复变函数积分的概念与性质
合集下载
复变函数积分的概念与性质
详细描述
在复数域内，任意两个封闭曲线的积分值相等，即积分与路径无关。这一性质在解决复 变函数问题时非常重要，因为它允许我们选择任意路径进行积分计算，而不影响最终结
果。
积分与函数运算的结合性
总结词
复变函数积分具有与函数运算的结合性 ，即对函数的积分可以与函数的运算同 时进行。
VS
详细描述
在进行复变函数积分时，我们可以将函数 的运算（如加法、乘法、指数等）与积分 操作结合进行。这一性质使得在解决复杂 的复变函数问题时，我们可以简化计算过 程，提高解题效率。
复变函数
定义在复数域上的函数，即对于每一 个复数$z$，都有一个实数或复数与 之对应。
复变函数的极限与连续性
极限
当复数$z$趋近于某一点时，复变函数$f(z)$的值的变化趋势。
连续性
如果对于复数域内任意一点$z$，当$z$趋近于该点时，$f(z)$的值都趋近于该点的极限值，则称函数在该点连续。
复变函数的积分
总结词
安培环路定律是描述磁场分布的重要定理，通过复变 函数积分可以得到电流产生的磁场分布。
详细描述
根据安培环路定律，磁场线与电流线相交，且穿过电流 线的磁通量等于零。通过复变函数积分，可以将磁场表 示为电流分布的函数，从而计算磁场强度、磁感应强度 等物理量。
波动方程的初值问题
总结词
波动方程是描述波动现象的基本方程， 通过复变函数积分可以求解波动方程 的初值问题。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
分可表示为 (int f(z(t)) |dz(t)| dt)，其中 (dz(t)) 是 (z(t)) 的微分。
极坐标法
要点一
总结词
利用复数在极坐标下的表示形式，通过计算极坐标下的面 积来计算复变函数的积分。
在复数域内，任意两个封闭曲线的积分值相等，即积分与路径无关。这一性质在解决复 变函数问题时非常重要，因为它允许我们选择任意路径进行积分计算，而不影响最终结
果。
积分与函数运算的结合性
总结词
复变函数积分具有与函数运算的结合性 ，即对函数的积分可以与函数的运算同 时进行。
VS
详细描述
在进行复变函数积分时，我们可以将函数 的运算（如加法、乘法、指数等）与积分 操作结合进行。这一性质使得在解决复杂 的复变函数问题时，我们可以简化计算过 程，提高解题效率。
复变函数
定义在复数域上的函数，即对于每一 个复数$z$，都有一个实数或复数与 之对应。
复变函数的极限与连续性
极限
当复数$z$趋近于某一点时，复变函数$f(z)$的值的变化趋势。
连续性
如果对于复数域内任意一点$z$，当$z$趋近于该点时，$f(z)$的值都趋近于该点的极限值，则称函数在该点连续。
复变函数的积分
总结词
安培环路定律是描述磁场分布的重要定理，通过复变 函数积分可以得到电流产生的磁场分布。
详细描述
根据安培环路定律，磁场线与电流线相交，且穿过电流 线的磁通量等于零。通过复变函数积分，可以将磁场表 示为电流分布的函数，从而计算磁场强度、磁感应强度 等物理量。
波动方程的初值问题
总结词
波动方程是描述波动现象的基本方程， 通过复变函数积分可以求解波动方程 的初值问题。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
分可表示为 (int f(z(t)) |dz(t)| dt)，其中 (dz(t)) 是 (z(t)) 的微分。
极坐标法
要点一
总结词
利用复数在极坐标下的表示形式，通过计算极坐标下的面 积来计算复变函数的积分。
复变函数课件-第三章复变函数的积分解读
1、复变函数积分的定义
设在复平面 C 上有一条连接 z 0 及 Z 两点的简单曲 线 C 。设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 是在 C 上的连续函数。其中 u(x,y)及v(x,y)是f(z)的实部及虚部。 把曲线C用分点 z0 , z1 , z2 ..., zn 1 , zn Z
C
f ( z )dz 0 f ( z )dz f ( z )dz 0 f ( z )dz f ( z )dz
C1 C2 C1 C2
b
a
C1
结论2: 周线C : f ( z )dz 0 C 函数f(z)的积分与路径无关,
目的
研究复积分与路径的无关性:
k
zk
C
z1
z0
复变函数的积分
分实部与虚部，有 n 1
[u (
k 1
k
k
, k ) iv( k , k )][( xk 1 xk ) i ( yk 1 yk )]
n 1
或者
u (
k 1 n 1 k 1
n 1
, k )( xk 1 xk ) v( k , k )( yk 1 yk )
max{| zk 1 zk | ( xk 1 xk ) ( yk 1 yk )
2 2
0 | k 0,1,2,..., n 1} 0
时，上面的四个式子分别有极限：
u( x, y)dx, v( x, y)dy, v( x, y)dx, u( x, y)dy,
C f ( z)dz C f ( z)dz, （4） 积分是在相反的方向上取的。
复变函数积分的性质：
复变函数的积分及其性质
从形式上可以看成是
f ( z ) u iv 与 dz dx idy 相乘后求积分得到:
C f ( z )dz C (u iv )(dx idy ) udx ivdx iudy vdy C
udx vdy i vdx udy .
, zn b,
y
b
C
1 2
(2)取近似值
在每个弧段 zk 1 z k ( k 1, 2,
f k zk 1 z k
z k 1 z k z k z k 1
a a z0z1 z2 o
k z k zk 1
zn1
x
, n)上任意取一点 k ,
f k zk zk 1 f k zk
z1 z2
k z k zk 1
C z n 1
B
o
x
则称f ( z )在曲线C上可积,极限值称为 函数 f ( z ) 沿曲线 C 的积分,记为
C
f ( z )dz
5
注意：
1:对 C 的分法无关 2:与 k 的取法无关
说明:
(1) 用
C
f ( z )dz表示f ( z )沿着曲线C的负向的积分
1 2i , 所以 n1 dz ( z z0 ) 0, z z0 r
n 0, n 0.
12
例3
计算
zdz
c
的值。
C 为：(1)从原点到 z0 1 i 的直线段.
(2) 沿从原点到
z1 1的直线段 c 2
与从 z1 到 z0 的直线段 c3 所 连接的折线.
k 1
n
[u( k ,k )xk v( k ,k )yk ]
复变函数与积分变换复习重点
复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：z=2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctanyz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
数学物理方法第2章复变函数积分-2016方案
(2.1.3)
(2) 化为参数积分计算．设积分曲线L的参数方程为z(t)，
将z(t)及dz(t)＝z'(t)dt代入式(2.1.4)，可得
3
【例2.1.1】计算积分I=
其中曲线L是
(1)沿1+ i 到2+4 i 的直线，见图2.2(a)；
(2)沿1+ i 到2+i，再到2+4 i 的折线，见图2.2(b)；
§2.2.1 单通区域的柯西定理
定理 若函数f(z)在单通区域D 内解析，则f(z)在D内沿任意 闭曲线的积分为零
∮l f(z)dz = 0 (2.2.1)
证明 这个定理的严格证明比较复 杂, 为简单起见, 我们在“f(z)在D 内连续” 附加条件下证明这个定 理．
先将复变积分化为两个实变积 分的线性叠加
29
这就是解析函数的定积分公式，它与实变 函数中的牛顿-莱布尼茨公式具有相同的形 式。
通常把f(z)的原函数的集合
称f(z)的不定积分，式中C为复常数。
30
(2.2.8)
31
§2.2.3 复通区域的柯西定理
定理 若f(z)在闭复通区域 解析，则f(z)沿所
有内、外边界线(L=L0+ 之和为零
37
【2.2.2】试计算 其中积分回路分别(图2.11) (1) |z-i|＝2；(2) |z+i|＝2；(3) |z|＝3.
38
解 首先，将被积函数分解为部分分式(利用通 分可以凑出来)
≠0
=0
39
40
【例2.2.3】若f(z)=1/(z-a) 在z=a的无心邻域内 连续，积分回路是以a点为圆心的圆弧
由于a点在D内随意变动时，柯西公式依然成立， 有时分别用z和x代替式 (2.3.1)的a和z。将柯西公 式改写为
复变函数第三章1积分
i
D
(
x
)dxdy y
0
（假设在单连通闭区域D上，柯西 黎曼方程成立）
课件
18
假 设
u , u , v , v 在闭区域D上连续； x y x y
（单连通闭区域D上，柯西 黎曼方程成立）
f (z)在单连通闭区域D上处处可导。
u , u , v , v 在闭区域D上连续； x y x y
f (z)的一阶导数f '(z) u i v 连续 x x
zdz 1 (3 4i)t (3 4i)dt 1 (3 4i)2
c
0 7 12i
2
课件
14
2
例2
计算
c(z
dz z0 )n1
,
C :以z0为中心,以r为半径的圆周，
n为整数.
z
解 C : z-z0 rei , 0 2
z z( ) z0 rei z'( ) riei
dz
c (z z0 )n1
2
0
riei r e n1 i(n1)
d
i
2
(cosn i sin n )d
rn 0
z0
o
2i, n 0
0,
n0
dz 2i,
c z z0
dz c(z z0 )n
0, n
1
注: (1)计算结果与z0 , r无关；
(2)以后证明，结论对于课围件绕z0的任意闭曲线都成15立。
即z z(t), f (z) f (z(t)). 因为z z(t) x(t) iy(t),计算微分dz z'(t)dt
(x'(t) iy'(t))dt
例1 计算
数学物理方法第2章复变函数积分-2016
49
50
【例2.3.2】试计算积分，
积分回路L为x2 + y2=2x 解 (1) 积分回路的形状： (x-1)2+y2=1
(2)被积函数的奇点．
方程z4+1=0有四个根：z=exp[i (p+2kp)/4]， k=0,1,2,3，因此，被积函数有四个奇点，但仅有 z1与z4位于积分回路之内
51
2. 复通区域的柯西公式
设f (z)在闭复通区域D中解析，a为D的内点， 则 式中积分沿D的内外边界线的正方向．
32
证明 为了应用单通区域的柯西定理，作割线把外边界线 L0与内边界线连接起来，将闭复通区域变成闭单通区域。
33
推论3 在f(z)的解析区域中，积分回路连 续变形时，其积分值不变．
证明 取变形前后的积分回路 作为复通区域 的内外边界 线，如图2.9所示．由式 (2.2.21a) 可得
移项后，改变l2的积分方向，即有
复变积分性质(5)及式(2.2.34)，可证
43
由于e可任意地小，(q2-q1)为常量，式
(2.2.35)表明
可任意地小根据极限的定义，可得
44
2. 大圆弧引理
若j(z)在无穷远点的无心邻域内连续，在大 圆弧CR(z=Reiq, R→∞,q1<q<q2 )上
这两个引理为计算沿圆弧的积分带来方便． 2.3节将分别用来证明单通区域及无界区域的 柯西公式．
(3)按复通区域的柯西定理及柯西公式计算以小圆周c1 和c2分别包围奇点z1和z4 ，则被积函数在外边界线l 与内边界线c1 ， c2 所围的复通区域解析。按复通区 域的柯西定理，沿l的积分等于沿C1与C2积分之和， 后两个积分可按柯西公式算出，即
第二章 复变函数的积分
第二章 复变函数的积分
一.复变函数的积分
(复平面的路径积分) 复平面的路径积分)
∫ f (z )dz ≡ lim ∑ f (ξ )(z
l n →∞ k =1 k
l l
n
k
− z k −1 ) ≡ lim ∑ f (ξ k )dz k n→∞
k =1
n
∫ f (z )dz = ∫ u (x, y )dx − v(x. y )dy + i ∫ v(x, y )dx + u (x. y )dy
ez I =∫ 2 dz c ( z + 1) 2
z 2
2π i (n−1) f (ξ ) ∫ (ξ − z)n dξ = (n −1)! f (z) l
例:计算
z = a (> 1)
解:
I=∫
c1
e z /( z − i ) 2 e /( z + i) dz dz + ∫ 2 2 c2 ( z + i) ( z − i)
1
I 2 = ∫ xdz + ∫ xdz =
0
1
1+i
i
1 ∫ 0idy + ∫ xdx = 2 0 0
直线参数方程 : z = (1 + i)t或( y = x)
1
I 3 = ∫ t (1 + i )dt = 1 + i 2 0
(可见积分与路径有关)
例2
1+i
z 2 dz = ? 1)沿折线 0—1---1+i ∫
= 2π i [e z /( z + i) 2 ]′z =i + 2π i [e z /( z − i ) 2 ]′z = −i
一.复变函数的积分
(复平面的路径积分) 复平面的路径积分)
∫ f (z )dz ≡ lim ∑ f (ξ )(z
l n →∞ k =1 k
l l
n
k
− z k −1 ) ≡ lim ∑ f (ξ k )dz k n→∞
k =1
n
∫ f (z )dz = ∫ u (x, y )dx − v(x. y )dy + i ∫ v(x, y )dx + u (x. y )dy
ez I =∫ 2 dz c ( z + 1) 2
z 2
2π i (n−1) f (ξ ) ∫ (ξ − z)n dξ = (n −1)! f (z) l
例:计算
z = a (> 1)
解:
I=∫
c1
e z /( z − i ) 2 e /( z + i) dz dz + ∫ 2 2 c2 ( z + i) ( z − i)
1
I 2 = ∫ xdz + ∫ xdz =
0
1
1+i
i
1 ∫ 0idy + ∫ xdx = 2 0 0
直线参数方程 : z = (1 + i)t或( y = x)
1
I 3 = ∫ t (1 + i )dt = 1 + i 2 0
(可见积分与路径有关)
例2
1+i
z 2 dz = ? 1)沿折线 0—1---1+i ∫
= 2π i [e z /( z + i) 2 ]′z =i + 2π i [e z /( z − i ) 2 ]′z = −i
积分路径的参数方程为y=x-复变函数论
k 1
n
C f ( z )dz C udx vdy iC vdx udy
公式
C f ( z )dz C udx vdy iC vdx udy
在形式上可以看成是
f ( z ) u iv 与 dz dx idy 相乘后求积分得到:
C f ( z )dz C (u iv )(dx idy ) udx ivdx iudy vdy C
当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,
不论对 C 的分法任何, 点 ( k , k ) 的取法如何, 下式两端极限存在 ,
f ( k )zk [u( k ,k )xk v( k ,k )yk ]
k 1 k 1
n
n
i [v ( k ,k )xk u( k ,k )yk ]
1 k n
如果不论对 C 的分法及 k 的取法如何 , Sn 有唯 一极限, 那么称这极限值为 记为
f ( k ) zk . C f ( z )dz lim n k 1
n
函数 f ( z ) 沿曲线 C 的积分,
y
A
1 2
z1 z2
k z k zk 1
C z n 1
i {v[ x ( t ), y( t )] x( t ) u[ x ( t ), y( t )] y( t )}dt
{u[ x( t ), y( t )] iv[ x( t ), y( t )]}{ x( t ) iy( t )}dt
f [ z( t )]z( t )dt .
y
ห้องสมุดไป่ตู้
A
1 2
z1 z2
n
C f ( z )dz C udx vdy iC vdx udy
公式
C f ( z )dz C udx vdy iC vdx udy
在形式上可以看成是
f ( z ) u iv 与 dz dx idy 相乘后求积分得到:
C f ( z )dz C (u iv )(dx idy ) udx ivdx iudy vdy C
当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,
不论对 C 的分法任何, 点 ( k , k ) 的取法如何, 下式两端极限存在 ,
f ( k )zk [u( k ,k )xk v( k ,k )yk ]
k 1 k 1
n
n
i [v ( k ,k )xk u( k ,k )yk ]
1 k n
如果不论对 C 的分法及 k 的取法如何 , Sn 有唯 一极限, 那么称这极限值为 记为
f ( k ) zk . C f ( z )dz lim n k 1
n
函数 f ( z ) 沿曲线 C 的积分,
y
A
1 2
z1 z2
k z k zk 1
C z n 1
i {v[ x ( t ), y( t )] x( t ) u[ x ( t ), y( t )] y( t )}dt
{u[ x( t ), y( t )] iv[ x( t ), y( t )]}{ x( t ) iy( t )}dt
f [ z( t )]z( t )dt .
y
ห้องสมุดไป่ตู้
A
1 2
z1 z2
复变函数论第三版复变函数的积分 shu
正方向为 参数增加的方向,
参数 及 对应于起点 A 及终点 B,
并且 z(t) 0, t ,
如果 f (z) u( x, y) i v( x, y) 在 D内处处连续,
那么 u( x, y) 和 v( x, y) 在 D内均为连续函数,
2020/11/24
10
证 设光滑曲线C : z z(t) x(t) i y(t), t ,正方向为
5 3
ds 25
C
5
3
2020/11/24
故
C
z
1
i
dz
25 . 3
22
例 计算积分 Re z dz ; C 其中积分路径C为 （1）连接由点O到点1 i的直线段； （2）先沿着正实轴从O到1，再沿着平行于 虚轴的方向从1到1 i 1+i
2020/11/24
o
1
23
例
计算积分CRe z dz ;
0
0
1 x3 1 i 1 x3 1 1 i 30 30 3
2020/11/24
14
2. 积分的计算方法
(2)变量代换公式:
设C : x x(t), y y(t),t [, ]是一条光滑曲线,则
C f (z)dz C udx vdy iC vdx udy
C f (z)dz {u[x(t), y(t)]x(t) v[x(t), y(t)]y(t)}dt
k 1
k 1
由于 u, v 都是连续函数, 根据曲线积分的存在定理,
2020/11/24
11
n
所以
f ( k ) zk
n
[u(k ,k ) i v(k ,k )](xk iyk )
k 1
参数 及 对应于起点 A 及终点 B,
并且 z(t) 0, t ,
如果 f (z) u( x, y) i v( x, y) 在 D内处处连续,
那么 u( x, y) 和 v( x, y) 在 D内均为连续函数,
2020/11/24
10
证 设光滑曲线C : z z(t) x(t) i y(t), t ,正方向为
5 3
ds 25
C
5
3
2020/11/24
故
C
z
1
i
dz
25 . 3
22
例 计算积分 Re z dz ; C 其中积分路径C为 （1）连接由点O到点1 i的直线段； （2）先沿着正实轴从O到1，再沿着平行于 虚轴的方向从1到1 i 1+i
2020/11/24
o
1
23
例
计算积分CRe z dz ;
0
0
1 x3 1 i 1 x3 1 1 i 30 30 3
2020/11/24
14
2. 积分的计算方法
(2)变量代换公式:
设C : x x(t), y y(t),t [, ]是一条光滑曲线,则
C f (z)dz C udx vdy iC vdx udy
C f (z)dz {u[x(t), y(t)]x(t) v[x(t), y(t)]y(t)}dt
k 1
k 1
由于 u, v 都是连续函数, 根据曲线积分的存在定理,
2020/11/24
11
n
所以
f ( k ) zk
n
[u(k ,k ) i v(k ,k )](xk iyk )
k 1
复变函数积分的概念与性质
（4） f (z)dz f (z)dz f (z)dz
C1 C2
C1
C2
（5）c f z dz c f zds ML
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
例2
计算
zdz
c
的值，其中 C 为沿从（0，0）到
（1，0）的线段与从（1，0）到（1，1）的线段
在这里分点 zn z 在曲线C上, zk (k 0,1,2,...,n)
按从 z0到Z的次序排列的。
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
如果 k 是zk 1到 z k 的弧上任意一点，那么下列和式
的极限(对任意分法和 k 的取法都存在且相同),记
y
M
x,
y
r i
N
x,
y
r j
drr
r dxi
r dyj
c
r F
gdrr
c Mdx
Ndy
F
x
t
,
y
t
grr
t
dt
c
B
x
drr , y
dz
dy
dx
Ax , y
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复积分
f z u x, y iv x, y
Complex Analysis and Integral Transform
r 例1 计算
c z
dz
z0 n1 ,
其中 C
为以
z
复变函数积分的概念
C 无关性.
附：
格林公式
盐城工学院基础部应用数学课程组
dz 例如 2 i , z 1 z
例如
z 1
dz dz 2 Q dz zd d z 1 z
练习
dz 2 i ie z 1 z 0 d 0
dz
z 1
z
e i d 0
C
即为一元实函数的定积分 . 一般不能把起点为 , 终点为 的函数 f ( z ) 的积分
记作 f ( z )dz , 因为这是一个线积分 , 要受积分路
线的限制, 必须记作 f ( z )dz .
C
盐城工学院基础部应用数学课程组
性质(4)的证明
因为 zk 是 zk 与 zk 1 两点之间的距离 ,
0
1
C1 1
(1 i ) (1 i ) t d t
0
1
1 21 1. 2 t 2 0
说明：此积分与路径有关
盐城工学院基础部应用数学课程组
课堂练习
例3 计算 z dz , 其中 C 为 : 圆周 z 2.
C
解 积分路径的参数方程为
z 2e
i
(0 2π ),
第一节
复变函数积分的概念
一、积分的定义 二、积分存在的条件及其计算法 三、积分的性质
第三章
盐城工学院基础部应用数学课程组
y
B
一、复变函数积分的定义 1.有向曲线 以A与B为端点的光滑(或按段)曲线C 规定：从A到B为曲线C的正向,
o
y
A
x
o
从B到A就是曲线C的负向,记作 C y
第三章 第一节 复积分的概念及其简单性质
第三章 复变函数的积分
第一节 复积分的概念及其简单性质
第二节 柯西积分定理 第三节 柯西积分公式及其推论 第四节 解析函数与调和函数
第九讲
第一节 复积分的概念及其简单性质
1、复变函数积分的的定义 2、积分的计算问题 3、基本性质
1.实例: 1.实例: 变力沿曲线 L : A → B , 实例 所作的功，常力r 常力 r
M 1 ( x1 , y1 ), M 2 ( x2 , y2 ),L , M n −1 ( xn −1 , yn −1 )把 L分
成 n个有向小弧段 M i −1M i (i = 1, 2,L , n; M 0 = A,
M n = B). 设∆xi = xi − xi −1 , ∆yi = yi − yi −1 , 点
y
z
∫
=
C
1 dz n ( z − z0 )
⋅ z0
o
θ
r
x
i r
n −1
∫
2π
0
[cos(n − 1)θ − i sin(n − 1)θ ]dθ = 0;
n = 1, n ≠ 1.
2π i, 1 所以 ∫ dz = n +1 ( z − z0 ) 0, z − z0 = r
重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.
并且 z ′(t ) ≠ 0, α < t < β ,
如果 f ( z ) = u ( x, y ) + i v( x, y ) 在 D 内处处连续,
那么 u ( x, y ) 和 v( x, y ) 在 D 内均为连续函数,
设 ζ k = ξ k + iη k ,
因为 ∆zk = zk − zk −1 = xk + iyk − ( xk −1 + iyk −1 )
第一节 复积分的概念及其简单性质
第二节 柯西积分定理 第三节 柯西积分公式及其推论 第四节 解析函数与调和函数
第九讲
第一节 复积分的概念及其简单性质
1、复变函数积分的的定义 2、积分的计算问题 3、基本性质
1.实例: 1.实例: 变力沿曲线 L : A → B , 实例 所作的功，常力r 常力 r
M 1 ( x1 , y1 ), M 2 ( x2 , y2 ),L , M n −1 ( xn −1 , yn −1 )把 L分
成 n个有向小弧段 M i −1M i (i = 1, 2,L , n; M 0 = A,
M n = B). 设∆xi = xi − xi −1 , ∆yi = yi − yi −1 , 点
y
z
∫
=
C
1 dz n ( z − z0 )
⋅ z0
o
θ
r
x
i r
n −1
∫
2π
0
[cos(n − 1)θ − i sin(n − 1)θ ]dθ = 0;
n = 1, n ≠ 1.
2π i, 1 所以 ∫ dz = n +1 ( z − z0 ) 0, z − z0 = r
重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.
并且 z ′(t ) ≠ 0, α < t < β ,
如果 f ( z ) = u ( x, y ) + i v( x, y ) 在 D 内处处连续,
那么 u ( x, y ) 和 v( x, y ) 在 D 内均为连续函数,
设 ζ k = ξ k + iη k ,
因为 ∆zk = zk − zk −1 = xk + iyk − ( xk −1 + iyk −1 )
复变函数第3章
0
1
3 1 t 2 i 2 (1 i ) (t it 2 )i . 3 3 3 3 0
C
Im( z )dz Im( z )dz Im( z )dz
C1 1 C2
i 0dt td(1+ it ) i tdt . 0 0 0 2
| z 1| 2
ds 2 4 8 .
13
§2 柯西积分定理（柯西-古萨定理）
1.柯西-古萨定理 （积分方法二） 定理3.3（柯西-古萨定理） 若函数 f(z)是单连通域D 内的解析函数，C是D内任一周线，则
C
f ( z )dz 0.
定理3.4（柯西-古萨定理推广） 若函数 f(z)是单连通 域D内的解析函数，C是D内任一闭曲线，则
F ( z) f ( )d ,
z0 z
称F(z)为定义在区域D内的积分上限函数或变上 限函数.
18
定理3.6 若函数f(z)在单连通域D内解析，则函数F(z) 必在D内解析，且有F '(z)=f(z). 证明：设 z, z +z D， z F ( z z ) F ( z ) 1 z z f ( z) f ( )d f ( )d f ( z ) z0 z z z0 1 z z 1 z z f ( )d f ( z )d 与路径无关 z z z z z z 1 f(z)连续，则任意 [ f ( ) f ( z )]d z z >0, 存在 >0,使 1 得当|-z|<时， | z | . | z | 有|f() –f(z)|<.
C
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz 0.
1
3 1 t 2 i 2 (1 i ) (t it 2 )i . 3 3 3 3 0
C
Im( z )dz Im( z )dz Im( z )dz
C1 1 C2
i 0dt td(1+ it ) i tdt . 0 0 0 2
| z 1| 2
ds 2 4 8 .
13
§2 柯西积分定理（柯西-古萨定理）
1.柯西-古萨定理 （积分方法二） 定理3.3（柯西-古萨定理） 若函数 f(z)是单连通域D 内的解析函数，C是D内任一周线，则
C
f ( z )dz 0.
定理3.4（柯西-古萨定理推广） 若函数 f(z)是单连通 域D内的解析函数，C是D内任一闭曲线，则
F ( z) f ( )d ,
z0 z
称F(z)为定义在区域D内的积分上限函数或变上 限函数.
18
定理3.6 若函数f(z)在单连通域D内解析，则函数F(z) 必在D内解析，且有F '(z)=f(z). 证明：设 z, z +z D， z F ( z z ) F ( z ) 1 z z f ( z) f ( )d f ( )d f ( z ) z0 z z z0 1 z z 1 z z f ( )d f ( z )d 与路径无关 z z z z z z 1 f(z)连续，则任意 [ f ( ) f ( z )]d z z >0, 存在 >0,使 1 得当|-z|<时， | z | . | z | 有|f() –f(z)|<.
C
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz 0.
3.1复变函数积分的概念及其基本性质(精)
1 1
注：此例说明，积分路径不同，积分结果不同
例2、（重要的常用的例子）试证明
n 1 2 i, dz C ( z a) n 0, n 1的整数
这 里 C 表 示 以点 a 为圆 心 ， r 为半径的圆周 （图3.1.5） 证：C的方程为
z a re
i
(0 2 )
u(k ,k ) uk , v(k ,k ) vk
有
f (
k 1
n
k
)zk (uk ivk )(xk iyk )
k 1
n
(uk xk vk yk ) i (uk yk vk xk )
k 1 k 1
n
n
由于f ( z)沿C连续，因此u( x, y), v( x, y)沿C连续
u( x, y) iv( x, y)沿光滑C连续，
且f ( z)沿C可积，则有
c
f ( z )dz udx vdy i vdx udy （3.1.2）
c c
证:
设 zk xk iyk，xk xk xk 1 yk yk yk 1， k k ik
c
f ( z )dz lim f ( k )zk
0
k 1
n
（3.1.1 ）
其中C为积分路径，当C是闭曲线时， C f ( z )dz 表示沿C的正向积分, C 向积分。
4、可积条件 •必要条件：f ( z ) 沿C可积的必要条件是 f ( z ) 沿C有界。
f ( z )dz
图3.1.1
2、 简单闭曲线（围线） 这样规定走向：当观察者绕曲线C 环行时，如果围线C在观察者左方， 就规定这个环行方向为曲线正向； 反之就规定为负向。如右图：箭 头方向为曲线正向 图3.1.2 一般：用 C表示带有正向的有向围线 用 C 表示带有负向的有向围线
注：此例说明，积分路径不同，积分结果不同
例2、（重要的常用的例子）试证明
n 1 2 i, dz C ( z a) n 0, n 1的整数
这 里 C 表 示 以点 a 为圆 心 ， r 为半径的圆周 （图3.1.5） 证：C的方程为
z a re
i
(0 2 )
u(k ,k ) uk , v(k ,k ) vk
有
f (
k 1
n
k
)zk (uk ivk )(xk iyk )
k 1
n
(uk xk vk yk ) i (uk yk vk xk )
k 1 k 1
n
n
由于f ( z)沿C连续，因此u( x, y), v( x, y)沿C连续
u( x, y) iv( x, y)沿光滑C连续，
且f ( z)沿C可积，则有
c
f ( z )dz udx vdy i vdx udy （3.1.2）
c c
证:
设 zk xk iyk，xk xk xk 1 yk yk yk 1， k k ik
c
f ( z )dz lim f ( k )zk
0
k 1
n
（3.1.1 ）
其中C为积分路径，当C是闭曲线时， C f ( z )dz 表示沿C的正向积分, C 向积分。
4、可积条件 •必要条件：f ( z ) 沿C可积的必要条件是 f ( z ) 沿C有界。
f ( z )dz
图3.1.1
2、 简单闭曲线（围线） 这样规定走向：当观察者绕曲线C 环行时，如果围线C在观察者左方， 就规定这个环行方向为曲线正向； 反之就规定为负向。如右图：箭 头方向为曲线正向 图3.1.2 一般：用 C表示带有正向的有向围线 用 C 表示带有负向的有向围线
复变函数的积分
第二章 复变函数的积分在微积分学中，微分法、积分法是研究函数性质的重要方法。
在复变函数中，微分法、积分法是研究复变函数性质的重要方法和解决实际问题的有力工具。
§2.1 复变函数的积分—复平面上的线积分一、复变函数积分的定义例：计算2421iiz dz++∫1.沿抛物线2y x =2.沿连接点124i i ++到的直线段3.1224i i i +++沿到然后再到的折线 解:1．抛物线参数方程为22,()(12)x t y t d z d t it i t d t==≤≤=+=+2其中1t 2则z =x +i y =t +i t242222222443241111()(12)[()4][22()]iiz dz t it i t dt t t t dt i t t t t dt++=++=−−++−∫∫∫∫三、解析函数的定积分公式在单通区域内，解析函数的积分值只与端点有关而与路径无关，可定义一个以终点z 为自变量的单值函数：()()zz F z f d ξξ=∫定理：设f (z )是单通区域D 内的解析函数， 是D的内点，则 是D 内的解析函数，且 F’(z )=f (z )F (z )是f (z )的原函数：F’(z )=f (z )定理证明略。
0z ξξd f z F zz ∫=0)()(由于()F z 是()f z 的一个原函数，所以()F z C +构成原函数族，则有：()()zz f d F z C ξξ=+∫上式中令 ，则有 从而0()()()zz f d F z F z ξξ=−∫——形式上与牛顿——莱布尼兹公式相似0z z =0)(0=+c z F )(0z F c −=⇒。
第2章 复变函数的积分
2 4i
(1 t 2)
1 i
86 6i z dz [t i (3t 2)] (1 3i )dt 3 1
2 2
2
9
３．沿折线 (1)从 1+i 到 2+i 线段的方程 x=t ; y=1 ; 1 t 2 则
z t i, dz dt
2i
例：计算 1 i
2 4i
z 2 dz
2
1.沿抛物线 y x
2.沿连接点 1 i 到2 4i 的直线段 3. 沿 1 i 到 2 i 然后再到 2 4i 的折线
2 解:1．抛物线参数方程为 x t , y t ，其中1 t 2
则 z=x+iy=t+it2， dz d (t it 2 ) (1 i 2t ) dt
为 ，
24
则有
这表明：当
时，
的极限为f(z)，即
定理得证。
25
由于 F ( z ) 是 f ( z ) 的一个原函数， 所以 F ( z ) C 构成原函数族， 则有：
上式中令 从而
z
z0
f ( )d F ( z ) C
，则有
z
z0
f ( )d F ( z ) F ( z0 )
f(z)在 a 点解析 f(z)在 a 点连续 所以 M=max|f(z)-f(a)| →0,从而
ε→0 时：
32
解析函数f(z)在其解析区域内任一点的值可由沿边界线 的积分确定.
讨论：1. 不一定取边界，取由 L 连续变形得到的 包围 a 的任意闭曲线，积分都相等。 2. a 点在 内任意变动,柯西公式也成立。
(1 t 2)
1 i
86 6i z dz [t i (3t 2)] (1 3i )dt 3 1
2 2
2
9
３．沿折线 (1)从 1+i 到 2+i 线段的方程 x=t ; y=1 ; 1 t 2 则
z t i, dz dt
2i
例：计算 1 i
2 4i
z 2 dz
2
1.沿抛物线 y x
2.沿连接点 1 i 到2 4i 的直线段 3. 沿 1 i 到 2 i 然后再到 2 4i 的折线
2 解:1．抛物线参数方程为 x t , y t ，其中1 t 2
则 z=x+iy=t+it2， dz d (t it 2 ) (1 i 2t ) dt
为 ，
24
则有
这表明：当
时，
的极限为f(z)，即
定理得证。
25
由于 F ( z ) 是 f ( z ) 的一个原函数， 所以 F ( z ) C 构成原函数族， 则有：
上式中令 从而
z
z0
f ( )d F ( z ) C
，则有
z
z0
f ( )d F ( z ) F ( z0 )
f(z)在 a 点解析 f(z)在 a 点连续 所以 M=max|f(z)-f(a)| →0,从而
ε→0 时：
32
解析函数f(z)在其解析区域内任一点的值可由沿边界线 的积分确定.
讨论：1. 不一定取边界，取由 L 连续变形得到的 包围 a 的任意闭曲线，积分都相等。 2. a 点在 内任意变动,柯西公式也成立。
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
C1 C2
（ 5）
c
f z dz f z ds ML
c
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
例2 计算 cz dz 的值，其中 C 为沿从（0，0）到 （1，0）的线段与从（1，0）到（1，1）的线段 所连结成的折线。
z0
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
与实函数中第二型线积分类比 C的参数方程 线积分
F x, y M x, y i N x , y j dr dxi dyj
B x , y
f x t , y t z t dt
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
二、积分存在的条件及其计算方法
1) C为连续函数且是光滑(或按段光滑)曲线时， 积分是一定存在的。 2)可以通过两个二元实变函数的积分来计算。
z0 , z1, z2 ,..., zn1, zn z n个更小的弧， 把曲线C用分点 分成 在这里分点 z z 在曲线C上, z k ( k 0,1,2,..., n)
n
按从
z 0到Z的次序排列的。
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
c c
（2） k f z dz k f z dz
c c
（3）
c
f z g z dz c f z dz c g z dz;
（4）
C1 C2
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz
解 :
1
c
zdz zdz zdz
c1 c2
1 1 xdx (1 iy )d (1 iy ) ( i) 1 i 0 0 2 2
1
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
例3 计算
zdz 的值，其中
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数的积分
1 复变函数积分的概念和性质
2 柯西积分定理及其应用
3 柯西积分公式和解析函数的高阶导数
4 解析函数与调和函数的关系
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
c
C 为沿
x t , y t ,0 t 1; 从（0，0）到
（1，1）的线段：
解 :
zdz t it 1 i dt
1 c 0
复积分
f z u x, y iv x, y z x iy , dz dx idy
f z dz u iv dx idy
c c
一个复积分的实质是
c
udx vdy i vdx udy
c
两个实二型线积分
2 0
e in d
因此
dz
c
z z0
n 1
2 i, n 0, 0, n 0,
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
三、积分的性质
（1） f z dz f z dz;
例1 计算
z z
c 0
dz
n 1
, 其中 C 为以 z 0 为圆心，
r
为半径的正向圆周,
n 为整数.
i
1 解：C的参数方程为z z0 re , 0 2 , 2
z z
c 0
dz
n 1
2 0
2 ire i i i d d 0 r n ein r n1e i n1 rn
x x t t y y t
c
A x , y
F
c
dr Mdx Ndy
c
dr dz dy
dx
F x t , y t r t dt
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
如果 k 是 z k 1到 zk 的弧上任意一点，那么下列和式 的极限(对任意分法和 k 的取法都存在且相同),记
zk zk zk 1
lim f ( k )zk f ( z )dz
n k 1 C n 1
zn Z z n 1
zk
z k 1
k
C
z1
复习
b
a
f ( x )dx lim f ( i )xi
n i 1
n
L
L
f ( x, y)ds lim f (i ,i )si
n i 1
n n
n
P( x, y)dx Q( x, y)dy lim[ P(i ,i )xi Q(i ,i )yi ]
c
f z dz
udx vdy i vdx udy
c c
3)化为参变量的定积分来计算。
ห้องสมุดไป่ตู้
c
f z dz
t
t
f z t z t dt
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
n i 1 i 1
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数积分的概念和性质
一、 定义------化整为零,取零为整 设在复平面C上有一条连接 z 0 及Z两点的简单曲线C。 设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是在C上连续的函数。其中u(x,y)及 v(x,y)是f(z)的实部及虚部。
（ 5）
c
f z dz f z ds ML
c
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
例2 计算 cz dz 的值，其中 C 为沿从（0，0）到 （1，0）的线段与从（1，0）到（1，1）的线段 所连结成的折线。
z0
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
与实函数中第二型线积分类比 C的参数方程 线积分
F x, y M x, y i N x , y j dr dxi dyj
B x , y
f x t , y t z t dt
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
二、积分存在的条件及其计算方法
1) C为连续函数且是光滑(或按段光滑)曲线时， 积分是一定存在的。 2)可以通过两个二元实变函数的积分来计算。
z0 , z1, z2 ,..., zn1, zn z n个更小的弧， 把曲线C用分点 分成 在这里分点 z z 在曲线C上, z k ( k 0,1,2,..., n)
n
按从
z 0到Z的次序排列的。
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
c c
（2） k f z dz k f z dz
c c
（3）
c
f z g z dz c f z dz c g z dz;
（4）
C1 C2
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz
解 :
1
c
zdz zdz zdz
c1 c2
1 1 xdx (1 iy )d (1 iy ) ( i) 1 i 0 0 2 2
1
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
例3 计算
zdz 的值，其中
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数的积分
1 复变函数积分的概念和性质
2 柯西积分定理及其应用
3 柯西积分公式和解析函数的高阶导数
4 解析函数与调和函数的关系
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
c
C 为沿
x t , y t ,0 t 1; 从（0，0）到
（1，1）的线段：
解 :
zdz t it 1 i dt
1 c 0
复积分
f z u x, y iv x, y z x iy , dz dx idy
f z dz u iv dx idy
c c
一个复积分的实质是
c
udx vdy i vdx udy
c
两个实二型线积分
2 0
e in d
因此
dz
c
z z0
n 1
2 i, n 0, 0, n 0,
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
三、积分的性质
（1） f z dz f z dz;
例1 计算
z z
c 0
dz
n 1
, 其中 C 为以 z 0 为圆心，
r
为半径的正向圆周,
n 为整数.
i
1 解：C的参数方程为z z0 re , 0 2 , 2
z z
c 0
dz
n 1
2 0
2 ire i i i d d 0 r n ein r n1e i n1 rn
x x t t y y t
c
A x , y
F
c
dr Mdx Ndy
c
dr dz dy
dx
F x t , y t r t dt
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
如果 k 是 z k 1到 zk 的弧上任意一点，那么下列和式 的极限(对任意分法和 k 的取法都存在且相同),记
zk zk zk 1
lim f ( k )zk f ( z )dz
n k 1 C n 1
zn Z z n 1
zk
z k 1
k
C
z1
复习
b
a
f ( x )dx lim f ( i )xi
n i 1
n
L
L
f ( x, y)ds lim f (i ,i )si
n i 1
n n
n
P( x, y)dx Q( x, y)dy lim[ P(i ,i )xi Q(i ,i )yi ]
c
f z dz
udx vdy i vdx udy
c c
3)化为参变量的定积分来计算。
ห้องสมุดไป่ตู้
c
f z dz
t
t
f z t z t dt
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
n i 1 i 1
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数积分的概念和性质
一、 定义------化整为零,取零为整 设在复平面C上有一条连接 z 0 及Z两点的简单曲线C。 设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是在C上连续的函数。其中u(x,y)及 v(x,y)是f(z)的实部及虚部。