2021届黑龙江省哈尔滨市第六中学高三上学期期中考试理科数学试卷及答案
2021届黑龙江省哈尔滨市第六中学校高三9月月考数学(理)试题(解析版)
2021届黑龙江省哈尔滨市第六中学校高三9月月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}21,A y y x x Z ==-∈，{}3sin ,B y y x x R ==∈，则A B =（ ）A ．{}1,0,1-B ．[1,0]-C ．[1,1]-D ．{}1,0-【答案】D【解析】化简集合,A B ，利用集合交集的定义计算即可． 【详解】集合{}{}21,1,0,3,8...A y y x x Z ==-∈=-，{}{}3sin ,|11B y y x x R x x ==∈=-≤≤则AB ={}1,0-故选：D 【点睛】本题考查集合的交并补运算，考查三角函数的性质，属于基础题．2．设i 为虚数单位，a R ∈，“复数2202021a i z i=--不是纯虚数“是“1a ≠”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】先化简z ，求出a ，再判断即可. 【详解】()()2202022211112121211222a i a a i a z i i i i i +=-=-=-=-----+，z 不是纯虚数，则21022a -≠，所以21≠a ，即1a ≠±，所以1a ≠±是1a ≠的充分而不必要条件. 故选：A . 【点睛】本题主要考查根据复数的类型求参数，考查充分条件和必要条件的判断，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.3．在递减等比数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，若245a a +=，154a a ⋅=，则7S =（ ）． A ．1278B ．212C ．638D ．6332【答案】A【解析】直接列方程组求出1a 和公比q ，然后由前n 项和公式得结论． 【详解】则24152454a a a a a a +=⎧⎨==⎩，解得2414a a =⎧⎨=⎩或2441a a =⎧⎨=⎩，∵{}n a 是递减数列，则2441a a =⎧⎨=⎩，∴24214a q a ==，12q =（12q =-舍去）． ∴218a a q ==，7717181(1)21112a q S q ⎛⎫⨯- ⎪-⎝⎭==--1278=． 故选：A ． 【点睛】本题考查求等比数列的前n 项和，解题方法是基本量法，即求出首项1a 和公比q ，然后直接直接由公式计算．4．已知向量(4sin ,1cos ),(1,2)a b αα=-=-,若2a b ⋅=-,则22sin cos 2sin cos αααα=-( )A ．1B ．1-C ．27-D ．12-【答案】A【解析】利用a b ⋅的坐标运算列方程求出1tan 2α=-，再将22sin cos 2sin cos αααα-变形，用tan α表示出来，代入tan α的值即可.【详解】由2a b ⋅=-，得4sin 2(1cos )2αα--=-，整理得1tan 2α=-，所以2221sin cos tan 2112sin cos 2tan 112αααααα-===---， 故选：A . 【点睛】本题考查数量积的坐标运算，考查正余弦齐次式的求解，是基础题. 5．要得到函数()f x x =的图像，只需将函数()sin 2cos 244g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图像（ ）A ．向左平移34π个单位长度 B ．向左平移4π个单位长度 C ．向左平移2π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度 【答案】B【解析】把()g x 化为一个角的一个三角函数形式（余弦型），然后由三角函数的图象变换可得． 【详解】()sin 2cos 2224444g x x x x x ππππ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=++⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦322)244222x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭24x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴把()g x 的图象向左平移4π个单位可得()f x 的图象． 故选：B ． 【点睛】本题考查三角函数的图象变换，解题需把两个函数化为同名函数，如本题中都化为cos()y A x ωϕ=+形式，然后可由图象变换的概念得出结论．6．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若m 为大于1的正整数，且2113234m m m a a a -+-+=，214038m S -=，则m =（ ）.A ．1000B ．1010C ．1020D ．1030【答案】B【解析】利用等差数列的性质求出m a ，再由前n 项和求得m ． 【详解】∵{}n a 是等差数列，∴2211323624m m m m m a a a a a -+-+=-=，解得1m a =或2m a =，若1m a =，则21(21)214038m m S m a m -=-=-=，40392m =，不合题意，舍去， ∴2m a =，21(21)2(21)4038m m S m a m -=-=-=，解得1010m =． 故选：B ． 【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前n 项和，利用等差数列的性质可以更快更准地求解．7．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数， 例如：他们研究过图①中的1,3,6,10,...,由于这些数能表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，将图②中的1,4,9,16,...,这样的数称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A ．189B ．1024C ．1225D ．1378【答案】C【解析】试题分析：三角形数的通项公式是，正方形数的通项公式是，所以两个通项都满足的是，三角形数是，正方形数是．【考点】数列的通项公式8．边长为12的正三角形ABC 中，E 为BC 中点，F 在线段AC 上且12AF FC =，若AE 与BF 交于M ，则MA MB ⋅=（ ） A ．-12 B ．27-C ．152-D ．274-【答案】B【解析】首先取CF 的中点G ，连接EG ，根据题意易证M 为AE 的中点，再以E 为坐标原点，BC ，AE 分别为x ，y 轴，建立直角坐标系，求出MA ，MB 的坐标，利用数量积公式计算即可. 【详解】如图所示：取CF 的中点G ，连接EG ，因为12AF FC =， 所以G 为CF 的中点. 又因为E 为BC 中点， 所以//EG BF ，即//EG MF . 因为F 为AG 的中点， 所以M 为AE 的中点.以E 为坐标原点，BC ，AE 分别为x ，y 轴，建立直角坐标系，如图所示：因为正三角形ABC 的边长为12，所以()0,0E ，(0,63A ，(0,33M ，()6,0B-，(MA =，(6,MB =--，所以27MA MB ⋅=-. 故选：B. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的坐标运算，根据题意建立坐标系为解题的关键，属于中档题.9．若3cos 22sin()4παα=+，3(,)2παπ∈，则sin 2α的值为（ ）A ．9-B ．9-C ．79-D ．79【答案】D【解析】先化简3cos 22sin()4παα=+得cos sin 3αα-=，再平方即得解. 【详解】因为3cos 22sin(),4παα=+所以3cos 22(sincos cossin ),44ππααααα=+=+所以223(cos sin )sin )αααα-=+，所以3(cos sin )(cos sin )sin )αααααα+-=+，因为3(,)2παπ∈，所以cos sin 0αα+≠，所以3(cos sin )αα-=所以cos sin 3αα-=两边平方得，21sin 29α-=， 所以7sin 29α=， 故选：D 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查差角的正弦公式，考查二倍角的正弦余弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，当01x <<时，()21x f x =-，则2(log )10f =（ ）A ．35B ．8C ．35D ．38-【答案】C【解析】根据题意，由(2)()f x f x +=-分析可得(4)(2)()f x f x f x +=-+=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，则可得22(log 10)(log 104)f f =-，结合函数的奇偶性与解析式分析可得答案． 【详解】根据题意，函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，则有(4)(2)()f x f x f x +=-+=， 即函数()f x 是周期为4的周期函数，222log 83log 10log 164=<<=，则22(log 10)(log 104)f f =-，又由函数为奇函数，则21610og 22l 2163(log 104)(4log 10)(log )(21)105f f f -=--=-=--=-，则23(log 10)5f =-， 故选：C 【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，考查运算求解能力，求解时注意分析函数的周期性.11．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22cos cos 252A CB -+=，且ABC 2，则角B =（ ） A ．π6 B ．π3C ．π6或5π6D ．π3或2π3【答案】B【解析】利用三角恒等变换和三角形的面积公式求出sin B 的值，再根据cos B 的范围求出角B . 【详解】()()22cos cos cos 1cos 252A C B A C A C -+=-+-+=， 即5cos cos sin sin 1cos cos sin sin 2A C A C A C A C ++-+=，所以3sin sin 4A C =，213sin 24ABCS ac B b ==， 利用正弦定理得：213sin sin sin sin 2ABCSA CB B ==， 将3sin sin 4A C =代入可得：3sin B =， 因为()0,C π∈，所以3C π=或23C π=， 因为2cos 2cos 522A C B -=-，且2cos 12A C -≤，所以51cos 222B ≥-=， 所以3B π=，故选：B 【点睛】本题主要考查了利用三角恒等变换和三角形的面积公式解三角形，属于中档题. 12．如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线与AB ，AD 所在直线分别交于点M ，N ，若AB mAM =，AN nAD =()0,0m n >>，则1mn +的最小值为（ ）A ．22B ．1C ．22D ．2【答案】D【解析】利用AM 、AN 表示AO ，然后结合平面向量基本定理可得1122m n+=，然后利用基本不等式即可求解. 【详解】因为平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，1122AO AB AD =+， AB mAM =，AN nAD =，1122AO mAM AN n=+，因为O M N 、、三点共线，所以1122m n+=，所以111111122222212m mn m m n mn n n ⎛⎫⎛⎫+=+=+++≥+= ⎪+⨯ ⎪⎭⎝⎭=⎝， 当且仅当1m n ==时，等号成立 故选：D 【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理，以及基本不等式求最值，属于中档题.二、填空题13．已知两个单位向量1e 、2e 的夹角为120，向量1232m e e =-，则m =_____．【解析】利用平面向量数量积的运算律和定义计算出2m 的值，进而可求得m 的值.【详解】根据题意，两个单位向量1e 、2e 的夹角为120，则121211cos1201122e e e e ⎛⎫⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，因为1232m e e =-， 所以()2222212112213291241312192m m e ee e e e ==-=-⋅+=+⨯=， 所以19m =【点睛】本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题．14．在各项都是正数的等比数列{}n a 中，2a ，312a ，1a 成等差数列，则7856a a a a ++的值是________. 【答案】32+【解析】设等比数列{}n a 的公比为()0q q >，利用2a ，312a ，1a 成等差数列求出q 的值，化简7856a a a a ++并代入求值即可．【详解】设等比数列{}n a 的公比为()0q q >， 由321a a a =+， 得210q q --=，解得12q +=(负值舍)，则2222785656561322a a a q a q q a a a a ⎛++==== ++⎝⎭.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的定义，得出要求的比值为2q 是解决问题的关键，属较易题．15．若复数z 满足0z z z z ⋅++=，则复数33z i --的最大值与最小值的乘积为___________． 【答案】24【解析】设z a bi =+，（,a b ∈R ），结合条件0z z z z ⋅++=得z 在复平面内对应点的轨迹，再由33z i --的几何意义求解即可． 【详解】设z a bi =+，（,a b ∈R ）则由0z z z z ⋅++=, 得2220a b a ++=，即()2211a b ++=．复数z 在复平面内对应点的轨迹是以(1,0)A -为圆心，以1为半径的圆，33z i =--z 在复平面内对应点到点(3,3)P 的距离所以33z i --最大值为||116PA +==． 最小值为||114PA -== 故最大值与最小值的乘积为2446=⨯故答案为：24 【点睛】本题考查复平面内复数对应的点的轨迹问题，复数模长的几何意义，是中档题. 16．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若角4B π=且4sin 4sin sin 4sin a A c C ac B b B +=+，则ABC 的面积的最大值为_____________.【答案】8(1【解析】对已知条件进行角化边得()2224a c babc +-=，结合4B π=和余弦定理计算可得b =2232a c =+，再由不等式222a c ac +≥计算可得32ac ≤+.【详解】由4sin 4sin sin 4sin a A c C ac B b B +=+，得：222444a c abc b +=+，整理得：()2224a c b abc +-=，又4B π=，所以cos 2B =，所以222114cos 2282abca cb B b ac ac ====+-，解得b =又(2222a c ac =+-，即2232a c +=+， 又222a c ac +≥，所以322ac +≥，所以32ac ≤+1sin 321628122ABCS =ac B ==+∆.故答案为：8(1+. 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的综合应用，考查三角形面积最值的计算，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足252n n nS +=，*n N ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()21n nan n b a =+-，*n N ∈，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .【答案】（1）2n a n =+；（2）28(41)nn T n =-+.【解析】（1）由n a 与n S 的关系解出n a 即可； （2）写出n b ，再分组求和． 【详解】当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，()()2211515222n n n n n n n a S S n --+-+=-=-=+， 显然13a =满足上式， 综上：2n a n =+；（2）由（1）知()()2212nn n b n +=+-+，()()()2221243456212212n n T n n -=⨯+-+-+--+++⎡⎤⎣⎦- 8(41)n n =-+.【点睛】本题考查数列通项的求法，考查分组求和法和并项求和法求数列的前n 项和，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题．18．已知向量()cos ,sin ,(cos ,sin ),105a b a b ααββ==-=. （1）求cos()αβ-的值； （2）若0,022ππαβ<<-<<，且5sin 13β=-，求sin α. 【答案】（1）45；（2）1665. 【解析】（1）对等式10a b -=进行平方运算，根据平面向量的模和数量积的坐标表示公式，结合两角差的余弦公式直接求解即可；（2）由（1）可以结合同角的三角函数关系式求出sin()αβ-的值，再由同角三角函数关系式结合sin β的值求出cos β的值，最后利用两角和的正弦公式求出sin α的值即可. 【详解】（1）1,1a b ==，()()2210242555a b aa b ba b -=⇒-⋅+=⇒⋅=44cos cos sin sin cos()55αβαβαβ⇒+=⇒-=； （2）因为0,022ππαβ<<-<<，所以0αβπ<-<，而4cos()5αβ-=， 所以sin()35αβ-==，因为02πβ-<<，5sin 13β=-， 所以12cos 13β==. 因此有16sin sin[()]sin()cos cos()sin 65ααββαββαββ=-+=-+-=. 【点睛】本题考查了已知平面向量的模求参数问题，考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了两角差的余弦公式，考查了两角和的正弦公式，考查了同角的三角函数关系式的应用，考查了数学运算能力.属于中档题.19．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1055S S =，64202a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足*121211,2n n n b b b n N a a a +++=-∈，证明：58n b ≤ 【答案】（1）43n a n =-；（2）证明见解析.【解析】（1）设出通项公式，代入已知条件计算首项和公差；（2）代入（1）的结果，由1212112n n n b b b a a a +++=-，求得1b ，进一步求得12n n n b a =-，得到{}n b 的通项公式，利用做差法得到判断数列{}n b 的单调性，即可得出结论. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，()11n a a n d +-=，∵1055S S =，64202a a +=，()()11115(510)104532520a d a d a d a d ⎧+=+⎪∴⎨+=++⎪⎩， ∴11a =，3d =-，∴1(1)(3)43n a n n =+-⨯-=-.（2）∵*12312311,2n n n b b b b n a a a a +++⋯+=-∈N ，① ∴1n =时，11112b a =-， ∴112b =-， 2n 时，*12311123111,2n n n b b b b n a a a a ---+++⋯+=-∈N ，② ①-②得：111111222n n n n n b a -⎛⎫=---=- ⎪⎝⎭， ∴1(34)2n nb n =-⨯，又112b =-也符合上式， ∴1(34)2n n b n =-⨯， 又11372n n n n b b ++-+-=，∴当2n 时，10n n b b +->； 当3n 时，10n n b b --<， ∴数列{}n b 先单调递增再递减， ∴358n b b =. 【点睛】本题主要考查了数列通项公式的计算和求和.属于中档题. 20．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足242cos 1cos cos sin cos 23C A B A B =-+． （1）求cos B 的值；（2）设ABC 外接圆半径为R ，且()sin +sin 1R A C =，求b 的取值范围． 【答案】（1）3cos 5B =；（2）[2)5. 【解析】（1）利用诱导公式，两角和的余弦公式化简变形可得tan B ，再由同角关系求得cos B ；（2）由正弦定理得2c a =-，再用余弦定理求出b （表示为a 的函数），由(0,2)a ∈可得b 的范围． 【详解】 （1）4cos cos cos sin cos cos()cos cos sin sin 3C A B A B A B A B A B =-+=-+=-+，所以4sin sin sin cos 3A B A B =， 4tan ,(0,),3B B π∴=∈∴0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故由22sin 4cos 3sin cos 1B B B B ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得4sin 53cos 5B B ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．∴3cos 5B =． （2）由正弦定理2(sin sin C)2,2R A a c c a +=+==-，222222661632(2)(2)45555b a c ac a a a a a a ∴=+-=+---=-+24(0,2)[,4)5a b ∈∴∈2)b ∴∈． 【点睛】本题考查诱导公式、两角和的余弦公式、同角间的三角函数关系，考查正弦定理和余弦定理，旨在考查学生的运算求解能力，属于中档题． 21．已知函数()()1()ln 1a x f x x a R x -=-∈+ （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 既有极大值，又有极小值，记12,x x 分别为函数()f x 的极大值点和极小值点，求证：1212()()();22x x f x f x f ++< （3）设m 为整数，且对于任意的正整数n ，有2111+11,222n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1 求m 的最小值.【答案】（1）答案详见解析；（2）证明详见解析；（3）3. 【解析】（1）对函数求导，然后讨论a 求单调性； （2）当2a >时，()12121()()0,()(1)ln(1)(2)22x x f x f x f f a a a ++==-=---构造函数利用单调性证明；（3）利用函数的单调性求得最小值. 【详解】2'22(1)1()(0)(1)x a x f x x x x --+=>+4(2)a a ∆=-令2()2(1)1(0)p x x a x x =--+>，（1）当'02,0()0,()0a p x f x ≤≤∆≤∴>≥，()f x ∴在0+∞（，）单调递增， 当2a >时，12122(1)00,10x x a x x +=->⎧∆>⎨=>⎩，得1211x a x a ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩当(0,1x a ∈-或(1)x a∈-++∞，'()0f x >，()f x 所以单调递增，当(11x a a ∈--时，'()0f x <，()f x 所以单调递减， 当0a <时，'12,0,()0x x f x <∴>，()f x 在()0+∞，递增 综上：当2a ≤时，()fx 在0+∞（，）单调递增； 当2a >时，()f x 在(0,1(1)a a --++∞，单调递增， 在(11a a --单调递减.（2）当2a >时，()12121()()0,()(1)ln(1)(2)22x x f x f x f f a a a ++==-=--- 令1a x -=，'1()ln (1)(1),()10u x x x x u x x=-->=-<()u x 在(1,)+∞上递减， 12()(1)0()02x x u x u f +<=<， 1212()()()22f x f x x x f ++∴>（3）11ln 1,ln(1)ln(1)22n nx x x x <-∴+<∴+< 2111111ln(1)ln(1)11222222n n n ∴++++<+++=-<223111111135(1)(1)(1)(1)(1)(1)222222264n e ∴+++<+++=>2111(1)(1)(1)222n +++递增，()min 1n 112,322e m ⎛⎫⎛⎫∴∈∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1+1+，【点睛】本题考查函数单调性、极值，考查不等式的证明，考查推理论证能力，分类讨论思想. 22．在平面直角坐标系中，曲线1C 的普通方程为22220x y x +--=，曲线2C 的直角坐标方程为221x y -=．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线1C 的参数方程，曲线2C 的极坐标方程； （2）若()1,A ρα，23,B πρα⎛⎫+⎪⎝⎭是曲线2C上两点，当240,πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求2221OAOB+的取值范围．【答案】（1）1x y ϕϕ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）；221cos ρθ=；（2）32⎫⎪⎪⎝⎭. 【解析】（1）把1C 方程配方后，利用22sin cos 1ϕϕ+=结合单位圆上点的坐标可得参数方程； 由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得2C 的极坐标方程；（2）由,A B 两点极坐标代入2C 极坐标方程求出两点的极径，即,OA OB ，然后计算2221OAOB+，利用两角和与差的余弦公式化表达式为cos()A x ωϕ+形式，由余弦函数性质可得取值范围． 【详解】（1）曲线1C 的普通方程为22220x y x +--=，即()2213x y -+=，故曲线1C 的参数方程为1x y ϕϕ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）．令cos x ρθ=，sin y ρθ=，则2221:C x y -=可化为2222cos sin 1ρθρθ-=，即()2222cos sin cos 21ρθθρθ-==，故曲线2C 的极坐标方程为221cos ρθ=． （2）将点()1,A ρα，23,B πρα⎛⎫+⎪⎝⎭代入曲线2C 的极坐标方程，得1cos 21ρα=，222cos 213πρα⎛⎫+= ⎪⎝⎭22221211222cos 2cos 223OAOBπααρρ⎛⎫∴+=+=++ ⎪⎝⎭222cos 2cos 2cossin 2sin 33ππααα=+-3cos 2222αα=-62πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．∵240,πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2,664πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，32,262πα⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∴2211OA OB +的取值范围是322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查普通方程化为参数方程，直角坐标方程化为极坐标方程，考查极坐标的应用．属于中档题，23．已知函数()211f x x a x =---，a R ∈.（1）当5a =时，求函数()f x 的值域；（2）[]00,3x ∃∈，()001f x a x ≥+，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）49,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭；（2）4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【解析】（1）根据绝对值定义分类去掉绝对值符号得分段函数，分别求出值域后合并可得结论；（2）首先已知变形为2111x a x x -≤-++在区间[]0,3内有解，然后求2111x x x --++的最大值，可分类讨论：分两类[0,1]x ∈，(1,3]x ∈分别求解． 【详解】（1）当5a =时，()22254,151156,1x x x f x x x x x x ⎧-+≥=---=⎨+-<⎩. 当1≥x 时，()9,4f x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭；当1x <时，()49,4f x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭. ∴函数()y f x =的值域为49,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭；（2）不等式()1f x a x ≥+等价于2111x a x a x ---≥+，即2111x a x x -≤-++在区间[]0,3内有解 当[]0,1x ∈时，2211112x x a x x --≤=-++，此时，211,022x -⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则0a ≤； 当(]1,3x ∈时，2211111122x x a x x x x x --⎛⎫≤==- ⎪-++⎝⎭， 函数112y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间(]1,3上单调递增，当(]1,3x ∈时，1140,23x x ⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，则43a ≤.综上，实数a 的取值范围是4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查求含绝对值函数的值域，考查不等式有解问题．不等式恒成立与不等式有解问题都常常转化为求函数的最值，同一个不等式恒成立与有解转化时要注意两者的最值一般相反，一个是求最大值，另一个是求最小值．。
黑龙江省哈六中高三数学上学期期中考试 理 新人教A版
黑龙江省哈六中高三数学上学期期中考试 理 新人教A 版【会员独享】一、选择题（每小题5分）1．已知直线0ax by c ++=不经过第二象限，且0ab <，则（ ） A ．0c > B ．0c < C ．0ac ≥ D ．0ac ≤2．已知函数()y f x =的反函数是1()2log (1)(0,1)a f x x a a -=+->≠，则函数()y f x =的图像必过定点（ ）A ．(0,2)-B ．(2,0)-C ．(0,2)D ．(2,0) 3.已知条件1:01xp x ->+，条件:q 有意义，则p ⌝是q ⌝的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4.已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且132,,a a a 成等差数列，则公比q 的值为（ ）A ．-2B ．1-2C ．11-2或 D ．15．已知A 、B 、C 三点不共线，且点O 满足OA OB OC ++=0，则下列结论正确的是( ) A ．1233OA AB BC =+ B ．2133OA AB BC =+C ．1233OA AB BC =--D ．2133OA AB BC =--6.已知(0,)2πα∈，方程22sin cos 1x y αα+=表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是（）A ．(0,)4πB ．(0,]4πC ．[,]42ππ D ．(,)42ππ7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若01,1211=--+>+-m m m a a a m 且， 3912=-m S ，则m 等于( )A ．10B ．19C ．20D ．398.下面能得出ABC ∆为锐角三角形的条件是（）A ．1sin cos 5A A +=B ．0AB BC ⋅<C．3,30b c B ===D ．tan tan tan 0A B C ++>9．设点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点，其中12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，且12||2||PF PF =，则双曲线的离心率为 （ ）ABCD ．10.椭圆2212516x y +=的左右焦点分别为12,F F ，弦AB 过1F ，若2ABF ∆的内切圆周长为π，,A B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则12y y -值为（）A ．53B ．103C ．203D．311.已知函数1()log [(2)1]a f x x a=-+在区间上[1,3]的函数值大于0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(,1)2B ．13(,)25C ．(1,)+∞D ．3(0,)512．已知0321>>>x x x ，则112)22(log x x a +=，222)22(log x x b +=，332)22(log x x c +=的大小关系为（ ） A ．c b a << B ．c b a >> C ．c a b << D ．b a c <<二、填空题（每小题5分）13．设O 为坐标原点，点(2,1),M 点(),N x y 满足360,0x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩则OM ON ⋅的取值范围为14．若函数2()2ln f x x x =-在定义域的一个子区间(1,1)k k -+内不是单调函数，则实数k 的取值范围是15.已知ABC ∆中顶点(4,0)A -和顶点(4,0)C ，顶点B 在椭圆221259x y +=上，则sin sin sin A C B+=16. 已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则na n的最小值为__________.三、解答题（共70分）17. （本题10分）已知圆22:2430C x y x y ++-+=.若圆C 的切线在x 轴和y 轴上截距相等，求切线的方程；18．（本题12分）已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为a b c 、、, 向量(4,1),m =-2(cos ,cos 2)2A n A =，且72m n ⋅= . （1）求角A 的大小；（2）若3a =b c ⋅取得最大值时ABC ∆形状. 19．（本题12分）已知函数x a x x f ln )1()(--= （1）讨论函数)(x f 的单调区间和极值；（2）若0)(≥x f 对),1[+∞∈x 上恒成立，求实数a 的取值范围。
哈尔滨六中2016届高三数学(理)期中试题及答案
哈尔滨市第六中学2021届高三上学期期中考试理科数学试卷考试说明：本试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两局部，总分值150分，考试时间120分钟．〔1〕答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；〔2〕选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色的签字笔书写, 字迹清楚； 〔3〕请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸上答题无效； 〔4〕保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第一卷〔选择题 共60分〕一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 1．假设复数z 满足)1(21i z i +-=⋅，那么z 的共轭复数的虚部是〔 〕 .A i 21- .B i 21 .C 21- .D 212．全集为R ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+=021|x x x M ，{}1)2(ln |1<=-x x N ，那么集合=)(N C M R 〔 〕 .A []1,1- .B [)1,1- .C []2,1 .D [)2,13．假设幂函数222)33(--⋅+-=m mx m m y 的图象不过原点，那么m 的取值是〔 〕.A 21≤≤-m .B 21==m m 或 .C 2=m .D 1=m4．设R y x ∈,，那么"22"≥≥y x 且是"4"22≥+y x 的〔 〕.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分又不必要条件 5．向量)2,1(=，)1,3(21=-b a ，)3,(x =，假设()//2+，那么=x 〔 〕.A 2- .B 4- .C 3- .D 1-6．数列{}n a 满足)(log log 1*133N n a a n n ∈=++，9642=++a a a ，那么=++)(log 97531a a a 〔 〕.A 51- .B 51 .C 5- .D 57．),(y x P 为区域⎩⎨⎧≤≤≤-a x x y 0022内的任意一点，当该区域的面积为4时，y x z -=2的最大值是〔 〕.A 6 .B 0 .C 2 .D 228．设⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πα，⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πβ，ββαcos sin 1tan +=，那么〔 〕 .A 23πβα=- .B 22πβα=- .C 23πβα=+ .D 22πβα=+9．数列{}n a 满足11=a ，对任意的*N n ∈都有n a a a n n ++=+11，那么=+++201621111a a a ( ) .A 20152016 .B 40322017 .C 40342017 .D 2016201710．一个四棱锥的三视图如下图，那么这个四棱锥的外表积是〔 〕.A 25329++ .B 2329+.C 2529+ .D 2511+ 11．在直三棱柱111C B A ABC -中，假设AC BC ⊥，3π=∠A ，4=AC ，41=AA ，M 为1AA 的中点，P 为BM的中点，Q 在线段1CA 上，QC Q A 31=.那么异面直线PQ 与AC 所成角的正弦值为〔 〕.A 3913 .B 21313.C 239 .D 1312．对于任意实数b a ,，定义{},min ,,a a ba b b b a≤⎧=⎨<⎩，定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()4(x f x f =+，且当20≤≤x 时，{}x x f x --=2,12m in )(，假设方程0)(=-mx x f 恰有两个根，那么m 的取值范围是〔 〕.A {}⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛---2ln ,3131,2ln 1,1 .B ⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡--1,3131,1.C {}⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛---2ln ,2121,2ln 1,1 .D ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,3131,21第二卷〔非选择题 共90分〕二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案写在答题卡上相应的位置 13．32 0|1|_______x dx -=⎰14．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，假设22241c b a +=，那么=c Ba cos _______________ 15．R y x ∈,，满足64222=++y xy x ，那么224y x z +=的取值范围________16．三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，假设该棱柱的体积为3，2AB =，60,1=∠=BAC AC ，那么此球的外表积等于_______________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17.〔本小题总分值10分〕极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位一样，曲线C 的极坐标方程为)sin (cos 2θθρ+=. 〔1〕求C 的直角坐标方程；A〔2〕直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x l 23121:〔t 为参数〕与曲线C 交于B A ,两点，与y 轴交于E ，求EB EA +． 18.〔本小题总分值12分〕在△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin sin tan cos cos A BC A B+=+,sin()cos B A C -=．〔1〕求,A C ；〔2〕假设3ABC S ∆=,求,a c ． 19.〔本小题总分值12分〕数列}{n a 的前n 项和n S 满足：)1(2-=n n a S ，数列}{n b 满足：对任意*∈N n 有22)1(12211+⋅-=++++n n n n b a b a b a〔1〕求数列}{n a 与数列}{n b 的通项公式； 〔2〕记nnn a b c =，数列}{n c 的前n 项和为n T ，证明：当6≥n 时， 12<-n T n 20.〔本小题总分值12分〕如图，PCBM 是直角梯形，90PCB ∠=︒，//PM BC ，1,2PM BC ==， 又1,AC =120ACB ∠=︒，AB PC ⊥，直线AM 与直线PC 所成的角为60︒ 〔1〕求证：平面PAC ⊥平面ABC ； 〔2〕求三棱锥P MAC -的体积．21.〔本小题总分值12分〕各项均不相等的等差数列{}n a 的前五项和520S =，且137,,a a a 成等比数列． 〔1〕求数列{}n a 的通项公式； 〔2〕设n T 为数列11{}n n a a +的前n 项和，假设存在*n N ∈，使得10n n T a λ+-≥成立． 求实数λ的取值范围．22.〔本小题总分值12分〕函数1()(2)ln 2 f x a x ax x=-++． (Ⅰ)当2a =时，求函数()f x 的极值； (Ⅱ)当0<a 时，讨论)(x f 的单调性；(Ⅲ)假设对任意的[]12(3,2),,1,3a x x ∈--∈恒有12(ln3)2ln3()()m a f x f x +->-成立，求实数m 的取值范围．高三理科数学期中考试答案选择：1-5 CDBAD ，6-10 CABBA ， 11-12 CA 填空：π8],12,4[,85,322 解答题：17〔1〕由()2cos sin ρθθ=+得()22cos sin ρρθθ=+，得直角坐标方程为2222x y x y +=+，即()()22112x y -+-=；〔2〕将的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，化简得210t t --=，点E 对应的参数0t =，设点A ，B 对应的参数分别为12,t t ，那么121t t +=，121t t =- ，所以1212||||||||||EA EB t t t t +=+=-==18.〔1〕因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+，即sin sin sin cos cos cos C A BC A B+=+， 所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+， 即sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-，得sin()sin()C A B C -=-．所以C A B C -=-,或()C A B C π-=--〔不成立〕． 即 2C A B =+, 得3C π=，所以．23B A π+=． 又因为1sin()cos 2B A C -==，那么6B A π-=，或56B A π-=,〔舍去〕 得5,412A B ππ==． 〔2〕1sin 32ABC S ac B ∆===+又sin sin a cA C =, 即22=，得a c ==19.〔1〕当1n =时，1112(1)S a a ==-，所以12a =， 当1n >时，112()n n n n n a S S a a --=-=-，,21-=n n a a 又122224a a =⨯==成立所以数列{}n a 是以12a =，公比2q =的等比数列，通项公式为2()n n a n N *=∈.由题意有11a b =2(11)222-⋅+=，得11b =.当2n ≥时，n n a b =1122()n n a b a b a b +++112211()n n a b a b a b ---+++1(1)22n n -⎡⎤=-⋅+-⎣⎦(2)22nn ⎡⎤-⋅+=⎣⎦2n n ⋅，验证首项满足，于是得n b n =故数列{}n b 的通项公式为n b n =()n N *∈．〔2〕 证明：n T =1212n n b b b a a a +++=212222n n +++，所以12n T =23112222n n++++， 错位相减得12n T =231111122222n n n +++++-，所以2n T =-22n n +，即2n T -=22n n +， 下证：当6n ≥时，(2)12n n n +<，令()f n =(2)2n n n +，(1)()f n f n +-=1(1)(3)(2)22n nn n n n ++++-=2132n n +-当2n ≥时，(1)()0f n f n +-<，即当2n ≥时，()f n 单调减，又(6)1f <， 所以当6n ≥时，()1f n <，即(2)12nn n +<，即当6n ≥时，21n n T -< 20.(1)ABC PC B BC AB AB PC BCPC 面⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊥⊥,PAC PC 面⊂⇒ABC ABC 面面⊥(2)12323112131=⋅⋅⋅⋅==--PMC A MAC P V V 21.〔1〕设{}n a 的公差为d ，由得12111545202(2)(6)a d a d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩ 即121242a d d a d+=⎧⎪⎨=⎪⎩，110,2d d a =⎧≠∴⎨=⎩，故*1()n a n n N =+∈ 〔2〕11111(1)(2)12n n a a n n n n +==-++++111111233412n T n n ∴=-+-++-++ 11222(2)n n n =-=++∵存在*n N ∈，使得10n n T a λ+-≥成立 ∴存在*n N ∈，使得(2)02(2)n n n λ-+≥+成立,即22(2)nn λ≤+有解max 2{}2(2)n n λ∴≤+而21142(2)162(4)nn n n=≤+++，2=n 时取等号 116λ∴≤．22.试题解析：(Ⅰ)函数)(x f 的定义域为(0,)+∞．21() 4 f x x '=-+，令21() 4 =0f x x '=-+，得112x =；212x =-〔舍去〕． 2分当x 变化时，(),()f x f x '的取值情况如下：所以，函数()f x 的极小值为 4分(Ⅱ) 22211)()2 a ax f x a x x x -+'=-+=，令()0f x '=，得112x =，21x a=-， 5分当2a =-时，()0f x '≥，函数)(x f 的在定义域(0,)+∞单调递增； 6分 当20a -<<时，在区间1(0,)2，1(,)a-+∞，上()0f x '<，)(x f 单调递减， 在区间11(,)2a-，上()0f x '>，)(x f 单调递增； 7分当2a <-时，在区间1(0,)a -，1(,)2+∞，上()0f x '<，)(x f 单调递减， 在区间11(,)2a -，上()0f x '>，)(x f 单调递增． 8分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知当(3,2)a ∈--时，函数)(x f 在区间[]1.3单调递减； 所以，当[]1.3x ∈时，max ()(1)12f x f a ==+，min 1()(3)(2)ln 363f x f a a ==-++问题等价于：对任意的(3,2)a ∈--，恒有1(ln 3)2ln 312(2)ln 363m a a a a +->+----成立， 1即14114,4a am a m a a ->-<=-，432,432-<->am a am ，所以313-≤m 12分。
黑龙江省哈尔滨市2024-2025学年高三上学期期中考试 数学含答案
哈尔滨市2024—2025学年度高三上学期期中考试数学学科试卷（答案在最后）满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合35,122M x x N x x ⎧⎫⎧⎫=>-=∈-<<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z ，则M N = （）A.312x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B.{}2,1,0-- C.{}1,0- D.{}0,12.若复数z 满足2025i 2i z =-，则z 的实部与虚部之和为（）A.12i-+ B.12i-- C.1D.3-3.已知等差数列{}n a 的前6项和为60，且12315a a a ++=，则5a =（）A.5B.10C.15D.204.在平面直角坐标系中，若α∠的终边经过点()2,1P ，则πcos 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A.31010-B.10-C.1010D.105.如图，四边形O A C B ''''表示水平放置的四边形OACB 根据斜二测画法得到的直观图，2O A ''=，4B C ''=，O B ''=//O A B C ''''，则AC =（）A.B. C.6D.6.若曲线e x y a =+的一条切线方程是1y x =-，则a =（）A.2- B.1C.1- D.e7.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为43，面积为4π3的扇形，则该圆锥的外接球的表面积为（）A.256π63B.4πC.9π2D.9π8.在学习完“错位相减法”后，善于观察的同学发现对于“等差×等比数列”此类数列求和，也可以使用“裂项相消法”求解．例如()()()112122nnn n a n n n +=+⋅=-+⋅--⋅，故数列{}n a 的前n 项和()()()()()1223112302121222122n n n n S a a a a n n +=++++=⨯--⨯+-⨯--⨯++-+⋅--⋅ 12n n +=⋅．记数列2{}2n n 的前n 项和为n T ，利用上述方法求306T -=（）A.305132 B.305132-C.295132 D.295132-二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知平面向量1e ，2e 的夹角为π3，且121e e == ，若122a e e =- ，12b e e =+ ，则下列结论正确的是（）A.a b⊥B.a与b 可以作为平面内向量的一组基底C.a =D.a在b 上的投影向量为12b- 10.在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 4:5:6A B C =，D 为线段AC 上一点，则下列判断正确的是（）A.ABC V 为钝角三角形B.ABC V 的最大内角是最小内角的2倍C.若D 为AC 中点，则:BD AC =D .若ABD CBD ∠=∠，则:5BD AC =11.设数列的前n 项和为n S ，若nn S b n=，则称数列是数列的“均值数列”．已知数列是数列的“均值数列”，且21232482nn b b b b n n ++++=+ ，则下列结论正确的是（）A.72364a =-B.设数列的前n 项积为n T ，则n T 有最大值，无最小值C.数列{}n S 中没有最大项D.若对任意*n ∈N ，2504n m m S --≥成立，则1m ≤-或94m ≥三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若3sin 5α=，且α为第二象限角，则sin 2α=___________.13.已知函数2()()(2)f x x a x x =--在x a =处取得极大值，则a =_________．14.已知数列满足12,2,n n n a n a a n +⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，10a =，则10a =______；设数列的前n 项和为n S ，则2024S =______．（第二个空结果用指数幂表示）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数()21cos sin cos 2f x x x x =+-．（1）求()f x 的最小正周期；（2）将()f x 的图象向左平移π4个单位长度，得到函数()y g x =的图象，求不等式()0g x 的解集．16.数列{}n a 满足1111,202n n n n a a a a a ++=+-=．（1）求数列{}n a 通项公式．（2）设()cos 1π2n nn b a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．17.在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知2cos ,3cos b c Ca a A-==．（1）求角A ；（2）若点D 在边AC 上，且1233BD BA BC =+，求BCD △面积的最大值．18.南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”．在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式．如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第1n +层球数是第n 层球数与1n +的和，设各层球数构成一个数列．（1）求数列的通项公式；（2）证明：当0x >时，()ln 11x x x+>+（3）若数列满足2ln(2)2ln n n n b a n=-，对于*n ∈N ，证明：11232n n b b b b n +++++<⨯ ．19.定义：如果函数()f x 在定义域内，存在极大值()1f x 和极小值()2f x ，且存在一个常数k ，使()()()1212f x f x k x x -=-成立，则称函数()f x 为极值可差比函数，常数k 称为该函数的极值差比系数．已知函数()1ln f x x a x x=--．（1）当52a =时，判断()f x 是否为极值可差比函数，若是求极值差比系数，若不是说明理由；（2）是否存在a 使()f x 的极值差比系数为2a -？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由；（3）若522a ≤≤，求()f x 的极值差比系数的取值范围．哈尔滨市2024—2025学年度高三上学期期中考试数学学科试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】BD【10题答案】【答案】BCD【11题答案】【答案】AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】2425-##0.96-【13题答案】【答案】0【14题答案】【答案】①.60②.()1013322026-四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）π（2）3πππ,π,Z 88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【16题答案】【答案】（1）12n a n=（2）31,,n n n S n n +⎧=⎨⎩为奇数为偶数【17题答案】【答案】（1）π3（2）334【18题答案】【答案】（1）()12n n n a +=（2）证明见解析（3）证明见解析【19题答案】【答案】（1）()f x 是极值可差比函数，102ln 23k =-；（2）不存在，理由见解析；（3）102ln 2,23ln 23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦。
黑龙江省2021年高三上学期期中数学试卷(理科)(II)卷
黑龙江省2021年高三上学期期中数学试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一下·大连期中) 若sinθ+sin2θ=1，则cos2θ+cos6θ+cos8θ的值等于（）A . 0B . 1C . ﹣1D .2. （2分）设集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={2，4，7}，则∁UM=（）A . UB . {1，2，6}C . {1，3，5，6}D . {1，3，5}3. （2分） (2017高三下·重庆模拟) 知为的三个内角的对边，向量．若，且，则角的大小分别为（）A .B .C .D .4. （2分）平面直角坐标系中，点（3，t）和（2t，4）分别在顶点为原点，始边为x轴的非负半轴的角α，α+45°的终边上，则t的值为（）A . ±6或±1B . 6或1C . 6D . 15. （2分）命题，，使；命题，．则下列命题中真命题为（）A .B .C .D .6. （2分）(2019·新宁模拟) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a．b．c，若A=60°，a= ，b= ，则B=（）A . 30°B . 45°C . 135°D . 45°或135°7. （2分）函数（其中）的图像如图所示，为了得到的图像，则只要将的图像（）A . 向左平移个单位长度B . 向右平移个单位长度C . 向左平移个单位长度D . 向右平移个单位长度8. （2分） (2018高一上·遵义月考) 若函数是定义在R上的减函数，则的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分）函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）= ，则方程f（x）= 在[﹣3，5]上的所有实根之和为（）A . 0B . 2C . 4D . 610. （2分）函数 f（x）=cos3x+sin2x﹣cosx的最大值是（）A .B . 1C .D . 211. （2分）已知正项等比数列{an}满足a5+a4﹣a3﹣a2=8，则a6+a7的最小值为（）A . 4B . 16C . 24D . 3212. （2分） (2017高一上·南昌期末) 已知α是第三象限角，且cosα=﹣，则tan 等于（）A . ﹣B .C . ﹣3D . 3二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2016·北区模拟) 由曲线y=x2 ， y=2x围成的封闭图形的面积为________．14. （1分）设m=0.30.2 ， n=log0.23，p=sin1+cos1，则m，n，p的从大到小关系为________．15. （1分）在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是________ 三角形．16. （1分） (2016高一下·武城期中) 给出下列命题：①函数是奇函数；②存在实数α，使得sinα+cosα= ；③若α，β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；④ 是函数的一条对称轴方程；⑤函数的图象关于点成中心对称图形．其中命题正确的是________（填序号）．三、解答题 (共7题；共60分)17. （10分） (2017高二上·汕头月考) 已知向量 .记 .（1）求的最小正周期及单调增区间；（2）在中，角的对边分别为若，求的值.18. （10分） (2019高三上·苏州月考) 在三棱锥中，底面是边长为的正三角形，点在底面上的射影恰是的中点，侧棱和底面成角．（1）若为侧棱上一点，当为何值时，；（2）求二面角的余弦值大小．19. （10分） (2016高一下·石门期末) 已知向量 =（sinωx，cosωx）， =（cosωx，cosωx）（ω＞0），函数f（x）= • ﹣的图象的一个对称中心与和它相邻的一条对称轴之间的距离为．（1）求函数f（x）的单调递增区间（2）在△ABC中，角A、B、C所的对边分别是a、b、c，若f（A）= 且a=1，b= ，求S△ABC ．20. （5分） (2016高二上·成都期中) 如图，椭圆M： =1（a＞b＞0）的离心率为，直线x=±a和y=±b所围成的矩形ABCD的面积为8．（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；（Ⅱ）设直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆M有两个不同的交点P，Q，l与矩形ABCD有两个不同的交点S，T．求的最大值及取得最大值时m的值．21. （10分）已知函数f（x）=﹣x2+2lnx（1）求函数f（x）的最大值；（2）若函数f（x）与g（x）=x+ 有相同极值点，①求实数a的值；②若对于∀x1 ，x2∈[ ，3]（e为自然对数的底数），不等式≤1恒成立，求实数k的取值范围．22. （10分）(2016·大连模拟) 在极坐标系中，已知曲线C1：ρ=2cosθ，将曲线C1上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C，又已知直线l：（t是参数），且直线l与曲线C交于A，B两点．（1）求曲线C的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（2）设定点P（，0），求|PA|+|PB|．23. （5分）已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣a|．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＜4的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为g（a），求g（a）的最小值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共60分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、考点：解析：第21 页共21 页。
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨六中高二上学期期中数学试卷(理科)(含解析)
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨六中高二上学期期中数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知命题p：∀x>0，2x−x<0，则￢p是()A. ∀x>0，2x−x>0B. ∀x>0，2x−x≥0C. ∃x0>0，2x0−x0≥0D. ∃x0>0，2x0−x0>02.一个几何体的三视图分别是一个正方形，一个矩形，一个半圆，尺寸大小如图所示，则该几何体的体积是()A. π2B. 2π3C. πD. 2π3.如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF=∠BCE=90°，A、D分别是BF、CE上的点，AD//BC，且AB=DE=2BC=2AF(如图1).将四边形ADEF沿AD折起，连结BE、BF、CE(如图2).在折起的过程中，下列说法中错误的个数是()①AC//平面BEF；②B、C、E、F四点不可能共面；③若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD；④平面BCE与平面BEF可能垂直．A. 0B. 1C. 2D. 34.命题p：1x>1，命题q：x>a，若命题p的必要不充分条件是q，则a的取值范围为()A. a<1B. a≤0C. a>1D. a≥15.若抛物线的焦点恰巧是椭圆x26+y22=1的右焦点，则抛物线的标准方程为()A. y2=−4xB. y2=4xC. y2=−8xD. y2=8x6.在空间四边形中，分别为的中点，若则与所成的角为A. B. C. D.7.若平面向量a⃗与b⃗ 的夹角为60°，a⃗=(√3,1)，|b⃗ |=2，则|a⃗−b⃗ |=()A. 2√3B. 2C. 2√5D. 48.用m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，给出下列命题：①若m⊥n，m⊥α，则n//α；②若m//α，α⊥β则m⊥β；③若m⊥β，α⊥β，则m//α；④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β，其中，正确命题是()A. ①②B. ②③C. ③④D. ④9.用斜二测画法得到某三角形的水平放置的直观图是一个等腰直角三角形(如图所示，其中的x轴表示水平方向)，斜边长为2，则原三角形的面积为()A. √2B. 2√2C. 2D. 410.已知点A(x0,y0)(x0≠0)是抛物线C1：y2=2px(p>0)与双曲线C2：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p2，双曲线的离心率等于√5，则p=()A. 92B. 1 C. 34D. 1211.棱长为6的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E是线段C1D1的中点，点F在线段BB1上，BF=4，则正方体ABCD−A1B1C1D1被平面AEF所截得的截面面积为()A. 27√172B. 21√172C. 15√172D. 13√17212.△ABC中，B(−4,0)，C(4,0)，|AB|+|AC|=10，则顶点A的轨迹方程是()A. x225+y29=1(x≠±3) B. x225+y29=1(x≠±5)C. x225+y216=1(x≠±3) D. x225+y216=1(x≠±5)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点，它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B ，始边不动，终边在运动．若α∈[0,2π3]，则弓形AB 的面积S 的最大值为______．14. 过点P(，3)的直线，交圆于A 、B 两点，Q 为圆上任意一点，且Q 到AB 的最大距离为，则直线l 的方程为 。
黑龙江省哈尔滨市第六中学2021届高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
哈尔滨市第六中学2018级高三 上学期期中考试 理科数学 试卷一、单选题（每题5分，共60分） 1．已知集合{}{}22,,60A x x x Z B x x x =≤∈=--<∣，则AB =（ ）A ．{2,1,0,1,2,3}--B ．{2,1,0,1,2}--C ．{1,0,1,2}-D ．{2,1,0,1}--2．复数21iz i=+（i 为虚数单位），则||z 等于（ ） A ．3B ．22C ．2D ．23．下列说法中正确的个数是（ ）（1）命题“所有幂函数αx x f =)(的图象经过点）（1,1”.（2）“在中，若sin sin A B >，则A B >”的逆否命题是真命题.（3）若非零向量满足0>⋅b a ，则a 与b 的夹角为锐角.（4）命题“0x ∀>，020212020>+x ”的否定是“00x ∃≤，020*******≤+x”. （5）命题“R b a ∈,则422≥+b a 是2≥+b a 的充分不必要条件”. A ．2B ．3C ．4D ．54．已知函数)(x f 是定义域为R 的奇函数，当[]1,0∈x 时，3)(x x f =，且)2()(,x f x f R x -=∈∀，则=)5.2021(f （ ） A ．18-B ．18C ．0D ．15．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不重合的平面，给定下列四个命题：①若m n ⊥，n ⊂α，则m α⊥； ②若a α⊥，a β⊂，则a β⊥； ③若m α⊥，n α⊥，则//m n ； ④若m α⊂，n β⊂，//αβ，则//m n . 其中真命题是（ ） A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④6．函数()()22ln 11x f x x +=+的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数()sin 2cos 21f x x x =++，若函数()f x 的图象向左平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的图象的一个对称中心为（ ）A ．,08π⎛⎫⎪⎝⎭ B ．,18π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．,14π⎛⎫⎪⎝⎭8．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都是1，M 是1BB 的中点，则异面直线1AC 与CM 所成角的大小是（ ）A ． 30B ． 45C ． 60D ． 909．已知函数()()223sin cos 2cos 10f x x x x ωωωω=⋅+->的最小正周期为2π，则0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的值域是（ ）A ．[]2,1-B ．[]22-,C ．[]1,1-D ．[]1,2-10．我们把()2210,1,2...nn F n =+=叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家），设()2log 1,1,2,3...n n a F n =-=，n S 表示数列{}n a 的前n 项之和，则使不等式2311223122263 (127)n n n S S S S S S +++++<成立的最大正整数n 的值是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．811．不等式222375x a x ax ->-+对一切()0,1-∈a 恒成立，则实数x 的取值范围是（ ）A ．(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⋃∞,21,-4-B ．(][)+∞-⋃∞,1,-4-C ．()1,4--D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,412．已知关于x 的不等式()x x xexln 11>++λλ在()∞+，0上恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．(),e +∞C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()0,e二、填空题（每题5分，共20分）13．数列{}n a 中，若11=a ，321+=+n n a a ，则=5a14．已知0,0x y >>，,,,x a b y成等差数列，,,,x c d y成等比数列，则2()a b cd+的最小值是15．三棱锥ABC P -中，PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且2===PC PB PA ，则三棱锥ABC P -的外接球的表面积是___________16．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，()()sin sin sin sin a c A C b B a B +-+=，42=+b a ，点D 在边AB 上，且2=，则线段CD 长度的最小值为三、解答题（共70分）17．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若()sin sin cos a c B b C A +-=.（1）求角A ；（2）若ABC ∆的面积为32，4=a ，求ABC ∆的周长.18．在数列{}n a 中，11a =，对*n N ∀∈，1(1)(1)n n na n a n n +-+=+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若21+=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．19．如图，在三棱柱ABC DEF -中，四边形ABED 是菱形，四边形ADFC 是正方形，ACAB ⊥，2AB =，60BAD ∠=︒，点G 为AB的中点.（1）求证：BF ∥平面CDG ； （2）求点F 到平面CDG 的距离.20．如图，在六面体ABCDEF 中，AB //CD ，AB ⊥AD ，且112AB AD CD ===，四边形ADEF 是正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD ． （1）证明：平面BCE ⊥平面BDE ；（2）若BCE ∆中， 30=∠BEC ，求二面角F BE C --的余弦值.21．已知函数()ln f x kx x x =-，k ∈R ．（1）当2k =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当01x <≤时，()f x k ≤恒成立，求k 的取值范围；（3）设n N *∈，求证：ln1ln 2ln (1)2314n n n n -+++≤+．22．已知曲线C 的极坐标方程是6cos 0ρθ-=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 过点()0,2M -，倾斜角为4π.（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求11||||MA MB +的值. 23．设()|2||2|f x x x =-++（1）解不等式()6f x ≥；（2）对任意的实数x ，有2()2f x m m ≥-+恒成立，求实数m 的取值范围.一、单选题1．C 2．D 3．B 4．B 5．B 6．B 7．B 8．D 9．D 10．A 11．A 12．A 二、填空题13．61 14．4 15．π12 16．332 三、解答题17．（1）由正弦定理得：()sin sin sin sin sin cos A C B B C B A +-=，∵sin 0B ≠，∴tan A =，∵A 是ABC ∆的内角，∴60A =.（2）∵ABC ∆的面积为32，∴32sin 21=A bc ，由（1）知 60=A ，∴8=bc ，由余弦定理得：222222cos ab c bc A b c bc=+-=+-()23b c bc=+-，∴()16242=-+c b ，得：102=+c b ，∴ABC ∆的周长为1024+.18．（1）1(1)(1)n n na n a n n +-+=+，∴111n n a a n n +-=+，又111a=， ∴数列{)na n是首项、公差均为1的等差数列．∴()111n a n n n =+-⨯=，所以2n a n =；（2）由（1）得2n a n =，()⎪⎭⎫⎝⎛+-=+==+211212112n n n n a a b n n n ，2332232+++-=n n n S n ． 19．（1）略； （2）由点H 为AF 的中点，且点∉F 平面CDG 可知，点F 到平面CDG 的距离与点A 到平面CDG 的距离相等，由四边形ADFC 是正方形，AC AB ⊥，可得CA 是三棱锥C ADG -的高，由题意得，2,1,3,CA AG DG DG AG ===⊥，所以11313232C ADG V -=⨯⨯⨯⨯=， 在△CDG 中，3,5,DG CG DG CG ==⊥，设点A 到平面CDG 的距离为h ，则11153532A CDG hV h -=⨯⨯⨯⨯=， 由C ADG A CDG V V --=得，3152325,36515h h ===，所以点F 到平面CDG 的距离为255. 20．（1）略；（2）由（1）知ED DA ⊥、ED DC ⊥、DA DC ⊥，以点D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DE为z 轴建立空间直角坐标系，如图. 可得(1,1,0)B 、(0,2,0)C 、(0,0,1)E 、(1,0,1)F ，故(1,1,1)EB =-，(1,0,0)EF =，(0,2,1)EC =-，设(,,)m x y z =为平面BEF 的一个法向量，则0m EB m EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得(0,1,1)m =，同理可得平面BCE 的一个法向量为(1,1,2)n =， 3cos ,=226m n m n m n⋅<>==⨯⋅， 二面角C BE F --的是钝二面角，所以二面角C BE F --的余弦值为32-. 21．（1）当2k =时，()2ln f x x x x=-，'()1ln f x x =-，由'()0f x >，解得0x e <<；由'()0f x <，解得x e >，因此函数()f x 单调递增区间为(0,)e ，单调递减区间为(,)e +∞．（2）()ln f x kx x x =-，故'()1ln f x k x --＝．当1k 时，因为01x <≤，所以10ln k x -≥≥，因此'()0f x ≥恒成立，即()f x 在(]0,1上单调递增，所以()(1)f x f k≤=恒成立． 当1k <时，令'()0f x =，解得1(0,1)k x e -=∈．当1(0,)k x e -∈，'()0f x >，()f x 单调递增；当1(,1)k x e -∈，'()0f x <，()f x 单调递减；于是1(1))(k f e f k -=＞，与()f x k ≤恒成立相矛盾． 综上，k 的取值范围为[1,)+∞．（3）由（2）知，当01x <≤时，ln 1x x x -≤． 令x =21n *()n N ∈，则21n +22n ln 1n ≤，即22ln 1n n -≤因此ln 1n n +≤12n -． 所以ln1ln 2ln 011(1) (2312224)n n n n n --+++≤+++=+. 22．（Ⅰ）6cos 0ρθ-=，∴26cos 0ρρθ-=，∴2260x y x +-= ，∴曲线C 的直角坐标方程为：22(3)9xy -+=，直线l 过点()0,2M -，倾斜角为4π，∴直线l 的参数方程为：2x y⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）. （Ⅱ）把直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得：223)(2)9-+-=， 化简得：240t -+=，∴12t t +=，124t t ⋅=，∴121111||||MA MB t t +=+， 由题意得：点()0,2M -在圆C 的外侧下方，∴10t >，20t >，∴1212121111||||4t t MA MB t t t t ++=+==⋅. 23．（1）()22f x x x =-++，()6()226f x f x x x ∴≥⇒=-++≥令202,202x x x x -=⇒=+=⇒=-当2x -≤时()()2262263x x x x x -++≥⇒---+≥⇒≤-，3x ∴≤- 当2x ≥时()()2262263x x x x x -++≥⇒-++≥⇒≥，3x ∴≥当22x -<<时()()22622646x x x x -++≥⇒--++≥⇒≥，x φ∴∈综上所述33x x ≤-≥或（2）2()2f x m m ≥-+恒成立等价于2min ()2f x m m ≥-+()()()22224f x x x x x =-++≥--+=（当且仅当()()220x x -⋅+≤时取等）222min ()24220f x m m m m m m ∴≥-+⇒≥-+⇒--≤恒成立，12m ∴-≤≤。
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨六中高三(上)期中数学试卷(理科)
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨六中高三（上）期中数学试卷（理科）一、单选题（每题5分，共60分）1．（5分）已知集合A＝{x||x|≤2，x∈Z}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}B．{﹣2，﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0，1}2．（5分）复数（i为虚数单位），则|z|等于（）A．3B．C．2D．3．（5分）下列说法中正确的个数是（）（1）命题“所有幂函数f（x）＝xα的图象经过点（1，1）”．（2）“在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B”的逆否命题是真命题．（3）若非零向量满足，则与的夹角为锐角．（4）命题“∀x＞0，2020x+2021＞0”的否定是“∃x0≤0，”．（5）命题“a，b∈R，则a2+b2≥4是|a|+|b|≥2的充分不必要条件”．A．2B．3C．4D．54．（5分）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x∈[0，f（x）＝x3，且∀x∈R，f（x）＝f（2﹣x），则f（2021.5）＝（）A．B．C．0D．15．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不重合的平面，给定下列四个命题：①若m⊥n，n⊂α，则m⊥α，α⊂β，则α⊥β，n⊥α，则m∥n，n⊂β，α∥β（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④6．（5分）函数f（x）＝的大致图象为（）A．B．C．D．7．（5分）已知函数f（x）＝sin2x+cos2x+1，若函数f（x）个单位长度后得到函数g（x）的图象（x）的图象的一个对称中心为（）A．B．C．D．8．（5分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长都是1，M是BB1的中点，则异面直线AC1与CM所成角的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°9．（5分）已知函数f（x）＝2sinωx•cosωx+2cos2ωx﹣1（ω＞0）的最小正周期为，则当x∈[0，，函数y＝f（x）的值域是（）A．[﹣2，1]B．[﹣2，2]C．[﹣1，1]D．[﹣1，2] 10．（5分）我们把叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）．设a n＝log2（F n﹣1），n＝1，2，3…，S n表示数列{a n}的前n项之和，则使不等式成立的最大正整数n的值是（）A．5B．6C．7D．811．（5分）不等式ax2+5x﹣7a＞3﹣2x2对一切a∈（﹣1，0）恒成立，则实数x的取值范围是（）A．B．（﹣∞，﹣4]∪[﹣1，+∞）C．（﹣4，﹣1）D．12．（5分）已知关于x的不等式在（0，+∞）上恒成立，则实数λ的取值范围为（）A．B．（e，+∞）C．D．（0，e）二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）数列{a n}中，若a1＝1，a n+1＝2a n+3，则a5＝．14．（5分）已知x＞0，y＞0，x、a、b、y成等差数列，则的最小值是．15．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，P A、PB、PC两两互相垂直，且P A＝PB＝PC＝2．16．（5分）在ΔABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，（a+c）（sin A﹣sin C），2a+b ＝4，点D在边AB上，且．三、解答题（共70分）17．（10分）在ΔABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若．（1）求角A；（2）若ΔABC的面积为，a＝4，求ΔABC的周长．18．（10分）在数列{a n}中，a1＝1，对∀n∈N*，na n+1﹣（n+1）a n＝n（n+1）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列{b n}的前n项和S n．19．（10分）同18第1问前如图，在三棱柱ABC﹣DEF中，四边形ABED是菱形，AC⊥AB，AB＝2，点G为AB的中点．（1）求证：BF∥平面CDG；（2）求点F到平面CDG的距离．20．（10分）如图，在六面体ABCDEF中，AB∥CD，且，四边形ADEF是正方形，平面ADEF⊥平面ABCD．（1）证明：平面BCE⊥平面BDE；（2）若△BCE中，∠BEC＝30°，求二面角C﹣BE﹣F的余弦值．21．（10分）已知函数f（x）＝kx﹣xlnx，k∈R．（1）当k＝2时，求函数f（x）的单调区间；（2）当0＜x≤1时，f（x）≤k恒成立，求k的取值范围；（3）设n∈N*，求证：．22．（10分）已知曲线C的极坐标方程是ρ﹣6cosθ＝0，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，直线l过点M（0，﹣2），倾斜角为．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A，B两点，求+的值．23．（10分）设f（x）＝|x﹣2|+|x+2|．（1）解不等式f（x）≥6；（2）对任意的实数x，有f（x）≥m2﹣m+2恒成立，求实数m的取值范围．2020-2021学年黑龙江省哈尔滨六中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、单选题（每题5分，共60分）1．（5分）已知集合A＝{x||x|≤2，x∈Z}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}B．{﹣2，﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0，1}【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{﹣2，﹣1，2，1，B＝{x|﹣2＜x＜5}，∴A∩B＝{﹣1，0，8，2}．故选：C．【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，绝对值不等式和一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）复数（i为虚数单位），则|z|等于（）A．3B．C．2D．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由|z|＝||求解．【解答】解：∵＝，∴|z|＝||＝＝．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．3．（5分）下列说法中正确的个数是（）（1）命题“所有幂函数f（x）＝xα的图象经过点（1，1）”．（2）“在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B”的逆否命题是真命题．（3）若非零向量满足，则与的夹角为锐角．（4）命题“∀x＞0，2020x+2021＞0”的否定是“∃x0≤0，”．（5）命题“a，b∈R，则a2+b2≥4是|a|+|b|≥2的充分不必要条件”．A．2B．3C．4D．5【分析】直接利用幂函数的图象和性质判断（1）的结论，直接利用正弦定理的应用判定（2）的结论，直接利用平面向量的数量积和夹角的应用判定（3）的结论，直接利用命题的否定判定（4）的结论，直接利用基本不等式的应用判定（5）的结论．【解答】解：（1）命题“所有幂函数f（x）＝xα的图象经过点（1，1）”根据幂函数的性质，（1）正确．（2）“在△ABC中，若sin A＞sin B，所以5R•sin A＞2R•sin B，即a＞b，所以该命题为真命题，所以该命题的逆否命题是真命题，故（2）正确；（3）若非零向量满足，当向量方向相同，满足，则与的夹角为锐角，故（3）错误．（4）命题“∀x＞0，2020x+2021＞0”的否定是“∃x3＞0，”故（4）错误．（5）命题“a，b∈R，则当a2+b6≥4时，|a|+|b|≥2，但是当，|a|+|b|≥5成立，a2+b2≥7不一定成立，故命题“a，b∈R2+b2≥2是|a|+|b|≥2的充分不必要条件”．故（5）正确．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：幂函数的图象和性质，正弦定理的应用，平面向量的数量积，命题的否定，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．4．（5分）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x∈[0，f（x）＝x3，且∀x∈R，f（x）＝f（2﹣x），则f（2021.5）＝（）A．B．C．0D．1【分析】根据题意，分析可得f（x+2）＝﹣f（x），进而可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），则函数f（x）是周期为4的周期函数，由此可得f（2021.5）＝f（1.5+2020）＝f（1.5）＝f（2﹣0.5）＝f（0.5），结合函数的解析式分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义域为R的奇函数，又由∀x∈R，f（x）＝f（2﹣x），即f（x+2）＝﹣f（x），变形可得：f（x+8）＝﹣f（x+2）＝f（x），则函数f（x）是周期为4的周期函数，f（2021.8）＝f（1.5+2020）＝f（7.5）＝f（2﹣6.5）＝f（0.6），当x∈[0，1]时5，则f（0.5）＝（）3＝，故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，关键是分析函数的周期性，属于基础题．5．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不重合的平面，给定下列四个命题：①若m⊥n，n⊂α，则m⊥α，α⊂β，则α⊥β，n⊥α，则m∥n，n⊂β，α∥β（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④【分析】①由线面垂直的定义，即可判断；②由面面垂直的判定定理，即可判断；③运用线面垂直的性质定理，即可判断；④由面面平行的性质和定义，即可判断．【解答】解：①若m⊥n，n⊂α，故m⊥α不对，只有m垂直于α内的任一条直线，才有m⊥α，故①错；②若a⊥α，a⊂β，故②对；③若m⊥α，n⊥α，得m∥n；④若m⊂α，n⊂β，则m，则m∥n或m，故④错．故选：B．【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系：平行与垂直，考查线面垂直的性质、面面平行与垂直的性质与判定，是一道基础题．6．（5分）函数f（x）＝的大致图象为（）A．B．C．D．【分析】判断函数的对称性，利用当x→+∞，f（x）＞0，进行判断排除即可．【解答】解：要使函数有意义，则x+1≠0，f（x﹣4）＝是偶函数，则f（x）关于x＝﹣3对称，D，当x→+∞，f（x）＞0，故选：B．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数对称性，函数值的对应性，利用排除法是解决本题的关键．难度不大．7．（5分）已知函数f（x）＝sin2x+cos2x+1，若函数f（x）个单位长度后得到函数g（x）的图象（x）的图象的一个对称中心为（）A．B．C．D．【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：函数f（x）＝sin2x+cos2x+5＝sin（2x+，若函数f（x）的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x）＝）+1的图象，令8x+＝kπ，求得x＝﹣，故函数g（x）的图象的对称中心为（﹣，8）．不妨让k＝1，可得函数g（x）的图象的一个对称中心为（，故选：B．【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．8．（5分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长都是1，M是BB1的中点，则异面直线AC1与CM所成角的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】以A为原点，AC、AA1所在的直线分别为y、z轴，在平面ABC内，作Ax⊥平面ACC1A1，建立空间直角坐标系，写出和的坐标，求出cos＜，＞即可得解．【解答】解：以A为原点，AC1所在的直线分别为y、z轴，在平面ABC内，作Ax⊥平面ACC1A3，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，3），1，0），，），C5（0，1，8），∴＝（0，5，＝（，﹣，），∴cos＜，＞＝，∴异面直线AC1与CM所成角的大小是90°．故选：D．【点评】本题考查异面直线夹角的求法，熟练利用空间向量处理异面直线的夹角的方法是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．9．（5分）已知函数f（x）＝2sinωx•cosωx+2cos2ωx﹣1（ω＞0）的最小正周期为，则当x∈[0，，函数y＝f（x）的值域是（）A．[﹣2，1]B．[﹣2，2]C．[﹣1，1]D．[﹣1，2]【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数y＝f（x）的值域．【解答】解：∵函数f（x）＝2sinωx•cosωx+7cos2ωx﹣1＝sin2ωx+cos2ωx＝2sin（2ωx+，∴＝，∴ω＝2）．当x∈[7，]时∈[，]）∈[﹣，f（x）∈[﹣8．故选：D．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．10．（5分）我们把叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）．设a n＝log2（F n﹣1），n＝1，2，3…，S n表示数列{a n}的前n项之和，则使不等式成立的最大正整数n的值是（）A．5B．6C．7D．8【分析】首先求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用和不等式的应用求出结果．【解答】解：由于，所以a n＝log2（F n﹣1）＝2n，则，所以＝，所以＝+…+＝，则，整理得n+5＜256，即n＜6．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．11．（5分）不等式ax2+5x﹣7a＞3﹣2x2对一切a∈（﹣1，0）恒成立，则实数x的取值范围是（）A．B．（﹣∞，﹣4]∪[﹣1，+∞）C．（﹣4，﹣1）D．【分析】不等式化为a（x2﹣7）+5x+2x2﹣3＞0，由题意可设f（a）＝a（x2﹣7）+5x+2x2﹣3，令，从而求出实数x的取值范围．【解答】解：不等式ax2+5x﹣4a＞3﹣2x5可化为a（x2﹣7）+4x+2x2﹣6＞0，由不等式对一切a∈（﹣1，7）恒成立，可设f（a）＝a（x2﹣7）+6x+2x2﹣3，则，即，解得，所以x≤﹣3或x≥，所以实数x的取值范围是（﹣∞，﹣8]∪[．故选：A．【点评】本题考查了不等式恒成立问题，也考查了转化法与函数思想，是中档题．12．（5分）已知关于x的不等式在（0，+∞）上恒成立，则实数λ的取值范围为（）A．B．（e，+∞）C．D．（0，e）【分析】不等式转化为（eλx+1）λx＞（x+1）lnx＝（e lnx+1）lnx，设f（x）＝（e x+1）x，x＞0，则f（λx）＞f（lnx），利用导数判断函数的单调性，可得λ＞，设g（x）＝，利用导数求出函数的最值即可求出λ的取值范围．【解答】解：关于x的不等式在（6，则（eλx+1）λx＞（x+1）lnx＝（e lnx+3）lnx，设f（x）＝（e x+1）x，x＞0，∴f（λx）＞f（lnx），∵f′（x）＝e x（x+5）+1＞0，∴f（x）在（7，+∞）上单调递增，∴λx＞lnx，∴λ＞，设g（x）＝，x＞0，∴g′（x）＝，令g′（x）＝0，解得x＝e，当0＜x＜e时，g′（x）＞6，当x＞e时，g′（x）＜0，∴g（x）max＝g（e）＝，∴λ＞，故选：A．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查导数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）数列{a n}中，若a1＝1，a n+1＝2a n+3，则a5＝61．【分析】通过n＝1，2，3，4逐步求解即可得到a5的值．【解答】解：数列{a n}中，若a1＝1，a n+8＝2a n+3，n＝4时，a2＝2a7+3＝5，n＝2时，a3＝2a8+3＝13，n＝3时，a8＝2a3+4＝29，n＝4时，a5＝7a4+3＝61．故答案为：61．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列项的求法，可以通过构造新数列求解通项公式求解，由于本题求解第5项，可以逐步求解，是基础题．14．（5分）已知x＞0，y＞0，x、a、b、y成等差数列，则的最小值是4．【分析】由条件x＞0，y＞0已确保了基本不等式运用的前提，根据题目的条件将a、b、c、d转化成关于x、y的表达式＝（x＞0，y＞0）【解答】解：∵x、a、b、y成等差数列，∴a+b＝x+y∵x、c、d、y成等比数列，∴cd＝xy则＝（x＞0，故答案为4．【点评】本题考查了函数的最值问题，利用基本不等式是我们常用的方法．15．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，P A、PB、PC两两互相垂直，且P A＝PB＝PC＝212π．【分析】以P A、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．算出长方体的对角线即为球直径，结合球的表面积公式，可算出三棱锥P﹣ABC外接球的表面积．【解答】解：以P A、PB，作长方体如图则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．∵长方体的对角线长为2，∴球直径为4，半径R＝，因此，三棱锥P﹣ABC外接球的表面积是6πR2＝4π×（）2＝12π故答案为：12π．【点评】本题给出三棱锥的三条侧棱两两垂直，求它的外接球的表面积，着重考查了长方体对角线公式和球的表面积计算等知识，属于基础题．16．（5分）在ΔABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，（a+c）（sin A﹣sin C），2a+b ＝4，点D在边AB上，且．【分析】由已知结合正弦定理及余弦定理可求C，然后结合向量数量积的性质及基本不等式即可求解．【解答】解：由（a+c）（sin A﹣sin B）+b sin B＝a sin B及正弦定理，得（a+c）（a﹣c）+b2＝ab，∴a2+b5﹣c2＝ab，由余弦定理得，cos C＝＝，∵C∈（0，π），∴C＝．由于，∴＝，∴﹣＝（﹣），∴＝+，两边平方得2＝b2+a2+ab＝4﹣ab≥2﹣（）2，当且仅当b＝2a＝2时取等号，即2≥（b+3a）2＝，∴线段CD长度的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理及余弦定理在求解三角形中的应用，还考查了利用基本不等式求解最值，属于中档试题．三、解答题（共70分）17．（10分）在ΔABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若．（1）求角A；（2）若ΔABC的面积为，a＝4，求ΔABC的周长．【分析】（1）利用正弦定理将已知等式中的边化角，可得tan A的值，从而得解；（2）由S＝bc sin A，可得bc的值，再结合余弦定理求出b+c的值，从而得解．【解答】解：（1）由正弦定理，知＝＝，∵，∴，化简得，sin A sin B＝，∵sin B≠0，∴，∵A是ΔABC的内角，∴A＝60°．（2）∵ΔABC的面积为，∴，由（1）知A＝60°，∴bc＝7，由余弦定理得，a2＝b2+c5﹣2bc cos A＝b2+c4﹣bc＝（b+c）2﹣3bc，∴（b+c）3﹣24＝16，即，∴ΔABC的周长为．【点评】本题考查解三角形中正弦定理、余弦定理的综合应用，还涉及边化角的思想，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18．（10分）在数列{a n}中，a1＝1，对∀n∈N*，na n+1﹣（n+1）a n＝n（n+1）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）直接利用数列的递推关系式和关系式的变换的应用求出数列的通行公式．（2）利用（1）的通项公式，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用求出数列的和．【解答】解：（1）数列{a n}中，a1＝1，对∀n∈N*n+2﹣（n+1）a n＝n（n+1）．∴，又，∴数列是首项．∴，所以；（2）由（1）得，，所以＝．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19．（10分）同18第1问前如图，在三棱柱ABC﹣DEF中，四边形ABED是菱形，AC⊥AB，AB＝2，点G为AB的中点．（1）求证：BF∥平面CDG；（2）求点F到平面CDG的距离．【分析】（1）连接AF，与CD交于点H，连接GH，则BF∥GH，由此能证明BF∥平面CDG．（2）推导出点F到平面CDG的距离与点A到平面CDG的距离相等，设点A到平面CDG的距离为h，由V C﹣ADG＝V A﹣CDG，能求出点F到平面CDG的距离．【解答】证明：（1）连接AF，与CD交于点H，则GH为△ABF的中位线，∴BF∥GH，又BF⊄平面CDG，GH⊂平面CDG，∴BF∥平面CDG．（5分）解：（2）∵点H为AF的中点，且点∉平面CDG，∴点F到平面CDG的距离与点A到平面CDG的距离相等，由四边形ADFC是正方形，AC⊥AB，由题意得，CA＝2，DG＝，∴＝，在△CDG中，DG＝，DG⊥CG，设点A到平面CDG的距离为h，则V A﹣CDG＝＝，由V C﹣ADG＝V A﹣CDG，得＝，解得h＝＝，∴点F到平面CDG的距离为．（12分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．（10分）如图，在六面体ABCDEF中，AB∥CD，且，四边形ADEF是正方形，平面ADEF⊥平面ABCD．（1）证明：平面BCE⊥平面BDE；（2）若△BCE中，∠BEC＝30°，求二面角C﹣BE﹣F的余弦值．【分析】（1）由勾股定理的逆定理可证得BD⊥BC，由平面ADEF⊥平面ABCD，DE⊥AD，可推出DE⊥平面ABCD，故DE⊥BC，从而得BC⊥平面BDE，故得证；（2）以点D为原点，DA、DC、DE所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，根据法向量的性质分别求得平面BEF和平面BCE的法向量与，再由cos＜，＞＝，得解．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，AB⊥AD，且，∴BD＝，BC＝，∴BD6+BC2＝CD2，即BD⊥BC，∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，∴DE⊥平面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，∴DE⊥BC，又BD∩DE＝D，BD，∴BC⊥平面BDE，∵BC⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面BDE．（2）解：由（1）知，DE⊥平面ABCD，故以点D为原点，DA、DE所在的直线分别为x、y，则B（3，1，0），7，0），0，4），0，1），∴，，，设平面BEF的法向量为，则，即，令y＝1，则x＝0，∴＝（7，1，同理可得，平面BCE的法向量为，∴，由图可知，二面角C﹣BE﹣F是钝二面角，故二面角C﹣BE﹣F的余弦值为．【点评】本题考查空间中线与面的垂直关系、二面角的求法，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理与性质定理，以及利用空间向量处理二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．21．（10分）已知函数f（x）＝kx﹣xlnx，k∈R．（1）当k＝2时，求函数f（x）的单调区间；（2）当0＜x≤1时，f（x）≤k恒成立，求k的取值范围；（3）设n∈N*，求证：．【分析】（1）代入k＝2，求出f’（x），再令f’（x）＞0求出其单调递增区间，令f’（x）＜0求出其单调递减区间；（2）求出f’（x），再分类讨论k的取值，验证其正确性，进而求出k的取值范围；（3）利用（2）中得出的结论，取k＝1，得到不等式x﹣xlnx≤1，再令，对不等式变形得到≤，进而证明原不等式．【解答】解：（1）当k＝2时，f（x）＝2x﹣xlnx，由f’（x）＞5；由f’（x）＜0，因此函数f（x）单调递增区间为（0，e），+∞）．（2）f（x）＝kx﹣xlnx，故f’（x）＝k﹣4﹣lnx，当k≥1时，因为0＜x≤6，因此f’（x）≥0恒成立，1]上单调递增，当k＜7时，令f’（x）＝0k﹣1∈（3，1），当x∈（0，e k﹣8），f’（x）＞0；当x∈（e k﹣1，4），f’（x）＜0，于是f（e k﹣1）＞f（1）＝k，与f（x）≤k恒成立相矛盾，综上，k的取值范围为[3．证明：（3）由（2）知，当0＜x≤1时．令x＝，则，即2lnn≤n2﹣5，因此，所以．【点评】本题主要考查函数的单调性与最值，以及不等式的证明相关问题，考查运算求解能力，属于中等题型．22．（10分）已知曲线C的极坐标方程是ρ﹣6cosθ＝0，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，直线l过点M（0，﹣2），倾斜角为．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A，B两点，求+的值．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程是ρ﹣6cosθ＝0，整理得：ρ6＝6ρcosθ，根据，转换为直角坐标方程为x2+y4＝6x，整理得（x﹣3）4+y2＝9．直线l过点M（5，﹣2）．转换为参数方程为，（Ⅱ）把直线的参数方程代入（x﹣3）2+y5＝9，得到（t1和t2为A、B对应的参数），所以，t1t2＝7，所以．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23．（10分）设f（x）＝|x﹣2|+|x+2|．（1）解不等式f（x）≥6；（2）对任意的实数x，有f（x）≥m2﹣m+2恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）不等式f（x）≥6等价于|x﹣2|+|x+2|≥6，利用分类讨论法求出不等式的解集；（2）f（x）≥m2﹣m+2恒成立等价于；求出f（x）的最小值，解关于m的不等式即可．【解答】解：（1）由f（x）＝|x﹣2|+|x+2|，所以不等式f（x）≥6等价于|x﹣2|+|x+2|≥7，令x﹣2＝0，解得x＝7，解得x＝﹣2；当x≤﹣2时，不等式f（x）≥5化为﹣（x﹣2）﹣（x+2）≥8，所以x≤﹣3；当x≥2时，不等式f（x）≥6化为（x﹣2）+（x+2）≥3，所以x≥3；当﹣2＜x＜2时，不等式f（x）≥6化为﹣（x﹣2）+（x+3）≥6，所以x∈∅；综上所述，不等式f（x）≥6的解集为{x|x≤﹣3或x≥3}．（2）f（x）≥m2﹣m+5恒成立等价于；由f（x）＝|x﹣3|+|x+2|≥|（x﹣2）﹣（x+5）|＝4，当且仅当（x﹣2）•（x+4）≤0时取等号；所以f（x）min≥m2﹣m+7，等价于4≥m2﹣m+8，即m2﹣m﹣2≤4，解得﹣1≤m≤2；所以实数m的取值范围是[﹣8，2]．【点评】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题．第21页（共21页）。
2021黑龙江高考数学试卷
2021黑龙江高考数学试卷篇一：2021届黑龙江省哈尔滨六中高三(上)10月月考数学试卷(理科)解析版2021-2021学年黑龙江省哈尔滨六中高三（上）10月月考数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）哈尔滨市第六中学2021届高三10月月考数学试卷（理工类）1．（5分）（2021?浙江模拟）设集合，，则m∩n=（）a．（1，+∞）b．[1，2）c．（1，2）d．[1，2]22．（5分后）（2021?上饶校级一模）未知i为虚数单位，a∈r，若a1+（a+1）i为氢铵虚数，则复数z=a+（a2）i在为丛藓科扭口藓平面内对应的点坐落于（）a．第一象限b．第二象限c．第三象限d．第四象限3．（5分后）（2021?郴州演示）未知a＞1，，则f（x）＜1成立的一个充分不必要条件就是（）a．0＜x＜1b．1＜x＜0c．2＜x＜0d．2＜x＜14．（5分）（2021?南昌校级二模）已知函数，为了得到函数g（x）=sin2x+cos2x的图象，只需要将y=f（x）的图象（）a．向右平移c．向右平移个单位长度个单位长度b．向左平移d．向左平移个单位长度个单位长度5．（5分）（2021秋?哈尔滨校级月考）已知函数＞4a，则实数a的取值范围是（）a．（∞，1）b．（∞，0）c．d．（1，+∞），若f（f（1））6．（5分后）（2021秋?哈尔滨校级月托福）未知α就是△abc的一个内角，且则sin2α+cosα的值（）a．b．c．d．或2，7．（5分）（2021秋?正定县校级期末）定义在r上的函数f（x）满足：f（x）=f （x），f（x+1）=，当x∈（1，0）时，f（x）=21，则f（log220）=（）d．xa．b．c．8．（5分后）（2021春?哈尔滨校级期中）数列{an}就是等比数列，若a2=1，a5=，设立sn=a1a2+a2a3+…+anan+1，若3sn≤m+2m对任意n∈n恒成立，则m的取值范围为（）a．4≤m≤2b．m≤4或m≥2c．2≤m≤4d．m≤2或m≥42*9．（5分后）（2021?内黄县校级一模）未知a，b，c分别为△abc内角a，b，c的对边，且a，b，c成等比数列，且b=a．b．c．，则d．+=（）10．（5分后）（2021春?哈尔滨校级期中）平行四边形abcd中，ad=1，∠bad=60°，e为cd中点．若a．1b．=1，则|ab|=（）c．d．11．（5分后）（2021?锦州一模）未知f（x），g（x）都就是定义在r上的函数，g （x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）=a?g（x）（a＞0，且a≠1），若数列的前n项和大于62，则n的最小值为（）x，a．6b．7c．8d．912．（5分后）（2021?绍兴校级演示）定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足用户以下两个条件：（1）对任一的x∈（1，+∞）恒存有f（2x）=2f（x）设立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2x；记函数g（x）=f（x）k（x1），若函数g（x）恰存有两个零点，则实数k的值域范围就是（）a．[1，2）b．c．d．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分后）（2021春?日照校级期末）若||=5，||=3，|||=7，则、的夹角为______．14．（5分后）（2021春?文峰区校级期末）未知数列{an}中，a3=2，a7=1，且数列{高数列，则a5=______．15．（5分）（2021?辽宁校级模拟）已知就是以o为直角顶点的全等直角三角形，则△oab的面积就是______．16．（5分后）（2021?甘肃二模）未知函数f（x）=个相同的求解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x3（1x+x2）+的取值范围是______．，若方程f（x）=a存有四=，若△oab}为等三、答疑题：（本大题共70分后，求解应允写下必要的文字说明，证明过程或编程语言步骤）17．（10分后）（2021?河南演示）在直角坐标系xoy中，圆c的参数方程为参数），以o为极点，x轴的非负半轴为极轴创建极坐标系．（1）谋圆c的极坐标方程；（φ（2）直线l的极坐标方程就是2ρsin（θ+）=3，射线om：θ=与圆c的交点为o、p，与直线l的交点为q，求线段pq的长．18．（12分）（2021?黄浦区二模）在△abc 中，记∠bac=x（角的单位是弧度制），△abc的面积为s，且=8，4≤s≤4．（1）求x的取值范围；（2）根据（1）中x的值域范围，求函数f（x）=2sin（x+2）+2cosx2的最大值和最小值．19．（12分后）（2021?衡阳三模）在△abc中，角a、b、c面元的边为a、b、c，且满足用户cos2acos2b=（1）求角b的值；（2）若且b≤a，谋的取值范围．20．（12分后）（2021?成都校级演示）未知数列{an}中，a1=1，当n≥2时，其前n 项和sn八十2肢snansn+2an=0．（1）谋an．（2）若bn=2n1，记{}前n项和为tn，求证：tn＜3．21．（12分后）（2021秋?哈尔滨校级月托福）数列{an}的前n项和为sn，且满足用户s1=2，sn+1=3sn+2．（1）谋数列{an}的通项公式an；（2）设立，求证：b1+b2+…+bn＜1．222．（12分）（2021?哈尔滨校级四模）设函数f（x）=x+bln（x+1），其中b≠0．（ⅰ）当b=时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；（ⅱ）当b＜时，求函数f （x）的极值点（ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式都设立．2021-2021学年黑龙江省哈尔滨六中高三（上）10月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分后，在每小题得出的四个选项中，只有一项就是合乎题目建议的）哈尔滨市第六中学2021届高三10月月托福数学试卷（理工类）1．（5分后）（2021?浙江演示）设立子集a．（1，+∞）b．[1，2）c．（1，2），d．[1，2]，，则m∩n=（）【分析】由题意，可以先化简两个子集，得，再由交集的运算求出交集，即可选出正确答案．【答疑】求解：由题意，，∴m∩n={x|1≤x＜2}∩{x|x＞1}=（1，2），故选c．【评测】本题考查谋子集的交，求解分式不等式，指数不等式，解题的关键就是恰当化简两个子集及认知缴的运算．2．（5分）（2021?上饶校级一模）已知i为虚数单位，a∈r，若a1+（a+1）i为纯虚数，则复数z=a+（a2）i在复平面内对应的点位于（）a．第一象限b．第二象限c．第三象限d．第四象限【分析】由复数为氢铵虚数求出a，进一步算出z的座标得答案．【答疑】求解：由a1+（a+1）i为氢铵虚数，得22，解得a=1．∴z=a+（a2）i=1i．则复数z=a+（a2）i在复平面内对应的点的坐标为（1，1），位于第四象限．故选：d．【评测】本题考查了复数的等式表示法及其几何意义，就是基础题．3．（5分）（2021?郴州模拟）已知a＞1，，则f（x）＜1设立的一个充份不必要条件是（）a．0＜x＜1b．1＜x＜0c．2＜x＜0d．2＜x＜1【分析】求出不等式的解集即不等式成立的充要条件；据当集合a?集合b且b?a时，a是b的充分不必要条件．【答疑】求解：f（x）＜1设立的充要条件就是∵a＞1∴x+2x＜0∴2＜x＜0∴f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是1＜x＜0故选项为b【评测】本题考查不等式的边值问题就是不等式的充要条件；据子集之间的关系推论条件关系．4．（5分）（2021?南昌校级二模）已知函数=sin2x+cos2x的图象，只须要将y=f（x）的图象（）a．向右位移c．向右位移个单位长度个单位长度b．向左位移d．向左位移个单位长度个单位长度，为了获得函数g（x）2【分析】利用二倍角公式、两角和高的正弦公式化珍函数f（x）和g（x）的解析式，再根据函数y=asin（ωx+?）的图象转换规律，得出结论．【答疑】求解：由于函数=sin2x，函数g（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）=sin2（x+），个单位长度，即可获得g（x）的图象，故将y=f（x）的图象向左平移故挑选d．【点评】本题主要考查函数y=asin（ωx+?）的图象变换规律，以及二倍角公式、两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．5．（5分后）（2021秋?哈尔滨校级月托福）未知函数＞4a，则实数a的值域范围就是（）a．（∞，1）b．（∞，0）c．d．（1，+∞），若f（f（1））【分析】根据分段函数值的求法，先求出f（1）=3，再求f（3）=1+3a，得到关于a的不等式解得即可．1【解答】解：f（1）=2+1=3，f（3）=log33+3a=1+3a，∴f（f（1））=1+3a，∴1+3a＞4a，解得a＜1，故选：a．【评测】本题考查了分段函数的函数值的带发修行，和不等式的数学分析，属基础题．6．（5分）（2021秋?哈尔滨校级月考）已知α是△abc的一个内角，且则sin2α+cosα的值为（）2，篇二：2021年黑龙江中考演示(二)数学试卷（二）一．选择题（共12小题）1．在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析，在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是（）a．总体b．个体c．样本的容量d．从总体中提取的一个样本2．“λ＜1”是“数列an=n2λn（n∈n）为递增数列”的（）a．充份不必要条件b．必要不充分条件c．充要条件d．既不充分也不必要条件3．为了研究某药品的疗效，挑选出若干名志愿者展开临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kpa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．例如图就是根据试验数据做成的频率分布直方图．未知第一组与第二组共计20人，第三组中没疗效的存有6人，则第三组中存有疗效的人数为（）2*a．6b．8c．12d．184．正六棱柱abcdefa1b1c1d1e1f1的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱侧面对角线e1d与bc1所成的角是（）a．90°b．60°c．45°d．30°5．王明早晨在6：30～7：00之间离开家去上学，送奶员在早上6：45～7：15之把牛奶送到王明家，则王明离开家之前能取到牛奶的概率为（）a．b．c．d．6．如图是“二分法”解方程的流程图．在①～④处应填写的内容分别就是（）a．f（a）f（m）＜0；a=m；是；否b．f（b）f（m）＜0；b=m；就是；否c．f（b）f（m）＜0；m=b；是；否d．f（b）f（m）＜0；b=m；否；就是7．已知向量=（0，1，1），（4，1，0），|λ+|=且λ＞0，则λ=（）a．2b．2c．3d．38在区间[1，5]和[2，4]分别挑一个数，记作a，b，则方程则表示焦点在x轴上且距心率大于的椭圆的概率为（）a．b．c．d．9．例如图，在长方体abcda1b1c1d1中，ab=bc=2，aa1=1，则bc1与平面bb1d1d所成角的正弦值（）a．b．c．d．10．未知中心在原点的椭圆与双曲线存有公共焦点，且左右汪点分别为f1f2，且两条曲线在第一象限的交点为p，△pf1f2就是以pf1为底边的等腰三角形．若|pf1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1?e2的取值范围是（）a．（0，）b．d．=+λc．11．未知o就是平面上一定点，apbpc就是平面上不共线的三个点，动点p满足用户（+）λ∈[0，+∞），则点p的轨迹一定通过△abc的（）a．外心b．内心c．战略重点d．正三角形12．已知a，b是抛物线y=4x上异于顶点o的两个点，直线oa与直线ob的斜率之积为22定值4，△aof，△bof的面积为s1，s2，则s1+s2的最小值为（）a．8b．6c．4d．2二．填空题（共4小题）2213．椭圆5xky=5的一个焦点是（0，2），那么k=．14．设立，，就是单位向量，且15．存在两条直线x=±m与双曲线，则向量，的夹角等于．=1（a＞0，b＞0）相交于四点a，b，c，d，且216．例如图，在正三角形abc中，d，e，f分别为各边的中点，g，h分别为de，af 的中点，将△abc沿de，ef，df卷成正四面体pdef，则四面体中异面直线pg与dh阿芒塔的角的余弦值．三．解答题（共6小题）17．未知两个命题r：sinx+cosx＞m，s：x+mx+1＞0．如果任一的x∈r，r与s存有且仅有一个就是真命题，谋实数m的值域范围．18．过抛物线顶点任做互相垂直的两弦，交此抛物线于两点，求证此两点联线的中点的轨迹仍为一抛物线．19.例如图，在四棱柱abcda1b1c1d1中，两端棱aa1⊥底面abcd，ab∥dc，aa1=1，ab=3k，ad=4k，bc=5k，dc=6k（k＞0）．（ⅰ）求证：cd⊥平面add1a1；（ⅱ）若直线aa1与平面ab1c所成角的正弦值，谋k的值．20．某校随机提取某次高三数学模拟考试甲、乙两班各10名同学的客观题成绩（满分60分后），统计数据后赢得成绩数据的茎叶图（以十位数字为茎，个位数字为叶），如图所示：（ⅰ）分别排序两组数据的平均数，并比较哪个班级的客观题平均值成绩更好；（ⅱ）从这两组数据中分别抽取一个数据，求其中至少有一个是满分（60分）的概率；（ⅲ）规定：客观题成绩不低于55分为“优秀客观卷”，从甲班的十个数据中任意抽取两个，21．例如图，四边形abcd就是边长为2的正方形，de⊥平面abcd，af∥de，de=2af，be与平面abcd所成角的正弦值．2（ⅰ）求证：直线ac∥平面efb；（ⅱ）谋直线ac与平面abe所成角的正弦值．22.已知椭圆c：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线xy+2=0相切．（ⅰ）谋椭圆c的方程；（ⅱ）设a（4，0），过点r（3，0）作与x轴不重合的直线l交椭圆于p，q两点，连结ap，aq分别交直线x=于m，n两点，试探究直线mr、nr的斜率之积是否为定值，若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由．参考答案（二）1.a2.a3.c4.b5.a6.b7.d8．【答疑】求解：∵，∴a＞b＞0，a＜2b它对应的平面区域例如图中阴影部分右图：则方程的概率为p==，故选b．表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆表示焦点在x轴上且离心率小于9．d．10．【解答】解：设椭圆与双曲线的半焦距为c，pf1=r1，pf2=r2．由题意知r1=10，r2=2c，且r1＞r2，2r2＞r1，∴2c＜10，2c+2c＞10，?＜c＜5．?∴∴=；，故挑选c．=．，11．【解答】解：∵∴而λ=+（+λ=2+（）则表示与+）=设立它们等同于t，共线的向量而点d是bc的中点，所以即p的轨迹一定通过三角形的重心．故选c12．【答疑】求解：设a（x1，y1），b（x2，y2），则∵直线oa与直线ob的斜率之积为定值4，∴∴y1y2=4，∵△aof，△bof的面积为s1，s2，∴s1+s2=（y1+y2）≥?2|y1y2|=2，当且仅当|y1|=|y2|时取等号，故选：d．二．选择题（共4小题）2222=4，篇三：2021届黑龙江省大庆市高三第一次模拟考试数学(理科)(解析版)黑龙江省大庆市2021年高考数学一模试卷（理科）（解析版）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分后，满分60分后）1．已知集合a={x|x2＜0}，b={x|x＜a}，若a∩b=a，则实数a的取值范围是（）a．（∞，2]b．[2，+∞）c．（∞，2]d．[2，+∞）【分析】化简a，再根据a∩b=a，求出实数a的值域范围．【解答】解：∵集合a={x|x2＜0}={x|x＜2}，b={x|x＜a}，a∩b=a，∴a≥2，故选：d．【评测】本题主要考查两个子集的关连的定义和带发修行，属基础题．2．若复数x满足x+i=a．b．10c．4d．，则复数x的有理函数（）【分析】利用复数代数形式的乘除运算求得复数x，再求其模即可．【答疑】求解：x+i=∴x=∴|x|=，，i=13i，故选：a．【评测】本题考查复数代数形式的秦九韶运算，属基础题．3．下列函数中，在（0，+∞）上单调递减，并且是偶函数的是（）a．y=x2b．y=x3c．y=ln|x|d．y=2x【分析】本题根据函数奇偶性定义，判断函数的是否为偶函数，再根据函数单调性判断函数是否为减函数，得到本题结论．【答疑】求解：选项a，y=x2是偶函数，当x＞0时，y=x在在（0，+∞）上单调递减，相左题意；选项b，y=x3，就是奇函数，相左题意；选项c，y=ln|x|就是偶函数，当x＞0时，y=lnx在在（0，+∞）上单调递减，符合题意；选项d，y=2x，不是偶函数，递增，不合题意．故挑选：c．【点评】本题考查了奇偶性与单调性，本题难度不大，属于基础题．4．双曲线的一个顶点为（2，0），一条渐近线方程为y=a．=1b．=1c．=1d．x，则该双曲线的方程是（）=1【分析】根据双曲线的一条渐近线方程为y=x，且一个顶点的座标就是（2，0），可以确认双曲线的焦点在x轴上，从而可以谋双曲线的标准方程．【解答】解：∵双曲线的一个顶点为（2，0），∴其焦点在x轴，且虚半轴的长a=2，∵双曲线的一条渐近线方程为y=∴双曲线的方程就是故选：d．【评测】本题考查双曲线的直观性质，推论焦点边线与实半轴的短就是关键，属中档题．5．下列说法中不正确的个数是（）①命题“?x∈r，x3x2+1≤0”的驳斥就是“?x0∈r，x03x02+1＞0”；②若“p∧q”为假命题，则p、q均为假命题；③“三个数a，b，c成等比数列”就是“b=a．ob．1c．2d．3”的既不充份也不必要条件．=1．x，∴b=2，【分析】①根据含有量词的命题的否定判断．②根据复合命题与简单命题之间的关系判断．③根据充分条件和必要条件的定义判断．【答疑】求解：①全称命题的驳斥就是特称命题，∴命题“?x∈r，x3x2+1≤0”的驳斥就是“?x0∈r，x03x02+1＞0”恰当．②若“p∧q”为假命题，则p、q至少有一个为假命题；故错误．③“三个数a，b，c成等比数列”则b2=ac，∴b=若a=b=c=0，满足b=，，但三个数a，b，c成等比数列不成立，”的既不充份也不必要条件，恰当．∴“三个数a，b，c成等比数列”就是“b=故不正确的是②．故挑选：b．【点评】本题主要考查命题的真假判断，解决的关键是对于命题的否定以及真值的判定的运用，属于基础题6．未知直线l⊥平面α，直线m?平面β，得出以下命题①α∥β=l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β．其中正确命题的序号是（）a．①②③b．②③④c．①③d．②④【分析】由两平行平面中的一个和直线垂直，另一个也和平面垂直得直线l⊥平面β，再利用面面垂直的判定可得①为真命题；当直线与平面都和同一平面横向时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，故②为假命题；由两平行线中的一条和平面垂直，另一条也和平面垂直得直线m⊥平面α，再利用面面垂直的判定可得③为真命题；当直线与平面都和同一平面横向时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，如果直线m在平面α内，则存有α和β平行于m，故④为假命题．l⊥平面α且α∥β可以得到直线l⊥平面β，【解答】解：又由直线m?平面β，所以有l⊥m；即为①为真命题；因为直线l⊥平面α且α⊥β可得直线l平行与平面β或在平面β内，又由直线m?平面β，所以l与m，可以平行，相交，异面；故②为假命题；因为直线l⊥平面α且l∥m只须直线m⊥平面α，又由直线m?平面β可以得α⊥β；即为③为真命题；由直线l⊥平面α以及l⊥m可得直线m平行与平面α或在平面α内，又由直线m?平面β得α与β可以平行也可以相交，即④为假命题．所以真命题为①③．故选c．【评测】本题就是对空间中直线和平面以及直线和直线边线关系的综合考查．重点考查课本上的公理，定理以及推断，所以一定必须对课本科学知识掌控娴熟，对公理，定理以及推断认知细致，并会用．7．b]上的连续函数y=fb]，=记定义在区间[a，（x），如果存在x0∈[a，使得f（x0）设立，则表示x0为函数f（x）在[a，b]上的“平均值点”，那么函数f（x）=x3+2x在[1，1]上“平均值点”的个数为（）a．1b．2c．3d．4【分析】由崭新定义排序的定分数可以将问题转变为g（x）=x3+2x在x∈[1，1]上的零点个数，由零点认定定理和函数单调性可以得．【解答】解：由题意可得（x3+2x）dx=（x4+x2）=，∴函数f（x）=x3+2x在[1，1]上“平均值点”的个数为方程x3+2x=在[1，1]上根的个数，构造函数g（x）=x3+2x，则问题转化为g（x）在x∈[1，1]上的零点个数，求导数可得g′（x）=3x2+2＞0，故函数g（x）在x∈[1，1]上单调递增，由g（1）g（1）＜0，故函数g（x）在x∈[1，1]上存有唯一一个零点．故选：a．【评测】本题考查的定分数的运算，牵涉转变和数形融合的思想，属于中档题．8．（5分）（2021呼伦贝尔一模）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形．若该几何体的体积为v，并且可以用n个这样的几何体拼成一个棱长为4的正方体，则v，n的值是（）a．v=32，n=2b．c．d．v=16，n=4【分析】由三视图可知，几何体为底面是正方形的四棱锥，再根据公式求解即可．【答疑】求解：由三视图所述，几何体为底面就是正方形的四棱锥，所以v=，边长为4的正方体v=64，所以n=3．故选b【评测】本题考查学生的空间想象能力，就是基础题．9．（5分）（2021漳州一模）已知曲线f（x）=sin（wx）+相连的对称轴之间的距离为x0=（）a．b．c．d．]内的x0的值．cos（wx）（w＞0）的两条]，则，且曲线关于点（x0，0）成中心对称，若x0∈[0，【分析】利用两角和的正弦公式化简f（x），然后由f（x0）=0求得[0，【答疑】求解：∵曲线f（x）=sin（wx）+轴之间的距离为∴∴w=2∴f（x）=2sin（2x+）．=π，，cos（wx）=2sin（wx+）的两条相连的等距∵f（x）的图象关于点（x0，0）成中心对称，∴f（x0）=0，即2sin（2x0+）=0，。
哈尔滨六中届高三数学(理)期中试题及答案.doc
哈尔滨市第六中学201X 届高三上学期期中考试理科数学试卷考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色的签字笔书写, 字迹清楚； （3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．若复数z 满足)1(21i z i +-=⋅，则z 的共轭复数的虚部是（ ） .A i 21- .B i 21 .C 21- .D 212．已知全集为R ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+=021|x x x M ，{}1)2(ln |1<=-x x N ，则集合=)(N C M R （ ） .A []1,1- .B [)1,1- .C []2,1 .D [)2,13．若幂函数222)33(--⋅+-=m mx m m y 的图象不过原点，则m 的取值是（ ）.A 21≤≤-m .B 21==m m 或 .C 2=m .D 1=m4．设R y x ∈,，则"22"≥≥y x 且是"4"22≥+y x 的（ ）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分又不必要条件 5．已知向量)2,1(=，)1,3(21=-，)3,(x =，若()//2+，则=x （ ）.A 2- .B 4- .C 3- .D 1-6．已知数列{}n a 满足)(log log 1*133N n a a n n ∈=++，9642=++a a a ，则=++)(log 97531a a a （ ）.A 51- .B 51.C 5- .D 57．已知),(y x P 为区域⎩⎨⎧≤≤≤-a x x y 0022内的任意一点，当该区域的面积为4时，y x z -=2的最大值是（ ）.A 6 .B 0 .C 2 .D 228．设⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πα，⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πβ，ββαcos sin 1tan +=，则（ ） .A 23πβα=- .B 22πβα=- .C 23πβα=+ .D 22πβα=+9．数列{}n a 满足11=a ，对任意的*N n ∈都有n a a a n n ++=+11，则=+++201621111a a a ( ) .A 20152016 .B 40322017 .C 40342017 .D 2016201710．一个四棱锥的三视图如图所示，则这个四棱锥的表面积是（ ）.A 25329++ .B 2329+.C 2529+ .D 2511+ 11．在直三棱柱111C B A ABC -中，若AC BC ⊥，3π=∠A ，4=AC ，41=AA ，M 为1AA 的中点，P 为BM的中点，Q 在线段1CA 上，QC Q A 31=.则异面直线PQ 与AC 所成角的正弦值为（ ）.A 13 .B 13.C 13 .D 1312．对于任意实数b a ,，定义{},min ,,a a ba b b b a≤⎧=⎨<⎩，定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()4(x f x f =+，且当20≤≤x 时，{}x x f x --=2,12m in )(，若方程0)(=-mx x f 恰有两个根，则m 的取值范围是（ ）.A {}⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛---2ln ,3131,2ln 1,1 .B ⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡--1,3131,1.C {}⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛---2ln ,2121,2ln 1,1 .D ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,3131,21第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案写在答题卡上相应的位置 13．32 0|1|_______x dx -=⎰14．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若22241c b a +=，则=cB a cos _______________ 15．已知R y x ∈,，满足64222=++y xy x ，则224y x z +=的取值范围________16．已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3，2AB =，60,1=∠=BAC AC ，则此球的表面积等于_______________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题满分10分）极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C 的极坐标方程为)sin (cos 2θθρ+=. （1）求C 的直角坐标方程；A（2）直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x l 23121:（t 为参数）与曲线C 交于B A ,两点，与y 轴交于E ，求EB EA +． 18.（本小题满分12分）在△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin sin tan cos cos A BC A B+=+,sin()cos B A C -=．（1）求,A C ；（2）若3ABC S ∆=,求,a c ． 19.（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：)1(2-=n n a S ，数列}{n b 满足：对任意*∈N n 有22)1(12211+⋅-=++++n n n n b a b a b a（1）求数列}{n a 与数列}{n b 的通项公式； （2）记nnn a b c =，数列}{n c 的前n 项和为n T ，证明：当6≥n 时， 12<-n T n 20.（本小题满分12分）如图，PCBM 是直角梯形，90PCB ∠=︒，//PM BC ，1,2PM BC ==， 又1,AC =120ACB ∠=︒，AB PC ⊥，直线AM 与直线PC 所成的角为60︒ （1）求证：平面PAC ⊥平面ABC ； （2）求三棱锥P MAC -的体积．21.（本小题满分12分）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前五项和520S =，且137,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n T 为数列11{}n n a a +的前n 项和，若存在*n N ∈，使得10n n T a λ+-≥成立． 求实数λ的取值范围．22.（本小题满分12分）已知函数1()(2)ln 2 f x a x ax x=-++． (Ⅰ)当2a =时，求函数()f x 的极值； (Ⅱ)当0<a 时，讨论)(x f 的单调性；(Ⅲ)若对任意的[]12(3,2),,1,3a x x ∈--∈恒有12(ln3)2ln3()()m a f x f x +->-成立，求实数m 的取值范围．高三理科数学期中考试答案选择：1-5 CDBAD ，6-10 CABBA ， 11-12 CA 填空：π8],12,4[,85,322 解答题：17（1）由()2cos sin ρθθ=+得()22cos sin ρρθθ=+，得直角坐标方程为2222x y x y +=+，即()()22112x y -+-=；（2）将的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，化简得210t t --=，点E 对应的参数0t =，设点A ，B 对应的参数分别为12,t t ，则121t t +=，121t t =- ，所以1212||||||||||EA EB t t t t +=+=-==18.（1）因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+，即sin sin sin cos cos cos C A BC A B+=+， 所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+， 即sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-，得sin()sin()C A B C -=-．所以C A B C -=-,或()C A B C π-=--（不成立）． 即 2C A B =+, 得3C π=，所以．23B A π+=． 又因为1sin()cos 2B A C -==，则6B A π-=，或56B A π-=,（舍去） 得5,412A B ππ==． （2）1sin 32ABC S ac B ∆===+,又sin sin a cA C =, 即=，得a c ==19.（1）当1n =时，1112(1)S a a ==-，所以12a =， 当1n >时，112()n n n n n a S S a a --=-=-，,21-=n n a a 又122224a a =⨯==成立所以数列{}n a 是以12a =，公比2q =的等比数列，通项公式为2()n n a n N *=∈.由题意有11a b =2(11)222-⋅+=，得11b =.当2n ≥时，n n a b =1122()n n a b a b a b +++112211()n n a b a b a b ---+++1(1)22n n -⎡⎤=-⋅+-⎣⎦(2)22nn ⎡⎤-⋅+=⎣⎦2n n ⋅，验证首项满足，于是得n b n =故数列{}n b 的通项公式为n b n =()n N *∈．（2） 证明：n T =1212n n b b b a a a +++=212222n n +++，所以12n T =23112222n n++++， 错位相减得12n T =231111122222n n n +++++-，所以2n T =-22n n +，即2n T -=22nn +， 下证：当6n ≥时，(2)12n n n +<，令()f n =(2)2n n n +，(1)()f n f n +-=1(1)(3)(2)22n nn n n n ++++-=2132n n +-当2n ≥时，(1)()0f n f n +-<，即当2n ≥时，()f n 单调减，又(6)1f <， 所以当6n ≥时，()1f n <，即(2)12nn n +<，即当6n ≥时，21n n T -< 20.(1)ABC PC B BC AB AB PC BCPC 面⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊥⊥,PAC PC 面⊂⇒ABC ABC 面面⊥(2)12323112131=⋅⋅⋅⋅==--PMC A MAC P V V 21.（1）设{}n a 的公差为d ，由已知得12111545202(2)(6)a d a d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩ 即121242a d d a d+=⎧⎪⎨=⎪⎩，110,2d d a =⎧≠∴⎨=⎩，故*1()n a n n N =+∈ （2）11111(1)(2)12n n a a n n n n +==-++++111111233412n T n n ∴=-+-++-++ 11222(2)n n n =-=++∵存在*n N ∈，使得10n n T a λ+-≥成立 ∴存在*n N ∈，使得(2)02(2)n n n λ-+≥+成立,即22(2)nn λ≤+有解max 2{}2(2)n n λ∴≤+而21142(2)162(4)nn n n=≤+++，2=n 时取等号 116λ∴≤．22.试题解析：(Ⅰ)函数)(x f 的定义域为(0,)+∞．21() 4 f x x '=-+，令21() 4 =0f x x '=-+，得112x =；212x =-（舍去）． 2分当x 变化时，(),()f x f x '的取值情况如下：所以，函数()f x 的极小值为 4分(Ⅱ) 22211)()2 a ax f x a x x x -+'=-+=，令()0f x '=，得112x =，21x a=-， 5分当2a =-时，()0f x '≥，函数)(x f 的在定义域(0,)+∞单调递增； 6分 当20a -<<时，在区间1(0,)2，1(,)a-+∞，上()0f x '<，)(x f 单调递减， 在区间11(,)2a-，上()0f x '>，)(x f 单调递增； 7分当2a <-时，在区间1(0,)a -，1(,)2+∞，上()0f x '<，)(x f 单调递减， 在区间11(,)2a -，上()0f x '>，)(x f 单调递增． 8分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知当(3,2)a ∈--时，函数)(x f 在区间[]1.3单调递减； 所以，当[]1.3x ∈时，max ()(1)12f x f a ==+，min 1()(3)(2)ln 363f x f a a ==-++问题等价于：对任意的(3,2)a ∈--，恒有1(l n 3)2l n 312(2)l n 363m a a a a +->+----成立， 1即14114,4a am a m a a ->-<=-，432,432-<->a m a am ，所以313-≤m 12分。
2021年黑龙江省哈尔滨六中高考数学三模试卷(理科)(附答案详解)
2021年黑龙江省哈尔滨六中高考数学三模试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设复数z满足z−iz=2+i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知集合A={x|x−1x+1≤0}，B={x∈Z|(x+2)(x−3)<0}，则A∩B=()A. {0,1}B. {−1,0，1}C. {0,1，2}D. {−1,0，1，2}3.“瓦当”是中国古建筑装饰檐头的附件，是中国特有的文化艺术遗产，为探究下面“瓦当”图案的面积，向半径为10的圆内投入1000粒芝麻，落入阴影部分的有400粒.则估计“瓦当”图案的面积是()A. 40B. 40πC. 4D. 4π4.若tanα2=13，则sin(α+5π2)−1sin(3π−α)=()A. −13B. −3 C. 13D. 35.已知a>0，b>0，则“log2a+log2b>0”是“log2(a+b)>0”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是()A. 若m⊂α，n⊂β，且α⊥β，则m⊥nB. 若m⊂α，n⊂α，且m//β，n//β，则α//βC. 若m⊥α，n//β，且α⊥β，则m⊥nD. 若m⊥α，n//β，且α//β，则m⊥n7.已知过点P(1,2)的直线与圆O：x2+y2=1相切于A、B两点，那么sin∠APB=()A. 25B. 45C. √55D. 2√558.已知函数f(x)={12x+1,x≥02x 1+2x ,x<0，若f(6−a)>f(a)，则实数a的取值范围是()A. (−∞,3)B. (−∞,−3)C. (3,+∞)D. (−3,+∞)9. 过抛物线C ：y 2=4x 焦点的直线交该抛物线C 于点A ，B ，与抛物线C 的准线交于点P.若点P 到x 轴距离为2，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 16B. 12C. 8D. 1810. 2012翼装飞行世界锦标赛在张家界举行，某翼人空中高速飞行，右图反映了他从某时刻开始的15分钟内的速度v(x)与时间x 的关系，若定义“速度差函数”u(x)为时间段[0,x]内的最大速度与最小速度的差，则u(x)的图象是( )A.B.C.D.11. 已知圆锥SO 1的顶点和底面圆周均在球O 的球面上，且该圆锥的高为8.母线SA =12，点B 在SA 上，且SB =2BA ，则过点B 的平面被该球O 截得的截面面积的最小值为( )A. 27πB. 32πC. 45πD. 81π12. 对于任意的实数x ∈[1,e]，总存在三个不同的实数y ∈[−1,4]，使得y 2xe 1−y −ax −lnx =0成立，则实数a 的取值范围是( )A. [16e 3,3e )B. (0,16e 3]C. [16e 3,e 2−3e )D. [16e 3,e 2−1e )二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 如某校高中三年级的300名学生已经编号为0，1，…，299，为了了解学生的学习情况，要抽取一个样本数为60的样本，用系统抽样的方法进行抽取，若第59段所抽到的编号为293，则第1段抽到的编号为______ ．14. 在(x +ax )n 的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，且所有项的系数和为0，则含x 6的项系数为______ ．15. 在讨论勾股定理的过程中，《九章算术》提供了许多整勾股数，如52+122=132，62+82=102，72+242=252，82+152=172，282+962=1002，等等．其中最大的数称为“弦数”，后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若勾股数组中的某一个数m是确定的奇数(大于1)，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数，若勾股数组中的某一个数m是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得到的两个整数和这个偶数构成一组勾股数．由此得到的这种勾股数称之为“由m生成的一组勾股数”.若“由17生成的这组勾股数”的“弦数”为A，“由20生成的这组勾股数”的“弦数”为B，则A+B=______．16.已知点M为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)在第一象限上一点，点F为双曲线C的右焦点，O为坐标原点，4|MO|=4|MF|=7|OF|，则双曲线C的离心率为______ ；若MF，MO分别交双曲线C于P，Q两点，记直线PM与PQ的斜率分别为k1，k2，则k1k2=______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列{a n}和正项等比数列{b n}满足a1=b1=2，a2+a3=10，b2b4=a18．(Ⅰ)求数列{a n}、{b n}的通项公式．(Ⅱ)设数列{c n}中c n=a n+b n，求和：c1+c3+c5+⋯+c2n−1．18.如图，在四棱锥S−ABCD中，ABCD为直角梯形，AD//BC，BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD，△SCD是以CD为斜边的等腰直角三角形，BC=2AD=2CD=4，E为BS上一点，且BE=2ES．(1)证明：直线SD//平面ACE；(2)求二面角S−AC−E的余弦值．19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点分别为F1(−c,0)，F2(c,0)，过F2作垂直于x轴的直线l交椭圆C于A、B两点，满足|AF2|=√36c.(1)求椭圆C的离心率；(2)M、N是椭圆C短轴的两个端点，设点P是椭圆C上一点(异于椭圆C的顶点)，直线MP、NP分别和x轴相交于R、Q两点，O为坐标原点，若|OR|⋅|OQ|=4，求椭圆C的方程．20.为了推进分级诊疗，实现“基层首诊、双向转诊、急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某城市自2020年起全面推行家庭医生签约服务.已知该城市居民约为1000万，从0岁到100岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示.为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示．(1)估计该城市年龄在50岁以上且已签约家庭医生的居民人数；(2)据统计，该城市被访者的签约率约为44%.为把该城市年满18周岁居民的签约率提高到55%以上，应着重提高图2中哪个年龄段的签约率？并根据已有数据陈述理由．21.已知函数f(x)=e ax(lnx+1)(a∈R)，f′(x)为f(x)的导数．(1)设函数g(x)=f′(x)e ax，求g(x)的单调区间；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2(x1<x2)，①求实数a的取值范围；②证明：当a<2e32时，f(x1)x1<f(x2)x2．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2+tcosθy =tsinθ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ． (1)当θ为参数，t >0时，曲线C 1与C 2只有一个公共点，求t ；(2)当t 为参数，θ∈[0,π)时，曲线C 1与C 2相交于A ，B ，且|AB|=4，求θ的值．23. 设函数f(x)=3|x +1|+|2x −1|的最小值为m ．(1)求m 的值；(2)若a ，b ∈(0,+∞)，证明：(1a +1+b 2a )(1b+1+a 2b)≥m 2．答案和解析1.【答案】A【解析】解：因为z−iz=2+i，所以z=2+i1−i =(2+i)(1+i)(1−i)(1+i)=1+3i2，对应的点在第一象限．故选：A．直接由已知的复数得到其在复平面内对应点的坐标得答案．本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.【答案】A【解析】解：∵集合A={x|x−1x+1≤0}={x|−1<x≤1}，B={x∈Z|(x+2)(x−3)<0}={x∈Z|−2<x<3}={−1,0，1，2}，∴A∩B={0,1}．故选：A．求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】B【解析】解：圆的面积为：π×102=100π，“瓦当”图案的面积约为：4001000×100π=40π．故选：B．由几何概型中的面积型概率运算公式，求出阴影部分的面积即可得解．本题考查几何概型及其概率的求法，考查运算能力与求解能力，是基础题．4.【答案】A【解析】解：sin(α+5π2)−1sin(3π−α)=cosα−1sinα=−2sin 2α22sin α2cosα2=−tan α2=−13，故选：A ．利用诱导公式和二倍角公式对所求式子化简即可求出结果． 本题主要考查了利用诱导公式和二倍角公式化简求值，是基础题．5.【答案】A【解析】解：a >0，b >0，则log 2a +log 2b >0⇔log 2(ab)>0⇔ab >1；log 2(a +b)>0⇔a +b >1当ab >1时，∵a +b ≥2√ab >2>1.故a +b >1成立；反之不成立，例如取a =2，b =14，则a +b =214>1，但ab =12<1． 故当a >0，b >0时，ab >1⇒a +b >1，a +b >1推不出ab >1；因此a >0，b >0，则“log 2a +log 2b >0”是“log 2(a +b)>0”的的充分不必要条件． 故选：A ．a >0，b >0，利用对数运算性质与基本不等式的性质可得，log 2a +log 2b >0⇔ab >1，log 2(a +b)>0⇔a +b >1，ab >1⇒a +b >1；反之不成立，例如取a =2，b =14，即可判断出结论．本题考查了对数运算性质与基本不等式的性质、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：对于A ，当m ⊂α，n ⊂β，且α⊥β，则m 与n 的位置关系不定，故错； 对于B ，当m//n 时，不能判定α//β，故错；对于C ，若m ⊥α，n//β，且α⊥β，则m 与n 的位置关系不定，故错； 对于D ，由m ⊥α，α//β可得m ⊥β，又n//β，则m ⊥n 故正确． 故选：D ．根据空间线面位置关系，逐一判定即可．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题7.【答案】B【解析】解：根据题意，圆O ：x 2+y 2=1，圆心为(0,0)，半径r =1，过点P(1,2)的直线与圆O ：x 2+y 2=1相切于，易得其中一条切线为x =1，切点为(1,0)，设B(1,0)连接PO ，设∠POB =θ，则∠APB =2θ， 则|OB|=r =1，|BP|=2，则|OP|=√5， 则sinθ=1√5=√55，cosθ=2√5=2√55， 故sin∠APB =sin2θ=2sinθcosθ=45； 故选：B ．根据题意，求出圆的圆心和半径，分析可得其中一条切线为x =1，切点为(1,0)，设为B 点，连接PO ，设∠POB =θ，则∠APB =2θ，由三角函数的定义求出sinθ，cosθ的值，由二倍角公式计算可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相切的性质，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：当x >0时，f(x)=12x +1， 此时−x <0，则f(−x)=2−x2−x +1=11+2x ， 所以f(x)=f(−x)， 当x <0时，f(x)=2x 1+2x，此时−x >0，则f(−x)=12−x +1=2x1+2x ，所以f(x)=f(−x)，综上所述，任意x ∈R ，f(x)=f(−x)， 所以f(x)为偶函数，当x >0时，f(x)=12x +1单调递减，当x <0时，f(x)=2x 1+2x单调递增，因为f(6−a)>f(a)， 所以|6−a|<|a|， 所以(6−a)2<a 2， 解得a >3． 故选：C ．分析f(x)的奇偶性，单调性，则f(6−a)>f(a)，问题转化为|6−a|<|a|，解得a 的取值范围．本题考查函数的性质，解题中注意理清思路，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：由题意知：抛物线的焦点F(1,0)，准线方程x =−1，由题意设P(−1,2)，这时k AB =2−1−1=−1，设直线AB 的方程为x =−y +1，设A(x,y)，B(x′,y′)联立与抛物线的方程整理得： y 2+4y −4=0，y +y′=−4，yy′=−4，x +x′=4+2=6，xx′=(yy′)216=1，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +1,y −2)⋅(x′+1,y′−2)=xx′+(x +x′)+1+yy′−2(y +y′)+4=1+6+1−4+8+4=16， 故选：A ．设直线AB 的方程与抛物线联立，求出两根之和及之积，用坐标表示即可求出数量积． 考查直线与抛物线的综合应用，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：由题意可得，当x ∈[0,6]时，翼人做匀加速运动，v(x)=80+403x ，“速度差函数”u(x)=403x.当x ∈[6,10]时，翼人做匀减速运动，速度v(x)从160开始下降，一直降到80， u(x)=160−80=80．当x ∈[10,12]时，翼人做匀减速运动，v(x)从80开始下降，v(x)=180−10x ， u(x)=160−(180−10x)=10x −20．当x∈[12,15]时，翼人做匀加速运动，“速度差函数”u(x)=160−60=100，结合所给的图象，故选：D．根据，“速度差函数”u(x)的定义，分x∈[0,6]、x∈[6,10]、x∈[10,12]、x∈[12,15]四种情况，分别求得函数的解析式，从而得到函数的图象．本题主要考查，“速度差函数”u(x)的定义，函数的图象，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：如图所示：设球的球心为O，半径为R，则SO1=8，OA=R，AO1=√SA2−SO12=4√5，所以OA2=OO12+AO12，即R2=(R−8)2+(4√5)2，解得R=9，取SA的中点N，则BN=2，所以ON=√R2−AN2=3√5，OB=√ON2+BN2=7，设点C为截面圆周上一点，若截面面积最小，则OB⊥截面，此时截面圆半径为r=√R2−OB2=4√2，所以截面面积的最小值为πr2=32π．故选：B．如图，先在△SO1A中，将SO1求出来，然后设球心为O，再利用△AOO1列出关于外接圆半径的方程，求出外接圆半径；然后利用等腰直角△SOA求出ON，进而求出OB，最后根据过B点的截面与OB垂直时，截面圆的面积最小．求出截面圆的半径即可．本题考查球的截面的性质，以及旋转体的外接球的性质问题，同时考查学生的运算能力和直观想象能力．属于中档题．12.【答案】A【解析】解：∵x≠0，+a，∴原式可化为y2e1−y=lnxx令f(x)=lnx x+a ，x ∈[1,e]， 故f′(x)=1−lnx x 2≥0，f(x)递增，故f(x)∈[a,a +1e ]，令g(y)=y 2e 1−y ，y ∈[−1,4]，故g′(y)=2y ⋅e 1−y −y 2e 1−y =y(2−y)e 1−y ， 故g(y)在(−1,0)递减，在(0,2)递增，在(2,4)递减， 而g(−1)=e 2，g(2)=4e ，g(4)=16e 3， 要使g(y)=f(x)有解， 则g(y)=f(x)∈[g(4),g(2)]， 即[a,a +1e ]⊆[16e 3,4e )， 故{a ≥16e 3a +1e <4e ，故16e 3≤a <3e ， 故选：A ． 原式可化为y 2e 1−y =lnx x+a ，令f(x)=lnx x+a ，x ∈[1,e]，令g(y)=y 2e 1−y ，y ∈[−1,4]，问题转化为g(y)=f(x)∈[g(4),g(2)]，得到关于a 的不等式组，解出即可． 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道综合题．13.【答案】3【解析】 【分析】系统抽样的特点是等间隔，在每段取的数构成等差数列． 本题为系统抽样的考查，属基础题． 【解答】解：由题意得300÷60=5，即系统抽样的间隔为5，故所抽到的编号构成一个公差d =5的等差数列{a n }，其中a 59=293，求a 1， 由a 1+(59−1)×5=293，得a 1=3，故在第1段抽到的数为3，故答案为3．14.【答案】45)n的展开式中，只有第六项的二项式系数C n5最大，∴n=10，【解析】解：∵(x+ax再令x=1，可得所有项的系数和为(1+a)10=0，∴a=−1．故二项展开式的通项公式为T r+1=C10r⋅(−1)r⋅x10−2r，令10−2r=6，求得r=2，可得含x6的项系数为C102=45，故答案为：45．由题意利用二项式系数的性质求得n的值，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于6，求出r的值，即可求得含x6的项系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．15.【答案】246【解析】解：由172=289，而289=144+145，则“由17生成的这种勾股数”为：17，144，145，)2=100，则“由20生成的这种勾股数”为：20，99，101，由(202则A+B=145+101=246．故答案为：246．由172=289，而289=144+145，得到“由17生成的这种勾股数”为：17，144，145，)2=100，得到“由20生成的这种勾股数”为：20，99，101，由此能求出A+B．由(202本题考查两个“弦数”和的求法，考查勾股数、简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】4 15【解析】解：设M(x0,y0)，由已知可得，4|MO|=4|MF|=7|OF|=7c，则x 0=c2，y 0=√|MO|2−(|OF|2)2=3√54c ，即M(c 4,3√54c)，把M 代入双曲线方程，可得c 24a 2−45c 216b 2=1，即4b 2c 2−45a 2c 2=16a 2b 2，又b 2=c 2−a 2，代入上式可得4c 4−65a 2c 2+16a 4=0， 即4e 4−65e 2+16=0，解得e 2=16或e 2=14(舍)， 所以双曲线C 的离心率e =4； 设P(x 1,y 1)，则Q(−x 0,−y 0)， 所以k 1k 2=y 1−y 0x1−x 0⋅y 1+y 0x 1+x 0=y 12−y 02x 12−x 02，把P 、M 的坐标分别代入双曲线方程，得{x 12a2−y 12b 2=1x 02a 2−y 02b 2=1，两式作差，可得y 12−y 02x 12−x 02=b 2a 2，由e =4，得ca =4，即c 2=a 2+b 2=16a 2，所以b 2a 2=15．∴k 1k 2=15． 故答案为：4；15．求出M 的坐标，代入双曲线方程，结合隐含条件即可求得双曲线的离心率；设P(x 1,y 1)，把P 、Q 坐标代入双曲线方程，作差可得y 12−y 02x 12−x 02=b 2a 2，再由斜率公式求得k 1k 2=y 12−y 02x 12−x 02，进一步求出k 1k 2的值．本题考查双曲线的几何性质，考查数形结合思想和运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(I)设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 2+a 3=10，所以2a 1+3d =10， 又a 1=2，所以d =2，即a n =2+(n −1)×2=2n ， 设正项等比数列{b n }的公比为q ，q >0，因为b 2b 4=a 18=36，即b 12⋅q 4=36，由b 1=2，q >0知q =√3，所以b n =2⋅(√3)n−1； (II)c n =a n +b n =2n +2⋅(√3)n−1， 设S 2n−1=c 1+c 3+c 5+⋯+c 2n−1，则S 2n−1=(2+2)+(6+2×3)+⋯+[2(2n −1)+2×3n−1]=(2+6+⋯+2(2n −1)]+(2+2×3+⋯+2×3n−1)=12n(2+4n −2)+2(1−3n )1−3=2n 2+3n −1．【解析】(I)设等差数列{a n }的公差为d ，设正项等比数列{b n }的公比为q ，q >0，分别运用通项公式，解方程可得公差和公比，进而得到所求通项公式；(II)c n =a n +b n =2n +2⋅(√3)n−1，设S 2n−1=c 1+c 3+c 5+⋯+c 2n−1，运用数列的分组求和，以及等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，化简运算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)证明：连接BD 交AC 于点F ，连接EF ．因为AD//BC ，所以△AFD 与△BCF 相似． 所以BFFD =BCAD =2．又BEES =BF FD =2，所以EF//SD ．因为EF ⊂平面ACE ，SD ⊄平面ACE ，所以直线SD//平面ACE ．(2)解：平面SCD ⊥平面ABCD ，平面SCD ∩平面ABCD =CD ，BC ⊂平面ABCD ， BC ⊥CD ，所以BC ⊥平面SCD ．以C 为坐标原点，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB⃗⃗⃗⃗⃗ 所在的方向分别为y 轴、z 轴的正方向， 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB⃗⃗⃗⃗⃗ 均垂直的方向作为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C −xyz ． 则C(0,0，0)，S(1,1，0)，A(0,2，2)，E(23,23,43)， CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，2)，CS ⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23,23,43). 设平面SAC 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ =2y +2z =0m ⃗⃗⃗ ⋅CS ⃗⃗⃗⃗ =x +y =0，令x =1，得m⃗⃗⃗ =(1,−1,1)， 设平面EAC 的一个法向量为n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ =2y +2z =0n ⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23x +23y +43z =0，令z =1，得n⃗ =(−1,−1,1)． 设二面角S −AC −E 的平面角的大小为θ， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=1√3⋅√3=13． 所以二面角S −AC −E 的余弦值为13．【解析】(1)连接BD 交AC 于点F ，连接EF.由AD//BC ，得△AFD 与△BCF 相似．推导出EF//SD.由此能证明直线SD//平面ACE ．(2)推导出BC ⊥平面SCD.以C 为坐标原点，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在的方向分别为y 轴、z 轴的正方向，与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 均垂直的方向作为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系C −xyz.利用向量法能求出二面角S −AC −E 的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)令x =c ，可得y 2=b 2(1−c2a 2)， 即有y =±b 2a ，由题意可得b 2a=√36c ， 即为6a 2−6c 2=√3ac ， 即有6−6e 2=√3e ， 解得e =√32；(2)由椭圆方程知M(0,b)，N(0,−b)， 另设P(x o ,y o )，R(x 1,0)，Q(x 2,0)， 由M ，P ，R 三点共线，知y 0−bx−0=y 0−0x 0−x1， 所以x 1=bxb−y 0；同理得x 2=bxb+y 0．|OR|⋅|OQ|=b 2x 02b 2−y 02…①，又P 在椭圆上所以x 02a 2+y 02b 2=1， 即b2−y 02=b 2x 02a 2代入①得|OR|⋅|OQ|=a 2=4， 即有a =2，又e =ca=√32，可得c =√3，b =1，椭圆的方程为x 24+y 2=1．【解析】(1)令x =c ，求得y ，由题意可得b 2a=√36c ，再由离心率公式，解方程可得e ；(2)求出椭圆上下顶点坐标，设P(x o ,y o )，R(x 1,0)，Q(x 2,0)，利用M ，P ，R 三点共线求出R ，Q 的横坐标，利用P 在椭圆上，推出|OR|⋅|OQ|=a 2即可得到a ，b 的值，进而得到椭圆方程．本题考查椭圆的方程和性质，考查直线的斜率的运用，注意三点共线的条件，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)该城市年龄在50−60岁的签约人数为：1000×0.015×10×55.7%= 83.55万，在60−70岁的签约人数为：1000×0.010×10×61.7%=61.7万，在70−80岁的签约人数为：1000×0.004×10×70.0%=28万，在80岁以上的签约人数为：1000×0.003×10×75.8%=22.74万，故该城市年龄在50岁以上且已签约家庭医生的居民人数为：83.55+61.7+28+22.74=199.55万；(2)年龄在10−20岁的人数为：1000×0.005×10=50万，年龄在20−30岁的人数为：1000×0.018×10=180万，所以，年龄在18−30岁的人数大于180万，小于230万，签约率为30.3%，年龄在30−50岁的人数为1000×0.037×10=370万，签约率为37.1%．年龄在50岁以上的人数为：1000×0.032×10=320万，签约率超过55%，上升空间不大，故由以上数据可知这个城市在30−50岁这个年龄段的人数为370万，基数较其他年龄段是最大的，且签约率非常低，所以为把该地区满18周岁居民的签约率提高到以上，应着重提高30−50这个年龄段的签约率．【解析】(1)分别求出个年龄段签约的人数，即可求出50岁以上且已签约家庭医生的居民人数；(2)得到这个地区在31～50这个年龄段的人为370万，基数较其他年齡段是最大的，且签约率为37.1%，非常低，为把该地区满18周岁居民的签约率提高到55%以上，应该着重提高31～50这个年龄段的签约率．本题考查频率分布直方图，古典概型等基础知识，考查数据处理能力，运算求解能力，考查统计概率思想等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)f(x)的定义域是(0,+∞)，g(x)=f′(x)e ax =alnx+a+1x，则g′(x)=ax−1x2，①当a≤0时，g′(x)<0在x∈(0,+∞)上恒成立，g(x)单调递减，②当a>0时，令g′(x)=0，解得：x=1a，故x∈(0,1a)时，g′(x)<0，g(x)递减，当x∈(1a,+∞)时，g′(x)>0，g(x)递增，综上：当a≤0时，g(x)在(0,+∞)递减，误递增区间，当a>0时，g(x)极小值=g(1a)=a(2−lna)；(2)①∵f(x)有2个极值点，∴g(x)有2个零点，由(1)得：a≤0时不合题意，当a>0时，g(x)极小值=g(1a)=a(2−lna)，(i)当0<a<e2时，g(x)>g(1a)>0，g(x)没有零点，不合题意，(ii)当a=e2时，g(1a )=0，g(x)有1个零点1a，不合题意，(iii)当a>e2时，g(1a)<0，g(1a2)=a(a+1−2lna)，设φ(a)=a+1−2lna，a>e2，则φ′(a)=1−2a>0，故φ(a)>φ(e2)=e2−3>0，即g(1a2)>0，故存在x1∈(1a2,1a)，使得g(x1)=0，又g(1e)=e>0，故存在x2∈(1a ,1e)，使得g(x2)=0，x，f′(x)，f(x)的变化如下：故当a>e2时，f(x)有2个极值点，综上：a的取值范围是(e2,+∞)；②∵a<2e32，g(2a)=a(32+ln2a)>0，∴1a2<x1<1a<x2<2a，∵x1，x2是g(x)=alnx+a+1x的两个零点，∴lnx1+1=−1ax1，lnx2+1=−1ax2，∴f(x1)x1=e ax1(lnx1+1)x1=−e ax1ax12，f(x2)x2=e ax2(lnx2+1)x2=−e ax2ax22，记ℎ(x)=−e axax2(1a2<x<2a)，则ℎ′(x)=−e ax(x−2a)x3>0，故ℎ(x)在(1a2,2a)上单调递增，又∵1a2<<x1<1a<x2<2a，∴ℎ(x1)<ℎ(x2)，即当a<2e32时，f(x1)x1<f(x2)x2．【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；(2)①通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的极值点的个数，从而确定a的范围；②求出f(x1)x1=−e ax1ax12，f(x2)x2=−e ax2ax22，记ℎ(x)=−eaxax2(1a2<x<2a)，求出函数的导数，根据函数的单调性证明结论成立即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是难题．22.【答案】解：(1)曲线C2的直角坐标方程为：x2+(y−2)2=4，当θ为参数时，曲线C1的直角坐标方程为(x−2)2+y2=t2，又曲线C1与C2只有一个公共点，故线C1与C2的位置关系是外切或内切，(ⅰ)当C1与C2外切时，√(2−0)2+(0−2)2=2+t，解得：t=2√2−2；(ⅰ)当C1与C2内切时，√(2−0)2+(0−2)2=t−2，解得：2√2+2，故t=2√2−2或者2√2+2.(5分)(2)当t为参数时，曲线C1为过点(0,2)的直线，又曲线C2是直径为4的圆，且|AB|=4，所以直线C1过圆C2的圆心(0,2)，则直线C1的斜率k=2−00−2=−1，因为θ∈[0,π)，所以θ=34π.(10分)【解析】(1)利用极坐标与直角坐标的互化，参数方程消去此时，分别化为普通方程．利用两个圆的位置关系，内切与外切，求解即可．(2)当t为参数时，曲线C1为过点(0,2)的直线，通过弦长|AB|，说明直线C1过圆C2的圆心(0,2)，求解斜率，然后求解θ的值．本题考查参数方程以及极坐标方程与普通方程的应用，圆与圆的位置关系的应用，直线与圆的位置关系的应用，是中档题．23.【答案】解：(1)f(x)={−5x −2,x <−1x +4,−1≤x ≤125x +2,x >12，x =−1时，f(x 的最小值为3． (2)证明：∵a ，b ∈(0,+∞)， ∴1a +1+b 2a≥3⋅√b 2a 23，1b +1+a 2b≥3⋅√a 2b 23，∴(1a +1+b 2a )(1b +1+a 2b )≥3⋅√b 2a 23⋅3⋅√a 2b23=9=m 2，当且仅当a =b =1． 即证．【解析】(1)对绝对值不等式化简，求出最值， (2)由题意利用不等式性质进行求解．本题考查绝对值不等式，和不等式性质的应用，属于中等题．。
黑龙江省哈尔滨市第六中学近年届高三数学上学期期中试题理(2021年整理)
黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三数学上学期期中试题理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三数学上学期期中试题理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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哈尔滨市第六中学2018-2019学年度上学期期中考试高三理科数学试卷考试说明：本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1)答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚;（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整，字迹清楚；（3)请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷(选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合{|||2,}A y y x x R ==-∈，{|1}B x x =≥，则下列结论正确的是（ ） A. 3A -∈ B 。
3B ∉ C 。
A B B = D.A B B = 2．若i z 21-=，则12z z i⋅-（ ） A 。
2 B 。
2- C 。
2i - D. 2i 3． 已知向量(2,1)a =,10a b ⋅=，||52a b +=，则||b =( ）25 C ．2 D ．5 4．下列命题正确的是（ ）A 。
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点 到平面 的距离与点 到平面 的距离相等，
由四边形 是正方形， ，可得 是三棱锥 的高，
由题意得， ，所以 ，
在△CDG中， ，
设点A到平面CDG的距离为h，则 ，
由 得， ，所以点F到平面CDG的距离为 .
20．（1）略；
（2）由（1）知 、 、 ，以点 为坐标原点， 为 轴， 为 轴，
二、填空题
13．6114．415． 16．
三、解答题
17．（1）由正弦定理得： ，
∵ ，∴ ，∵ 是 的内角，∴ .
（2）∵ 的面积为 ，∴ ，由（1）知 ，∴ ，
由余弦定理得： ，
∴ ，得： ，∴ 的周长为 .
18．（1） ， ，又 ，
数列 是首项、公差均为1的等差数列． ，所以 ；
（2）由（1）得 ， ， ．
直线 的参数方程为： （t为参数）.
（Ⅱ）把直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程得： ，
化简得： ， ， ， ，
由题意得：点 在圆 的外侧下方， ， ， .
23．（1） ，
令
当 时 ，
当 时 ，
当 时ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，
综上所述
（2） 恒成立等价于
（当且仅当 时取等）
恒成立，
18．在数列 中， ，对 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 ．
19．如图，在三棱柱 中，四边形 是菱形，
四边形 是正方形， ， ，
，点 为 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离.
20．如图，在六面体ABCDEF中，AB//CD，AB⊥AD，且 ，四边形ADEF
为 轴建立空间直角坐标系，如图.可得 、 、 、 ，
故 ， ， ，设 为平面 的一个法向量，
则 ，得 ，同理可得平面 的一个法向量为 ，
，
二面角 的是钝二面角，所以二面角 的余弦值为 .
21．（1）当 时， ， ，由 ，解得 ；由 ，解得 ，因此函数 单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
（2） ，故 ．
2021届黑龙江省哈尔滨市第六中学高三上学期期中考试理科数学试卷
一、单选题（每题5分，共60分）
1．已知集合 ，则 （）
A． B． C． D．
2．复数 （ 为虚数单位），则 等于（）
A．3B． C．2D．
3．下列说法中正确的个数是（）
（1）命题“所有幂函数 的图象经过点 ”.
（2）“在 中，若 ，则 ”的逆否命题是真命题.
15．三棱锥 中， 、 、 两两互相垂直，且 ，
则三棱锥 的外接球的表面积是___________
16．在 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c， ，
，点 在边 上，且 ，则线段 长度的最小值为
三、解答题（共70分）
17．在 中，角 、 、 的对边分别是 、 、 ，若 .
（1）求角 ；
（2）若 的面积为 ， ，求 的周长.
当 时，因为 ，所以 ，因此 恒成立，即 在 上单调递增，所以 恒成立．当 时，令 ，解得 ．
当 ， ， 单调递增；当 ， ， 单调递减；
于是 ，与 恒成立相矛盾．综上，k的取值范围为 ．
（3）由（2）知，当 时， ．令 ，则 + ，即
因此 ≤ ．所以 .
22．（Ⅰ） ， ， ，
曲线 的直角坐标方程为： ， 直线 过点 ，倾斜角为 ，
8．如图，已知正三棱柱 的各条棱长都是1， 是 的中点，
则异面直线 与 所成角的大小是（）
A． B． C． D．
9．已知函数 的最小正周期为 ，
则 时，函数 的值域是（）
A． B． C． D．
10．我们把 叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家），
设 ， 表示数列 的前 项之和，
则使不等式 成立的最大正整数 的值是（）
直角坐标系，直线 过点 ，倾斜角为 .
（Ⅰ）求曲线 的直角坐标方程与直线 的参数方程；
（Ⅱ）设直线 与曲线 交于 ， 两点，求 的值.
23．设
（1）解不等式 ；
（2）对任意的实数 ，有 恒成立，求实数 的取值范围.
参考答案
一、单选题
1．C2．D3．B4．B5．B6．B7．B8．D9．D10．A11．A12．A
（3）若非零向量满足 ，则 与 的夹角为锐角.
（4）命题“ ， ”的否定是“ ， ”.
（5）命题“ 则 是 的充分不必要条件”.
A．2B．3C．4D．5
4．已知函数 是定义域为 的奇函数，当 时， ，且 ，
则 （）
A． B． C． D．
5．设 、 是两条不同的直线， 、 是两个不重合的平面，给定下列四个命题：
是正方形，平面ADEF⊥平面ABCD．
（1）证明：平面BCE⊥平面BDE；
（2）若 中， ，求二面角 的余弦值.
21．已知函数 ， ．
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）当 时， 恒成立，求k的取值范围；
（3）设n ，求证： ．
22．已知曲线 的极坐标方程是 ，以极点为原点，极轴为 轴的正半轴，建立平面
①若 ， ，则 ；②若 ， ，则 ；
③若 ， ，则 ；④若 ， ， ，则 .
其中真命题是（）
A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④
6．函数 的大致图像为（）
A． B． C． D．
7．已知函数 ，若函数 的图象向左平移 个单位长度后得到
函数 的图象，则函数 的图象的一个对称中心为（）
A． B． C． D．
A． B． C． D．
11．不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
12．已知关于 的不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围为（）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，共20分）
13．数列 中，若 ， ，则
14．已知 ， 成等差数列， 成等比数列，则 的最小值是