零点问题找点的技巧和模型

1 x
x 1
2 x
第二组：指数放缩
（放缩成一次函数） ex x 1 ， ex x ， ex ex ，
（放缩成类反比例函数） ex 1 x 0 ， ex 1 x 0 ，
1 x
x
（放缩成二次函数） ex x2 ， ex 1 x 1 x2 x 0 ，
2
第三组：三角函数放缩
sin x x tan x x 0 ， sin x x 1 x2 ，1 1 x2 cos x 1 1 sin2 x .
5 1, 2
3 a 1 即可使得 f x0 0 .
或写得好看一点，取 x0 1, 3 a 1 也能符合要求.
方法三：目测。成功关键：数感与大胆.
【示例】证明：当 a e 时， f x ex ax 有两个零点.
分析：极值点为 x ln a （大于1 ）， f nl a a1nla 0 ，所以需要在左右两侧各找一个函数值大于零的点.
分析：因为 ex x 1，要利用它来放缩，还需要考虑因式1 x x2 的正负.
要使得 f x 1 x x2 ex 1 ax 2x2 0 ，
只需
1 x x2 1 x x
2
0
x
1
1 ax 2x2
， 0
即
0
x
1 2
5
，因此取
x0
x 12 3 a
左侧，自变量越小，成功的可能性越高，则可找：
f
1 a
1
ea
1
0
，
f
0
1
0，
f
1
1 e
a
0
.
右侧，自变量越大，成功的可能性越高，则可找：
f 2ln a e2lna 2a ln a a a 2ln a 0 ， f a ea a2 0 .
方法四：分而治之。成功关键：对乘积式的每个因式进行适当放缩.
2
2
2
几个经典函数模型
经典模型一： y ln x 或 y x .
x
ln x
【例 1】讨论函数 f x ln x ax 的零点个数.
（1） a 1 时，无零点. e
f
'x
1 x
a，
f
x max
f
1 a
ln
1 a
1
0.
（2） a 1 时，1 个零点. e
f
'x
1 x
1 e
，
f
x max
零点区间的寻找技巧
方法一：直接放缩法。成功关键：在目标区间上找到一个合适的逼近函数.
【示例】证明：当 0 a 1 时， f x ln x ax 有两个零点.
e
分析：极值点为
x
1 a
（大于
e
），
f
1 a
ln
1 a
1
0
，所以需要在左右两侧各找一个函数值小于零的点.
因为
ln
x
x
1 ，要使得
ln
a
2
ex
，
2 x 12 2 x
所以，取 b 满足 b 0 且 b ln a 即可使得 f b 0 .（这就解释了 2016 年全国卷Ⅰ标准答案中找点的思路）
2
方法五：分析与构造。成功关键：分析零点区间随参数变化的趋势，构造与之相匹配的代数式作为区间端点.
【示例】证明：当 0 a 2 时， f x a x ln x 有两个零点.
【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例 1： f x ln x ax ）：
1. 讨论 f x ln x m x 的零点个数（令 x t ， m a ）；
2
2. 讨论 f x x m ln x 的零点个数（令 1 a ）；
m
3. 讨论 f x x ln x mx 的零点个数（考虑 g x f x ）；
x
ax
0
，只需要
x
1
ax
0
，即
x
1 1 a
，考虑到
0
a
1 e
，所以
1 1
a
1,
e
e 1
，
所以左侧可取：
f 1 a 0 ，
f
1 1
a
ln
1 1
a
a 1 a
1 1 a
1
a 1 a
0；
另一方面：因为 ln x
x x 1 或 ln x
x 1 x 1 ，要使得 ln x ax 0 ，只需要
x
x
（放缩成二次函数） ln x x2 x ， ln 1 x x 1 x2 1 x 0 ， ln 1 x x 1 x2 x 0
2
2
（放缩成类反比例函数） ln x 1 1 ， ln x 2 x 1 0 x 1 ， ln x 1 2x x 0
x
x 1
x2
ln 1 x x ， ln x 2 x 1 x 1 ， ln 1 x 2x x 0
4
4
f
4 e a a
a
2
ea
a
a 4
a2
a a 0.
附：常用放缩公式
第一组：对数放缩
（放缩成一次函数） ln x x 1， ln x x ， ln 1 x x ， ln x x .
e
（放缩成双撇函数）
ln
x
1 2
x
1 x
x
1
，
ln
x
1 2
x
1 x
0
x
1
，
ln x x 1 x 1 ， ln x x 1 0 x 1 ，
e
分析：极值点为 x
1 e2
（接近
0），
f
1 e2
a
2 e
0 ，显然
f
1
a
0
，难点是在
1 e2
1
的左侧找一个函数值大于
零的点，显然点应满足如下几个条件： ①始终为正数； ②既能开根，也能取对数； ③当 a 越小时，它也随之变小，并且能无限趋于零.
从条件①②来看，我们应该取指数的形式，且最好为偶次幂，从条件③来看，我们找的指数当趋于 0 时应趋于负无 穷，所以可取反比例函数的形式或双撇函数的形式，经过尝试与调整，找可找到如下的点：
x
2. 讨论 f x m x ln x 的零点个数（考虑 g x f x ，令 x t ）；
x
3.
讨论
f
x
x
a ex
的零点个数（令 ex
t ）；
4. 讨论 f x ex a 的零点个数；
x
练习题
1. 已知函数 f x x 2 ex a x 12 有两个零点，求 a 的取值范围. 2. 设函数 f x e2x a ln x ，讨论 f x 的导函数 f ' x 的零点的个数.
x
x
【例 2】讨论函数 f x ex ax 的零点个数.
（1） a 0 时，1 个零点.
f ' x ex a 0 ， f x ex ax 单调递增.
且
f
0
1
a
0
，
f
1 a
1
ea
1
0
，所以在
1 a
,
0
上有一个零点；
（2） a 0 时，无零点.
f x ex 0 恒成立；
f
'x
xa x2
0，
f
x
ln
x
a x
单调递增.
f 1 a 0 ， f 1 a ln 1 a a 1 1 a 0 .
1 a 1 a 1 a
（2） a 0 时，1 个零点（ x0 1）.
（3） a 1 时，无零点. e
f
'x
xa x2
，
f
x min
f
a
ln a 1
0
（4） a 1 时，1 个零点. e
3. 已知函数 f x x 1 ex ax2 有两个零点，求 a 的取值范围.
4. 已知函数 f x ex m x2 mx 1. 当 m 0 时，试讨论 y f x 的零点的个数.
2
x0
1. e
f
x min
f
1 e
ln
1 e
1
0
（5） 1 a 0 时，2 个零点. e
f
a2
ln
a2
1 a
a
1 a
1 a
a
0，
f
1 e
1 ea
0
，
f 1 a 0 ，
【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例题 3： f x ln x a ）：
x
1. 讨论 f x 1 a ln x 的零点个数；
x
x ax 0 ，即 x 1 ，所以 a2
右侧可取：
f
1 a2
ln
1 a2
1 a
1 a
a
1 a
a
0.
方法二：在特定条件下进行放缩。成功关键：找到的点一定要在特定的条件下.
【示例】已知 a 2 ， f x 1 x x2 ex 1 ax 2x2 ，试找一个 x0 0 使得 f x0 0 .
6. 讨论 f x ln x mx 的零点个数（令 x et ，转化成 2）
x
7.
讨论
f
x ex1 mx m 的零点个数（令 x 1 t ， m
e2
a ）；
经典模型三： y x ln x 或 y xex
【例】讨论函数 f x ln） a 0 时，1 个零点.
2
2.
讨论
f
x
ex x
m ex
的零点个数（去分母后与 1 等价）；