高等数学极限习题500道汇总
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．求证：存在，且，＝时，设当βα=β+βα+αβαβ=βαα→→→→000lim lim lim
)()(1
1110x x x x x x o o x x 答（ ）
．． ． ． ．是等价无穷小，则与时，若当2
32123211cos )(1)1()(0312--=
-=β-+=α→D C B A a x x ax x x
（ ）
答 阶的是
时，下述无穷小中最高当x x D x C x B x A x sin 11cos 1022----→
[]之值．求)12ln()12ln(lim --+∞→n n n n ．求极限)2sin()1(lim 2+π-+∞→n n n n ．求极限)11ln()21(lim n
n n ++∞→ _____________sin 1lim 3202=--→的值x
x x e
x x ．及求证：，，设有数列n n n n n n n n n n a a a y a a a a b b a a a ∞→+∞→∞→++-=+=
≠==lim )(lim lim 2)( 11221
．及，求记：， ．，设n n n n n
n n n n n n n x y x x y x x x x x a b b x a x ∞→∞→++++-=+=
>>==lim lim 11
2)0(111221 求极限之值．lim ()cos sin x x x x x →+-02
12
设，；且试证明：．lim ()lim ()lim ()()x x x x x x v x B u x A A v x B u x A →→→=>==00
00
[] 答（ ）
． ． ． ．2
ln 01)1ln(lim 2)1(11D C B A x x x ∞=
+-→
答（ ）
． ． ． ．2
1)21(lim 2sin 0D e C e B A x x x x =
+→
[]的结果．之值，并讨论及求：设1)(1)(lim )(lim 11)(lim )( .1sin
1)(0012----=+=→→→x u x u f x u u u f u u f x x x u x x u
_____________6
9lim 223的值等于---→x x x x
．不存在 ． ． ．D C B A e e e e x x x x x 123
1234lim =++--∞→ 答：（ ）
lim ()()()....x x x x A B C D →∞-+-=-⨯23611123
35
8
53 不存在 答：（ ）
____________)61()31()21(lim 1522010=+++∞→x x x x ____________lim 0的值等于x
x x e e x -→- ．求极限123lim 2331+--+-→x x x x x x 求之值．lim ()
x x x x x →+--+03
416125 已知：，问？为什么？lim ()lim ()()lim ()x x x x x x u x u x v x A v x →→→=∞=≠=00
00
关于极限结论是：
不存在 答（ ）
lim x x e A B C D →+01
5353054
答（ ）
，则极限式成立的是，设 )(lim .)()(lim .)
()(lim .0)
()(lim .)(lim )(lim )(0
0000
0∞=∞=∞==∞==→→→→→→x g x x x x x x x x x x x x x f D x g x f C x f x g B x g x f A x g A x f
是不是无穷大量．时，，问当)(cos )(x f x x e x f x +∞→=
答（ ） 不存在 2
.2.
..0.1arctan tan lim 0π-π=⋅→D C B A x
x x
答（ ） 2
.
1..0.)arctan(lim 2π∞=∞→D C B A x
x x
答（ ）
不存在 .2.2.2.3
1
2lim 2D C B A x x x ±-=++∞→
___________)0(23)(1=-+=
f e x f x ，则设 答（ ） 不存在 2
.
...0.1cot arc lim 0ππ=→D C B A x
x lim cos ln ....x a x x
a A B C D →--==0100123，则其中 答（ ）π
____________cos 13lim 20的值等于x x e e x x x ----→
lim (cos ).....x x x
A B C D →-=-0212220
不存在 答：（ ）
设，其中、为常数．问：、各取何值时，； 、各取何值时，； 、各取何值时，．f x px qx x p q p q f x p q f x p q f x x x x ()()lim ()()lim ()()lim ()=++-===→∞→∞
→25
55
112031
求极限．lim ()()()()x n n n n x x x x →∞+--++-2222222211 求极限．lim ()()x x x →∞++322323
32
[]
之值．
、、试确定已知C B A x x c x B A x x 0)1()1()1(3lim 2241=--+-+-+→
之值．
，，，试确定常数．，，满足已知d c b a x f x f x x d cx bx ax x f x x 0)(lim )2(1)(lim )1(2
)(1223==-++++=→∞→ 之值．，，试确定已知b a x x b
x b a x 4313)(lim 1=+-+++→
为什么？＂上述说法是否正确？，则＂若∞=α=α→→)(1lim 0)(lim 0
0x x x x x x
当时，是无穷大，且，证明：当时，也为无穷大．x x f x g x A x x f x g x x x →=→+→000
()lim ()()()
．用无穷大定义证明：+∞=-+→112lim 1x x x ．用无穷大定义证明：-∞=+
→x x ln lim 0 +∞=-π→x x tan lim 02用无穷大定义证明： ．用无穷大定义证明：+∞=-+→11lim 0
1x x