复变函数柯西积分

2 i
c f (z) /(z z0 )n1 , n 1, 2,...
这点是与实变量函数有本质不同的．
一个实函数 f (x) 即使在 (a,b) 上可导， 其导数 f '(x) 不一定可导，甚至可能不连续．
(3 ) 若C由分段光滑曲线 c1 , c2 ,..., ck 连接而成，则
f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz
c
c1
c2
ck
(4) 若曲线 C 的长为 L ， f (z) 在 C 上满足
f (z) ML (M 0) 则 ，
如果不论对 C 的分法及 k 的取法如何，只要
max sk （ sk 是小弧段长度)趋于零时，
积分和式有唯一极限，则称这极限值为函数 f (z)
沿曲线 C 的积分．记为
n
n
k1
c
f
(z)dz
lim 0 k 1
f
(k )
zk
当 C 为闭曲线时 ， 积分记为
c f (z)dz
f (z) c (z z0 )n1 dz
n 1, 2,...
说明一个解析函数的导数仍是解析函数．
若 f (z) 在 D 内解析，C为闭曲线 z z0 r ,
z0 及 c 和 c 的内部都属于D, 则有 :
f
n ( z0 )

n
!
M rn
其中 M max f (z) 称柯西不等式．
G(z)
z1 z0
f (z)dz
G(z) z1 z0
G(z1) G(z0)
7．复合闭路定理
闭路变形原理：设函数 f (z) 在由光滑或逐段光滑
曲线 c1 与 c2 (c1 在 c2 外部)所围成的复连通域内
解析， 在 D D c1 c2 上连续，则
f (z)dz f (z)dz 0
可以放宽到复连通域，若 c0 为外边界曲线 ，则:
c1,......., ck 全 部内边界曲线， f (z) 在
cc0 cc1 ck 所围区域内解析时，柯西积
分公式任然成立，即
1
f (z0 ) 2 i c f (z) /(z z0 )dz
n 1

i 1
若 f (z) 在全平面解析并有界，则 f (z) 常数．
10．复势与平面向量场
如果一个向量场的向量都平行某个平面 ，且
在垂直 的每条直线的每一点处，向量都相等，
并与时间无关，则可用一个位于平面 ，内的 向量场表示这个向量场．平面 内的向量场 称
为二维平面向量场．
在平面 内取定直角坐标系 xoy 后，对任一 内的向量 A 且，有
如果 f (z) u iv 在单连通域 D 内处处解析
则变上限积分确定的函数 F(z)
z
f (z)d
z0
为 D 内的一个解析函数，并且 F '(z) f (z)
F(z) 是 f (z) 的一个原函数．
牛顿—莱布尼兹公式 若函数 f (z) 在单连通
域 D 内处处解析，G(z) 在 D 内的一个原函数，
还要求 D 是单连同域 .
7． 如何应用复合闭路定理计算复变函数的积分 ? 应注意哪些问题 ？ 答 ： 应用复合闭路定理可以把沿区域外边界线 的回路积分化为沿区域内边界线的回路积分，使 积分变得易于计算 ．对于积分回路的内部是 复 连通域的情形，显得尤为重要． 应用复合闭路定理时，要注意以下几个问属： 1) 边界曲线的方向．
当 C 为连续函数时，积分 f (z)dz 一定存在． c
3．复变函数积分的性质
(1) 若 f (z) , g(z) 沿曲线 c 可积 a , b 为复常数，则
ca f (z) bg(z) dz a c f (z)dz bc g(z)dz
（2） c f (z)dz c f (z)dz
6. 复变函数积分的牛顿-莱布尼兹公式与实一元 函数定积分的牛顿-莱布尼兹公式有何不同 ？ 答：两者在形式和结果上都是类似的，只是复
变函数积分中对被积函数的要求更高一些 .在
一元实际分中，f (x) 只要在 a,b 上连续 ，
G(x) 是 f (x) 的一个源函数，就有公式成立； 而在复变函数积分中，除要求 f (x) 解析外 ，
2．复变函数的积分
设函数 f (z) 在D内有定义，C 为 D内一条起点 为 终点为 的光滑有向曲线．将 C 任意分为
n 个小弧段，分点为 z0 , z1 ,..., zn
在每个小弧段上任取一点 k zk1zk
作积分和式 n f (k ) zk 其中 zk zk zk1 . k 1
单连通域时，定理的结论不成立．
如 f (z) 1 在圆环域 1 z 3 内解析，C
zห้องสมุดไป่ตู้
2
2
为城内以原点为圆心的正向圆周，但
c
1 z
dz

2
i

0
同时，要注意定理不能反过来用，即不能因为有某个
f (z)dz 0 , 而说 f (z) 在所包围区域 D 解析． c
如
c
f (z)dz
构成的解析函数．
重点与难点
重点:
是复变函数积分的计算，实二元 函数线积分方法，柯西积分公式 方法 , 高阶导数公式方法 , 牛 顿—莱布尼兹公式方法等 .
难点: 柯西积分定理的应用 .
三. 疑难解析
4．应用柯西—古萨定理应注意什么问题 ?
答 ： 柯西·古萨定理要求函数 f (z) 在单连通城
内解析，而读者有时会忽略这一点．因为D不是
给出，则 f (z)dz t f z(t)z '(t)dt
c
t
5．柯西—古萨（Cauchy-Goursat)定理
如果函数 f (z) 在单连通域 D 内处处解析，
则 f (z) 沿 D 内任一条闭曲线 C 的积分为
零．
即
f ( z)dz 0
c
其等价命题是：如果函数 f (z) 在单连通域 D 内
第三章 哥西定理 哥西积分
2.学习与考试要求 4.本章疑难解析
1.本章知识提要
3. 重点与难点
5.本章典型例题
7.本章测试题
6.本章习题解答
第三章 哥西定理 哥西积分知识提要 一. 知识提要
c 设 是复平面上的一条曲线，其方程为
z z(t) x(t) iy(t) t
且满足
Rei )d
0 R
称为解析函数的平均值公式．表示解析函数在圆心
处的值等于它在圆周上的平均值． 9．高价导数公式
设函数 f (z) 在闭曲线 C 所围成的区域D内解析， 在 D D C 上连续，f (z) 在 D 内有各阶导数，
且有 ：
f
(n) (z0 )

n!
2 i
设 z0 为 C 内任意—点，则有
f
(z0 )

1
2 i
c
f (z) dz z z0
即一个解析函数 f (z) 在曲线 C 内任一点 z0 的值
可用它在边界上的值来表示．
当 C为圆周 z z0 R 时，z z0 Rei
公式可以写为
f
( z0
)

1
2
2 0
f (z0
8. 柯西积分公式的条件能否放宽 ?
答: 柯酉积分公式的条件是：函数 f (z) 在 D 内
处处 解析 ，C 为 D 内任何一条 简单 闭曲线 ，
它的内部全部属于D，且 z0 为 D 内任意一点 ．
这时，有 :
f
(z0 )

1
2 i
c f (z) /(z z0 )dz
定理虽然没有指明，但可以看出C的内部是单连通域．
A Ax (x, y)i Ay (x, y) j
相当于给定一个复函数 ：
A A(z) Ax (x, y) iAy (x, y) 则复变函数 A(z) 可以表示一个平面向量场 ． 若 A(z) 是解析函数，表示一个无源又无旋 的 (div 0 和 rot 0 ）平面向量场 ， 则称 A(z) 为平面向量场的复势函数．
1) 当 t1 t2 时，z(t1) z(t2 )
2）z(t ) 在 t 上有连续导数，对 t
的每一个值，有 x '(t)2 y '(t)2 0
则称曲线 c 是光滑的．
c 若选定 的两个端点中的一点为起点，则从起点 到终点的方向称 c 的正方向．
相反方向的曲线记为 c .
2 i
ci f (z) /(z z0 )dz
9. 解析函数的高阶导数公式说明解析函数的导数 与实变函数的导数有何不同?
答： 解析函数的高阶导数公式说明：只要函数
f (z) 闭区域 D 内处处可微 ，就一定无限
次处处可微，且它的各阶导数均为 上的解 析函数，并有
f (n) (z) n!
c1
c2
或 f (z)dz f (z)dz
c1
c2
即在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不
因闭曲线在区域内作连续变形而改变积分值 .
复合闭路定理: 设C为多连通域D内的一条简单闭曲线，
c1 , c2 ,..., cn为 C 内 n 条互不相交又互不包含的
简单闭曲线 .
c1 , c2 ,..., cn 所包围区域全含于D，f (z) 在 D

1 z2
z 1
dz
0
,
但
f
(z)

1 z2
在 z 1 内并不处处解析．
莫瑞拉(Morcra)定理要求在 D 内任一条闭曲线上
都有 f (z)dz 0 时， f (z) 才在 D 内解析 . c
5． 复变函数积分法中是否有与实一元函数类似的 分部积分公式 ? 在什么条件下可以使用 ? 答 ： 有．
c f (z)dz c f (z) ds ML
4．复变函数积分的计算 (1) 化为两个实二元函数的线积分计算
设 f (z) u(x, y) iv(x, y) 在 C上连续，
c f (z)dz c udx vdy ic vdx udy
(2) 若曲线 C 由方程 z(t) x(t) iy(t) , t t t
外边界线 c0 取逆时针方向，内边界曲线取顺
时针方向，即
f (z)dz
f (z)dz 0
c
c0 c0 c1 c2 ck
其中 c0 为内边界曲线；
2) 内边界曲线 c1,......., ck 必须是互不相交，互
不包含的 ；
3）边界曲线必须是全部，这时才有
f (z)dz 0 c0 c0 c1 c2 ck
内解析，则:
n
1） f (z)dz
f (z)dz
c
k 1 ck
c1 , c2 ,..., cn 均取正向 ；
2) f (z)dz 0
其中 为由 c1 , c2 ,..., cn 组成的复合闭路 .
8.柯西积分公式
若函数f (z) 在区域D内处处解析，C为D内的
任意一条正向筒单闭曲线，它的内部全部属于D．
设f (z) , g(z) 是单连通域内处处解析的函数，
z0 , z1 为 D 内两个点，因为
f (z) g(z)' f '(z)g(z) f (z) g '(z)
而 f '(z) , g '(z) 仍为解析函数 ， 所以有
f z1 z0
'(z)
g(z)
f (z) g '(z)dz

f
(z)
g(z)
z1 z0
或
z1 f (z) g '(z) z0
f (z) g(z)
z1
z0
z1 f '(z) g(z)
z0
如
1i z ez dz
1
z ez
1i
1
1i ez dz
1
(z 1)ez
1i 1
ie1i
ie(cos1 i sin1)
学习与考试要求 (1) 理解复变函数积分的概念，了解积分的性质，
会求复变函数的积分． (2) 理解柯西—古萨积分定理，掌握牛顿—莱布尼
兹公式、柯西积分公式 , 高阶导数公式和复合 闭路定理，能熟练运用来计算复变函数的积分．
(3) 理解 解析函数的导数 仍是解析函数 ，解析
函数无限次可导的概念 . (4) 理解调和函数与共轭调和函数的概念，会求它们
处处解析 ，则积分 f (z)dz 与连结起点及 c
终点的路线无关． 其逆命题是一莫瑞拉（Morcra) 定理；设D是复平面
上的单连通域，函数f (z) 在 D 上连续，若在D内任
一条闭曲线 C 上都有 f ( z)dz 0 c
则函数 f (z) 在 D 内解析．
6．复变函数积分的牛顿—莱布尼兹公式