2013届高三理科数学高考模拟考试4

2013届高三理科数学高考模拟考试4
本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟．
一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的. 1. 若复数z 满足(2)117z i i -=+（i 为虚数单位），则z 为（ ）.
.35A i + .35B i - .35C i -+ .35D i --
2. 设0a >且1a ≠，则“函数()x f x a =在R 上是减函数”是“函数()()32g x a x =-在R 上是增函数”的（ ）.
.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件 3. 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为
1,2,,960, 分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编
号落入区间[]1,450的人做问卷A ，编号落入区间[]451,750的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为（ ）. .7A .9B .10C .15D
4. 设变量,x y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +≥⎧⎪
+≤⎨⎪-≥-⎩
则目标函数3z x y =-的取值范围是（ ）.
3.,62A ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 3.,12B ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ [].1,6C - 3.6,2D ⎡
⎤-⎢⎥⎣
⎦
5. 执行右面的程序框图，如果输入4a =，那么输出的n 的值为（ ）.
.2A .3B .4C .5D 6. 已知椭圆()
22
22:
10x y
C a b a b +=>>的离心率
为.双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的
四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为（ ）.
.A 22182x y += .B 22
1126x y +=
.C 221164
x y += .
D 221205x y += 7. 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，
从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多
1张.不同取法的种数为（ ）.
.232A .252B .472C .484D
8. 设函数()()()21
,,,0f x g x ax bx a b R a x
=
=+∈≠，若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且仅有两个不同的公共点()()1122,,,A x y B x y ，则下列判断正确的是（ ）.
.A 当0a <时，12120,0x x y y +<+> .B 当0a <时，12120,0x x y y +>+< .C 当0a >时，12120,0x x y y +<+< .D 当0a >时，12120,0x x y y +>+>
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）
9. 若不等式42kx -≤的解集为{}
13x x ≤≤，则实数k =__________.
10. 如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，,E F 为线段1AA ，1B
C 上的点，则三棱锥1
D EDF -的体积为___________.
11. 设0a >，
若曲线y =与直线,0x a y ==所围成封闭图形的面积为
2
a ，则a =___________.
12.定义在R 上的函数()f x 满足()()6f x f x +=，当31x -≤<-时，()()2
2f x x =-+；当13x -≤<时，()f x x =.则()()()()1232013f f f f ++++= ___________. 13. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在
()0,1，此时圆上一点P 的位置在()0,0，圆在x 轴上沿正方向滚动.当圆滚
动到圆心位于()2,1时，OP
的坐标为____________.
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14.（几何证明选讲选做题）
如图4，过圆O 外一点p 分别作圆的切线和割线交圆于A ,B ，且
PB =7，C 是圆上一点使得BC =5，∠BAC =∠APB , 则AB = .
15．（坐标系与参数方程选讲选做题）
1
A 图 4
已知两面线参数方程分别为(0)sin x y θθπθ⎧=⎪≤<⎨
=⎪⎩ 和25()4x t t R y t
⎧=⎪∈⎨⎪=⎩，它们的交点坐标为___________.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16. （本小题满分12分）
已知向量(
)()sin ,1,cos ,cos 202A m x n x x A ⎫==>⎪⎭
，函数()f x m n =⋅ 的最大
值为6. （1）求A ；
（2）将函数()y f x =的图象向左平移
12
π
个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的
12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在50,24π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的值域.
17. （本小题满分13分）
在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，60,DAB FC ∠=⊥
平面ABCD ，,AE BD CB CD CF ⊥==. （1）求证：BD ⊥平面AED ；
（2）求二面角F BD C --的余弦值.
18. （本小题满分13分）
现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为
3
4
，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为
2
3
，每命中一次得2分，没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击. （1）求该射手恰好命中一次的概率；
（2）求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX .
19. （本小题满分14分）
在等差数列{}n a 中，345984,73a a a a ++==. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）对任意*
m N ∈，将数列{}n a 中落入区间()
29,9m m
内的项的个数记为m b .求数列{}
m b 的前m 项和m S .
20. （本小题满分14分）
在平面直角坐标系,xOy F 是抛物线()2
:20C x py p =>的焦点，M 是抛物线C 上位
于第一象限内的任意一点，过,,M F O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线C 的准线的距
离为
34
. （1）求抛物线C 的方程；
（2）是否存在点M ，使得直线MQ 为抛物线C 相切于点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.
（3）若点M 直线1
:4
l y kx =+
与抛物线C 有两个不同的交点,,A B l 与圆Q 有两个不同的交点,D E ，求当122
k ≤≤时，22
AB DE +的最小值.
21. （本小题满分14分） 已知函数()ln x
x k
f x e +=
（k 为常数， 2.71828e = 是自然对数的底数），曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线与x 轴平行. （1）求k 的值；
（2）求()f x 的单调区间；
（3）设()()
()2
g x x x f x '=+，其中()f x '为()f x 的导函数，证明：对任意0x >，
()21g x e -<+.。