梯形重心中点四边形复习
初二数学培训讲义第11讲 梯形、重心
第十一讲梯形、重心一、主要知识点回顾1．一组对边_____另一组对边________的四边形叫做梯形。
2．两腰_______的梯形叫做等腰梯形。
3．有一个角是_____的梯形叫做直角梯形。
4．等腰梯形的性质：（1）等腰梯形同一底边上的两个角________。
（2）等腰梯形的两条对角线_________。
5．等腰梯形的判定：（1）同一底边上的两个角________的梯形是等腰梯形。
（2）两条对角线_________的梯形是等腰梯形。
6．线段的重心是_______。
7．平行四边形的重心是______，正方形，矩形，菱形的重心是_______。
8．三角形的重心是，等腰三角形的重心位置在_____，等边三角形的重心位置在___________________。
二、感悟与实践例题1：如图1，在△ABC中，∠B＝∠C，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝AE，那么四边形BCED是什么形状的图形呢？变式练习1：如图2所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ，CE 分别为∠ABC ，∠ACB的平分线，说明四边形EBCD 为等腰梯形。
例题2：如图3所示，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 平分∠DAB ，∠DAB ＝60°，若梯形ABCD 的周长为10cm ，求AB 的长。
变式练习2：已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，∠D ＝120°，对角线CA平分∠BCD ，且梯形的周长20，求AC 。
例题3：如图4所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝BC ，延长AB 到E ，使BE ＝DC ，连接AC ，CE ，AC 与CE 相等吗？为什么？图2图3 图4变式练习3：（2011安徽芜湖）如图5，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AD ＝BC ，BD平分∠ABC ，∠A ＝60°。
过点D 作D E ⊥AB ，过点C 作CF ⊥BD ，垂足分别为E 、F ，连接EF ，求证：△DEF 为等边三角形。
梯形与重心
梯形与重心知识点一：梯形要点诠释：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形。
知识点二：等腰梯形要点诠释：两腰相等的梯形叫等腰梯形。
知识点三：直角梯形要点诠释：有一个角是直角的梯形叫直角梯形。
知识点四：等腰梯形的性质要点诠释： 1.等腰梯形同一个底上的两个角相等。
2.等腰梯形的对角线相等。
知识点五：等腰梯形的判定要点诠释： 1.梯形的定义。
2.同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。
知识点六：四边形的分类要点诠释：知识点七：线段、三角形、平行四边形的重心要点诠释：1、线段的中点是线段的重心；三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心；平行四边形对角线的交点是平行四边形的重心。
2、三角形重心的性质：三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。
三、规律方法指导知识点回顾：2 •梯形问题常常是通过作辅助线转化为特殊的平行四边形及三角形问题加以研究,类型一：梯形中的辅助线1、（平移一腰）已知等腰梯形的锐角等于Jr ,它的两底分别是L■一，和「Ed，求它的腰长思路点拨：已知：如图，在梯形 ABC ［中，』応一 ,?'1 / C - . r':■ . -….求：AB 的长.解析：过点A 作/I C I 1' D 交BC 于E,•••四边形ABCD 是等腰梯形， AB=CD∙∙∙ AD// BC又∙∙∙ m∙四边形AECD 是平行四边形•∙，■ -I ：-：：-' ..J-V ：-* _：■∙厶一二••• ― -HN',∙二二】是等边三角形.又•••丄J —’w ∙二丄 / √L ∙ 一 二-总结升华：在用平移线段的方法作梯形的辅助线时， 无论是平移一腰还是平移一条对角线，都是将梯形问题转化成三角形和平行四边形的问题来解决；举一反三：【变式1】（平移对角线）已知梯形 ABCe 的面积是32,两底与高的和为 一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为【答案】梯形 ABCD 中, AD// BC, BD ⊥ BC.由题得：x+y+z=16 ,仗+ "二322设 AD=X BC=y DB=z,（熟记梯形面积公式）解得 χ+y=8 , z=8,过D 作DE// AC 交BC 的延长线于∙四边形ADEC 是平行四边形，（注意这种辅助线的作法很常用） E.16,如果其中B∙∙∙ DE=AC AD=CE (将“上底+下底”转化到一条线段上)在Rt △ DBE 中，∠ DBE=90 , BE=BC+CE=x+y=8 BD=8根据勾股定理得[]τ —“I ■ ' - ■,∙∙∙ AC=DE.-，■ -7-,?.【变式2】（过顶点作高）已知AB=BC AB// CD ∠ D=90°, AEI BC.求证：CD=CE【答案】分析：这是一个直角梯形，通过作CF⊥AB,可以将梯形分成矩形和直角三角形，结合直角梯形的性质，利用两次全等，达到证明CD=CE的目的.证明：如图，连结AC,过C作CF⊥AB于F.在厶CFB和厶AEB中，（这是直角梯形中常见的辅助线）ZCFB=ZAEB = 90°^ZB=ZBAB = BC•••△CFB^△AEB (AAS•CF=AEτ∠D=90°, CF⊥AB 且AB// CD,•AFCD是矩形•AD=CF•AD=AE在Rt △ ADC和Rt △ AEC 中,AD=AEAC = AC•Rt △ ADC^ Rt △ AEC ( HL)•CD=CE【变式3】（延长两腰）如图，在梯形亠匸•中，一’】」，—「■ ——1 '「，=、-■为一二、一 \的中点。
人教版四年级数学上册课件第5单元《平行四边形和梯形》知识梳理 整理与复习课件
园的上底长6米，下底长14米，两腰各长7米，但李大
伯只用了20米长的篱笆，你知道李大伯是怎么围的吗
？
下底靠墙，14米不需篱笆，总
共只需6＋7×2＝20(米)。
过关检测
1.填空题。 （1）过直线外一点，可以画（ 一 ）条已知直线的平行线，
可以画（ 一 ）条已知直线的垂线。 （2）从直线外一点到这条直线的所有线段中，（ 垂直线段 ）
图①a与b互相平行，记作a∥b，读作a平行于b。
要点牢记
（二）
深化知识
1.平行与垂直
a
②
两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，
其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交 点叫做垂足。 图 ② 中a与b互相垂直，记作a⊥b，读作a垂直于b。
深化知识
【对应训练】
下面各组直线中,哪组互相平行?哪组互相垂直?
间画一条垂线段，这条垂线段的长是（ 6 ）厘米。
人教版四年级上册数学：平行四边形 和梯形 整理和复习
过关检测
2.判断题。
（1）不相交的两条直线叫做平行线。
（ ×）
（2）一条直线，可以画出无数条它的平行线。 （ √ ）
（3）垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 （ √ ）
（4）两条直线相交，只要有一个角是直角，其他的
伸缩门 伸缩门里有平行四边形，利用它容易变形的 特征伸缩的。
知识梳理 核心要点
平行与垂直的概念
同一平面内不相交的两条直线叫做平 行线
a b
直线a是直线b的平等线，直线a与直 线b互相平行
知识梳理 核心要点
平行与垂直的概念
两条直线相交成直角，就说这两条
a
直线互相垂直
b
直线a叫做直线b的垂线，交点叫做
初二数学上册梯形四边形的内角和中心对称图形复习专题
一、梯形（1）梯形的定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形是梯形（2）梯形的性质及其判定；梯形是特殊的四边形，具有四边形所具有的一切性质，此外它的上下两底平行．一般用一组对边平行且不相等的四边形是梯形来判断．（3）等腰梯形的性质和判定：①性质：等腰梯形在同一底边上两个内角相等，两腰相等，两底平行，两对角线相等，是轴对称图形，只有一条对称轴（底的中垂线就是它的对称轴）．②判定方法：两腰相等的梯形是等腰梯形；同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形；对角线相等的梯形是等腰梯形．（4）直角梯形有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．（5）在梯形中常用的作辅助线方法：（1）平移腰；（2）作高；（3）补为三角形；（4）平移对角线；将之转化为三角形或平行四边形等记忆歌谣：梯形问题的辅助线：移动梯形对角线，两腰之和成一线；平行移动一条腰，两腰同在“△”现；延长两腰交一点，“△”中有平行线；作出梯形两高线，矩形显示在眼前；已知腰上一中线，莫忘作出中位线。
例1已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB = DC，点E、F分别在AB、CD上，且BE = 2EA，CF = 2FD. 求证：∠BEC =∠CFB.证明：例2如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB = DC，对角线AC和BD 相交于点O，E是BC边上一个动点（点E不与B、C两点重合），EF∥BD交AC于点F，EG∥AC交BD于点C.（1）求证：四边形EFOG的周长等于2OB；（2）请你将上述题目的条件“梯形ABCD中，AD∥BC，AB = DC”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论，“四边形EFOG的周长等于2OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证、不必证明.例3有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形的面积两等分），试设计两种方案（平分方案画在备用图上），并给予合理的解释.解析：AB CDE FBA DCOFEGABCDEG OF方案二：方案三：例4、如图,梯形ABCD 中, AB ∥CD ， ∠D=70 ° ， ∠ C=40 ° AB=4cm,CD=11cm,求BC.解法（一）：平移腰解法（二）：补为三角形例5：已知，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是腰AB 的中点， DE ⊥CE, 求证： AD+BC=CD 。
梯形的中位线复习
一题多解
已知：如图，平行四边形ABCD中，AD=2AB. 延长BA 到E，延长AB到F，使EA=AB=BF. EC交FD于O点. D C • 求证：EC⊥FD. O M N • 方法二. • 提示：连MN. E A B F • ∵AD=AF, 又∠1=∠F， CD∥EF，∠2=∠F. • ∴∠1=∠2，∠1=∠3. ∴∠2=∠3， DM // CN. CD=CN. • 同理CD=DM, • ∴四边形DMNC是菱形， • ∴ EC⊥FD.
\ MN =
一题多解
• 已知：如图，梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分别 为CD、AB的中点，且∠A+∠ B=90 °. D M C F E 1 • 求证： MN= (AB - CD). 2 • 方法二. 证明： A N B • 作BE∥AD交DC于E，作CE中点F，连BF. • ∵AB∥CD, AD∥BE, ∴四边形ABED是平行四边形. • ∴∠A=∠E, AB=DE.
1 2
• ∴∠1+∠2=90°.
1 1 \ MN= EF = (AB - CD). 2 2
∴△MEF是直角三角形.
D, N是EF的中点 M
O
• 在Rt△MEF中，EN=FN,
C
A
N
B
一题多解
• 已知：如图，梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分别为CD AB的中点，且∠A+∠ B=90°. D M C • 求证： 1 MN= • 方法一. 证明： 2 (AB - CD). A E F N B • 作CE∥AD交AB于E，CF∥MN交AB于F. • ∵AB ∥CD, ∴AE=CD，∠A=∠1，CM=FN，MN=CF.
比较三角形中位线和梯形中位线:
把图中的CD向 左平移直至D与点A 重合,在这个过程 中,上底AD变成一 个点,下底BC变成 ΔABH的一条边BH, 梯形的中位线EF变 成的ΔABH中位线 EG.
梯形中点连线形成的四边形
梯形中点连线形成的四边形
梯形中点连线形成的四边形是一个平行四边形。
梯形是一个有两条平行边的四边形，而连接梯形的中点的线段会将梯形分成两个三角形和一个四边形。
连接梯形的中点的线段会将梯形分成两个三角形和一个四边形。
根据梯形的性质，连接梯形中点的线段会将梯形分成两个面积相等的三角形，并且这两个三角形的高度相等。
因此，连接梯形中点的线段形成的四边形是一个平行四边形。
平行四边形的性质包括对角线互相平分，对角线相等且相互垂直，相对边平行且相等长。
因此，连接梯形中点形成的四边形具有这些性质。
从几何角度来看，这个四边形有着特定的形状和性质，这些性质可以用来解决各种数学问题。
同时，从教育角度来看，通过研究这个四边形，可以帮助学生更好地理解梯形和平行四边形的性质，从而提高他们的数学素养。
总的来说，梯形中点连线形成的四边形是一个有趣且重要的几何概念，对于数学教育和数学研究都具有一定的意义。
人教版四年级数学上册第五单元第7课时《认识平行四边形和梯形》复习课件
平行四边形和梯形 复习
本节学了哪些图形？ 两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。 只有一组对边平行的四边形叫做梯形。
徐老师想把这块菜地分成很多块(如下图)。
数一数：图中有( 2 )个三角形，( 9 )个平 行四边形，( 7 )个梯形。
平行四边形
高
高
底
底
平行四边形具有不稳定性。
下图中有几个梯形？把它们指出来。 a // b。
有三个，梯形ABED，梯形BEFC，梯形ADFC。
填空。
只有（ 一组 ）对边互相平行的四边 形叫做梯形，互相平行的一组对边分别 是梯形的（ 上底 ）和（ 下底 ）。 从上底的一点到下底的（ 距离 ）是 梯形的高。
填空。
（1）只有一组对边平行的四边形叫做（ 梯形 ）。 （2）两条直线相交成（ 直 ）角时，这两条直线互 相垂直。 （3）两条平行线之间的距离是6厘米，在这两条平 行线之间作一条垂线，这条垂线的长是（ 6 ）厘米。
梯形
上底
腰高
腰
下底
等腰梯形
直角梯形
四边形的关系
平行四边形 长方形 正方形
梯形 四边形
填空。
平行四边形中相对的边长度（ 相等 ）， 对角（ 相等 ），相邻两个角的度数和 是（ 180° ）。
照下面这样画两组平行线，涂色部分是平行四 边形吗？为什么？
涂色部分是平行四边形，因为它的两组对边分 别平行且相等。
知识点 2 四边形之间的关系
3．判断。
(1)正方形是特殊的长方形。
()
(2)长方形和正方形是特殊的平行四边形。 ( )
(3)梯形是特殊的平行四边形。
()
(4)四边形中，不是平行四边形就是梯形。 ( )
新人教版四年级数学上册《总复习平行四边形和梯形复习课》教案表格式教案集体备课教案
执教教师
单元章节
第五单元
课题
平行四边形和梯形复习课
教
学
目
标
知识与技能
通过观察、操作等活动，使学生理解平行与垂直。
过程与方法
使学生经历动手操作和自主探究的过程。
情感态度与价值观
通过分类比较、归纳等多种方式，理解平行四边形、梯形、正方形、长方形之间的关系。
重点难点
重点
理解平行于垂直的关系。
12.梯形的底、高和腰：从梯形上底上的一点到下底引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做梯形的高，梯形有无数条高。但是从底的一个顶点向另一个底只能画一条高。
梯形的底是固定的两条边——上底和下底（互相平行的一组对边分别叫做梯形的上底和下底）；不平行的一组对边叫做梯形的腰。
特殊的梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形，有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。等腰梯形不可能是直角梯形，直角梯形也不可能是等腰梯形。
难点
理解平行四边、梯形等之间的关系。
教法与学法
教师
归纳总结、讲解法
学生
小组合作、独立练习
教学准备
教师
学生
教学活动组织流程
修订与补充
一、回顾整理
1.同一平面内两条直线的位置关系：相交和不相交两种。
2.平行：在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。
3.垂直：如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。
12.集合图：用集合图来表示四边形之间的关系
四边形包括平行四边形和梯形。长方形和正方形是特殊的平行四边形。因为它们具有平行四边形的特征。正方形又是特殊的长方形。
14.四边形内角和：四边形的内角和都是360°。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
D
B
C E
4、如图，在等腰梯形ABCD中，AB=DC， ∠D=120°，对角线CA平分∠BCD， 且梯形的周长为20，则梯形的上、下底 长分别是多少？
A
D
B
C
5、如图，在等腰梯形ABCD中， ∠B+∠C=90°，AB=6，DC=8，E、 F分别为AD、BC中点，则EF=
A E D
B
F
C
6、梯形ABCD的周长为40cm，上底 CD=7cm,DE∥BC,G、F分别为AD、AE 中点，且GF=0.5BC，求△AED与△AFG 的周长。
填空题： 1、等腰梯形ABCD的对角线相交于O， ∠BOC=120°, ∠BDC=80°,则 ∠DAB=______。 2、已知等腰梯形的一个底角是60°，它的两底 分别13cm,37cm，它的周长为______。 3、等腰梯形ABCD中,AD∥BC， ∠A=120°， 两底分别为15cm,49cm,则其腰长为______。
中点四边形
平行四边形 • 任意四边形的中点四边形都是________； 平行四边形 • 平行四边形的中点四边形是__________； 菱形 • 矩形的中点四边形是________________； • 菱形的中点四边形是________________； 矩形 • 正方形的中点四边形是______________； 正方形 平行四边形 • 梯形的中点四边形是________________； 平行四边形 • 直角梯形的中点四边形是____________； 菱形 • 等腰梯形的中点四边形是____________。
4、若等腰梯形上底与一条腰长的和等于下底 的长，则腰与上底的夹角为_____。 5、等腰梯形的上底与高相等，下底是上底的 3倍，则底角的度数____。
6、如果等腰梯形的一个底角是60°，两底 之和是30cm，则对角线平分60 °的底角， 则此等腰梯形的周长为___
7、梯形的两底长分别是16cm,24cm，两底 角分别是60°和30°，则短腰长为___
• （1）中点四边形的形状与原四边形的对角线有 密切关系； • （2）只要原四边形的两条对角线 相等 ，就能 使中点四边形是菱形； • （3）只要原四边形的两条对角线 互相垂直， 就能使中点四边形是矩形； • （4）要使中点四边形是正方形，原四边形要 相等且互相垂直 。 符合的条件是
已知：ABC中AB AC, AD BC, AD与 中线BE相交于点G; AD 18cm, GE 5cm, 求：BC的长。
1.组内交流 2.组间交流 要求：
（1）各小组在组长的带领下交 流学案上的问题。 （2）提出自己的问题并与其他 同学交流。 （3）记录员记录交流中有异议 的问题，以供全班交流。
物体的重心与物体的形状有关，规则的图 形重心就是它的几何中心。如;线段，平行 四边形，三角形，正多边形，等等。 1.线段重心是线段中点。 2.平行四边形的重心是对角线的交点。 3. 三角形的重心是三条中线的交点。 直角三角形重心在斜边中点 等边三角形重心是高或中线或角平 分线交点 4.正多边形的重心是对称轴的交点。 不规则的图形（物体）可以通过悬挂法来 确图，在梯形ABCD中，AB∥CD， ∠A+∠B=900，E、F分别是AB、CD的中点，
1 求证：EF AB CD 2
D F C
A
M
E
N
B
已知：四边形ABCD是直角梯形， AB=8cm, B 90
AD=24cm,BD=26cm,点P从A出发，以1cm/s
1、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC， AD=AB=DC，BD⊥CD，则∠C=？
A D
B
C
2、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC， AD=8，BC=17，∠C=70°， ∠B=55°，则DC=？
A
D
B
E
C
3、如图，在等腰梯形ABCD中， AD∥BC，AD=5cm，BC=11cm，高 DE=4cm,则梯形的周长与面积各是多 少？
0
的速度向D运动，点Q从C出发，以3cm/s的速
度向B运 动，其中一动点达到端点时，另一动 点随之停止运动。从运动开始，经过多少时间， 四边形PQCD是平行四边形？成为等腰梯形？
D P A
C
Q
B
1.知识重现你找茬 （要求：每组的3号同学必须回答 一个知识点，其他组同学挑错。） 2. 脉络分明我梳理（用你喜欢的方 式把本节课的知识点贯穿起来） 3. 思想方法他归纳
三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心。 三角形的重心定理 三角形的重心与顶点的距离等 于它与 对边中点距离的两倍。
或
A
三角形的重心到一边中点的距离 等于这边上中线长的三分之一。 E G是ABC的重心
AG BG CG 2 GD GF GE 1 GD : AG : AD 1 : 2 : 3 B
C D
G B
E
F
A
G
F
D
C
解决梯形问题常用的方法：
（1）“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角 形 （2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中； （3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中； （4）“延腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形； （5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点， 并延长与下底延长线交于一点，构成三角形．