最经典机械振动总结、试题及答案(全)

最经典机械振动总结、试题及答案（全）
一、简谐运动
（一）知识要点
1.定义：物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫简谐运动。

表达式为：F = -kx
⑴简谐运动的位移必须是指偏离平衡位置的位移。

也就是说，在研究简谐运动时所说的位移的起点都必须在平衡位置处。

⑵回复力是一种效果力。

是振动物体在沿振动方向上所受的合力。

⑶“平衡位置”不等于“平衡状态”。

平衡位置是指回复力为零的位置，物体在该位置所受的合外力不一定为零。

（如单摆摆到最低点时，沿振动方向的合力为零，但在指向悬点方向上的合力却不等于零，所以并不处于平衡状态）
⑷F=-kx 是判断一个振动是不是简谐运动的充分必要条件。

凡是简谐运动沿振动方向的合力必须满足该条件；反之，只要沿振动方向的合力满足该条件，那么该振动一定是简谐运动。

2.几个重要的物理量间的关系
要熟练掌握做简谐运动的物体在某一时刻（或某一位置）的位移x 、回复力F 、加速度
a 、速度v 这四个矢量的相互关系。

⑴由定义知：F ∝x ，方向相反。

⑵由牛顿第二定律知：F ∝a ，方向相同。

⑶由以上两条可知：a ∝x ，方向相反。

⑷v 和x 、F 、a 之间的关系最复杂：当v 、a 同向（即 v 、 F 同向，也就是v 、x 反向）时v 一定增大；当v 、a 反向（即 v 、 F 反向，也就是v 、x 同向）时，v 一定减小。

3.从总体上描述简谐运动的物理量
振动的最大特点是往复性或者说是周期性。

因此振动物体在空间的运动有一定的范围，用振幅A 来描述；在时间上则用周期T 来描述完成一次全振动所须的时间。

⑴振幅A 是描述振动强弱的物理量。

（一定要将振幅跟位移相区别，在简谐运动的振动过程中，振幅是不变的而位移是时刻在改变的） ⑵周期T 是描述振动快慢的物理量。

（频率f =1/T 也是描述振动快慢的物理量）周期由振动系统本身的因素决定，叫固有周期。

任何简谐振动都有共同的周期公式：k
m T π
2=（其
中m 是振动物体的质量，k 是回复力系数，即简谐运动的判定式F = -kx 中的比例系数，对于弹簧振子k 就是弹簧的劲度，对其它简谐运动它就不再是弹簧的劲度了）。

（二）例题分析
例1、一个质点在平衡位置O 点附近做简谐运动，若从O 点开始计时，经过3s 质点第一次经过M （如图5－1所示）；再继续运动，又经过2s 它第二次经过M 点；则该质点第三次经过M 点所需要的时间是（ ）
A ．8s
B ．4s
C ．14s
D ．
3
10s
例2、如图5－2所示质量为m 的物体A 放在质量为M 的物体B 上，B 与弹簧相连，他们一起在光滑水平面上做简谐振动。

振动过程中A 、B 之间无相对运动，设弹簧的劲度系数为k ，当物体离开平衡位置的位移为x 时，A 、B 间摩擦力的大小等于( )
A. 0 B ．kx C ．(M
m )kx D ．（
m
M m ）kx
例3、如图5－3所示，一根水平张紧的绳子上系着5个单摆，摆长从从左向右依次为
2
3L 、L 、2
1L 、L 、2L ；若先让D 球先摆动起来．其周期为T ，在以后，A 、B 、C 、E 4
个摆的情况是（ ）
A ．
B 摆的振幅最大
B ．E 摆的振幅最大
C ．C 摆的振动周期为T
D ．A 摆的振动周期大于T
二、典型的简谐运动
（一）知识要点
1.弹簧振子 ⑴周期k
m T π
2=，与振幅无关，只由振子质量和弹簧的劲度决定。

⑵可以证明，竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐运动，周期公式也是k
m T π2=。

这
个结论可以直接使用。

⑶在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力；在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力。

2.单摆
⑴单摆振动的回复力是重力的切向分力，不能说成是重力和拉力的合力。

在平衡位置振子所受回复力是零，但合力是向心力，指向悬点，不为零。

⑵当单摆的摆角很小时（小于5°）时，单摆的周期g
l T π
2=，与摆球质量m 、振幅A
都无关。

其中l 为摆长，表示从悬点到摆球质心的距离，要区分摆长和摆线长。

⑶小球在光滑圆弧上的往复滚动，和单摆完全等同。

只要摆角足够小，
这个振动就是简谐运动。

这时周期公式中的l 应该是圆弧半径R 和小球半径r 的差。

⑷摆钟问题。

单摆的一个重要应用就是利用单摆振动的等时性制成摆钟。

在计算摆钟类的问题时，利用以下方法比较简单：在一定时间内，摆
钟走过的格子数n 与频率f 成正比（n 可以是分钟数，也可以是秒数、小时数……），再由频率公式可以得到：
l
l g f n 121∝
=
∝π
（二）例题分析
例1：如图所示，质量为m 的小球放在劲度为k 的轻弹簧上，使小球上下振动而又始终未脱离弹簧。

⑴最大振幅A 是多大？⑵在这个振幅下弹簧对小球的最大弹力F m 是多大？
解：该振动的回复力是弹簧弹力和重力的合力。

在平衡位置弹力和重力等
大
反向，合力为零；在平衡位置以下，弹力大于重力，F - mg =ma ，越往下弹力越大；在平衡位置以上，弹力小于重力，mg-F=ma ，越往上弹力越小。

平衡位置和振动的振幅大小无关。

因此振幅越大，在最高点处小球所受的弹力越小。

极端情况是在最高点处小球刚好未离开弹簧，弹力为零，合力就是重力。

这时弹簧恰好为原长。

⑴最大振幅应满足kA=mg , A =
k
mg
⑵小球在最高点和最低点所受回复力大小相同，所以有：F m -mg=mg ，F m =2mg
例2：已知单摆摆长为L ，悬点正下方3L /4处有一个钉子。

让摆球做小角度摆动，其周期将是多大？
解：该摆在通过悬点的竖直线两边的运动都可以看作简谐运动，周期分别为g
l T π
21=和g
l T π
=2，因此该摆的周期为 ：
g
l T T T 2
32
2
21π=
+
=
例3：固定圆弧轨道弧AB 所含度数小于5°，末端切线水平。

两个相同的小球a 、b 分别从轨道的顶端和正中由静止开始下滑，比较它们到达轨道底端所用的时间和动能：t a ＿＿t b ，
E a ＿＿2E b 。

解：两小球的运动都可看作简谐运动的一部分，时间都等于四分之一周期，而周期与振幅无关，所以t a = t b ；从图中可以看出b 小球的下落高度小于a 小球下落高度的一半，所以E a >2E b 。

例4：将一个力电传感器接到计算机上，可以测量快速变化的力。

用这种方法测得的某单摆摆动过程中悬线上拉力大小随时间变化的曲线如右图所示。

由此图线提供的信息做出下列判断：①t ＝0.2s 时刻摆球正经过最低点；②t ＝1.1s 时摆球正处于最高点；③摆球摆动过程中机械能时而增大时而减小；④摆球摆动的周期约是T ＝0.6s 。

上述判断中正确的是
A.①③
B.②④
C.①②
D.③④ 解：注意这是悬线上的拉力图象，而不是振动图象。

当摆球到达最高点时，悬线上的拉力最小；当摆
球到达最低点时，悬线上的拉力最大。

因此①②正确。

从图象中看出摆球到达最低点时的拉力一次比一次小，说明速率一次比一次小，反映出振动过程摆球一定受到阻力作用，因此机械能应该一直减小。

在一个周期内，摆球应该经过两次最高点，两次最低点，因此周期应该约是T ＝1.2s 。

因此答案③④错误。

本题应选C 。

例5、（1）用简明的语言表述简谐振动的定义．
（2）如图所示，一根劲度系数为k 的轻质弹簧上端固定在A 点， 下端挂一质量为m 的金属小球，系统静止时金属小球球心位置为O ， 现用力向下拉小球到B 点，待稳定后由静止释放小球，以后小球在 BOC 之间上下往复运动过程中弹簧处在弹性限度内，不计空气阻力和摩擦．试论述小球在BOC 之间的往复运动属于简谐振动．
（1）物体在跟位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置的力作用下的振动叫简谐振动. （2分）
（2）设小球运动中受到竖直向下的力为正，竖直向上的力为负，O是它的平衡位置，
Δl是小球在O点弹簧的伸长量.
在O点时，F合=mg–kΔl=0解出mg=kΔl （2分）
以O点为原点建立坐标系ox，方向向下（1分）
设小球在BOC之间运动的任意时刻的位移为x，该点小球受的力为：mg和
–k(x Δl) （1分）
F合=mg–kΔl=–kx ……（2分）
式中“–”表示力的方向与位移方向相反.由于x是任意时刻的位移，所以
它在任意时刻的回复力都跟位移x的大小成正比且方向总指向平衡位置（2分）
三、受迫振动与共振
（一）知识要点
1.受迫振动
物体在驱动力（既周期性外力）作用下的振动叫受迫振动。

⑴物体做受迫振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关。

⑵物体做受迫振动的振幅由驱动力频率和物体的固有频率共同决定：两者越接近，受迫振动的振幅越大，两者相差越大受迫振动的振幅越小。

2.共振
当驱动力的频率跟物体的固有频率相等时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫共振。

要求会用共振解释现象，知道什么情况下要利用共振，什么情况下要防止共振。

⑴利用共振的有：共振筛、转速计、微波炉、打夯机、跳板跳水、打秋千……
⑵防止共振的有：机床底座、航海、军队过桥、高层建筑、火车车厢……
（二）例题分析
例：把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛。

不开电动机让这个筛子自由振动时，完成20次全振动用15s；在某电压下，电动偏心轮的转速是88r/min。

已知增大电动偏心轮的电压可以使其转速提高，而增加筛子的总质量可以增大筛子的固有周期。

为使共振筛的振幅增大，以下做法正确的是
A.降低输入电压
B.提高输入电压
C.增加筛子质量
D.减小筛子质量
解：筛子的固有频率为f固=4/3Hz，而当时的驱动力频率为f驱=88/60Hz，即f固< f驱。

为了达到振幅增大，应该减小这两个频率差，所以应该增大固有频率或减小驱动力频率。

本题应选AD。

第十二章 机械波
一、机械波
（一）知识要点
1.分类：机械波可分为横波和纵波两种。

⑴质点振动方向和波的传播方向垂直的叫横波，如：绳上波、水面波等。

⑵质点振动方向和波的传播方向平行的叫纵波，如：弹簧上的疏密波、声波等。

2.机械波的传播
⑴在同一种均匀介质中机械波的传播是匀速的。

波速、波长和频率之间满足公式：v=λ f 。

⑵介质质点的运动是在各自的平衡位置附近的简谐运动，是变加速运动，介质质点并不随波迁移。

⑶机械波转播的是振动形式、能量和信息。

⑷机械波的频率由波源决定，而传播速度由介质决定。

3.机械波的反射、折射、干涉、衍射
一切波都能发生反射、折射、干涉、衍射。

特别是干涉、衍射，是波特有的性质。

⑴干涉：产生干涉的必要条件是，两列波源的频率必须相同。

需要说明的是：以上是发生干涉的必要条件，而不是充分条件。

要发生干涉还要求两列波的振动方向相同（要上下振动就都是上下振动，要左右振动就都是左右振动），还要求相差恒定。

我们经常列举的干涉都是相差为零的，也就是同向的。

如果两个波源是振动是反向的，那么在干涉区域内振动加强和减弱的位置就正好颠倒过来了。

干涉区域内某点是振动最强点还是振动最弱点的充要条件：
①最强：该点到两个波源的路程之差是波长的整数倍，即δ=n λ
②最弱：该点到两个波源的路程之差是半波长的奇数倍，即()122
+=n λ
δ
根据以上分析，在稳定的干涉区域内，振动加强点始终加强；振动减弱点始终减弱。

至于“波峰和波峰叠加得到振动加强点”，“波谷和波谷叠加也得到振动加强点”，“波峰和波谷叠加得到振动减弱点”这些都只是充分条件，不是必要条件。

⑵衍射：发生明显衍射的条件是，障碍物或孔的尺寸和波长可以相比或比波长小。

⑶波的独立传播原理和叠加原理。

①独立传播原理：几列波相遇时，能够保持各自的运动状态继续传播，不互相影响。

②叠加原理：介质质点的位移、速度、加速度都等于几列波单独转播时引起的位移、速度、加速度的矢量和。

波的独立传播原理和叠加原理并不矛盾。

前者是描述波的性质：同时在同一介质中传播的几列波都是独立的。

比如一个乐队中各种乐器发出的声波可以在空气中同时向外传播，我们仍然能分清其中各种乐器发出的不同声波。

后者是描述介质质点的运动情况：每个介质质点的运动是各列波在该点引起的运动的矢量和。

这好比老师给学生留作业：各个老师要留的作业与其他老师无关，是独立的；但每个学生要做的作业却是所有老师留的作业的总和。

（二）例题分析
例1：如图所示，S
1、S 2是两个相干波源，它们振动同
步且振幅相同。

实线和虚线分别表示在某一时刻它们所发出的波的波峰和波谷。

关于图中所标的a、b、c、d四点，下列说法中正确的有
A.该时刻a质点振动最弱，b、c质点振动最强，d质点振动既不是最强也不是最弱
B.该时刻a质点振动最弱，b、c、d质点振动都最强
C.a质点的振动始终是最弱的， b、c、d质点的振动始终是最强的
D.再过T/4后的时刻a、b、c三个质点都将处于各自的平衡位置，因此振动最弱
解：该时刻a质点振动最弱，b、c质点振动最强，这不难理解。

但是d既不是波峰和波峰叠加，又不是波谷和波谷叠加，如何判定其振动强弱？这就要用到充要条件：“到两波源的路程之差是波长的整数倍”时振动最强，从图中可以看出，d是S1、S2连线的中垂线上的一点，到S1、S2的距离相等，所以必然为振动最强点。

描述振动强弱的物理量是振幅，而振幅不是位移。

每个质点在振动过程中的位移是在不断改变的，但振幅是保持不变的，所以振动最强的点无论处于波峰还是波谷，振动始终是最强的。

例2：如图中实线和虚线所示，振幅、周期、起振方向
都相同的两列正弦波（都只有一个完整波形）沿同一条直线
向相反方向传播，在相遇阶段（一个周期内），试画出每隔
T/4后的波形图。

并分析相遇后T/2时刻叠加区域内各质点
的运动情况。

解：根据波的独立传播原理和叠加原理可作出每隔T/4
后的波形图如①②③④所示。

相遇后T/2时刻叠加区域内abcde各质点的位移都是零，但速度各不相同，其中a、c、e 三质点速度最大，方向如图所示，而b、d两质点速度为零。

这说明在叠加区域内，a、c、e
三质点的振动是最强的，b、d两质点振动是最弱的。

二、振动图象和波的图象 声波
（一）知识要点
1.振动图象和波的图象：振动图象和波的图象从图形上看好象没有什么区别，但实际上它们有本质的区别。

⑴物理意义不同：振动图象表示同一质点在不同时刻的位移；波的图象表示介质中的各个质点在同一时刻的位移。

⑵图象的横坐标的单位不同：振动图象的横坐标表示时间；波的图象的横坐标表示距离。

⑶从振动图象上可以读出振幅和周期；从波的图象上可以读出振幅和波长。

2.波的图象的画法：波的图象中，波的图形、波的传播方向、某一介质质点的瞬时速度方向，这三者中已知任意两者，可以判定另一个。

（口诀为“上坡下，下坡上” ）
3.波的传播是匀速的：在一个周期内，波形匀速向前推进一个波长。

n 个周期波形向前推进了n 个波长（n 可以是任意正数）。

因此在计算中，既可以使用v=λ f ，也可以使用v=s/t ，后者往往更方便。

4.介质质点的运动是简谐运动（是一种变加速运动）：任何一个介质质点在一个周期内经过的路程都是4A ，在半个周期内经过的路程都是2A ，但在四分之一个周期内经过的路程就不一定是A 了。

5.起振方向：介质中每个质点开始振动的方向都和振源开始振动的方向相同。

6.声波
（1）声波是纵波。

（2）空气中的声速可认为是340m/s ，水中的声速是1450m/s ，铁中的声速是4900m/s 。

（3）人耳可以听到的声波的频率范围是20Hz-20000Hz （4）人耳只能区分开相差0.1s 以上的两个声音。

（二）例题分析
例1：已知在t 1时刻简谐横波的波形如图中实线所示；在时刻t 2该波的波形如图中虚线所示。

t 2-t 1 = 0.02s 求：⑴该波可能的传
播速度。

⑵若已知T < t 2-t 1<2T ，且图中P 质点在t 1时刻的瞬时速度方向向上，求可能的波速。

⑶若0.01s<T <0.02s ，且从t 1时刻起，图中Q 质点比R 质点先回到平衡位置，求可
能的波速。

解：⑴如果这列简谐横波是向右传播的，在t 2-t 1内波形向右匀速传播了λ⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
+
31n ，所
以波速()1231t t n v -÷⎪⎭
⎫
⎝
⎛+=λ=100(3n +1)m/s
(n =0,1,2,…)；同理可得若该波是向左传播的，可能的波速v =100(3n +2)m/s (n =0,1,2,…)
⑵P 质点速度向上，说明波向左传播，T < t 2-t 1 <2T ，说明这段时间内波只可能是向左传播了5/3个波长，所以速度是唯一的：v =500m/s
⑶“Q 比R 先回到平衡位置”，说明波只能是向右传播的，而0.01s<T <0.02s ，也就是T <0.02s<2T ，所以这段时间内波只可能向右传播了4/3个波长，解也是唯一的：v =400m/s
例2：在均匀介质中有一个振源S ，它以50H Z 的频率上下振动，该振动以40m/s 的速度沿弹性绳向左、右两边传播。

开始时刻S 的速度方向向下，试画出在t =0.03s 时刻的波形。

解：从开始计时到t =0.03s 经历了1.5个周期，波分别向左、右传播1.5个波长，该时刻波源S 的速度方向向上，所以波形如右图所示。

例3：如图所示是一列简谐横波在t =0时刻的波形图，已知这列波沿x 轴正方向传播，波速为20m/s 。

P 是离原点为2m 的一个介质质点，则在t =0.17s 时刻，质点P 的：①速度和加速度都沿-y 方向；②速度沿+y 方向，加速度沿-y 方向；③速度和加速度都正在增大；④速度正在增大，加速度正在减小。

以上四种判断中正确的是
A.只有①
B.只有④
C.只有①④
D.只有②③
解：由已知，该波的波长λ=4m ，波速v =20m/s ，因此周期为T =λ/v =0.2s ；因为波向右传播，所以t =0时刻P 质点振动方向向下；0.75 T <0.17s< T ，所以P 质点在其平衡位置上方，正在向平衡位置运动，位移为正，正在减小；速度为负，正在增大；加速度为负，正在减小。

①④正确，选C
例4、如图所示，是一列简谐波在某一时刻的波形图，其中质点P 的振动方向如图1中所示，则以下说法中正确的是 （C ）
A ．波的传播方向沿x 轴正方向，该时刻质点Q 的振动方向沿
y 轴正方向 B ．波的传播方向沿x 轴正方向，该时刻质点Q 的振动方向沿y 轴负方向 C ．波的传播方向沿x 轴负方向，该时刻质点Q 的振动方向沿y 轴正方向
D ．波的传播方向沿x 轴负方向，该时刻质点Q 的振动方向沿y 轴负方向 【答题技巧】沿波的传播方向，后面的质点总落后于前面的质点.
v v
例5、.图甲为一列简谐横波在t=0.10s时刻的波形图，P是平衡位置为x=1 m处的质点，Q 是平衡位置为x=4 m处的质点，图乙为质点Q的振动图象，则
A.t=0.15s时，质点Q的加速度达到正向最大
B.t=0.15s时，质点P的运动方向沿y轴负方向
C.从t=0.10s到t=0.25s，该波沿x轴正方向传播了6 m
D.从t=0.10s到t=0.25s，质点P通过的路程为30 cm
答案AB
【解析】由y-t图像知，周期T=0.2s，且在t=0.1s Q点在平衡位置沿y负方向运动，可以推断波没x负方向传播，所以C错；
从t=0.10s到t=0.15s时，Δt=0.05s=T/4，质点Q从图甲所示的位置振动T/4到达负最大位移处，又加速度方向与位移方向相反，大小与位移的大小成正比，所以此时Q的加速度达到正向最大，而P点从图甲所示位置运动T/4时正在由正最大位移处向平衡位置运动的途中，速度沿y轴负方向，所以A、B都对；
振动的质点在t=1T内，质点运动的路程为4A；t=T/2，质点运动的路程为2A；但t=T/4，质点运动的路程不一定是1A；t=3T/4，质点运动的路程也不一定是3A。

本题中从t=0.10s 到t=0.25s内，Δt=0.15s=3T/4，P点的起始位置既不是平衡位置，又不是最大位移处，所以在3T/4时间内的路程不是30cm。

例6、一列简谐横波在某一时刻的波形图如图1所示，图中P、Q两质点的横坐标分别为x=1.5m 和x=4.5m。

P点的振动图像如图2所示。

在下列四幅图中，Q点的振动图像可能是
答案BC
【解析】本题考查波的传播.该波的波长为4m.,PQ 两点间的距离为3m..当波沿x 轴正方向传播时当P 在平衡位置向上振动时而Q 点此时应处于波峰,B 正确.当沿x 轴负方向传播时,P 点处于向上振动时Q 点应处于波谷,C 对.
例7、下列关于简谐振动和简谐波的说法，正确的是
A ．媒质中质点振动的周期一定和相应的波的周期相等
B ．媒质中质点振动的速度一定和相应的波的波速相等
C ．波的传播方向一定和媒质中质点振动的方向一致
D ．横波的波峰与波谷在振动方向上的距离一定是质点振幅的两倍。

答案AD
【解析】本题考查机械波和机械振动.介质中的质点的振动周期和相应的波传播周期一致A 正确.而各质点做简谐运动速度随时间作周期性的变化,但波在介质中是匀速向前传播的,所以不相等,B 错.对于横波而言传播方向和振动方向是垂直的,C 错.根据波的特点D 正确.
例8、某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x ＝Asin 4
t π，则质点
A.第1 s 末与第3 s 末的位移相同
B.第1 s 末与第3 s 末的速度相同
C.3 s 末至5 s 末的位移方向都相同
D.3 s 末至5 s 末的速度方向都相同 AD 【解析】由关系式可知rad/s 4
π
ω=
，s 82==
ω
π
T ，将t=1s 和t=3s 代入关系式中求得
两时刻位移相同，A 对；画出对应的位移-时间图像，由图像可以看出，第1s 末和第3s 末的速度方向不同，B 错；仍由图像可知，3s 末至5s 末的位移大小相同，方向相反，而速度是大小相同，方向也相同。

故C 错、D 对。

例9、一列波长大于1m 的横波沿着x 轴正方向传播，处在m x 11=和m x 22=的两质点A 、B 的振动图像如图所示。

由此可知
A ．波长为
3
4m
B ．波速为s m /1
C ．s 3末A 、B 两质点的位移相同
D ．s 1末A 点的振动速度大于B 点的振 动速度 答案A
【解析】m x x x 112=-=∆，由于波沿x 正方向传播，所以A 先振动，又由于波长大于1m ，所以T 4
3s t =
=3∆，所以λ∆4
3=
x ，m 3
4=
λ，A 对，波速s m t
x v /3
1=
=
∆∆，B 错；由振
动图像知，在3s 末，A 、B 两质点的位移不相同，C 错；1s 末A 点速度为零，B 点速度最大，D 错。

例10、同一音叉发出的声波同时在水和空气中传播，某时刻的波形曲线见题15图，以下说法正确的是（ ）
A ．声波在水中波长较大，b 是水中声波的波形曲线。

B ．声波在空气中波长较大，b 是空气中声波的波形曲线
C ．水中质点振动频率较高，a 是水中声波的波形曲线
D ．空气中质点振动频率较高，a 是空气中声波的波形曲线
答案：A
解析：同一音叉发出的声波,声源相同,频率f 相同、周期T 相同（CD 均错）；又声波在水中传播的传播速度比在空气中快、速度V 大，根据波长λ＝VT 可知声波在水中波长较大；由题15图波形曲线可知b 比a 的波长长，b 是水中声波的波形曲线，A 对、B 错。

例11、有两列简谐横波a 、b 在同一媒质中沿x 轴正方向传播，波速均为v ＝2.5m/s 。

在t ＝
0时，两列波的波峰正好在x ＝2.5m 处重合，如图所示。

（1）求两列波的周期T a 和T b 。

（2）求t ＝0时，两列波的波峰重合处的所有位置。

（3）辨析题：分析并判断在t ＝0时是否存在两列波的波谷重合处。

某同学分析如下：既然两列波的波峰存在重合处，那么波谷与波谷重合处也一定存在。

只要找到这两列波半波长的最小公倍数，……，即可得到波谷与波谷重合处的所有位置。

你认为该同学的分析正确吗？若正确，求出这些点的位置。

若不正确，指出错误处并通过计算说明理由。

解：（1）从图中可以看出两列波的波长分别为λa ＝2.5m ，λb ＝4.0m ，因此它们的周期分别为
2.52.5
a
a T v
λ=
=
s ＝1s
4.02.5
b
b T v
λ=
=
s ＝1.6s
（2）两列波的最小公倍数为 S ＝20m
在t ＝0时，两列波的波峰重合处的所有位置为 x ＝（2.5±20k ）m ，k ＝0，1，2，3，……
（3）该同学的分析不正确。

要找两列波的波谷与波谷重合处，必须从波峰重合处出发，找到这两列波半波长的奇数倍恰好相等的位置。

设距离x ＝2.5m 为L 处两列波的波谷与波谷相遇，并设
L ＝（2m －1）
2
a
λ L ＝（2n －1）
2
b
λ，式中m 、n 均为正整数
只要找到相应的m 、n 即可
将λa ＝2.5m ，λb ＝4.0m 代入并整理，得
21 4.0821
2.5
5
a b
m n λλ-=
=
=
-
由于上式中m 、n 在整数范围内无解，所以不存在波谷与波谷重合处。