 满足,1||||==b a 且,3|23|=-b a 求|3|b a +的值．[解析] 通过数量积a ×b 来探求已知条件3|23|=-b a 与目标式|3|b a +之间的关系..1||||,1||||22==∴==b a b a又,9)23(,3|23|2=-∴=-b a b a,9||412||922=+⋅-∴b b a a 将,1||||22==b a 代入有,31=⋅b a而 ,1213169||6||9)3(222=+⨯+=+⋅+=+b b a a b a.32|3|=+∴b a[点拨] 解题过程中要注意模与数量积之间的转换．3．已知向量a 、b 、c 满足：.0a c b a ，（=++:)(:)c b b ⋅=⋅)(a c ),23(:3:1-当1||=a 时；求||b 及||c 的值．考点4 向量夹角问题[例4] 已知a ，b 是两个非零向量，且|,|||||b a b a +==求向量b 与b a -的夹角．[解析] 我们可以利用向量减法的平行四边形法则，画出以a 、b 为邻边的平行四边形．如图2-3 -2 -3所示，若,,b a ==则=,,b a D b a -=+由+==a b a ||||||,b 可知,60oABC =∠b 与D所成角是.150我们还可以利用数量积的运算，得出b 与a-b 的央角，为了巩固数量积的有关知识，我们采用第二种方法解题，由||||)(,cos b a b b a b b a b --⋅>=-<作为切入点，.)(|,||||,|||22b a b a b b a b +=∴=+=.||21||)(2||||2222b b a b b a a b -=⋅+⋅+=∴ 而.||23||||21)(2222b b b b a b b a b -=--=-⋅=-⋅ ①由+-⨯-=+⋅-=-22222||)21(2||)(2)(b b b b a a b a ,|31||22b b =而.||3||,||3)(||222b b a b b a b a =-∴=-=- ②,||||)(,cos b a b b a b b a b --⋅>=-<代入①②得⋅-=⋅->=-<23||3||||23,cos 2b b b b a b 又 ⋅=-∴>∈-<65),(],,0[,ππb a b b a b 4．已知.3||,4||==b a(1)若a 与b 的夹角为,600求+-⋅+a b a b a |),3()2(|;3||,2b a b -(2)若,61)2()32(=+⋅-b a b a 求a 与b 的夹角． 考点5 垂直问题[例5] 已知,4||,5||==b a 且a 与b 的夹角为,60问：当且仅当k 为何值时，向量b ka -与b a 2+垂直？[解析] 利用,0=⋅⇔⊥b a b a 得到关于k 的方程，通过解此方程得到k 的值．于是,4||,5||==b a且a 与b 的夹角为,60o.10214560cos ||||=⨯⨯==⋅∴ b a b a 又向量b ka -与b a 2+垂直，.0)2()(=+⋅-∴b a b ka 则有k ,0||2)12(||22=-⋅-+b b a k a 即,042)12(10252=⨯--+k k解得⋅=1514k [点拨] 非零向量a ，b 若满足,0=⋅b a 则,b a ⊥反之也成立．根据这一结论我们可以解决两类问题：(1)由垂直条件求参数的值；(2)利用题谩条件证明向量垂直或直线垂直．5．已知a 、b 都是非零向量，且b a 3+与b a 57-垂直，b a 4-与b a 27-垂直，求a 与b 的夹角． 考点6 向量线性运算与数量积的综合问题[例6] △ABC 三边的长分别为a 、b 、c ，以A 为圆心，r 为半径作圆，如图2 -3 -2 -4，PQ 为直径，试判断P 、Q 在什么位置时，C ⋅有最大值？[解析] 由三角形法则构造P B 及Q C 的数量积转化为实数范围内求最大值，,.Q ,B B CA QA C A AP P =+-=即,--=--=A A C---=⋅∴AC AB C B ().AP (.Q P ⋅+⋅-=B A AC AP AP .)()22.r AC AB AP AB AP AC -⋅=⋅+- =-+)(=⋅+-⋅r AC ..2..cos ||.||2r A AB +-.cos 2+-=r A bc ⋅当与同向时，⋅最大为.||.||ra AP =即当QP 与共线且同方向时，C BP ⋅有最大值+A bc cos .2r ar -[点拨] 利用||||b a b a ⋅≤⋅求最值，但必须先构造出..C B ⋅6．如图2 -3 -2 -5，在Rt△ABC 中，已知,a BC =若长为2a 的线段PQ 以点A 为中心，问：Q B P 与 的夹角θ为何值时，.CQ BP ⋅的值最大？并求出这个最大值，考点7 向量内积的坐标运算[例7] 已知),3,1(),1,2(-==b a 若存在向量c ，使得：.9,4-=⋅=⋅C b c a 试求向量c 的坐标． [解析] 设),,(y x c =则由4=⋅c a 可得;42=+y x 又由9-=⋅c b 可得.93-=+-y x于是有⎩⎨⎧-=+-=+,93,42y x y x 解得⎩⎨⎧-==⋅.2,3y x⋅-=∴)2,3(c[点拨] 已知两向量a 、b ，可以求出它们的数量积a ×b ，但是反过来，若已知向量a 及数量积a ×b ，却不能确定b ．需要像本例一样，已知两向量，及这两个向量与第三个向量的擞量积，则我们可利用数量积的坐标表示，通过解方程组的方法，确定第三个向量．7．巳知,1),4,2(),3,2(-=-==（c b a ),2-求.)()(),)((,2b a C b a b a b a b a +⋅+⋅-+⋅ 考点8 运用坐标运算处理垂直问题[例8] 在△ABC 中，),,1(),3,2(k ==且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值． [解析] 题目没有明确哪一个角是直角，要对三个角分别进行讨论，当90=A 时，;32,0312,0.-=∴=⨯+⨯∴=⋅k k A A当90=B =--=-==)3,21(,0k A B ),3,1(--k,0)3(3)1(2=-⨯+-⨯∴k;311=∴k 当oC 90=时，,0)3(1,0C C =-+-∴=⋅k k B A⋅±=∴2133k 32-=∴k 或⋅±2133311或8．(1)已知点A(1，2)和B(4，一1)，问在y 轴上是否存在一点C ，使得.90=∠ACB 若不存在，请说明理由；若存在，求出点C 的坐标．(2)已知),2,4(=a 求与a 垂直的单位向量的坐标，考点9 运用坐标运算求向量的夹角[例9] 已知a 、b 是两个非零向量，同时满足==b a |||,|b a -求a 与b a +的夹角．[解析] 解法一：根据,|||||,|||22b a b a ==有又由|,|||b a b -=得,||.2||||222b b a a b +-=.||212a b a =⋅∴ 而,||3||2||||2222a b b a a b a =+⋅+=+.||3||a b a =+∴设a 与b a +的夹角为θ，则,23||3||||21||||.||)(cos 22=⋅+=++=a a a a b a a b a a θ .30,1800o o =∴≤≤θθ解法二：设向量),,(),,(2211y x b y x a ==.|,|||22222121y x y x b a +=+∴=由|,|||b a b -= 得),(2121212121y x y y x x +=+即⋅+=⋅)(212121y x b a 由),(3)(212)(2||2121212121212y x y x y x b a +=+⨯++=+ 得.3||211y x b a +=+设a 与b a +的夹角为θ，则⋅=+⋅⋅++++=+⋅+=233)(21)(||||)(cos 212121212121212y x y x y x y x b a a b a a t θ .30,1800 =∴≤≤θθ解法三：根据向量加法的几何意义，作图（如图2 -3 -2 -6)．在平面内任取一点O ．作B b a 0,,以==为邻边作平行四边形OACB.|,|||b a = 即|,|||=∴ 四边形OACB 为菱形，OC 平分,AOB ∠这时,,0b a BA b a C -=+=而|,|||||b a b a -==即 .||||||==∴ △AOB 为正三角形，则,60 =∠AOB 于是,30 =∠AOC即a 与b a +的夹角为.30[点拨] 基于平面向量的表示上的差异，也就是表示方法的不同，才产生了以上三种不同的解法．9．(1)已知),1,1(),432,2(=-=b a 求a 与b 的夹角．(2)已知),1,1(),2,1(==b a 且a 与b a λ+的夹角为锐角，求实数A 的取值范围，考点10 向量坐标运算的综合应用[例10] 已知),23,21(),1,3(=-=b a 且存在实数k 和t ，使得,)3(2b t a x -+=,tb ka y +-=且 ,y x ⊥试求t t k 2+的最小值．[解析] 由题意可得,2)1()3(||22=-+=a,1)23()21(||22=+=b ,0231213=⨯-⨯=⋅b a 故有.b a ⊥ 由,y x ⊥知,0)(])3([2=+-⋅-+tb ka b t a即,0)3()3(2232=⋅+-+-+-b a k k t t b t t ka.00)3(1)3(22232=⋅+-+⋅-+⋅-∴k k t t t t k∴ 可得 433t t k -=故 ,47)2(41)34(41222-+=-+=+t t t t t k 即当2-=t 时，t t k 2+有最小值为⋅-47 [点拨] 向量与函数知识相结合的综合问题，关键是正确应用向量数量积的坐标形式，将其转化为函数问题，然后利用函数的相关知识来解决，10．已知向量,sin 2(),1,sin 3x b x a ==（],32,6[),1ππ∈x 记函数,)(b a x f ⋅Λ求函数)(x f 的值域．学业水平测试1．若),5,3(),2,(-==b a λ且a 与b 的夹角为钝角，则A 的取值范围是( )．),310.(+∞A ),310[+∞⋅B )310,.(-∞C )310,.(-∞D2．已知A 、B 、C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为、)2,1(A ),1,0()1,4(-C B 、则△ABC 的形状为( )．A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均不对3．给定两个向量),1,2(),4,3(-==b a 且),()(b a xb a -⊥+则x 等于( )．23.A 223.B 323.C 423.D 4．已知),1,1(),2,3(--B A 若点)21,(-x P 在线段AB 的中垂线上，则=x 5．已知,,21),1,0(),0,1(mj i b j a j i +=-===给出下列命题：①若a 与b 的夹角为锐角，则;21<m ②当且仅当21=m 时，a 与b 互相垂直；③a 与b 不可能是方向相反的向量；④若|,|||b a =则.2-=m 其中正确的命题的序号是6．求与向量)1,2(),2,1(==b a 夹角相等的单位向量c 的坐标高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分×8 =40分）1．（2007年湖北高考题）设b a a 在),3,4(=上的投影为,225b 在x 轴上的投影为2，且,14||≤b 则b 为( )． )14,2(⋅A )72,2.(-B )72,2.(-C )8,2(⋅D 2．（2009年辽宁高考题）平面向量a 与b 的夹角为,2,60（=a=+=|2|,1||),0b a b 则( )． 3.A 32.B 4.C 12.D3．与)4,3(=a 垂直的单位向量是( ）．)53,54.(A )53,54.(--B )53,54.(-C 或)53,54(- )53,54.(D 或)53,54(-- 4．若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足+-OB O ().OC B (,0)2=-则△ABC 的形状为( )．A ．正三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形 D.A 、B 、C 均不正确5．（2011年辽宁理）若a ，b ，c 均为单位向量，且-=⋅a b a (,0,0)()≤-⋅c b c 则||c b a -+的最大值为( )．12.-A 1.B 2.C 2.D6．（2007年重庆高考题）已知向量),5,3(),6,4(==O 且,//,0⊥则向量=0( ))72,73.(-A )214,72.(-B )72,73.(-C )214,72.(-D 7．（2010年安徽高考题）设向量),21,21(),0,1(==b a 则下列结论中正确的是( )． ||||.b a A = 22.=⋅b a B b a C -.与b 垂直 b a D //. 8．（2009年陕西高考题）在△ABC 中，M 是BC 的中点，,1A =M 点P 在AM 上且满足⋅=PA PM AP 则,2)(PC PB +等于( )．94.-A 34.-B 34.C 94.D 二、填空题f5分x4 =20分）9．（2008年江西高考题）直角坐标平面上三点,3()2,1(B A 、),7,9()2C 、-若E 、F 为线段BC 的三等分点，则=⋅F E A A10．（2008年宁夏高考题）已知平面向量,4(),3,1(=-=b a b a +-λ),2与a 垂直，则=λ11．（2010年广东高考题）若向量===c b x a ),1,2,1(),,1,1(),1,1,1(满足条件,2)2()(-=⋅-b a c 则=x12．（2011年安徽理）已知向量a ，b 满足=-⋅+)()2(b a b a ,6-且,2||,1||==b a三、解答题（10分×4 =40分）13．(1)已知,120,,1||,1||ob a b a >=<==计算向量b a -2在向里b a +方向上的投影．(2)已知,4||,6||==b a a 与b 的夹角为,60 求).2(b a +)3(b a -的值．14．已知向量.),1,3(),1,2(),2,3(R t c b a ∈-==-=(1)求||tb a +的最小值及相应的t 值；(2)若tb a -与c 共线，求实数t 的值．15.如图2-3 -2 -7，四边形ABCD 是正方形，P 是对角线BD 上的一点，PECF 是矩形，用向量法证明： ;)1(EF PA =.)2(EF PA ⊥16．平面内有向量)1,2(),1,5(B ),7,1(===OP O OA 点X 为直线OP 上的一个动点．(1)当≡⋅X 取最小值时，求O 的坐标；(2)当点X 满足(I)的条件和结论时，求AXB ∠cos 的值，。
两向量相乘的坐标公式
两向量相乘的坐标公式
两个向量相乘有多种不同的定义，包括数量积（点积）、向量积（叉积）和混合积。
在下面我们将逐一介绍这三种向量相乘的坐标公式。
1.数量积（点积）:
数量积（点积）是两个向量之间的一种运算，其结果是一个标量。
两
个向量的数量积的坐标公式如下：
设两个向量A和B的坐标分别为(A₁,A₂,A₃)和(B₁,B₂,B₃)，则它们的数
量积（点积）为：
A·B=A₁B₁+A₂B₂+A₃B₃
2.向量积（叉积）:
向量积（叉积）是两个向量之间的一种运算，其结果是一个新的向量，该向量垂直于原来两个向量所在的平面。
两个向量的向量积的坐标公式如下：
设两个向量A和B的坐标分别为(A₁,A₂,A₃)和(B₁,B₂,B₃)，则它们的向
量积（叉积）为：
A×B=(A₂B₃-A₃B₂,A₃B₁-A₁B₃,A₁B₂-A₂B₁)
3.混合积:
混合积是三个向量之间的一种运算，其结果是一个标量，表示由这三
个向量所组成的平行六面体的有向体积。
设三个向量A、B和C的坐标分别为(A₁,A₂,A₃)、(B₁,B₂,B₃)和
(C₁,C₂,C₃)，则它们的混合积为：
(A×B)·C=(A₂B₃-A₃B₂)C₁+(A₃B₁-A₁B₃)C₂+(A₁B₂-A₂B₁)C₃
这些坐标公式是向量相乘的基本公式，在向量运算中非常常见且有广泛的应用。
向量数量积的坐标运算与度量公式
向量数量积的坐标运算与度量公式1．向量数量积及向量垂直的坐标表示设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)(1)数量积a·b＝a1b1＋a2b2.(2)若a，b为非零向量，a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0.[点睛]记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计算和”．2．三个重要公式(1)向量的长度公式：已知a＝(a1，a2)，则|a|＝a21＋a22.(2)两点间的距离公式：A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.(3)向量的夹角公式：a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2a21＋a22b21＋b22.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量的模等于向量坐标的平方和．()(2)若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0.()(3)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ＜0，则两向量的夹角θ一定是钝角．()答案：(1)×(2)×(3)×2．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b的值是() A．23B．7C．－23D．－7答案：D3．已知向量a ＝(x －5,3)，b ＝(2，x )，且a ⊥b ，则由x 的值构成的集合是( )A ．{2,3}B ．{－1,6}C ．{2}D ．{6} 答案：C4．已知a ＝(1，3)，b ＝(－2,0)，则|a ＋b |＝________. 答案：2[典例] (1)(全国卷Ⅱ)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2(2)(广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB ＝(1，－2)，AD ＝(2,1)，则AD ·AC ＝( ) A ．5 B ．4 C ．3D ．2[解析] (1)a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)， ∴(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1.(2)由AC ＝AB ＋AD ＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得AD ·AC ＝(2,1)·(3，－1)＝5.[答案](1)C(2)A数量积坐标运算的两条途径进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．[活学活用]已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(b·c)·a.解：(1)因为a与b同向，又b＝(1,2)，所以a＝λb＝(λ，2λ)．又a·b＝10，所以1·λ＋2·2λ＝10，解得λ＝2>0.因为λ＝2符合a与b同向的条件，所以a＝(2,4)．(2)因为b·c＝1×2＋2×(－1)＝0，所以(b·c)·a＝0·a＝0.向量的模的问题[典例](1))，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝()A. 5B.10 C ．2 5D ．10(2)已知点A (1，－2)，若向量 AB 与a ＝(2,3)同向，|AB |＝213，则点B 的坐标是________．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ a ⊥c ，b ∥c ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －4＝0，2y ＋4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.∴a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，a ＋b ＝(3，－1)． ∴|a ＋b |＝10.(2)由题意可设AB ＝λa (λ＞0)， ∴ AB ＝(2λ，3λ)．又|AB |＝213，∴(2λ)2＋(3λ)2＝(213)2，解得λ＝2或－2(舍去)．∴AB ＝(4,6)．又A (1，－2)，∴B (5,4)．[答案] (1)B (2)(5,4)求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算：利用|a |2＝a 2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．(2)坐标表示下的运算：若a ＝(x ，y )，则a ·a ＝a 2＝|a |2＝x 2＋y 2，于是有|a |＝x 2＋y 2.[活学活用]1．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，0)，则|2a －b |的最大值为________．解析：2a－b＝(2cos θ－3，2sin θ)，|2a－b|＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ)2＝4cos2θ－43cos θ＋3＋4sin2θ＝7－43cos θ，当且仅当cos θ＝－1时，|2a－b|取最大值2＋ 3.答案：2＋ 32．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝________.解析：∵a＝(2,4)，b＝(－1,2)，∴a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，∴c ＝a－(a·b)b＝(2,4)－6(－1,2)＝(2,4)－(－6,12)＝(8，－8)，∴|c|＝82＋(－8)2＝8 2.答案：8 2[典例](1)已知a＝(3,2)，b＝(－1,2)，(a＋λb)⊥b，则实数λ＝________.(2)已知a＝(2,1)，b＝(－1，－1)，c＝a＋kb，d＝a＋b，c与d的夹角为π4，则实数k的值为________．[解析](1)∵a＝(3,2)，b＝(－1,2)，∴a ＋λb ＝(3－λ，2＋2λ)． 又∵(a ＋λb )⊥b ， ∴(a ＋λb )·b ＝0，即(3－λ)×(－1)＋2×(2＋2λ)＝0， 解得λ＝－15.(2)c ＝a ＋kb ＝(2－k,1－k )，d ＝a ＋b ＝(1,0)， 由cos π4＝22得(2－k )×1＋(1－k )×0(2－k )2＋(1－k )2·12＋02＝22， ∴(2－k )2＝(k －1)2，∴k ＝32.[答案] (1)－15 (2)32解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a ·b 以及|a ||b |，再由cos θ＝a ·b|a ||b |求出cos θ，也可由坐标表示cos θ＝a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22 b 21＋b 22直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.(2)由于0≤θ≤π，利用cos θ＝a ·b|a ||b |来判断角θ时，要注意cos θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cos θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.[活学活用]已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c . (1)求b 与c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小． 解：(1)∵a ∥b ，∴3x ＝4×9，∴x ＝12. ∵a ⊥c ，∴3×4＋4y ＝0，∴y ＝－3， ∴b ＝(9,12)，c ＝(4，－3)．(2)m ＝2a －b ＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)， n ＝a ＋c ＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)． 设m ，n 的夹角为θ，则cos θ＝m ·n|m ||n |＝－3×7＋(－4)×1(－3)2＋(－4)272＋12＝－25252＝－22.∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4，即m ，n 的夹角为3π4.[典例] 已知点A ，B ，C 满足|AB |＝3，| BC |＝4，| CA |＝5，求AB ·BC ＋ BC · CA ＋ CA ·AB 的值． [解] [法一 定义法]如图，根据题意可得△ABC 为直角三角形，且B ＝π2，cos A ＝35，cos C ＝45，∴ AB ·BC ＋ BC · CA ＋ CA ·AB ＝ BC · CA ＋ CA ·AB ＝4×5cos(π－C )＋5×3cos(π－A ) ＝－20cos C －15cos A ＝－20×45－15×35＝－25.[法二 坐标法]如图，建立平面直角坐标系， 则A (3,0)，B (0,0)，C (0,4)．∴AB ＝(－3,0)， BC ＝(0,4)， CA ＝(3，－4)．∴ AB · BC ＝－3×0＋0×4＝0， BC · CA ＝0×3＋4×(－4)＝－16， CA ·AB ＝3×(－3)＋(－4)×0＝－9. ∴ AB ·BC ＋ BC · CA ＋ CA · AB ＝0－16－9＝－25. [法三 转化法]∵|AB |＝3，| BC |＝4，| AC |＝5，∴AB ⊥BC ，∴ AB ·BC ＝0， ∴ AB · BC ＋ BC · CA ＋ CA · AB ＝ CA ·(AB ＋ BC )＝ CA ·AC ＝－| AC |＝－25.[活学活用]如果正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，那么cos ∠DOE 的值为________．解析：法一：以O 为坐标原点，OA ，OC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则由已知条件，可得 OD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12， OE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.故cos ∠DOE ＝ OD · OE | OD |·| OE |＝1×12＋12×152×52＝45.法二：∵ OD ＝ OA ＋AD ＝ OA ＋12OC ，OE ＝ OC ＋ CE ＝ OC ＋12OA，∴| OD |＝52，| OE |＝52，OD · OE ＝12 OA 2＋12OC 2＝1，∴cos∠DOE＝ OD·OE|OD||OE|＝45.答案：4 5层级一学业水平达标1．已知向量a＝(0，－23)，b＝(1，3)，则向量a在b方向上的投影为()A.3B．3C．－ 3 D．－3解析：选D向量a在b方向上的投影为a·b|b|＝－62＝－3.选D.2．设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝() A. 5 B.10C．2 5 D．10解析：选B由a⊥b得a·b＝0，∴x×1＋1×(－2)＝0，即x＝2，∴a＋b＝(3，－1)，∴|a＋b|＝32＋(－1)2＝10.3．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝() A．－12 B．－6C．6 D．12解析：选D2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k )＝0，∴10＋2－k ＝0，解得k ＝12.4．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( )A.865 B ．－865C.1665D ．－1665解析：选C 设b ＝(x ，y )，则2a ＋b ＝(8＋x,6＋y )＝(3,18)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 8＋x ＝3，6＋y ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝12，故b ＝(－5,12)，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1665. 5．已知A (－2,1)，B (6，－3)，C (0,5)，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形解析：选A 由题设知AB ＝(8，－4)， AC ＝(2,4)， BC ＝(－6,8)，∴ AB ·AC ＝2×8＋(－4)×4＝0，即AB ⊥ AC . ∴∠BAC ＝90°， 故△ABC 是直角三角形．6．设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a|＝________.解析：a ＋c ＝(3,3m )，由(a ＋c )⊥b ，可得(a ＋c )·b ＝0，即3(m ＋1)＋3m ＝0，解得m ＝－12，则a ＝(1，－1)，故|a |＝ 2.答案： 2角为θ，则θ＝________.解析：∵a ＝(1，3)，2a ＋b ＝(－1，3)， ∴|a |＝2，|2a ＋b |＝2，a ·(2a ＋b )＝2， ∴cos θ＝a ·(2a ＋b )|a ||2a ＋b |＝12，∴θ＝π3.答案：π38．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a·b ＝3，则向量b 的坐标为________．解析：设b ＝(x ，y )(y ≠0)，则依题意有⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，3x ＋y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝32，故b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，329．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R. (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |. 解：(1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x ) ＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0，即x－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.(2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，a－b＝(－2,0)，|a－b|＝2.当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，a－b＝(2，－4)，|a－b|＝4＋16＝2 5.综上，|a－b|＝2或2 5.10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,4)，B(－2,3)，C(2，－1)．(1)求AB·AC及|AB＋AC|；(2)设实数t满足(AB－tOC)⊥OC，求t的值．解：(1)∵AB＝(－3，－1)，AC＝(1，－5)，∴AB·AC＝－3×1＋(－1)×(－5)＝2.∵AB＋AC＝(－2，－6)，∴|AB＋AC|＝4＋36＝210.(2)∵AB－tOC＝(－3－2t，－1＋t)，OC＝(2，－1)，且(AB－tOC)⊥OC，∴(AB－tOC)·OC＝0，∴(－3－2t)×2＋(－1＋t)·(－1)＝0，∴t＝－1.层级二应试能力达标1．设向量a＝(1,0)，b＝⎝⎛⎭⎪⎫12，12，则下列结论中正确的是()C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b解析：选C 由题意知|a |＝12＋02＝1，|b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22，a ·b ＝1×12＋0×12＝12，(a －b )·b ＝a ·b －|b |2＝12－12＝0，故a －b 与b 垂直．2．已知向量 OA ＝(2,2)， OB ＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使 AP ·BP 有最小值，则点P 的坐标是( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)解析：选C 设P (x,0)，则 AP ＝(x －2，－2)，BP ＝(x －4，－1)，∴ AP ·BP ＝(x －2)(x －4)＋2＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1， 故当x ＝3时， AP ·BP 最小，此时点P 的坐标为(3,0)． 3．若a ＝(x,2)，b ＝(－3,5)，且a 与b 的夹角是钝角，则实数x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，103 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，103 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫103，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，＋∞ 解析：选C x 应满足(x,2)·(－3,5)＜0且a ，b 不共线，解得x ＞103，且x ≠－65，∴x ＞103. 4．已知 OA ＝(－3,1)， OB ＝(0,5)，且 AC ∥ OB ， BC ⊥AB (O 为坐标原点)，则点C 的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－294B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，294C.⎝⎛⎭⎪⎫3，294 D.⎝⎛⎭⎪⎫3，－294 解析：选B 设C (x ，y )，则OC ＝(x ，y )． 又OA ＝(－3,1)， ∴ AC ＝ OC －OA ＝(x ＋3，y －1)． ∵ AC ∥ OB ，∴5(x ＋3)－0·(y －1)＝0， ∴x ＝－3.∵OB ＝(0,5)， ∴ BC ＝ OC － OB ＝(x ，y －5)，AB ＝ OB － OA ＝(3,4)． ∵ BC ⊥ AB ，∴3x ＋4(y －5)＝0，∴y ＝294，∴C 点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，294.5．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝ma ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.解析：因为向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，所以c ＝ma ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，所以a ·c ＝m ＋4＋2(2m ＋2)＝5m ＋8，b·c ＝4(m ＋4)＋2(2m ＋2)＝8m ＋20.因为c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，所以c·a |c|·|a|＝c·b |c|·|b|，即a·c|a |＝b·c|b |，所以5m ＋85＝8m ＋2025，解得m ＝2. 答案：26．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE · CB 的值为______； DE ·DC 的最大值为______．解析：以D 为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．则D (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)， 设E (1，a )(0≤a ≤1)．所以 DE ·CB ＝(1，a )·(1,0)＝1，DE · DC ＝(1，a )·(0,1)＝a ≤1， 故 DE · DC 的最大值为1.答案：1 17．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标； (2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. 解：(1)设c ＝(x ，y )，∵|c |＝25，∴x 2＋y 2＝25， ∴x 2＋y 2＝20. 由c ∥a 和|c |＝25，可得⎩⎪⎨⎪⎧1·y －2·x ＝0，x 2＋y 2＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4.故c ＝(2,4)或c ＝(－2，－4)．(2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0， 即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0，∴2×5＋3a ·b －2×54＝0，整理得a ·b ＝－52，∴cos θ＝a ·b|a ||b |＝－1. 又θ∈[0，π]，∴θ＝π.8．已知 OA ＝(4,0)， OB ＝(2,23)， OC ＝(1－λ) OA ＋λ OB (λ2≠λ)．(1)求 OA ·OB 及 OA 在OB 上的射影的数量； (2)证明A ，B ，C 三点共线，且当AB ＝ BC 时，求λ的值；(3)求|OC |的最小值．解：(1) OA · OB ＝8，设 OA 与OB 的夹角为θ，则cos θ＝ OA · OB | OA || OB |＝84×4＝12， ∴ OA 在 OB 上的射影的数量为| OA |cos θ＝4×12＝2.(2)AB ＝ OB － OA ＝(－2,23)， BC ＝ OC － OB ＝(1－λ)·OA －(1－λ) OB ＝(λ－1)AB ，所以A ，B ，C 三点共线．当AB ＝ BC 时，λ－1＝1，所以λ＝2.(3)| OC |2＝(1－λ)22OA ＋2λ(1－λ) OA ·OB ＋λ22 OB ＝16λ2－16λ＋16＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－122＋12， ∴当λ＝12时，| OC |取到最小值，为2 3.。
向量数量积的坐标运算与度量公式
向量数量积的坐标运算与度量公式向量的数量积，也叫点积或内积，表示了两个向量之间的数值关系。
向量的数量积被定义为两个向量的相应分量的积的和。
设向量A和B的坐标分别为(A1,A2,A3)和(B1,B2,B3)，则它们的数量积可以表示为：A·B=A1*B1+A2*B2+A3*B3向量的数量积具有以下几个重要的性质：1.A·B=B·A（数量积的交换律）数量积满足交换律，即A与B的数量积等于B与A的数量积。
2.A·(B+C)=A·B+A·C（数量积的分配律）数量积满足分配律，即A与向量B和向量C的和的数量积等于A与B的数量积加上A与C的数量积。
3.k(A·B)=(kA)·B=A·(kB)（数量积的结合律）数量积满足结合律，即向量A与k乘以B的数量积等于k乘以A与B的数量积，也等于A与k乘以B的数量积。
4.A·A≥0，当且仅当A=0时，A·A=0任意非零向量A与自身的数量积大于等于0，当且仅当A是零向量时，A与自身的数量积等于0。
数量积的几何意义是，它等于一个向量在另一个向量上的投影的长度乘以两个向量夹角的余弦值。
设向量A和向量B的夹角为θ，则有：cosθ = A·B / (，A， * ，B，)其中，A，和，B，分别表示向量A和向量B的长度。
这个公式说明了向量的数量积与夹角之间的关系。
当夹角θ等于90度时，cosθ等于0，所以此时A·B=0，即两个向量相互垂直；当夹角θ等于0度时，cosθ等于1，所以此时A·B等于两个向量的模的乘积，即数量积最大。
通过数量积的度量公式，我们可以计算出向量的模和夹角。
向量A的模可以通过数量积计算得出：A，=√(A·A)这里的√表示开方运算。
向量A和向量B的夹角可以通过数量积和模的计算得出：cosθ = A·B / (，A， * ，B，)θ = arccos(A·B / (，A， * ，B，))这里的arccos表示反余弦函数。
向量数量积的坐标运算与度量公式
一.复习回顾： 复习回顾： 1、平面向量的数量积是如何定义的，它有那 、平面向量的数量积是如何定义的， 些重要的性质？ 些重要的性质？ r r 已知两个非零向量 a 和 b ，它们的夹角为θ ，我们把数量 r r a b cosθ 叫做 a 与b 的数量积（或内积）， 的数量积（或内积） 记作
换用两向量的数量积坐标表示,即为:
r r r r r r r r 如果a ⊥ b, 则a ⋅ b = 0, 反之, 如果a ⋅ b = 0, 则a ⊥ b
如果a ⊥ b, 则a1b1 + a2b2 = 0; 如果a1b1 + a2b2 = 0, 则a ⊥ b.
a1 a2 当b1b2 ≠ 0时, 条件a1b1 + a2b2 = 0, 可以写成 = =k − b2 b1 所以向量(a1 , a2 )与(−b2 , b1 )平行, 其中k是比例系数,
即有
a ⋅ b = a b cosθ
a ⋅b
2、两平面向量垂直的充要条件是什么？ 、两平面向量垂直的充要条件是什么？ 3、两平面向量共线的充要条件又是什么，如 、两平面向量共线的充要条件又是什么， 何用坐标表示出来？ 何用坐标表示出来？
a ⊥ b ⇔ a⋅b = 0
a // （ ≠ 0 ⇔ 存在唯一的 λ使得a = λ b bb ） r r r r 若a = 1，a 2）， = 1，b2），// b ⇔ a1b2 − a2b1 = 0 （a b （b a
练习 : (1)a = (4,5), b =(−4,3), a ⋅ b = -1 (2)a = (8,5), b = (−7,−8), a ⋅ b = -96 (3)a = (−11,2), b = (3,9), a ⋅ b = -15
高二数学向量数量积的坐标运算与度量公式2
求 a b 及a、 b间的夹角θ
a b x1 x2 y1 y 2 a b 3 1 （ 1 ） （ x1 =5 x22） y 1 y2
cos
2 x1
2 y1
2 x2
2 y2
cos 2 2
5 32 (1) 2 12 (2) 2
a a | a |2 | a | aa
（4 ） ； 4、 若 | a | 2，则a a
5、若i ， j分别为与x轴、y轴方向 相同的两个单位向量, 则i i ( 1 ); j j ( 1 ); i j j i ( 0 );
2 1 2 2
x y x y
2 1
2 2
5、向量垂直的判定
a b x1 x2 y1 y 2 0
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达万年の战争,让彼此之间の仇恨已经刻到了骨头里,一见面必然是不死不休の局面.而此时一个妖族,就算他是堪比诸侯境の妖皇,今日也必定陨落.所以众人很轻松众,只是感觉第一次见到异族都有些兴奋和好奇. 轻声快速前行了十多里路,妖族の身影终于暴『露』在众人眼前,而结果众人一看, 内心深处都涌起一种失落感.在他们心中一直以为,妖族既然配上了妖这个字,那么应该长得妖气冲天,三头六臂,牛头马面,虎背熊腰什么の. 结果眼前这个看起来和和人类差不多,只是头比正常人大了点.手脚极其粗壮,头发是金『色』の长长の披在身后,鼻子比人类大又高,牙齿微微有些突起, 看起来有些狰狞,有些恐怖.而且这妖族身体上也长着长长の金『色』『毛』发,像个野人般.[ 这个妖族真小心翼翼,左看右看,慢慢の前行着.只是众人の到来,明显让他警觉了起来,也在第一时间发现了身后の一群人族.刹那间,他脸『色』变得死灰,巨吼一声,身子变得更
向量积的坐标运算及度量公式
a2b2
0，可以写成 a1 b2
a2 b1
k
即：如果a b,向量a1,a2 与b2,b1平行。k为比例系数
结论：对任意实数k,向量kb2,b1与向量b1,b2 垂直
结论：对任意实数k,向量kb2,b1与向量b1,b2 垂直 例如：向量3,4与向量4,3,8,6,12, 9…垂直
∴ θ ＝60º.
变式1：
练习A 1(4). A 3.
变式2：
已知A 1, 2, B 3, 4,C 5,0,求BAC的正弦值
sin BAC 3 10 10
例2 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，
试判断ABC的形状，并给出证明.
y C(-2,5)
练习A.2.3.
a b a b 0; cos a b .
ab
二.探究新知:
1.平面向量的数量积能否用坐标表示？
r
r
2.已知两个非零向量a rr
ra1r,
a2
,
b
b1,
b2
,
怎样用a和b的坐标表示a b呢？
3.怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直
的条件？
4.能否根据所学知识推导出向量的长度、距
(1) 证明： AB = (1 – (-1), 1 – 3) y
D
= (2, -2),
A
C
DC = (4 – 3, 4 – 5) = (1, -1),
离和夹角公式？
三.新课讲授:
1.向量内积的坐标运算
ur uur
r
r
建立正交基底 e1, e2 ,已知a a1, a2 ,b b1,b2 ,
平面向量数量积的坐标运算与量公式
uur uur ABgAC=0,1
2+3k=0,
k=-
2 3
.
若B
uur 90o，则BA
uur BC,
uur uur BAgBC=0,-1
1+(-3)(k-3)=0,
k=
8 3
.
uur uur uur uur 若C 90o，则CA CB,CAgCB=0,-2 (1)+(-k)(3-k)=0,
k=1要或2注. 意分类讨论！
的坐标表示 a b 呢？
a x1 i y1 j
bx i y j
2
2
y A(x1,y1)
a
b
（x1
i
ry21
j）（ x2 i
yr2
j）
r
x1x2 i x1 y2 i j
rr
r2
B(x2,y2)
a bj
oi
x
x2 y1 j i y1 y2 j
a b x1 x2 y1 y2
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
a b x1x2 y1 y2 0
（2）平行
设a （x1, y1), b (x2 , y2 ), 则
a//b x1 y2 x2 y1 0
注意：与向量垂直的坐标表示区别清楚
学点一：数量积的坐标运算的应用 -
r
r
练习：(1) 已知a (1, 2 3),b (1,1),
rrr rr r
4
求k的值.
答案：（1）b
(
3
,
4
)或b
(
3
,
4
).
55
55
（2）（ 2，2 2）或（ 2， 2 2）；（3）k 5.
必修4 2.4向量数量积的坐标运算与度量公式
★【目标1】3.已知 ＝（2，1）， ＝（3，x），若 ，求x的值。
【目标2】1.已知向量 =（4,5）， =（-4，3），求 · ，| |，| |; < , >
合
作
探
究
【探究一】向量的夹角问题
已知 =（-2，-1）， =（ ,1），若 与 的夹角为 ，求 的值
变式1若向量 求 的值
变式2.若 与 的夹角为锐角，求 的范围。
变式3.若 与 的夹角为钝角，求 的范围。
定义式
坐标式
·
⊥
| |
为锐角
为钝角
2、、本节课有哪些易错点
二、思想方法方面
自查反馈表
自查反馈表（掌握情况可用A、好B较好C一般）
学习目标达成情况
习题掌握情况
学习目标
达成情况
习题题号
掌握情况
目标1
自学检测1、
目标2
自学检测3
目标3
自学检测2
探究一
探究二
课
堂
小
测
【目标2】1.已知 ＝（4，1）， ＝（2，-2），求 · ，| |，| |， < , >.
并思考思考以下问题
1.你能写出 · 的定义式吗？
2、根据 · 的定义式你能快速写出| |以及 的表达式吗？
3.若已知向量已知向量 的坐标分别为 你能写出| |以及 的坐标表达式吗？
4.已知 则 = =
自学检测
【目标1】2.已知向量 =（-1,2）， =（3,k），若 ⊥ ，则k=_______
【目标3】3.已知A（1,2），B（-5,8），C（-2，-1），求证：AB⊥AC。
高中数学2-3-3向量数量积的坐标运算与度量公式课件新人教B版必修
[答案] B
[解析] 3x＋1×(－3)＝0，∴x＝1.
3．已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为
A(1,2)，B(4,1)，C(0，－1)，则△ABC的形状为( A．直角三角形 C．等腰直角三角形 [答案] C
→ ＝(3，－1)，AC → ＝(－1，－3) [解析] AB →· → ＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0 AB AC → |＝|AC → |＝ 10∴△ABC 为等腰直角三角形． 且|AB
[点评] 处理有关垂直总是要注意利用a⊥b⇔a·b＝
0(a，b是非零向量)，或者利用a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0(a＝(a1， a2)，b＝(b1，b2))．
[例2] 设a＝(4，－3)，b＝(2,1)，若a＋tb与b的夹角为 45°，求实数t的值． [分析] 利用公式a·b＝|a||b|cosθ建立方程，解t的值．
a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)． 又∵(a＋b)·(a－b) ＝ (cosα ＋ cosβ)(cosα － cosβ) ＋ (sinα ＋ sinβ)(sinα － sinβ) ＝cos2α－cos2β＋sin2α－sin2β＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．
解法二：∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)， ∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2 ＝(cos2α＋sin2α)－(cos2β＋sin2β)＝1－1＝0， ∴(a＋b)⊥(a－b)．
二、填空题
5 ．已知 a ＝ (x － 2 ， x ＋ 3) ， b ＝ (2x － 3 ，－ 2) ，若 a⊥b， 则x＝________.
[答案]
[解析]
2
9 0 或2
∵a⊥b，∴a· b＝(x－2)(2x－3)－2(x＋3)＝0
高一数学人教B版必修4课件：2-3-3 向量数量积的坐标运算与度量公式
9 ∴2x －9x＝0，∴x＝0 或 x＝ . 2
2
→ ＝(－1,2)，OB → ＝(3，m)，若OA → ⊥AB → ，则 6．已知向量OA m＝________.
[解析]
→ ＝OB → －OA → ＝(4，m－2)， AB
→ ⊥AB → ，∴OA →· → ＝0， ∵OA AB 即(－1,2)· (4，m－2)＝0， • [答案 ] 4 ∴－1×4＋2×(m－2)＝0，解得 m＝4.
∴λa＋b＝(－3λ－1,2λ) a－2b＝(－3,2)－2(－1,0)＝(－1,2) 由(λa＋b)⊥(a－2b)， 1 得 4λ＋3λ＋1＝0，∴λ＝－7.
• 二、填空题 9 [答案] 0 • 5．已知 a或 ＝ 2(x－2，x＋3)，b＝(2x－3，－2)，
若 a⊥ ________. [解析 ] b，则 ∵a⊥x b＝ ，∴ a· b＝(x－2)(2x－3)－2(x＋3)＝0
2
22 11 → → ∴OM＝(2,1)或OM＝ 5 ， 5 .
故存在点 M(2,1)或点
22 11 M 5 ， 5 满足题意．
[例 4]
若 a＝(λ，2)，范围是
10 A.－∞， 3 6 6 10 B.－∞，－5∪－5， 3 10 C. 3 ，＋∞ 10 D.－∞， 3
∴b⊥c，∴b 与 c 的夹角为 90° .
向量的数量积运算的所有公式
向量的数量积运算的所有公式1.数量积定义公式：A·A=A₁A₁+A₂A₂+…+AAAA2.量积的坐标表示：设A=(A₁,A₂,…,AA)和A=(A₁,A₂,…,AA)是两个n维向量，则A·A=A₁A₁+A₂A₂+…+AAAA3.量积的几何表示：A·A = ‖A‖‖A‖cosA其中，‖A‖和‖A‖是A和A的长度，A是A和A之间的夹角。
4.正交性：当A·A=0时，A和A互相垂直，即A与A正交。
5.长度平方：A·A=‖A‖²即一个向量与自身的量积等于其长度的平方。
6.长度平方的展开：A·A=A₁²+A₂²+…+AA²7.向量之和的数量积：(A+A)·A=A·A+A·A8.向量乘以标量的数量积：(AA)·A=A(A·A)其中，A是标量。
9.向量乘法与交换律：A·A=A·A10.关于数乘的结合律：(AA)·A=A(A·A)=A·(AA)11.加法可分配律：A·(A+A)=A·A+A·A12.数乘可分配律：(A+A)A·A=AA·A+AA·A13. Einsteain求和约定：当上下两个指标相同时，指标重复出现的求和，例如：A·A=AᵢAᵢ，其中i=1,2,…,n，对于所有的i求和。
14.柯西-施瓦兹不等式：‖A·A‖≤‖A‖‖A‖，其中等号成立当且仅当A和B线性相关。
这些公式展示了向量的数量积运算的一些基本性质和计算公式。
通过利用这些公式，我们可以将向量的数量积运用于解决各种问题，例如计算向量的夹角、向量的投影等。
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复习提问提问1：如何用向量的长度、夹角
反映数量积？又如何用数量积、长
度来反映夹角？向量的运算律有哪
些？
由学生口答，教师板书向量数量积的定
义及向量的运算律公式
为数
量积
的坐
标运
算及
度量
公式
的推
导证
明打
好理
论基
础
练习2：已知|a|=1，|b|=2，(1)
若a∥b，求a·b；(2)若a、b的夹
角为６０°，求|a+b|；(3)若a-b
与a垂直，求a与b的夹角.
练习3：设i，j为正交单位向量，
则
① _______②
____________
③ ________ ④
____________
学生板书，教师分析，引导学生复习
前课重点……两个向量的数量积的运
算性质
引入新课及公式推导向量的坐标表示，为我们解决向量
的加、减、数乘向量带来了极大的
方便，那么向量的坐标表示，对数
量积的表达方式会带来哪些变化
呢？
问题1
如果已知，
怎样用、的坐标表示
呢？
推广1：设)
,
(y
x
a=
，则
2
2
2|
|y
x
a+
=
或2
2
|
|y
x
a+
=
学生独立进行每个公式的证明，教师
个别指导
教师小结：
（1）两个向量的数量积等于它们对应
坐标的乘积的和
在充
分复
习的
基础
上，培
养学
生用
旧知
解决
新问
题的
能力，
独立
思考
探索
的意
识
(长度公式)
推广2：设
、
则(距离
公式)
推广3： co s
=|
|||b a b a ⋅⋅ 2
2
222
1
2
12121y x y x y y x x +++=（πθ≤≤0）(夹角公式)
即b a
⋅2121y y x x +=
(2) 向量的长度、距离和夹角公式
问题2 内积为何值时说明两个向量是垂直的？
b a ⊥ ⇔02121=+y y x x
教师小结：向量垂直的充要条件
设
)
,(11y x a =
，
)
,(22y x b =
，
则
b
a ⊥ ⇔02121=+y y x x
应用举例
例1 设a
= (3, 1)，b = (1,
2)，求a b ，b a b a ,,,
教师演示第一问，强调先写公式，后计算，学生完成全题。
巩固向量数量
积的坐
标运算和度量公式的基本应用
例2 已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(2,
5)，
求证：△ABC是直角三角形（1）教师引导，师生共同完成。
(2)教师提问：该题还有其他证明
方法吗？
（提示可计算、、
，然后用勾股定理验证）
运用向
量垂直
的坐标
表示的
充要条
件解决
问题；培
养学生
灵活运
用所学
公式解
决问题
的能力
例3 已知A（1，2），B（3，4），C （5，0），求∠BAC的值。
教师引导，师生共同完成。
应用夹
角的坐
标公式，
揭示向
量与三
角的联
系,训练
学生的
运算能
力
例4 已知，求与垂直
的单位向量
教师讲解，学生归纳方法
课堂练习练习A 1（1），（2）学生独立完成，教师指导巩固新
知
归纳小结1、向量垂直的坐标表示的充要条件，
及向量的长度、距离和夹角公式
（1）用坐标表示的数量积公式，常
用来计算两向量的夹角.
（2）两向量垂直时，在表达方式上
有一定技巧，如与
师生共同完成使学生
养成归
纳总结
的习惯，
主动独
立思考
问题的
能力
总是垂直的。
2、平面向量数量积的两种形式的内在联系及有关知识的灵活运用。
布置作业
练习A 1（3）（4）,2,3
练习B 1
学生独立完成巩固新
知（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。