2020年重庆春招数学试卷

2020年重庆春招数学试卷

一、选择题（每题5分，共50分）

1.已知集合A={0，1，2}，B={2，3}，则集合A ∪B=（ ）

A ．{1，2，3}

B ．{0，1，2，3}

C ．{2}

D ．{0，1，3}

2.复数3i 12i z =-（i 是虚数单位）的虚部为（ ）．

A ．6i 5-

B ．65-

C ．3i 5

D ．35 3.函数f （x ）=e x +x ﹣2的零点所在的一个区间是（ ）

A ．（﹣2，﹣1）

B ．（﹣1，0）

C ．（0，1）

D ．（1，2）

4.若平面向量与的夹角60°，

，|则=（ ） A ． B ． C ．1 D ．2

5.等比数列{a n }中，a 6=6，a 9=9，则a 3等于（ ）

A ．4

B ．

C ．

D ．2

6.已知函数f （x ）=（1+cos2x ）sin 2x ，x ∈R ，则f （x ）是（ ）

A ．最小正周期为π的奇函数

B ．最小正周期为

的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为的偶函数

7.对于平面α和共面的直线m 、n ，下列命题中正确的是（ ）

A ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α

B ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n

C ．若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n

D ．若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n

8.已知双曲线

﹣（a ＞b ＞0）的一条渐近线方程为y=x ，则其离心率为（ ） A ． B ． C ． D ．2

9. 6

1()x x -的展开式中含2x 的项的系数是（ ）

A ．20-

B ．20

C ．15-

D ．15 10.对具有线性相关关系的变量x ，y ，测得一组数据如下

x

1 2 3 4 y 4.5 4 3 2.5

根据表，利用最小二乘法得到它的回归直线方程为（ ）

A ．y=﹣0.7x+5.20

B ．y=﹣0.7x+4.25

C ．y=﹣0.7x+5.25

D ．y=﹣0.7x+6.25

二、填空题：（每题5分，共25分）

11、已知，则= 12、函数y=3x 2﹣2lnx 的单调减区间为

13、已知抛物线的方程为y=ax 2，且经过点（1，4），则焦点坐标为 ． 14、若不等式

的解集为（1，2），则实数a 的值是 ． 15、

1111447(32)(31)n n +++=⨯⨯-+ .

三、解答题：（共75分，每题15分）

16、已知：A 、B 、C 是△ABC 的内角，a ，b ，c 分别是其对边长，向量→m =（，cosA+1），=（sinA ，﹣1），→m

⊥ （Ⅰ）求角A 的大小；

（Ⅱ）若，a=2，cosB=

，求b 的长．

17、等差数列{n a }中，34574,6a a a a +=+=.

（Ⅰ）求{n a }的通项公式；

（Ⅱ） 设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如

[0.9]=0,[2.6]=2.

18.某班同学利用寒假在5个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查，

以计算每户的碳月排放量．若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．若小区内有至少%75的住户属于“低碳族”，则称这个小区为“低碳小区”，否则称为“非低碳小区” ．已知备选的5个居民小区中有三个非低碳小区，两个低碳小区．

（1）求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率；

（2）假定选择的“非低碳小区”为小区A ，调查显示其“低碳族”的比例为2

1，数据如图1所示，经过同学们的大力宣传，三个月后，又进行了一次调查，数据如图2所示，问这时小区A 是否达到“低碳小区”的标准？

19、如图，已知 AF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 为矩形，四边形ABCD 为直角梯形，∠DAB=90°，

AB∥CD，AD=AF=CD=2，AB=4．

（I）求证：AC⊥平面BCE；

（II）求三棱锥E﹣BCF的体积．

20、已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点A（2，3），且离心率e=．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）是否存在过点B（0，﹣4）的直线l交椭圆于不同的两点M、N，且满足•=（其中点O为坐标原点），若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．