2020年沪科版数学九年级上册第21章 二次函数与反比例函数单元测试卷及答案

沪科版九年级数学上册《第21章二次函数与反比例函数单元试卷一、选择题（本大题共10小题，共50分）1.二次函数y=x2+4x−5的图象的对称轴为()A. x=4B. x=−4C. x=2D. x=−22.将抛物线y=x2−2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为()A. y=(x−1)2+4B. y=(x−4)2+4C. y=(x+2)2+6D. y=(x−4)2+63.在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是()A. B. C. D.4.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，点C在y轴的正半轴上，且OA=OC，则()A. ac+1=bB. ab+1=cC. bc+1=aD. 以上都不是5.下列关于二次函数y=ax2−2ax+1(a>1)的图象与x轴交点的判断，正确的是()A. 没有交点B. 只有一个交点，且它位于y轴右侧C. 有两个交点，且它们均位于y轴左侧D. 有两个交点，且它们均位于y轴右侧6.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为x=−12.下列结论中，正确的是()A. abc>0B. a +b =0C. 2b+c>0D. 4a+c<2b7.如图，A、B两点在双曲线y=4x上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2=()A. 3B. 4C. 5D. 68.函数y=kx+1与函数y=kx 在同一坐标系中的大致图象是()A. B. C. D.9.如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为(−3,4)，顶点C在x轴的负半轴上，函数y=kx(x<0)的图象经过顶点B，则k的值为()A. −12B. −27C. −32D. −3610.图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=−1400(x−80)2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为()A. 16940米 B. 174米 C. 16740米 D. 154米二、填空题（本大题共4小题，共20分）11.设抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过A(0,2)，B(4,3)，C三点，其中点C在直线x=2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为．12.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为(−2,0)，抛物线的对称轴为直线x=2，则线段AB的长为______．13.如图，函数y=1x(x>0)和y=3x(x>0)的图象分别是l1和l2.设点P在l2上，PA//y轴，交l1于点A，PB//x轴，交l1于点B，则△PAB的面积为______ ．14.如图，点A(m,2)，B(5,n)在函数y=kx(k>0,x>0)的图象上，将该函数图象向上平移2个单位长度得到一条新的曲线，点A、B的对应点分别为A′、B′.图中阴影部分的面积为8，则k的值为______．三、计算题（本大题共2小题，共20分）15.如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED 所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．(1)求抛物线的解析式；(2)已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离ℎ(单位：米)随时间t(单位：时)的变化满足函数关系ℎ=−1128(t−19)2+8(0≤t≤40)，且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？16.如图，A(2,1)是矩形OCBD的对角线OB上的一点，点E在BC上，双曲线y=kx 经过点A，交BC于点E，交BD于点F，若CE=23．(1)求双曲线的解析式；(2)求点F的坐标；(3)连接EF、DC，求证：EF//DC．四、解答题（本大题共5小题，共60分）17.某商店进行促销活动，如果将进价为8元/件的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品的单价每涨1元，其销售量就要减少10件，问将售价定为多少元/件时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．18.如图，四边形ABCD为正方形．点A的坐标为(0,2)，点B的坐标为(0,−3)，反比例函数y=kx的图象经过点C，一次函数y=ax+b的图象经过点A、C，(1)求反比例函数与一次函数的解析式；(2)求点P是反比例函数图象上的一点，△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求P点的坐标．19.小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40cm，这个三角形的面积S(单位：cm2)随x(单位：cm)的变化而变化．(1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；(2)当x是多少时，这个三角形面积S最大⋅最大面积是多少⋅20.已知二次函数y=x2−2mx+m2+3(m是常数)．(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？21.如图，反比例函数y1=m与一次函数y2=kx+b的图象交于两点xA(1,3)、B(n,−1)．(1)求这两个函数的解析式；(2)观察图象，请直接写出不等式kx+b>m的解集；x(3)点C为x轴正半轴上一点，连接AO、AC，且AO=AC，求△AOC的面积．答案和解析1.【答案】D【解析】解：二次函数y=x2+4x−5的图象的对称轴为：x=−b2a =−42×1=−2．故选：D．直接利用抛物线的对称轴公式代入求出即可．此题主要考查了二次函数的性质，正确记忆抛物线对称轴公式是解题关键．2.【答案】B【解析】解：将y=x2−2x+3化为顶点式，得y=(x−1)2+2．将抛物线y=x2−2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为y=(x−4)2+4，故选：B．根据函数图象向上平移加，向右平移减，可得函数解析式．本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象的平移规律是：左加右减，上加下减．3.【答案】C【解析】解：当a<0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；当a>0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限．故选：C．根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与y轴的交点为(0,2)，二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象．此题主要考查了二次函数及一次函数的图象的性质，用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标．4.【答案】A【解析】解：当x=0时，y=ax2+bx+c=c，则C(0,c)(c>0)，∵OA=OC，∴A(−c,0)，∴a⋅(−c)2+b⋅(−c)+c=0，∴ac−b+1=0，即ac+1=b．故选：A．根据图象易得C(0,c)且c>0，再利用OA=OC可得A(−c,0)，然后把A(−c,0)代入y=ax2+bx+c即可得到a、b、c的关系式．本题考查了二次项系数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右．(简称：左同右异)；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0,c)；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2−4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．5.【答案】D【解析】解：当y=0时，ax2−2ax+1=0，∵a>1，∴△=(−2a)2−4a=4a(a−1)>0，ax2−2ax+1=0有两个根，函数与x轴有两个交点，x=2a±√4a(a−1)2a>0，故选：D．根据函数值为零，可得相应的方程，根据根的判别式，公式法求方程的根，可得答案．本题考查了抛物线与x轴的交点，利用了函数与方程的关系，方程的求根公式．6.【答案】D【解析】解：A、∵开口向上，∴a>0，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c<0，∵对称轴在y轴左侧，∴−b2a<0，∴b>0，∴abc<0，故A选项错误；B、∵对称轴：x=−b2a=−12，∴a=b，故B选项错误；C、当x=1时，a+b+c=2b+c<0，故C选项错误；D、∵对称轴为x=−12，与x轴的一个交点的取值范围为x1>1，∴与x轴的另一个交点的取值范围为x2<−2，∴当x=−2时，4a−2b+c<0，即4a+c<2b，故D选项正确．故选：D．由二次函数的性质，即可确定a，b，c的符号，即可判定A是错误的；又由对称轴为x=−12，即可求得a=b；由当x=1时，a+b+c<0，即可判定C错误；然后由抛物线与x轴交点坐标的特点，判定D正确．此题考查了二次函数图象与系数的关系．此题难度适中，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称性．7.【答案】D【解析】解：∵点A、B是双曲线y=4x上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4，∴S1+S2=4+4−1×2=6．故选：D．欲求S1+S2，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线y=4x的系数k，由此即可求出S1+S2．本题主要考查了反比例函数的图象和性质及任一点坐标的意义，有一定的难度．8.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．根据一次函数和反比例函数的特点，k≠0，所以分k>0和k<0两种情况讨论．当两函数系数k取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案．【解答】解：分两种情况讨论：①当k>0时，y=kx+1与y轴的交点在正半轴，过一、二、三象限，y=kx的图象在第一、三象限；②当k<0时，y=kx+1与y轴的交点在正半轴，过一、二、四象限，y=kx的图象在第二、四象限．故选A．9.【答案】C【解析】解：∵A(−3,4)，∴OA=√32+42=5，∵四边形OABC是菱形，∴AO=CB=OC=AB=5，则点B的横坐标为−3−5=−8，故B的坐标为：(−8,4)，将点B的坐标代入y=kx 得，4=k−8，解得：k=−32．故选：C．根据点C的坐标以及菱形的性质求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出k的值即可．本题考查了菱形的性质以及利用待定系数法求反比例函数解析式，解答本题的关键是根据菱形的性质求出点B的坐标．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用有关知识，先确定C点的横坐标，然后根据抛物线上点的坐标特征求出C点的纵坐标，从而可得到AC的长．【解答】解：∵AC⊥x轴，OA=10米，∴点C的横坐标为−10，当x=−10时，y=−1400(x−80)2+16=−1400(−10−80)2+16=−174，∴C(−10,−174)，∴桥面离水面的高度AC为174m.故选B．11.【答案】y=18x2−14x+2或y=−18x2+34x+2【解析】【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，难点在于分情况确定出对称轴解析式并讨论求解．根据点C的位置分情况确定出对称轴解析式，然后设出抛物线解析式，再把点A、B的坐标代入求解即可．【解答】解：∵点C在直线x=2上，且到抛物线的对称轴的距离等于1，∴抛物线的对称轴为直线x=1或x=3，当对称轴为直线x=1时，设抛物线解析式为y=a(x−1)2+k，将A(0,2)，B(4,3)代入解析式，则{a+k=29a+k=3，解得{a=18k=158，所以，y=18(x−1)2+158=18x2−14x+2；当对称轴为直线x=3时，设抛物线解析式为y=a(x−3)2+k，将A(0,2)，B(4,3)代入解析式，则{9a+k=2a+k=3，解得{a=−18k=258，所以，y=−18(x−3)2+258=−18x2+34x+2，综上所述，抛物线的函数解析式为y=18x2−14x+2或y=−18x2+34x+2．故答案为y=18x2−14x+2或y=−18x2+34x+2．12.【答案】8【解析】解：∵对称轴为直线x=2的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A、B两点，∴A、B两点关于直线x=2对称，∵点A的坐标为(−2,0)，∴点B的坐标为(6,0)，AB=6−(−2)=8．故答案为：8．由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2，交x轴于A、B两点，其中A点的坐标为(−2,0)，根据二次函数的对称性，求得B点的坐标，再求出AB的长度．此题考查了抛物线与x轴的交点．此题难度不大，解题的关键是求出B点的坐标．13.【答案】23【解析】【分析】本题考查了反比例函数的综合知识，题目中根据平行坐标轴的直线上的点的坐标特点表示出有关点的坐标是解答本题的关键，难度中等偏上．将点P(m,n)代入反比例函数y=3x(x>0)用m表示出n即可表示出点P的坐标，然后根据PB//x轴，得到B点的纵坐标为3m，然后将点B的纵坐标带人反比例函数的解析式y=1 x (x>0)即可得到点B的坐标，同理得到点A的坐标；根据PB=m−m3=2m3，PA=3m−1m=2m，利用S△PAB=12PA⋅PB即可得到答案．【解答】解：设点P(m,n)，∵P是反比例函数y=3x(x >0)图象上的点，∴n=3m，∴点P(m,3m)；∵PB//x轴，∴B点的纵坐标为3m，将点B的纵坐标代入反比例函数的解析式y=1x (x>0)得：x=m3，∴B(m3,3m)，同理可得：A(m,1m)；∵PB=m−m3=2m3，PA=3m−1m=2m，∴S△PAB=12PA⋅PB=12×2m3×2m=23．故答案为23．14.【答案】2【解析】解：可得：将该函数图象向上平移2个单位长度得到一条新的曲线，点A、B的对应点分别为A′、B′，图中阴影部分的面积等于平行四边形ABB′A′的面积为：2×4=8，则5−m=4，解得：m=1，则A(1,2)，故k=1×2=2．故答案为：2．利用平行四边形的面积公式得出M的值，进而利用反比例函数图象上点的性质得出k的值．此题主要考查了平移的性质和反比例函数系数k的几何意义，得出A点坐标是解题关键．15.【答案】解：(1)∵点C到ED的距离是11米，∴OC=11，设抛物线的解析式为y=ax2+11，由题意得B(8,8)，∴64a+11=8，解得a=−364，∴y=−364x2+11；(2)水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的距离h至少为11−5=6(米)，∴6=−1128(t−19)2+8，∴(t−19)2=256，∴t−19=±16，解得t1=35，t2=3，∴35−3=32(小时)．答：需32小时禁止船只通行．【解析】(1)根据抛物线特点设出二次函数解析式，把B坐标代入即可求解；(2)水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的距离h至少为6米，把6代入所给二次函数关系式，求得t的值，相减即可得到禁止船只通行的时间．考查二次函数的应用；判断出所求二次函数的形式是解决本题的关键；注意结合(1)得到h的最大高度．16.【答案】解：(1)把A(2,1)代入y=kx得k+1×2=2，所以双曲线解析式为y=2x；(2)设直线OB解析式为y=ax，把A(2,1)坐标代入得：1=2a，解得a=12，∴直线解析式为y=12x，∵四边形OCBD为矩形，CE=23，∴E点的纵坐标为23，当y=23时，2x=23，解得x=3，则E(3,23)，∴B的横坐标为3，当x=3时，y=12x=32，则B(3,32)，∴F的纵坐标为32，当y=32时，2x=32，解得x=43，∴F(43,32)；(3)∵B(3,32)，F(43,32)，E(3,23)，∴BD=3，BC=32，BF=3−43=53，BE=32−23=56，∴BFBD=59，BEBC=59，∴BFBD=BEBC，而∠FBE=∠DBC，∴△BFE∽△BDC，∴∠BFE=∠BDC，∴EF//CD ．【解析】(1)根据反比例函数图象上点的坐标特征，把A(2,1)代入y =kx 中可求出k 的值，从而得到双曲线解析式；(2)先利用待定系数法求出直线解析式为y =12x ，再利用E 点的纵坐标为23和反比例函数图象上点的坐标特征可确定E(3,23)，接着根据一次函数图象上点的坐标特征确定B(3,32)，则F 的纵坐标为32， 然后再利用反比例函数图象上点的坐标特征确定F 点坐标；(3)先得到BD =3，BC =32，BF =53，BE =56，再通过计算得到BFBD =BEBC =59，加上∠FBE =∠DBC ，则可判断△BFE∽△BDC ，所以∠BFE =∠BDC ，于是可判断EF//CD ．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质．17.【答案】解：设销售价每件定为x 元，则每件利润为(x −8)元，销售量为[100−10(x −10)]， 根据利润=每件利润×销售量，可得销售利润y =(x −8)⋅[100−10(x −10)]=−10x 2+280x −1600=−10(x −14)2+360， ∴当x =14时，y 的最大值为360元，∴应把销售价格定为每件14元，可使每天销售该商品所赚利润最大，最大利润为360元．【解析】确定每件利润、销售量，根据利润=每件利润×销售量，得出销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系，利用配方法确定函数的最值． 此题考查二次函数的性质及其应用，将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题，比较简单．18.【答案】解：(1)∵点A 的坐标为(0,2)，点B 的坐标为(0,−3)， ∴AB =5，∵四边形ABCD 为正方形， ∴点C 的坐标为(5,−3)．∵反比例函数y =kx 的图象经过点C ， ∴−3=k5，解得k =−15，∴反比例函数的解析式为y =−15x ； ∵一次函数y =ax +b 的图象经过点A ，C ， ∴{b =25a +b =−3，解得{a =−1b =2，∴一次函数的解析式为y =−x +2；(2)设P 点的坐标为(x,y)．∵△OAP 的面积恰好等于正方形ABCD 的面积， ∴12×OA ⋅|x|=52， ∴12×2⋅|x|=25，解得x =±25．当x =25时，y =−1525=−35； 当x =−25时，y =−15−25=35． ∴P 点的坐标为(25,−35)或(−25,35).【解析】(1)先根据正方形的性质求出点C 的坐标为(5,−3)，再将C 点坐标代入反比例函数y =kx 中，运用待定系数法求出反比例函数的解析式；同理，将点A ，C 的坐标代入一次函数y =ax +b 中，运用待定系数法求出一次函数函数的解析式；(2)设P 点的坐标为(x,y)，先由△OAP 的面积恰好等于正方形ABCD 的面积，列出关于x 的方程，解方程求出x 的值，再将x 的值代入y =−15x ，即可求出P 点的坐标．本题考查了正方形的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，运用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，三角形的面积，难度适中．运用方程思想是解题的关键．19.【答案】解：(1)S =−12x 2+20x ；(2)∵−12<0， ∴S 有最大值，∴当x =−b 2a =−202×(−12)=20时，S 有最大值为4ac−b 24a=4×(−12)×0−2024×(−12)=200cm 2．∴当x 为20cm 时，三角形最大面积是200cm 2．【解析】(1)S =12x ×这边上的高，把相关数值代入化简即可； (2)结合(1)得到的关系式，利用公式法求得二次函数的最值即可． 考查二次函数的应用；掌握二次函数的顶点为(−b2a,4ac−b 24a)，是解决本题的关键．20.【答案】(1)证明：∵△=(−2m)2−4×1×(m 2+3)=4m 2−4m 2−12=−12<0，∴方程x 2−2mx +m 2+3=0没有实数解，即不论m 为何值，该函数的图象与x 轴没有公共点；(2)解：y =x 2−2mx +m 2+3=(x −m)2+3，把函数y =(x −m)2+3的图象沿y 轴向下平移3个单位长度后，得到函数y =(x −m)2的图象，它的顶点坐标是(m,0)，因此，这个函数的图象与x 轴只有一个公共点，所以，把函数y =x 2−2mx +m 2+3的图象沿y 轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x 轴只有一个公共点．【解析】(1)求出根的判别式，即可得出答案；(2)先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质得出即可．本题考查了二次函数和x 轴的交点问题，根的判别式，平移的性质，二次函数的图象与几何变换的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，题目比较好，有一定的难度．21.【答案】解：(1)把A(1,3)的坐标代入y 1=mx ，得m =3，故反比例函数的解析式为y 1=3x ， 把B(n,−1)的坐标代入y 1=3x ，得−n =3，把A(1,3)和B(−3,−1)的坐标分别代入y 2=kx +b ，得{k +b =3−3k +b =−1，解得k =1，b =2．故一次函数的解析式为y 2=x +2； (2)x >1或−3<x <0；(3)过A 点作AD ⊥OC 于点D ， ∵AO =AC ， ∴OD =CD ，∵A(1,3)在双曲线y =3x 图象上， ∴OD ⋅AD =3， ∴12OC ⋅AD =3， ∴S △AOC =3．【解析】【分析】本题综合考查一次函数与反比例函数的图象交点，同时考查用待定系数法求函数解析式．本题需要注意无论是自变量的取值范围还是函数值的取值范围，都应该从交点入手思考；需注意反比例函数的自变量不能取0．(1)可先把A 代入反比例函数解析式，求得m 的值，进而求得n 的值，把A ，B 两点分别代入一次函数解析式即可；(2)根据图象结合A ，B 两点坐标即可求得；(3)过A 点作AD ⊥OC 于点D ，根据A 的坐标得出AD =3，OC =2，根据三角形面积就可求得． 【解答】解：(1)见答案；(2)由图象可知y2>y1的解集为x >1或−3<x <0； 故答案为x >1或−3<x <0； (3)见答案．1、读书破万卷，下笔如有神。