1.3中国古代数学中的算法案例

三、概念形成
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概念1.求两个正整数的最大公约数 概念1.求两个正整数的最大公约数 1.
辗转相除法算法分析 从上面例子可以看出， 从上面例子可以看出，辗 转相除法中也包含重复的 操作， 操作，因此可以用循环结 构来构造算法。 构来构造算法。 给定两个正数m S1：给定两个正数m，n。 计算m 除以n所得的余数r S2：计算m 除以n所得的余数r。 m=n，n=r。 S3：m=n，n=r。 r=0， S4：若r=0，则m，n的最大公 约数等于m 否则，返回S2 S2。 约数等于m；否则，返回S2。 Bqr6401@126.com
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概念1.求两个正整数的最大公约数 概念1.求两个正整数的最大公约数 1.
（2）更相减损术 第一步：任意给两个正整数，如果它们都是偶数， 第一步：任意给两个正整数，如果它们都是偶数，用2约简； 约简； 若不是，执行第二步。 若不是，执行第二步。 第二步：以较大的数减去较小的数， 第二步：以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较 小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作， 小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到它们 相等为止，则这个“相等的数”就是所求的最大公约数； 相等为止，则这个“相等的数”就是所求的最大公约数； 如果操作过程中有约分，还要在“等数” 如果操作过程中有约分，还要在“等数”上乘以约掉的因 数。
所以，78和36的最大公约数为6 所以，78和36的最大公约数为6。 的最大公约数为 此种算法称为“等值算法” 此种算法称为“等值算法”。
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概念1.求两个正整数的最大公约数 概念1.求两个正整数的最大公约数 1.
6300 3105 1050 210 30
2 3
6300
2310
3105 1155 385 77 11
5 1435 7 287 41
5 1050 7 210 30
它们有相同的公约数，因此也有相同的最大公约数。 它们有相同的公约数，因此也有相同的最大公约数。难道 这只是巧合吗? 这只是巧合吗? 可以证明它们有相同的公约数（ 可以证明它们有相同的公约数（略）。 Bqr6401@126.com
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概念1.求两个正整数的最大公约数 概念1.求两个正整数的最大公约数 1.
当两个数比较大时（ 8610与6300），使用上述方法 当两个数比较大时（如8610与6300），使用上述方法 ）， 求最大公约数就比较困难。 求最大公约数就比较困难。下面我们介绍两种古老而有效 的算法——辗转相除法与更相减损术。 ——辗转相除法与更相减损术 的算法——辗转相除法与更相减损术。 （1）辗转相除法(*) 辗转相除法(*) 例子:辗转相除法求8610和6300的最大公约数。 例子:辗转相除法求8610和6300的最大公约数。 8610 的最大公约数 为了简洁，我们把8610和6300的最大公约数记作（8610， 为了简洁，我们把8610和6300的最大公约数记作（8610， 8610 的最大公约数记作 6300）。 6300）。 把8610变为下式 8610变为下式 6300× 8610 = 6300×1 + 2310 Bqr6401@126.com
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概念1.求两个正整数的最大公约数 概念1.求两个正整数的最大公约数 1.
我们来看一下（8610，6300） 我们来看一下（8610，6300）和（6300，2310）之间的关系 6300，2310）
2 3
8610 4305
2
18 30 39 3 15 5
所以，18与30的最大公约数是 的最大公约数是2 3=6。 所以，18与30的最大公约数是2×3=6。
这个方法可以总结为：用两个数连续除以他们的公约数， 这个方法可以总结为：用两个数连续除以他们的公约数， 一直除到所得的商是互质数为止， 一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起 来。 Bqr6401@126.com
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概念1.求两个正整数的最大公约数 概念1.求两个正整数的最大公约数 1.
（2）更相减损术 例如： 78和36的最大公约数。 例如：求78和36的最大公约数。 的最大公约数 78，36） 解： （78，36） （6，30） 30） （6，12） 12） （42，36） 42，36） （6，24） 24） （6，6） （6，36） 36） （6，18） 18）
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概念2.割圆术 概念2.割圆术 2.
所谓“割圆术” 所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的周长去无限 逼近圆周并以此求取圆周率的方法。这个方法， 逼近圆周并以此求取圆周率的方法。这个方法，是我国魏 晋时期刘徽在批判总结了数学史上各种旧的计算方法之后， 晋时期刘徽在批判总结了数学史上各种旧的计算方法之后， 经过深思熟虑才创造出来的一种崭新的方法。 经过深思熟虑才创造出来的一种崭新的方法。 可以想象，在当时需要付出多么 按照这样的思路，刘徽把圆内接 刘徽从圆内接正六边形把圆周等 可以想象， 按照这样的思路， 分为六条弧的基础上，再继续等分， 艰辛的劳动。 正多边形的面积一直算到了正3072 3072边 正多边形的面积一直算到了正3072边 分为六条弧的基础上，再继续等分， 艰辛的劳动。现在让我们用刘徽的思 把每段弧再分割为二， 3.14和 使用计算机求圆周率的近似值。 形，并由此而求得了圆周率 为3.14和 把每段弧再分割为二，做出一个圆内 想 使用计算机求圆周率的近似值。 接正十二边形， 3.1416这两个近似数值 这两个近似数值。 计算机的最大特点是运算速度快， 接正十二边形，这个正十二边形的周 3.1416这两个近似数值。这个结果是 计算机的最大特点是运算速度快，只 要我们将运算方法告诉计算机， 长不就要比正六边形的周长更接近圆 要我们将运算方法告诉计算机，计算 当时世界上圆周率计算的最精确的数 周了吗？如果把圆周再继续分割，做” 周了吗？如果把圆周再继续分割， 机会迅速得到所求的答案。“割圆术” 据。刘徽对自己创造的这个“割圆术 机会迅速得到所求的答案。 刘徽对自己创造的这个 成一个圆内接正二十四边形， 新方法非常自信， 成一个圆内接正二十四边形，那么这 新方法非常自信，把它推广到有关圆 形计算的各个方面， 个正二十四边形的周长必然又比正十 形计算的各个方面，从而使汉代以来 二边形的周长更接近圆周。 的数学发展大大向前推进了一步。 二边形的周长更接近圆周。 的数学发展大大向前推进了一步。 Bqr6401@126.com
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二、提出问题
本节主要介绍的内容 更相减损之术（又称“等值算法” 一、更相减损之术（又称“等值算法”） ----研究如何求二个正整数的最大公约数 研究如何求二个正整数的最大公约数。 ----研究如何求二个正整数的最大公约数。 二、割圆术 ----解决圆周率π的近似值问题。 ----解决圆周率π的近似值问题。 解决圆周率 三、秦九韶算法 ----解决求多项式函数值问题。 ----解决求多项式函数值问题。 解决求多项式函数值问题
良乡中学数学组 良乡中学数学组 任宝泉
怀 天 天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！ 什 才 在 于 勤 径，学 力 书 么 也 路 勤习，老 来 么 也 崖 学 作 功！ 勤劳的孩子展望未来, 什 徒 才 能 但懒惰的孩子享受现在!!! 勤劳的孩子展望未来 但懒惰的孩子享受现在 天 小 不 不 ， 的奋，努 知 伤 悲不 到 舟 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话 少 山 有 下 学问为 求人 真 海 无，学 苦成 做 !!! 人
普通高中课程标准数学3(必修 普通高中课程标准数学 必修) 必修
第一章 算法初步
1.3 中国古代数学中的算法案例
良乡中学数学组 制作： 制作：任宝泉 2011年5月12日 年 月 日
一、复习引入
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我们在小学、中学学到的算术、代数， 我们在小学、中学学到的算术、代数，从计数 到多元一次联立方程组以及方程的求根方法， 到多元一次联立方程组以及方程的求根方法，都是 我国古代数学家最先创造的， 我国古代数学家最先创造的，有的比其他国家早几 百年甚至上千年。我国人民在长期的生活、 百年甚至上千年。我国人民在长期的生活、生产和 劳动中，创造了很多数学的计算和思想方法。 劳动中，创造了很多数学的计算和思想方法。 下面我们举一些我国古代代数学中“算法” 下面我们举一些我国古代代数学中“算法”的 例子，让同学们体会“算法”的概念， 例子，让同学们体会“算法”的概念，看一看中国 古代数学在算法上的伟大成就。 古代数学在算法上的伟大成就。
（2）更相减损术 m=input("m="); n=input("n="); while m<>n if m>n m=mm=m-n; else n=nn=n-m; end end print(%io(2),m,n);
开 始 输入m、 输入 、n
y m=m-n
m＞n ＞
N n=n-m N
m＝n ＝ y 输出m、 输出 、n 结 束
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概念1.求两个正整数的最大公约数 概念1.求两个正整数的最大公约数 1. 你记得在小学里是如何求最大公约数吗？ 你记得在小学里是如何求最大公约数吗？ 对了，用短除法。例如求18和30的最大公约数： 对了，用短除法。例如求18和30的最大公约数： 18 的最大公约数
开始 输入： 输入：m，n
r = m MOD n m =n n =r r=0?
No
Yes
输出： 输出：m 结束
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（2）更相减损术 《九章算术》是中国古代的数学专著，其中有这样一段论 九章算术》是中国古代的数学专著， 可半者半之，不可半者，副置分母、子之数， 述：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少 减多，更相减损，求其等也。 减多，更相减损，求其等也。”。 这是一个求最简分式的算法，可以用它来求最大公约数， 这是一个求最简分式的算法，可以用它来求最大公约数， 我们称为“更相减损术”。 我们称为“更相减损术” 翻译为现代语言如下
开始 输入： 输入：m，n
r = m MOD n m =n n =r r=0?
No
Yes
输出： 输出：m 结束
三、概念形成
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概念1.求两个正整数的最大公约数 概念1.求两个正整数的最大公约数 1.
辗转相除法的Siclab程序 辗转相除法的Siclab程序 Siclab m=input("m="); n=input("n="); if m<n x=m;m=n;n=x; end r=n; while r<>0 r=modulo(m,n); m=n; n=r; end print(%io(2),m) Bqr6401@126.com
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概念1.求两个正整数的最大公约数 概念1.求两个正整数的最大公约数 1.
我们可以总结为： 我们可以总结为： 被除数，除数） 除数，余数） （被除数，除数）=（除数，余数）
最大公约数
据此，我们可以用如下办法求8610和6300的最大公约数： 据此，我们可以用如下办法求8610和6300的最大公约数： 8610 的最大公约数 8610，6300） 被除数 除数 余数 （8610，6300） 6300× =（6300，2310） 8610 = 6300×1 + 2310 =（6300，2310） 6300 = 2310×2 + 1680 2310× =（2310，1680） =（2310，1680） 1680× =（1680，630） 2310 = 1680×1 + 630 =（1680，630） 630× =（630，420） 1680 = 630×2 + 420 =（630，420） 420× =（420，210） 630 = 420×1 + 210 =（420，210） 210× 420 = 210×2 + 0 =210 这就是辗转相除法。由除法的性质可知， 这就是辗转相除法。由除法的性质可知，对于任意两个正 整数，上述除法步骤总可以在有限步之后完成， 整数，上述除法步骤总可以在有限步之后完成，从而总可 以用辗转相除法求出最大公约数。 以用辗转相除法求出最大公约数。 Bqr6401@126.com