【ILMT】零点区间的寻找技巧和常见模型(找点策略)
函数中的零点问题
函数中的零点问题
作者：张则惶
来源：《中学课程辅导·高考版》2018年第09期
一、问题背景
在函数导数的综合题中，经常会出现零点个数的讨论，或已知零点个数求参数取值范围等问题.在处理这些问题时，往往需要赋值取点，而如何比较快速方便的取点，这是很多同学学习中的一个难点.本文就取点策略做一些探讨.
二、预备知识
三、何为取点问题
即必须找到区间（a，b）的两个端点a，b，使得f（a）·f（b）<0，这就是所谓的“取点问题”，而比较麻烦的在于含有lnx，ex等的式子在赋值的时候不是很好处理.实质是这个点为何难找，就是这类超越不等式难解，但这只是一个存在性问题，并不是说要你把那个不等式解出来，而是说你能找到一个x或者一些x让那个不等式成立即可.既然是这样的话，就可以用放缩法，或者说局部放缩，把要解的不等式转化成一个易解的不等式即可.
四、典型例题
规律总结：放缩法是高中数学中一种较为重要的数学方法，在不等式、数列中常常用到.近几年在函数、导数的综合试题中，特别是零点中的找点问题，采取合适的放缩，将超越不等式转化为基本可解的不等式求解，从而可以快速找到我们需要的那个点.
五、两个经典模型
小结：由本文的一些粗浅探讨，不难发现，取点问题的关键在于选择适当的局部放缩，掌握常见指对不等式的放缩，就能快速解决这类问题.具体而言，先找常数，即與之有关的参数;其次，指找对，对找指，选取适当不等式放缩解出临界值，找到临界值后可适当调整更优化的点.适当练习后掌握上述常用放缩型不等式，就会让取点问题不再神秘，在处理这类压轴题时也就会游刃有余.。
导数大题的常用找点技巧和常见模型
或
【例 1】讨论函数
（1）
时，无零点.
几个经典函数模型
. 的零点个数.
，
.
（2）
时，1个零点.
，
.
（3）当
时，2个零点.
（目测），
（4）当
时，1个零点.
，其中
，其中 .
.（用到了
，单调递增.
，
.（放缩） ）
【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例 1：
. ）：
1.讨论 2.讨论 3.讨论
4.讨论 5.讨论 6.讨论
（放缩成双撇函数）
常用的放缩公式（考试时需给出证明过程）
，
，
，
，
，
，
（放缩成二次函数）
，
，
（放缩成类反比例函数）
，
，
，
， 第二组：指数放缩 （放缩成一次函数）
，
，
，
，
（放缩成类反比例函数）
，
，
（放缩成二次函数） 第三组：指对放缩
，
，
第四组：三角函数放缩
，
，
.
第五组：以直线
为切线的函数
，
，
，
，
.
经典模型一：
，即
，且
.
构造函数
，
.易得
，所以
单调递减.
又因为
，所以
.
下面只要证明当
时，
有两个零点即可，为此我们先证明当
时，
.
事实上，构造函数
，易得
，∴
，所以
，即
.
当
时，
其中
，
，
，所以
在
和
函数零点问题的求解路径分析
２０２３年８月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀函数零点问题的求解路径分析◉江苏省溧阳中学㊀韩㊀俊㊀㊀摘要:含参的函数零点讨论问题,是近些年来函数压轴的常见题型,本文中借此题型分享了几个含参函数零点问题的解题感悟,找到了使得函数值异号的点大致的三种路径．路径一,分离出代数式中已经能判定符号的式子,将剩余部分视作零 ,通过解方程找到所需定号的 点 ;路径二,利用自变量取值范围将某些超越式放缩为常数;路径三,利用y ＝e x 在x ＝０处的切线进行放缩,也即利用e x ȡx ＋１及其变形式进行放缩．关键词:函数找 点 ;定号;放缩㊀㊀众所周知,极限与导数(微积分)紧密相关,很多导数问题与极限思想都息息相关．苏教版教材在高中数学课程中不涉及极限的知识,这给很多涉及导数的函数问题的求解带来了重重困难．例如,含参的函数零点讨论问题,这是近些年来函数压轴的常见题型,笔者就借此题型来分享几个含参函数零点问题的解题感悟．１引例讨论f (x )＝xex －a x ＋１的零点个数．１．１分析初见此题,感觉数形结合较为容易．由于x ＝０不是函数的零点,故分离参数之后,问题等价转化为方程的根的个数问题．令xex －a x ＋１＝０,则有１e x ＋１x＝a ．①图１数形结合,如图１我们发现:当a ɤ０时,方程①仅有一解,即f (x )＝xex －a x ＋１有一个零点;当a ＞０时,方程①有两解,即f (x )＝xex －a x ＋１有两个零点．再细想,一来学生对函数图象的趋势(极限思想)不一定能准确把握,二来作为解答题,这样的解答似乎略显苍白,因此,需要用文字和数学表达式来准确证明上面的结论,即用零点存在定理来证明零点的存在性．那么,如何取点就变成了学生解决此题的难点．许多学生 为题消得人憔悴 ,但依旧不得．重新审视此题,笔者略谈一二,希望能够给此类题型提供一些解题思路．１．２解析首先考虑特值:当a ＝０时,若x ȡ０,则f (x )＞０恒成立,故f (x )无正数零点;若x ＜０,则f ᶄ(x )＝１－xex＞０恒成立,即f (x )在(－ɕ,０)上单调增,又f (－１)＝１－e＜０,f (－１２)＝－e２＋１＞０,所以f (x )在(－ɕ,０)上仅有一个零点．故a ＝０时,f (x )＝xex －a x ＋１有一个零点．再考虑非特值:由于x ＝０不是函数f (x )的零点,故分离参数后可等价转化为g (x )＝１e x ＋１x －a 的零点个数问题．因为g ᶄ(x )＝－１e x －１x２＜０恒成立,所以函数g (x )在(－ɕ,０),(０,＋ɕ)上单调递减．(i )a ＜０时,若x ＞０,则g (x )＞０恒成立,故g (x )无正零点;若x ＜０,则g(１a )＝１e１a＞０．取x ０＝m a x {－１,１a －e },则g (x ０)ɤe －a ＋１x ０ɤ０．故g(１a)g (x ０)ɤ０,此时g (x )在定义域内仅有一个零点,即f (x )仅有一个零点．１７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.解法探究２０２３年８月上半月㊀㊀㊀(ⅱ)a ＞０时,g (x )＝１e x ＋１x－a ．若x ＞０,则g(１a )＝１e１a＋a －a ＝１e１a＞０,g(２a )＝１e２a ＋a ２－a ＜a ２＋a２－a ＝０．故g (１a ) g (２a)＜０,此时g (x )在(０,＋ɕ)内仅有一个零点,即f (x )在(０,＋ɕ)内仅有一个零点．若x ＜０,g (－１２)＝e－２－a ＜０,且g (－a ＋a ２＋４２)＞－(－a ＋a ２＋４２)＋１－a ＋a ２＋４２－a ＝０．故g (－１２)g (－a ＋a ２＋４２)＜０,此时g (x )在(－ɕ,０)内仅有一个零点,即f (x )在(－ɕ,０)内仅有一个零点．综上:当a ɤ０时,f (x )＝xex －a x ＋１有一个零点;当a ＞０时,f (x )＝x ex －a x ＋１有两个零点．１．３总结从上述解题过程看,找到使得函数值异号的点大致可以选择以下三种路径．路径一:把代数式中已经能判定符号的式子取出,再将剩余部分视作 零 ,通过解方程找到所需定号的 点 ．例如上例中,在a ＜０时,若x ＜０,则g (x )＝１e x ＋１x －a 中１e x 的符号已经能够判定为正,则只需将剩余的 １x －a 视为零,从而找到所需的 点 ,即g(１a )＝１e＋a －a ＝１e１a＞０．路径二:利用自变量取值范围将某些超越式放缩为常数,将超越式不等式放缩为分式不等式或多项式不等式,通过解不等式找到所需定号的 点 ．例如上例中,在a ＜０时,若x ＜０,则g (x )在(－ɕ,０)上单调递减,在g (x )＝１e x ＋１x －a 中,当x ɪ[－１,０)时,１ex ɪ(１,e ],不妨取x ０＝m a x {－１,１a －e},则g (x ０)ɤe －a ＋１x ０ɤ０．路径三:利用y ＝e x在x ＝０处的切线进行放缩(即利用e xȡx ＋１及其变形式进行放缩),将所有的超越式放缩为分式或多项式,将所求不等式转化为分式不等式或多项式不等式进行求解,找到所需定号的 点 ．例如上例中,a ＞０时,g (x )＝１e x ＋１x－a ,当x ＞０时,利用e xȡx ＋１进行放缩,即由e x＞x 得到e ２a＞２a ,又因为e ２a＞２a ＞０,则１e ２a ＜a ２,故g (２a )＝１e２a ＋a ２－a ＜a ２＋a ２－a ＝０;a ＞０时,g (x )＝１e x ＋１x－a ,当x ＜０时,利用e x ȡx ＋１进行放缩,即由e x＞x 得e －x＞－x ,则g (x )＞－x ＋１x －a ＝－x ２＋a x －１x＝－(x －－a ＋a ２＋４２)(x －－a －a ２＋４２)x,故不妨取x ＝－a ＋a ２＋４２,有g (－a ＋a ２＋４２)＞０．２三种路径在压轴题中应用经过上题的研究,笔者有些 众里寻他千百度,蓦然回首,那人却在,灯火阑珊处 之感．下面利用这三种路径来解决如下高考压轴题．[２０２２ 全国乙卷(文)２０题]已知函数f (x )＝a x －１x－(a ＋１)l n x ．若f (x )恰有一个零点,求a 的取值范围．解析:由f (x )＝a x －１x－(a ＋１)l n x ,x ＞０,得f ᶄ(x )＝a ＋１x ２－a ＋１x ＝(a x －１)(x －１)x２．当a ɤ０时,a x －１ɤ０．所以,当x ɪ(０,１)时,f ᶄ(x )＞０,f (x )单调递增;当x ɪ(１,＋ɕ)时,f ᶄ(x )＜０,f (x )单调递减．故f (x )m a x ＝f (１)＝a －１＜０,此时函数f (x )无零点,不合题意．当０＜a ＜１时,１a ＞１,f (x )在(０,１),(１a,＋ɕ)上单调递增;f (x )在(１,１a)上单调递减．又因为f (１)＝a －１＜０,所以存在m ＝a ＋１＋(a ＋１)２＋aa＞１,使得f (m )＞０．(下转封三)２７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
高中数学解题方法技巧：函数零点问题
高中数学解题技巧剖析：函数零点问题作者：xbomath 倾情分享今天跟大家分享一下每日一题：函数零点问题。
本题难度中等偏上，对于同学们的综合能力有较高要求，着重考察数形结合、绝对值的意义等思想。
数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、最值问题中，在求复数和三角函数解题中，运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。
这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野。
本道题目的主旨在于将一个未知函数拆分为两个常见的函数，然后运用数形结合的思想来解决问题。
令f (x )=0，将等式移项变换，可以得到两个新函数， g (x )=1x和ℎ(x )=|2x −m |的绝对值型一次函数，最后画图求交点，根据图像 数m 的取值范围即可。
解析：易知 f (0)=−1，故函数f (x )有三个不同的零点，可以转化为|2x −m |=1x 有 三个不同的非零实数根，即函数y =|2x −m |与y =1x(x >0)的图像有三个不 习题2.1 已知函数f (x )=൝−2x 2+mx −1, x <m 22x 2−mx −1, x ≥m 2，若函数f (x )有三个不 同的零点，则实数m 的取值范围为A. (2, +∞)B. (2ξ2,+∞)C. (4, +∞)D. (4ξ2,+∞)同的交点，作图，当x ≥m 2时，直线y =2x −m 与曲线y =1x(x >0)，有且仅 有一个交点，当0<x <m 2时，直线y =2x +m 与曲线y =1x(x >0)，必有两 个不同的交点，而当直线y =2x +m 与曲线y =1x (x >0)相切时，−1x 2=−2 解得x =ξ22，此时m =2ξ2，此时m =2ξ2结合图像可知：m >2ξ2。
专题02+“三招五法”轻松破解含参零点问题(第一篇)-2019年高考数学压轴题命题区间探究与突破
一．方法综述函数的含参零点问题是高考热门题型，既能很好地考查函数、导数、方程与不等式等基础知识，又能考查分类讨论、数形结合、转化与化归等思想方法，所以此类题往往能较好地体现试卷的区分度，往往出现在压轴题的位置.正因为如此，根据函数的零点情况，讨论参数的范围成为高考的难点．对于此类题目，我们常利用零点存在定理、函数的性质，特别是函数单调性（可借助于导数）探寻解题思路，或利用数形结合思想、分离参数方法来求解．具体的，（1）分类讨论参数的不同取值情况，研究零点的个数或取值；（2）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（3）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（4）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.二．解题策略类型一“第一招”带参讨论【例1】【湖南省澧县一中2018届一轮第一次检测】已知函数f(x)=,如果函数f（x）恰有两个零点，那么实数m的取值范围为_____．【答案】【解析】分析：根据与-2，0和4的大小关系逐一判断的零点个数即可得出结论．若，则在上有2个零点0，在上无零点，符合题意；∴或．故答案为：．【指点迷津】1.根据题设要求研究函数的性质，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；2.由于函数含有参数，通常需要合理地对参数的取值进行分类讨论，并逐一求解．【举一反三】【江苏省扬州中学2019届高三10月月考】已知定义在上的函数可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和，设若方程无实根，则实数的取值范围是_________【答案】【解析】∴p（t）=t2+2mt+m2﹣m+1．p（p（t））=[p（t）]2+2mp（t）+m2﹣m+1，若p（p（t））=0无实根，即[p（t）]2+2mp（t）+m2﹣m+1①无实根，方程①的判别式△=4m2﹣4（m2﹣m+1）=4（m﹣1）．1°当方程①的判别式△＜0，即m＜1时，方程①无实根．2°当方程①的判别式△≥0，即m≥1时，方程①有两个实根，即②，只要方程②无实根，故其判别式，即得③，且④，∵m≥1，③恒成立，由④解得m＜2，∴③④同时成立得1≤m＜2．综上，m的取值范围为m＜2．类型二“第二招”数形结合【例2】【2018年天津卷理】已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________.【答案】【解析】分析：由题意分类讨论和两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果.令，其中，原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，结合观察可得，实数的取值范围是.【指点迷津】1.由两个基本初等函数组合而得的超越函数f(x)＝g(x)－h(x)的零点个数，等价于方程g(x)－h(x)＝0的解的个数，亦即g(x)＝h(x)的解的个数，进而转化为基本初等函数y＝g(x)与y＝h(x)的图象的交点个数．2.先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数【举一反三】【2019届同步单元双基双测AB卷】已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围为____．【答案】.【解析】分析：求出函数|f（x）﹣3x的解析式，画出函数的图象，利用函数的极值，转化求解即可．当x＜0时，≥6，当且仅当x=﹣1时取等号，此时﹣b＞6，可得b＜﹣6；当0≤x≤4时，x﹣x2≤，当x=时取得最大值，满足条件的b∈（﹣，0]．综上，范围是.故答案为：.类型三“第三招”分离参数【例3】【广东省惠州市2019届10月调研】已知函数是定义在上的偶函数，且，若函数有 6 个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数f（x）是定义在R上的偶函数，函数F（x）=f（x）﹣m有六个零点，则当x≥0时，函数F（x）=f（x）﹣m有三个零点，令F（x）=f（x）﹣m=0，即m=f（x），②当x≥2时，f （x ）=＜0，且当x→+∞，f （x ）→0，∵f′（x ）=，令f′（x ）==0，解得x=3，当2≤x ＜3时，f′（x ）＜0，f （x ）单调递减， 当x≥3时，f′（x ）≥0，f （x ）单调递增， ∴f （x ）min =f （3）=﹣，故f （x ）在[2，+∞）上的值域为[﹣，0）， ∵﹣＞﹣2，∴当﹣＜m ＜0时，当x≥0时，函数F （x ）=f （x ）﹣m 有三个零点， 故当﹣＜m ＜0时，函数F （x ）=f （x ）﹣m 有六个零点， 故选D. 【指点迷津】1.分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域（最值）问题加以解决；2.通过将原函数中的变参量进行分离后变形成g(x)＝l(a)，则原函数的零点问题化归为与x 轴平行的直线y ＝l(a)和函数g(x)的图象的交点问题．【举一反三】【2015年天津卷理】已知函数()()22,2,{2,2,x x f x x x -≤=->函数()()2g x b f x =--，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）A．7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B．7,4⎛⎫-∞⎪⎝⎭C．70,4⎛⎫⎪⎝⎭D．7,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D类型四“三招五法”一题多解【例4】【2014年全国卷Ⅰ】已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围为()A．(2，＋∞)B．(－∞，－2)C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)【答案】B【解析】法一单调性法：利用函数的单调性求解由已知得，a≠0，f′(x)＝3ax2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2 a .当a>0时，x∈(－∞，0)，f′(x)>0；x∈（0，2a），f′(x)<0；x∈（2a，＋∞），f′(x)>0.所以函数f(x)在(－∞，0)和2a，＋∞上单调递增，在（0，2a）上单调递减，且f(0)＝1>0，故f(x)有小于零的零点，不符合题意．当a<0时，x ∈（－∞，2a ），f′(x)<0；x ∈（2a，0），f′(x)>0；x ∈(0，＋∞)，f′(x)<0.所以函数f(x)在（－∞，2a ）和(0，＋∞)上单调递减，在（2a ，0）上单调递增，所以要使f(x)有唯一的零点x 0且x 0>0，只需f （2a）>0，即a 2>4，解得a<－2.法三 数形结合法：转化为两曲线的交点问题求解令f (x )＝0，得ax 3＝3x 2－1.问题转化为g (x )＝ax 3的图象与h (x )＝3x 2－1的图象存在唯一的交点，且交点横坐标大于零．当a ＝0时，函数g (x )的图象与h (x )的图象存在两个的交点； 当a >0时，如图(1)所示，不合题意；当a <0时，由图(2)知，可先求出函数g (x )＝ax 3与h (x )＝3x 2－1的图象有公切线时a 的值．由g ′(x )＝h ′(x )，g (x )＝h (x )，得a ＝－2.由图形可知当a <－2时，满足题意．法四 分离参数法：参变分离，化繁为简.易知x ≠0，令f (x )＝0，则331a x x ＝－，记331()g x x x ＝－，2'234333(1)()x g x x x x--=-+=，可知g (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在(－1,0)和(0,1)上单调递增，且g (－1)＝－2，画出函数大致图象如图所示，平移直线y ＝a ，结合图象，可知a <－2.【指点迷津】1.本题的实质是函数f (x )存在唯一的零点x 0∈(0，＋∞)，因此可利用其代数特征转化为方程有唯一的正根来构思解析，也可以从零点本身的几何特征入手，将其转化为曲线的交点问题来突破，还可以利用选项的唯一性选取特例求解．2. 函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.【举一反三】【2017课标3，理11】已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．1【答案】C 【解析】方法一：函数的零点满足()2112x x x x a e e --+-=-+，设()11x x g x ee--+=+，则()()211111111x x x x x x eg x eeee e ---+----'=-=-=，当()0g x '=时，1x =，当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减， 当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当1x =时，函数取得最小值()12g =，设()22h x x x =- ，当1x =时，函数取得最小值1- ，方法二：由函数f (x )有零点，得211(2)0x x x x a e e －－＋－＋＋＝有解， 即211()(110)x x x a e e －－＋－－＋＋＝有解， 令1t x ＝－，则上式可化为2(10)t t t a e e －－＋＋＝，即21t tt a e e--+＝. 令21t tt e e--+h(t)＝，易得h (t )为偶函数， 又由f (x )有唯一零点得函数h (t )的图象与直线y ＝a 有唯一交点，则此交点的横坐标为0， 所以10122a -＝＝，故选C. 方法三：由()112()02.x x f x a ee x x ⇔－－＋＝＋＝－＋112x x e e ≥－－＋＋，当且仅当1x =时取“＝”． 2221)11(x x x ≤－＋＝－－＋，当且仅当1x =时取“＝”．若a >0，则112()x x a ee a ≥－－＋＋，要使f (x )有唯一零点，则必有21a ＝，即12a ＝. 若a ≤0，则f (x )的零点不唯一． 综上所述，12a ＝. 三．强化训练1．【2018年新课标I 卷理】已知函数．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A ． [–1，0）B ． [0，+∞）C ． [–1，+∞）D ． [1，+∞）【答案】C【解析】2.【安徽省肥东县高级中学2019届8月调研】已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】若函数有两个零点，则函数的图象与有且仅有两个交点，在同一坐标系内画出函数的图象与的图象如下：3.【黑龙江省2018年仿真模拟（十）】已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】绘制函数的图象如图所示，令，由题意可知，方程在区间上有两个不同的实数根，令，由题意可知：，据此可得：.即的取值范围是.本题选择D选项.4．【2019届同步单元双基双测AB卷】函数的定义域为实数集,,对于任意的都有,若在区间函数恰有三个不同的零点, 则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，由K AC=﹣，K BC=﹣，结合图象得：m∈，故选：5.【安徽省肥东县高级中学2019届8月调研】定义在上的函数，满足，且当时，，若函数在上有零点，则实数的a取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为当时，，所以时，所以，此时，故．所以在上的图象如图，要使函数在上有零点，只要直线与的图象有交点，由图象可得，所以使函数在上有零点，则实数的取值范围是．故选：B．6.【安徽省皖中名校联盟2019届10月联考】设函数若互不相等的实数满足则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】不妨设，的图像如图所示，7.【安徽省六安市舒城中学2018届仿真（三）】函数，关于方程有三个不同实数解，则实数的取值范围为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，，即则大致图象如图所示设，①当有一个根为时，，解得，此时另一个根为，满足条件②根不是时，则满足即综上所述，故实数的取值范围为故选8.【四川省双流中学2018届一模】对于函数和，设，若所有的，都有，则称和互为“零点相邻函数”.与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】9．【2018年浙江卷】已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】(1,4)【解析】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数的取值范围.详解：由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为.10.【安徽省定远重点中学2019届第一次月考】函数，定义函数，给出下列命题：①；②函数是偶函数；③当a＜0时，若0＜m＜n＜1，则有F（m）﹣F（n）＜0成立；④当a＞0时，函数有4个零点．其中正确命题的序号为________________________ ．【答案】②③④【解析】∴F(m)−F(n)<0成立．故③正确对于④，由于，且函数，∴当x>0时，函数在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，∴当x>0时，F(x)的最小值为F(1)=1，∴当x>0时，函数F(x)的图象与y=2有2个交点，又函数F(x)是偶函数，∴当x<0时，函数F(x)的图象与y=2也有2个交点，画出图象如下图：故当a>0时，函数y=F(x)−2有4个零点．所以④正确．综上可得②③④正确．。
掌握高考数学中的函数零点与单调性判断技巧有哪些关键点
掌握高考数学中的函数零点与单调性判断技巧有哪些关键点函数是高考数学的基础知识之一，而在求解函数的零点以及判断函数的单调性时，掌握相应的技巧对于解题至关重要。
本文将探讨在高考数学中，掌握函数零点与单调性判断的关键点。
一、函数零点的判定函数的零点是指函数取零值的点，也就是函数图像与x轴的交点。
在高考数学中，常用的方法有以下几种关键点：1. 方程法：将函数表达式置为零，通过解方程求解。
例如，对于一次函数y=ax+b，零点即为方程ax+b=0的解。
此方法适用于一次函数和二次函数等较简单的函数，但对于高次多项式函数可能较为繁琐。
2. 二分法：对于连续函数，若f(a)和f(b)异号，则函数在(a, b)内至少存在一个零点。
通过不断将区间一分为二，并判断分割后的两个新区间中f(x)的取值情况，可以逐步缩小零点所在的范围。
例如，对于函数f(x)=x^3-3x+1，f(-2)=-13，f(0)=1，故函数在(-2,0)之间存在一个零点。
3. 中间值定理：若连续函数f(x)在区间[a, b]内，且f(a)和f(b)异号，则函数在(a, b)内至少存在一个零点。
该方法常用于判断函数零点的存在性。
例如，对于函数f(x)=x^2-4，在区间(-2,2)内f(-2)=-4，f(2)=0，因此函数在(-2,2)内存在一个零点。
二、单调性判断的技巧判断函数的单调性是在高考数学中常见的问题，以下是几个关键点：1. 导数法：对于可导函数，导数的正负性直接与函数的单调性相关。
当导函数f'(x)大于零时，函数在该区间内单调递增；当导函数f'(x)小于零时，函数在该区间内单调递减。
例如，对于函数f(x)=x^2，导函数f'(x)=2x，因此函数在x>0时单调递增。
2. 函数值法：对于一些无法直接求导的函数，可以通过计算函数在不同区间上的取值来判断函数的单调性。
例如，对于函数f(x)=x^3-3x+1，在函数图像上找到拐点、极值点及与x轴的交点，根据函数图像的变化来判断函数的单调性。
【ILMT】零点区间的寻找技巧和常见模型(找点策略)
优化②：为了使得解集更好看，配凑一下系数，使得该二次不等式常数项为 0，即
a x 2 e ， 2 x 12 2 x
所以，取 b 满足 b 0 且 b ln
a 即可使得 f b 0 .（这就解释了 2016 年全国卷Ⅰ标准答案中找点的思路） 2
a a 1 1 1 f 1 0； ln 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a
另一方面：因为 ln x x x 1 或 ln x x 右侧可取：
1 x
x 1 ，要使得 ln x ax 0 ，只需要
x ax 0 ，即 x
1 1 e 1 1, ，考虑到 0 a ，所以 ， 1 a e 1 1 a e
1 （大于 e ） ， a
因为 ln x x 1 ，要使得 ln x ax 0 ，只需要 x 1 ax 0 ，即 x 所以左侧可取：
f 1 a 0 ，
零的点，显然点应满足如下几个条件： ①始终为正数； ②既能开根，也能取对数； ③当 a 越小时，它也随之变小，并且能无限趋于零. 从条件①②来看，我们应该取指数的形式，且最好为偶次幂，从条件③来看，我们找的指数当趋于 0 时应趋于负无 穷，所以可取反比例函数的形式或双撇函数的形式，经过尝试与调整，找可找到如下的点：
零点区间的寻找技巧
方法一：直接放缩法。成功关键：在目标区间上找到一个合适的逼近函数.
【示例】证明：当 0 a 分析：极值点为 x
1 时， f x ln x ax 有两个零点. e
1 1 f ln 1 0 ，所以需要在左右两侧各找一个函数值小于零的点. a a
方法四：分而治之。成功关键：对乘积式的每个因式进行适当放缩.
导数大题的常用找点技巧和常见模型
导数大题的常用找点技巧和常见模型引子：（2017年全国新课标1·理·21）已知2x 2xf x ae a e x.（1）讨论f x的单调性；（2）若f x有两个零点，求a的取值范围.解析：（1）f'x 2ae2x a 2e x 12e x 1ae x 1若a 0，则f 'x0恒成立，所以f x在R上递减；1 1若a 0，令f 'x 0，得a ae ,x ln.x当x11时，f 'x0，所以f x在ln ,ln上递减；a a当x11时，f 'x 0，所以f x在ln ln ,a a上递增.11综上，当a 0时，f x在R上递减；当a 0时，f x在,ln ln ,上递减，在a a 上递增.111（2）f x有两个零点，必须满足min0f x ，即a 0，且f x f ln1ln.mina a a1构造函数g x 1x ln x，x 0.易得g xx'10，所以g x 1x ln x单调递减..1111又因为g 10，所以1ln0g g 110a1a a a a下面只要证明当0a 1时，f x有两个零点即可，为此我们先证明当x 0时，x ln x.1事实上，构造函数h x x ln x，易得，∴h x min h 11，所以h x0，即x ln x.h'x1xa ea e 22a a 2当0a 1时，f 110，e e e2223a 33333f ln a 1a 21ln 11ln 10a a a a a a ，13a11其中1ln，，所以f x在1, lnln lna a a a13a和ln,ln上各有一个零点.a a故a 的取值范围是0,1 .注意：取点过程用到了常用放缩技巧。
2x x2x x x x x 3a 3一方面：ae a 2e x 0ae a 2e e 0ae a 30e x ln 1a a；另一方面：x 0时，2x 2x02x01ae a e x a e x x （目测的）常用的放缩公式（考试时需给出证明过程）第一组：对数放缩（放缩成一次函数）ln x x 1，ln x x，ln 1x x11（放缩成双撇函数）ln x x x12x11，x x xln012x，。
函数零点问题的解题模板-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板含解析
【高考地位】函数的零点是新课标的新增内容,其实质是相应方程的根，而方程是高考重点考查内容,因而函数的零点亦成为新课标高考命题的热点。
其经常与函数的图像、性质等知识交汇命题，多以选择、填空题的形式考查。
【方法点评】一、零点或零点存在区间的确定使用情景:一般函数类型解题模板：第一步 直接根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否大于0;第二步 若其乘积小于0,则该区间即为存在的零点区间；否则排除其选项即可.例1 函数()43x f x e x =+-的零点所在的区间为（ )A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B考点：零点存在定理． 【变式演练1】方程220xx +-=的解所在的区间为（ ）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3) 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得,设函数()22x f x x =+-，则()()0102021,12121f f =+-=-=+-=，所以()()010f f <，所以方程220xx +-=的解所在的区间为(0,1)，故选B 。
考点：函数的零点.【变式演练2】函数21()log f x x x=-的零点所在区间( ）A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．(1,2)D ．(2,3) 【答案】C 【解析】 试题分析：()211(1)log 1110,2122f f =-=-<=-=,()()120f f ∴⋅< ，故函数21()log f x x x=-的零点所在区间为(1,2)． 考点：函数零点的判断．二、零点的个数的确定方法1:定义法使用情景:一般函数类型解题模板：第一步 判断函数的单调性；第二步 根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0;若其乘积小于0，则该区间即为存在唯一的零点区间或者直接运用方程的思想计算出其零点；第三步 得出结论.例2。
零点问题的考查类型及解题策略_王朝璇
利用导数研究超越函数的零点的
一般方法是： 利用导数研究函数在区间上单 极值（ 最值） 、 端点值等性质， 转化为函 调性 、 数的图象与 x 轴（ 或直线 y = k） 在该区间上的 交点问题， 如果能够画出图象的尽可能画出 图象， 结合图象求解 ． 此题解 题 的 关 键 是 合 理 地 进 行 分 类 讨 论， 分类讨论时， 首先抓住题目中显然的分界 点， 即能使函数的值为零的点或能使导函数 恒大于零或小于零的点， 然后循序渐进， 逐个 讨论 ． 考点 3 在 例3
(
0，
从而
a =－
x0 2 或 a = x0 － 2 x0 ． 2 x0 ， 即a = 2
1 － 槡 1 － 4a 2
) 内单 1 － 槡 1 － 4a 1 + 槡 1 － 4a ， 在( 调递增， )内 2 2
1 + 槡 1 － 4a ，+ ∞ 与 2 单调递减 ． 对于（ 2 ） ， 有的资料上的解答步骤是： ①
2
1 ） 时， 当 x ∈ （ 0， 显然有 h （ x） ＜ 0 ， 又 h（ 2 ） = 3ln 2 － = ln 8 － 4 e2
4 ＞ 0， e2
2） ， 所以存在 x0 ∈ （ 1 ， 使 h （ x0 ） = 0 ． 2 ） 内单调递增． 再证明 h（ x） 在（ 1 ， h' （ x） = ln x + 设 r（ x） = 则 r' （ x） = 1 x（ x － 2 ） +1 + ． x ex
2 ） 内有根 ． 先证明方程 h（ x） = 0 在（ 1 ，
· 31·
高中数学教与学
考点 2 例2 判断函数零点个数
2015 年
1 ） 中， f（ x） 取 得 最 小 值 调 递 增，故 在 （ 0 ， f a a = 2a － － (槡 3 槡3 3 ) ① 当f + 1 ， 再对其进行讨 4
求零点的方法
求零点的方法一、图像法。
图像法是一种直观的求零点方法，通过观察函数图像与x轴的交点来确定函数的零点。
首先，我们需要绘制函数的图像，然后找到图像与x轴相交的点，这些点的横坐标即为函数的零点。
图像法适用于简单的函数，可以直观地帮助我们理解函数的零点位置和数量。
二、试位法。
试位法是一种逐步逼近的求零点方法，通过不断地缩小零点的范围来确定函数的零点。
首先，我们需要选择一个区间，然后在该区间内选择一个试探点，计算函数在试探点处的取值，根据取值的正负关系来缩小零点的范围，然后再在新的范围内选择试探点，重复上述步骤，直到获得足够精确的零点。
试位法适用于一般的函数，可以通过有限次迭代来逼近函数的零点。
三、牛顿迭代法。
牛顿迭代法是一种快速收敛的求零点方法，通过不断地迭代来逼近函数的零点。
首先，我们需要选择一个初始点，然后利用函数的导数和函数值来计算下一个迭代点，重复这一过程，直到获得足够精确的零点。
牛顿迭代法适用于光滑的函数，可以在较少的迭代次数内获得较高精度的零点。
四、二分法。
二分法是一种简单而有效的求零点方法，通过不断地将零点范围二分来确定函数的零点。
首先，我们需要选择一个区间，然后计算区间的中点，根据中点处的函数值和零点的关系来确定新的区间，重复这一过程，直到获得足够精确的零点。
二分法适用于连续的函数，可以在有限次迭代内获得较高精度的零点。
综上所述，求零点是数学中常见的问题，我们可以通过图像法、试位法、牛顿迭代法和二分法等多种方法来确定函数的零点。
不同的方法适用于不同类型的函数，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解函数的零点，从而更好地理解和运用这一数学概念。
希望本文介绍的方法能够帮助大家更好地掌握求零点的技巧，提高数学问题的解决能力。
函数零点问题求解策略
函数零点问题分类解析函数的零点是函数与方程之间的一种重要的联系，根据函数零点的定义，函数与方程之间可以相互转化，函数零点问题可以转化成方程根的求解问题，而方程根的求解问题又可转化为函数零点问题。
下面就函数零点问题的应用，从五个方面举例说明，供大家参考。
一、判断方程是否存在实根例1、判断方程3210x x -+=在区间[-1，0]内有没有实根，并说明理由。
解：设32()1f x x x =-+，函数f （x ）的图像是一条连续曲线。
因为32(1)(1)(1)110f -=---+=-<，32(0)(0)(0)110f =-+=>，所以(1)(0)0f f -⋅<，所以函数f （x ）在区间[-1，0]内有零点，即方程3210x x -+=在[-1，0]内有实根。
点评：对于方程f （x ）=0，若无法直接求出实根时，可判断对应的连续函数y=f （x ）的图像是否与x 轴有交点，找出图像上的两点，满足一点在x 轴上方，另一点在x 轴下方即可。
二、研究方程根的个数例2、设3()f x x bx c =++是[-1，1]上的增函数，且11()()022f f -⋅<，则方程f （x ）=0在[-1，1]内（ ）A 、可能有三个实根B 、可能有两个实根C 、有唯一的实根D 、没有实根解：由11()()022f f -⋅<，知方程f （x ）=011[,]22-内有实根，而f （x ）在[-1，1]上单调递增，可知11()0,()022f f -<>，所以方程f （x ）=0在[-1，1]内只有唯一实根， 故选C.点评：在区间[a ，b]上单调且图像连续的函数y=f （x ），若f （a ）·f （b ）<0，则函数y=f （x ）在（a ，b ）内有唯一的零点。
在研究方程的有关问题时，如比较方程根的大小、确定方程根的分布、证明根的存在性等，都可以将方程问题转化为函数问题，借助函数的零点，结合函数的单调性加以解决。
高中数学零点存在的原理和应用
高中数学零点存在的原理和应用1. 零点的定义零点是一个数学概念，它代表了一个函数在某个特定的输入值下输出为零的情况。
即，对于函数f(x)而言，如果存在一个x使得f(x)=0，那么x就是函数的零点。
在数学中，我们常常将寻找零点作为解方程的一种方法。
2. 零点存在的条件要判断一个函数是否存在零点，需要满足以下条件：•函数必须是实数函数，即函数的定义域为实数集。
•函数必须是连续函数，即函数图像没有断裂、间断等情况。
•函数必须是单调函数，即函数的图像在定义域上只有一个升序或降序的走势。
3. 求解零点的方法寻找一个函数的零点可以采用多种方法，下面列举了几种常见的方法：•试位法：通过逐步逼近的方式，在函数图像上通过不断缩小最小值和最大值的范围，最终找到函数的零点。
•二分法：对于区间[a,b]，首先找到区间中点c=(a+b)/2，然后判断函数在c点的取值情况，如果f(c)=0，则c就是零点；如果f(c)>0，则在区间[a,c]中继续寻找零点；如果f(c)<0，则在区间[c,b]中继续寻找零点。
通过不断地二分区间，最终可以找到零点的近似解。
•牛顿切线法：通过利用函数图像在零点处的切线来逼近零点的位置。
具体步骤是，在初始点x0处求出函数的切线，然后求出切线与x轴的交点，即为新的x位置。
不断迭代，最终可以找到零点的近似解。
4. 零点存在的应用•方程的求解：寻找零点是解方程的一种常见方法。
无论是线性方程、多项式方程还是其他类型的方程，都可以通过求解函数零点的方法来得到方程的解。
•最优化问题：在一些最优化问题中，需要求解函数的最小值或最大值。
通过寻找函数的零点，可以找到函数的极值点，从而解决最优化问题。
•几何图形的位置关系：对于一些几何图形，可以通过寻找函数的零点来确定图形之间的位置关系。
例如，寻找两条直线的交点来确定直线之间的关系，或者寻找曲线与直线的交点来确定曲线与直线的关系等。
5. 总结零点作为一个重要的数学概念，在高中数学中具有重要的意义。
【ILMT】找点速成——“2+3找点秘籍”
，在极值点左侧寻找
x0
，使得
f
x0
0
.
分析：极值点左侧，有 x ，则 x ，于是
明
注 xex
a
0
xex
a
x
ae x
ex
1 aΒιβλιοθήκη x.载请 该问题转化为基本模型一了，于是可取 x 2
1 a
x ，即
x
1 9
x3
，
a
的正负不定，加强为
1 9
x3
a a
x2 x
x 9 ，即 x 3
a a
.
1
， 9
x3
a
1 9
x3
a
x 9 3 a
用 于是可取 x1 9 a 3 a 93 a 1或 x1 max 9 a ,3 a ,93 a ,1 .
ln
1 a2
1 a
2 ln
1 a
1 a
0.
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心之所向，素履以往
湖南邵阳杨歆琪 20190128
它的证明可以通过构造函数 h x ln x x 0 来实现.
x
（ ln x 1 1 2ln x x ln x x 或 ln x 1 1 2ln 1 1 0 ）
ex x2
a
在 0,
恰有一个零点，求 a
零点问题取点技巧的教学探究
零点问题取点技巧的教学探究作者：***来源：《中学教学参考·理科版》2024年第06期［摘要］零点问题的解析常运用零点存在定理，涉及关键的取点分析，准确取点是解题的关键。
教师应重点指导方法技巧。
文章从问题出发，启发学生思考，深入探索零点问题的取点技巧，并结合实例强化，提出相应的教学建议。
［关键词］零点问题；取点技巧；教学［中图分类号］ G633.6 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-6058（2024）17-0004-03利用零点存在定理判断零点的个数是高考命题考查的热点，该知识点也是学生学习的难点。
在使用零点存在定理时，学生需要找到函数值异号的两个点，而准确取点是解题的关键，具有一定的难度和技巧性。
教学中，教师需要讲解方法原理，引导学生掌握对应技巧，同时立足问题，引导学生感知问题，逐步掌握方法技巧。
一、由问题引发的思考问题：已知函数[f（x）=cosx-xx2]，[x∈（0，+∞）]，试证明函数[f（x）]在[（0，+∞）]上有且只有一个零点。
解析：证明函数[f（x）]在固定区间上有且只有一个零点，基本思路是借助导数的相关知识，结合零点存在定理来探索。
令[f（x）=cosx-xx2=0]，可得[cosx-x=0]，再令[g（x）=cosx-x]，要证明函数[f（x）]在[（0，+∞）]上有且只有一个零点，即证明[g（x）]在[（0，+∞）]上有且只有一个零点。
而[g（x）=-sinx-1<0]，则函数[g（x）]在[（0，+∞）]上单调递减。
进一步分析有[gπ6=cosπ6-π6>0]，[gπ2=cosπ2-π2<0]，则[gπ6·gπ2<0]。
根据零点存在定理可知，函数[g（x）=cosx-x]在[（0，+∞）]上有且只有一个零点。
教学引导：教师在过程解析后引导学生重点关注函数[g（x）=cosx-x]的判断方法，显然是采用特殊值法，即取函数上的特殊值：[gπ6]和[gπ2]，根据其异号判断对应两点位于[x]轴的上、下方不同位置，进一步结合函数的单调性完成证明。
2-4导数中ATM找点法
（对数次方同构）
7．
h(x)
ln x x
h(enx)
ln en x enx
enh(enx)
ln
x x
n
（对数乘法同构）
【例 4】讨论以下找点问题与之同构母函数的关系．
（1）讨论 f (x) e2x mx 的零点个数；
（2）讨论 f (x) ln x m x 的零点个数；
（3）讨论
f
(x)
x
a ex
a ea
a(1
1 ea
)
0
，或者
f
1 a ln 1 a a
1 a
1 1 1 a
a 1 a
0
( 利用 ln x 1
1 x
)；
当 a 0 时，显然只有一个零点 x 1 ；当 1 a 0 时，如图 13-1-10 所示，有两个交点，一个位于区间 (0 ，1) ，
e
e
一个位于区间 (1 ，1) ，故 f (1) a 0 ， f (1) 1 ae 0 ( 或者 f (a) ln(a) 1 ln(ae) 0 ) ，显然我们
13028108420
欢迎各位同仁指正！ 283
学习数学 领悟数学 秒杀数学 【例 9】（2016•新课标Ⅰ）已知函数 f (x) (x 2)ex a(x 1)2 ． （1）讨论 f (x) 的单调性； （2）若 f (x) 有两个零点，求 a 的取值范围． 【解析】（1）
第二章 导数
（2）法一
【解析】
总结：找点的关键还是放缩思想，所谓放缩，就是你知道了答案才能用的，就好比本题关键在于找到点
f (ln a2 ) ，倘若不知道 2 ln a 的最值，那么这个点就很难找到．之所以找点难度大，给人一种像雾像雨又像 a
函数零点近似值的探求策略
函数零点近似值的探求策略
寻找函数零点，作为近似解，是数学分析问题的常见技术。
函数
零点是指满足条件f(x)=0的x的所有值的集合，也就是函数f(x)的根。
如果函数f(x)是连续的，那么它往往有一个零点，或多个零点。
函数
零点的探求一般采用函数近似法，其计算思路主要包括：函数估计、
函数校正和函数迭代。
首先，在函数估计中，应用观测计算或数学建模等辅助方法，结
合实际情况，主观地确定一组候选点，作为函数零点的初始估计点，
这组候选点一定在函数零点的附近；
其次，在函数校正中，可以用Newton-Raphson方法，即用多项式
估计函数f(x)的导数，用F形线段来拟合取得的初始估计值，从而求
得新的拟合点，它比原来近似值更接近函数零点；
最后，函数迭代，根据上述拟合得到的更精确的近似值，重复迭
代拟合，直到拟合的新点与上一次的拟合点的误差小于一定的值时，
便认为其已经接近函数零点了，这样就得到了函数零点近似值。
由此可见，探索函数零点的近似值是一种有效的技术，它通过初始近似点、新点迭代、精细化估计等相结合的方法，能够提供较为准确的函数零点近似解。
希望通过本文的介绍，能够为大家更好地理解函数零点的探求策略，也希望大家在实际应用中能够得到更多的实践经验。
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x a e ， 2 x 1 2 x
1 5 且 b ln a 即可使得 f b 0 . 2 很明显，上述拆分已经达到目的，但是结果还可以从视觉上优化：
即取 b 满足 b 优化①：弱化 x 1 2 x 的解，也就是取 b 1 且 b ln a 也可使得 f b 0 .
f ea a aea a 1 ea 0 .
【变式】 （经过换元和等价变形之后均可以转化到例 1： f x ln x ax ） ： 1. 讨论 f x ln x m x 的零点个数（令 x t ， 2. 讨论 f x x m ln x 的零点个数（令 3. 讨论 f x
m ； a） 2
1 ； a） m
x ln x mx 的零点个数（考虑 g x
f x x
） ；
3
4. 讨论 f x
ln x 3 ； mx 的零点个数（考虑 g x x f x ，令 t x 2 ， m a ） 2 x
2
2 5. 讨论 f x ln x mx 的零点个数（令 t x ， 2m a ） ；
x
1
1. 讨论 f x e 2. 讨论 f x
2x
mx 的零点个数（令 2 x t ，
m ； a） 2
ex m ； 的零点个数（去分母后与 1 等价） x ex
x
3. 讨论 f x e m x 的零点个数（移项平方后与 1 等价） ； 4. 讨论 f x e mx 的零点个数（移项开方后换元与 1 等价） ；
1 1 1 1 1 1 1 f 2 ln 2 a a 0 ，其中 2 e2 e .（用到了 ln x x x 1 ） a a a a a a x
（4）当 a 0 时，1 个零点.
f ' x
1 a 1 a 1 f 1 0； ln 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a
另一方面：因为 ln x x x 1 或 ln x x 右侧可取：
1 x
x 1 ，要使得 ln x ax 0 ，只需要
x ax 0 ，即 x
或写得好看一点，取 x0 1, 3 a 1 也能符合要求.
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方法三：目测。成功关键：数感与大胆.
【示例】证明：当 a e 时， f x e ax 有两个零点.
x
l a a 1n 分析：极值点为 x ln a （大于 1 ） ， f n l a 0
1 a 0 ，单调递增. f 1 a 0 ， x
1 a a 1 1 1 a 1 1 f e a a ae a a 2 1 2 a 0 . a a e a e
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6. 讨论 f x ax e 的零点个数（令 e x t ）.
x
经典模型二： y
ex ex 或y x x
x
【例 2】讨论函数 f x e ax 的零点个数. （1） a 0 时，1 个零点.
f ' x e x a 0 ， f x e x ax 单调递增.
2
优化②：为了使得解集更好看，配凑一下系数，使得该二次不等式常数项为 0，即
a x 2 e ， 2 x 12 2 x
所以，取 b 满足 b 0 且 b ln
a 即可使得 f b 0 .（这就解释了 2016 年全国卷Ⅰ标准答案中找点的思路） 2
1 ，所以 a2
1 1 1 1 1 f 2 ln 2 a a 0 . a a a a a
方法二：在特定条件下进行放缩。成功关键：找到的点一定要在特定的条件下.
【示例】已知 a 2 ， f x 1 x x 2 e x 1 ax 2 x 2 ，试找一个 x0 0 使得 f x0 0 . 分析：因为 e x x 1 ，要利用它来放缩，还需要考虑因式 1 x x2 的正负. 要使得 f x 1 x x 2 e x 1 ax 2 x 2 0 ，
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方法五：分析与构造。成功关键：分析零点区间随参数变化的趋势，构造与之相匹配的代数式作为区间端点.
【示例】证明：当 0 a 分析：极值点为 x
2 时， f x a x ln x 有两个零点. e
2 1 1 1 （接近 0） ， f 2 a 0 ，显然 f 1 a 0 ，难点是在 2 1 的左侧找一个函数值大于 2 e e e e
方法四：分而治之。成功关键：对乘积式的每个因式进行适当放缩.
【示例】证明：当 a 0 时， f x x 2 e a x 1 有两个零点.
x 2
分析：极值点为 x 1 ， f 1 e 0 ， f 2 a 0 ，难点是在 1 的左侧找一个函数值大于零的点，显然自变量越小 越容易成功，要使得 x 2 e x a x 1 0 ，即 a x 1 2 x e x ，只需要满足
2 （放缩成二次函数） ln x x x ， ln 1 x x
（放缩成类反比例函数） ln x 1
2 x 1 2x 1 ， ln x x 0 0 x 1 ， ln x 1 x2 x x 1
ln 1 x
2 x 1 x 2x ， ln x x 0 x 1 ， ln 1 x 1 x 2 x x 1
第二组：指数放缩
x x x （放缩成一次函数） e x 1 ， e x ， e ex ，
1 1 x 0 ， ex x 0 ， 1 x x 1 x 2 （放缩成二次函数） e x ， e x 1 x x 2 x 0 ， 2
（4） a e 时，2 个零点.
1 f e a 1 0 ， f 1 e a 0 ， f 2 ln a a a 2 ln a a e 2 0 . a
【变式】 （经过换元和等价变形之后均可以转化到例题 2： f x e ） ：
4 4 4 a f e a a a a a a 0. 2 4 ea a2
附：常用放缩公式
第一组：对数放缩 （放缩成一次函数） ln x x 1 ， ln x x ， ln 1 x x ， ln x （放缩成双撇函数） ln x
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零点区间的寻找技巧
湖南邵阳杨歆琪
方法一：直接放缩法。成功关键：在目标区间上找到一个合适的逼近函数.
【示例】证明：当 0 a 分析：极值点为 x
1 时， f x ln x ax 有两个零点. e
1 1 f ln 1 0 ，所以需要在左右两侧各找一个函数值小于零的点. a a
左侧，自变量越小，成功的可能性越高，则可找：
，所以需要在左右两侧各找一个函数值大于零的点.
1 1 1 f e a 1 0 ， f 0 1 0 ， f 1 a 0 . e a
右侧，自变量越大，成功的可能性越高，则可找：
f 2ln a e2ln a 2a ln a a a 2ln a 0 ， f a ea a 2 0 .
（3）当 0 a
1 时，2 个零点. e
1 a 1 a 1 1 f 1 a 0 （目测） 1 0 ，其中 1 ，f e .（放缩） ln 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a
f e 1 ea 0 .
（放缩成类反比例函数） e x 第三组：三角函数放缩
sin x x tan x x 0 ， sin x x x 2 ， 1 x 2 cos x 1 sin 2 x .
1 2
1 2
1 2
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几个经典函数模型
经典模型一： y
1 1 e 1 1, ，考虑到 0 a ，所以 ， 1 a e 1 1 a e
1 （大于 e ） ， a
因为 ln x x 1 ，要使得 ln x ax 0 ，只需要 x 1 ax 0 ，即 x 所以左侧可取：
f 1 a 0 ，
2 1 x x 0 只需 ， 2 2 1 x x x 1 1 ax 2 x 0
1 5 5 1 0 x , 3 a 1 即可使得 f x0 0 . 2 即 ，因此取 x0 x 1 2 3 a 2
x . e
1 1 1 1 x x 1 ， ln x x 0 x 1 ， 2 x 2 x
ln x x
1 1 x 1 ， ln x x 0 x 1 ， x x
1 2 1 x 1 x 0 ， ln 1 x x x 2 x 0 2 2
ln x x 或y . x ln x
【例 1】讨论函数 f x ln x ax 的零点个数. （1） a
1 时，无零点. e f ' x
1 1 1 a ， f x max f ln 1 0 . a x a