湖南省长沙市长郡中学2017新高一入学分班考试(初三数学)试卷及答案
湖南省长沙市长郡中学2016-2017学年高一上学期第二次模块检测数学试题 含答案
数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。
1。
已知集合{}2,1A =-，集合{}2,1B m m =--,且A B =，则实数m 等于（）A ．2B ．1-C ．2或1-D ．42.下列函数中,在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（ ）A ．1y x=B ．tan y x =C ．3xy =D ．3y xx =+3.给出下列三个命题： ①若a b =,则a b =；②若AB DC =，则四边形ABCD 是正方形； ③若ma na =(0a ≠,m ，n ∈R )，则m n =． 其中正．确．的命题为（ ）A ．①B ．①②C ．①③D ．②③4。
已知函数()()21sin π,10,0x x x f x e x -⎧-<<⎪=⎨≥⎪⎩，若()()12f f a +=,则a 的值为（ ）A ．1B ．1或22- C ．2D ．125.已知角α的终边过点(),3P a a --（0a ≠)，则sin α=（ ) A ．310310 B 310C 10-D 6.若1e ，2e 是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（ ） A ．12e e -，21ee -B ．122e e +，1212e e+C ．2123ee -，1264e e -D ．12e e +，12e e-7。
在下列给出的函数中,以π为周期且在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内是增函数的是（ ）A ．πtan 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．cos 2y x =D ．sin 2x y =8.在()0,2π内使sin cos x x >的x 的取值范围是（ )A ．π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭B ．ππ5π3π,,4242⎛⎤⎛⎤⎥⎥⎝⎦⎝⎦C ．ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5π7π,44⎛⎫⎪⎝⎭9。
长郡中学高一入学分班考试测试卷
测试卷2 1一、选择题。
1.等腰三角形的底和腰是方程01272=+-x x 的两根，则这个三角形的周长为（ ） .11 C 或11 D.不能确定2.如图21-1所示，在直角坐标系中，将矩形OABC 沿OB 对折，使A 点落在点A 1处，已知OA=3，AB=1,则点A 1的坐标是（ ） A ．（)23,23 B.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3,23 C.)23,23( D.)23,21( 3.王英同学从A 地沿北偏西60°方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地（ ）A.150mB.350C.100mD.m 31004.如图21-2所示，点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、K 都是7×7方格纸中的格点，为使△DEM ∽△ABC ，则点M 应是F 、G 、H 、K 四点中的（ ）5．已知二次函数图像的图像如图21-3所示，则下列关系式正确的是（ ）A ．0>abc B.0<++c b a C.0>+-c b a D 02>+c a6.如图21-4所示，E 是边长为1的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE=BC ，P 是CE 上任意一点，PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BD 于点R ，则PQ+PR 的值是（ ） A.22 B.21 C.23 D.32 7.四边形四条边长分别为,,,,d c b a 其中c a ,为对边，且,222222cd ab dc b a +=+++则这个四边形一定是（ ）A.平行四边形B.两组对角相等的四边形C.对角线垂直的四边形D.对边相等的四边形 8.如图21-5所示，△ABC 中，M 、N 把BC 三等分，E 是AC 上的中点，AM 、AN 分别交BE 于G 、H ，则BG:GH:HE 等于（ ）:2:1 :3:1 C.5:3::2 ：3：1二、填空题9.如图21-6所示，在△ABC 中，∠A=55°，H 为三条高的交点，则∠BHC=_____________.10.关于x 的一元二次方程03)12()1(2=-+-+-k x k x k 有实数根，则k 的取值范围是_______________.11.若.7123,5321=++=++z y x z y x 则._______________111=++zy x12.盒子里装有大小形状相同、质地均匀的3个白球和2个红球，搅匀后从中摸出一个球，放回后搅匀，再摸出第二个球，则取出的恰是两个红球的概率是______________.13.如图21-7所示，在直径为6的半圆弧AB 上有两动点M ，N ，弦AM 、BN 相交于P ，则AP ·AM+BP ·BN 的值为_______________.14.已知在ABC Rt ∆中，∠ACB=90°,BC=3,AC=4,P 是AB 上的点，则点P 到AC ，BC 的距离乘积的最大值为_____________.15.已知b a ≠，且______________1111,014,01422=+++=+-=+-b a b b a a 则。
长郡初三上数学试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √-1B. πC. 0.1010010001…D. √22. 已知a、b、c是三角形的三边，则下列命题中正确的是（）A. a+b+c=180°B. a+b+c=360°C. a+b>cD. a+b>c且a+c>b3. 下列函数中，定义域为全体实数的是（）A. y=√(x-1)B. y=|x|C. y=x²D. y=1/x4. 已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点A（2，3），则下列结论正确的是（）A. k=1，b=1B. k=2，b=1C. k=1，b=3D. k=2，b=35. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=70°，则∠B=（）A. 35°B. 40°C. 50°D. 55°6. 下列各组数中，成等差数列的是（）A. 2，5，8，11B. 3，6，9，12C. 1，4，9，16D. 1，3，5，77. 若一个数列的前三项分别是1，-2，3，则这个数列的通项公式是（）A. an = n - 1B. an = n² - 1C. an = 2n - 1D. an = n²8. 已知函数y=2x-3，则该函数的图象是（）A. 经过一、二、三、四象限B. 经过一、二、四象限C. 经过一、二、三象限D. 经过一、三、四象限9. 在直角坐标系中，点P（2，-3）关于y轴的对称点是（）A. （2，3）B. （-2，-3）C. （-2，3）D. （2，-3）10. 若等腰三角形底边长为8cm，腰长为10cm，则该三角形的周长是（）A. 26cmB. 28cmC. 30cmD. 32cm二、填空题（每题5分，共50分）11. 计算：-5 - (-3) + 2 = ________。
12. 若a=2，b=-3，则a²+b²=________。
湖南省长沙市长郡中学2017届高三入学考试-数学理
湖南省长沙市长郡中学2017届高三入学考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.{|A x y ==，{|1}B x a x a =≤≤+，若A B A =，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,3][2,)-∞-+∞B ．[1,2]-C ．[2,1]-D ．[2,)+∞2()1a i z i +=+，其中a 为实数，若z 的实部为2，则z 的虚部为（ ） A ．12- B ．12i - C ．32- D ．32i -3.“0a <”是“函数()|(1)|f x x ax =+在区间(,0)-∞内单调递减”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要()(21)x f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围为（ ） A ．3[,1)2e -B ．33[,)24e -C ．33[,)24eD ．3[,1)2esin()cos()22y x x ϕϕ=++的图象沿x 轴向右平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的取值不可能是（ ） A ．54π-B ．4π-C ．4πD ．34π (1,0)M ，,A B 是椭圆2214x y +=上的动点，且0MA MB •=，则MA BA •的取值范围是（ ）A ．2[,1]3B ．[1,9]C ．2[,9]3D ． 7.如图所示程序框图中，输出S =（ ） A ．45 B ．-55 C ．-66 D ．668.如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数1(0)y x x=>图象下方的区域（阴影部分），从D 内随机取一个点M ，则点M 取自E 内的概率为（ ） A ．ln 22 B ．1ln 22- C ．1ln 22+ D ．2ln 22-1111ABCD A B C D -中，P 在线段1BD 上，且112BP PD =，M 为线段11B C 上的动点，则三棱锥M PBC -的体积为（ ） A ．1 B ．32 C ．92D ．与M 点的位置有关 A 是抛物线2:2(0)C x py p =>上一点，O 为坐标原点，若,A B 是以点(0,10)M 为圆心，||OA 的长为半径的圆与抛物线C 的两个公共点，且ABO ∆为等边三角形，则P 的值是（ ） A ．52 B ．53 C ．56 D ．59,x y 满足约束条件1210,0y x y x x y ≤+⎧⎪≥-⎨⎪≥≥⎩，则目标函数(0,0)z abx y a b =+>>的最大值为11，则a b +的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．861(),0()x xxf xx⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩，则当0x>时，[()]f f x表达式的展开式中常数项为（）A．-20 B．20 C．-15 D．15第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）423401234(12)x a a x a x a x a x-=++++，则113||||||a a a++等于.2:1C x-=，若直线l过C的中心，且与C交于,M N两点，P为曲线C上任意一点，若直线,PM PN的斜率均存在且分别记为,PM PNk k，则PM PNk k•= .(,)P x y的坐标满足20yxy-<-+<⎨⎪≥⎪⎩的取值范围为 .{}na中，11a=，122133232(2)n n nn na a n----=-•+≥，nS是数列1{}nan+的前n项和，当不等式*1(31)()1()3()mnmnS mm NS m++-<∈-恒成立时，mn的所有可能取值为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知函数2()2sin(0)2xf x xωωω=->的最小正周期为3π.（1）求函数()f x在区间3[,]4ππ-上的最大值和最小值；（2）已知,,a b c分别为锐角三角形ABC中角,,A B C的对边，且满足2,()1b f A==，2sinb A=，求ABC∆的面积.18. （本小题满分12分）某城市城镇化改革过程中最近五年居民生活用水量逐年上升，下表是2011年至2015年的统计数据：吨）（1）利用所给数据求年居民生活用水量与年份之间的回归方程y bx a =+；（2）根据改革方案，预计在2020年底城镇改革结束，到时候居民的生活用水量将趋于稳定，预测该城市2023年的居民生活用水量.参考公式：^1221()ni ii nii x y nx yb xn x ==-=-∑∑，^^^a yb x =-.19. （本小题满分12分）如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD DC CB ===，60ABC ∠=，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =. （1）求证：BC ⊥平面ACFE ；（2）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 二面角的平面角为(90)θθ≤，试求cos θ的取值范围.20. （本小题满分12分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为1(2,0)F ，22,0)F ，以椭圆短轴为直径的圆经过点(1,0)M . （1）求椭圆C 的方程；（2）过点M 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，设直线,AN BN 的斜率分别为12,k k ，问12k k +是否为定值？并证明你的结论.21. （本小题满分12分）设1()1xxa f x a +=-（0a >且1a ≠），()g x 是()f x 的反函数.（1）设关于x 的方程2log ()(1)(7)atg x x x =--在区间[2,6]上有实数解，求t 的取值范围；（2）当a e =（e 为自然对数的底数）时，证明：222()2(1)nk n n g k n n =-->+∑；（3）当102a <≤时，试比较1|()|nk f k n =-∑与4的大小，并说明理由.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知AD 是ABC ∆的外角EAC ∠的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交ABC ∆的外接圆于点F ，连接,FB FC .（1）求证：FB FC =；（2）若AB 是ABC ∆外接圆的直径，120EAC ∠=，33BC =，求AD 的长.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为310110x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），以直角坐标系原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹； （2）若直线的极坐标方程为1sin cos θθρ-=，求直线被曲线C 截得的弦长.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数1()||||f x x a x a=+++(0)a >. （1）当2a =时，求不等式()3f x >的解集； （2）证明：1()()4f m f m+-≥.资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除一、选择题CCADC BBCBC BA二、填空题 13. 41 14. 512+ 15. [3,3)- 三、解答题17.（1）∵1cos ()3sin 22sin()126x f x x x ωπωω-=-⨯=+-，∴23ππω=，∴23ω=， ∴2()2sin()136f x x π=+-，∵34x ππ-≤≤，∴253366x πππ-≤+≤，∴32sin()1236x π-≤+≤， 所以当34x π=-时，()f x 取最小值31--；当2x π=时，()f x 取最大值1.由正弦定理得：263a =，∴11266233sin 222343ABC S ab C ∆++==⨯⨯⨯=. 18.（1）解法一：容易算得：2013,260.2x y ==，121()()13()niii nii x x y y b x x ==--==-∑∑，260.2132013a y bx =-=-⨯，故所求的回归直线方程为13260.213201313(2013)260.2y x x =+-⨯=-+解法二：由所给数据可以看出，年需求量与年份之间的是近似值直线上升，为此时数据预处理如下表：对预处理后的数据，容易算得：110n i i x x n ===∑，11 3.2ni i y y n ===∑，12211301310()ni ii nii x y nx yb xn x ==-===-∑∑， 3.2a y bx =-=所求的回归直线方程为257(2013)13(2013) 3.2y b x a x -=-+=-+， 即13(2013)260.2y x =-+.（2）根据题意，该城市2023年的居民生活用水量与该城市2020年的居民生活用水量相当， 当2020x =时，满足（1）中所求的回归直线方程，此时13(2013)260.2351.2y x =-+=（万吨） 19.（1）证明：在梯形ABCD 中，∵//AB CD ，1AD DC CB ===，60ABC ∠=，∴2AB =， ∴2222cos 603AC AB BC AB BC =+-••=， ∴222AB AC BC =+，∴BC AC ⊥， ∴平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE 平面ABCD AC =，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面ACFE .（2）由（1）可建立分别以直线,,CA CB CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示空间直角坐标系，令(03)FM λλ=≤≤，则(0,0,0),(3,0,0),(0,1,0),(,0,1)C A B M λ， ∴(3,1,0),(,1,1)AB BM λ=-=-. 设1(,,)n x y z =为平面MAB 的一个法向量，由1100n AB n BM ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩，得300y x y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，则1(1,3,3)n λ=-， ∵2(1,0,0)n =是平面FCB 的一个法向量，∴1212||cos ||||1n n n n θ•===.∵0λ≤≤，∴当0λ=时，cos θ，当λ=cos θ有最大值12， ∴1cos]2θ∈. 20.（1）由已知得：222c a b =-=，由已知易得||1b OM ==，解得a=C 的方程为2213x y +=. （2）①当直线l 的斜率不存在时，由22113x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1,x y==(1,A B ， 122k k +==. ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，将(1)y k x =-代入2213x y +=整理化简，得2222(31)6330k x k x k +-+-=，依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设1122(,),(,)A x y B x y ，则2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+，又11(1)y k x =-，22(1)y k x =-， 所以12122112121222(2)(3)(2)(3)33(3)(3)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=---- 12211212[2(1)](3)[2(1)](3)93()k x x k x x x x x x ---+---=-++1212121212122()[24()6]93()x x k x x x x x x x x -++-++=-++2212222222336122()[246]3131633933131k k x x k k k k k k k --++⨯-⨯+++=--⨯+++ 2212(21)26(21)k k +==+ 综上得：12k k +为定值2.（说明：若假设直线l 为1x my =+，按相应步骤给分） 21.（1）由题意，得101xy a y -=>+， 故1()log 1a x g x x -=+，(,1)(1,)x ∈-∞-+∞， 由21log log (1)(7)1aa t x x x x -=--+，得2(1)(7)t x x =--，[2,6]x ∈. 则'2318153(1)(5)t x x x x =-+-=---，令'0t >，得25x ≤<，知2(1)(7)t x x =--在区间[2,5)上递增； 令'0t <，得56x <≤，知2(1)(7)t x x =--在区间(5,6]上递减，所以当5t =时，32t =最大值，有当2x =时，5t =；6x =时，25t =，所以5t =最小值， 所以t 的取值范围为[5,32].（2）212311231(1)()ln ln ln lnln()ln345134512nk n n n n g k n n =--+=++++=⨯⨯⨯⨯=-++∑ 令2211()ln 2ln ,0z u z z z z z z z-=--=-+->则'22211()1(1)0u z z z z=-++=-≥，所以()u z 在(0,)+∞上是增函数， 又因为当2n ≥10>>，所以(1)0u u >= 即2ln0(1)n n ->+，即2()nk g k =>∑（3）设11a p =+，则1p ≥，121(1)131a f a p+<==+≤- 当1n =时，2|(1)1|24f p-=≤<，当2n ≥时， 设*2,k k N ≥∈时，则122(1)122()11(1)1(1)1k k k k kk k k p f k p p C p C p C p ++==+=++-+-+++， 所以1224441()111(1)1k k f k C C k k k k <≤+===+-+++ 从而24441()111211n k n f k n n n n n =-<≤-+-=+-<+++∑ 所以1()(1)14n k n f k f n n =<<++≤+∑，综上所述，总有1|()|4nk f k n =-<∑.22.（1）证明：∵AD 平分EAC ∠，∴EAD DAC ∠=∠，因为四边形AFBC 内接于圆，∴DAC FBC ∠=∠，又∵EAD FAB FCB ∠=∠=∠，∴FBC FCB ∠=∠，∴FB FC =.（2）∵AB 是圆的直径，∴90ACD ACB ∠=∠=，∵120EAC ∠=，∴60DAC BAC ∠=∠=，∴30D ∠=，在Rt ACB ∆中，∵BC =，60BAC ∠=，∴3AC=，又在Rt ACD ∆中，30D ∠=，3AC =，∴6AD =.23.（1）∵曲线C 的参数方程为31x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）.∴曲线C 的普通方程为22(3)(1)10x y -+-=.曲线C 表示以(3,1)cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入并化简得：6cos 2sin ρθθ=+， 即曲线C 的极坐标方程为6cos 2sin ρθθ=+.（2）∵直线的直角坐标方程为1y x -=∴圆心C到直线的距离为d == 24.（1）当2a =时，1()|2|||2f x x x =+++，原不等式等价于 21232x x x <-⎧⎪⎨---->⎪⎩或1221232x x x ⎧-≤≤-⎪⎪⎨⎪+-->⎪⎩或121232x x x ⎧>-⎪⎪⎨⎪+++>⎪⎩ 解得：114x <-或φ或14x >. 不等式的解集为111{|}44x x x <->或. （2）11111()()||||||||f m f m a m a m a m m a+-=++++-++-+ 11111||||||||2||m a a m m m a m a m =++-++++-+≥+ 12(||)4||m m =+≥ 当且仅当11m a =±⎧⎨=⎩时等号成立.。
湖南省长郡中学2016-2017学年高一上学期第一次模块检测数学试题Word版含答案
第Ⅰ卷（共45分）一、选择题：本大题共15个小题,每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}21,A x =，则下列说法正确的是（ ） A ．{}1A ∈B ．1A ⊆C ．1A -∉D ．{}A ∅⊆2.下列图形中不能作为函数()y f x =的图象的是（ ）3.下列各组函数中表示同一函数的是（ ） A ．()1f x =，0()g x x =B ．()f x x =，2()x g x x=C ．()f x x =，()g x =D ．()f x x =，()g x =4.设a ，b R ∈，集合{}1,,A a b a =+，0,,b B b a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，若A B =，则b a -=（ ） A ．2B ．1-C ．1D ．2-5.设集合{}||1|2A x x =-<，[]{}|2,0,2xB y y x ==∈，则AB =（ ）A ．(0,3)B ．(1,3)C ．(1,4)D ．[1,3)6.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A ．1y x=B ．3y x x =--C ．3xy -=D ．1y x x=-7.函数y = ）A ．[4,0)(0,1]- B ．[4,0)- C ．(0,1]D ．[]4,1-8.函数||xxa y x =（01a <<）的图象的大致形状是（ ）9.设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22xf x x a =++（a 为常数），则(1)f -等于（ ） A ．3B ．1C ．3-D ．1-10.定义在R 上的()f x 满足：①()()0f x f x --=；②对任意的1x ，2[0,)x ∈+∞（12x x ≠），有2121()()0f x f x x x -<-，则（ ）A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-11.设函数42()f x x x =+，则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1(,1)3B ．1(,)(1,)3-∞+∞C ．11(,)33-D ．11(,)(,)33-∞-+∞ 12.在如图所示的锐角三角形空地（底边长为40m ，高为40m ）中，欲建一个面积不小于2300m 的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x （单位：m ）的取值范围是（ ）A ．[]15,20B ．[]12,25C ．[]10,30D ．[]20,3013.若函数24()43x f x mx mx -=++的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ）A ．3(,)4-∞B ．3[0,)4C ．3(0,)4D ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦14.设[]x 表示不超过x 的最大整数（如[]22=，514⎡⎤=⎢⎥⎣⎦）．对于给定的*n N ∈，定义[][](1)(1)(1)(1)x n n n n x C x x x x --+=--+……，[1,)x ∈+∞，则当3[,3)2x ∈时，函数6xC 的值域是（ ）A ．[]4,25B ．(3,4]C ．25(3,][15,30)3D ．(3,4](5,15] 15.已知函数2()f x x =，若不等式2(2)4()3(1)a f x af x f x ≤++对[1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12a ≤-或32a ≥ B ．1322a -≤≤ C ．3122a -≤≤ Da ≤≤第Ⅱ卷（共55分）二、填空题（每题3分，满分15分，将答案填在答题纸上）16.若(21)f x x +=，则(5)f = ．17.已知集合8|6A x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，则用列举法表示集合A = ． 18.已知()y f x =是定义在区间(1,1)-上的减函数，且(1)(21)f a f a -<-，则a 的取值范围是 ．19.已知2(),0,()1,0,x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为 ． 20.在一次研究性学习中，老师给出函数()1||xf x x =+（x R ∈），四个小组的同学在研究此函数时，讨论交流后分别得到以下四个结果： ①函数()f x 的值域为(1,1)-；②若12x x ≠，则一定有12()()f x f x ≠；③若规定1()()f x f x =，…，1()(())n n f x f f x -=，则()1||n xf x n x =+对任意*n N ∈恒成立；④若实数a ，b 满足(1)()0f a f b -+=，则1a b +=．你认为上述四个结果中正确的序号有 ．（写出所有正确结果的序号）三、解答题 （本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21.（1）求值：162164()201649-++；（2）已知13a a-+=，求22a a --的值．22.已知全集U R =，集合{}2|3100M x x x =-++≥，{}|121N x a x a =+≤≤+． （1）若2a =，求()R M N ð；（2）若MN M =，求实数a 的取值范围．23.已知函数1()4f x x x=+． （1）判断()f x 的奇偶性；（2）写出()f x 的单调地增区间，并用定义证明．24.已知12()2x x nf x m+-+=+是定义在R 上的奇函数．（1）求n ，m 的值；（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围． 25.已知函数2()1f x x =-，()|1|g x a x =-．（1）若关于x 的方程|()|()f x g x =只有一个实数解，求实数a 的取值范围； （2）若a >0，求函数()|()|()h x f x g x =+在区间[]2,2-上的最大值．长郡中学2016—2017学年度高一第一学期第一次模块检测答案一、选择题二、填空题16.2 17.{}2,4,5 18.203（，） 19.[]0,2 20.①②③④三、解答题21.解：（1）原式32723341694=⨯+-⨯+=． （2）∵112122()25a a a a --+=++=，又11220a a-+>，∴1122a a-+=又112122()21a aa a ---=+-=，∴11221a a--=±，1111221112222()()()()()a a a a a a a a a a a a -------=+-=++-=±22.解：（1）2a =时，{}|25M x x =-≤≤，{}|35N x x =≤≤， ∴{}|35R N x x x =<>或ð， ∴{}()|23R MN x x =-≤<ð．综上，2a ≤．23.解：（1）()f x 的定义域为{}|0x x ≠． 又1()(4)()f x x f x x-=-+=-， ∴()f x 为奇函数．（2）()f x 的单调递增区间为1(,)2-∞-，1(,)2+∞． 证明：设1212x x <<，12121211()()44f x f x x x x x -=+--121212()(41)x x x x x x --=， ∵1212x x <<，∴120x x -<，12410x x ->，120x x >， ∴12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <， ∴()f x 在1(,)2+∞上为增函数． 同理，()f x 在1(,)2-∞-上为增函数．24.解：（1）∵()f x 是R 上的奇函数，∴(0)0f =，即102n m-=+，∴1n =． ∴112()2xx f x m+-=+，又(1)(1)0f f +-=，∴11122041m m--+=++，∴2m =． （2）由（1）知11211()22221x x x f x +-==-+++，易知()f x 在R 上为减函数，又()f x 是奇函数，∴22(2)(2)0f t t f t k -+-<等价于222(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-，因()f x 为减函数，由上式推得2222t t k t ->-， 即对一切t R ∈有2320t t k -->， ∴4120k ∆=+<，即13k <-．25.解：（1）由|()|()f x g x =，得2|1||1|x a x -=-， 即|1|(|1|)0x x a -+-=，显然，1x =是该方程的根，从而欲原方程只有一解， 即要求方程|1|x a +=有且仅有一个等于1的解或无解， ∴0a <．（2）∵2()|()|()|1||1|h x f x g x x a x =+=-+-2221,1,1,11,1, 1.x ax a x x ax a x x ax a x ⎧-+-≤-⎪=--++-<<⎨⎪+--≥⎩①当12a>，即2a >时，结合图形可知()h x 在[]2,1-上递减，在[]1,2上递增，且(2)33h a -=+，(2)3h a =+，∵(2)(2)h h ->，∴()h x 在[]2,2-上的最大值为33a +． ②当012a <≤，即02a <≤时，结合图形可知()h x 在[]2,1--，,12a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递减， 在1,2a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，[]1,2上递增，且(2)33h a -=+，(2)3h a =+，2()124a a h a -=++， 经比较，知()h x 在[]2,2-上的最大值为33a +， 即0a >时，()h x 在[]2,2-上的最大值为33a +．。
2017-2018学年湖南省长郡中学高一入学分班考试数学试题(解析版)
湖南省长郡中学2017-2018学年高一入学分班考试数学试题一、选择题1．已知方程组7{13x y ax y a+=---=+的解x 为非正数，y 为非负数，则a 的取值范围是（ ） A. 23a -<≤ B. 23a -≤< C. 23a -<< D. 2a ≤- 【答案】D【解析】由方程组7{ 13x y a x y a +=---=+可解得3{ 28x a y a =-=--，由题设可得30{ 2280a a a -≤⇒≤---≥，应选答案D 。
2．已知226a b ab +=，且0a b >>，则a ba b+-的值为（ ）A.B. C. 2 D. 2±【答案】A【解析】由226a b ab +=可解得3a b -=±，又0a b >>，故(3a b =+，则(4a b b +=+， (2a b b -=+，故a ba b+=-，应选答案A 。
3．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左或向右转，若这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过该十字路口全部继续直行的概率为（ ） A.13 B. 23 C. 19 D. 16【答案】C【解析】由题设每辆汽车的直行的概率是13，因此两辆汽车行驶彼此独立，故两辆汽车经过该十字路口全部继续直行的概率为111339⨯=，应选答案C 。
4．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便，原理是：如对于多项式44x y -，因式分解的结果是()()()22x y x y x y -++，若取9x =， 9y =时，则各个因式的值是： 0x y -=， 18x y +=， 22162x y +=，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式32x xy -，取20x =，10y =时，用上述方法产生的密码不可能是（ ）A. 201010B. 203010C. 301020D. 201030 【答案】A【解析】由于()()32x xy x x y x y -=+-，所以取20x =， 10y =，则30,10x y x y +=-=，所以用上述方法产生的密码可以是203010， 301020， 201030，应选答案A 。
长郡中学高一入学分班考试测试卷 (27)
测试卷27一、选择题1.初三的几位同学拍了一张合影做留念，已知一张底片需要0.08元，洗一张相片需要0.35元，在每位同学得到一张相片、共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不足0.5元，那么参加合影的同学人数（ ）A.至多6人B.至少6人C.至多5人D.至少5人2.已知点I 为△ABC 的内心，∠BIC=130°，则∠BAC 的度数是（ ）A.65°B.75°C.80°D.100°3.如图27-1所示，在平行四边形ABCD 中，AB:AD=3：2，∠ADB=60°，那么A cos 的值等于（ ） A.663- B.6223+ C.663± D.6223± 4.假定有一排蜂房，形状如图27-2所示，一只蜜蜂在左下角，由于受了点伤，只能爬行，不能飞，而且始终向右方（包括右上，右下）爬行，从一间蜂房爬到右边相邻的蜂房中去。
例如，蜜蜂爬到1号蜂房的爬法有：蜜蜂1→号；蜜蜂号，号10→→共有2种不同的爬法。
问蜜蜂从最初位置爬到4号蜂房共有几种不同的爬法（ ）A.7种B.8种C.9种D.10种5.规定“△”为有序实属对的运算，如果（a,b ）△（c,d ）=（ac+bd,ad+bc ）.如果对任意实数a,b 都有（a,b ）△(x,y)=(a,b),则（x,y ）为（ ）A.（0，1）B.（1，0）C.（—1，0）D.（0，—1）6.满足6)3()3(22=-+-y x 的所有实数对（x,y ），使x y 取最大值，此最大值为（ ） A.223+ B.24+C.335+D.35+ 7.适合于02)2(2=++-yx x y 的非负整数对（x,y ）的个数是（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个8.如图27-3所示，在△ABC 中，M 是边AB 的中点，N 是边AC 上的点，且,2=NC AN CM 与BN 相交于点K 。
若△BCK 的面积等于1，则△ABC 的面积等于（ ）A.3B.310 C.313 D.4 二、填空题9.化简：._____________31922=+--m m m 10.人民公园的侧门口有9级台阶，小聪一步只能上1级台阶或2级台阶，小聪发现当台阶数分别为1级、2级、3级、4级、5级、6级、7级······逐渐增加时，上台阶的不同方法的种数依次为1、2、3、5、8、13、21······这就是著名的斐波那契数列。
长郡中学高一入学分班考试测试卷 (24)
测试卷24一、选择题1.如图24-1所示，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别是D 、E 、F ，已知∠A=100°，∠C=30°，则∠DFE 的度数是（ ）A.55°B.60°C.65°D.70°2.已知a 与212-a 互为倒数，则满足条件的实数a 的个数是（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个3.已知整数y x ,满足502=+y x ，那么整数对（x,y ）的个数是（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个4.已知抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴为直线1-=x ，与x 轴的一个交点为（)0,1x ，且101<<x ，下列结论：①;039>+-c b a ②;a b <③;03>+c a ④0>+-c b a 。
其中正确结论的个数是（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个5.函数)0(≠-==m m mx y xm y 与在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）6.已知x,y,z 都是实数，且,1222=++z y x 则zx yz xy m ++=（ ） A.只有最大值 B.只有最小值C.既有最大值又有最小值D.既无最大值又最小值7.直角三角形边长分别为,,,y x x y x +-这里,0>>y x 则x::y 为（ ）A.4：1B.4:3C.3:2 D2:18.已知关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<≥-203b x a x 的整数解有且仅有4个；—1，0，1，2，那么适合这个不等式组的所有可能的整数对（a,b ）的个数有（ ）A.1个B.2个C.4个D.6个二、填空题9如图24-2所示，是一个正方体的平面展开图，当把它折成一个正方体，与空白面相对的字应该是______________.10.观察下面的单项式：4328,4,2,x x x x --······根据你发现的规律，写出第7个式子是________________.11.如图24-3所示，矩形ABCD 中，AB=8，AD=6，将矩形ABCD 在直线l 上按顺时针方向不滑动地每秒转动90 ，转动3次后停止，则顶点A 经过的路线长为____________.12.已知),(),,(),,(333222111y x P y x P y x P 是反比例函数xy 2=的图像上的三点，且,0321x x x <<<则321,,y y y 的大小关系是____________.（用“<”连接）13.若关于x 的方程0)7()72(2=+++-r x r rx 的根是正整数，则整数r 的值可以是___________.14.如图24-4所示，图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成，依此规律，第5个图案中白色正方形的个数为___________.15.如图24-5所示，△ABC 中，AB=AC, ∠A=45°,AC 的垂直平分线分别交AB 、AC 于D 、E 两点，连接CD,如果AD=1，那么tan ∠BCD=___________.16.直角三角形ABC 中，∠A=90°，AB=5cm,AC=4cm ，则∠A 的平分线AD 的长为_____________cm.三、解答题17.（1）小颖为九年级1班毕业联欢会设计了一个“配紫色”的游戏；如图24-6所示是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，游戏者同时转动两个转盘，两个转盘停止转动时，若有一个转盘的指针指向蓝色，另一个转盘的指针指向红色，则“配紫色”成功，游戏者获胜，求游戏者获胜的概率。
长郡中学高一入学分班考试测试卷 (2)
测试卷2一、选择题1.设x 为正整数，若x+1是完全平方数，则它前面的一个完全平方数是（ ）A.xB.12+-x xC.112++-x xD.212++-x x2.某商场五一期间举行优惠销售活动，采取“满一百元送二十元,并且连环赠送”的酬宾方式，即顾客每消费满100元（100元可以是现金，也可以是购物券，或两者合计）就送20元购物券，满200元就送40元购物券，依此类推，现有第一次就用了16000元购物券，并用所得购物券继续购物，那么他购回的商品大约相当于它们原价的（ ）A ．90％ B. 85％ C.80％ D.75％3.横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，函数1236-+=x x y 的图像上整点的个数是（ ）A ．3个 B.4个 C.6个 D.8个4.如图2-1所示,圆柱形开口杯底部固定在长方体水池底,向水池匀速注入水(倒在杯外),水池中水面高度是h ，注水时间为t ，则h 与t 之间的关系大致为以下中的（ ）5.甲、乙、丙、丁四名运动员参加4×100m 接力赛，甲必须为第一接力棒或第四接力棒的运动员，那么这四名运动员在比赛过程中的接棒顺序有（ ）A ．3种 B.4种 C.6种 D.12种6.关于x 的不等式组a x x x x +<+->⎩⎨⎧+3223215只有4个整数解，则a 的取值范围是（ ） A ．3145-≤≤-a B.3145-<≤-a C ．3145-≤<-a D.3145-<<-a 7.已知已知a,b,c 为非零实数，且满足k b c a c b a a c b =+=+=+，则一次函数y=kx+(1+k)的图像一定经过（ ）A ．第一、二、三象限 B.第二、四象限C ．第一象限 D.第二象限8.如图2-2所示，在锐角三角形ABC 中，点D 、E 、F 分别是边BC 、CA 、AB 的中点，从每边中点分别作其余两边的垂线，这六条垂线围成六边形DPEQFR ，设六边形DPEQFR 的面积为1S ，△ABC 的面积为S ，则1S ：S=（ ）A.3:5B.2:3C.1:2D.1:3二、填空题9.设a>b>0,,422ab b a =+则ba b a -+的值等于________________. 10.同时抛掷两枚正方体骰子(六个面上分别标记数字1、2、3、4、5、6)，所得点数之和为7的概率是________________.11.写出直线32--=x y 关于y 轴对称的直线的解析式_______________.12.已知实数x 满足,012)(4)(222=----x x x x 则代数式12+-x x 的值为____________. 13.已知,1≤a 化简______________1239612322=-+--∙+-+-a aa a a a 14.将正偶数按以下排列：第1列 第2列 第3列 第4列第1行 2第2行 4 6第3行 8 10 12第4行 14 16 18 20……根据上面的规律，则2006所在的行、列分别是__________15.已知函数22)2(2a x a x y +++=的图像与x 轴有两个交点，且都在x 轴的负半轴上，则a 的取值范围是______________.16.如图2—3所示，已知梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B=90°，AD=3,BC=5,AB=1,把线段CD 绕点D 逆时针旋转90°到DE 位置，连接AE ，则AE=__________.三、解答题17.甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食，如果从甲库调90袋到乙库，则乙库存粮是甲库的2倍；如果从乙库调若干袋到甲库，则甲库存粮是乙库的6倍。
2017年长沙高中招生考试数学试卷
2017年长沙市初中毕业学业水平考试数学试题（含答案全解全析）第Ⅰ卷(选择题,共36分)一、选择题(在下列各题的四个选项中,只有一项是符合题意的,本大题共12个小题,每小题3分,共36分)1.下列实数中,为有理数的是()A. B.π C. D.12.下列计算正确的是()A.+=B.a+2a=2a2C.x(1+y)=x+xyD.(mn2)2=mn43.据国家旅游局统计,2017年端午小长假全国各大景点共接待游客约为82600000人次,数据82600000用科学记数法表示为()A.0.826×108B.8.26×107C.82.6×106D.8.26×1064.在下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()5.一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3,则这个三角形一定是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形6.下列说法正确的是()A.检测某批次灯泡的使用寿命,适宜用全面调查B.可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生C.数据3,5,4,1,-2的中位数是4D.“367人中至少有2人是同月同日出生”为必然事件7.某几何体的三视图如图所示,则此几何体是()A.长方体B.圆柱C.球D.正三棱柱8.抛物线y=2(x-3)2+4的顶点坐标是()A.(3,4)B.(-3,4)C.(3,-4)D.(2,4)9.如图,已知直线a∥b,直线c分别与a,b相交,∠1=110°,则∠2的度数为()A.60°B.70°C.80°D.110°10.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm,则这个菱形的周长为()A.5cmB.10cmC.14cmD.20cm11.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载:“三百七十八里关,初日健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”其大意是:有人要去某关口,路程为378里,第一天健步行走,从第二天起,由于脚痛,每天走的路程都为前一天的一半,一共走了六天才到达目的地,则此人第六天走的路程为()A.24里B.12里C.6里D.3里12.如图,将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的H重合(H不与端点C,D重合),折痕交AD于点E,交BC于点F,边AB折叠后与边BC交于点G.设正方形ABCD的周长为m,△CHG 的周长为n,则的值为()A. B. C. D.随H点位置的变化而变化第Ⅱ卷(非选择题,共84分)二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)13.分解因式:2a2+4a+2=.14.方程组的解是.15.如图,AB为☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,已知CD=6,EB=1,则☉O的半径为.16.如图,△ABO三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(6,0),O(0,0),以原点O为位似中心,把这个三角形缩小为原来的,可以得到△A'B'O,已知点B'的坐标是(3,0),则点A'的坐标是.17.甲、乙两名同学进行跳高测试,每人10次跳高的平均成绩恰好都是1.6米,方差分别是=1.2,=0.5,则在本次测试中,同学的成绩更稳定(填“甲”或“乙”).18.如图,点M是函数y=x与y=的图象在第一象限内的交点,OM=4,则k的值为.三、解答题(本大题共8个小题,第19、20题每小题6分,第21、22题每小题8分,第23、24题每小题9分,第25、26题每小题10分,共66分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 19.计算:|-3|+(π-2017)0-2sin30°+.20.解不等式组并把它的解集在数21.为了传承中华优秀传统文化,市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动.某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛,赛后对全体参赛学生的成绩进行整理,得到下列不完整的统计图表.请根据所给信息,解答以下问题:(1)表中a=,b=;(2)请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数;(3)已知有四名同学均取得98分的最好成绩,其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学.学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛,请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率.22.为了维护国家主权和海洋权利,海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理.如图,正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方向航行,在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上,继续航行1小时到达B处,此时测得灯塔P在北偏东30°方向上.(1)求∠APB的度数;(2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁,问海监船继续向正东方向航行是否安全?23.如图,AB与☉O相切于点C,OA,OB分别交☉O于点D,E,=.(1)求证:OA=OB;(2)已知AB=4,OA=4,求阴影部分的面积.24.连接湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后,我省与欧洲各国经贸往来日益频繁.某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品,经调查,用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B 型商品的件数的2倍,一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元.(1)求一件A,B型商品的进价分别为多少元;(2)若该欧洲客商购进A,B型商品共250件进行试销,其中A型商品的件数不大于B型的件数,且不小于80件.已知A型商品的售价为240元/件,B型商品的售价为220元/件,且全部售出.设购进A型商品m件,求该客商销售这批商品的利润y(元)与m(件)之间的函数关系式,并写出m的取值范围;(3)在(2)的条件下,欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A型商品,就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元,求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益.25.若三个非零实数x,y,z满足:只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数之和,则称这三个实数x,y,z构成“和谐三数组”.(1)实数1,2,3可以构成“和谐三数组”吗?请说明理由;(2)若M(t,y1),N(t+1,y2),R(t+3,y3)三点均在函数y=(k为常数,k≠0)的图象上,且这三点的纵坐标y1,y2,y3构成“和谐三数组”,求实数t的值;(3)若直线y=2bx+2c(bc≠0)与x轴交于点A(x1,0),与抛物线y=ax2+3bx+3c(a≠0)交于B(x2,y2),C(x3,y3)两点.①求证:A,B,C三点的横坐标x1,x2,x3构成“和谐三数组”;②若a>2b>3c,x2=1,求点P与原点O的距离OP的取值范围.26.如图,抛物线y=mx2-16mx+48m(m>0)与x轴交于A,B两点(点B在点A的左侧),与y轴交于点C,点D是抛物线上的一个动点,且位于第四象限,连接OD,BD,AC,AD,延长AD交y轴于点E.(1)若△OAC为等腰直角三角形,求m的值;(2)若对任意m>0,C,E两点总关于原点对称,求点D的坐标(用含m的式子表示);(3)当点D运动到某一位置时,恰好使得∠ODB=∠OAD,且点D为线段AE的中点,此时对于该抛物线上任意一点P(x0,y0),总有n+≥-4m-12y0-50成立,求实数n的最小值.答案全解全析：一、选择题1.D根据有理数的概念可知选D.2.C和不是同类二次根式,不能合并,故A不正确;a+2a=3a,故B不正确;x(1+y)=x+xy,故C正确;(mn2)2=m2n4,故D不正确.故选C.3.B科学记数法的表示形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数.因此82600000=8.26×107.4.C A中的图形既不是轴对称图形,又不是中心对称图形;B中的图形是轴对称图形,但不是中心对称图形;C中的图形既是轴对称图形,又是中心对称图形;D中的图形不是轴对称图形,但是中心对称图形.故选C.5.B根据三角形的内角和为180°,可知三个角分别为30°、60°、90°,因此这个三角形是直角三角形.故选B.6.D检测某批次灯泡的使用寿命,适宜用抽样调查,故A不正确;可能性是1%的事件在一次试验中可能会发生,只是发生的概率小,并不是不发生,故B不正确;把这组数据从小到大排列为-2,1,3,4,5,最中间的数为3,所以这组数据的中位数为3,故C不正确;“367人中至少有2人是同月同日生”为必然事件,故D正确.故选D.7.B因为俯视图是圆,故可排除A、D,又主视图和左视图都是矩形,可排除C.故选B.8.A根据抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的顶点坐标为(h,k),可知该抛物线的顶点坐标为(3,4).9.B根据两直线平行,同位角相等,且∠2的同位角是∠1的补角,可得∠2=180°-∠1=70°.10.D根据菱形的对角线互相垂直平分,可知OA=3cm,OB=4cm,且OA⊥OB,在Rt△AOB 中,根据勾股定理可得AB=5cm,所以菱形ABCD的边长为5cm,所以菱形ABCD的周长为4×5=20cm.11.C设第一天走了x里,根据题意可得x=378,解得x=192,故第六天走的路程为×192=6里.12.B设正方形ABCD的边长为2a,则正方形的周长为m=8a,设CH=x,DE=y,则DH=2a-x,EH=AE=2a-y,∵∠EHG=90°,∴∠DHE+∠CHG=90°,∵∠DHE+∠DEH=90°,∴∠DEH=∠CHG,又∵∠D=∠C=90°,∴△CHG∽△DEH,∴==,即==,∴CG=,GH=,∴△CHG的周长为CH+CG+HG=,在Rt△DEH中,DH2+DE2=EH2,即(2a-x)2+y2=(2a-y)2,整理得4ax-x2=4ay,∴CH+CG+HG===4a=n.∴=,故选B.二、填空题13.答案2(a+1)2解析2a2+4a+2=2(a2+2a+1)=2(a+1)2.14.答案解析①+②得4x=4,解得x=1,把x=1代入①,得y=0,故方程组的解为15.答案5解析连接OC,设圆O的半径为r,则OE=r-1,根据垂径定理可得CE=3,在Rt△OCE中,由勾股定理可得,CE2+OE2=OC2,即32+(r-1)2=r2,解得r=5.故☉O的半径为5.16.答案(1,2)解析根据位似变换的性质及已知可得,点A'的坐标为(1,2).17.答案乙解析方差反映了一组数据的波动大小,方差越小,波动越小,即数据越稳定,因为<,所以乙同学的成绩更稳定.18.答案4解析过点M作MN⊥x轴于点N,由已知设M的坐标为(x,x)(x>0),则ON=x,MN=x,在Rt△OMN中,ON2+MN2=OM2,即x2+(x)2=42,解得x=2(舍负),故M(2,2),将M的坐标代入y=中,可得k=4.三、解答题19.解析原式=3+1-2×+3=6.20.解析解①得x≥-3,解②得x>2,∴原不等式组的解集为x>2,其解集在数轴上表示如下:21.解析(1)0.3;45.(2)由已知得,B组对应扇形的圆心角为360°×(1-17%-45%-8%)=108°.(3)记其他两位同学为丙,丁,用列表法分析如下:由表格可知共有12种等可能的情况,其中甲、乙两名同学都被选中的情况有2种,∴甲、乙两名同学都被选中的概率P==.22.解析(1)如图,过点B作BC⊥AB,交AP于点C,过点A作AD∥BC,则∠ACB=∠CAD=60°,∴∠APB=∠ACB-∠CBP=60°-30°=30°.(2)解法一:过点P作PE⊥AB于点E,依题意知AB=50海里,设PE=x海里,则BE=x海里,易知∠APE=∠DAP=60°,在Rt△APE中,∵tan∠APE=,∴tan60°=,解得x=25.∵25>25,∴海监船继续向正东方向航行是安全的.解法二:过点P作PE⊥AB于点E,由(1)知∠APB=30°,∵∠PAD=60°,∴∠PAB=30°,∴∠APB=∠PAB,∴PB=AB=50海里.在Rt△PBE中,sin∠PBE=,∴PE=PB·sin60°=25海里.∵25>25,∴海监船继续向正东方向航行是安全的.23.解析(1)证明:如图,连接OC,则OC⊥AB,∵=,∴∠AOC=∠BOC.在△AOC与△BOC中,∴△AOC≌△BOC(ASA),∴OA=OB.(2)由(1)知AC=BC=AB=2,在Rt△AOC中,OC===2=OA,∴∠OAC=30°,∴∠COE=∠AOC=60°,∴S阴影=S△OBC-S扇形OCE=×2×2-=2-π.24.解析(1)设一件B型商品的进价是x元,则一件A型商品的进价是(x+10)元.由题意得,=2×,解得x=150,经检验,x=150是分式方程的解,且符合题意.150+10=160(元).∴一件B型商品的进价是150元,一件A型商品的进价是160元.(2)购进A型商品m件,则购进B型商品(250-m)件,依题意得解得80≤m≤125,∴y=(240-160)m+(220-150)(250-m)=10m+17500(80≤m≤125).(3)依题意得y=10m+17500-am=(10-a)m+17500(80≤m≤125).①若a≥10,则当m=80时,y取得最大值,最大值为18300-80a;②若0<a<10,则当m=125时,y取得最大值,最大值为18750-125a.25.解析(1)不可以.∵1>>,1≠+,∴1,2,3不可以构成“和谐三数组”.(2)由已知得,y1=,y2=,y3=,∴=,=,=.i)若=+,则=+,解得t=-4.ii)若=+,则=+,解得t=-2;iii)若=+,则=+,解得t=2;综上所述,t的值为-4,-2,2.(3)①证明:由2bx1+2c=0,解得x1=-,由得ax2+3bx+3c=2bx+2c,∴ax2+bx+c=0,由韦达定理可知x2+x3=-,x2x3=,∴+==-=,∴x1,x2,x3构成“和谐三数组”.②∵x2=1,∴a+b+c=0,∴b=-a-c,又∵a>2b>3c,∴a>-2(a+c)>3c,∴-a<c<-a.由a+b+c=0和a>2b>3c,可知a>0.∵bc≠0,∴b≠0且c≠0,∴a+c=-b≠0,即a≠-c,∴-<<-且≠-1或0,则OP2===2+2×+1=2+,∴≤OP2<,∴≤OP<且OP≠1.26.解析(1)由已知得,y=m(x2-16x+48)=m(x-12)(x-4),令y=0,解得x1=12,x2=4,∴A(12,0),B(4,0).∵OA⊥OC,△OAC为等腰直角三角形,∴OA=OC,∴点C的坐标为(0,12),∴48m=12,解得m=.(2)由题意知,点E的坐标为(0,-48m),故设直线AE的表达式为y=kx-48m(k≠0),把(12,0)代入,得k=4m,∴直线AE的表达式为y=4mx-48m,由整理得mx2-20mx+96m=0,∵m>0,∴x2-20x+96=0,解得x1=8,x2=12,当x=8时,y=32m-48m=-16m,∴点D的坐标为(8,-16m).(3)∵∠BOD=∠DOA,∠ODB=∠OAD,∴△BOD∽△DOA,∴=,∴OD2=OA·OB=4×12=48,∴OD=4,如图,过点D作DF⊥x轴于点F.∵D为Rt△OAE斜边AE上的中点,A(12,0),∴点D的横坐标为6,即OF=6,在Rt△ODF中,DF===2,∴点D的坐标为(6,-2),将其代入抛物线的表达式,得m=,∴y=x2-x+8=(x-8)2-≥-,又∵n+≥-4m-12y0-50=-2(y0+3)2+4,∴n≥-2(y0+3)2+,又∵y0≥-,∴n≥-2+=,∴实数n的最小值为.。
长郡中学高一入学分班考试测试卷 (17)
测试卷17一、选择题1.在)0(>=k x k y 在图像上有三点);,(),((A ),(333222111y x A y x y x A 、、已知.0321x x x <<<则下列各式中，正确的是（ ）A.310y y <<B.130y y <<C.312y y y <<D.213y y y <<2.如图17-1所示，图像反映的进程是：小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一阵后，又走到书店去买书，然后走回家，其中t 表示时间，s 表示小明离家的距离，则小明锻炼和买书共用去的时间为（ ）A.35分钟B.45分钟 C 。
50分钟 D.60分钟3设方程20051=+x x 的两根为a 、b ，则代数式)1()1(3b b a --的值是（ ） A ．2004 B.2005 C.2006 D.20074.若P （1，1）、A(2,—4)、B （x,—9）三点共线，则x=（ ）A ．—1 B.3 C.29 D.5 5.在ABCD 中，E 为AB 中点，F 为BD 上一点，且DF=2FB ，则（ ）A.E 、F 、C 三点在一条直线上B.E 、F 、C 三点不在一条直线上C.直线EF 与直线AC 的交点在线段AC 上D.以上答案均不对6.如图17-2所示，秋千拉绳长3m ，静止时踩板离地面0.5m ，某小朋友荡秋千时，秋千在最高处踩板离地面2m （左右对称），则该秋千荡进的圆弧长为（ ）A.m πB.m π2C.m π34 D.m 34 7.若222222103225),0(072,0634z y x z y x xyz z y z z y x ---+≠=-+=--则代数式的值等于（ ）A.21-B.219- C.15- D.13- 8.如图17-3所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形，那么54⨯个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形图案个数是（ ）A.16个B.32个C.48个D.64个二、填空题9.有理数c b a ,,在数轴上的位置如图17-4所示，若,11c c a b b a m ------+=则1000m=_____________.10.如图17-5所示，在矩形ABCD 中，DC=5cm ，在DC 上存在一点E ，沿直线AE 把△AED 折叠，使点D 恰好落在BC 边上，设此点位F ，若△ABF 的面积为30cm ²,那么折叠的△AED的面积为_____________.11.已知二次函数图像与x 轴两交点间的距离是8个单位，且顶点为M(1,16)，则抛物线的解析式为_______________.12.如图17-6所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，53sin =B ，点D 在BC 边上，且∠ADC=45°，DC=6，则._______________tan =∠BAD 13.已知直角三角形的两直角边长分别为3cm 和4cm ，那么以直角边为直径的两圆公共弦长为_____________cm.14．从两副拿掉大、小王的扑克牌中，各抽取一张、两张牌，一张是红桃另一张为黑桃的概率是_____________.15.设x,y 为正实数，且xy=1，当x=___________时，44411yx z +=的最小值为____________. 16.如图17-7所示，O 是等边△ABC 一边的中点，也是等边△111C B A 一边的中点，则___________:11=BB AA .三、解答题17.如图17-8所示，AB ⊥BC,DC ⊥BC 垂足分别为B 、C.（1）当AB=4，DC=1，BC=4时，在线段BC 上是否存在点P ，使AP ⊥PD?（2）设AB=a ，DC=b,AD=c ，那么当当a,b,c 之间满足什么关系时，在直线BC 上存在点P ，使AP ⊥PD ？18.如图17-9所示，已知m x m x y ----=1)1(22的图像与x 轴交于A()0,1x ，B （)0,2x ，210x x <<，与y 轴交于C ，且满足.211COOB AO =- (1))求这个二次函数的解析式. （2）是否存在着直线b kx y +=与抛物线交于点P 、Q ，使y 轴平分△CPQ 的面积？若存在，求出k、b应满足的条件；若不存在，请说明理由你。
2017届湖南长沙长郡中学高三入学考试数学(文)试题(解析版)
2017届湖南长沙长郡中学高三入学考试数学（文）试题一、选择题1．设全集{|1}U x x =>，集合{|2}A x x =>，则U C A =（ ） A ．{|12}x x <≤ B ．{|12}x x << C ．{|2}x x > D ．{|2}x x ≤ 【答案】A【解析】试题分析：{|12}U C A x x =<≤,故选A. 【考点】集合的运算.2．设i 是虚数单位，则复数25()2i i-+=+（ ） A ．22i - B ．1i - C ．3i - D ．115i -【答案】B【解析】试题分析：255(2)()11212(2)(2)i i i i i i i --+=-+=-+-=-++-,故选B. 【考点】复数的运算. 3．已知(cos,sin )66a ππ=，55(cos ,sin )66b ππ=，则||a b -=（ ） A ．1 B．2．2【答案】C【解析】试题分析：因为55(coscos,sin sin )6666a b ππππ-=--=，所以||3a b -=，故选C.【考点】向量的坐标运算.4．分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，依次记为m 和n ，则m n >的概率为（ ） A ．710 B ．310 C ．35 D ．25【答案】A【解析】试题分析：分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，依次记为m 和n ，则点(,)P m n 构成的平面区域为一矩形ABCD ，在矩形内且m n >的区域为梯形ABCE ，如下图所示，所以所求概率21721510ABCE ABCDS P S ===梯形矩形，故选A.【考点】几何概型.5．在如图所示的算法流程图中，输出S 的值为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．15 【答案】D【解析】试题分析：此程序框图所表示的算法功能为1234515S =++++=，故选D.【考点】程序框图. 6．将函数cos(3)3y x π=+的图象向左平移18π个单位后，得到的图象可能为（ ）【答案】D.【解析】试题分析：将函数cos(3)3y x π=+的图象向左平移18π个单位后，得到的函数解析式为cos[3()]cos(3)sin 31832y x x x πππ=++=+=-，故选D. 【考点】1.图象的平移变换；2.三角函数的图象与性质.7．某棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该棱锥的体积等于（ ）A ．310cmB ．320cmC ．330cmD ．340cm【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为如下图所示的四棱锥P ABCD -，所以其体积1543203V =⨯⨯⨯=，故选B. B【考点】1.三视图；2.多面体的体积. 8．已知点(1,2)-和3(3在直线:10l ax y -+=(0)a ≠的同侧，则直线l 倾斜角的取值范围是（ ） A ．(,)43ππB ．3(0,)(,)34πππC ．35(,)46ππD ．23(,)34ππ【答案】D【解析】试题分析：因为点(1,2)-和33在直线:10l ax y -+=(0)a ≠的同侧, 所以3(21)(01)03a a --+-+>，即(1)(3)0a a ++<，所以31a <<-，又直线l 的斜率k a =，即31k <<-，所以倾斜角的范围为23(,)34ππ，故选D. 【考点】1.直线的倾斜角与斜率；2.线性规划.9．若不等式组101012x yx yy⎧⎪+-≤⎪-+≥⎨⎪⎪+≥⎩表示的区域Ω，不等式2211()24x y-+≤表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻约为（）A．114 B．10 C．150 D．50【答案】A【解析】试题分析：在坐标系内作出可行域如下图所示，其中芝麻落在区域Γ内的概率为23111132422221336322Pππ⎛⎫⨯⨯+⨯⨯⎪+⎝⎭==⨯⨯，所以落在区域Γ中芝麻约为3236011436π+⨯≈,故选A.【考点】1.线性规划；2.几何概型.【名师点睛】本题考查几何概型与线性规划，属中档题.概率问题是高考的必考见容，概率问题通常分为古典概型与几何概型两种，几何概型求概率是通过线段的长度比或区域的面积比、几何体的体积比求解的，本题是用的区域的面积比，但求面积是通过线性规划相关知识来完成的，把线性规划与几何概型有机的结合在一起是本题的亮点.10．已知双曲线22122:1(0,0)x yC a ba b-=>>的右焦点F也是抛物线22:2(0)C y px p=>的焦点，1C与2C的一个交点为P，若PF x⊥轴，则双曲线1C 的离心率为（）A21 B2 C21 D31【答案】A【解析】试题分析：由题意可知22,22p bc pa==，所以224bca=，即222c a ac-=，所以2210e e --=，解之得1e =，故选A.【考点】1.双曲线的标准方程与几何性质；2.抛物线的标准方程与几何性质. 11．已知函数22()()()n n f n n n ⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数为偶数且()(1)n a f n f n =++，则12350a a a a ++++=（ ）A ．50B ．60C ．70D ．80【答案】A【解析】试题分析：由题意可知221123a =-=-，222235a =-+=，223347a =-=-，224459a =-+=，4950,99,101a a =-=，所以1235012344950()()()25250a a a a a a a a a a ++++=+++++=⨯=，故选A.【考点】1.数列的表示；2.数列求和.【名师点睛】本题考查数列的表示以及数列求和，属中档题；数列求和问题是高考常考内容之一，数列求和的主要方法有：1.公式法；2.分组求和法；3.倒序相加法；4.错位相减法；5.裂项相消法.其中错位相减法与裂项相消法是考试的重点内容，本题主要采用的是分组求和法. 12．若函数()()bf x x b R x=+∈的导函数在区间(1,2)上有零点，则()f x 在下列区间上单调递增的是（ ）A ．(,1]-∞-B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(2,)+∞ 【答案】D【解析】试题分析：函数()()bf x x b R x=+∈的导函数在区间(1,2)上有零点,由22()10b x bf x x x-'=-==得2x b =，所以1b <<且函数()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，所以函数()f x 在区间(2,)+∞上单调递增，故选D. 【考点】1.导数与函数的单调性；2.函数与方程【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性、函数与方程，属中档题；导数与函数的单调性是高考的必考内容，也是难点，导数与单调性关系：()0()f x f x '>⇒单调递增，()0()f x f x '<⇒单调递减；反之，当()f x 在某个区间上单调递增()0f x '⇒≥，当()f x 在某个区间上单调递减()0f x '⇒≤.二、填空题13．已知()ln 1,(0,)f x ax x x =+∈+∞()a R ∈，'()f x 为()f x 的导函数，'(1)2f =，则a = . 【答案】2【解析】试题分析：因为1()ln (ln 1)f x a x ax a x x'=+⨯=+,所以(1)(ln11)2f a a '=+==.【考点】导数的运算.14．若,x y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =+的最大值为 .【答案】4【解析】试题分析：在坐标系内作出可行域如下图所示的三角形区域，由图可知，目标函数3z x y =+取得最大值时的最优解为(1,1)B ，此时max 3114z =⨯+=.【考点】线性规划.15．抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，其准线与双曲线221x y -=相交于,A B 两点，若ABF ∆为等边三角形，则p = . 【答案】3【解析】试题分析：抛物线22(0)x py p =>的焦点为(,0)2p F ,准线方程为2p x =-，与双曲线221x y -=的交点为2244((,)22p p p pA B ----，又若ABF ∆为等边三角形，所以224043222AF p p k p p --===--，解之得：23p = 【考点】1.抛物线的标准方程与几何性质；2.双曲线的标准方程与几何性质.【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质与双曲线的标准方程与几何性质，属中档题；高考对圆锥曲线的考查主要是考查定义、标准方程、几何性质，小题和大题中均有.本题主要考查双曲线与抛物线的对称性的应用.16．若定义在区间D 上的函数()y f x =满足：对,x D M R ∀∈∃∈，使得|()|f x M ≤恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上有界，则下列函数中有界的是 .①sin y x =；②1y x x=+；③tan y x =；④x xxxe e y e e ---=+；⑤321(44)y x ax bx x =+++-≤≤，其中,a b R ∈.【答案】①④⑤【解析】试题分析：因为sin 1x ≤，所以sin y x =为有界函数；12x x+≥，无上界，所以②不是有界函数；tan y x =的值域为(,)-∞+∞，是无界函数；22212111x x x x x x x e e e y e e e e ----===-+++,因为22021x e <<+，所以221111x e -<-<+，即1y <，所以x xx x e e y e e---=+是有界函数；对于⑤，函数321y x ax bx =+++ 为实数上连续函数，所以在区间[4,4]-上一定有最大值和最小值，所以是有界函数，故应填①④⑤.【考点】1.新定义问题；2.值域及求法.【名师点睛】本题主要考查新定义问题、值域及求法.函数值域的求解是难点，主要方法有：配方法、单调性法、数形结合法、换元法、基本不等式法、导数法、利用已知函数的有界性法等方法. 三、解答题17．已知函数2()2sin cos cos sin sin (0)2f x x x x ϕϕϕπ=+-<<在x π=处取最小值.（1）求ϕ的值；（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，已知1,()a b f A ===，求角C . 【答案】（1）2π；（2）712π或12π 【解析】试题分析：（1）利用三角恒等变换公式化简函数解析式得()sin()f x x ϕ=+，由在x π=处取最小值及0ϕπ<<查求得2πϕ=；（2）由()f A =可得6A π=，再由正弦定理求出sin B ，从而求出角B 的值，即可求角C . 试题解析：（1）1cos ()2sin cos sin sin 2f x x x x ϕϕ+=•+-sin sin cos cos sin sin x x x x ϕϕ=++- sin cos cos sin sin()x x x ϕϕϕ=+=+因为函数()f x 在x π=处取最小值，所以sin()1πϕ+=-， 由诱导公式知sin 1ϕ=，因为0ϕπ<<，所以2πϕ=.所以()sin()cos 2f x x x π=+=.（2）因为3()f A =，所以3cos A =，因为角A 为ABC ∆的内角，所以6A π=. 又因为1,2a b ==，所以由正弦定理，得sin sin a bA B=， 也就是sin 12sin 222b A B a ==⨯=， 因为b a >，所以4B π=或34B π=.当4B π=时，76412C ππππ=--=；当34B π=时，36412C ππππ=--=.【考点】1.三角恒等变换；2.正弦定理；3.三角函数的图象与性质.【名师点睛】本题考查三角恒等变换、正弦定理、三角函数的图象与性质，属中档题.在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面BCP ，//CD AB ，2AB BC CP BP ====，1CD =.（1）求点B 到平面DCP 的距离； （2）点M 为线段AB 上一点（含端点），设直线MP 与平面DCP 所成角为α，求sin α的取值范围.【答案】（13；（2）63]【解析】试题分析：（1） 要求点B 到平面DCP 的距离,只要能过点B 作出平面DCP 的垂线即可，由题意可知CD ⊥平面CPB ，所以CD ⊥平面CPB 内的任意一条直线，因此只要在平面CPB 内过点B 作BF PC ⊥即可得到BF ⊥平面DCP ，求出BF 的长即可；（2）由（1）可知点M 到平面DCP 的距离即点B 到平面DCP 的距离,所以sin BF MP α=，即只要求出BFMP的取值范围即可. 试题解析：（1）过点B 作BF PC ⊥，由平面DCP ⊥平面BCP 可知，BF 即点B 到面DCP 的距离，在正PBC ∆中，3BF =，即点B 到平面DCP 的距离为3.（2）∵//CD AB ，所以点M 到平面DCP 的距离即点B 到平面DCP 的距离， 而[2,22]MP ∈，所以63sin [,]42BF MP α=∈. 【考点】1.线面垂直的判定与性质；2.直线与平面所成的角.【名师点睛】本题考查线面垂直的判定与性质、直线与平面所成的角，属中档题；文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.19．某校对高一年级学生寒假参加社区服务的次数进行了统计，随机抽取了M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下：（1）求表中,n p 的值和频率分布直方图中a 的值，并根据频率分布直方图估计该校高一学生寒假参加社区服务次数的中位数；（2）如果用分层抽样的方法从样本服务次数在[10,15)和[25,30)的人中共抽取6人，再从这6人中选2人，求2人服务次数都在[10,15)的概率. 【答案】（1）0.625,0.075n p ==,0.125a =，中位数为17；（2）23【解析】试题分析：（1）由第一组内频数为20，频率为0.25可求出总人数为20800.25M ==，由此可求出第二组的频率为500.62580n ==，并可求频率直方图中0.1255na ==，由频率之和为1可求出p ，频率分布直方图求出面积的一半处求出中位数即可；（2）分分层抽样的原则先求出共抽取6人时在[10,15)和[25,30)的人数，再列出所有基本事件，可求2人服务次数都在[10,15)的概率. 试题解析：（1）因200.25M ÷=，所以80M =，所以500.62580n ==， 310.250.6250.050.07540p =---==， 10.12558n a ===. 中位数位于区间[15,20)，设中位数为(15)x +，则0.1250.25x =，所以2x =，所以学生参加社区服务区次数的中位数为17次. （2）由题意知样本服务次数在[10,15)有20人，样本服务次数在[25,30)有4人， 如果用分层抽样的方法从样本服务次数在[10,15)和[25,30)的人中共抽取6人，则抽取的服务次数在[10,15)和[25,30)的人数分别为：206524⨯=和46124⨯=. 记服务次数在[10,15)为12345,,,,a a a a a ，在[25,30)的为b . 从已抽取的6人任选两人的所有可能为：121314151232425234(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a a a b a a a a a a a b a a 3534545(,),(,),(,),(,),(,),a a a b a a a b a b 共15种，设“2人服务次数都在[10,15)”为事件A ，则事件A 包括1213141523242534(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a a a a a a a a a a 3545(,),(,)a a a a共10种， 所有102()153P A ==. 【考点】1.频率分布表；2.频率分布直方图；3.古典概型.20．已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>上的左、右顶点分别为,A B ，1F 为左焦点，且1||2AF =，又椭圆C 过点(0,. （1）求椭圆C 的方程；（2）点P 和Q 分别在椭圆C 和圆2216x y +=上（点,A B 除外），设直线,PB QB 的斜率分别为12,k k ，若1234k k =，证明：,,A P Q 三点共线.【答案】（1）2211612x y +=；（2）见解析 【解析】试题分析：（1）1||2AF a c ==-,由椭圆C过点(0,可得b =，由椭圆中,,a b c 关系求出,,a b c 的值即可；（2）由（1）知，(4,0),(4,0)A B -，设1122(,),(,)P x y Q x y ，由此可得2111121114416PA y y y k k x x x •=•=+--，又因为22113124y x =-，1234k k =，由此可得21PA k k •=-，同理可得21QA k k •=-，所以PA QA k k =，即可证,,A P Q 三点共线.试题解析：（1）由已知可得2,a c b -==，又22212b a c =-=，解得4a =，故所求椭圆C 的方程为2211612x y +=. （2）由（1）知，(4,0),(4,0)A B -，设1122(,),(,)P x y Q x y ，所以2111121114416PA y y y k k x x x •=•=+--，因为11(,)P x y 在椭圆C 上， 所以221111612x y +=，即22113124y x =-，所以2112131234164PA x k k x -•==--. 又因为1234k k =，所以21PA k k •=-.（a ） 由已知点22(,)Q x y 在圆2216x y +=上，AB 为圆的直径，所以QA QB ⊥，所以21QA k k •=-（b ）由（a ）（b ）可得PA QA k k =，因为直线,PA QA 有共同点A ， 所以,,A P Q 三点共线.【考点】1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系. 21．已知函数()ln f x x x =.（1）求函数()y f x =的单调区间和最小值； （2）若函数()()f x a F x x -=在[1,]e 上的最小值为32，求a 的值； （3）若k Z ∈，且()(1)0f x x k x +-->对任意1x >恒成立，求k 的最大值.【答案】（1）()f x 的单调递增区间为1[,)e +∞，单调减区间为1(0,]e ,min 1()f x e=-.（2）a =（3）3【解析】试题分析：（1）求导'()ln 1(0)f x x x =+>，解不等式'()0f x ≥与'()0f x ≤可得函数()f x 的单调区间；（2）求函数()ln a F x x x =-的导数'2()x aF x x +=，分0a ≥与0a <讨论函数()ln a F x x x =-在区间[1,]e 的单调性与最小值，由min 3()2f x =求之即可；（3）由题意分离参数得ln 1x x xk x +<-对任意1x >恒成立，构造函数ln ()1x x x h x x +=-，求导'2ln 2()(1)x x h x x --=-，'2ln 2()(1)x x h x x --=-的符号由分子()ln 2(1)x x x x ϕ=-->确定，且函数()x ϕ在(1,)+∞上单调递增，所以方程()0x ϕ=在(1,)+∞上存在唯一的实根0x ，且0(3,4)x ∈,由此可知函数()h x 在0(1,)x 上递减，在0(,)x +∞上单调递增,所以min 0()k g x x <=，可证结论成立.试题解析：（1）因为'()ln 1(0)f x x x =+>，令'()0f x ≥，即1ln 1ln x e -≥-=，所以1x e≥， 同理，令'()0f x ≤，可得1(0,]x e∈，所以()f x 的单调递增区间为1[,)e+∞，单调减区间为1(0,]e.所以min 1111()()ln f x f ee e e ===-. （2）()ln a F x x x =-，'2()x aF x x +=，Ⅰ．当0a ≥时，'()0F x >，()F x 在[1,]e 上单调递增，min 3()(1)2F x F a ==-=，所以3[0,)2a =-∉+∞，舍去. Ⅱ．当0a <时，()F x 在(0,)a -上单调递减，在(,)a -+∞上单调递增， ①若(1,0)a ∈-，()F x 在[1,]e 上单调递增，min 3()(1)2F x F a ==-=，所以3[0,)2a =-∉+∞，舍去，②若[,1]a e ∈--，()F x 在[1,]a -上单调递减，在[,]a e -上单调递增，所以min 3()(1)ln()2F x F a a ==-+=，解得[,1]a e =--.③若(,)a e ∈-∞-，()F x 在[1,]e 上单调递减，min 3()()12a F xF e e ==-=，所以(,)2ea e =-∉-∞-，舍去，综上所述，a e =-.（3）由题意得：(1)ln k x x x x -<+对任意1x >恒成立，即ln 1x x xk x +<-对任意1x >恒成立. 令ln ()1x x x h x x +=-，则'2ln 2()(1)x x h x x --=-，令()ln 2(1)x x x x ϕ=-->，则'11()10x x x xϕ-=-=>， 所以函数()x ϕ在(1,)+∞上单调递增，因为方程()0x ϕ=在(1,)+∞上存在唯一的实根0x ，且0(3,4)x ∈，当01x x <<时，()0x ϕ<，即'()0h x <，当0x x >时，()0x ϕ>，即'()0h x >.所以函数()h x 在0(1,)x 上递减，在0(,)x +∞上单调递增. 所以0000min 0000(1ln )(12)()()(3,4)11x x x x h x h x x x x ++-====∈--所以min 0()k g x x <=，又因为0(3,4)x ∈，故整数k 的最大值为3.【考点】1.导数与函数的单调性、最值；2.函数与不等式.【名师点睛】本题主要考查导数与函数的单调性、最值；函数与不等式,属难题.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.22．如图，圆周角BAC ∠的平分线与圆交于点D ，过点D 的切线与弦AC 的延长线交于点E ，AD 交BC 于点F .（1）求证：//BC DE ；（2）若,,,D E C F 四点共圆，且AC BC =，求BAC ∠. 【答案】（1）见解析；（2）27π【解析】试题分析：（1）要证//BC DE ，只要证EDC DCB ∠=∠即可，由弦切角和圆周角关系可得EDC DAC ∠=∠，由角平分线性质得EDC DAC ∠=∠，又同弧上的圆周角相等，所以DAB DCB ∠=∠，即可证得EDC DCB ∠=∠；（2）由,,,D E C F 四点共圆及（1）得CFA ACF ∠=∠，设DAC DAB x ∠=∠=，在等腰三角形ACF 中，列出方程7CFA ACF CAF x π=∠+∠+∠=，解之即可. 试题解析： （1）∵BAC ∠的平分线与圆交于点D ∴EDC DAC ∠=∠，DAC DAB ∠=∠，∵BD BD =，∴DAB DCB ∠=∠，∴EDC DCB ∠=∠， ∴//BC DE .（2）因为,,,D E C F 四点共圆，所以CFA CED ∠=∠， 由（1）知，ACF CED ∠=∠， 所以CFA ACF ∠=∠. 设DAC DAB x ∠=∠=，因为AC BC =，所以2CBA BAC x ∠=∠=， 所以3CFA FBA FAB x ∠=∠+∠=，在等腰三角形ACF 中，7CFA ACF CAF x π=∠+∠+∠=， 则7xπ=，所以227BAC x π∠==.【考点】1.圆的性质；2.等腰三角形性质；3.圆内接四边形性质.23．已知直线112:3x t l y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线1cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）设l 与1C 相交于,A B 两点，求||AB ；（2）若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的123倍，得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值.【答案】（1）1;（2621)【解析】试题分析：（1）将直线与圆的参数方程化为普通方程，求出交点坐标，即可求AB ；（2）先由伸缩与平移变换规律求出曲线2C 的参数方程，交用参数表示点P 的坐标，用参数θ表示点P到直线l的距离|cos 22)2]24d θθπθ-==-+，即可求最小值.试题解析：（1）直线l的普通方程为1)y x =-，1C 的普通方程为221x y +=，联立方程组221)1y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 解得l 与1C的交点为1(1,0),(,2A B ，则||1AB =. （2）曲线2C为1cos 2x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（θ为参数），故点P的坐标是1(cos ,)22θθ，从而点P 到直线l的距离是|22)2]244d θθπθ==-+，由此当sin()14πθ-=-时，d1). 【考点】1.参数方程与普通方程的互化；2.椭圆参数方程的应用. 24．设函数()|2|2f x x a a =-+.（1）若不等式()6f x ≤的解集为{|64}x x -≤≤，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若不等式2()(1)5f x k x ≤--的解集非空，求实数k 的取值范围.【答案】（1）2-;（2）{|0}k k k k ><=. 【解析】试题分析：（1）|2|62x a a -≤-333322a x a ⇔-≤≤-,由3362a -=-可求出a ；（2）由（1）2()(1)5f x k x ≤--可转化为2|22|1(1)x k x ++≤-，作出函数23,1()|22|121,1x x g x x x x +≥-⎧=++=⎨--<-⎩的图象，数形结合可求k 的范围. 试题解析：（1）|2|62x a a -≤-，∴26262a x a a -≤-≤-，∴333322a x a -≤≤- 3362a -=-，2a =-. （2）由（1）知，2|22|1(1)x k x ++≤-，23,1()|22|121,1x x g x x x x +≥-⎧=++=⎨--<-⎩，()g x 的图象如图：要使解集非空，212k ->或211k -≤-， ∴{|330}k k k k ><=或或.【考点】1.含绝对值不等式的解法；2.分段函数的表示及应用.（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。
长郡中学高一入学分班考试测试卷 (11)
测试卷11一、选择题1.要使关于x 的二次方程0)1(222=++-m m x mx 的两实根的倒数之和等于m ，这样的实数值m 的个数为（ ）A.0个B.1个C.2个D.4个2.小丽制作了一个如图11-1所示的正方体礼品盒，其对面图案都相同，那么这个正方体的平面展开图可能是（ ）3.如图11-2，一块含有30°角的直角三角形ABC ，在水平桌面上绕点C 按顺时针方向旋转到'''C B A 的位置。
若BC 的长为15cm ，那么顶点A 从开始到结束所经过的路径长为（ ）A.cm π10B.cm π310C.cm π15D.cm π204.如果两圆的半径分别为R,r ，圆心距为d ，当R>r ，且Rd r R d 2222=-+时，两圆的位置关系是（ ）A.内切B.外切C.相交或外离D.外切或内切5.若的值等于（则代数式222222103225),0(072.0634zy x z y x xyz z y x z y x ---+≠=-+=-- ） A.21- B.219- C.15- D.13- 6.如图11-3所示，已知等腰△ABC 中，顶角∠A=36°，BD 为∠ABC 的平分线，则DC AD 的值等于（ ） A.21 B.215- C.1 D.215+ 7.内角的度数为整数的正n 边形的个数是（ ）A.24个B.22个C.20个D.18个8.一个自然数a 的算术平方根为x ，那么a+1的立方根是（ ） A.31+±a B.32)1(+x C.321+x D.321+±x二、填空题9.如图11-4所示，A 、B 是圆的直径的两端，小李在A 点，小王在B 点同时出发相向而行，他们在C 点第一次相遇，C 点离A 点80m ；两人速度均保持不变，继续前行，在D 点第二次相遇，D 点离B 点60m ，这个圆的周长为____________m 。
2017届湖南长沙长郡中学高三入学考试数学(文)试题(解析版)
2017届湖南长沙长郡中学高三入学考试数学（文）试题一、选择题1．设全集{|1}U x x =>，集合{|2}A x x =>，则U C A =（ ） A ．{|12}x x <≤ B ．{|12}x x << C ．{|2}x x > D ．{|2}x x ≤ 【答案】A【解析】试题分析：{|12}U C A x x =<≤,故选A. 【考点】集合的运算.2．设i 是虚数单位，则复数25()2i i-+=+（ ） A ．22i - B ．1i - C ．3i - D ．115i -【答案】B【解析】试题分析：255(2)()11212(2)(2)i i i i i i i --+=-+=-+-=-++-,故选B. 【考点】复数的运算.3．已知(cos ,sin )66a ππ=r ，55(cos ,sin )66b ππ=r ，则||a b -=r r （ ）A ．1 B．2．2【答案】C【解析】试题分析：因为55(cos cos ,sin sin )6666a b ππππ-=--=r r，所以||a b -=r rC.【考点】向量的坐标运算.4．分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，依次记为m 和n ，则m n >的概率为（ ） A ．710 B ．310 C ．35 D ．25【答案】A【解析】试题分析：分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，依次记为m 和n ，则点(,)P m n 构成的平面区域为一矩形ABCD ，在矩形内且m n >的区域为梯形ABCE ，如下图所示，所以所求概率21721510ABCE ABCDS P S ===梯形矩形，故选A.【考点】几何概型.5．在如图所示的算法流程图中，输出S 的值为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．15 【答案】D【解析】试题分析：此程序框图所表示的算法功能为1234515S =++++=，故选D.【考点】程序框图. 6．将函数cos(3)3y x π=+的图象向左平移18π个单位后，得到的图象可能为（ ）【答案】D.【解析】试题分析：将函数cos(3)3y x π=+的图象向左平移18π个单位后，得到的函数解析式为cos[3()]cos(3)sin 31832y x x x πππ=++=+=-，故选D. 【考点】1.图象的平移变换；2.三角函数的图象与性质.7．某棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该棱锥的体积等于（ ）A ．310cmB ．320cmC ．330cmD ．340cm【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为如下图所示的四棱锥P ABCD -，所以其体积1543203V =⨯⨯⨯=，故选B. B【考点】1.三视图；2.多面体的体积. 8．已知点(1,2)-和3(3在直线:10l ax y -+=(0)a ≠的同侧，则直线l 倾斜角的取值范围是（ ） A ．(,)43ππB ．3(0,)(,)34πππUC ．35(,)46ππD ．23(,)34ππ【答案】D【解析】试题分析：因为点(1,2)-和33在直线:10l ax y -+=(0)a ≠的同侧, 所以3(21)(01)03a a --+-+>，即(1)(3)0a a ++<，所以31a <<-，又直线l 的斜率k a =，即31k <<-，所以倾斜角的范围为23(,)34ππ，故选D. 【考点】1.直线的倾斜角与斜率；2.线性规划.9．若不等式组101012x yx yy⎧⎪+-≤⎪-+≥⎨⎪⎪+≥⎩表示的区域Ω，不等式2211()24x y-+≤表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻约为（）A．114 B．10 C．150 D．50【答案】A【解析】试题分析：在坐标系内作出可行域如下图所示，其中芝麻落在区域Γ内的概率为23111132422221336322Pππ⎛⎫⨯⨯+⨯⨯⎪+⎝⎭==⨯⨯，所以落在区域Γ中芝麻约为3236011436π+⨯≈,故选A.【考点】1.线性规划；2.几何概型.【名师点睛】本题考查几何概型与线性规划，属中档题.概率问题是高考的必考见容，概率问题通常分为古典概型与几何概型两种，几何概型求概率是通过线段的长度比或区域的面积比、几何体的体积比求解的，本题是用的区域的面积比，但求面积是通过线性规划相关知识来完成的，把线性规划与几何概型有机的结合在一起是本题的亮点.10．已知双曲线22122:1(0,0)x yC a ba b-=>>的右焦点F也是抛物线22:2(0)C y px p=>的焦点，1C与2C的一个交点为P，若PF x⊥轴，则双曲线1C 的离心率为（）A21 B2 C21 D31【答案】A【解析】试题分析：由题意可知22,22p bc pa==，所以224bca=，即222c a ac-=，所以2210e e--=，解之得21e=，故选A.【考点】1.双曲线的标准方程与几何性质；2.抛物线的标准方程与几何性质. 11．已知函数22()()()n n f n n n ⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数为偶数且()(1)n a f n f n =++，则12350a a a a ++++=L （ ）A ．50B ．60C ．70D ．80【答案】A【解析】试题分析：由题意可知221123a =-=-，222235a =-+=，223347a =-=-，224459a =-+=，4950,99,101a a =-=L ，所以1235012344950()()()25250a a a a a a a a a a ++++=+++++=⨯=L L ，故选A.【考点】1.数列的表示；2.数列求和.【名师点睛】本题考查数列的表示以及数列求和，属中档题；数列求和问题是高考常考内容之一，数列求和的主要方法有：1.公式法；2.分组求和法；3.倒序相加法；4.错位相减法；5.裂项相消法.其中错位相减法与裂项相消法是考试的重点内容，本题主要采用的是分组求和法. 12．若函数()()bf x x b R x=+∈的导函数在区间(1,2)上有零点，则()f x 在下列区间上单调递增的是（ ）A ．(,1]-∞-B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(2,)+∞ 【答案】D【解析】试题分析：函数()()bf x x b R x=+∈的导函数在区间(1,2)上有零点,由22()10b x bf x x x-'=-==得2x b =，所以1b <<且函数()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，所以函数()f x 在区间(2,)+∞上单调递增，故选D. 【考点】1.导数与函数的单调性；2.函数与方程【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性、函数与方程，属中档题；导数与函数的单调性是高考的必考内容，也是难点，导数与单调性关系：()0()f x f x '>⇒单调递增，()0()f x f x '<⇒单调递减；反之，当()f x 在某个区间上单调递增()0f x '⇒≥，当()f x 在某个区间上单调递减()0f x '⇒≤.二、填空题13．已知()ln 1,(0,)f x ax x x =+∈+∞()a R ∈，'()f x 为()f x 的导函数，'(1)2f =，则a = . 【答案】2【解析】试题分析：因为1()ln (ln 1)f x a x ax a x x'=+⨯=+,所以(1)(ln11)2f a a'=+==.【考点】导数的运算.14．若,x y满足约束条件20210220x yx yx y+-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y=+的最大值为.【答案】4【解析】试题分析：在坐标系内作出可行域如下图所示的三角形区域，由图可知，目标函数3z x y=+取得最大值时的最优解为(1,1)B，此时max3114z=⨯+=.【考点】线性规划.15．抛物线22(0)x py p=>的焦点为F，其准线与双曲线221x y-=相交于,A B两点，若ABF∆为等边三角形，则p= .【答案】3【解析】试题分析：抛物线22(0)x py p=>的焦点为(,0)2pF,准线方程为2px=-，与双曲线221x y-=的交点为2244((,)22p pp pA B----，又若ABF∆为等边三角形，所以224043222AFppkp p--===--，解之得：23p=【考点】1.抛物线的标准方程与几何性质；2.双曲线的标准方程与几何性质.【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质与双曲线的标准方程与几何性质，属中档题；高考对圆锥曲线的考查主要是考查定义、标准方程、几何性质，小题和大题中均有.本题主要考查双曲线与抛物线的对称性的应用.16．若定义在区间D上的函数()y f x=满足：对,x D M R∀∈∃∈，使得|()|f x M≤恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上有界，则下列函数中有界的是 .①sin y x =；②1y x x=+；③tan y x =；④x xxxe e y e e ---=+；⑤321(44)y x ax bx x =+++-≤≤，其中,a b R ∈.【答案】①④⑤【解析】试题分析：因为sin 1x ≤，所以sin y x =为有界函数；12x x+≥，无上界，所以②不是有界函数；tan y x =的值域为(,)-∞+∞，是无界函数；22212111x x x x x x x e e e y e e e e ----===-+++,因为22021x e <<+，所以221111x e -<-<+，即1y <，所以x xx x e e y e e---=+是有界函数；对于⑤，函数321y x ax bx =+++ 为实数上连续函数，所以在区间[4,4]-上一定有最大值和最小值，所以是有界函数，故应填①④⑤.【考点】1.新定义问题；2.值域及求法.【名师点睛】本题主要考查新定义问题、值域及求法.函数值域的求解是难点，主要方法有：配方法、单调性法、数形结合法、换元法、基本不等式法、导数法、利用已知函数的有界性法等方法. 三、解答题17．已知函数2()2sin cos cos sin sin (0)2f x x x x ϕϕϕπ=+-<<在x π=处取最小值.（1）求ϕ的值；（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，已知1,()a b f A ===，求角C . 【答案】（1）2π；（2）712π或12π【解析】试题分析：（1）利用三角恒等变换公式化简函数解析式得()sin()f x x ϕ=+，由在x π=处取最小值及0ϕπ<<查求得2πϕ=；（2）由()2f A =可得6A π=，再由正弦定理求出sin B ，从而求出角B 的值，即可求角C . 试题解析：（1）1cos ()2sin cos sin sin 2f x x x x ϕϕ+=•+- sin sin cos cos sin sin x x x x ϕϕ=++-sin cos cos sin sin()x x x ϕϕϕ=+=+因为函数()f x 在x π=处取最小值，所以sin()1πϕ+=-， 由诱导公式知sin 1ϕ=，因为0ϕπ<<，所以2πϕ=.所以()sin()cos 2f x x x π=+=.（2）因为3()f A =，所以3cos A =，因为角A 为ABC ∆的内角，所以6A π=. 又因为1,2a b ==，所以由正弦定理，得sin sin a bA B=， 也就是sin 12sin 222b A B a ==⨯=， 因为b a >，所以4B π=或34B π=.当4B π=时，76412C ππππ=--=；当34B π=时，36412C ππππ=--=.【考点】1.三角恒等变换；2.正弦定理；3.三角函数的图象与性质.【名师点睛】本题考查三角恒等变换、正弦定理、三角函数的图象与性质，属中档题.在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面BCP ，//CD AB ，2AB BC CP BP ====，1CD =.（1）求点B 到平面DCP 的距离； （2）点M 为线段AB 上一点（含端点），设直线MP 与平面DCP 所成角为α，求sin α的取值范围.【答案】（13；（2）63] 【解析】试题分析：（1） 要求点B 到平面DCP 的距离,只要能过点B 作出平面DCP 的垂线即可，由题意可知CD ⊥平面CPB ，所以CD ⊥平面CPB 内的任意一条直线，因此只要在平面CPB 内过点B 作BF PC ⊥即可得到BF ⊥平面DCP ，求出BF 的长即可；（2）由（1）可知点M 到平面DCP 的距离即点B 到平面DCP 的距离,所以sin BF MP α=，即只要求出BFMP的取值范围即可. 试题解析：（1）过点B 作BF PC ⊥，由平面DCP ⊥平面BCP 可知，BF 即点B 到面DCP 的距离，在正PBC ∆中，3BF =，即点B 到平面DCP 的距离为3.（2）∵//CD AB ，所以点M 到平面DCP 的距离即点B 到平面DCP 的距离， 而[2,22]MP ∈，所以63sin [,]BF MP α=∈. 【考点】1.线面垂直的判定与性质；2.直线与平面所成的角.【名师点睛】本题考查线面垂直的判定与性质、直线与平面所成的角，属中档题；文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.19．某校对高一年级学生寒假参加社区服务的次数进行了统计，随机抽取了M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下：（1）求表中,n p 的值和频率分布直方图中a 的值，并根据频率分布直方图估计该校高一学生寒假参加社区服务次数的中位数；（2）如果用分层抽样的方法从样本服务次数在[10,15)和[25,30)的人中共抽取6人，再从这6人中选2人，求2人服务次数都在[10,15)的概率. 【答案】（1）0.625,0.075n p ==,0.125a =，中位数为17；（2）23【解析】试题分析：（1）由第一组内频数为20，频率为0.25可求出总人数为20800.25M ==，由此可求出第二组的频率为500.62580n ==，并可求频率直方图中0.1255na ==，由频率之和为1可求出p ，频率分布直方图求出面积的一半处求出中位数即可；（2）分分层抽样的原则先求出共抽取6人时在[10,15)和[25,30)的人数，再列出所有基本事件，可求2人服务次数都在[10,15)的概率. 试题解析：（1）因200.25M ÷=，所以80M =，所以500.62580n ==， 310.250.6250.050.07540p =---==， 10.12558n a ===. 中位数位于区间[15,20)，设中位数为(15)x +，则0.1250.25x =，所以2x =，所以学生参加社区服务区次数的中位数为17次. （2）由题意知样本服务次数在[10,15)有20人，样本服务次数在[25,30)有4人， 如果用分层抽样的方法从样本服务次数在[10,15)和[25,30)的人中共抽取6人，则抽取的服务次数在[10,15)和[25,30)的人数分别为：206524⨯=和46124⨯=. 记服务次数在[10,15)为12345,,,,a a a a a ，在[25,30)的为b . 从已抽取的6人任选两人的所有可能为：121314151232425234(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a a a b a a a a a a a b a a 3534545(,),(,),(,),(,),(,),a a a b a a a b a b 共15种，设“2人服务次数都在[10,15)”为事件A ，则事件A 包括1213141523242534(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a a a a a a a a a a 3545(,),(,)a a a a共10种， 所有102()153P A ==. 【考点】1.频率分布表；2.频率分布直方图；3.古典概型.20．已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>上的左、右顶点分别为,A B ，1F 为左焦点，且1||2AF =，又椭圆C 过点(0,. （1）求椭圆C 的方程；（2）点P 和Q 分别在椭圆C 和圆2216x y +=上（点,A B 除外），设直线,PB QB 的斜率分别为12,k k ，若1234k k =，证明：,,A P Q 三点共线. 【答案】（1）2211612x y +=；（2）见解析【解析】试题分析：（1）1||2AF a c ==-,由椭圆C过点(0,可得b =，由椭圆中,,a b c 关系求出,,a b c 的值即可；（2）由（1）知，(4,0),(4,0)A B -，设1122(,),(,)P x y Q x y ，由此可得2111121114416PA y y y k k x x x •=•=+--，又因为22113124y x =-，1234k k =，由此可得21PA k k •=-，同理可得21QA k k •=-，所以PA QA k k =，即可证,,A P Q 三点共线.试题解析：（1）由已知可得2,a c b -==，又22212b a c =-=，解得4a =，故所求椭圆C 的方程为2211612x y +=. （2）由（1）知，(4,0),(4,0)A B -，设1122(,),(,)P x y Q x y ，所以2111121114416PA y y y k k x x x •=•=+--，因为11(,)P x y 在椭圆C 上， 所以221111612x y +=，即22113124y x =-，所以2112131234164PA x k k x -•==--. 又因为1234k k =，所以21PA k k •=-.（a ） 由已知点22(,)Q x y 在圆2216x y +=上，AB 为圆的直径，所以QA QB ⊥，所以21QA k k •=-（b ）由（a ）（b ）可得PA QA k k =，因为直线,PA QA 有共同点A ， 所以,,A P Q 三点共线.【考点】1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系. 21．已知函数()ln f x x x =.（1）求函数()y f x =的单调区间和最小值； （2）若函数()()f x a F x x -=在[1,]e 上的最小值为32，求a 的值； （3）若k Z ∈，且()(1)0f x x k x +-->对任意1x >恒成立，求k 的最大值. 【答案】（1）()f x 的单调递增区间为1[,)e +∞，单调减区间为1(0,]e ,min 1()f x e=-.（2）a =（3）3【解析】试题分析：（1）求导'()ln 1(0)f x x x =+>，解不等式'()0f x ≥与'()0f x ≤可得函数()f x 的单调区间；（2）求函数()ln a F x x x =-的导数'2()x aF x x+=，分0a ≥与0a <讨论函数()ln a F x x x =-在区间[1,]e 的单调性与最小值，由min 3()2f x =求之即可；（3）由题意分离参数得ln 1x x xk x +<-对任意1x >恒成立，构造函数ln ()1x x x h x x +=-，求导'2ln 2()(1)x x h x x --=-，'2ln 2()(1)x x h x x --=-的符号由分子()ln 2(1)x x x x ϕ=-->确定，且函数()x ϕ在(1,)+∞上单调递增，所以方程()0x ϕ=在(1,)+∞上存在唯一的实根0x ，且0(3,4)x ∈,由此可知函数()h x 在0(1,)x 上递减，在0(,)x +∞上单调递增,所以min 0()k g x x <=，可证结论成立.试题解析：（1）因为'()ln 1(0)f x x x =+>，令'()0f x ≥，即1ln 1ln x e -≥-=，所以1x e≥， 同理，令'()0f x ≤，可得1(0,]x e∈，所以()f x 的单调递增区间为1[,)e+∞，单调减区间为1(0,]e.所以min 1111()()ln f x f ee e e ===-. （2）()ln a F x x x =-，'2()x aF x x +=，Ⅰ．当0a ≥时，'()0F x >，()F x 在[1,]e 上单调递增，min 3()(1)2F x F a ==-=，所以3[0,)2a =-∉+∞，舍去. Ⅱ．当0a <时，()F x 在(0,)a -上单调递减，在(,)a -+∞上单调递增， ①若(1,0)a ∈-，()F x 在[1,]e 上单调递增，min 3()(1)2F x F a ==-=，所以3[0,)2a =-∉+∞，舍去，②若[,1]a e ∈--，()F x 在[1,]a -上单调递减，在[,]a e -上单调递增，所以min 3()(1)ln()2F x F a a ==-+=，解得[,1]a e =--. ③若(,)a e ∈-∞-，()F x 在[1,]e 上单调递减，min 3()()12a F x F e e ==-=，所以(,)2ea e =-∉-∞-，舍去，综上所述，a =（3）由题意得：(1)ln k x x x x -<+对任意1x >恒成立，即ln 1x x xk x+<-对任意1x >恒成立. 令ln ()1x x x h x x +=-，则'2ln 2()(1)x x h x x --=-，令()ln 2(1)x x x x ϕ=-->，则'11()10x x x xϕ-=-=>， 所以函数()x ϕ在(1,)+∞上单调递增，因为方程()0x ϕ=在(1,)+∞上存在唯一的实根0x ，且0(3,4)x ∈，当01x x <<时，()0x ϕ<，即'()0h x <，当0x x >时，()0x ϕ>，即'()0h x >.所以函数()h x 在0(1,)x 上递减，在0(,)x +∞上单调递增. 所以0000min 0000(1ln )(12)()()(3,4)11x x x x h x h x x x x ++-====∈--所以min 0()k g x x <=，又因为0(3,4)x ∈，故整数k 的最大值为3.【考点】1.导数与函数的单调性、最值；2.函数与不等式.【名师点睛】本题主要考查导数与函数的单调性、最值；函数与不等式,属难题.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.22．如图，圆周角BAC ∠的平分线与圆交于点D ，过点D 的切线与弦AC 的延长线交于点E ，AD 交BC 于点F .（1）求证：//BC DE ；（2）若,,,D E C F 四点共圆，且AC BC =，求BAC ∠.【答案】（1）见解析；（2）27π 【解析】试题分析：（1）要证//BC DE ，只要证EDC DCB ∠=∠即可，由弦切角和圆周角关系可得EDC DAC ∠=∠，由角平分线性质得EDC DAC ∠=∠，又同弧上的圆周角相等，所以DAB DCB ∠=∠，即可证得EDC DCB ∠=∠；（2）由,,,D E C F 四点共圆及（1）得CFA ACF ∠=∠，设DAC DAB x ∠=∠=，在等腰三角形ACF 中，列出方程7CFA ACF CAF x π=∠+∠+∠=，解之即可. 试题解析： （1）∵BAC ∠的平分线与圆交于点D ∴EDC DAC ∠=∠，DAC DAB ∠=∠，∵BD BD =，∴DAB DCB ∠=∠，∴EDC DCB ∠=∠， ∴//BC DE .（2）因为,,,D E C F 四点共圆，所以CFA CED ∠=∠， 由（1）知，ACF CED ∠=∠， 所以CFA ACF ∠=∠. 设DAC DAB x ∠=∠=，因为AC BC =，所以2CBA BAC x ∠=∠=， 所以3CFA FBA FAB x ∠=∠+∠=，在等腰三角形ACF 中，7CFA ACF CAF x π=∠+∠+∠=， 则7xπ=，所以227BAC x π∠==.【考点】1.圆的性质；2.等腰三角形性质；3.圆内接四边形性质.23．已知直线112:32x t l y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线1cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）设l 与1C 相交于,A B 两点，求||AB ；（2）若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的123倍，得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值.【答案】（1）1;（2621) 【解析】试题分析：（1）将直线与圆的参数方程化为普通方程，求出交点坐标，即可求AB ；（2）先由伸缩与平移变换规律求出曲线2C 的参数方程，交用参数表示点P 的坐标，用参数θ表示点P到直线l的距离|22)2]244d θθπθ==-+，即可求最小值.试题解析：（1）直线l的普通方程为1)y x =-，1C 的普通方程为221x y +=，联立方程组221)1y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 解得l 与1C 的交点为1(1,0),(,)22A B -，则||1AB =. （2）曲线2C为1cos 22x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（θ为参数），故点P的坐标是1(cos ,)22θθ，从而点P 到直线l的距离是|22)2]24d θθπθ==-+，由此当sin()14πθ-=-时，d1). 【考点】1.参数方程与普通方程的互化；2.椭圆参数方程的应用. 24．设函数()|2|2f x x a a =-+.（1）若不等式()6f x ≤的解集为{|64}x x -≤≤，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若不等式2()(1)5f x k x ≤--的解集非空，求实数k 的取值范围.【答案】（1）2-;（2）{|0}k k k k ><=. 【解析】试题分析：（1）|2|62x a a -≤-333322a x a ⇔-≤≤-,由3362a -=-可求出a ；（2）由（1）2()(1)5f x k x ≤--可转化为2|22|1(1)x k x ++≤-，作出函数23,1()|22|121,1x x g x x x x +≥-⎧=++=⎨--<-⎩的图象，数形结合可求k 的范围. 试题解析：（1）|2|62x a a -≤-，∴26262a x a a -≤-≤-， ∴333322a x a -≤≤- 3362a -=-，2a =-.（2）由（1）知，2|22|1(1)x k x ++≤-，23,1()|22|121,1x x g x x x x +≥-⎧=++=⎨--<-⎩，()g x 的图象如图：要使解集非空，212k ->或211k -≤-， ∴{|330}k k k k ><-=或或.【考点】1.含绝对值不等式的解法；2.分段函数的表示及应用.。