题多解--曲线的公切线

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曲线的切线(详解)

曲线的切线(详解)曲线的切线一、基础知识：1、切线的定义：设P是曲线上的一点，Q是曲线上与P邻近的一点。

当点Q沿着曲线无限接近点P时，如果割线PQ有一个极限位置PT，那么直线PT就叫做曲线在点P处的切线。

2、函数y=f(x)在x=x0处可导，则曲线y=f(x)在点P处的切线方程是：y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)3、关于切线的几个问题：（1）曲线的切线和曲线可以有几个交点？（答：可以有无数个交点）（2）直线y=kx+b在其上一点P处有切线吗？（答：有，切线与直线重合）二、例题选讲：例1 下列曲线在点x=0处没有切线的是（）（A）y=x3+sinx （B）y=x+cosx （C）y=xx+1 （D）y=|x|答：选D，因为它在x=0处没有导数且不符合切线定义。

问1：（B）中函数在x=0处也没有导数，它有切线吗？答：有，切线为直线x=0。

小结：f(x)在x0处可导⇒f(x)在x0处有切线，反之不成立f(x)在x0处不可导≠>f(x)在x0处没有切线。

问2：既然不能从可导不可导来判定是否存在切线，那么怎么来判定呢？答：围绕定义。

小结：要深入体会运动变化思想：两个不同的公共点→两公共点无限接近→两公共点重合（切点），从而割线→切线。

3例2 已知曲线y=。

x+33（1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程；（2）求曲线过点P（2，4）的切线方程。

解：（1）所求切线斜率k=4，故所求切线方程为y-4=4(x-2)，即4x-y-4=04（2）设曲线与过点P的切线相切于点A（x0,1），则切线的斜率k=y'|x=x0=x0，x0+∴切线方程为y-(， 3x0+3)=x0(x-x0)3232∵点P(2,4)在切线上，∴4-( 3x0+3)=x0(2-x0)32解得x0=2或-1，故所求的切线方程为：4x-y-4=0或x-y+2=0。

变式：从点（-1，1）向曲线y=x+1引切线，试求切线的方程。

2020年高考数学冲刺复习知识点精讲：切线问题含解析

切线问题一、考情分析用导数研究曲线的切线问题是导数的重要应用之一,也是高考考查的热点,考查的形式不一,可以是客观题也可以是解答题,内容涉及到曲线切线的倾斜角与斜率,曲线切线方程的确定,两曲线的公切线问题及满足条件的切线条数问题.. 二、经验分享(1) 函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义,就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线的斜率k ,即k ＝f ′(x 0)．(2)已知切点A (x 0,f (x 0))求斜率k ,即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ,求切点A (x 1,f (x 1)),即解方程f ′(x 1)＝k .(3)若求过点P (x 0,y 0)的切线方程,可设切点为(x 1,y 1),由求解即可．(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况,由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．【小试牛刀】【2018届辽宁省丹东市五校协作体高三上学期联考】已知函数．（Ⅰ）若()f x 在2x =处取极值,求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）当0a >时,若()f x 有唯一的零点0x ,求证： 0 1.x > 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.（Ⅱ）由（Ⅰ）知()0x >,令,则由,可得x =()g x ∴在⎛ ⎝上单调递减,在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增.又,故当时, ()0g x <；又,故()g x 在()1,+∞上有唯一零点,设为1x ,从而可知()f x 在()10,x 上单调递减,在()1,x +∞上单调递增, 因为()f x 有唯一零点0x , 故10x x =且01x > (三)两曲线的公切线【例3】若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和都相切,则a 等于( )A.1-或2564-B. 1-或214C. 74-或2564-D. 74-或7 【分析】本题两条曲线上的切点均不知道,且曲线含有参数,所以考虑先从常系数的曲线3y x =入手求出切线方程,再考虑在利用切线与曲线求出a 的值.【答案】A【点评】（1）涉及到多个函数公切线的问题时,这条切线是链接多个函数的桥梁.所以可以考虑先从常系数的函数入手,将切线求出来,再考虑切线与其他函数的关系（2）在利用切线与求a 的过程中,由于曲线为抛物线,所以并没有利用导数的手段处理,而是使用解析几何的方法,切线即联立方程后的0∆=来求解,减少了运算量.通过例7,例8可以体会到导数与解析几何之间的联系：一方面,求有关导数的问题时可以用到解析的思想,而有些在解析中涉及到切线问题时,若曲线可写成函数的形式,那么也可以用导数来进行处理,（尤其是抛物线）【小试牛刀】【2019届安徽省皖中名校联盟10月联考】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则___________．【答案】0或1(四) 曲线条数的确定【例4】已知函数,若过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切,求t 的取值范围【分析】由于并不知道3条切线中是否存在以P 为切点的切线,所以考虑先设切点()00,x y ,切线斜率为k ,则满足,所以切线方程为,即,代入()1,P t 化简可得：,所以若存在3条切线,则等价于方程有三个解,即y t =与有三个不同交点,数形结合即可解决【解析】设切点坐标()00,x y ,切线斜率为k ,则有：∴ 切线方程为：因为切线过()1,P t ,所以将()1,P t 代入直线方程可得：所以问题等价于方程,令即直线y t =与有三个不同交点令()'0g x >解得01x << 所以()g x 在单调递减,在()0,1单调递增所以若有三个交点,则()3,1t ∈--所以当()3,1t ∈--时,过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切.【点评】曲线切线条数的确定通常转化为切点个数的确定,设出切点()(),P t f t ,由已知条件整理出关于t 的方程,可把问题转化为关于t 的方程的实根个数问题.【小试牛刀】【2019届齐鲁名校教科研协作体湖北、山东部分重点中学2019届高三第一次联考】已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】设切点为，，，则切线方程为：，切线过点代入得：，，即方程有两个解，则有或.故答案为:A.5．【2018届湖北省荆州中学高三第二次月考】已知函数()f x 是偶函数,当0x >时, ,则曲线()y f x =在点()()1,1f --处切线的斜率为（） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2【答案】B6．【2018届河南省天一大联考】已知()f x 是定义在R 上的单调函数,满足,则()f x 在()()0,0f 处的切线方程为（）A. 1y x =+B. 1y x =-C. 1y x =-+D. 1y x =-- 【答案】A【解析】由题意可得()xf x e -为一固定的数,设,则有()1f a =.由可得,当x a =时,有,解得0a =.∴()xf x e =,∴()xf x e '=.∴,又.∴曲线()f x 在()()0,0f 处的切线方程为y 1x -=,即1y x =+.选A. 7．【2018届河南省南阳高中三年级期中】已知12,P P 为曲线:ln C y x =（0x >且1x ≠）上的两点,分别过12,P P 作曲线C 的切线交y 轴于,M N 两点,若,则MN =（）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B8．【2018届广东省阳春高三上学期第三次月考】设点P 为函数与图象的公共点,以P 为切点可作直线l 与两曲线都相切,则实数b 的最大值为（）A. 3423eB. 3432e C. 2343e D. 2334e【答案】D【解析】设()y f x =与在公共点()00,P x y 处的切线相同, ,由题意,即,由得0x a =或03x a =-（舍去）,即有,令,则,于是当,即130t e <<时, ()'0h t >；当,即13t e >时, ()'0h t <,故()h t 在130,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭为增函数,在13,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭为减函数,于是()h t 在()0,+∞的最大值为,故b 的最大值为2334e ,故选D. 9．【2018届湖北省宜昌高三月考】过点A(2,1)作曲线的切线最多有( )A. 3条B. 2条C. 1条D. 0条【来源】数学（理）试题【答案】A10．【2018届四川宜宾市高三（上）测试】设函数与有公共点,且在公共点处的切线方程相同,则实数b 的最大值为 A.21e B. 212e C. 213e D. 214e【答案】A【解析】由题意,可得,由(1)得,解得0x a =或013x a =- (舍去),代入(2)得,,构造,则()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增,即()b h x -=的最小值为,所以b 的最大值为21e ,故选A. 11．【2018届内蒙古巴彦淖尔市高三月考】已知函数的图像为曲线C ,若曲线C 存在与直线12y x = 垂直的切线,则实数m 的取值范围是（） A. 2m > B. 2m ≤ C. 12m >- D. 12m ≤-【答案】A【解析】∵曲线C 存在与直线12y x = 垂直的切线,成立,故选A16.已知函数（,a b R ∈）,()2g x x =.（1）若1a =,曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴垂直,求b 的值；（2）若2b =,试探究函数()f x 与()g x 的图象在其公共点处是否存在公切线.若存在,研究a 值的个数；,若不存在,请说明理由.（2）假设函数()f x 与()g x 的图象在其公共点()00,x y 处存在公切线,∵2b =,∴,∴, ()'2g x x =,由得,即,∴,故02a x =. ∵函数()f x 的定义域为()0,+∞,当0a ≤时,,∴函数()f x 与()g x 的图象在其公共点处不存在公切线；当1t =时, ln 0t =,,由函数图象的性质可得ln y t =和212t y =-的图象有且只有两个公共点（且均符合）,∴方程有且只有两个根.综上,当0a ≤时,函数()f x 与()g x 的图象在其公共点处不存在公切线；当0a >时,函数()f x 与()g x 的图象在其公共点处存在公切线,且符合题意的的值有且仅有两个.。

专题一切线与公切线问题

专题一切线及公切线问题1．已知曲线y＝x3+．（1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程；（2）求曲线过点P（2，4）的切线方程；（3）求斜率为1的曲线的切线方程．2．已知函数f（x）＝x3﹣x2+ax+1．（1）讨论f（x）的单调性；（2）求曲线y＝f（x）过坐标原点的切线与曲线y＝f（x）的公共点的坐标．3．已知函数f（x）＝（x＞0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＝2时，求曲线y＝f（x）过点（2，0）的切线与曲线y＝f（x）的公共点的坐标．4．已知f（x）＝（x﹣a）2+（lnx2﹣2a）2，其中x＞0，a∈R，存在x0使f（x0）≤，求a 的值．5．已知函数f（x）＝x3+bx2+cx﹣1当x＝﹣2时有极值，且在x＝﹣1处的切线的斜率为﹣3．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值与最小值；（3）若过点P（1，m）可作曲线y＝f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．6．已知函数f（x）＝x3﹣x（Ⅰ）求曲线y＝f（x）．在点M（t，f（t））处的切线方程；（Ⅱ）设a＞0，如果过点（a，b）可作曲线y＝f（x）的三条切线，证明：﹣a＜b＜f （a）．7．已知函数f（x）＝xe x，其中x∈R．（Ⅰ）求曲线f（x）在点（x0，x0）处的切线方程（Ⅱ）如果过点（a，b）可作曲线y＝f（x）的三条切线（1）当﹣2＜a＜0时，证明：﹣（a+4）＜b＜f（a）；（2）当a＜﹣2时，写出b的取值范围（不需要书写推证过程）．8．已知函数f（x）＝ae x，，a＞0．（Ⅰ）若y＝f（x）的图象在x＝1处的切线过点（3，3），求a的值并讨论h（x）＝xf （x）+m（x2+2x﹣1）（m∈R）在（0，+∞）上的单调增区间；（Ⅱ）定义：若直线l：y＝kx+b与曲线C1：f1（x，y）＝0、C2：f2（x，y）＝0都相切，则我们称直线l为曲线C1、C2的公切线．若曲线y＝f（x）与y＝g（x）存在公切线，试求实数a的取值范围．9．已知函数f（x）＝a+lnx，g（x）＝x2．（1）若a＝ln2，求函数y＝f（x）的图象在x＝处的切线的方程．（2）若函数y＝f（x）的图象与函数y＝g（x）的图象存在公共切线，求实数a的取值范围．10．已知函数f（x）＝mlnx．（Ⅰ）当m＝2cos kπ（k∈N*），分析函数g（x）＝x2﹣f（x）的单调性；（Ⅱ）当m＞0时，若函数f（x）＝mlnx与的图象有且只有一条公切线，求m的值．11．设函数f（x）＝lnx，g（x）＝ax+，函数f（x）的图象与x轴的交点也在函数g（x）的图象上，且在此点处f（x）与g（x）有公切线．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）设x＞0，试比较f（x）与g（x）的大小．12．已知函数f（x）＝a x，g（x）＝log a x，其中a＞1．（Ⅰ）求函数h（x）＝f（x）﹣xlna的单调区间；（Ⅱ）若曲线y＝f（x）在点（x1，f（x1））处的切线与曲线y＝g（x）在点（x2，g（x2））处的切线平行，证明：x1+g（x2）＝﹣；（Ⅲ）证明当a≥时，存在直线l，使l是曲线y＝f（x）的切线，也是曲线y＝g（x）的切线．13．已知函数，g（x）＝3elnx，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）是否存在实数a，b，使f（x）≥ax+b≥g（x）对任意x∈（0，+∞）恒成立？若存在，试求出a，b的值；若不存在，请说明理由．。

巧妙判断曲线公切线条数

= et （ x － t）．与曲线 y =
－
1 4
x2
联立方程组
{y － et = et（ x － t），
y = － 1 x2 ．
由 Δ = 0，可得 et + t － 1 = 0，此方程有
4
几解，切线就有几条．设 f（ t） = et + t － 1，f ' （ t） = et + 1 ＞ 0，所以 f（ t） = et + t － 1 在Ｒ为增函数，又 f（ 0） = 0，所以方程 et + t － 1 = 0 有唯一解 t = 0，所以直线 l 必唯一，即为
分别为： y = etx + et（ 1 － t）
，y =
－
1 2
bx +
1 4
b2 ，其都表示直
{et
=
－
1 2
b，
线 l，所以
此方程组有几组解，公切线就
et（ 1 － t）
=
1 b2 ． 4
有几条，消元解得 et + t － 1 = 0，设 f（ t） = et + t － 1，f ' （ t）
A． 0 条 B． 1 条 C． 2 条 D． 3 条
解析一设直线 l 与 C1 和 C2 的切点分别为（ t，t2 ）和（ m，m3 ），切线斜率 k1 = 2t，k2 = 3m2 ，则切线的方程分别为： y = 2tx － t2 ，y = 3m2 x － 2m3 ，其都表示直线 l，所以
参考文献：
［1］人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心．普通高中课程标准实验教科书（必修）数学［M］．北京：人民教育出版社，2014．

两条曲线的公切线问题

两条曲线的公切线问题➢方法导读在近几年高考导数大题的命制过程中,求曲线的公切线问题成为高考中的热点题型之一.学生在做题过程中,解决单一曲线的切线问题相对比较熟练,对于单一曲线的切线问题,求解过程中常用的数学思想主要是转化与化归思想,函数与方程思想,数形结合思想,求解方法也较容易理解:(1)判断切点是否可直接找到,若可以直接找到则直接求导即可;若不能直接找到则需设出切点;(2)利用导数的几何意义,即曲线在处的导数为切线的斜率;(3)根据切点既在曲线上又在切线上进行求解.但是对于两条曲线的公切线问题的求解,显然就比单一曲线的切线问题要复杂得多,灵活得多,难度也大得多.具体的求解方法:设曲线在点处的切线为,整理得到:.设曲线在点处的切线为,整理得到:.由于与是相同直线(即与的公切线),故有且(即斜率相等,纵截距相等), 从而求解出与公切线有关的一些问题.➢高考真题【2020·全国II卷理·20】已知函数.(1)讨论的单调性,并证明有且仅有两个零点;(2)设是的一个零点,证明曲线在点处的切线也是曲线的切线.➢解题策略【过程分析】本题第一问首先函数问题定义域优先原则,故得到的定义域为,进而对函数求导得到,因为函数的定义域为,从而判断出,因此函数在和上是单调增函数(注意函数的单调区间不可用“”符号连接,可用“,”或者“和”连接);然后利用极限法分析当时,,而(此处利用极限法的分析过程建议在平时的做题中多多训练,在很多题型中都有所涉及),从而根据零点存在性定理判断当,函数有零点,又根据函数在上单调递增,故当时,函数有唯一的零点;当时,,,因为,所以根据零点存在性定理判断函数在必有零点,根据函数在上也是单调递增,故当时,函数有唯一的零点.于是得到第一问的全部结论,函数在和上是单调增函数并且函数在定义域内有个零点;第二问要证明两条曲线的公切线问题,就可以用到我们前面提到的方法,首先因为是的一个零点,所以必然满足函数解析式,即(注意一定要合理应用题中所给条件),然后我们分别求出两条曲线的切线,在求解切线的过程中要注意切点是否可以直接找到,对于而言,切点已经给出,所以直接求导,从而得到曲线在处的切线的斜率,进而表示出曲线在处的切线的方程为:,然后应用题中所给条件,所以的方程整理后为,它的斜率,在纵轴的截距为.紧接着我们继续研究曲线,由于曲线的切点不能直接找到,所以我们设曲线的切点为,然后利用导数求出曲线过切点的切线的方程,,所以在点处的切线的斜率为,因此切线的方程为,它的斜率,在纵轴的截距为.当切线的斜率等于直线的斜率时,即,则,而,所以. 最后由于直线,的斜率相等,在纵轴上的截距也相等,因此判断出直线,重合,故曲线在处的切线也是曲线的切线,本题得证.【深入探究】纵观本题的分析过程,主要是攻克以下的几个难点:(1)第一问中定义域中的“”,以及分析零点时的极限思想的应用;(2)第二问中由是的一个零点得到;(3)第二问中分别求解曲线与曲线的切线方程时切点的问题,尤其是求解曲线的切线方程时要设出切点,此处应该是本题求解过程中的“精髓”之处;(4)结合,再利用斜率和截距都相等,从而得出两直线,重合,进而说明直线是两条曲线的公切线;综上,只需攻克以上的几个难点本题就会迎刃而解.➢解题过程【解析】(1)函数的定义域为,,因为函数的定义域为,所以,因此函数在和上是单调增函数;当,时,,而,显然当,函数有零点,而函数在上单调递增,故当时,函数有唯一的零点; 当时,,,因为,所以函数在必有一零点,而函数在上是单调递增,故当时,函数有唯一的零点, 综上所述,函数的定义域内有个零点.(2)因为是的一个零点,所以,,所以曲线在处的切线的斜率,故曲线在处的切线的方程为:,而, 所以的方程为,它在纵轴的截距为.设曲线的切点为,过切点的切线,,所以在点处的切线的斜率为,因此切线的方程为,当切线的斜率等于直线的斜率时,即,切线在纵轴的截距为,而,所以,直线,的斜率相等,在纵轴上的截距也相等,因此直线,重合,故曲线在处的切线也是曲线的切线.➢解题分析在上述题目第二问的解题过程中,首先我们根据是的一个零点,得到关于的等量关系,其次我们分别求解曲线与曲线的切线方程,最后我们再由切线,重合来说明此直线就是两条曲线的公切线.此处我们主要是用到了求解两条曲线的公切线问题的常用方法:分别求出两条曲线的切线方程,然后利用直线重合得到该直线即为两条曲线的公切线,此种解题方法通俗易懂,学生上手比较方便,也是我们最常用的解决两条曲线公切线问题的方法.➢拓展推广解决两条曲线的公切线问题的一般策略:第一步:利用题中所给条件得到相应的等量关系;第二步:分别求解两条曲线在各自切点处的切线方程,设曲线在点处的切线为,整理得到:,设曲线在点处的切线为,整理得到:;第三步:根据公切线定义,得到两切线重合,建立方程组,求解相关问题,由于与是相同直线(即与的公切线),则和(即斜率相等,纵截距相等),建立方程组,从而求解出与公切线有关的一些问题.常见两条曲线的公切线问题的题型:(1)求两条曲线的公切线方程以及证明直线为两曲线的公切线问题;(2)求与两条曲线的公切线有关的曲线中的参数的取值范围问题;(3)探究两条曲线是否存在公切线的问题;(4)求曲线中参数的值问题;(5)判断公切线条数问题.变式训练1已知曲线与,直线是和的公切线,求公切线的方程.变式训练2已知函数,.(1)讨论函数的单调性;(2)若存在与函数,的图象都相切的直线,求实数的取值范围.变式训练3设函数,.(1)讨论的极值;(2)若曲线和曲线在点处有相同的切线,且当时,,求的取值范围.变式训练4（2018天津理）已知函数,,其中.(1)求函数的单调区间;(2)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行,证明:;(3)证明:当时,存在直线,使是曲线的切线,也是曲线的切线.变式训练5已知函数,.(1)当时,,求实数的取值范围.(2)当时,曲线和曲线是否存在公共切线?并说明理由答案变式训练1见解析设与的切点,与的切点,曲线在处的导数为,在曲线上过点的切线方程为,即,曲线在处的导数为,在曲线上过点的切线方程为,即,由题意知直线与重合,则有,解得或,所以两曲线和的公切线的方程为或.变式训练2见解析(1)函数的定义域为,, 所以,所以当,即时,,在上单调递增; 当,即或时,当时,,在上单调递增;当时,令得,随着变化,,的变化情况如下表:综上:当时,在上单调递增;当时,在和内单调递增,在内单调递减.(2)设函数在点与函数在点处切线相同,由,,得到,,所以函数在点处的切线方程为,即,函数在点处的切线方程为,即,由斜率相等得到,所以,由截距相等得到,把代入化简得,则,不妨设,当时,,当时,,所以在区间上单调递减,在区间上单调递增,代入可得,设,则对恒成立,所以在区间上单调递增,又,所以当时,即当时,又当时,,因此当时,函数必有零点;即当时,必存在使得成立;即存在,使得函数在点与函数在点处切线相同, 又由在上单调递增可得的取值范围,因此,,变式训练3见解析(1)由题意,则,①当时,恒成立,所以在上单调递增,无极值.②当时,由得,故当时,,单调递减;当时,,单调递增, 所以当时,有极小值,且极小值为,无极大值.③当时,由得,故当时,,单调递增;当时,,单调递减, 所以当时,有极大值,且极大值为,无极小值.综上所述,当时,无极值;当时,有极小值,无极大值;当时,有极大值,无极小值.(2)由题意得,∴,即,解得,∴,令,则,由题意可得,解得,由得,,①当,即时,则,∴当时,,单调递减;当时,,单调递增,∴在上的最小值为,∴恒成立.②当,即时,则,∴当时,,在上单调递增,又,∴当时,,即恒成立.③当,即时,则有,从而当时,不可能恒成立.综上所述的取值范围为.变式训练4(1)函数的单调递减区间为,单调递增区间为;(2)见解析;(3)见解析.本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和方法.考查函数与方程思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.(1)由已知,有,令,解得;由,可知当变化时,,的变化情况如下表:所以函数的单调递减区间为,单调递增区间为.(2)由,可得曲线在点处的切线斜率为,由,可得曲线在点,处的切线斜率为,因为这两条切线平行,故有,即,(3)曲线在点处的切线,曲线在点处的切线.要证明当时,存在直线,使是曲线的切线,也是曲线的切线,只需证明当时,存在,,使得与重合.即只需证明当时,方程组有解,由①得,代入②,得③,因此,只需证明当时,关于的方程③存在实数解.设函数.即要证明当时,函数存在零点,,可知时, ;时,单调递减,又,,故存在唯一的,且,使得, 即.由此可得在上单调递增,在上单调递减, 在处取得极大值;因为,故,所以,下面证明存在实数,使得,由(1)可得,当时,有,所以存在实数,使得,因此,当时,存在,使得;所以,当时,存在直线,使是曲线的切线,也是曲线的切线.变式训练5见解析(1)令,则,若,则,若,则,所以在上是增函数,在上是减函数,所以是的极大值点,也是的最大值点,即,若恒成立,则只需,解得,所以实数的取值范围是.(2)假设存在这样的直线且直线与曲线和曲线分别切于点,,由,得,曲线在点处的切线方程为,即,同理可得,曲线在点处的切线方程为,所以,即,构造函数,存在直线与曲线和曲线均相切,等价于函数在上有零点,对于,当时,,在上单调递增,当时,因为,所以在上是减函数,又,,所以使得,即,且当时,,当时,,综上,在上是增函数,在上是减函数,所以是的极大值,也是最大值,且,又,,所以在内和内各有一个零点,故假设成立,即曲线和曲线存在公共切线.。

两条曲线的公切线问题

两条曲线的公切线问题作者：***
来源：《数学教学通讯·高中版》2020年第07期
[摘要] 借鑒直线与曲线相切的概念，定义两条曲线的公切线.通过探讨求公切线的常用方法，得到相关结论;利用两条曲线的公切线，结合导数的知识，解决参数的取值问题和证明不等式.
[关键词] 两条曲线的公切线;导数;转化;构造
在导数的几何意义中，我们学习了曲线的切线的定义. 两圆可内切也可外切，我们初步从图形上直观地感受两条曲线也可“相切”. 借助直线与曲线相切的概念，类比两圆的公切线，给出两条曲线公切线的概念.
定义：若直线l同时是曲线C1和C2的切线，则称直线l是曲线C1和C2的公切线.
虽然在教材中，没有明确提到两条曲线的公切线问题，但在高考题及一些复习材料中，都能见到两条曲线公切线的身影，或是直接考查如何求公切线，或间接地利用公切线结合导数知识解决其他问题，如不等式的证明、参数的取值范围等.
通过以上的分析和解答过程可以发现，我们通过建立两条曲线相切的概念，利用两曲线的公切线，使某些问题的解决过程变得简捷.。

公切线计算公式

公切线计算公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：公切线是两个曲线相交时，切到这两个曲线的一条直线。

在数学中，我们可以通过一定的公式来计算两个曲线之间的公切线。

公切线的计算是一项非常重要的数学问题，既有理论上的研究，又有实际应用。

在几何学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。

公切线的计算涉及到曲线的方程、导数、切线方程等数学知识。

在这里，我们主要讨论一下两个曲线之间的公切线的计算公式。

我们来看一下两个曲线的一般方程形式，即为：曲线1：y=f(x)曲线2：y=g(x)f(x)和g(x)分别为两个曲线的方程。

我们的目标是找到这两个曲线之间的公切线。

我们需要找到两个曲线在交点处的斜率。

因为公切线同时切到两个曲线上，所以公切线在两个曲线的交点处与两个曲线的斜率相等。

设曲线1和曲线2在交点处的斜率分别为m1和m2，则有：下面我们来计算公切线的方程。

设公切线的方程为y=mx+b，其中m为公切线的斜率，b为截距。

因为公切线同时切到曲线1和曲线2上，所以公切线的方程同时满足曲线1和曲线2的方程。

即有：y = f(x)y = g(x)y = mx + b根据公切线切到曲线1和曲线2时的斜率相等，我们可以得到：公切线与曲线1和曲线2在交点处相交，所以有：将上述两个方程与曲线1和曲线2的方程联立，可以解出公切线的方程y=mx+b。

以上就是关于公切线计算公式的简要介绍。

通过计算公切线的方法，我们可以轻松地求解两个曲线之间的公切线，是解决数学问题以及实际应用中的重要工具。

希望通过本文的介绍，读者能对公切线的计算有一个基本的了解，从而更好地应用于相关领域的问题解决中。

第二篇示例：公切线是两个曲线相切的地方，它是在两个曲线相切的点处与两个曲线都垂直的一条直线。

在数学中，我们经常需要计算两个曲线的公切线，以便解决各种问题。

公切线的计算是一个重要的数学问题，它涉及到几何、代数和微积分等各个领域的知识。

在数学中，公切线的计算可以应用于各种不同的曲线类型，例如圆、椭圆、双曲线等。

专题02 曲线的切线问题探究【解析版】

第一章函数与导数专题02 曲线的切线问题探究【压轴综述】纵观近几年的高考命题，对曲线的切线问题的考查，主要与导数相结合，涉及切线的斜率、倾斜角、切线方程等问题，题目的难度有难有易.利用导数的几何意义解题，主要题目类型有求切线方程、求切点坐标、求参数值（范围）等.与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略有： 1.已知斜率求切点．已知斜率k ，求切点()()11,x f x ，即解方程()f x k '=.2.求切线方程：注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.即注意两个“说法”：求曲线在点P 处的切线方程和求曲线过点P 的切线方程，在点P 处的切线，一定是以点P 为切点，过点P 的切线，不论点P 在不在曲线上，点P 不一定是切点．（1）已知切点求切线方程：①求出函数()y f x =在点0x x =处的导数，即曲线()y f x =在点()()00,x f x 处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为()()000y y f x x x '-=-．（2）求过点P 的曲线的切线方程的步骤为：第一步，设出切点坐标P ′(x 1，f(x 1))；第二步，写出过P ′(x 1，f(x 1))的切线方程为y-f(x 1)＝f ′(x 1)(x-x 1)；第三步，将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程，求出x 1；第四步，将x 1的值代入方程y-f(x 1)＝f ′(x 1)(x-x 1)可得过点P(x 0，y 0)的切线方程．3.求切线倾斜角的取值范围．先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决．4.根据导数的几何意义求参数的值（范围）时，一般是利用切点P (x 0，y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．5.已知两条曲线有公切线，求参数值（范围）.6.导数几何意义相关的综合问题．【压轴典例】例1.（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 【答案】(e, 1). 【解析】设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x'=，当0x x =时，01y x '=，点A 在曲线ln y x =上的切线为0001()y y x x x -=-，即00ln 1xy x x -=-，代入点(),1e --，得001ln 1ex x ---=-，即00ln x x e =，考查函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >，且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,H x H x >单调递增，注意到()H e e =，故00ln x x e =存在唯一的实数根0x e =，此时01y =，故点A 的坐标为(),1A e .例2.（2019·全国高考真题（理））已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e xy =的切线. 【答案】（1）函数()f x 在(0,1)和(1,)+∞上是单调增函数，证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,1)(1,)⋃+∞，2211()ln ()1(1)x x f x x f x x x x ++'=-⇒=--，因为函数()f x 的定义域为(0,1)(1,)⋃+∞，所以()0f x '>，因此函数()f x 在(0,1)和(1,)+∞上是单调增函数；当(0,1)x ∈，时，0,x y →→-∞，而11112()ln 0111e f e e e e+=-=>--，显然当(0,1)x ∈，函数()f x 有零点，而函数()f x 在(0,1)x ∈上单调递增，故当(0,1)x ∈时，函数()f x 有唯一的零点；当(1,)x ∈+∞时，2222221213()ln 0,()ln 01111e e ef e e f e e e e e e +-+-=-=<=-=>----，因为2()()0f e f e ⋅<，所以函数()f x 在2(,)e e 必有一零点，而函数()f x 在(1,)+∞上是单调递增，故当(1,)x ∈+∞时，函数()f x 有唯一的零点综上所述，函数()f x 的定义域(0,1)(1,)⋃+∞内有2个零点；（2）因为0x 是()f x 的一个零点，所以000000011()ln 0ln 11x x f x x x x x ++=-=⇒=-- 1ln y x y x'=⇒=，所以曲线ln y x =在00A(,ln )x x 处的切线l 的斜率01k x =，故曲线ln y x =在00A(,ln )x x 处的切线l 的方程为：0001ln ()y x x x x -=-而0001ln 1x x x +=-，所以l 的方程为0021x y x x =+-，它在纵轴的截距为021x -.设曲线xy e =的切点为11(,)x B x e ，过切点为11(,)x B x e 切线'l ，x x y e y e '=⇒=，所以在11(,)x B x e 处的切线'l 的斜率为1x e ，因此切线'l 的方程为111(1)x xy e x e x =+-，当切线'l 的斜率11xk e =等于直线l 的斜率01k x =时，即11001(ln )x e x x x =⇒=-，切线'l 在纵轴的截距为01ln 110001(1)(1ln )(1ln )x xb e x ex x x -=-=+=+，而0001ln 1x x x +=-，所以01000112(1)11x b x x x +=+=--，直线',l l 的斜率相等，在纵轴上的截距也相等，因此直线',l l 重合，故曲线ln y x =在00A(,ln )x x 处的切线也是曲线x y e =的切线.例3. （2019·湖北高考模拟（理））已知函数2()1f x x ax =-+，()ln ()g x x a a R =+∈. （1）讨论函数()()()h x f x g x =+的单调性；（2）若存在与函数()f x ，()g x 的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）(],1-∞ 【解析】（1）函数()h x 的定义域为()0,∞+,()()()2h x f x g x x ax lnx a 1(x 0)=+=-+++>，所以()212x ax 1x 2x a x xh -+=-+='所以当2Δa 80=-≤即a -≤≤()'x 0h >，()h x 在()0,∞+上单调递增；当2Δa 80=->即a a ><-当a <-()'x 0h >，()h x 在()0,∞+上单调递增；当a >时，令()'x 0h =得x =综上：当a ≤时，()h x 在()0,∞+上单调递增；当a >时()h x 在⎛ ⎝⎭，∞⎫+⎪⎪⎝⎭单调递增，在⎝⎭单调递减.（2）设函数()f x 在点()()11x ,f x 与函数()g x 在点()()22x ,g x 处切线相同，()()111x 2,x f x a g x''=-=，则()()()()121212f x g x x x x x f g -==-''，由1212x a x -=，得121a x 2x 2=+，再由()2112212x ax 1lnx a 1x x x -+-+=- 得2121122x x x ax 1lnx a x -=-+--，把121a x 2x 2=+代入上式得()222221a a lnx a 20*4x 2x 4++++-= 设()221a a F x lnx a 24x 2x 4=++++-（∵x 2＞0，∴x ∈（0，+∞））, 则()23231a 12x ax 1x 2x 2x x 2xF --=--+=' 不妨设20002x ax 10(x 0)--=>. 当00x x <<时，()x 0F '<，当0x x >时，()x 0F '>所以()F x 在区间()00,x 上单调递减，在区间()0x ,∞+上单调递增，把001a=2x x -代入可得：()()20000min1F x F x x 2x lnx 2x ==+-+- 设()21G x x 2x lnx 2x =+-+-，则()211x 2x 20x xG =+++>'对x 0>恒成立，所以()G x 在区间()0,∞+上单调递增，又()G 1=0所以当0x 1<≤时()G x 0≤，即当00x 1<≤时()0F x 0≤,又当2ax e -=时，()22a 42a 2a 1a a F x lne a 24e 2e 4---=-+++- 22a 11a 04e -⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭因此当00x 1<≤时，函数()F x 必有零点；即当00x 1<≤时，必存在2x 使得()*成立；即存在12x ,x 使得函数()f x 在点()()11x ,f x 与函数()g x 在点()()22x ,g x 处切线相同．又由()1y 2x 0,1x=-在单调递增得，因此(]0001a=2x ,x 0,1x -∈所以实数a 的取值范围是(],1-∞．【总结提升】（1）求切线方程的方法：①求曲线在点P 处的切线，则表明P 点是切点，只需求出函数在点P 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；②求曲线过点P 的切线，则P 点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程；(2)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上. 例4.（2019·山东高考模拟（文））已知函数ln 1()x f x x+=. (Ⅰ)证明：2()f x e x e ≤-； (Ⅱ)若直线(0)yax b a =+>为函数()f x 的切线，求b a的最小值.【答案】(1)见解析.(2) 1e-.【解析】(Ⅰ)证明：整理2()f x e x e ≤-得22ln 10(0)x e x ex x -++≤>令22()ln 1g x x e x ex =-++，2221(1)(21)()e x ex ex ex g x x x-++-+'==-当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0g x '>，所以()g x 在1(0,)e上单调递增；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0g x '<，所以()g x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以1()0g x g e ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，不等式得证.(Ⅱ)221(ln 1)ln ()x xf x x x-+-'==，设切点为()()00,x f x ，则02ln x a x -=，函数()f x 在()()00,x f x 点处的切线方程为()()()000y f x f x x x '-=- ()000200ln 1ln x x y x x x x +-=--，令0x =，解得002ln 1x b x +=，所以()0002ln 1ln x x ba x +=-，令()()00002ln 1ln x x h x x +=-，因为0a >，02ln 0x x ->，所以100<<x ， ()()()()20000000022202ln 3ln 2ln 12ln 1ln 12ln ln 1ln ln ln x x x x x x x h x x x x +---++-'=-=-=-，当010,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()00h x '<，所以()h x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()00h x '<，所以()h x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，因为100<<x ，()011h x h e e⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭. 【思路点拨】（1）由2()f x e x e ≤-即为22ln 10(0)x e x ex x -++≤>，令22()ln 1g x x e x ex =-++，利用导数求得函数()g x 的单调性与最值，即可得到结论；（2）求得函数()f x 的导数，设出切点，可得020ln x a x -=的值和切线方程，令0x =，求得002ln 1x b x +=，令()()00002ln 1ln x x h x x +=-，利用导数求得函数()0h x 的单调性与最小值．对于恒成立问题，往往要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．例5.（2014·北京高考真题（文））已知函数3()23f x x x =-. （1）求()f x 在区间[2,1]-上的最大值；（2）若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围；（3）问过点(1,2),(2,10),(0,2)A B C -分别存在几条直线与曲线()y f x =相切？（只需写出结论）【答案】【解析】(1)由3()23f x x x =-得2'()63f x x =-，令'()0f x =，得x =或2x =，因为(2)10f -=-，(2f -=()2f -=(1)1f =-，所以()f x 在区间[2,1]-上的最大值为(f =（2）设过点P （1，t ）的直线与曲线()y f x =相切于点00(,)x y ，则300023y x x =-，且切线斜率为2063k x =-，所以切线方程为2000(63)()y y x x x -=--，因此2000(63)(1)t y x x -=--，整理得：32004630x x t -++=，设()g x =32463x x t -++，则“过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切”等价于“()g x 有3个不同零点”，()g x '=21212x x -=12(1)x x -，()g x 与()g x '的情况如下：所以，31t -<<-是()g x 的极大值，31t -<<-是()g x 的极小值，当，即1t ≥-时，此时()g x 在区间(,0)-∞和(1,)+∞上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点，当，(1,)P t 时，此时()g x 在区间(,0)-∞和(,0)-∞上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点.当且(3,1)--，即时，因为，，所以()g x 分别为区间和()g x 上恰有1个零点，由于()g x 在区间(,0)-∞和(1,)+∞上单调，所以()g x 分别在区间(,0)-∞和上恰有1个零点.综上可知，当过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切时，t 的取值范围是.（3）过点A （-1，2）存在3条直线与曲线()y f x =相切；过点B （2，10）存在2条直线与曲线()y f x =相切；过点C （0，2）存在1条直线与曲线()y f x =相切.例6. （2018·天津高考真题（理））已知函数()xf x a =， ()log a g x x =，其中a >1.（I ）求函数()()ln h x f x x a =-的单调区间；（II ）若曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线与曲线()y g x =在点()()22,x g x 处的切线平行，证明()122lnln ln ax g x a+=-；（III ）证明当1ea e ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线. 【答案】(Ⅰ)单调递减区间(),0-∞，单调递增区间为()0,+∞；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)证明见解析. 【解析】（I ）由已知， ()xh x a xlna =-，有()xh x a lna lna ='-.令()0h x '=，解得x =0.由a >1，可知当x 变化时， ()h x '， ()h x 的变化情况如下表：所以函数()h x 的单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,+∞.（II ）由()x f x a lna '=，可得曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线斜率为1xa lna .由()1g x xlna='，可得曲线()y g x =在点()()22,x g x 处的切线斜率为21x lna .因为这两条切线平行，故有121xa lna x lna=，即()1221x x a lna =. 两边取以a 为底的对数，得21220a log x x log lna ++=，所以()122lnlnax g x lna+=-. （III ）曲线()y f x =在点()11,x x a 处的切线l 1： ()111xxy a a lna x x -=⋅-.曲线()y g x =在点()22,a x log x 处的切线l 2： ()2221a y log x x x x lna-=⋅-. 要证明当1ea e ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线，只需证明当1ea e ≥时，存在()1,x ∈-∞+∞， ()20,x ∈+∞，使得l 1和l 2重合.即只需证明当1ea e ≥时，方程组1112121{1x x x a a lna x lnaa x a lna log x lna=-=-①②有解，由①得()1221x x a lna =，代入②，得1111120x x lnlna a x a lna x lna lna-+++=. ③ 因此，只需证明当1ea e ≥时，关于x 1的方程③存在实数解. 设函数()12x x lnlnau x a xa lna x lna lna=-+++，即要证明当1ea e ≥时，函数()y u x =存在零点.()()21x u x lna xa '=-，可知(),0x ∈-∞时， ()0u x '>；()0,x ∈+∞时， ()u x '单调递减，又()010u '=>， ()()212110lna u a lna ⎡⎤=-<⎢⎥⎥'⎢⎣⎦，故存在唯一的x 0，且x 0>0，使得()00u x '=，即()02010x lna x a-=.由此可得()u x 在()0,x -∞上单调递增，在()0,x +∞上单调递减.()u x 在0x x =处取得极大值()0u x .因为1ea e ≥，故()1ln lna ≥-，所以()()000000201212220xxlnlna lnlna lnlna u x a x a lna x x lna lna lna lna x lna +=-+++=++≥≥. 下面证明存在实数t ，使得()0u t <.由（I ）可得1xa xlna ≥+，当1x lna>时，有()()()1211lnlnau x xlna xlna x lna lna≤+-+++()22121lnlna lna x x lna lna=-++++，所以存在实数t ，使得()0u t <因此，当1e a e ≥时，存在()1,x ∈-∞+∞，使得()10u x =.所以，当1ea e ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线. 例7.（2015·广东高考真题（理））（14分）（2015•广东）设a ＞1，函数f （x ）=（1+x 2）e x﹣a ．（1）求f （x ）的单调区间；（2）证明f （x ）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f （x ）在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M （m ，n ）处的切线与直线OP 平行，（O 是坐标原点），证明：m≤﹣1．【答案】（1）f （x ）=（1+x 2）e x﹣a 在（﹣∞，+∞）上为增函数．（2）见解析（3）见解析【解析】（1）f'（x ）=e x（x 2+2x+1）=e x（x+1）2∴f′（x ）≥0，∴f（x ）=（1+x 2）e x﹣a 在（﹣∞，+∞）上为增函数．（2）证明：由（1）问可知函数在（﹣∞，+∞）上为增函数．又f （0）=1﹣a ， ∵a＞1．∴1﹣a ＜0∴f（0）＜0．当x→+∞时，f （x ）＞0成立． ∴f（x ）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点（3）证明：f'（x ）=e x（x+1）2，设点P （x 0，y 0）则）f'（x ）=e x0（x 0+1）2，∵y=f（x ）在点P 处的切线与x 轴平行，∴f'（x 0）=0，即：e x0（x 0+1）2=0， ∴x 0=﹣1将x 0=﹣1代入y=f （x ）得y 0=．∴，∴…10分令；g （m ）=e m﹣（m+1）g （m ）=e m﹣（m+1），则g'（m ）=e m﹣1，由g'（m ）=0得m=0．当m∈（0，+∞）时，g'（m ）＞0 当m∈（﹣∞，0）时，g'（m ）＜0 ∴g（m ）的最小值为g （0）=0…12分 ∴g（m ）=e m ﹣（m+1）≥0 ∴e m≥m+1∴e m（m+1）2≥（m+1）3即： ∴m≤…14分例8.（2019·四川棠湖中学高考模拟（文））已知抛物线2:4C x y = ，M 为直线:1l y =-上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线MA,MB ，切点分别为A,B.（1）当M 的坐标为(0,-1)时，求过M,A,B 三点的圆的方程；（2）证明：以AB 为直径的圆恒过点M. 【答案】（1）22(1)4x y +-=（2）见证明【解析】（1）解：当M 的坐标为(0,1)-时，设过M 点的切线方程为1y kx =-，由24,1,x y y kx ⎧=⎨=-⎩消y 得2440x kx -+=. (1) 令2(4)440k ∆=-⨯=，解得1k =±. 代入方程(1)，解得A(2,1),B(-2,1).设圆心P 的坐标为(0,)a ，由PM PB =，得12a +=，解得1a =. 故过,,M A B 三点的圆的方程为22(1)4x y +-=．（2）证明：设0(,1)M x -，由已知得24x y =，12y x '=，设切点分别为211(,)4x A x ，222(,)4x B x ，所以12MA x k =，22MB xk =，切线MA 的方程为2111()42x x y x x -=-即2111124y x x x =-，切线MB 的方程为2222()42x x y x x -=-即2221124y x x x =-．又因为切线MA 过点0(,1)M x -，所以得201111124x x x -=-. ① 又因为切线MB 也过点0(,1)M x -，所以得202211124x x x -=-. ②所以1x ，2x 是方程2011124x x x -=-的两实根，由韦达定理得1202,x x x +=124x x =-．因为2110(,1)4x MA x x =-+uuu r ，2220(,1)4x MB x x =-+uuu r ，所以22121020()()(1)(1)44x x MA MB x x x x ⋅=--+++uuu r uuu r22221212012012121()()21164x x x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+++++-+⎣⎦．将1202,x x x +=124x x =-代入，得0MA MB ⋅=. 所以以AB 为直径的圆恒过点M ．【压轴训练】1．（2019·湖南高考模拟（理））过抛物线()220x py p =>上两点,A B 分别作抛物线的切线，若两切线垂直且交于点()12P -，，则直线AB 的方程为（） A ．122y x =+ B ．134y x =+ C ．132y x =+ D ．124y x =+ 【答案】D 【解析】由22x py =，得22x y p=，∴'x y p =．设()()1122,,,A x y B x y ，则1212','x x x x x x y y p p====，抛物线在点A 处的切线方程为2112x x y x p p=-，点B 处的切线方程为2222x x y x p p=-，由21122222x x y x p px x y x p p⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得121222x x x x x y p +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又两切线交于点()1,2P -，∴12121222x x x x p+⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故得12122,4x x x x p +==- （*）． ∵过,A B 两点的切线垂直，∴121x x p p⋅=-，故212x x p =-，∴4p =，故得抛物线的方程为28x y =．由题意得直线AB 的斜率存在，可设直线方程为y kx b =+，由28y kx bx y=+⎧⎨=⎩消去y 整理得2880x kx b --=， ∴12128,8x x k x x b +==- （**），由（*）和（**）可得14k =且2b =， ∴直线AB 的方程为124y x =+．故选：D ．2.（2019·山东高考模拟（文））设函数的图象上任意一点处的切线为，若函数的图象上总存在一点，使得在该点处的切线满足，则的取值范围是__________．【答案】【解析】，即又，即本题正确结果：3.（2019·山东高考模拟（理））已知函数()2f x x 2ax =+，()2g x 4a lnx b =+，设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点P ，且在P 点处的切线相同，当()a 0,∞∈+时，实数b 的最大值是______．【答案】【解析】设()00,P x y ，()'22f x x a =+，()24'a g x x=．由题意知，()()00f x g x =，()()00''f x g x =，即2200024x ax a lnx b +=+，①200422a x a x +=，②解②得0x a =或02(x a =-舍)，代入①得：2234b a a lna =-，()0,a ∞∈+，()'684214b a alna a a lna =--=-，当140,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0b >，当14,a e ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，'0b <．∴实数b的最大值是1144b e elne ⎛⎫== ⎪⎝⎭．故答案为：4.（2013·北京高考真题（理））设l 为曲线C ：在点(1，0)处的切线.(I)求l 的方程；(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线l 的下方【答案】(I)(II)见解析【解析】 (1)设f(x)＝，则f′(x)＝所以f′(1)＝1，所以L 的方程为y ＝x －1.(2)证明：令g(x)＝x －1－f(x)，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于g(x)>0(∀x>0，x≠1)． g(x)满足g(1)＝0，且g′(x)＝1－f′(x)＝.当0＜x ＜1时，x 2－1＜0，ln x ＜0，所以g′(x)＜0，故g(x)单调递减；当x>1时，x 2－1>0，ln x>0，所以g′(x)>0，故g(x)单调递增．所以，g(x)>g(1)＝0(∀x>0，x≠1)．所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．5.（2015·天津高考真题（文））已知函数（Ⅰ）求的单调区间;（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为,求证:对于任意的正实数,都有;（Ⅲ）若方程有两个正实数根且,求证:.【答案】（Ⅰ）的单调递增区间是,单调递减区间是;（Ⅱ）见试题解析;（Ⅲ）见试题解析.【解析】（Ⅰ）由,可得的单调递增区间是,单调递减区间是;（Ⅱ）,,证明在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数x,,对于任意的正实数,都有;（Ⅲ）设方程的根为,可得,由在单调递减,得,所以.设曲线在原点处的切线为方程的根为,可得,由在在单调递增,且,可得所以.试题解析:（Ⅰ）由,可得,当,即时,函数单调递增;当,即时,函数单调递减.所以函数的单调递增区间是,单调递减区间是.（Ⅱ）设,则,曲线在点P处的切线方程为,即,令即则.由于在单调递减,故在单调递减,又因为,所以当时,,所以当时,,所以在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数x,,对于任意的正实数,都有.（Ⅲ）由（Ⅱ）知,设方程的根为,可得,因为在单调递减,又由（Ⅱ）知,所以.类似的,设曲线在原点处的切线为可得,对任意的,有即.设方程的根为,可得,因为在单调递增,且,因此,所以.6.（2013·福建高考真题（文））已知函数（为自然对数的底数）（Ⅰ）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；（Ⅱ）求函数的极值；（Ⅲ）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当时，函数无极小值；当，在处取得极小值，无极大值（Ⅲ）的最大值为【解析】（1）由,得．又曲线在点处的切线平行于轴,得,即,解得．（2）,①当时,,为上的增函数,所以函数无极值．②当时,令,得,．,;,．所以在上单调递减,在上单调递增,故在处取得极小值,且极小值为,无极大值．综上,当时,函数无极小值当,在处取得极小值,无极大值．（3）当时,令,则直线:与曲线没有公共点,等价于方程在上没有实数解．假设,此时,,又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故．又时,,知方程在上没有实数解．所以的最大值为．解法二:（1）（2）同解法一．（3）当时,．直线:与曲线没有公共点,等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程:（*）在上没有实数解．①当时,方程（*）可化为,在上没有实数解．②当时,方程（*）化为．令,则有．令,得,当变化时,的变化情况如下表:当时,,同时当趋于时,趋于,从而的取值范围为．所以当时,方程（*）无实数解, 解得的取值范围是．综上,得的最大值为．7.（2013·北京高考真题（文））已知函数f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x . (1)若曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，求a 与b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有两个不同交点，求b 的取值范围．【答案】（Ⅰ）求两个参数，需要建立两个方程.切点在切线上建立一个，利用导数的几何意义建立另一个，联立求解.（Ⅱ）利用导数分析曲线的走势，数形结合求解.【解析】由f(x)＝x 2＋xsin x ＋cos x ，得f′(x)＝2x ＋sin x ＋x(sin x)′－sin x ＝x(2＋cos x)．（1）因为曲线y ＝f(x)在点(a ，f(a))处与直线y ＝b 相切，所以f′(a)＝a(2＋cos a)＝0，b ＝f(a)．解得a ＝0，b ＝f(0)＝1. （5分）（2）设g(x)＝f(x)－b ＝x 2＋xsin x ＋cos x －b. 令g′(x)＝f′(x)－0＝x(2＋cos x)＝0，得x ＝0. 当x 变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：所以函数g(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，且g(x)的最小值为g(0)＝1－b.①当1－b≥0时，即b≤1时，g(x)＝0至多有一个实根，曲线y ＝f(x)与y ＝b 最多有一个交点，不合题意． ②当1－b<0时，即b>1时，有g(0)＝1－b<0， g(2b)＝4b 2＋2bsin 2b ＋cos 2b －b>4b －2b －1－b>0. ∴y＝g(x)在(0,2b)内存在零点，又y ＝g(x)在R 上是偶函数，且g(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∴y＝g(x)在(0，＋∞)上有唯一零点，在(－∞，0)也有唯一零点．故当b>1时，y ＝g(x)在R 上有两个零点，则曲线y ＝f(x)与直线y ＝b 有两个不同交点．综上可知，如果曲线y ＝f(x)与直线y ＝b 有两个不同交点，那么b 的取值范围是(1，＋∞)．（12分）8.（2019·北京高考模拟（文））已知函数32()f x x ax =-．（Ⅰ）当3a =时，求函数()f x 在区间]2,0[上的最小值；（Ⅱ）当3a >时，求证：过点(1,(1))P f 恰有2条直线与曲线()y f x =相切．【答案】（I ）4-.（Ⅱ）见解析. 【解析】（Ⅰ）当a ＝3时，f （x ）＝x 3﹣3x 2，f '（x ）＝3x 2﹣6x ＝3x （x ﹣2）．当x ∈[0，2]时，f '（x ）≤0，所以f （x ）在区间[0，2]上单调递减．所以f （x ）在区间[0，2]上的最小值为f （2）＝﹣4．（Ⅱ）设过点P （1，f （1））的曲线y ＝f （x ）的切线切点为（x 0，y 0），f '（x ）＝3x 2﹣2ax ，f （1）＝1﹣a ，所以()()()32000200001321y x ax y a x ax x ⎧=-⎪⎨--=--⎪⎩，．所以()3200023210x a x ax a -+++-=．令g （x ）＝2x 3﹣（a +3）x 2+2ax +1﹣a ，则g '（x ）＝6x 2﹣2（a +3）x +2a ＝（x ﹣1）（6x ﹣2a ），令g '（x ）＝0得x ＝1或3ax =，因为a ＞3，所以1a ＞．∴g （x ）的极大值为g （1）＝0，g （x ）的极小值为()103a g g ⎛⎫=⎪⎝⎭＜，所以g （x ）在3a ，⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上有且只有一个零点x ＝1．因为g （a ）＝2a 3﹣（a +3）a 2+2a 2+1﹣a ＝（a ﹣1）2（a +1）＞0，所以g （x ）在3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上有且只有一个零点．所以g （x ）在R 上有且只有两个零点．即方程()3200023210x a x ax a -+++-=有且只有两个不相等实根，所以过点P （1，f （1））恰有2条直线与曲线y ＝f （x ）相切． 9.（2019·四川高考模拟（理））已知函数，.（1）若，求函数在区间（其中，是自然对数的底数）上的最小值；（2）若存在与函数，的图象都相切的直线，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）由题意，可得，，令，得. ①当时，在上单调递减，∴.②当时，在上单调递减，在上单调递增，∴.综上，当时，，当时，.（2）设函数在点处与函数在点处有相同的切线，则，∴，∴，代入得.∴问题转化为：关于的方程有解，设，则函数有零点，∵，当时，，∴. ∴问题转化为：的最小值小于或等于0.，设，则当时，，当时，.∴在上单调递减，在上单调递增，∴的最小值为.由知，故.设，则，故在上单调递增，∵，∴当时，，∴的最小值等价于.又∵函数在上单调递增，∴.10.（2019·湖南高考模拟（理））设函数()()()22,42x f x e ax g x x x =+=++.（Ⅰ）讨论()y f x =的极值；（Ⅱ）若曲线()y f x =和曲线()y g x =在点()0,2P 处有相同的切线，且当2x ≥-时，()()mf x g x ≥，求m 的取值范围 .【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21,e ⎡⎤⎣⎦.【解析】（Ⅰ）∵()()2xf x eax =+，∴()()2xf x e ax a '=++．①当0a =时，()20xf x e '=>恒成立，所以()f x 在R 上单调递增，无极值．②当0a >时，由()0f x '=得2a x a+=-，且当2a x a +<-时，()0,()f x f x '<单调递减；当2a x a+>-时，()0,()f x f x '>单调递增．所以当2a x a+=-时，()f x 有极小值，且()2=a a f x ae +--极小值，无极大值． ③当0a <时，由()0f x '=得2a x a+=-，且当2a x a +<-时，()0,()f x f x '>单调递增；当2a x a+>-时，()0,()f x f x '<单调递减．所以当2a x a+=-时，()f x 有极大值，且()2=a a f x ae +--极大值，无极小值．综上所述，当0a =时，()f x 无极值；当0a >时，()2=a af x ae +--极小值，无极大值；当0a <时， ()2=a af x ae +--极大值，无极小值．（Ⅱ）由题意得()2+4g x x '=，∵()y f x =和()y g x =在点()0,2P 处有相同的切线， ∴(0)(0)f g =''，即24a +=，解得2a =， ∴()()22xf x ex =+．令()()()()222(42)xF x mf x g x me x x x =-=+-++，则()()()124xF x me x '=-+，由题意可得()0220F m =-≥，解得1m ≥．由()0F x '=得12ln ,2x m x =-=-．①当ln 2m ->-，即21m e ≤<时，则120x -<≤，∴当()12,x x ∈-时，()0,()F x F x '<单调递减；当()1,x x ∈+∞时，()0,()F x F x '>单调递增， ∴()()2,F x -+∞在上的最小值为()()2112111224220F x x x x x x =+---=-+≥，∴()()mf x g x ≥恒成立．②当ln 2m -=-，即2m e =时，则()()2()124x F x ex +'=-+，∴当2x ≥-时，()0,()F x F x '≥在()2,-+∞上单调递增，又(2)0F -=，∴当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()mf x g x ≥恒成立． ③当ln 2m -<-，即2m e >时，则有()222(2)2220F me em e --=-=--+<-，从而当2x ≥-时，()()g x mf x ≤不可能恒成立．综上所述m 的取值范围为21,e ⎡⎤⎣⎦．11.（2019·天津高考模拟（理））已知函数()()()()21ln f x x x x a a R =---∈.(1)若()f x 在()0,∞+上单调递减，求a 的取值范围；(2)若()f x 在1x =处取得极值，判断当(]0,2x ∈时，存在几条切线与直线2y x =-平行，请说明理由； (3)若()f x 有两个极值点12,x x ，求证：1254x x +>. 【答案】(Ⅰ)(],1-∞；(Ⅱ)答案见解析；(Ⅲ)证明见解析. 【解析】(Ⅰ)由已知,()()11ln 2ln 2120x f x x x a x x a x x-=+--=--++≤'恒成立令()1ln 212g x x x a x=--++,则()()()222221111212(0)x x x x g x x x x x x-+--++='=+-=>, ()210x -+<,令()'0g x >,解得:01x <<,令()'0g x <,解得:1x >,故()g x 在()0,1递增,在()1,+∞递减,()()max 122g x g a ∴==-，由()'0f x ≤恒成立可得1a ≤.即当()f x 在()0,+∞上单调递减时,a 的取值范围是(],1-∞. (Ⅱ)()f x 在1x =处取得极值，则()’10f =，可得1a =. 令()1ln 232f x x x x -'=-+=-，即 1ln 250x x x--+=. 设()1ln 25h x x x x =--+，则()()()222221111212x x x x h x x x x x-+--++='=+-=. 故()h x 在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递减，注意到()55520h eee --=--<，()()112,2ln202h h ==+>，则方程1ln 250x x x--+=在(]0,2内只有一个实数根，即当(]0,2x ∈时，只有一条斜率为2-且与函数()f x 图像相切的直线. 但事实上，若1a =，则()1'ln 23f x x x x=--+， ()()()2121''x x f x x--+=，故函数()'f x 在区间()0,1上单调递增，在区间()1,2上单调递减，且()'101230f =--+=，故函数()'0f x ≤在区间(]0,2上恒成立，函数()f x 在区间(]0,2上单调递减，即函数不存在极值点，即不存在满足题意的实数a ，也不存在满足题意的切线. (Ⅲ)若函数有两个极值点12,x x ,不妨设120x x <<，由(Ⅰ)可知1a >,且：()11111ln 212f x x x a x -+'=-+①, ()22221ln 212f x x x a x -+'=-+②, 由①-②得:()()112112122121221211ln20,2ln 0,2x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫-+--=∴--=->∴< ⎪⎝⎭, 即12112x x e>> , 由①+②得:()()12121212ln 2240x x x x x x a x x ++--++=, ()121212ln 24124512242x x a x x x x ++-++∴+=>=++. 12.（2019·辽宁高考模拟（理））已知a R ∈，函数()()2ln ,0,6.f x a x x x =+∈()I 讨论()f x 的单调性；()II 若2x -是()f x 的极值点，且曲线()y f x =在两点()()()()1122,,,P x f x Q x f x ()12xx <处的切线相互平行，这两条切线在y 轴上的截距分别为12,b b ，求12b b -的取值范围【答案】()I 当13a ≤时，()f x 在()0,6上单调递减，无单调递增区间；当13a >时，()f x 在20,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，2,6a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；()II 2ln 2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】（Ⅰ）()2222a ax f x x x x-'=-+=.()0,6x ∈Q ∴ ①当0a ≤时，()0f x '<在()0,6x ∈上恒成立. ∴ ()f x 在()0,6上单调递减，无单调递增区间；②当0a >，且26a≥，即103≤a <时，()0f x '<在()0,6x ∈上恒成立.∴ ()f x 在()0,6上单调递减，无单调递增区间；③当0a >，且26a <，即13a >时，在20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，()0f x '<，在2,6x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，()0f x '>，∴ ()f x 在20,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，2,6a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.综上，当13a ≤时，()f x 在()0,6上单调递减，无单调递增区间；当13a >时，()f x 在20,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，2,6a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. （Ⅱ）2x =是()f x 的极值点，∴由()1可知22,1a a=∴= 设在()()11.P x f x 处的切线方程为()112111221ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在()()22,Q x f x 处的切线方程为()222222221ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴若这两条切线互相平行，则2211222121x x x x -+=-+，121112x x ∴+= 令0x =，则1114ln 1b x x =+-，同理，2224ln 1b x x =+- 【解法一】211112x x =-Q121212114ln ln b b x x x x ⎛⎫∴-=-+-= ⎪⎝⎭ 111211114ln ln 22x x x ⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设()182ln ln 2g x x x x ⎛⎫=--+-⎪⎝⎭，11,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()2211168180122x x g x x x x x-+'∴=--=<--，()g x ∴在区间11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()2ln2,03g x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭即12b b -的取值范围是2ln2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【解法二】12122x x x =-Q 121212114ln ln b b x x x x ⎛⎫∴-=-+-= ⎪⎝⎭1182ln 12x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭令()1182ln 12x g x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，其中()3,4x ∈ ()()2228181622x x g x x x x x -+'∴=-+=-- ()()22402x x x -=>-∴函数()g x 在区间()3,4上单调递增，()2ln2,03g x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭.∴ 12b b -的取值范围是2ln2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【解法三】()12122x x x x =+Q g121212114ln ln b b x x x x ⎛⎫∴-=-+-= ⎪⎝⎭ ()2111224ln ·x x x x x x -+ ()2112122ln x x x x x x -=++ 12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=++设()()21ln 1x g x x x-=++，则()()()()22214111x g x x x x x --'=+=++ 11211,122x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭Q，()0g x ∴'>，∴函数()g x 在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()2ln2,03g x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭∴ 12b b -的取值范围是2ln2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭.13.（2019·安徽高考模拟（文））已知函数()ln x f x x =+，直线l ：21y kx =-.（Ⅰ）设(,)P x y 是()y f x =图象上一点，O 为原点，直线OP 的斜率()k g x =，若()g x 在(,1)x m m ∈+(0)m >上存在极值，求m 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得直线l 是曲线()y f x =的切线？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由；（Ⅲ）试确定曲线()y f x =与直线l 的交点个数，并说明理由. 【答案】11e m e k -<<=Ⅰ，（Ⅱ），（Ⅲ）见解析【解析】（Ⅰ）∵()ln (0)y x x g x x x x +==>，∴()1ln 0xg x x='-=，解得x e =. 由题意得： 01m e m <<<+，解得1e m e -<<.（Ⅱ）假设存在实数k ，使得直线是曲线()y f x =的切线，令切点()00,P x y ， ∴切线的斜率0121k x =+. ∴切线的方程为()()00001ln 1y x x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，又∵切线过（0，-1）点，∴()()000011ln 10x x x x ⎛⎫--+=+- ⎪⎝⎭.解得01x =，∴22k =， ∴1k =.（Ⅲ）由题意，令ln 21x x kx +=-，得 ln 12x x k x++=.令()ln 1(0)2x x h x x x ++=>， ∴()2ln 2xh x x-='，由()0h x '=，解得1x =. ∴()h x 在（0,1）上单调递增，在()1,+∞上单调递减，∴()()max 11h x h ==,又0x →时，()h x →-∞；x →+∞时，()1ln 11222x h x x +=+→， {}1,12k ⎛⎤∴∈-∞⋃ ⎥⎝⎦时，只有一个交点；1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有两个交点；()1,k ∈+∞时，没有交点.14. （2019·河北高考模拟（理））已知函数()xf x e =，()g x alnx(a 0)=>． ()1当x 0>时，()g x x ≤，求实数a 的取值范围；()2当a 1=时，曲线()y f x =和曲线()y g x =是否存在公共切线？并说明理由．【答案】（1）(]0,e ；（2）存在公共切线，理由详见解析.【解析】()1令()()ln m x g x x a x x =-=-，则()1a a x m x x x-=-='. 若0x a <<，则()0m x '>，若x a >，则()0m x '<.所以()m x 在()0,a 上是增函数，在(),a +∞上是减函数.所以x a =是()m x 的极大值点，也是()m x 的最大值点，即()max ln m x a a a =-.若()g x x ≤恒成立，则只需()max ln 0m x a a a =-≤，解得0a e <≤.所以实数a 的取值范围是(]0,e . ()2假设存在这样的直线l 且与曲线()y f x =和曲线()y g x =分别相切与点()()1122,,,ln x A x e B x x . 由()x f x e =，得()xf x e '=. 曲线()y f x =在点A 处的切线方程为()111x x y e e x x -=-，即()1111x xy e x x e =+-. 同理可得，曲线()y g x =在点B 处的切线方程为()2121ln y x x x x -=-，即221ln 1y x x x =+-. 所以()11212111x x e x x e lnx ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩则()1111lne 1x x x e --=-，即()111110x x e x -++= 构造函数()()x11,h x x e x =-++ x R ∈ 存在直线l 与曲线()y f x =和曲线()y g x =相切,等价于函数()()x11h x x e x =-++在R 上有零点对于()1xh x xe ='-. 当0x ≤时，()0h x '>，()h x 在上单调递增.当0x >时，因为()()()'10x h x x e +'=-<，所以()h x '在()0,+∞上是减函数.又()()010,110h h e ''=>=-<，，所以存在()00,1x ∈，使得()00010x h x x e'=-=，即001x e x =. 且当()000,x x ∈，()0h x '>时，当()00,x x ∈+∞时，()0h x '<.综上，()h x 在()00,x 上是增函数，在()0,x +∞上是减函数.所以()0h x 是()h x 的极大值，也是最大值，且()()()()0000000max 0011111?10x h x h x x e x x x x x x ==-++=-++=+＞. 又()22310h e --=-<，()2230h e =-+<，所以()h x 在()02,x -内和()0,2x 内各有一个零点. 故假设成立，即曲线()y f x =和曲线()y g x =存在公共切线.15.（2019·广西高考模拟（理））已知函数1()ln f x x mx x =--在区间(0,1)上为增函数，m R ∈.（1）求实数m 的取值范围；（2）当m 取最大值时，若直线l ：y ax b =+是函数()()2F x f x x =+的图像的切线，且,a b ∈R ，求+a b 的最小值.【答案】（1）2m ≤；（2）+a b 的最小值为-1.【解析】（1）∵()1ln f x x mx x =--， ∴()211f x m x x=+-'．又函数()f x 在区间()0,1上为增函数，∴()2110f x m x x =-'+≥在()0,1上恒成立， ∴()221111124m t x x x x ⎛⎫≤+=+-= ⎪⎝⎭在()0,1上恒成立．令()()2211111,0,124t x x x x x ⎛⎫=+=+-∈ ⎪⎝⎭，则当1x =时，()t x 取得最小值，且()2min t x =，∴2m ≤，∴实数m 的取值范围为(],2∞-．（2）由题意的()11ln 22ln F x x x x x x x ⎛⎫=--+=- ⎪⎝⎭，则()211F x x x +'=，设切点坐标为0001,ln x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则切线的斜率()020011a f x x x ==+'，又0001ln x ax b x -=+， ∴002ln 1b x x =--， ∴020011ln 1a b x x x +=+--．令()211ln 1(0)h x x x x x=+-->，则()()()23233211212x x x x h x x x x x x'+-+-=-+==，故当()0,1x ∈时，()()0,h x h x '<单调递减；当()1,x ∈+∞时，()()0,h x h x '>单调递增． ∴当1x =时，()h x 有最小值，且()()11min h x h ==-，∴a b +的最小值为1-．16．（2019·四川高考模拟（理））已知函数()ln x a f x x e +=-．（1）若曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线与x 轴正半轴有公共点，求a 的取值范围；（2）求证：11a e>-时，()1f x e <--．【答案】（1）1a <-；（2）证明见解析.【解析】（1）函数f （x ）＝lnx ﹣e x +a 的导数为f ′（x ）＝1x ﹣e x +a ．曲线f （x ）在点（1，f （1））处的切线斜率为1﹣e 1+a ，切点为（1，﹣e 1+a ），可得切线方程为y +e 1+a ＝（1﹣e 1+a ）（x ﹣1），可令y ＝0可得x ＝111a e +-，由题意可得111a e+-＞0，可得e 1+a ＜1，解得a ＜﹣1；（2）证明：f ′（x ）＝1x ﹣e x +a ．设g （x ）＝f ′（x ）＝1x ﹣e x +a ．可得g ′（x ）＝﹣（21x +e x +a ），当x ＞0时，g ′（x ）＜0，g （x ）递减；由a ＞1﹣1e ，e x +a ＞e x ．若e x ＞1x ，g （x ）＜1x﹣e x ＜0，当0＜x ＜1时，e x +a ＜e 1+a ．若e 1+a ＜1x，即x ＜e ﹣1﹣a ，故当0＜x ＜e ﹣1﹣a 时，g （x ）＞0，即g （x ）＝f ′（x ）有零点x 0，当0＜x ＜x 0时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增；当x ＞x 0时，f ′（x ）＜0，f （x ）递减，可得f （x ）≤f （x 0），又f （x 0）＝lnx 0﹣e x 0+a ，又e x 0+a ＝01x ，可得f （x 0）＝lnx 0﹣01x ，在x 0＞0递增，又a ＝ln 01x ﹣x 0＝﹣（lnx 0+x 0）， a ＞1﹣1e ⇔﹣（lnx 0+x 0）＞1﹣1e ＝﹣（ln 1e +1e），所以lnx 0+x 0＜ln 1e +1e，由于lnx 0+x 0递增，可得0＜x 0＜1e ，故f （x ）≤f （x 0）＜f （1e ）＝﹣1﹣e ．。

两函数图象的公切线问题

＝
ｋｌｎｘꎬ分离参数得
ｋ
＝
ｌｘｎ２ｘ.
设
ｆ( ｘ)
＝
ｘ２ｌｎｘ
ꎬ则
ｆ
′( ｘ)
＝
ｘ(
２ｌｎｘ－１ ( ｌｎｘ) ２
)
.
ｆ(ｘ)在(０ꎬ ｅ ] 上单减ꎬ在[ ｅ ꎬ ＋ ∞ )上单增ꎬ
∴
ｋ＝ｆ( ｅ) ＝２ｅꎬ∴
切点为(
ｅ
ꎬ
１２
)ꎬ∴
切线斜率为１ ꎬ ｅ
∴ 公切线的方程为ｙ－
１２
函数ｙ＝
－
１ｘ
的图象和函数ｙ＝３ｘ３的图象的公
切线方程为 .
解设两函数图象的公切线的斜率为ｋꎬ公切线与曲
线ｙ＝
－
１ｘ
切于点( ｘ１ ꎬ －
１ｘ１
)
ꎬ与曲线
ｙ＝３ｘ３切于点( ｘ２ ꎬ
３ｘ２３ ) ꎬ则
ｋ
＝
１ｘ１２
＝９ｘ２２ ꎬ又
ｋ
３ｘ２２＝ｘ２
＋
１ｘ１
ｇ( ｘ２ ) ) 处的切线为ｌ２ :ｙ－ｇ( ｘ２ ) ＝ｇ′( ｘ２ ) ( ｘ－ｘ２ ) ꎬ整理得
ｙ＝ｇ′( ｘ２ ) ��ｘ－ｇ′( ｘ２ ) ��ｘ２＋ｇ( ｘ２ ) . 由于ｌ１与ｌ２是相同的
{ｆ ′(ｘ１ ) ＝ｇ′(ｘ２ )ꎬ
直线ꎬ 故有
＋ｂ是曲线ｙ＝ｌｎｘ＋２的切线ꎬ也是曲线ｙ＝ｌｎ( ｘ＋１) 的切
线ꎬ则ｂ＝ .
解设直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ与曲线ｙ＝ｌｎｘ＋２相切于点Ａ
( ｘ１ ꎬｌｎｘ１

公切线知识点

公切线知识点
公切线作为几何学中的重要概念，常常被用于解决与圆、椭圆以及其他曲线相关的问题。

它是指与两个相交曲线切于同一点的直线，具有许多特殊的性质和应用。

下面将介绍一些公切线的知识点。

首先，公切线的存在性是公切线问题的关键。

对于两个相交的曲线，如果它们的切线方向不相同，那么它们一定存在两条公切线。

而如果两个曲线相切，那么它们存在一条公切线。

这些公切线可以通过求解方程组或者利用几何性质来确定。

其次，公切线的性质使得它在许多问题中发挥重要作用。

首先，公切线与切点处的切线相切于同一点，这一性质可以用于求解切线问题。

例如，可以利用公切线的性质求解切线与曲线的交点坐标。

其次，如果两个相交曲线的半径向量与切点的连线垂直于公切线，那么这两个半径向量的夹角也是直角。

这一性质可以用于证明切线与半径之间的关系。

再次，公切线还有一些重要的应用。

例如，在计算机图形学中，公切线常常被用于处理曲线和曲面的相交问题。

通过计算曲线和曲面的公切线，可以确定它们的交点和相交的位置。

此外，公切线还被应用于优化问题中。

例如，在运动学和机器人学中，可以利用公切线的性质来求解机器人的最优路径或者姿态。

总之，公切线是几何学中的重要概念，具有许多特殊的性质和应用。

通过对公切线的研究和应用，我们可以解决许多与曲线相关的问题。

对于学习几何学和相关学科的人来说，了解公切线的知识点是非常重要的。

通过深入研究公切线，我们可以进一步发展和应用这一概念，推动科学和技术的发展。

数形结合显“真功”——妙解两条曲线存在公切线

数形结合显真功妙解两条曲线存在公切线徐明松(贵州省黔南布依族苗族自治州都匀第一中学ꎬ贵州都匀５５８０００)摘㊀要:两条曲线存在公切线是十分抽象的问题ꎬ学生不仅要理解曲线的切线概念ꎬ还要理解如何能画出两条曲线的公切线.文章针对此类问题从两个不同的角度解决问题ꎬ以突出利用数形结合思想培养学生的直观想象素养.关键词:高中数学ꎻ数形结合ꎻ公切线中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３１－００３８－０３收稿日期:２０２３－０８－０５作者简介:徐明松(１９９０.５－)ꎬ男ꎬ贵州省福泉人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀中国著名数学家华罗庚老师曾说: 数形结合本是相倚依ꎬ焉能分作两边飞?数缺形时少直观ꎬ形少数时难入微ꎻ数形结合百般好ꎬ隔离分家万事休ꎻ切莫忘ꎬ几何代数统一体ꎬ永远联系ꎬ切莫分离 [１].在数学学习中ꎬ空间形式和数量关系是两个最基本ꎬ也是最重要的研究对象.它们之间有着密切的关系ꎬ在一定条件下ꎬ可以相互转化ꎬ相互渗透.１问题呈现ꎬ解法对比题目㊀若二次函数ｆ(ｘ)＝ｘ２＋１的图象与曲线Ｃ:ｇ(ｘ)＝ａｅｘ＋１(ａ>０)存在公共切线ꎬ则实数ａ的取值范围为.方法１㊀构造函数和方程ꎬ将公切线问题转化为方程有根来解决.分析㊀设该公共切线与二次函数ｆ(ｘ)＝ｘ２＋１的图象切于点(ｘ１ꎬｘ２１＋１)ꎬ与曲线Ｃ切于点(ｘ２ꎬａｅｘ２＋１)ꎬ则切线的斜率为２ｘ１＝ａｅｘ２＝(ａｅｘ２＋１)－(ｘ２１＋１)ｘ２－ｘ１＝ａｅｘ２－ｘ２１ｘ２－ｘ１.则２ｘ１＝２ｘ１－ｘ２１ｘ２－ｘ１.所以２ｘ２＝ｘ１＋２或ｘ１＝０.又因为２ｘ１＝ａｅｘ２>０ꎬ所以ｘ１>０.所以２ｘ２＝ｘ１＋２>２.所以ｘ２>１.所以ａ＝４(ｘ２－１)ｅｘ２(把ａ分离出来等于一个新函数ꎬ体现了参数问题中的变量分离法).记ｈ(ｘ)＝４(ｘ－１)ｅｘ(ｘ>１)ꎬ求导可得ｈᶄ(ｘ)＝４(２－ｘ)ｅｘꎬ则ｈ(ｘ)在区间(１ꎬ２)内单调递增ꎬ在区间(２ꎬ＋ɕ)内单调递减.则ｈ(ｘ)ｍａｘ＝ｈ(２)＝４ｅ２ꎬ而ｈ(１)＝０ꎬ所以ａɪ０ꎬ４ｅ２æèç].评注㊀此种方法体现出了函数与方程的思想ꎬ８３根据等式２ｘ１＝ａｅｘ２＝(ａｅｘ２＋１)－(ｘ２１＋１)ｘ２－ｘ１＝ａｅｘ２－ｘ２１ｘ２－ｘ１ꎬ分离参数得ａ＝４(ｘ２－１)ｅｘ２ꎬ且还要分析出ｘ２的取值范围.在得到方程ａ＝４(ｘ２－１)ｅｘ２后通过构造新函数ｈ(ｘ)＝４(ｘ－１)ｅｘ(ｘ>１)ꎬ利用导数的相关知识研究函数ｈ(ｘ)在(１ꎬ＋ɕ)上的单调性及最值来确定ａ的取值情况.方法２㊀数形结合ꎬ直观感知.分析㊀由于ａ>０ꎬ可先令ａ＝１画出题干中两个函数的图象(如图１).图１㊀方法２示意图通过对图象的直观分析ꎬ要使两个函数存在公切线ꎬ则公切线只能在第一象限ꎬ且两个函数在ｘ>０部分的图象至少有一个交点ꎬ当两个函数在第一象限恰好相切时(如图２)ꎬ此时存在一条公切线ꎬ设切点为(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ则ｆᶄ(ｘ０)＝２ｘ０＝ｇᶄ(ｘ０)＝ａｅｘ０.又ｆ(ｘ０)＝ｇ(ｘ０)ꎬ解得ｘ０＝２ꎬｙ０＝５.图２㊀方法２示意图所以ａｅ２＋１＝５ꎬ解得ａ＝４ｅ２.当ａ的值小于４ｅ２时ꎬ两个图象在第一象限存在两个交点ꎬ此时两个函数存在两条公切线ꎬ所以ꎬ要使两条曲线存在公切线ꎬ则ａɪ(０ꎬ４ｅ２].评注㊀此种方法简单ꎬ但要求学生具备一定的作图能力和观察能力ꎬ能观察出两个函数图象在第二象限不存在公切线ꎬ只在第一象限研究ꎻ其次是充分理解函数ｇ(ｘ)＝ａｅｘ＋１(ａ>０)中ａ对其图象的影响ꎻ从导数ｇᶄ(ｘ)＝ａｅｘ可以发现ａ影响函数递增的快慢ꎬ当ａ的值取到４ｅ２时两个函数在第一象限相切ꎬ此时存在公切线ꎬ也是存在公切线的一个临界值ꎬ只要ａ的值变小ꎬ两个图象在第一象限有两个交点ꎬ从而一定存在公切线.２探究应用ꎬ彰显数形结合根据上面两种方法对题目的处理ꎬ明显用数形结合要直观且易懂ꎬ下面举两个相应题目体现数形结合解决此类问题的优越性.应用１㊀已知曲线ｙ＝ｅｘ＋ａ与ｙ＝(ｘ－１)２恰好存在两条公切线ꎬ则实数ａ的取值范围为.分析㊀此题如果采用上面方法１构造方程将非常困难ꎬ而且对化简要求特别高ꎬ很难做出结果.下面直接采用数形结合的方法解决问题.函数ｙ＝ｅｘ＋ａ中ａ的值影响函数左右平移情况ꎬ不访先设ａ＝０(如图３).图３㊀ａ＝０时函数图象要使两个函数存在公切线ꎬ只需将ｙ＝ｅｘ的图象向右移ꎬ临界在两个图象刚好相切(如图４).设切点为(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ则ｅｘ０＋ａ＝２(ｘ０－１)ꎬ且ｅｘ０＋ａ＝(ｘ０－１)２ꎬ整理ꎬ得ａ＝２ｌｎ２－３ꎬ此时只存在一条公切线ꎬ要保证两条公切线图象需再右移ꎬ此时ａ<２ｌｎ２－３.９３图４㊀两个函数临界相切图应用２㊀若函数ｆ(ｘ)＝ｌｎｘ与函数ｇ(ｘ)＝ｘ２＋２ｘ＋ａ(ｘ<０)有公切线ꎬ则实数ａ的取值范围是.分析㊀直接采用数形结合解决问题.作出函数ｇ(ｘ)的变化图(如图５).图５㊀函数ｇ(ｘ)的变化图图中(１)(２)(３)分别是ｇ(ｘ)的图象变化情况ꎬａ只影响ｇ(ｘ)图象的高低情况ꎬ随着ａ的增大两个函数都存在公切线ꎬ当ａ减小到图中的点Ａ处时达到最低ꎬ此时点Ａ在ｙ轴上ꎬ且ｇᶄ(０)＝２＝ｆᶄ(ｘ)＝１ｘꎬ解得ｘ＝１２ꎬ所以该切线在ｆ(ｘ)上的切点为(１２ꎬ－ｌｎ２)ꎬ此时公切线的方程为ｙ＋ｌｎ２＝２(ｘ－１２)ꎬ而点Ａ又在公切线上ꎬ则ａ＋ｌｎ２＝２(０－１２)ꎬ解得ａ＝－１－ｌｎ２＝ｌｎ１２ｅꎬ所以ａ>ｌｎ１２ｅ.应用３㊀已知不等式ａｘ２－２ｌｎｘ－ｘ－１２ȡ０ａ>０()对任意的ｘ>０恒成立ꎬ则实数ａ的取值范围为.分析㊀此题表面是不等式问题ꎬ实则也是公切线问题ꎬ只要变形为ａｘ２ȡ２ｌｎｘ＋ｘ＋１２对任意的ｘ>０恒成立.不妨设ｇｘ()＝ａｘ２ａ>０()ꎬｆｘ()＝２ｌｎｘ＋ｘ＋１２ꎬ则问题变为ｇｘ()ȡｆｘ()在ｘ>０时恒成立.由ａ>０可知ｇｘ()是开口向上的二次函数ꎬ作出ｇｘ()ꎬｆｘ()的草图(如图６).图６㊀函数ｇ(ｘ)ꎬｆ(ｘ)草图象要使ｇｘ()ȡｆｘ()恒成立ꎬ只需要两图存在公切线时找到ａ的最小值.两图相切时设切点横坐标为ｘ０ꎬ则由斜率相等２ａｘ０＝２ｘ０＋１和函数值相等得ａｘ２０＝２ｌｎｘ０＋ｘ０＋１２ꎬ根据前面的两个方程可得ｘ０＝１ꎬａ＝３２ꎬ再根据函数图象得ａ的范围为[３２ꎬ＋ɕ).此题虽然不是直接考查两曲线存在公切线ꎬ但可以转化为两曲线存在公切线时问题成立的临界ꎬ然后通过图象和计算可很快获得实数ａ的范围.通过两种不同方法的对比分析ꎬ解决两曲线存在公切线求参数范围时明显看到数形结合的优势ꎬ因此ꎬ教师在教学中必须注重学生数学思维能力的培养ꎬ注重数学思想方法的渗透和掌握ꎬ从而真正提高学生的数学思维和解题能力[２].对于函数问题多研究函数图象ꎬ掌握好数形结合思想ꎬ以提高学生的直观想象素养.参考文献:[１]陈德军.数形结合:想说爱你不容易[Ｊ].中学数学研究(华南师范大学版)ꎬ２０１４(０９):２０－２１.[２]练伟浩.如何在教学中活用数形结合法[Ｊ].中学数学研究(华南师范大学版)ꎬ２０１３(１１):３２－３４.[责任编辑:李㊀璟]０４。

高考数学二轮复习函数的公切线问题

专题一函数与导数
微重点4 函数的公切线问题
导数中的公切线问题，是导数的重要应用之一，利用导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要利用消元与转化，考查构造函数、数形结合能力，培养逻辑推理、数学运算素养.
内容索引
考点一求两函数的公切线考点二与公切线有关的求值问题考点三判断公切线条数考点四求参数的取值范围
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2.(2022·深圳模拟)已知曲线C1：y＝x3，曲线C2：y＝cos x－1与直线l：y ＝0，则
√A.l与C1，C2均相切
B.l与C1，C2均不相切 C.l与C1相切，l与C2不相切 D.l与C1不相切，l与C2相切
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设曲线C1：y＝x3在点A(x0，y0)处的切线的斜率为0，则 3x20＝0，y0＝x30，所以 x0＝0，y0＝0，切线方程为 y＝0，设曲线C2：y＝cos x－1在点B(x1，y1)处的切线的斜率为0，则－sin x1＝0，y1＝cos x1－1，所以x1＝2kπ(k∈Z)，y1＝0或x1＝2kπ＋π(k∈Z)，y1＝－2，取x1＝0，y1＝0可得切线方程为y＝0，所以l与C1，C2均相切.
当直线 y＝4x－4 与曲线 y＝1aex 相切时，设切点为(s，t)，则1aes＝4，且 t＝4s－4＝1aes，可得 t＝4，s＝2，即切点为(2,4)，a＝e42，故 a 的取值范围是 a≥e42.
规律方法利用导数的几何意义，构造参数关于切点横坐标或切线斜率 k的函数，转化成函数的零点问题或两函数的交点问题，利用函数的性质或图象求解.
y＝ax2，联立y＝1t x＋ln t－1，可得 ax2－1t x＋1－ln t＝0，
由题意可得 a≠0 且 Δ＝t12－4a(1－ln t)＝0，可得41a＝t2－t2ln t，令g(t)＝t2－t2ln t，其中t>0，则g′(t)＝2t－(2tln t＋t)＝t(1－2ln t). 当 0<t< e时，g′(t)>0，函数 g(t)单调递增；当 t> e时，g′(t)<0，函数 g(t)单调递减，所以 g(t)max＝g( e)＝2e.且当 0<t<e 时，g(t)>0；

两条曲线的公切线问题

两条曲线的公切线问题两条曲线的公切线问题⽅法导读在近⼏年⾼考导数⼤题的命制过程中,求曲线的公切线问题成为⾼考中的热点题型之⼀.学⽣在做题过程中,解决单⼀曲线的切线问题相对⽐较熟练,对于单⼀曲线的切线问题,求解过程中常⽤的数学思想主要是转化与化归思想,函数与⽅程思想,数形结合思想,求解⽅法也较容易理解:(1)判断切点是否可直接找到,若可以直接找到则直接求导即可;若不能直接找到则需设出切点;(2)利⽤导数的⼏何意义,即曲线在处的导数为切线的斜率;(3)根据切点既在曲线上⼜在切线上进⾏求解.但是对于两条曲线的公切线问题的求解,显然就⽐单⼀曲线的切线问题要复杂得多,灵活得多,难度也⼤得多.具体的求解⽅法:设曲线在点处的切线为,整理得到:.设曲线在点处的切线为,整理得到:.由于与是相同直线(即与的公切线),故有且(即斜率相等,纵截距相等), 从⽽求解出与公切线有关的⼀些问题.⾼考真题【2020·全国II卷理·20】已知函数.(1)讨论的单调性,并证明有且仅有两个零点;(2)设是的⼀个零点,证明曲线在点处的切线也是曲线的切线.解题策略【过程分析】本题第⼀问⾸先函数问题定义域优先原则,故得到的定义域为,进⽽对函数求导得到,因为函数的定义域为,从⽽判断出,因此函数在和上是单调增函数(注意函数的单调区间不可⽤“”符号连接,可⽤“,”或者“和”连接);然后利⽤极限法分析当时,,⽽(此处利⽤极限法的分析过程建议在平时的做题中多多训练,在很多题型中都有所涉及),从⽽根据零点存在性定理判断当,函数有零点,⼜根据函数在上单调递增,故当时,函数有唯⼀的零点;当时,,,因为,所以根据零点存在性定理判断函数在必有零点,根据函数在上也是单调递增,故当时,函数有唯⼀的零点.于是得到第⼀问的全部结论,函数在和上是单调增函数并且函数在定义域内有个零点;第⼆问要证明两条曲线的公切线问题,就可以⽤到我们前⾯提到的⽅法,⾸先因为是的⼀个零点,所以必然满⾜函数解析式,即(注意⼀定要合理应⽤题中所给条件),然后我们分别求出两条曲线的切线,在求解切线的过程中要注意切点是否可以直接找到,对于⽽⾔,切点已经给出,所以直接求导,从⽽得到曲线在处的切线的斜率,进⽽表⽰出曲线在处的切线的⽅程为:,然后应⽤题中所给条件,所以的⽅程整理后为,它的斜率,在纵轴的截距为.紧接着我们继续研究曲线,由于曲线的切点不能直接找到,所以我们设曲线的切点为,然后利⽤导数求出曲线过切点的切线的⽅程,,所以在点处的切线的斜率为,因此切线的⽅程为,它的斜率,在纵轴的截距为.当切线的斜率等于直线的斜率时,即,则,⽽,所以. 最后由于直线,的斜率相等,在纵轴上的截距也相等,因此判断出直线,重合,故曲线在处的切线也是曲线的切线,本题得证.【深⼊探究】纵观本题的分析过程,主要是攻克以下的⼏个难点:(1)第⼀问中定义域中的“”,以及分析零点时的极限思想的应⽤;(2)第⼆问中由是的⼀个零点得到;(3)第⼆问中分别求解曲线与曲线的切线⽅程时切点的问题,尤其是求解曲线的切线⽅程时要设出切点,此处应该是本题求解过程中的“精髓”之处;(4)结合,再利⽤斜率和截距都相等,从⽽得出两直线,重合,进⽽说明直线是两条曲线的公切线;综上,只需攻克以上的⼏个难点本题就会迎刃⽽解.解题过程【解析】(1)函数的定义域为,,因为函数的定义域为,所以,因此函数在和上是单调增函数;当,时,,⽽,显然当,函数有零点,⽽函数在上单调递增,故当时,函数有唯⼀的零点; 当时,,,因为,所以函数在必有⼀零点,⽽函数在上是单调递增,故当时,函数有唯⼀的零点, 综上所述,函数的定义域内有个零点.(2)因为是的⼀个零点,所以,,所以曲线在处的切线的斜率,故曲线在处的切线的⽅程为:,⽽, 所以的⽅程为,它在纵轴的截距为.设曲线的切点为,过切点的切线,,所以在点处的切线的斜率为,因此切线的⽅程为,当切线的斜率等于直线的斜率时,即,切线在纵轴的截距为,⽽,所以,直线,的斜率相等,在纵轴上的截距也相等,因此直线,重合,故曲线在处的切线也是曲线的切线.解题分析在上述题⽬第⼆问的解题过程中,⾸先我们根据是的⼀个零点,得到关于的等量关系,其次我们分别求解曲线与曲线的切线⽅程,最后我们再由切线,重合来说明此直线就是两条曲线的公切线.此处我们主要是⽤到了求解两条曲线的公切线问题的常⽤⽅法:分别求出两条曲线的切线⽅程,然后利⽤直线重合得到该直线即为两条曲线的公切线,此种解题⽅法通俗易懂,学⽣上⼿⽐较⽅便,也是我们最常⽤的解决两条曲线公切线问题的⽅法.拓展推⼴解决两条曲线的公切线问题的⼀般策略:第⼀步:利⽤题中所给条件得到相应的等量关系;第⼆步:分别求解两条曲线在各⾃切点处的切线⽅程,设曲线在点处的切线为,整理得到:,设曲线在点处的切线为,整理得到:;第三步:根据公切线定义,得到两切线重合,建⽴⽅程组,求解相关问题,由于与是相同直线(即与的公切线),则和(即斜率相等,纵截距相等),建⽴⽅程组,从⽽求解出与公切线有关的⼀些问题.常见两条曲线的公切线问题的题型:(1)求两条曲线的公切线⽅程以及证明直线为两曲线的公切线问题;(2)求与两条曲线的公切线有关的曲线中的参数的取值范围问题;(3)探究两条曲线是否存在公切线的问题;(4)求曲线中参数的值问题;(5)判断公切线条数问题.变式训练1已知曲线与,直线是和的公切线,求公切线的⽅程.变式训练2已知函数,.(1)讨论函数的单调性;(2)若存在与函数,的图象都相切的直线,求实数的取值范围.变式训练3设函数,.(1)讨论的极值;(2)若曲线和曲线在点处有相同的切线,且当时,,求的取值范围.变式训练4（2018天津理）已知函数,,其中.(1)求函数的单调区间;(2)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平⾏,证明:;(3)证明:当时,存在直线,使是曲线的切线,也是曲线的切线.变式训练5已知函数,.(1)当时,,求实数的取值范围.(2)当时,曲线和曲线是否存在公共切线?并说明理由答案变式训练1见解析设与的切点,与的切点,曲线在处的导数为,在曲线上过点的切线⽅程为,即,在曲线上过点的切线⽅程为,即,由题意知直线与重合,则有,解得或,所以两曲线和的公切线的⽅程为或.变式训练2见解析(1)函数的定义域为,, 所以,所以当,即时,,在上单调递增; 当,即或时,当时,,在上单调递增;当时,令得,随着变化,,的变化情况如下表:综上:当时,在上单调递增;当时,在和内单调递增,在内单调递减.(2)设函数在点与函数在点处切线相同,由,,得到,,所以函数在点处的切线⽅程为,即,函数在点处的切线⽅程为,即,由斜率相等得到,所以,由截距相等得到,把代⼊化简得,则,不妨设,当时,,当时,,所以在区间上单调递减,在区间上单调递增,代⼊可得,设,则对恒成⽴,所以在区间上单调递增,⼜,所以当时,即当时,⼜当时,,因此当时,函数必有零点;即当时,必存在使得成⽴;即存在,使得函数在点与函数在点处切线相同, ⼜由在上单调递增可得的取值范围,因此,,变式训练3见解析(1)由题意,则,①当时,恒成⽴,所以在上单调递增,⽆极值.②当时,由得,故当时,,单调递减;当时,,单调递增, 所以当时,有极⼩值,且极⼩值为,⽆极⼤值.③当时,由得,故当时,,单调递增;当时,,单调递减, 所以当时,有极⼤值,且极⼤值为,⽆极⼩值.综上所述,当时,⽆极值;当时,有极⼩值,⽆极⼤值;当时,有极⼤值,⽆极⼩值.(2)由题意得,∴,即,解得,∴,令,则,由题意可得,解得,由得,,①当,即时,则,∴当时,,单调递减;当时,,单调递增,∴在上的最⼩值为,∴恒成⽴.②当,即时,则,∴当时,,在上单调递增,⼜,∴当时,,即恒成⽴.③当,即时,则有,从⽽当时,不可能恒成⽴.综上所述的取值范围为.变式训练4(1)函数的单调递减区间为,单调递增区间为;(2)见解析;(3)见解析.本⼩题主要考查导数的运算、导数的⼏何意义、运⽤导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和⽅法.考查函数与⽅程思想、化归思想.考查抽象概括能⼒、综合分析问题和解决问题的能⼒.(1)由已知,有,令,解得;由,可知当变化时,,的变化情况如下表:所以函数的单调递减区间为,单调递增区间为.(2)由,可得曲线在点处的切线斜率为,由,可得曲线在点,处的切线斜率为,因为这两条切线平⾏,故有,即,(3)曲线在点处的切线,曲线在点处的切线.要证明当时,存在直线,使是曲线的切线,也是曲线的切线,只需证明当时,存在,,使得与重合.即只需证明当时,⽅程组有解,由①得,代⼊②,得③,因此,只需证明当时,关于的⽅程③存在实数解.设函数.即要证明当时,函数存在零点,,可知时, ;时,单调递减,⼜,,故存在唯⼀的,且,使得, 即.由此可得在上单调递增,在上单调递减, 在处取得极⼤值;因为,故,所以,下⾯证明存在实数,使得,由(1)可得,当时,有,所以存在实数,使得,因此,当时,存在,使得;所以,当时,存在直线,使是曲线的切线,也是曲线的切线.变式训练5见解析(1)令,则,若,则,若,则,所以在上是增函数,在上是减函数,所以是的极⼤值点,也是的最⼤值点,即,若恒成⽴,则只需,解得,所以实数的取值范围是.(2)假设存在这样的直线且直线与曲线和曲线分别切于点,,由,得,曲线在点处的切线⽅程为,即,同理可得,曲线在点处的切线⽅程为,所以,即,构造函数,存在直线与曲线和曲线均相切,等价于函数在上有零点,对于,当时,,在上单调递增,当时,因为,所以在上是减函数,⼜,,所以使得,即,且当时,,当时,,综上,在上是增函数,在上是减函数,所以是的极⼤值,也是最⼤值,且,⼜,,所以在内和内各有⼀个零点,故假设成⽴,即曲线和曲线存在公共切线.。

利用导数求曲线的切线和公切线以及切线条数专题总结.doc

导数中的切线问题专题总结一、求切线方程1．过曲线上一点求切线方程的三个步骤2．求过曲线y ＝f (x )外一点P (x 1，y 1)的切线方程的六个步骤(1)设切点(x 0，f (x 0))．(2)利用所设切点求斜率k ＝f ′(x 0)＝li m Δx →0f x 0＋Δx－f x 0Δx .(3)用(x 0，f (x 0))，P (x 1，y 1)表示斜率．(4)根据斜率相等求得x 0，然后求得斜率k .(5)根据点斜式写出切线方程．(6)将切线方程化为一般式．例1.已知曲线y ＝1x .(1)求曲线在点P (1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点Q (1,0)处的切线方程．例2.已知曲线y＝1 x .(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点Q(1,0)处的切线方程．3.（2016全国卷Ⅲ）已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)=f（-x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，-3）处的切线方程是二、求切点坐标【小结】求切点坐标可以按以下步骤进行(1)设出切点坐标；(2)利用导数或斜率公式求出斜率；(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标例1.已知抛物线y ＝2x 2＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标．(1)切线的倾斜角为45°.(2)切线平行于直线4x －y －2＝0.(3)切线垂直于直线x ＋8y －3＝0.．变式练习直线l ：y ＝x ＋a (a ≠0)和曲线C ：y ＝x 3－x 2＋1相切，则a 的值为___________，切点坐标为____________．三、求两个函数公切线公切线问题：切点相同。

()()00x g x f =()()00''x g x f =切点不同。

()()()()k x g x f mkx x g m kx x f ==+=+=212211'',例1、已知直线b kx y +=是曲线2ln +=x y 的切线，也是曲线x e y =的切线，求k 和b 的值解析：例2.若直线b kx y +=是曲线2ln +=x y 的切线，也是y =ln⁡(x +1)的切线，求b 的值例3．已知函数f （x ）=lnx ，g （x ）=2﹣（x ＞0）（1）试判断当f （x ）与g （x ）的大小关系；（2）试判断曲线 y=f （x ）和 y=g （x ）是否存在公切线，若存在，求出公切线方程，若不存在，说明理由；变式练习1.两曲线y =x 2−1和y =alnx −1存在公切线，则正实数a 的取值范围变式练习2.若曲线y =12e x 2与曲线y =alnx 在它们的公共点P （s,t ）处有公切线，则实数a =变式练习 3.已知函数()()1263,1163223++=--+=x x x g ax x ax x f 和直线m:9+=kx y ,又()01'=-f ，是否存在k,使直线m 既是曲线()x f y =的切线，又是曲线()x g y =的切线？如果存在，求出k 的值四、切线条数切线的条数问题====以切点0x 为未知数的方程的根的个数例1.已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极小值－4，使其导数'()0f x >的x 的取值范围为(1,3)，求：（1）()f x 的解析式；（2）若过点(1,)P m -可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．例2.已知函数f （x ）=2x 3﹣3x+1，g （x ）=kx+1﹣lnx ．（1）设函数，当k ＜0时，讨论h （x ）零点的个数；（2）若过点P （a ，﹣4）恰有三条直线与曲线y=f （x ）相切，求a 的取值范围．变式练习.已知函数f （x ）=x 2+2（1﹣a ）x ﹣4a ，g （x ）=﹣（a+1）2，则f （x ）和g （x ）图象的公切线条数的可能值是．。

例析曲线公切线问题求解策略

例析曲线公切线问题求解策略金保源(华南师范大学附属惠阳学校ꎬ广东惠州５１６２００)摘㊀要:公切线是导数几何意义的综合应用ꎬ将曲线间的位置关系转化为函数的单调性㊁凹凸性㊁极(最)值㊁零点等ꎬ考查转化与化归㊁推理与论证的能力.文章从常考的几种类型探讨公切线问题的应用策略.关键词:公切线ꎻ分离函数ꎻ凹凸翻转中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３１－０００９－０３收稿日期:２０２３－０８－０５作者简介:金保源(１９８０.５－)ꎬ男ꎬ湖北省天门人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀切线问题是近几年的高考热点问题ꎬ考查导数的综合运用ꎬ对考生有很好的区分度.如２０１６年全国Ⅲ卷文第１６题㊁２０１７年全国Ⅰ卷文第１４题㊁２０１８年全国Ⅰ卷文第６题㊁全国Ⅱ卷文第１２题均考了与切线有关的题型.本文从常考的几种类型探讨公切线问题的应用策略ꎬ以供读者参考.１切点相同的公切线例１㊀若一直线与曲线ｙ＝ｌｎｘ和曲线ｘ２＝ａｙ(ａ>０)相切于同一点Ｐꎬ则ａ的值为(㊀㊀).Ａ.２ｅ㊀Ｂ.３㊀Ｃ.３㊀Ｄ.２３解析㊀设Ｐｘ１ꎬｙ１()ꎬ函数ｙ＝ｌｎｘ的导数为ｙᶄ＝１ｘꎬ函数ｙ＝ｘ２ａ的导数为ｙᶄ＝２ｘａ.则函数ｙ＝ｌｎｘ在ｘ＝ｘ１处的切线方程为ｙ＝１ｘ１ｘ＋ｌｎｘ１－１.同理可证ꎬ函数ｙ＝ｘ２ａ在ｘ＝ｘ１处的切线方程为ｙ＝２ｘ１ａｘ－ｘ２１ａ.由题意可知２ｘ１ａ＝１ｘ１ꎬ－ｘ２１ａ＝ｌｎｘ１－１.ìîíïïïï解得ａ＝２ｅꎬｘ１＝ｅ.故选Ａ.点评㊀若两函数ｙ＝ｆ(ｘ)与ｙ＝ｇ(ｘ)有切点相同的公切线ꎬ则在切点处的导数值相等.解题基本思路是:先设出公共点建立方程ꎬ再利用共切线得出公切线斜率相等的方程ꎬ联立方程组消元求解.２切点不同的公切线例２㊀若直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ是曲线ｙ＝ｌｎｘ＋２的切线ꎬ也是曲线ｙ＝ｌｎ(ｘ＋１)的切线ꎬ则ｂ＝.解析㊀由ｙ＝ｌｎｘ＋２ꎬ得ｙᶄ＝１ｘ.设直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ与曲线ｙ＝ｌｎｘ＋２相切于点９Ｐｘ１ꎬｙ１()ꎬ则ｙ１＝ｌｎｘ１＋２ꎬｙ＝ｌｎｘ＋２在Ｐｘ１ꎬｙ１()处的切线为ｙ＝１ｘ１ｘ＋ｌｎｘ１＋１.由ｙ＝ｌｎ(ｘ＋１)ꎬ得ｙᶄ＝１ｘ＋１.设直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ与曲线ｙ＝ｌｎ(ｘ＋１)相切于点Ｍｘ２ꎬｙ２()ꎬ则ｙ２＝ｌｎｘ２＋１()ꎬｙ＝ｌｎ(ｘ＋１)在Ｍｘ２ꎬｙ２()处的切线方程为ｙ＝１ｘ２＋１ｘ＋ｌｎｘ２＋１()－ｘ２ｘ２＋１.所以１ｘ１＝１ｘ２＋１ꎬｌｎｘ１＋１＝ｌｎｘ２＋１()－ｘ２ｘ２＋１.ìîíïïïï解得ｘ１＝１２ꎬｘ２＝－１２.所以ｂ＝ｌｎｘ１＋１＝１－ｌｎ２.点评㊀若切点不同ꎬ先假设ｙ＝ｆ(ｘ)上的切点Ａｘ１ꎬｆｘ１()()ꎬ得到切线方程ｙ－ｆｘ１()＝ｆᶄｘ１()ｘ－ｘ１()ꎻ设ｙ＝ｇ(ｘ)上的切点为Ｂｘ２ꎬｇｘ２()()ꎬ得到切线方程ｙ－ｇｘ２()＝ｇᶄｘ２()ｘ－ｘ２()ꎬ因为切线是同一条直线ꎬ故得到两个等式ｆᶄｘ１()＝ｇᶄｘ２()ꎬｆｘ１()－ｘ１ｆᶄｘ１()＝ｇｘ２()－ｘ２ｇᶄｘ２()ꎬ联立解方程组即可.３存在公切线求参数范围例３㊀若ｆ(ｘ)＝１－ａｘ２(ａ>０)与ｇ(ｘ)＝１－ｌｎｘ的图象存在公切线ꎬ则实数ａ的最小值为(㊀㊀).Ａ.１２ｃ㊀㊀Ｂ.１ｃ２㊀㊀Ｃ.２ｅ㊀㊀Ｄ.１图１㊀例３解析图解析㊀设切点为(ｔꎬ１－ｌｎｔ)ꎬ代入ｆ(ｘ)ꎬ得１－ｌｎｔ＝１－ａｔ２.即ｌｎｔ＝ａｔ２.由ｆᶄ(ｘ)＝－２ａｘꎬｇᶄ(ｘ)＝－１ｘꎬ则－２ａｔ＝－１ｔ.得２ａｔ２＝１.故ｌｎｔ＝１２.即ｔ＝ｅ１２.故ａ＝１２ｅ.如图１ꎬ当ａ越大ꎬｆ(ｘ)开口越小ꎬ与ｇ(ｘ)距离越远ꎬａ>１２ｅ时ꎬｆ(ｘ)与ｇ(ｘ)的图象相离ꎬ存在公切线.综上所述ꎬａȡ１２ｅ.故实数ａ的最小值为１２ｅ.点评㊀本题是两条曲线存在公切线问题ꎬ涉及二次函数和对数函数的性质.求解时ꎬ先考虑两条曲线具有切点相同的公切线情形求出ａ的值ꎬ再由函数图象相离时存在两条公切线ꎬ可得到ａ的范围ꎬ充分体现了函数与方程㊁数形结合的思想.４利用公切线解决零点个数问题例４㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ａｘ２－ｘ－ｌｎｘ有两个不同的零点ꎬ则实数ａ的取值范围是(㊀㊀).Ａ.１ｅꎬ１æèçöø÷㊀㊀㊀㊀㊀㊀Ｂ.(０ꎬ１)Ｃ.－ɕꎬ１＋ｅｅ２æèçöø÷Ｄ.０ꎬ１＋ｅｅ２æèçöø÷图２㊀例４解析图解析㊀令ｆ(ｘ)＝０ꎬ得ａｘ２－ｘ＝ｌｎｘ.由ｆ(ｘ)有两个不同的零点ꎬ可知ｙ＝ａｘ２－ｘ的图象与ｙ＝ｌｎｘ(ｘ>０)的图象有两个交点.当ａɤ０时ꎬ函数ｙ＝ａｘ２－ｘ与ｙ＝ｌｎｘ的图象有一个交点ꎬ不合题意.当ａ>０时ꎬ考虑ｙ＝ａｘ２－ｘ的图象与ｙ＝ｌｎｘ的图象相切的临界状态情形.设公切线为ｌꎬ公切点为ｔꎬａｔ２－ｔ()ꎬ则ａｔ２－ｔ＝ｌｎｔ.０１由ｙ＝ａｘ２－ｘꎬ得ｙᶄ＝２ａｘ－１.由ｙ＝ｌｎｘꎬ得ｙᶄ＝１ｘ.所以２ａｔ－１＝１ｔꎬ即２ａｔ２－ｔ＝１.由ａｔ２－ｔ＝ｌｎｔꎬ２ａｔ２－ｔ＝１ꎬ得１－ｔ＝２ｌｎｔ.易知ｘ＝１是１－ｘ＝２ｌｎｘ的唯一实数根.所以ｔ＝１ꎬ从而ａ＝１.也就是说ꎬ当ａ＝１时ꎬ抛物线ｙ＝ｘ２－ｘ与ｙ＝ｌｎｘ的图象相切.当０<ａ<１时ꎬ抛物线ｙ＝ａｘ２－ｘ的开口比抛物线ｙ＝ｘ２－ｘ的开口大ꎬ从而函数ｆ(ｘ)＝ａｘ２－ｘ－ｌｎｘ的图象有两个不同的零点(如图２).综上ꎬ实数ａ的取值范围是(０ꎬ１).故选Ｂ.点评㊀本题是已知函数的零点个数求参数范围问题ꎬ将零点问题转化为两曲线交点个数问题是常见的求法.借由例１的求解过程ꎬ可先求两曲线相切的临界情形ꎬ由公切线求出参数的值ꎬ根据图象变化特征即可得到参数的取值范围.５利用公切线解决恒成立问题例５㊀若关于ｘ的不等式ｅｘ－ａｌｎｘȡａ恒成立ꎬ则实数ａ的取值范围是(㊀㊀).Ａ.[０ꎬｅ]㊀Ｂ.(－ɕꎬｅ]㊀Ｃ.０ꎬｅ２[]㊀Ｄ.－ɕꎬｅ２(]图３㊀例５解析图解析㊀设ｆ(ｘ)＝ｅｘ和ｇ(ｘ)＝ａｌｎｘ＋ａ＝ａｌｎｅｘ.当ａ<０时ꎬｅｘ－ａｌｎｘȡａ不能恒成立.当ａ＝０时ꎬ由ｅｘ－ａｌｎｘȡａ可得ｅｘȡ０.而ｅｘ>０恒成立.当ａ>０时ꎬ设ｆ(ｘ)＝ｅｘ和ｇ(ｘ)＝ａｌｎｅｘ的公切线为ｌꎬ且公切点为(ｍꎬｎ).由ｆ(ｘ)＝ｅｘꎬ得ｆᶄ(ｘ)＝ｅｘ.由ｇ(ｘ)＝ａｌｎｅｘꎬ得ｇᶄ(ｘ)＝ａｘ.所以ｅｍ＝ａｍꎬｅｍ＝ａｌｎｅｍ.消去ａꎬ得１ｍ＝ｌｎｅｍ.即ｌｎｍ－１ｍ＋１＝０.设ｈ(ｍ)＝ｌｎｍ－１ｍ＋１ꎬ则ｈᶄ(ｍ)＝１ｍ＋１ｍ２>０ꎬｈ(ｍ)在(０ꎬ＋ɕ)上单调递增.而ｈ(１)＝０ꎬ所以ｌｎｍ－１ｍ＋１＝０有且只有一个根ｍ＝１.从而ａ＝ｅ.根据图形(如图３)ꎬ若ｅｘ－ａｌｎｘȡａꎬ则０<ａɤｅ.综上所述ꎬ０ɤａɤｅꎬ即实数ａ的取值范围是[０ꎬｅ].故选Ａ.点评㊀本题可直接构造函数Ｆ(ｘ)＝ｅｘ－ａｌｎｘ－ａꎬ通过对参数进行讨论ꎬ求解单调性ꎬ证明函数Ｆ(ｘ)ｍｉｎȡ０ꎬ但此种解法运算量大ꎬ不适合在选择题中使用.将原式分离为两个函数ｆ(ｘ)＝ｅｘ和ｇ(ｘ)＝ａｌｎｅｘꎬ可知它们的凹凸性相反ꎬ公切线无疑是二者的分界线.公切线的实质是导数几何意义的综合应用ꎬ将曲线间的位置关系转化为函数的单调性㊁凹凸性㊁极(最)值㊁零点等ꎬ考查转化与化归㊁推理与论证的能力.解决公切线可考虑从数与形两方面着手ꎬ将问题转化为两个函数的图象关系ꎬ由图象凹凸反转的特征ꎬ利用切线不等式放缩[１].求解方法蕴含泰勒展开㊁函数逼近的背景ꎬ渗透着数形结合㊁动静转化的思想ꎬ是命题者难以抗拒的源泉.参考文献:[１]武增明.两函数图象的公切线问题[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０１９(０４):２４－２７.[责任编辑:李㊀璟]１１。

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