高中数学双曲线抛物线知识点总结

双曲线

平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2a(2a<)的点的轨迹。

方程

22

xy

221(0,0)

ab

ab

22

yx

221(0,0)

ab

ab

简图

y__y

x__x_O

_O

范围

xa或xa,yRya或ya,xR

顶点

(a,0)(0,a)

焦点

(c,0)(0,c)

渐近线b

yx

a a yx b

离心率 c

e(e1)

a

c e(e1)

a

对称轴关于x轴、y轴及原点对称关于x轴、y轴及原点对称

准线方程x

2

a

c

y

2

a

c

a、b、c的关

系

222 cab

考点

题型一求双曲线的标准方程

1、给出渐近线方程

n

yx

m

的双曲线方程可设

为

22

xy

22(0)

mn

，与双曲线

22

xy

221

共渐近线的方程可设为ab

22

xy

22(0)

ab

。

2、注意：定义法、待定系数法、方程与数形结合。【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。

（1）虚轴长为12，离心率为5

4

；

（2）焦距为26，且经过点M（0，12）；

（3）与双曲线

22

xy

916

1 有公共渐进线，且经过点A3,23。

解：（1）设双曲线的标准方程为 22 xy 221 ab 或 22

yx

221 ab

(a 0,b0)。

由题意知，2b=12， e

c a = 5 4

。

∴b=6，c=10，a=8。

∴标准方程为 2 x 64 361

或 22

yx 6436

1 。

（2）∵双曲线经过点M （0，12），

∴M （0，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a=12。 又2c=26，∴c=13。∴ 222144

bca 。

∴标准方程为 22 yx 14425

1

。 （3）设双曲线的方程为 22

xy

22 ab A3,23在双曲线上 ∴

223 3

916

2 1 得

1 4

所以双曲线方程为 22

4xy

94

1

题型二双曲线的几何性质

方法思路：解决双曲线的性质问题，关键是找好体重的等量关系，特别是e 、a 、b 、c 四者 的关系，构造出 e c a 和

222 cab 的关系式。 【例2】双曲线 22

xy

221(0,0) ab ab

的焦距为2c ，直线l 过点（a ，0）和（0，b ），且 点（1，0）到直线l 的距离与点（-1，0）到直线l 的距离之和s ≥ e 的取值范围。

xy 解：直线l 的方程为1

，级b x+ay-ab=0。

ab

4 5 c 。求双曲线的离心率

由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点（1，0）到直线l 的距离1

d

b (a1) 22 ab

，

同理得到点（-1，0）到直线l 的距离2

d

b (a1) 22 ab

，

2ab2ab

sdd

1222

c

ab

。 由s ≥ 4 5 c ，得 2ab c ≥ 4 5 c ，即

222 5aca2c 。 于是得

22 5e12e ，即

42

4e25e250。

解不等式，得

5 4 2 e5。由于e ＞1＞0，所以e 的取值范围

是 5 2

e5。 【例3】设F 1、F 2分别是双曲线

22

xy 221 ab

的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使

F 1AF 290，且︱AF 1︱=3︱AF 2︱，求双曲线的离心率。 解：∵ F 1AF 290

∴ 222 AF 1AF 24c

又︱AF 1︱=3︱AF 2︱， ∴ A F 1AF 22AF 22a 即AF 2a ， ∴ 2222222 AF 1AF 29AF 2AF 210AF 210a4c ， ∴ c a

1010 42

即

10 e 。

2

题型三直线与双曲线的位置关系

方法思路：1、研究双曲线与直线的位置关系，一般通过把直线方程与双曲线方程组成方程 组，即

AxByC0 222222 bxayab

，对解的个数进行讨论，但必须注意直线与双曲线有一个公共

点和相切不是等价的。

2、直线与双曲线相交所截得的弦长：

12

l1kxx1yy

21221

k

【例4】如图，已知两定点 F 1(2,0),F 2(2,0)，满足条件P F 2PF 12的点P 的轨迹 是曲线E ，直线y=kx-1与曲线E 交于A 、B 两点，如果AB63，且曲线E 上存在点C ，

y

使

OAOBmOC ，求

A

（1）曲线E 的方程； C

（2）直线AB 的方程；