复变函数积分的概念与性质
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c
C 为沿
x t , y t ,0 t 1; 从（0，0）到
（1，1）的线段：
解 :
zdz t it 1 i dt
Fra Baidu bibliotek1 c 0
z0 , z1, z2 ,..., zn1, zn z n个更小的弧， 把曲线C用分点 分成 在这里分点 z z 在曲线C上, z k ( k 0,1,2,..., n)
n
按从
z 0到Z的次序排列的。
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数的积分
1 复变函数积分的概念和性质
2 柯西积分定理及其应用
3 柯西积分公式和解析函数的高阶导数
4 解析函数与调和函数的关系
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
如果 k 是 z k 1到 zk 的弧上任意一点，那么下列和式 的极限(对任意分法和 k 的取法都存在且相同),记
zk zk zk 1
lim f ( k )zk f ( z )dz
n k 1 C n 1
zn Z z n 1
zk
z k 1
k
C
z1
f x t , y t z t dt
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
二、积分存在的条件及其计算方法
1) C为连续函数且是光滑(或按段光滑)曲线时， 积分是一定存在的。 2)可以通过两个二元实变函数的积分来计算。
复积分
f z u x, y iv x, y z x iy , dz dx idy
f z dz u iv dx idy
c c
一个复积分的实质是
c
udx vdy i vdx udy
c
两个实二型线积分
z0
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
与实函数中第二型线积分类比 C的参数方程 线积分
F x, y M x, y i N x , y j dr dxi dyj
B x , y
x x t t y y t
c
A x , y
F
c
dr Mdx Ndy
c
dr dz dy
dx
F x t , y t r t dt
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
c
f z dz
udx vdy i vdx udy
c c
3)化为参变量的定积分来计算。
c
f z dz
t
t
f z t z t dt
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
n i 1 i 1
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数积分的概念和性质
一、 定义------化整为零,取零为整 设在复平面C上有一条连接 z 0 及Z两点的简单曲线C。 设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是在C上连续的函数。其中u(x,y)及 v(x,y)是f(z)的实部及虚部。
复习
b
a
f ( x )dx lim f ( i )xi
n i 1
n
L
L
f ( x, y)ds lim f (i ,i )si
n i 1
n n
n
P( x, y)dx Q( x, y)dy lim[ P(i ,i )xi Q(i ,i )yi ]
c c
（2） k f z dz k f z dz
c c
（3）
c
f z g z dz c f z dz c g z dz;
（4）
C1 C2
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz
例1 计算
z z
c 0
dz
n 1
, 其中 C 为以 z 0 为圆心，
r
为半径的正向圆周,
n 为整数.
i
1 解：C的参数方程为z z0 re , 0 2 , 2
z z
c 0
dz
n 1
2 0
2 ire i i i d d 0 r n ein r n1e i n1 rn
C1 C2
（ 5）
c
f z dz f z ds ML
c
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
例2 计算 cz dz 的值，其中 C 为沿从（0，0）到 （1，0）的线段与从（1，0）到（1，1）的线段 所连结成的折线。
2 0
e in d
因此
dz
c
z z0
n 1
2 i, n 0, 0, n 0,
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
三、积分的性质
（1） f z dz f z dz;
解 :
1
c
zdz zdz zdz
c1 c2
1 1 xdx (1 iy )d (1 iy ) ( i) 1 i 0 0 2 2
1
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
例3 计算
zdz 的值，其中
C 为沿
x t , y t ,0 t 1; 从（0，0）到
（1，1）的线段：
解 :
zdz t it 1 i dt
Fra Baidu bibliotek1 c 0
z0 , z1, z2 ,..., zn1, zn z n个更小的弧， 把曲线C用分点 分成 在这里分点 z z 在曲线C上, z k ( k 0,1,2,..., n)
n
按从
z 0到Z的次序排列的。
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数的积分
1 复变函数积分的概念和性质
2 柯西积分定理及其应用
3 柯西积分公式和解析函数的高阶导数
4 解析函数与调和函数的关系
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
如果 k 是 z k 1到 zk 的弧上任意一点，那么下列和式 的极限(对任意分法和 k 的取法都存在且相同),记
zk zk zk 1
lim f ( k )zk f ( z )dz
n k 1 C n 1
zn Z z n 1
zk
z k 1
k
C
z1
f x t , y t z t dt
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
二、积分存在的条件及其计算方法
1) C为连续函数且是光滑(或按段光滑)曲线时， 积分是一定存在的。 2)可以通过两个二元实变函数的积分来计算。
复积分
f z u x, y iv x, y z x iy , dz dx idy
f z dz u iv dx idy
c c
一个复积分的实质是
c
udx vdy i vdx udy
c
两个实二型线积分
z0
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
与实函数中第二型线积分类比 C的参数方程 线积分
F x, y M x, y i N x , y j dr dxi dyj
B x , y
x x t t y y t
c
A x , y
F
c
dr Mdx Ndy
c
dr dz dy
dx
F x t , y t r t dt
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
c
f z dz
udx vdy i vdx udy
c c
3)化为参变量的定积分来计算。
c
f z dz
t
t
f z t z t dt
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
n i 1 i 1
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数积分的概念和性质
一、 定义------化整为零,取零为整 设在复平面C上有一条连接 z 0 及Z两点的简单曲线C。 设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是在C上连续的函数。其中u(x,y)及 v(x,y)是f(z)的实部及虚部。
复习
b
a
f ( x )dx lim f ( i )xi
n i 1
n
L
L
f ( x, y)ds lim f (i ,i )si
n i 1
n n
n
P( x, y)dx Q( x, y)dy lim[ P(i ,i )xi Q(i ,i )yi ]
c c
（2） k f z dz k f z dz
c c
（3）
c
f z g z dz c f z dz c g z dz;
（4）
C1 C2
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz
例1 计算
z z
c 0
dz
n 1
, 其中 C 为以 z 0 为圆心，
r
为半径的正向圆周,
n 为整数.
i
1 解：C的参数方程为z z0 re , 0 2 , 2
z z
c 0
dz
n 1
2 0
2 ire i i i d d 0 r n ein r n1e i n1 rn
C1 C2
（ 5）
c
f z dz f z ds ML
c
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
例2 计算 cz dz 的值，其中 C 为沿从（0，0）到 （1，0）的线段与从（1，0）到（1，1）的线段 所连结成的折线。
2 0
e in d
因此
dz
c
z z0
n 1
2 i, n 0, 0, n 0,
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
三、积分的性质
（1） f z dz f z dz;
解 :
1
c
zdz zdz zdz
c1 c2
1 1 xdx (1 iy )d (1 iy ) ( i) 1 i 0 0 2 2
1
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
例3 计算
zdz 的值，其中