浙江省杭州市三墩中学九年级数学《函数及其应用》教案 人教新课标版
函数教案初中人教版完整
教案：初中人教版函数教学目标：1. 了解函数的概念，理解自变量与函数的关系。
2. 能够运用函数解决实际问题，体会函数的实际应用价值。
3. 培养观察、交流、分析的思想意识，提高逻辑思维能力。
教学内容：1. 函数的概念及自变量与函数的关系。
2. 函数的图像特点及实际应用。
教学重点：1. 函数的概念及自变量与函数的关系。
2. 函数的图像特点。
教学难点：1. 函数的概念及自变量与函数的关系。
2. 函数图像的解读。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾已学的变量知识，让学生举例说明常量和变量的概念。
2. 提问：同学们在生活中是否遇到过一些变化的现象？这些现象中是否有一些规律可循？二、新课讲解（20分钟）1. 讲解函数的概念：在数学中，函数是用来描述两个变量之间关系的一种数学表达式。
通常表示为y=f(x)，其中x称为自变量，y称为因变量。
2. 讲解自变量与函数的关系：自变量是函数中可以自由取值的变量，而函数则根据自变量的取值确定因变量的值。
3. 举例说明：如温度T与高度d的关系，可以表示为T=10-0.0065d，其中d是自变量，T是因变量。
三、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成教材中的相关练习题，巩固函数的概念。
2. 引导学生分析练习题中的函数关系，培养学生的逻辑思维能力。
四、函数图像的特点（15分钟）1. 讲解函数图像的概念：函数图像是指在平面直角坐标系中，将函数的自变量和因变量对应的点连接起来形成的图形。
2. 讲解函数图像的特点：如直线、曲线等。
3. 举例说明：如y=2x的图像是一条通过原点的直线。
五、实际应用（10分钟）1. 让学生举例说明函数在实际生活中的应用，如抛物线在射击、飞行等方面的应用。
2. 引导学生分析实际问题中的函数关系，提高学生的实际问题解决能力。
六、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学的内容，让学生总结函数的概念、自变量与函数的关系以及函数图像的特点。
2. 强调函数在实际生活中的重要性，激发学生学习函数的兴趣。
初中数学函数教案人教版
初中数学函数教案人教版教学目标：1. 了解函数的概念，理解自变量与函数之间的关系。
2. 能够运用函数模型解决实际问题，感受函数的实际应用价值。
3. 培养学生的观察、交流、分析的能力，提高学生的数学思维水平。
教学重点：1. 函数的概念及特点。
2. 函数的表示方法。
教学难点：1. 函数中自变量取值范围的确定。
2. 函数模型的建立。
教学准备：1. 教学课件。
2. 教学案例。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾已学过的变量知识，让学生举例说明常量和变量的概念。
2. 提问：同学们，你们在日常生活中遇到过哪些与变量相关的问题？二、探究函数概念（15分钟）1. 提问：那么，什么是函数呢？请大家阅读教材，小组内讨论并回答这个问题。
2. 学生汇报：函数是某个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与之对应，那么y就是x的函数。
3. 讲解：函数中的变量x称为自变量，变量y称为因变量。
自变量是独立变量，因变量是依赖变量。
4. 案例分析：地球某地，温度T（℃）与高度d（m）的关系可以表示为T=10-d，请大家分析这个函数关系式中的变量和常量。
三、函数的表示方法（15分钟）1. 讲解：函数的表示方法有解析法、表格法和图象法。
2. 示例：给出一个函数关系式，让学生用表格法和图象法表示出来。
3. 学生练习：请同学们用表格法和图象法表示出y=2x+1这个函数。
四、函数的应用（15分钟）1. 提问：同学们，我们学习了函数的概念和表示方法，那么函数在生活中有哪些应用呢？2. 案例分析：一个物体从地面上升，其高度h（m）与时间t（s）的关系可以表示为h=10t-5t^2，请大家分析这个函数模型。
3. 学生练习：请同学们根据实际情况，选择合适的函数模型，解决实际问题。
五、总结与反思（5分钟）1. 提问：通过本节课的学习，大家有什么收获和感悟？2. 学生总结：函数是数学中的重要概念，它广泛应用于生活中，我们需要掌握函数的表示方法和应用。
函数的应用初中教案
函数的应用初中教案教学目标：1. 理解函数的概念，掌握函数的表示方法。
2. 学会利用函数解决实际问题，培养学生的数学应用能力。
教学内容：1. 函数的概念和表示方法2. 函数的实际应用问题教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入函数的概念：给出函数的定义，解释函数的意义。
2. 介绍函数的表示方法：解析式、表格法和图象法。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解函数的实际应用问题：a. 举例说明函数在现实生活中的应用，如温度随时间的变化、物体的高度与时间的关系等。
b. 引导学生思考如何利用函数解决实际问题，如给定两个变量之间的关系，如何求解某个变量的值。
c. 讲解函数的性质，如单调性、奇偶性等，并引导学生理解这些性质在实际问题中的应用。
2. 练习题讲解：a. 给出一些实际应用问题，让学生尝试利用函数解决。
b. 讲解学生解答中的常见错误，引导学生正确解题。
三、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成一些实际应用问题，巩固所学知识。
四、总结与反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学内容，总结函数的概念、表示方法和实际应用。
2. 引导学生思考如何将在课堂上学习到的知识应用到实际生活中。
教学评价：1. 课后作业：布置一些实际应用问题，考察学生对函数知识的掌握和应用能力。
2. 课堂练习：观察学生在课堂练习中的表现，了解他们对函数概念和实际应用的理解程度。
教学反思：本节课通过讲解函数的概念、表示方法和实际应用，使学生了解到函数在现实生活中的重要性。
在教学过程中，要注意引导学生思考实际问题中的变量关系，培养他们的数学应用能力。
同时，也要关注学生在学习过程中的困惑和问题，及时进行解答和指导。
浙教版数学九年级上册《1.4 二次函数的应用》教案3
浙教版数学九年级上册《1.4 二次函数的应用》教案3一. 教材分析《二次函数的应用》是浙教版数学九年级上册的教学内容，本节课主要让学生掌握二次函数在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教材通过实例引导学生了解二次函数在生活中的广泛应用，如抛物线形的物体运动轨迹、最大（小）值问题等，并学会用配方法、公式法等求解二次函数的应用题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像、性质有一定的了解。
但学生在解决实际问题时，往往不能将数学知识与实际问题相结合，对二次函数在实际生活中的应用还不够熟练。
因此，在教学过程中，需要教师通过具体实例，引导学生将二次函数与实际问题联系起来，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.理解二次函数在实际生活中的应用，学会用配方法、公式法等求解二次函数的应用题。
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的数学素养。
3.培养学生合作学习、积极探究的精神，激发学生学习数学的兴趣。
四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际生活中的应用，如何将实际问题转化为二次函数问题。
2.难点：如何运用配方法、公式法等解决二次函数的应用题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过探究、讨论，自主学习二次函数的应用。
2.利用多媒体课件，展示二次函数在实际生活中的应用实例，增强学生对知识的理解。
3.采用合作学习的方式，让学生在小组内讨论、分享解题心得，提高学生的合作能力。
4.教师给予学生个别辅导，针对学生的不同问题，提供针对性的指导。
六. 教学准备1.准备相关多媒体课件，展示二次函数在实际生活中的应用实例。
2.准备练习题，用于巩固所学知识。
3.准备黑板、粉笔，用于板书重点内容。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示二次函数在实际生活中的应用实例，如抛物线形的物体运动轨迹、最大（小）值问题等，引导学生了解二次函数在生活中的广泛应用。
浙教版数学九年级上册2.4《二次函数的应用》教学设计
浙教版数学九年级上册2.4《二次函数的应用》教学设计一. 教材分析浙教版数学九年级上册2.4《二次函数的应用》是本册教材中的重要内容，主要让学生掌握二次函数在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
本节课的内容包括：二次函数图像与实际问题的关系，二次函数在几何中的应用，以及利用二次函数解决实际问题。
教材通过丰富的例题和练习题，引导学生掌握二次函数的应用方法。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，包括二次函数的定义、图像、性质等。
学生对二次函数有一定的认识，但运用二次函数解决实际问题的能力还不够强。
因此，在教学过程中，教师需要帮助学生建立二次函数与实际问题之间的联系，提高学生运用二次函数解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.理解二次函数在实际问题中的应用，掌握二次函数解决实际问题的方法。
2.能够分析实际问题，将其转化为二次函数模型，并求解。
3.培养学生的数学思维能力，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际问题中的应用，如何将实际问题转化为二次函数模型。
2.难点：对于复杂实际问题，如何正确建立二次函数模型，并求解。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中发现数学问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
2.运用多媒体辅助教学，展示二次函数图像与实际问题的关系，增强学生对知识的理解。
3.采用小组合作学习，引导学生相互讨论、交流，共同解决问题。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.教学PPT。
3.练习题及答案。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一个实际问题，引导学生思考如何将其转化为二次函数模型。
例如，展示一个关于抛物线运动的问题，让学生思考如何利用二次函数来描述物体的运动。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT呈现二次函数在实际问题中的应用，包括几何问题、物理问题等。
同时，教师引导学生观察二次函数图像与实际问题之间的关系。
初中九年级数学教案学习函数的概念与应用
初中九年级数学教案学习函数的概念与应用初中九年级数学教案：学习函数的概念与应用引言：函数作为数学中的基本概念之一，是九年级数学学习的重点之一。
函数的概念与应用对学生的数学思维培养起着重要的作用。
本教案旨在帮助九年级学生全面理解函数的概念，并能够熟练运用函数解决实际问题。
1. 函数的基本概念1.1 函数的定义函数是一种关系，它将一个集合中的每个元素（称为自变量）映射到另一个集合中的唯一元素（称为因变量）。
通常表示为：y = f(x)，其中x是自变量，y是因变量，f(x)表示函数。
1.2 定义域和值域定义域是指函数自变量的取值范围，值域是指函数因变量的取值范围。
通过掌握定义域和值域的概念，可以更好地理解函数的特性。
1.3 函数的图象与解析式函数的图象是函数在直角坐标系中的几何形状，解析式是函数的数学表示形式。
了解函数的图象和解析式有助于我们更深入地理解函数的性质。
2. 函数的表示与分类2.1 表示方式函数可以通过图象、表格和解析式等方式进行表示。
其中，图象是最直观的展示方式，表格则将函数的自变量和因变量对应关系用表格的形式呈现，解析式将函数的数学表达式以公式的形式展示。
2.2 分类根据函数的性质，可以将函数分为线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等不同类型，每种类型的函数都有其独特的特点和应用领域。
3. 函数的应用3.1 函数的图象与实际问题通过观察函数的图象，我们可以推断函数的特点，并将其应用到实际问题中。
例如，通过观察一辆汽车的加速度与时间的关系的函数图象，可以判断汽车的加速度是否恒定。
3.2 函数的解析式与数学模型函数的解析式可以用于建立数学模型，通过模型可以对实际问题进行量化和分析。
例如，在银行贷款利息计算中，可以利用利率和贷款金额等因素建立函数模型，方便计算利息。
3.3 函数与实际问题的求解函数的应用最终需要通过运算求解实际问题。
通过掌握函数的概念和运算规则，可以更快速、准确地解决实际问题。
浙江省杭州市三墩中学九年级数学《函数及其应用》教案 人教新课标版
五、函数及其应用教学目标：1． 立足教材，打好基础，查漏补缺，系统复习，熟练掌握本部分的基本知识、基本方法和基本技能.2． 让学生自己总结交流所学内容，发展学生的语言表达能力和合作交流能力． 情感目标：通过学生自己归纳总结本部分内容，使他们在动手操作方面，探索研究方面，语言表达方面，分类讨论、归纳等方面都有所发展．1. 通过活动,让学生了解我国水资源现状,渗透品德教育,使学生形成节约用水的良好习惯。
教学重点与难点重点：将本部分的知识有机结合，强化训练学生综合运用数学知识的能力，． 难点：把数学知识转化为自身素质. 增强用数学的意识． 教学过程： 【知识回顾】识(1)一次函数的图象：函数y =kxb (k 、b 是常数，k ≠0)的图象是过点(0，b )且与直线y =kx 平行的一条直线.一次函数的性质：设y =kxb (k ≠0)，则当k ＞0时，y 随x 的增大而增大；当k ＜0，实际问平面直角坐标函一次函数的图象与性质反比例函数的图象与性二次函数的图象与性质函数的变量y 随x 的增大而减小.正比例函数的图象：函数y =kx (k 是常数，k ≠0)的图象是过原点及点(1，kk ＞0时，图象过原点及第一、第三象限；当k ＜0时，图象过原点及第二、第四象限.正比例函数的性质：设y =kx (k ≠0)，则当k ＞0时，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小.(2)反比例函数的图象：函数xky =(k ≠k ＞0时，图象在第一、第三象限；当k ＜0时，图象在第二、第四象限.反比例函数的性质：设xky =(k ≠0)，则当k ＞0时，在每个象限中，y 随x 的增大而减小；当k ＜0时，在每个象限中，y 随x 的增大而增大.(3)二次函数一般式：)0(2≠++=a c bx ax y .图象：函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象是对称轴平行于y 轴的抛物线. 性质：设)0(2≠++=a c bx ax y①开口方向：当a ＞0时，抛物线开口向上，当a ＜0时，抛物线开口向下； ②对称轴：直线ab x 2-=； ③顶点坐标()44,22ab ac a b --； ④增减性：当a ＞0时，如果a b x 2-≤，那么y 随x 的增大而减小，如果2bx a≥-，那么y 随x 的增大而增大；当a ＜0时，如果a b x 2-≤，那么y 随x 的增大而增大，如果2bx a≥-，那么y 随x 的增大而减小.顶点式()()20y a x h k a =-+≠.图象：函数()()20y a x h k a =-+≠的图象是对称轴平行于y 轴的抛物线. 性质：设()()20y a x h k a =-+≠①开口方向：当a ＞0时，抛物线开口向上，当a ＜0时，抛物线开口向下； ②对称轴：直线x h =；③顶点坐标(,)h k ；④增减性：当a ＞0时，如果x h ≤，那么y 随x 的增大而减小，如果x h ≥，那么y 随x 的增大而增大；当a ＜0时，如果x h ≤，那么y 随x 的增大而增大，如果x h ≥，那么y随x 的增大而减小.例1如图，二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，图象经过点(－1，2)和(1，0)，且与y 轴相交于负半轴．给出四个结论：①0abc <；②20a b +>；③1a c +=； ④1a >．其中正确结论的序号是．【解】由图象可知：a ＞0，b ＜0，c ＜0，∴abc ＞0； ∵对称轴x ＝2b a -在(1，0)的左侧，∴2b a-＜1，∴20a b +>； ∵图象过点(－1，2)和(1，0)，∴20a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩，∴1a c +=，b ＝－1；∴a ＝1－c ＞1.∴正确的序号为：②③④．【说明】函数图象是研究函数性质的有力工具，是数形结合思想方法的重要运用.本题通过形(图象及其位置)的条件得出数(相等和不等关系)的结论.教师在复习总要加强这种思想方法的渗透.例2 设直线1y x b =+与抛物线22y x c =+的交点为A (3，5)和B ．⑴求出b 、c 和点B 的坐标；⑵画出草图，根据图像回答：当x 在什么X 围时12y y ≤．地解决函数值的大小比较.【解】(1)∵直线1y x b =+与抛物线22y x c =+的交于点A (3，5)，xyO1 -12∴3595b c +=⎧⎨+=⎩，∴24b c =⎧⎨=-⎩，∴12y x =+，224y x =-.由224y x y x =+⎧⎨=-⎩得121223,,05x x y y =-=⎧⎧⎨⎨==⎩⎩∴B (-2,0).(2)图象如图所示，由图象可知：当2x ≤-或3x ≥时，12y y ≤．【说明】本题着重考查与函数图象交点有关的问题及函数值的大小比较问题，要求学生能够利用数形结合思想，沟通函数和方程(组)、不等式的联系和相互转化.例3 已知抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为(1,-4)，且抛物线在x 轴上截得的线段长为4，求抛物线的解析式.【解】∵抛物线的顶点为(1,4)，∴设抛物线的解析式为()214y a x =--，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1， 又∵抛物线在x 轴上截得的线段长为4， ∴抛物线与x 轴的交点为(1,0)，(3,0)，∴0＝4a4，∴a ＝1，∴抛物线的解析式为()214y x =--，即223y x x =--.【说明】抛物线的对称性常常是解题的切入口，本题也可以通过设抛物线与x 轴的交点为()12,0,(,0)x x ，则124x x -=，利用根与系数的关系来求解，但这样显然比较繁琐.例4 利达经销店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理)．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7. 5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x (元)，该经销店的月销售量为p (吨)，月利润为y (元)，月销售额为w (元)，．(1)当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；求出p 与x 的函数关系式(不要求写出x 的取值X 围)；(2)求出y 与x 的函数关系式(不要求写出x 的取值X 围)； (3)该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？(4)小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由． 【解】(1)当每吨售价是240元时，此时的月销售量p ＝260240457.56010-+⨯=吨；由题意得：p ＝260457.510x -+⨯，即p ＝32404x -+.(2)y ＝()()31001002404x p x x ⎛⎫-=--+ ⎪⎝⎭，即y ＝23315240004x x -+-.(3)配方得：y ＝()2321090754x --+，∴当x ＝210时，y max ＝9075(元). (4)w ＝32404xp x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即w ＝()23160192004x --+，∴当x ＝160时w max ＝19200.∴y 与w 不是同时取得最大值，小静说法不对.【说明】本题是一次函数和二次函数在实际生活中的综合运用，学生关键要理解商品经济中的进价(成本价)，售价，单位利润(每件商品的利润)，销售数量，总利润，销售额的概念及其关系.单位利润＝售价－进价，总利润＝单位利润×销售数量，销售额＝售价×销售数量. 例5如图，平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点AB ，的坐标分别为(40)43()，，，，动点M N ，分别从O B ，同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点M 沿OA 向终点A 运动，点N 沿BC 向终点C 运动，过点M 作MP OA ⊥，交AC 于P ，连结NP ，已知动点运动了x 秒． (1)P 点的坐标为(，)(用含x 的代数式表示)；(2)试求NPC △面积S 的表达式，并求出面积S 的最大值及相应的x 值； (3)当x 为何值时，NPC △是一个等腰三角形？简要说明理由．【分析】求P 点坐标，由图可知，就是要求线段OM ，PM ，由△APM ∽△ACO 可得；求△NPC 的面积的关键是用x 的代数式表示边上的高PQ ；△NPC 是等腰三角形有三种情形，不能遗漏.【解】(1)由题意可知，(03)C ，，(0)(43)M x N x -，，，，P ∴点坐标为()x x 3，3-4． (2)设NPC △的面积为S ，在NPC △中，4NC x =-，NC 边上的高为34x ，其中04x ≤≤．221333(4)(4)(2)2882S x x x x x 3∴=-⨯=-+=--+4．S ∴的最大值为32，此时2x =．(3)延长MP 交CB 于Q ，则有PQ BC ⊥． ①若NP CP =，PQ BC NQ CQ x ⊥==，．34x ∴=，43x ∴=． ②若CP CN =，则35444CN x PQ x CP x =-==，，，516449x x x -=∴=，．③若CN NP =，则4CN x =-．3424PQ NQx ==-， ，在Rt PNQ △中，222PN NQ PQ=+．2223(4)(42)()4x x x ∴-=-+，12857x ∴=． 综上所述，43x =，或169x =，或12857x =． ············ 【说明】本题为双动点综合题，是中考的压轴题，有较大的难度.(1)(2)两小题与函数有关，解题的关键在于把握动点的运动规律，用x 的代数式表示出动点的路程，从而结合相似形的知识把其它有关线段也用x 的代数式表示出来为解题服务.(3)要用到分类讨论的思想方法.。
浙教版数学九年级上册2.4《二次函数的应用》教案1
浙教版数学九年级上册2.4《二次函数的应用》教案1一. 教材分析浙教版数学九年级上册2.4《二次函数的应用》是学生在学习了二次函数的图象与性质的基础上进行的一个单元。
本节内容主要让学生掌握二次函数在实际生活中的应用，例如：最大（小）值问题、三点共线问题等。
通过这些实例，让学生体会数学与生活的紧密联系，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次函数的基本知识，对二次函数的图象与性质有一定的了解。
但学生在应用二次函数解决实际问题时，往往会因为对实际问题的理解不深而难以找到解决问题的突破口。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生深入理解实际问题，找出问题中的关键信息，从而运用二次函数的知识解决问题。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握二次函数在实际生活中的应用，学会如何运用二次函数解决最大（小）值问题、三点共线问题等。
2.过程与方法：通过实际问题的解决，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的数学素养。
3.情感态度与价值观：让学生感受数学与生活的紧密联系，增强学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际生活中的应用。
2.难点：如何引导学生找出实际问题中的关键信息，运用二次函数的知识解决问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生深入理解二次函数在实际中的应用。
2.案例教学法：分析典型问题，让学生学会分析问题、解决问题的方法。
3.小组讨论法：鼓励学生分组讨论，培养学生的团队合作精神。
4.启发式教学法：引导学生主动思考，提高学生解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生运用二次函数的知识解决问题。
2.准备PPT，用于展示二次函数在实际中的应用实例。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个生活实例引入本节内容，如：一个长方形的面积固定，长和宽的关系如何表示？引导学生思考二次函数在实际中的应用。
浙教版数学九年级上册《1.4 二次函数的应用》教案
浙教版数学九年级上册《1.4 二次函数的应用》教案一. 教材分析浙教版数学九年级上册《1.4 二次函数的应用》这一节主要让学生了解二次函数在实际生活中的应用，通过实例让学生掌握二次函数的图像和性质，从而解决一些实际问题。
教材通过生活中的实例，引导学生运用数学知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有一定的了解。
但学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为数学问题，二次函数的应用能力有待提高。
此外，学生的数学思维能力和解决问题的能力也亟待提高。
三. 教学目标1.了解二次函数在实际生活中的应用。
2.掌握二次函数的图像和性质，提高解决实际问题的能力。
3.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际生活中的应用。
2.难点：将实际问题转化为数学问题，以及如何运用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法采用案例教学法、问题驱动法和小组合作法。
通过生活实例，引导学生运用数学知识解决实际问题，培养学生的问题分析能力和数学应用能力。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题案例。
2.准备多媒体教学设备。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活中的实例，引出二次函数的应用。
例如，假设一家工厂生产的产品，其成本函数为c(x)=2x2+3x+1，其中x表示生产的产品数量。
问当工厂生产多少产品时，成本最低？2.呈现（10分钟）呈现教材中的相关实例，让学生观察二次函数的图像和性质，引导学生理解二次函数在实际生活中的应用。
同时，让学生尝试解决教材中的问题，巩固二次函数的知识。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际问题，运用二次函数的知识解决。
教师巡回指导，解答学生遇到的问题。
4.巩固（10分钟）选取几组学生的成果，进行讲解和分析，让学生加深对二次函数应用的理解。
同时，引导学生总结解决实际问题的方法和步骤。
浙教版数学九年级上册2.4《二次函数的应用》教学设计3
浙教版数学九年级上册2.4《二次函数的应用》教学设计3一. 教材分析浙教版数学九年级上册2.4《二次函数的应用》是学生在掌握了二次函数的图像和性质的基础上，进一步学习二次函数在实际问题中的应用。
本节课的内容包括二次函数在几何中的应用和二次函数在实际生活中的应用。
通过本节课的学习，学生能够进一步理解二次函数的意义，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次函数的基本知识，对于二次函数的图像和性质有一定的了解。
但是，对于如何将二次函数应用于实际问题中，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的应用能力。
三. 教学目标1.理解二次函数在几何中的应用，能够解决相关的几何问题。
2.了解二次函数在实际生活中的应用，能够将二次函数应用于实际问题中。
3.提高学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数在几何中的应用和二次函数在实际生活中的应用。
2.难点：如何将二次函数应用于实际问题中，解决问题的方法。
五. 教学方法1.讲授法：教师通过讲解，引导学生理解二次函数在几何中的应用和二次函数在实际生活中的应用。
2.案例分析法：教师通过分析具体的案例，引导学生理解二次函数的应用。
3.讨论法：教师学生进行讨论，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教师准备相关的教学案例和问题，以便进行课堂讲解和讨论。
2.学生准备笔记本，记录重要的知识点和解决问题的方法。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾二次函数的图像和性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）教师通过讲解和展示相关的几何问题，引导学生理解二次函数在几何中的应用。
同时，教师通过展示实际生活中的问题，引导学生了解二次函数在实际生活中的应用。
3.操练（10分钟）教师学生进行练习，让学生通过解决实际问题，掌握二次函数的应用方法。
九年级数学下册《函数的应用》优秀教学案例
本案例注重小组合作，让学生在合作中共同探讨问题、分享经验、提高能力。小组合作不仅培养了学生的团队合作精神，还提高了其沟通能力和协作能力。学生在相互评价、相互学习中，实现了共同成长。
4.反思与评价的全面关注
案例中，教师注重学生的反思与评价，引导学生总结学习过程中的优点和不足。这种做法有助于学生形成自我认知，提高自我调节能力。同时，多元化的评价方式使评价更加全面、客观，有助于学生全面了解自己的学习状况。
b.案例二：某城市出租车计费规则，行驶里程与费用成线性关系，求行驶一定里程的费用。
2.以同样的方式，讲解二次函数和反比例函数在实际问题中的应用。
3.结合图像，让学生观察、分析函数的性质和变化规律，加深对函数概念的理解。
（三）学生小组讨论
1.将学生分成若干小组，每组选取一个实际问题，运用所学函数知识进行分析和解决。
（二）过程与方法
1.通过小组合作、讨论交流等形式，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
2.在解决问题的过程中，学会运用类比、归纳、猜想等数学方法，提高数学思维能力。
3.借助实际问题，让学生经历“问题提出、分析、解决”的过程，培养解决问题的策略和方法。
4.注重学生数学思维方式的培养，引导学生从多角度、多层次去思考问题，提高思维的广阔性和深刻性。
九年级数学下册《函数的应用》优秀教学案例
一、案例背景
在我国初中数学教育中，函数作为核心概念之一，其应用对于九年级学生来说既是难点也是重点。随着新课标的推行，强调培养学生的数学应用意识和解决实际问题的能力。《函数的应用》这一章节，旨在让学生通过具体情境，感受函数在实际生活中的广泛应用，从而加深对函数概念的理解，提高数学素养。
（二）问题导向
教学中，我将以问题为导向，引导学生主动思考、发现问题、解决问题。设计具有启发性的问题，鼓励学生进行探究，使其在解决问题的过程中，掌握函数知识。
人教版初中数学函数教案
人教版初中数学函数教案教学目标：1. 知识与技能：让学生理解函数的概念，明确自变量与函数之间的关系。
2. 过程与方法：通过探索函数概念的过程，培养学生感受函数的模型思想。
3. 情感、态度与价值观：培养学生观察、交流、分析的思想意识，使学生体会函数在实际应用中的价值。
教学重难点：1. 重点：使学生认识函数的概念。
2. 难点：对函数中自变量取值范围的确定。
3. 关键：从实际出发，由具体到抽象，建立函数的模型。
教学方法：采用情境探究的方法，让学生从具体的情境中提升函数的思想方法。
教学过程：一、回顾交流，聚焦问题1. 教师提问：同学们通过学习变量这一节内容，对常量和变量有了一定的认识，请同学们举出一些现实生活中变化的实例，指出其中的常量与变量。
2. 学生活动：思考问题，踊跃发言（先归纳出5个思考题的关系式，再举例）。
3. 教师活动：激发兴趣，鼓励学生联想。
二、新课导入1. 教师活动：在地球某地，温度T（℃）与高度d（m）的关系可以用T=10-d来表示（如图），请你根据这个关系式回答下列问题：（1）指出这个关系式中的变量和常量。
（2）填写下表（高度d/m 0，200，400，600，800，1000）。
（3）观察两个变量之间的联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就随之确定。
2. 学生活动：根据关系式回答问题。
三、自主探究1. 教师活动：引导学生自主探究函数的定义。
2. 学生活动：通过观察、实验、归纳等方法，自主探究函数的定义。
四、课堂讲解1. 教师活动：讲解函数的概念，明确自变量与函数之间的关系。
2. 学生活动：认真听讲，积极参与讨论。
五、巩固练习1. 教师活动：出示练习题，让学生巩固所学知识。
2. 学生活动：独立完成练习题，小组内交流讨论。
六、课堂小结1. 教师活动：引导学生总结本节课所学内容。
2. 学生活动：总结函数的概念及自变量与函数之间的关系。
七、课后作业1. 教师活动：布置课后作业，巩固所学知识。
初中数学函数应用教案
初中数学函数应用教案教学目标：1. 理解函数的概念，能识别函数的各个部分。
2. 学会用函数表示实际问题中的数量关系。
3. 能够运用函数解决实际问题，提高解决问题的能力。
教学重点：1. 函数的概念及表示方法。
2. 函数在实际问题中的应用。
教学难点：1. 正确理解函数的概念。
2. 将实际问题转化为函数问题。
教学准备：1. 教学课件。
2. 实例素材。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾之前学过的变量、常量的知识。
2. 提问：什么是函数？你们认为函数与我们的生活有什么关系？二、新课讲解（20分钟）1. 讲解函数的概念：定义、各个部分及表示方法。
2. 通过实例讲解函数在实际问题中的应用，如：物体运动、销售问题等。
3. 引导学生动手实践，发现并总结实际问题中的数量关系。
三、课堂练习（15分钟）1. 布置练习题，让学生独立完成。
2. 选取部分学生的作业进行讲解和评价。
四、拓展与应用（10分钟）1. 引导学生运用函数解决实际问题。
2. 分组讨论，分享各自解决问题的过程和结果。
五、总结与反思（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，总结函数的概念和应用。
2. 提问：你们认为函数在生活中的应用有哪些？如何运用函数解决实际问题？教学评价：1. 课后作业：检查学生对函数概念的理解和应用能力。
2. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、思考问题和解决问题的能力。
教学反思：本节课通过实例讲解函数的概念和应用，让学生认识到函数与实际生活的密切关系。
在课堂练习和拓展应用环节，学生能够独立解决问题，并能够运用函数解决实际问题。
但在教学过程中，发现部分学生对函数的概念理解不够深入，需要在今后的教学中加强巩固。
同时，教学中可以引入更多的实际例子，让学生更好地理解函数的应用。
浙教版数学九年级上册《1.4 二次函数的应用》教案2
浙教版数学九年级上册《1.4 二次函数的应用》教案2一. 教材分析浙教版数学九年级上册《1.4 二次函数的应用》是学生在学习了二次函数的图象和性质之后，进一步探究二次函数在实际生活中的应用。
本节内容主要包括二次函数在几何中的应用和二次函数在实际生活中的应用两个方面。
通过本节课的学习，学生能够更好地理解二次函数的实际意义，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的图象和性质，对二次函数有一定的认识和理解。
但是，对于如何将二次函数应用于实际问题中，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要教师引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.理解二次函数在几何中的应用，如圆的方程、抛物线的性质等。
2.掌握二次函数在实际生活中的应用，如物体运动、最优化问题等。
3.提高学生解决实际问题的能力，培养学生的创新意识和实践能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数在几何中的应用和二次函数在实际生活中的应用。
2.难点：如何将二次函数理论知识与实际问题相结合，解决实际问题。
五. 教学方法1.案例分析法：通过分析具体的实际问题，引导学生理解和掌握二次函数在实际中的应用。
2.问题驱动法：教师提出问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣。
3.合作学习法：学生分组讨论，共同解决问题，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，如物体运动、最优化问题等。
2.准备多媒体教学资源，如PPT、图片、视频等。
3.准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过抛出一个实际问题，如“一个物体从地面抛出，上升到最高点后再下降，求物体的最大高度”，引发学生的思考。
引导学生回顾二次函数的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师展示与二次函数相关的实际问题，如物体运动、最优化问题等。
引导学生分析问题，找出其中的二次函数关系。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，共同解决问题。
初中几何函数及其应用教案
初中几何函数及其应用教案教学目标：1. 了解函数的概念，理解自变量与函数之间的关系。
2. 掌握一次函数、二次函数的图像和性质。
3. 能够运用函数解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
教学重点：1. 函数的概念及一次函数、二次函数的图像和性质。
2. 函数在实际问题中的应用。
教学难点：1. 函数概念的理解。
2. 一次函数、二次函数图像和性质的掌握。
教学准备：1. 教师准备PPT，内容包括函数的概念、一次函数和二次函数的图像和性质。
2. 学生准备笔记本，用于记录学习内容和练习。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过生活中的实例，如温度随高度的变化，引出函数的概念。
2. 学生分享生活中的函数实例，进一步理解函数的概念。
二、新课讲解（15分钟）1. 教师讲解一次函数的图像和性质，如斜率、截距等。
2. 学生跟随教师一起绘制一次函数的图像，加深对一次函数的理解。
3. 教师讲解二次函数的图像和性质，如顶点、开口方向等。
4. 学生跟随教师一起绘制二次函数的图像，加深对二次函数的理解。
三、课堂练习（15分钟）1. 学生独立完成练习题，巩固所学内容。
2. 教师选取部分学生的作业进行点评，解答学生的疑问。
四、实际应用（10分钟）1. 教师提出实际问题，如物体运动的速度与时间的关系，引导学生运用函数解决问题。
2. 学生分组讨论，分析问题，列出函数关系式。
3. 学生展示解题过程和答案，教师进行点评和指导。
五、总结与反思（5分钟）1. 教师引导学生总结本节课所学内容，巩固知识点。
2. 学生分享学习心得，提出疑问。
教学延伸：1. 教师布置课后作业，巩固所学内容。
2. 学生自主学习函数的其他应用领域，如经济学、物理学等。
教学反思：教师在课后对教学效果进行反思，了解学生的学习情况，针对学生的薄弱环节进行针对性教学。
同时，教师不断提高自己的专业素养，提升教学质量。
通过本节课的教学，学生能够掌握函数的基本概念，理解一次函数和二次函数的图像和性质，并能运用函数解决实际问题。
浙江省杭州市三墩中学九年级数学《方程(组)及其应用》教案 人教新课标版.doc
三、方程（组）及其应用教学目标：1． 掌握本部分的知识结构图．基本概念的掌握要到位，不仅要理解更要会运用，复习时应要求学生先观察后动手，并保证较高的正确率。
2． 让学生自己总结交流所学内容，发展学生的语言表达能力和合作交流能力． 情感目标：通过对实际问题的教学，让学生初步认识体会数学和社会，生活的联系，同时渗透环境保护为背景的问题，激发学生热爱生活，热爱社会环境保护事业，决心为实现和谐社会而学好数学的思想；同时，通过理论联系实际的方式，通过知识的应用，培养学生热心环境保护和节约资源思想观点。
通过学生自己归纳总结本部分内容，使他们在动手操作方面，探索研究方面，语言表达方面，分类讨论、归纳等方面都有所发展．教学重点与难点重点：重视情景（信息）问题的分析，增强学生的情景分析或信息提取能力，增强学生用数学知识解决情景问题能力即建模能力．难点：提高方程（组），不等式，函数，直角三角形，相似三角形等知识的综合运用能力，力争做到相互联系，融会贯通．教学过程： 【知识回顾】 1、 知识脉络2、基础知识方程的有关概念含有未知数的等式叫做方程．能使方程两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解，只含有一个未知数的方程的解，也叫做根．求方程的解的过程叫做解方程．一元一次方程①只含有一个未知数，且未知项的次数是1的整式方程叫做一元一次方程，它的标准形式是()00≠=+a b ax ．方程（组）的应用二元二次方程组 实际问题方 程一元一次方程 二元一次方程 三元一次方程 一元二次方程 二元二次方程 分 式 方 程 二元一次方程组 三元一次方程组②一元一次方程的解法． 二元一次方程（组）①含有两个未知数，且未知项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程． ②由几个方程所组成的一组方程叫做方程组．方程组里各个方程的公共解叫做这个方程组的解．求方程组的解的过程叫做解方程组．③含有两个未知数，且未知项的次数都是1，由这样的几个整式方程所组成的方程组叫做二元一次方程组．④二元一次方程组的解法．其基本思想是消元．其基本方法是代入消元法和加减消元法．三元一次方程（组）①含有三个未知数，且未知项的次数都是1的整式方程，叫做三元一次方程．②含有三个未知数，且未知项的次数都是1，由这样的几个整式方程所组成的方程组叫做三元一次方程组．③三元一次方程组的解法．其基本思想仍是消元．其基本方法仍是代入法和加减法． 一元二次方程①只含有一个未知数，且未知项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．它的一般形式为02=++c bx ax (c b a ,,是已知数，0≠a )，其中bx ax ,2分别叫做二次项，一次项；c b a ,,分别叫做二次项系数，一次项系数，常数项．②一元二次方程的解法.其基本思想是降次．其常用方法:直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法、十字相乘法．③一元二次方程02=++c bx ax (c b a ,,是已知数，0≠a )的根的判别式（ac b 42-=∆）：(ⅰ)当0>∆时，一元二次方程有两个不相等的实数根； (ⅱ)当0=∆时，一元二次方程有两个相等的实数根； (ⅲ)当0<∆时，一元二次方程没有实数根． 以上结论，反之亦成立．④一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：若一元二次方程02=++c bx ax (c b a ,,是已知数，0≠a )的两根为1x 、2x ，则acx x a b x x =⋅-=+2121,． 二元二次方程组（一个二元一次方程、一个二元二次方程）①含有两个未知数，且未知项的最高次数为2，由这样的几个整式方程所组成的方程组叫做二元二次方程组．②二元二次方程组的解法．其基本思想是消元、降次．其方法主要是代入消元法． 分式方程①分母中含有未知数的方程叫做分式方程． ②分式方程的解法．其基本思想是将分式方程转化为整式方程．其方法是运用等式性质在方程两边同乘以最简公分母．解分式方程必须要验根．列方程（组）解应用题的一般步骤：①审清题意；②找出等量关系；③设出直（间）接未知数；④列出方程（组）；⑤解方程（组）；⑥验方程（组）的根；⑦答出完整的语句． 3、能力要求例1 解二元一次方程组和三元一次方程组： （1）⎩⎨⎧=+=+;134,1632y x y x（2）⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++=++.1232,72,1323z y x z y x z y x 【分析】(1)因为方程②中的x 的系数为1，所以应把方程②变形为y x 413-=，然后把它代入方程①求出y 后再求x 即可．（2）三个未知数的系数中最简单的系数是z 的系数，故考虑先消去z ，而消去z 的方法有①+③；②+③×2；①×2－②，我们选择①+③和②+③×2，消去同一个未知数z ，就可以得到关于x 与y 的二元一次方程组，然后解此二元一次方程组． 【解】(1) 由②，得 .413y x -= ③ 将③代入①,得 (),1634132=+-y y即 .105-=-y.2=∴y ④将④代入③,得 .5=x所以原方程组的解是⎩⎨⎧==.2,5y x（2）①+③，得 ,2555=+y x即 .5=+y x ④②+③×2，得 .3175=+y x ⑤④与⑤组成方程组，⎩⎨⎧=+=+.3175,5y x y x解这个方程组得 ⎩⎨⎧==.3,2y x 把2=x ，3=y 代入①，得 .133223=+⨯+⨯z.1=∴z①②① ②③所以原方程组的解是⎪⎩⎪⎨⎧===.1,3,2z y x【说明】本题主要考查学生的计算能力．教师在复习时要加强计算能力的培养，为解决综合题中的计算打好基础．该题体现了化归思想方法．请学生尝试用其它消元方法解这两个方程组，并进行比较．例2 解一元二次方程和二元二次方程组： （1）;0132=-+x x（2）()();02≠-=-a b ax b ax（3）⎩⎨⎧=--=-+-.012,011622y x y y x【分析】（1）解一元二次方程应考虑因式分解法，十字相乘法，公式法，配方法等方法．本题通过尝试，选用公式法较为适宜．（2）该题的等式两边有相同的式子，应移项后提公因式；而不能直接在等号两边除以ax b -，否则，方程将失根．（3）题中方程②是二元一次方程，把它变形为21x y =+，并把它代入方程①，可得到关于y 的一元二次方程．【解】(1) ∵原方程中,1=a ,3=b ,1-=c(),013114942>=-⨯⨯-=-=∆ac b,2133242±-=-±-=a ac b b x1313x -+∴=.21332--=x （2）移项，提取公因式，得 ()().01=---b ax b ax0=-∴b ax 或.01=--b ax,0≠a Θ,1a b x =∴.12ab x += (3) 由②，得 .12+=y x ③把③代入①，得 (),01161222=-+-+y y y即 .09102=+-y y① ②解之得 ,91=y .12=y 当91=y 时，;191=x 当12=y 时，.32=x所以原方程组的解是⎩⎨⎧==,9,1911y x ⎩⎨⎧==.1,322y x 【说明】本题考查了一元二次方程和二元二次方程组的解法和计算能力；该题不但考查了数学的转化（消元、降次）思想，而且还沟通了二次函数中的问题，如：求抛物线与x 轴的交点坐标、直线与抛物线的交点坐标等问题． 例3 解分式方程：（1）;32121---=-x xx （2）.113162=---x x【分析】在确定最简公分母前一般先把方程中各分式的分子分母按未知数x 降幂排列，（1）的最简公分母是()2x -，（2）的最简公分母是()()11x x +-．分式方程可转化为一元一次方程或一元二次方程． 【解】（1）原方程变形为.32121---=-x x x 方程两边同乘以最简公分母()2x -，约去分母，得 ().2311---=x x 解这个方程得 .2=x检验：把2=x 代入最简公分母，得 .02=-x ∴2=x 是原方程的增根． 所以原方程无解． （2）原方程变形为()().113116=---+x x x方程两边同乘以最简公分母()()11-+x x ，约去分母，得 ()()().11136-+=+-x x x 整理得 .0432=-+x x 解这个方程得 ,41-=x .12=x经检验，41-=x 是原方程的根；12=x 是原方程的增根．所以原方程的根是4-=x ． 【说明】解分式方程的关键在于确定正确的最简公分母和检验．值得注意的是在去分母时不要遗漏没有分母的项．该题考查了化归思想，教学时应将这种数学思想渗透给学生．例4已知：x x 12，是关于x 的方程()4356022x m x m ---=的两个实数根，且x x 1232=，求m 的值．【分析】题中有条件：x x 12，是方程的两根；对此条件的联想：根的定义，根的判别式，根与系数的关系等；题中要求m 的值，应列出关于m 的关系式．【解】因x x 12，是关于x 的方程()4356022x m x m ---=的两个实数根， 故.2345322121m x x m x x -=⋅-=+， ,023,2322121≤-=⋅=m x x x x Θ .2321-=∴x x设，，k x k x 2321=-=所以 ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅--=+-.2323,453232m k k m k k 整理得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=.4,43522m k m k 解之得 m m 1215==当5121==m m ，时，△分别都大于.0 ∴m 的值1或5例5 为庆祝“六一”儿童节，某市中小学统一组织文艺汇演，甲、乙两所学校共92人（其中甲校人数多于乙校人数，且甲校人数不够90人），•准备统一购买服装参加演出，下面是购买服装的套数 1套至45套 46套至90套 91套及以上 每套服装的价格60元50元40元如果两所学校分别单独购买服装，一共应付5000元．（1）如果甲、乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？ （2）甲、乙两所学校各有多少学生准备参加演出？ （3）如果甲校有10名同学抽调去参加书法绘画比赛而不能参加演出，请你为两所学校设计一种最省钱的购买服装方案．【分析】（1）由于甲、乙两校联合起来购买92套服装，因此每套服装的价格为40元．（2）由于甲、乙两校共92人，甲校人数多于乙校人数，因此甲校人数多于46人；又由于甲校人数不够90人，因此甲校应按每套50元购买，乙校应按每套60元购买．（3）利用（2）的结果分别讨论各自购买和联合购买的服装款；由于91×40＜90×50，即按每套40元购买时的服装款有可能比按每套50元购买时的服装款少，因此，还需与按每套40元购买时的服装款比较．【解】（1）由题意得5000－92×40=5000－3680=1320（元）即两校联合起来购买服装比各自购买服装共可省1320元． （2）设甲、乙两所学校分别有x 名，y 名学生准备参加演出 由题意得：⎩⎨⎧=+=+5000605092y x y x 解得：⎩⎨⎧==4052y x答：甲、乙两所学校分别有52名，40名学生准备参加演出．（3）因为甲校有10人不能参加演出， 所以甲校有52－10=42人参加演出若两校各自购买服装，则需要42×60+40×60=4920（元）； 若两校联合起来购买服装，则需要50×（42+40）=4100（元）， 此时比各自购买服装可以节约4920－4100=820（元）； 但如果两校联合购买91套服装只需40×91=3640（元），此时又比联合购买每套50元的服装可节约4100—3640=460（元）所以最省钱的买服装方案是两校联合购买91套服装（即比实际人数多购买9套）．例6 已知：如图，矩形A BCD 中，AD=a ，DC=b ．在AB 上找一点E ，使E 点与C 、D 的连线将此矩形分成的三个三角形相似，设AE= x ．问：这样的点E 是否存在?若存在，这样的点E 有几个?请说明理由． 【分析】要使Rt △ADE, Rt △BEC, △ECD 彼此相似，点E 必须满足∠AED+∠BEC=90°,为此，可设在AB 上存在满足条件的点E 使得Rt △ADE ∽ Rt △BEC 即可解决． 【解】依题意，要使分成的三个三角形相似， 则∠AED+∠BEC=90°，而∠BEC+∠ECB=90°，即∠AED=∠ECB ，则△ADE ∽△BEC∴,BEAD BC AE =∴xb a a x -=整理得：,022=+-a bx x()()a b a b ac b 2242-+=-=∆而,02>+a b当02<-a b 即a b 2<时，,0<∆方程无实数解，即符合条件的点E 不存在．当02=-a b 即a b 2=时，,0=∆方程有两个相等的实数解，即点E 存在，且只有一个，是AB 的中点．当02>-a b 即a b 2>时，,0>∆方程有两个不相等的实数解，24222,1a b b x -±=都符合题意，即存在两个点满足条件．【说明】本题是数形结合型题目．在解决很多几何题目时，常常用到一元二次方程的有关知识来做．解决此类型题目的关键在于把“形”的条件转化为“数”的条件，通过解决“数”的问题来达到解决“形”的问题的目的；同时，还要注意分类讨论思想的运用．本题也可用与圆有关的知识解答．DC AEB。
浙江省杭州市三墩中学九年级数学《不等式(组)及其应用》教案 人教新课标版
四、不等式（组）及其应用教学目标：1． 立足教材，打好基础，查漏补缺，系统复习，熟练掌握本部分的基本知识、基本方法和基本技能.2． 让学生自己总结交流所学内容，发展学生的语言表达能力和合作交流能力． 情感目标：通过学生自己归纳总结本部分内容，使他们在动手操作方面，探索研究方面，语言表达方面，分类讨论、归纳等方面都有所发展．通过对实际问题的教学，让学生初步认识体会数学和社会，生活的联系，同时渗透环境保护为背景的问题，激发学生热爱生活，热爱社会环境保护事业，决心为实现和谐社会而学好数学的思想；同时，通过理论联系实际的方式，通过知识的应用，培养学生热心环境保护和节约资源思想观点。
教学重点与难点重点：将本部分的知识有机结合，强化训练学生综合运用数学知识的能力，． 难点：把数学知识转化为自身素质. 增强用数学的意识． 教学过程： 【知识回顾】 1、知识脉络2、基础知识 不等式的有关概念(1)用不等号表示不等关系的式子叫做不等式 (2)使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.(3)不等式的所有的解,组成这个不等式的解的集合,简称为这个不等式的解集. (4)求不等式的解集的过程,叫做解不等式. 不等式的基本性质 (1)不等式的性质1不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号方向不变. 如果a >b ,那么a +c >b +c ,a -c >b -c . (2)不等式的性质2不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变. 如果a >b ,并且c >0,那么a c >b c . (3)不等式的性质3不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变. 如果a >b ,并且c <0,那么a c <b c . 一元一次不等式(1)只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的最高次数是1,像这样的不等式叫做一元一次不等式.(2)解一元一次不等式与解一元一次方程相类似,基本步骤是:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.特别要注意当系数化为1时,不等式两边同乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向必须改变.(3)一元一次不等式的解集在数轴上直观表示如下图:一元一次不等式组(1)几个未知数相同的一元一次不等式所组成的不等式组叫做一元一次不等式组. (2)解一元一次不等式组一般先求出不等式组中各个不等式的解集,再利用数轴求出它们的公共部分.x <ax >a x ≤ax ≥a(3)由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下: 若b a <,则 ①⎩⎨⎧>>b x a x 的解集是b x >，如下图： ②⎩⎨⎧<<b x ax 的解集是a x <，如下图：③⎩⎨⎧<>b x a x 的解集是b x a <<，如下图： ④⎩⎨⎧><bx a x 无解，如下图：不等式(组)的应用解不等式的应用问题关键是建立不等式模型,会根据题中的不等量关系建立不等式(组),解决实际应“三、方程(组)及其应用”中列方程(组)解应用题的一般步骤. 3．能力要求例1.解下列不等式(组),并把解集在数轴上表示出来. (1)151--x ≥;2x(2) ()82+x ≤(),3410--x ①.131221<--+x x ② 解：(1) 去分母,得 ()1012--x ≥,5x整理,得 x 3-≥,12 ∴x ≤.4-解集在数轴上表示为:(2) 由①得 162+x ≤,12410+-x 整理得 x 6≤,6 ∴x ≤;1由②得 ()(),612213<--+x x 整理得 ,1<-x-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2∴.1->x解集在数轴上表示为:∴ 不等式组的解集为x <-1≤.1x 、y 的方程组⎩⎨⎧=+-=-ay x a y x 2132的解是负数,求a 的取值X 围.【分析】先由方程组求出方程组的解(用含a 的代数式表示),再由方程组的解为负数列出不等式组,求a 的取值X 围.【解】 解方程组,2132⎩⎨⎧=+-=-a y x a y x 得 .71725⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=a y a x∵方程组的解是负数，∴⎩⎨⎧<<.0,0y x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<-.071,0725a a ∴⎪⎩⎪⎨⎧-<<.1,52a a ∴.1-<a例3.现计划把甲种货物1240t 和乙种货物880t 用一列货车运往基地,已知这列货车挂有A 、B 两种不同规格的货车厢共40节，使用A 型车厢每节费用为6000元，使用B 型车厢每节费用为8000元.(1)设运送这批货物的总费用为y 万元,这列货车挂A 型车厢x 节,试写出y 与x 之间的函数关系式.(2)如果每节A 型车厢最多可装甲种货物35t 和乙种货物15t,每节B 型车厢最多可装甲种货物25t 和乙种货物35t,装货时按此要求安排A 、B 两种车厢的节数,那么共有几种方案?(3)在(2)的方案中,哪种方案费用最省?并求出最省费用. 【解】 (1) ∵ 用A 型车厢x 节,则B 型车厢为(40-x )节,得.322.0)40(8.06.0+-=-+=x x x y43 -4 -3 -2 -1 0 12(2) 依题意,得 ()x x -+402535≥,1240()x x -+4035≥.880解之,得 24≤x ≤.26 ∵x 取整数， ∴24=x 或25或26.∴ 共有三种方案:① 24节A 型车厢和16节B 型车厢; ② 25节A 型车厢和15节B 型车厢; ③ 26节A 型车厢和14节B 型车厢.(3) 当24=x 时,2.27=y 万元; 当25=x 时,27=y 万元; 当26=x 时,8.26=y 万元;故安排方案③,即A 型车厢26节,B 型车厢14节最省,最省费用为26.8万元. 【说明】目前中考越来越注重能力的考查.本题是一道实际生活中的“方案设计问题”，要善于把这类问题转化，抽象为数学问题加以解决.例4. 某市大蒜在国内、国际市场享有盛誉.某运输公司计划用10辆汽车将甲、乙、丙三种规格大蒜共100t 运输到外地.按规定每辆车只能装同一种大蒜,且必须满载,每种大蒜不少于一车.(1)设用x 辆车装运甲种大蒜,用y 辆车装运乙种大蒜,根据下表提供的信息,求y 与x 之间的函数关系式,并求自变量x 的取值X 围.(2)设此次运输公司的利润为M (单位:百元),求M 与x 的函数关系式及最大运输利润,并安排此时相应的车辆分配方案.【分析】题(1)中要全面把握三个条件：共用10辆汽车；大蒜共100t ；每种大蒜不少于一车.由题意可以列出方程和不等式.题(2)中运输公司的利润M 是甲、乙、丙三种大蒜的利润总和. 【解】(1)∵用x 辆车装运甲种大蒜,用y 辆车装运乙种大蒜，∴装运丙种大蒜的车辆为(10―x ―y )辆. 根据题意，得 10(11108++y x ―x ―)y ＝100，∴当x ＝1时M 有最大值. ∴M最大＝－210+4.1＝6.208（百元）此时相应的车辆分配方案为：用1辆车装运甲种大蒜, 用7辆车装运乙种大蒜, 用2辆车装运丙种大蒜.【说明】不等式的运用常常与方程（组）、函数的知识相结合，当不等式作为隐含条件使用的时候，更能反映学生全面思考问题的能力.“绿色能源”,该地拟建一个小型风力发电场,决定选用A 、B 两种型号的风力发电机.根据产品说明,这两种风力发电机在各种风速下的日发电量(即一天的发电量)如下表:日平均风速)//(s m v3<v [63<≤v6≥v日发电量h kW ⋅/A 型发电机0 ≥36 ≥150 B 型发电机≥24≥90根据上面的数据回答：(1)若这个发电场购x 台A 型风力发电机，则预计这些A 型风力发电机一年的发电kW⋅；总量至少为h(2)已知A型风力发电机每台0.3万元,B型风力发电机每台0.2万元.该发电场拟购置风力发电机共10台,希望购置的费用不超过2.6万元,而建成的风力发电场每年kW⋅,请你提供符合条件的购机方案.的发电总量不少于102000h【解】(1)12600x(－)x台.(2)设购A型发电机x台，则购B型发电机10根据题意，得()x2.03.0≤,6.2+10x-()x7800≥.x-+10102000解之得：5≤x≤.6∴可购A型发电机5台，则购B型发电机5台；或购A型发电机6台，则购B型发电机4台.【说明】本题提供的是实际生活中常见的表格，要善于从中找出解题所需要的有效信息，构建相应的数学模型.。
初中函数与应用教案
初中函数与应用教案教学目标：1. 了解函数的概念，理解自变量与函数的关系。
2. 学会用函数解决实际问题，培养学生的模型思想。
3. 培养学生的观察、交流、分析问题的能力，提高学生的数学素养。
教学内容：1. 函数的概念及自变量与函数的关系。
2. 函数的实际应用。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾之前学过的变量概念，让学生举例说明常量和变量的区别。
2. 提问：生活中有哪些现象可以用变量来描述？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解函数的概念，引导学生理解自变量与函数的关系。
2. 通过具体例子，让学生体验函数的实际应用，如温度与高度的关系。
3. 讲解函数的表示方法，如解析式和图象。
三、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成课后练习，巩固函数概念和自变量与函数的关系。
2. 引导学生运用函数解决实际问题，如购物时打折问题。
四、小组讨论（10分钟）1. 学生分组讨论，分享各自解决问题的过程和心得。
2. 教师巡回指导，解答学生疑问。
五、总结与反思（5分钟）1. 让学生总结本节课所学内容，巩固函数概念和自变量与函数的关系。
2. 反思自己在解决问题时的思路和方法，提高解决问题的能力。
教学评价：1. 课后收集学生的课堂练习，评估学生对函数概念和自变量与函数关系的掌握程度。
2. 观察学生在小组讨论中的表现，了解学生的合作能力和交流能力。
教学反思：本节课通过具体例子让学生了解函数的概念，理解自变量与函数的关系。
在教学过程中，注重引导学生运用函数解决实际问题，培养学生的模型思想。
同时，通过小组讨论，提高学生的合作能力和交流能力。
在今后的教学中，要继续加强对函数概念的讲解，让学生更加深入地理解函数的本质。
此外，可以增加更多的实际应用例子，让学生在解决实际问题的过程中，更好地运用函数知识。
同时，要注意培养学生的观察、交流、分析问题的能力，提高学生的数学素养。
函数九年级数学教案
函数九年级数学教案函数九年级数学教案函数九年级数学教案1 一、教材分析^p1、教材的地位和作用二次函数是在学生系统学习了函数概念，根本掌握了函数的性质的根底上进展研究的，在初中的学习中已经给出了二次函数的图象及性质，学生已经根本掌握了二次函数的图象及一些性质，只是研究函数的方法都是按照函数解析式---定义域----图象----性质的方法进展的，基于这种情况，我认为本节课的作用是让学生借助于熟悉的函数来进一步学习研究函数的更一般的方法，即：利用解析式分析^p 性质来推断函数图象。
它可以进一步深化学生对函数概念与性质的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，站在新的高度研究函数的性质与图象。
因此，本节课的内容非常重要。
2、教学的重点和难点教学重点：使学生掌握二次函数的概念、性质和图象;从函数的性质推断图象的方法。
教学难点：掌握从函数的性质推断图象的方法。
二、目的分析^p按照新课标指出三维目的，根据任教班级学生的实际情况，本节课我确定的教学目的是：1、知识与技能：掌握二次函数的性质与图象，可以借助于详细的二次函数，理解和掌握从函数的性质推断图象的方研究法。
2、过程与方法：通过老师的引导、点拨，让学生在分组合作、积极探究的气氛中，掌握从函数解析式、性质出发去认识函数图象的高度理解和研究函数的方法。
3、情感、态度、价值观：让学生感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要;培养学生主动学习、合作交流的意识等。
三、教法学法分析^p遵循“老师的主导作用和学生的主体地位相统一的教学规律”，从老师的角色突出表达老师是设计者、组织者、引导者、合作者，经过老师对教材的分析^p 理解，在老师的组织引导和师生互动过程中以问题为载体施行整个教学过程;在学生这方面，通过自主探究、合作交流、归纳方法等一系列活动为主线，感受知识的形成过程，拓展和完善自己的认知构造，进而表达出教学过程中老师与学生的双主体作用。
四、教学过程分析^p根据新课标的理念，我把整个的教学过程分为六个阶段，即：创设情景、提出问题师生互动、探究新知独立探究，稳固方法强化训练，加深理解小结归纳，拓展深化布置作业，进步升华环节1本节课一开场我就让学生直接总结出二次函数的性质与图象形状，在学生答复后，以有必要再重复吗?编者的失误?还是另有用意呢?的设问来激发学生的求知欲，在学生感觉很疑惑的时候马上进入环节2:试作出二次函数的图象。
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教学目标：1． 立足教材，打好基础，查漏补缺，系统复习，熟练掌握本部分的基本知识、基本方法和基本技能. 2． 让学生自己总结交流所学内容，发展学生的语言表达能力和合作交流能力． 情感目标：通过学生自己归纳总结本部分内容，使他们在动手操作方面，探索研究方面，语言表达方面，分类讨论、归纳等方面都有所发展．1. 通过活动,让学生了解我国水资源现状,渗透品德教育,使学生形成节约用水的良好习惯。
教学重点与难点重点：将本部分的知识有机结合，强化训练学生综合运用数学知识的能力，． 难点：把数学知识转化为自身素质. 增强用数学的意识． 教学过程： 【知识回顾】 1.知识脉络2.基础知识(1)一次函数的图象：函数y =kx b (k 、b 是常数，k ≠0)的图象是过点(0，b )且与直线y =kx 平行的一条直线.一次函数的性质：设y =kx b (k ≠0)，则当k ＞0时，y 随x 的增大而增大；当k ＜0， y 随x 的增大而减小.正比例函数的图象：函数y =kx (k 是常数，k ≠0)的图象是过原点及点(1，k )的一条直线.当k ＞0时，图象过原点及第一、第三象限；当k ＜0时，图象过原点及第二、第四象限.正比例函数的性质：设y =kx (k ≠0)，则当k ＞0时，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小.(2)反比例函数的图象：函数xky =(k ≠0)是双曲线.当k ＞0时，图象在第一、第三象限；当k ＜0时，图象在第二、第四象限.反比例函数的性质：设xky =(k ≠0)，则当k ＞0时，在每个象限中，y 随x 的增大而减小；当k ＜0时，在每个象限中，y 随x 的增大而增大.(3)二次函数实际问题平面直角坐标系函 数一次函数的图象与性质反比例函数的图象与性二次函数的图象与性质函 数的应用变量一般式：)0(2≠++=a c bx ax y .图象：函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象是对称轴平行于y 轴的抛物线. 性质：设)0(2≠++=a c bx ax y①开口方向：当a ＞0时，抛物线开口向上，当a ＜0时，抛物线开口向下； ②对称轴：直线ab x 2-=； ③顶点坐标()44,22ab ac a b --； ④增减性：当a ＞0时，如果a b x 2-≤，那么y 随x 的增大而减小，如果2bx a≥-，那么y 随x 的增大而增大；当a ＜0时，如果a b x 2-≤，那么y 随x 的增大而增大，如果2bx a≥-，那么y 随x 的增大而减小.顶点式()()20y a x h k a =-+≠.图象：函数()()20y a x h k a =-+≠的图象是对称轴平行于y 轴的抛物线. 性质：设()()20y a x h k a =-+≠①开口方向：当a ＞0时，抛物线开口向上，当a ＜0时，抛物线开口向下；②对称轴：直线x h =； ③顶点坐标(,)h k ；④增减性：当a ＞0时，如果x h ≤，那么y 随x 的增大而减小，如果x h ≥，那么y 随x 的增大而增大；当a ＜0时，如果x h ≤，那么y 随x 的增大而增大，如果x h ≥，那么y 随x 的增大而减小. 3.能力要求 例1如图，二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，图象经过点(－1，2)和(1，0)，且与y 轴相交于负半轴．给出四个结论：① 0abc <；② 20a b +>；③ 1a c +=； ④1a >．其中正确结论的序号是 ．【解】由图象可知：a ＞0，b ＜0，c ＜0，∴abc ＞0； ∵对称轴x ＝2b a -在(1，0)的左侧，∴2b a-＜1，∴20a b +>； ∵图象过点(－1，2)和(1，0)，∴20a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩，∴1a c +=，b ＝－1；∴a ＝1－c ＞1.∴正确的序号为：②③④．xy O1 -12【说明】函数图象是研究函数性质的有力工具，是数形结合思想方法的重要运用.本题通过形(图象及其位置)的条件得出数(相等和不等关系)的结论.教师在复习总要加强这种思想方法的渗透.例2 设直线1y x b =+与抛物线22y x c =+的交点为A (3，5)和B ．⑴求出b 、c 和点B 的坐标；⑵画出草图，根据图像回答：当x 在什么范围时12y y ≤．【分析】与一次函数、二次函数的图象交点有关的问题，可通过转化为方程(组)的思路解决.借助于函数图象可直观地解决函数值的大小比较.【解】(1)∵直线1y x b =+与抛物线22y x c =+的交于点A (3，5)，∴3595b c +=⎧⎨+=⎩，∴24b c =⎧⎨=-⎩，∴12y x =+，224y x =-.由224y x y x =+⎧⎨=-⎩得121223,,05x x y y =-=⎧⎧⎨⎨==⎩⎩∴B (-2,0).(2)图象如图所示，由图象可知：当2x ≤-或3x ≥时，12y y ≤．【说明】本题着重考查与函数图象交点有关的问题及函数值的大小比较问题，要求学生能够利用数形结合思想，沟通函数和方程(组)、不等式的联系和相互转化.例3 已知抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为(1,-4)，且抛物线在x 轴上截得的线段长为4，求抛物线的解析式.【解】∵抛物线的顶点为(1,4)，∴设抛物线的解析式为()214y a x =--，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，又∵抛物线在x 轴上截得的线段长为4， ∴抛物线与x 轴的交点为(1,0)，(3,0)， ∴0＝4a 4，∴a ＝1，∴抛物线的解析式为()214y x =--，即223y x x =--.【说明】抛物线的对称性常常是解题的切入口，本题也可以通过设抛物线与x 轴的交点为()12,0,(,0)x x ，则124x x -=，利用根与系数的关系来求解，但这样显然比较繁琐.例4 利达经销店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理)．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7. 5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x (元)，该经销店的月销售量为p (吨)，月利润为y (元)，月销售额为w (元)，．(1)当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；求出p 与x 的函数关系式(不要求写出x 的取值范围)；(2)求出y 与x 的函数关系式(不要求写出x 的取值范围)； (3)该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？(4)小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由． 【解】(1)当每吨售价是240元时，此时的月销售量p ＝260240457.56010-+⨯=吨；由题意得：p ＝260457.510x -+⨯，即p ＝32404x -+.(2)y ＝()()31001002404x p x x ⎛⎫-=--+ ⎪⎝⎭，即y ＝23315240004x x -+-.(3)配方得：y ＝()2321090754x --+，∴当x ＝210时，y max ＝9075(元). (4)w ＝32404xp x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即w ＝()23160192004x --+，∴当x ＝160时w max ＝19200.∴y 与w 不是同时取得最大值，小静说法不对.【说明】本题是一次函数和二次函数在实际生活中的综合运用，学生关键要理解商品经济中的进价(成本价)，售价，单位利润(每件商品的利润)，销售数量，总利润，销售额的概念及其关系.单位利润＝售价－进价，总利润＝单位利润×销售数量，销售额＝售价×销售数量. 例5如图，平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩ＮBPCy形，点A B ，的坐标分别为(40)43()，，，，动点M N ，分别从O B ，同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点M 沿OA 向终点A 运动，点N 沿BC 向终点C 运动，过点M 作MP OA ⊥，交AC 于P ，连结NP ，已知动点运动了x 秒． (1)P 点的坐标为( ， )(用含x 的代数式表示)； (2)试求NPC △面积S 的表达式，并求出面积S 的最大值及相应的x 值； (3)当x 为何值时，NPC △是一个等腰三角形？简要说明理由．【分析】求P 点坐标，由图可知，就是要求线段OM ，PM ，由△APM ∽△ACO 可得；求△NPC 的面积的关键是用x 的代数式表示边CN 上的高PQ ；△NPC 是等腰三角形有三种情形，不能遗漏.【解】(1)由题意可知，(03)C ，，(0)(43)M x N x -，，，，P ∴点坐标为()x x 3，3-4． (2)设NPC △的面积为S ，在NPC △中，4NC x =-，NC 边上的高为34x ，其中04x ≤≤．221333(4)(4)(2)2882S x x x x x 3∴=-⨯=-+=--+4．S ∴的最大值为32，此时2x =．(3)延长MP 交CB 于Q ，则有PQ BC ⊥． ①若NP CP =，PQ BC NQ CQ x ⊥==，．34x ∴=，43x ∴=． ②若CP CN =，则35444CN x PQ x CP x =-==，，，516449x x x -=∴=，．③若CN NP =，则4CN x =-．3424PQ NQ x ==-， ，在Rt PNQ △中，222PN NQ PQ=+．2223(4)(42)()4x x x ∴-=-+，12857x ∴=． 综上所述，43x =，或169x =，或12857x =． ············ 【说明】本题为双动点综合题，是中考的压轴题，有较大的难度.(1)(2)两小题与函数有关，解题的关键在于把握动点的运动规律，用x 的代数式表示出动点的路程，从而结合相似形的知识把其它有关线段也用x 的代数式表示出来为解题服务.(3)要用到分类讨论的思想方法.ＮBAMP CO yx Ｑ。