现代信号处理教程 - 胡广书(清华)

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为了看清图3.3.4中交叉项的行为，我们将该图作了旋转，因此，水平方向为频率，垂直方向为时间。

图3.3.3 例3.3.3的WVD 图3.3.4 例3.3.4的WVD

例3.3.5 令

()21

4

2

t x t e ααπ-⎛⎫= ⎪⎝⎭

（3.3.5）

可求出其WVD 为

()22,2exp[]x W t t ααΩ=--Ω （3.3.6）

这是一个二维的高斯函数，，且()Ω,t W x 是恒正的，如图3.3.5所示。

由该图可以看出，该高斯信号的WVD 的中心在()()0,0,=Ωt 处，峰值为2。参数α控制了WVD 在时间和频率方向上的扩展。α越大，在时域扩展越小，而在频域扩展越大，反之亦然。其WVD 的等高线为一椭圆。当WVD 由峰值降到1

-e 时，该椭圆的面积π=A 。它反映了时－频平面上的分辨率。 如果令 ()21

42t h t e ααπ-⎛⎫=

⎪⎝⎭，()214

2

t x t e ββπ-⎛⎫= ⎪⎝⎭

，则()t x 的谱图 ()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡Ω+-+-+=Ω222

1exp 2,βαβααββααβ

t t STFT x （3.3.7）

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图3.3.5 例3.3.5的WVD,（a ）高斯信号，（b ）高斯信号的WVD

它也是时－频平面上的高斯函数。当其峰值降到1

-e 时，椭圆面积π2=A 。这一结果说明，WVD 比STFT 有着更好的时－频分辨率。

如果令 ()()t

j e

t t x t x 001Ω-= （3.3.8）

式中()t x 是（3.3.5）式的高斯函数。()t x 1是()t x 的时移加调制，其WVD 是：

()12

2

00,2exp[()()/]x W t t t ααΩ=---Ω-Ω （3.3.9）

它将（3.3.6）式的()Ω,t W x 由()()0,0,=Ωt 移至()()00,,Ω=Ωt t 处。其WVD 图形请读者自己画出。

例3.3.6 令 ()2201

4

22j t t j t z t e

e e αβαπΩ-⎛⎫= ⎪⎝⎭

（3.3.10） 它是由（3.3.5）式的()t x 与

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()2

02

j t

j t y t Ae

e βΩ= （3.3.11）

相乘而得到的（在（3.3.9）式中，A=1）。我们已熟知()t y 为线性调频Chirp 信号，其WVD 是：

()()2

0,2y W t A t πδβΩ=Ω-Ω- （3.3.12）

其图形我们已在图1.1.2中给出。（3.3.9）式()t z 的WVD 是

()2

2

0,2exp[()/]z W t t t αβαΩ=--Ω-Ω- （3.3.13）

它是恒正的。显然，高斯信号、Chirp 信号都是（3.3.9）式()t z 的特例。()Ω,t W z 如图3.3.6所示。

图3.3.6 例3.3.6的WVD ，（a ）Chirp 信号，（b ）Chirp 信号的WVD

例3．3．7 令()x t 为一多普勒信号。所谓多普勒信号指的是一个物体相对一个位置不变的“观察者（如雷达）”运动时，

“观察者”所听到或所记录到的该物体运动的信号，如其运动

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的速度或发出的声音。众所周知，当该运动物体接近和远离“观察者”时，其信号当频率会发生变化。图3.3.7 给出了该信号当时域波形、频谱及时－频分布。由该图可看出信号的能量随时间和频率的分布。

图3.3.6 例3.3.6的WVD

3.4 Wigner 分布的实现

如同许许多多的其它信号处理的算法一样，我们最终的目的是要将它们应用于科研或工程的实际。这时所遇到的问题同样是信号的离散化及数据的有限长问题。 在（3.1.2）式中，若令对信号()t x 的抽样间隔为s T ，即s nT t =，并令s kT =2

τ

，则s kT 2=τ，

这样，（3.1.2）式对τ的积分变成对k 的求和，即 ()()()∑∞

-∞

=Ω-*

-+=Ωk T k j s

s

s

s

s

x s

e

kT nT x kT nT x T t W 22, （3.4.1）

若将s T 归一化为1，并考虑到相对离散信号的频率s T Ω=ω［19］

，则上式变为：

()()()∑∞

-∞

=-*

-+=k k j x e

k n x k n x t W ω

ω22

, （3.4.2）

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我们知道，将()t x 变成()n x ，则()t x 的频谱()Ωj X 将变成周期的频谱()

ωj e X ，周期为π2，且π2对应的抽样频率为s f 。与此同样的是，()t x 的WVD ()Ω,t W x 也变成周期的()ω,n W x ，但是，由（3.4.2）式，()ω,n W x 的周期为π，即： ()()()()

∑∞

-∞

=+-*

-+=+k k j x e

k n x k n x n W πωπω22

, （3.4.3）

众所周知，若()t x 的最高频率为max f ，那么，抽样频率至少应满足max 2f f s ≥。这是由抽样定理所决定的。如若按max 2f f s =对()t x 抽样，那么用抽样后的()n x 做WVD ，由于其周期变为π，因此在WVD 中必将产生严重的混迭。解决这一问题的直接方案是提高抽样频率，要求s f 至少要满足

max 4f f s ≥ （3.4.4） 但是，一旦信号()t x 由max 2f f s =抽样变成()n x 后，要想对()t x 重新抽样是困难的。解决该问题的较为简便的方法有两个：

１、采用解析信号，由解析信号的性质可知，将()t x 作Hilbert 变换得到()t x ˆ，按()()()t x

j t x t z ˆ+=构成解析信号。()t z 只包含()t x 的正频率部分。这样，既可减轻由正、负频率分量所引起的交叉项干扰，又可在保持原有抽样频率max 2f f s =的情况下，避免了频域的混迭；

２、对()n x 作插值，人为地将其抽样频率s f 提高。具体办法是：

若想将抽样频率s f 提高一倍，则可将()n x 每两点之间插入一个零，然后再让该信号通过一低通数字滤波器，从而将插入的这些零值变成原信号相应点的插值，有关插值的原理，详见本书第5章，此处不在讨论。

对（3.4..3）式，现余下两个问题要解决。一是频率ω仍需离散化，二是式中对k 的求和需要取有限长。式中k 是信号x 的时间序号，n 代表时移。现令

()()()k n x k n x k n r x -+=*

, （3.4.5）