第三章 平面机构运动分析

第三章 平面机构运动分析一、学习指导与提示运动分析的任务是已知机构的运动学尺寸、机构位置和原动件的运动规律，求其余活动构件上各点的运动规律(位置、轨迹、位移、速度、加速度及角位移、角速度、角加速度)。

分析的方法为：用速度瞬心法求机构的速度；用矢量方程图解法求机构的速度和加速度；用解析法作机构的运动分析。

本章的应重点掌握速度瞬心法和矢量方程图解法。

1．速度瞬心法速度瞬心(简称瞬心)是互相作平面相对运动的两构件上瞬时相对速度为零的点，又称同速点。

若该点的绝对速度为零，则为绝对瞬心，否则为相对瞬心。

机构中瞬心位置的确定方法：（1）由于每两个构件有一个瞬心，所以由N 个构件(含机架)组成的机构，其瞬心的数目为2/)2(-=N N k(2)两构件组成转动副时，该副的回转中心即为其瞬心。

(3)两构件组成移动副时，它们之间的瞬心位于移动方向垂直线上的无穷远处。

(4)两构件组成纯滚动的高副时，其瞬心在其高副接触点上；若组成滚动兼滑动的高副时，其瞬心在接触点处的公法线上。

(5)当两个构件不直接组成运动副时，可用三心定理来确定其瞬心。

三心定理是指：三个彼此作平面运动的构件的三个瞬心必位于同一直线上。

利用瞬心的概念，来求解待求运动构件与已知运动构件的速度关系，比较直观、简便，而且所求构件与已知构件相隔若干构件时也可直接求得。

但须注意瞬心法只能求速度关系，不能用于求加速度。

2．矢量方程图解法矢量方程图解法是利用机构中各点之间的相对运动关系列出它们之间的速度或加速度矢量方程式，然后按一定的比例尺根据方程作矢量多边形来进行求解，又称相对运动图解法。

在平面里，一个矢量是由它的大小和方向两个参数确定的，所以一个矢量方程相当于两个代数方程，一个矢量方程可用图解法解出矢量的两个未知参数。

矢量方程图解法(相对运动图解法)的基础是理论力学的运动学，务必注意动点和参考点的选取。

当用基点法时，动点和参考点应取在同一构件上；当用重合点法时，动点和参考点必须取在不同的构件上，此时，动点和参考点是不同构件上的瞬时重合点。

解题的步骤为：（1）根据题意选取动点和参考点。

（2）根据所取动点和参考点是在同一构件上还是在不同的构件上，相应地选用基点法或重合点法建立速度和加速度矢量方程式。

（3）按一定的比例尺准确画出矢量多边形，以此求得待求矢量的大小和方向。

（4）必须注意：在用重合点法时，若动点所在的构件是作转动的，即牵连运动为转动，加速度矢量方程式中不可漏掉哥氏加速度分量。

（5）注意：根据速度矢量方程按一定比例尺作出的各速度矢量构成的图形称为速度多边形（如图3.1 (b)所示），其作图起点p 称为速度多边形的极点。

在速度多边形中，由极点p 向外放射的矢量代表构件上同名点的绝对速度，而联接两绝对速度矢端的矢量，则代表构件上相应两同名点间的相对速度。

速度多边形中Δabc 与构件2上ΔABC 相似，且字母顺序一致，故Δabc 称为构件上ΔABC 的速度影像。

利用速度影像原理，当已知同一构件上两点的绝对速度时，即可作出速度影像图，求得此构件上其它任一点的速度。

应该注意的是速度影像只能用于同一构件的速度求解。

同理，根据加速度矢量方程按一定比例尺作出的由各加速度矢量构成的图形称为加速度多边形（如图3.1 (c)所示），其作图起点p '称加速度多边形的极点。

在加速度多边形中，由极点p '向外放射的矢量代表构件上同名点的绝对加速度，而联接两绝对加速度矢端的矢量，则代表构件上相应两同名点间的相对加速度。

相对加速度又可用其法向加速度和切向加速度的矢量和来表示。

加速度多边形中c b a '''∆与构件2上ΔABC 也相似，且字母顺序一致，故称c b a '''∆为构件2上ΔABC 的加速度影像。

同样，利用加速度影像原理，当已知同一构件上两点的绝对加速度时，即可作出加速度影像图，求得此构件上其它任一点的加速度。

加速度影像原理也只能用于同一构件的加速度求解。

图3.1二、复习思考题3-1．机构运动分析包括哪些内容？对机构进行运动分析的目的是什么？3-2．什么叫三心定理?3-3．何谓速度影像及加速度影像？应用影像法求某一点的速度或加速度时必须具备什么条件?3-4．构件上的所有点是否均有其速度影像及加速度影像？机架的速度影像及加速度影像在何处?3-5．什么情况下才会有哥氏加速度存在？其大小如何计算？方向又如何确定?3-6．速度瞬心可以定义为互相做平面相对运动的两构件上 的点。

3-7．在机构运动分析图解法中，影像原理只适用于求 。

3-8．平面四杆机构中，共有 个速度瞬心，其中 个是绝对瞬心。

3-9．当两构件组成回转副时，其瞬心是 。

3-10．当两构件不直接组成运动副时，瞬心位置用 确定。

3-11．当两构件的相对运动为 动，牵连运动为 动时，两构件的重合点之间将有哥氏加速度。

哥氏加速度的大小为 ；方向为 。

3-12．当两构件组成移动副时，其瞬心在 处；组成兼有滑动和滚动的高副时，其瞬心在 。

三、例题精选与解答例3.1求图示机构的全部瞬心。

例3.1图 解：画出全部瞬心如图所示。

例3.2设图示机构中各构件的尺寸已知，原动件1的角速度1ω为常数(逆时针方向)，试按任意比例尺定性画出机构的速度多边形，并求：（1）c v 、4D v 和4ω？（2）分析哥氏加速度kD D a 24的大小，并说明其方向？（3）分析哥氏加速度k D D a 24=0的位置若干个。

（a ） (b)例3.2图解：本题要点：① 求c v 可基点法，列出同一构件上不同点（22C B 与）间的速度关系的矢量方程式，并图解之；② 构件4与2之间只有相对移动（24D D v ），没有相对转动，但构件4本身是作平面运动的，有转动分量，其转动角速度24ωω=；③ 哥氏加速度为零的条件是牵连运动的角速度为零或相对移动速度为零。

（1）求c v 、4D v 和4ω：2222B C B C += （注意：用的是基点法）大小 ？ 1l ω ?方向 ∥AB ⊥AB ⊥BC选比例尺v μ 作速度多边形，见例3.2图（b ），2pc 代表c v ，∴ 2pc v v C ⋅=μ求4D v ，应先求2D v ，可用速度影像原理，将22c b 线段根据2222//c d d b DC BD =来分，得到2d 点，连2pd ，即代表2D v 。

2424D D D D v v v += （注意：用的是重合点法）大小 ？ 2pd ?方向 ∥ED 2pd ∥BC在速度矢量多边形作出4d 点，线段4pd 代表4D v ，线段42d d 代表24D D v ，∴ 44pd v v D ⋅=μ 在速度矢量多边形中，线段22c b 代表22B C v ，∴ BC v BC B C l c b l v 222224⋅===μωω （2）242242D D k D D v a ω=，方向将42d d 沿 902转ω（⊥BC ，向下）。

（3）kD D a 24=0的位置有四个：AB 与AC 的两个共线位置时，024=D D vAB ⊥AC 的两个位置时，02=ω例3.3 图示机构中，已知圆盘凸轮半径R =30mm ，偏心距AB =20mm ，BC==60mm ，∠EBC ＝ 60，凸轮以匀角速rad/s 10=ω转动，求图示位置构件2的角速度ω和角加速度2ε。

解：（11212E E E E +=大小 ？ AE l 1ω ?方向 ⊥EC ⊥AE ∥EC∵ AE E l v ⋅=11ωmm 59.43120cos 30202302022=⨯⨯-+=AE l∴ m/s 436.0s /m m 9.43559.431011==⨯=⋅=AE E l v ω取速度比例尺/mm ms 02.01-=v μ，画速度矢量多边形如图（a ）所示，得 m/s 173.065.802.022=⨯=⋅=pe v v E μm/s 4.02002.01212=⨯=⋅=e e v V E E μ∵mm 5296.51306022≈=-=EC l∴ )/1(327.35210173.0322s l v EC E =⨯==ω 顺时针方向 （2）求2εr E E K E E E t E n E E 12121222++=+= 大小 EC l 22ω ？ AE l 21ω 1212E E v ω ?方向 C E → ⊥EC A E → ⊥EC ∥EC其中： 222211m /s 36.4/435959.4310==⨯=⋅=s mm l a AE E ω212112m /s 84.01022=⨯⨯==E E k E E v a ω22222m/s 577.0052.0327.3=⨯=⋅=EC n E l a ω取加速度比例尺/mm ms 2.02-=a μ，画速度矢量多边形如图（b ）所示，得 222m/s 4202.0=⨯=''⋅=e n a a t E μ∴ 222rad/s 77052.04≈==CE t E l a ε 顺时针方向 例3.4 图示齿轮连杆机构，齿轮2与杆BC 固联。

在图示位置，AB 、CD 均垂直BC ，设AB 杆的转动角速度为1ω，齿轮1的角速度为1Z ω，已知齿轮2的齿数302=z ，欲使齿轮1获得角速度1Z ω=31ω，求齿轮1的齿数1z ？例3.4图解：本题表面看是齿轮的齿数问题，实质上是机构的运动分析。

解本题的关键是必须先求出杆BC （即齿轮2）的绝对角速度2Z ω。

CB B C +=大小 ？ AB l 1ω ?方向 ⊥CD ⊥AB ⊥BC 因C 、B 的方向在一条直线上，所以CB =0，即2Z ω=0因P 点为齿轮1、2的相对速度瞬心，有21P P v v =其中 1P v =AP Z l 1ω2P v 的求解应考察齿轮2，用基点法来求：B P B P 22+=∵ 2Z ω=0∴ 02=B P v ,AB B P l 12ω==∴ AP Z l 1ω＝AB l 1ω)(21111r r r Z +=ωω (1r 、2r 为齿轮1、2的的分度圆半径)换算成齿数，并注意到已知条件1Z ω=31ω，有2113z z z +=∴ 15230221===z z 例3.5 图示机构中，杆AB 以匀角速1ω=10（1/S ）绕A 点逆时针转动，杆BC 绕杆AB上的 B 点逆时针转动，其相对角速度ω=5（1/S ），已知mm 320=l ，mm 20=l ，（一）求C v1．基点法(取杆BC 为研究对象，B 点为基点，C 点为动点)CB B C +=大小 ？ AB l 1ω √方向 ？ ⊥AB ⊥BC其中：mm/s 3200320101=⨯==AB B l v ωm m /s 30020)510()(2112=⨯+=+==BC BC CB l l v ωωω（想一想此处为什么必须用2112ωωω+=来计算CB v ？）取速度比例尺/mm ms 02.01-=v μ，画出速度矢量多边形如图（a ）所示，得：mm/s 26.458210000300)3200(2222==+=+=CB B C v v v2．重合点法(将杆1扩大化，取杆1上与C 点重合的点C 1为牵连点；杆2上的C 点为动点，记为C 2点)1212C C C C v +=大小 ？ AC l 1ω √方向 ？ ⊥AC ⊥BC其中：m m /s 400401011=⨯==AC C l v ω （mm 40)320(2022=+=AC l ）m m /s 1002052112=⨯==BC C C l v ω（想一想此处为什么必须用12ω，而不是用1212ωωω+=来计算12C C v ？）取速度比例尺/mm ms 02.01-=v μ，画出速度矢量多边形如图（b ）所示，得： 120cos 2121212212⋅⋅-+==C C C C C C C C v v v v v v mm/s 26.458210000)5.0(100400210040022==-⨯⨯⨯-+=两种方法计算的结果是一样的。