导数大题的常用找点技巧和常见模型 2020
高考导数题型及方法总结(思维导图)
函数极值最值
和差型导函数 积商型导函数 指数e^x混合型 幂次x^n混合型
逆构造解不等式
求函数零点个数 求函数极值最值
抽象导函数问题பைடு நூலகம்
导数
恒成立求参
参变分离 分离函数 必要性探路 端点效应 分类讨论求最值 隐极值代换 双任意双存在问题
不等式证明
一元不等式证明
指对处理技巧 基本放缩 隐零点代换 凹凸反转
直线与曲线最短距离 对称曲线最短距离 公共切点 不同切点
在点切线 过点切线 距离最值
公切线问题
导数的几何意义
一次型
因式分解型 不能因式分解
二次型
二次求导
可以参变分离
几何意义 函数性质
不能参变分离
常见函数图像 含参讨论单调性 已知单调性求参
函数单调性
求函数极值最值 已知极值最值求参 极值最值范围问题
双重最值问题
二元不等式证明
主元法 同构法
齐次式法
极值点偏移问题 数列不等式证明
对称构造 比值代换\差值代换 对数均值\指数均值 切线构造
函数零点问题
求函数零点个数 已知零点个数求参
找点技巧
导数大题题型归纳解题方法
导数大题题型归纳解题方法
导数大题题型主要包括求函数的导数、求函数的极值、求曲线的切线方程和法线方程等。
下面给出这些题型的解题方法：
1. 求函数的导数：
- 根据导数的定义，逐项求导；
- 利用乘法法则、复合函数法则、除法法则等求导法则简化计算；
- 对于含有多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数的复合函数，可以根据相应的求导法则和运算规律进行求导。
2. 求函数的极值：
- 首先求函数的导数，得到导函数；
- 解导函数的方程，求得导函数的零点，即函数的驻点；
- 利用二阶导数判别法来判断驻点的类型（极大值点、极小值点或拐点）；
- 如果导函数的零点为函数的一个极值点，则该极值点对应的函数值为极值。
3. 求曲线的切线方程：
- 首先求曲线上一点的切线斜率，可以通过求导得到；
- 然后利用一般点斜式的切线方程公式，以该点和斜率为参数，得到切线方程。
4. 求曲线的法线方程：
- 首先求曲线上一点的切线斜率，可以通过求导得到；
- 利用切线斜率与法线斜率的关系（切线斜率与法线斜率的乘积等于-1），由此得到法线的斜率；
- 然后以该点和法线斜率为参数，利用一般点斜式的法线方程公式得到法线方程。
以上是导数大题题型的一般解题方法，根据具体题目特点和要求，可能需要结合其他数学知识和技巧进行推导和计算。
高考数学导数大题技巧(精选5篇)
高考数学导数大题技巧(精选5篇)高考数学导数大题技巧【篇1】1、选择题部分，高考的选择题部分题型考试的方向基本都是固定的，当你在一轮二轮复习过程中总结出题目的出题策略时，答题就变得很简单了。
比如立体几何三视图，概率计算，圆锥曲线离心率等等试题中都有一些特征，只要掌握思考的切入方法和要点，再适当训练基本就可以全面突破，但是如果不掌握核心方法，单纯做题训练就算做很多题目，突破也非常困难，学习就会进入一个死循环，对照答案可以理解，但自己遇到新的题目任然无从下手。
2、关于大题方面，基本上三角函数或解三角形、数列、立体几何和概率统计应该是考生努力把分数拿满的题目。
对于较难的原则曲线和导数两道题目基本要拿一半的分数，考生复习时可把数学大题的每一道题作为一个独立的版块章节，先总结每道大题常考的几种题型，再专项突破里面的运算方法，图形处理方法以及解题的思考突破口，只要把这些都归纳到位，那么总结的框架套路，都是可以直接秒刷的题目的高考数学导数大题技巧【篇2】1个、多项选择部分，高考选择题的方向基本是固定的，当你在二轮复习过程中总结出题策略时，答案变得很简单。
比如三维几何三视图，概率计算，试题中存在圆锥截面偏心等特点，只要掌握了入门方法和思维要点，经过适当的训练，基本可以全面突破，但是如果不掌握核心方法，单纯做练习题也算做了很多题，也很难突破，学习会进入死循环，比对答案，但是遇到新问题还是无从下手。
2个、关于大话题，基本上是三角函数或求解三角形、顺序、三维几何和概率统计应该是考生努力拿满分的科目。
比较难的原理曲线和导数，基本要一半分，考生在复习时可以将数学大题的每一题作为一个独立的section，先总结一下每个大题经常考的几类题型，然后在计算方法上特别突破，解题的图形处理方法与思维突破，把它全部放在适当的位置，然后总结框架套路，都是可以直接秒刷的话题高考数学导数大题技巧【篇3】1、函数与导数主要考查数学集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。
导数大题的常用找点技巧和常见模型
或
【例 1】讨论函数
（1）
时，无零点.
几个经典函数模型
. 的零点个数.
，
.
（2）
时，1个零点.
，
.
（3）当
时，2个零点.
（目测），
（4）当
时，1个零点.
，其中
，其中 .
.（用到了
，单调递增.
，
.（放缩） ）
【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例 1：
. ）：
1.讨论 2.讨论 3.讨论
4.讨论 5.讨论 6.讨论
（放缩成双撇函数）
常用的放缩公式（考试时需给出证明过程）
，
，
，
，
，
，
（放缩成二次函数）
，
，
（放缩成类反比例函数）
，
，
，
， 第二组：指数放缩 （放缩成一次函数）
，
，
，
，
（放缩成类反比例函数）
，
，
（放缩成二次函数） 第三组：指对放缩
，
，
第四组：三角函数放缩
，
，
.
第五组：以直线
为切线的函数
，
，
，
，
.
经典模型一：
，即
，且
.
构造函数
，
.易得
，所以
单调递减.
又因为
，所以
.
下面只要证明当
时，
有两个零点即可，为此我们先证明当
时，
.
事实上，构造函数
，易得
，∴
，所以
，即
.
当
时，
其中
，
，
，所以
在
和
高中数学解题方法-----导数大题的常用找点技巧和常见模型
x
min
当 时， ， 0 < a <1
( ) f
( −1)
=
a e2
+
a
− e
2
+1=
a
+
ea
+ e2
e2
−
2
>0
， f
ln
3
− a
a
=
a
3 a
2 −1
+
(a
−
2)
3 a
−1
−
ln
3 a
−1
=
3 a
−1−
ln
3 a
−1
>
0
其中 ， ，所以 在 和 上各有一个零点 1 −1 < ln
（2）若 f (x) 有两个零点，求a 的取值范围.
解析：（ ） ( )( ) 1 f '( x) = 2ae2x + (a − 2) ex −1 = 2ex +1 aex −1
若 a ≤ 0 ，则 f '(x) < 0 恒成立，所以 f ( x) 在 R 上递减；
若 ，令 ，得 a > 0
f '( x) = 0 ex = 1 , x = ln 1 .
f (x) < 0 a > 0 min
f
(x) min
=
f
ln
1 1 a = 1− a
− ln
1 a
<0.
构造函数 g ( x) =1− x − ln x ， x > 0 . 易得 g '( x) = −1− 1 < 0 ，所以 g ( x) =1− x − ln x 单调递减. x
高考数学导数大题技巧
高考数学导数大题技巧高考数学导数大题技巧高考导数题主要是考查与函数的综合，考查不等式、导数的应用等知识，难度属于中等难度。
属于这种题型必须把分数哪些这样才可以拿高分，下面由店铺为大家整理高考数学导数大题技巧有关的资料，希望对大家有所帮助!1.若题目考察的是导数的概念，则主要考察的是对导数在一点处的定义和导数的几何意义，注意区分导数与△y/△x之间的区别。
2.若题目考察的是曲线的切线，分为两种情况：(1)关于曲线在某一点的切线，求曲线y=f(x)在某一点P(x,y)的切线，即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.(2)关于两曲线的公切线，若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线.高考导数有什么题型①应用导数求函数的单调区间，或判定函数的单调性;②应用导数求函数的极值与最值;③应用导数解决有关不等式问题。
导数的解题技巧和思路①确定函数f(x)的定义域(最容易忽略的，请牢记);②求方程f′(x)=0的解，这些解和f(x)的间断点把定义域分成若干区间;③研究各小区间上f′(x)的符号，f′(x)>0时，该区间为增区间,反之则为减区间。
高考数学导数主流题型及其方法(1)求函数中某参数的值或给定参数的值求导数或切线一般来说，一到比较温和的导数题的会在第一问设置这样的问题：若f(x)在x=k时取得极值，试求所给函数中参数的值;或者是f(x)在(a,f(a))处的切线与某已知直线垂直，试求所给函数中参数的值等等很多条件。
虽然会有很多的花样，但只要明白他们的本质是考察大家求导数的能力，就会轻松解决。
这一般都是用来送分的，所以遇到这样的题，一定要淡定，方法是：先求出所给函数的导函数，然后利用题目所给的已知条件，以上述第一种情形为例：令x=k，f(x)的导数为零，求解出函数中所含的参数的值，然后检验此时是否为函数的极值。
注意：①导函数一定不能求错，否则不只第一问会挂，整个题目会一并挂掉。
高中数学高考导数题型分析及解题方法(20200618174545)
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题型三：利用导数研究函数的单调性，
极值、最值
1．已知函数 f (x)
3
x
2
ax
bx
c, 过曲线 y
f (x)上的点 P(1, f (1)) 的切线方程为 y=3x+1
（Ⅰ）若函数 f (x)在 x 2 处有极值， 求 f ( x) 的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，
求函数 y f ( x) 在 [ － 3， 1] 上的最大值；
x0 3 ②，
由①②联立方程组得，
x0 1或 x0 5
y0 1 y0 25 ， 即切点为（ 1， 1 ）时， 切
线斜率为 k1 2x0 2;；当切点为（ 5， 25 ）时， 切线斜率为 k2 2x0 10 ；所以所求的切线有
两条， 方程分别为 y 1 2( x 1) 或y 25 10( x 5)，即y 2 x 1 或y 10 x 25
12b b2 12
0, 则0 b 6.
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综上所述， 参数 b 的取值范围是 [ 0, )
3
2
2．已知三次函数 f (x) x ax bx c 在 x 1 和 x 1时取极值， 且 f ( 2) 4 ．
(1) 求函数 y f (x) 的表达式；
(2) 求函数 y f (x) 的单调区间和极值；
(3) 若函数 g ( x) f ( x m) 4m ( m 0) 在区间 [ m 3, n] 上的值域为 [ 4,16] ， 试求 m 、 n 应满 足的条件． 解： (1) f ( x) 3x 2 2 ax b ， 由题意得， 1, 1 是 3x 2 2ax b 0 的两个根， 解得， a 0, b 3 ． 再由 f ( 2) 4 可得 c 2 ．∴ f (x) x 3 3x 2 ． (2) f (x) 3x2 3 3(x 1)(x 1) ， 当 x 1 时， f ( x) 0 ；当 x 1时， f (x) 0 ；
导数大题零点问题解题技巧
导数大题零点问题解题技巧
导数大题零点问题的解题技巧主要包括以下几个方面：
1. 确定函数的单调性：通过求导数并判断导数的正负，可以确定函数的单调性。
如果函数在某区间内单调递增或递减，那么该区间内函数的值域就是连续的，因此在这个区间内函数最多只有一个零点。
2. 利用零点存在定理：如果函数在区间端点的函数值异号，即 f(a)f(b)<0，则函数在这个区间内至少有一个零点。
3. 构造函数：通过构造函数，可以将问题转化为求函数的最值问题，从而找到函数的零点。
4. 结合图像：通过画出函数的图像，可以直观地观察函数的零点位置和个数。
5. 转化问题：将问题转化为其他形式，例如转化为求函数的最值问题、不等式问题等，从而简化问题。
在解题过程中，要注意以下几点：
1. 确定函数的定义域和值域，确保函数的连续性和可导性。
2. 注意函数的奇偶性和周期性，这些性质可能会影响函数的零点位置和个数。
3. 注意函数的极值点和拐点，这些点可能是函数的零点或拐点。
4. 注意题目中的隐含条件，例如函数在某点的导数值、函数在某区间的单调性等。
5. 注意计算精度和误差控制，避免计算错误导致答案不准确。
高考数学导数压轴大题7大题型梳理归纳
导数压轴大题7个题型梳理归纳题型一：含参分类讨论 类型一：主导函数为一次型例1：已知函数()ln f x ax a x =--，且()0f x ≥.求a 的值 解：()1ax f x x-'=.当0a ≤时，()0f x '<，即()f x 在()0,+∞上单调递减，所以当01x ∀>时，()()010f x f <=，与()0f x ≥恒成立矛盾.当0a >时，因为10x a <<时()0f x '<，当1x a>时()0f x '>，所以()min 1f x f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又因为()1ln10f a a =--=，所以11a =，解得1a =类型二：主导函数为二次型例2: 已知函数()()320f x x kx x k =-+<.讨论()f x 在[],k k -上的单调性. 解：()f x 的定义域为R ，()()23210f x x kx k '=-+<，其开口向上，对称轴3k x =，且过()0,1，故03kk k <<<-，明显不能分解因式，得2412k ∆=-.（1）当24120k ∆=-≤时，即0k ≤<时，()0f x '≥，所以()f x 在[],k k -上单调递增；（2）当24120k ∆=->时，即k <令()23210f x x kx '=-+=，解得：12x x ==，因为()()210,010f k k f ''=+>=>，所以两根均在[],0k 上.因此，结合()f x '图像可得：()f x 在,,33k k k k ⎡⎡⎤+-⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦上单调递增，在⎢⎥⎣⎦上单调递减.类型三：主导函数为超越型例3：已知函数()cos xf x e x x =-.求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值. 解：定义域0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()()cos sin 1x f x e x x '=--，令()()cos sin 1xh x e x x =--，则()()cos sin sin cos 2sin .xx h x e x x x x e x '=---=-当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()0h x '≤，即()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减，可得()()()000h x h f '≤==，则()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦递减，所以()()()max01,.22f x f f x f ππ⎛⎫====- ⎪⎝⎭类型四：复杂含参分类讨论例4：已知函数()()33f x x x a a R =+-∈.若()f x 在[]1,1-上的最大值和最小值分别记为()(),M a m a ，求()()M a m a -.解：()33333,333,x x a x a f x x x a x x a x a ⎧+-≥⎪=+-=⎨-+<⎪⎩，()2233,33,x x af x x x a⎧+≥⎪'=⎨-<⎪⎩ ①当1a ≤-时，有x a ≥，故()333f x x x a =+-，所以()f x 在()1,1-上是增函数，()()()()143,143M a f a m a f a ==-=-=--，故()()8M a m a -=.②当11a -<<时，若()()3,1,33x a f x x x a ∈=+-，在(),1a 上是增函数；若()1,x a ∈-，()333f x x x a =-+，在()1,a -上是减函数，()()(){}()()3max 1,1,M a f f m a f a a =-==，由于()()1162f f a --=-+因此当113a -<≤时，()()334M a m a a a -=--+；当113a <<时，()()332M a m a a a -=-++.③当1a ≥时，有x a ≤，故()333f x x x a =-+，此时()f x 在()1,1-上是减函数，因此()()()()123,123M a f a m a f a =-=+==-+，故()()4M a m a -=.题型二：利用参变分离法解决的恒成立问题类型一：参变分离后分母跨0例5：已知函数()()()242,22xf x x xg x e x =++=+，若2x ≥-时，()()f x kg x ≤，求k 的取值范围.解：由题意()24221xx x ke x ++≤+，对于任意的2x ≥-恒成立.当1x =-，上式恒成立，故k R ∈；当1x >-，上式化为()24221x x x k e x ++≥+，令()()()2421,21x x x h x x e x ++=>-+ ()()()22+221x xxe x h x e x -'=+，所以()h x 在0x =处取得最大值，()01k h ≥= 当21x -≤<-时，上式化为()24221x x x k e x ++≤+，()h x 单调递增，故()h x 在2x =-处取得最小值，()22k h e ≤-=.综上，k 的取值范围为21,e ⎡⎤⎣⎦.类型二：参变分离后需多次求导例6：已知函数()()()()212ln ,f x a x x a R =---∈对任意的()10,,02x f x ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭恒成立，求a 的最小值.解：即对12ln 0,,221xx a x ⎛⎫∈>-⎪-⎝⎭恒成立. 令()2ln 12,0,12x l x x x ⎛⎫=-∈ ⎪-⎝⎭，则()()()()222212ln 2ln 211x x x x x l x x x --+-'=-=-- 再令()()()222121122ln 2,0,,02x m x x x m x x x x x --⎛⎫'=+-∈=-+=< ⎪⎝⎭()m x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，于是()122ln 202m x m ⎛⎫>=->⎪⎝⎭，从而，()0l x '>，于是()l x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，()124ln 22l x l ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭，故要2ln 21xa x >--恒成立，只要[)24ln 2,a ∈-+∞，即a 的最小值24ln 2-. 变式1：已知函数()()1ln ,0x f x x a R a ax -=+∈≠，()()()11x g x b x xe b R x=---∈（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =时，若关于x 的不等式()()2f x g x +≤-恒成立，求b 取值范围.类型三：参变分离后零点设而不求例7：已知函数()ln f x x x x =+，若k Z ∈，且()1f x k x <-对于任意1x >恒成立，求k 的最大值.解：恒成立不等式()minln ln ,111f x x x x x x x k k x x x ++⎛⎫<=< ⎪---⎝⎭，令()ln 1x x x g x x +=-，则()()2ln 21x x g x x --'=-，考虑分子()ln 2,h x x x =-- ()110h x x'=->，()h x 在()1,+∞单调递增.()()31ln 30,42ln 20h h =-<=->由零点存在定理，()3,4b ∃∈，使得()0h b =.所以()1,x b ∈，()()00h x g x '<⇒<，同理()(),,0x b g x '∈+∞>，所以()g x 在 ()1,b 单调递减，在(),b +∞单调递增.()()min ln 1b b bg x g b b +==-，因为()0h b =即ln 20ln 2b b b b --=⇒=-，()()()23,4,1b b b g b b b +-==∈-所以,k b <得max 3k =变式1：（理）已知函数().x ln x eaxx f x +-=（2）当0>x 时，()e x f -≤，求a 的取值范围.题型三：无法参变分离的恒成立问题类型一：切线法例8：若[)20,,10x x e ax x ∈+∞---≥，求a 的取值范围.类型二：赋值法例9：已知实数0a ≠，设函数()ln 1,0f x a x x x =++>.（1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间； （2）对于任意21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭均有()2x f x a ≤，求a 的取值范围. 解析：（1）当34a =-时，3()ln 1,04f x x x x =-++>． 3(12)(21()42141x x f 'x x x x x++=-=++ 所以，函数()f x 的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+∞）．（2）由1(1)2f a≤，得0a <≤当04a <≤时，()2f x a≤等价于22ln 0x a a --≥．令1t a=，则t ≥．设()22ln ,g t t x t =≥，则()2ln g t g x ≥=．（i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭≤则()2ln g t g x ≥=．记1()ln ,7p x x x =≥，则1()p'x x =-=.故所以，()(1)0p x p ≥= ．因此，()2()0g t g p x ≥=≥．（ii ）当211,e 7x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，1()1g t g x ⎛+= ⎝．令211()(1),,e 7q x x x x ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，则()10q'x =+>， 故()q x 在211,e 7⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以1()7q x q ⎛⎫⎪⎝⎭．由（i ）得11(1)07777q p p ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以，()<0q x ． 因此1()10g t g x ⎛+=>⎝．由（i ）（ii ）得对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，),()0t g t ∈+∞，即对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()2x f x a．综上所述，所求a 的取值范围是⎛ ⎝⎦题型四：零点问题类型一：利用单调性与零点存在定理讨论零点个数 例10：已知函数()()31+ln .4f x x axg x x =+=-，（2）用{}min ,m n 表示,m n 中最小值，设函数()()(){}()min ,0h x f x g x x =>讨论()h x 零点个数.解：（2）当(1,)x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，从而()min{(),()}()0h x f x g x g x =<≤，∴()h x 在(1,)+∞无零点．当x =1时，若54a -≥，则5(1)04f a =+≥，(1)min{(1),(1)}(1)0h fg g ===, 故x =1是()h x 的零点；若54a <-，则5(1)04f a =+<，(1)min{(1),(1)}(1)0h f g f ==<,故x =1不是()h x 的零点．当(0,1)x ∈时，()ln 0g x x =->，所以只需考虑()f x 在(0,1)的零点个数． (ⅰ)若3a -≤或0a ≥，则2()3f x x a '=+在(0,1)无零点，故()f x 在(0,1)单调，而1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当3a -≤时，()f x 在(0,1)有一个零点； 当a ≥0时，()f x 在(0,1)无零点.(ⅱ)若30a -<<，则()f x 在（01）单调递增，故当x ()f x 取的最小值，最小值为f 14．①若f ＞0，即34-＜a ＜0，()f x 在(0,1)无零点．②若f =0，即34a =-，则()f x 在(0,1)有唯一零点；③若f ＜0，即334a -<<-，由于1(0)4f =，5(1)4f a =+， 所以当5344a -<<-时，()f x 在(0,1)有两个零点； 当534a -<≤-时，()f x 在(0,1)有一个零点．综上，当34a >-或54a <-时，()h x 由一个零点；当34a =-或54a =-时，()h x 有两个零点；当5344a -<<-时，()h x 有三个零点．类型二：±∞方向上的函数值分析例11：已知函数()()22.x xf x ae a e x =+--若()f x 有两个零点，求a 取值范围.（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点． （ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为1(ln )1ln f a a a-=-+．①当1a =时，由于(ln )0f a -=，故()f x 只有一个零点； ②当(1,)a ∈+∞时，由于11ln 0a a-+>，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点； ③当(0,1)a ∈时，11ln 0a a-+<，即(ln )0f a -<． 又422(2)e(2)e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点．设正整数0n 满足03ln 1n a ⎛⎫>+⎪⎝⎭，则()()000032ln 10n nf n e ae n f a ⎛⎫⎛⎫>-->+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点．综上，a 的取值范围为(0,1)．总结：若()01,ln 0a f a <<-<，要证明()f x 有两个零点，结合零点存在定理，分别在a 的左右两侧，这两个点的函数值()f x 都大于0，这时候需要我们对函数进行适当地放缩，化简，以便取值.先分析当x →-∞，2,x x ae ae 虽然为正，但是对式子影响不大，因此可以大胆的舍掉，得出()2xf x x e >--，显然我们对于右侧这个式子观察，就容易得出一个足够小的x （如1x =-），使得式子大于0了.再分析当x →+∞，我们可以把x ae 这个虽然是正数，但贡献比较小的项舍掉来简化运算，得到()()2xxf x eaex >--，显然当x 足够大，就可以使()2x ae -大于任何正数.那么把它放缩成多少才可以使得x e 的倍数大于x 呢？由常用的不等式1x e x x ≥+>，因此只需要使得21x ae ->即3ln x a >（如3ln 1x a=+）就可以了.题型五：极值点偏移类型一：标准极值点偏移例13:已知函数()()()221x f x x e a x =-+-有两个零点1,2x x ，证明12 2.x x +<解： 不妨设12x x <，由（Ⅰ）知12(,1),(1,)x x ∈-∞∈+∞，22(,1)x -∈-∞，又()f x 在(,1)-∞上单调递减，所以122x x +<等价于12()(2)f x f x >-，即2(2)0f x -<．由于222222(2)(1)x f x x e a x --=-+-， 而22222()(2)(1)0xf x x e a x =-+-=，所以222222(2)(2)x x f x x ex e --=---．设2()(2)xx g x xex e -=---，则2'()(1)()x x g x x e e -=--．所以当1x >时，'()0g x <，而(1)0g =，故当1x >时，()0g x <． 从而22()(2)0g x f x =-<，故122x x +<．类型二：推广极值点偏移例14：已知()()()12ln ,f x x x f x f x ==，求证121x x +<. 解：我们可以发现12,x x 不一定恒在12x =两侧，因此需要分类讨论： （1）若12102x x <<<，则1211122x x +<+=，该不等式显然成立； （2）若121012x x <<<<，令()()()()()1ln 1ln 1g x f x f x x x x x =--=---102x <<，故()()()()12ln ln 12,01x g x x x g x x x -'''=+-+=>-，()g x '在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，当0x →时，()1;22ln 202g x g ⎛⎫''→-∞=-> ⎪⎝⎭.010,2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使()00g x '=即()g x 在()00,x 上单调递减，在01,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，又0x →时，()0g x →，且102g ⎛⎫=⎪⎝⎭，故()0g x <，即()()1f x f x <-对10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭成立，得证.题型六：双变量问题类型一：齐次划转单变量例15：已知函数()()1ln 1a x f x x x -=-+()2a ≤.设,m n R +∈，且m n ≠，求证ln ln 2m n m nm n -+<-. 解：设m n >，证明原不等式成立等价于证明()2ln m n mm n n-<+成立，即证明21ln 1m m n m n n⎛⎫- ⎪⎝⎭<+成立.令m t n =，1t >，即证()()21ln 01t g t t t -=->+.由（1）得，()g t 在()0,+∞上单调递增，故()()10g t g >=，得证.变式1：对数函数()x f 过定点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,e P ，函数()()()为常数m ,n x f m n x g '-=，()()的导函数为其中x f x f '.（1）讨论()x g 的单调性；（2）若对于()+∞∈∀,x 0有()m n x g -≤恒成立，且()()n x x g x h -+=2在()2121x x x ,x x ≠=处的导数相等，求证：()()22721ln x h x h ->+.解：（2）因为()1g n m =-，而()0,x ∀∈+∞有()()1g x n m g ≤-=恒成立，知()g x 当1x =时有最大值()1g ，有（1）知必有1m =.∴()()()11ln ,22ln ,g x n x h x g x x n x x x x=--=+-=-- 依题意设()()211122221120,1120k x x h x h x k k x x ⎧-+-=⎪⎪''==⎨⎪-+-=⎪⎩∴12111x x +=121212+=4x x x x x x ⇒≥>∴()()()()121212*********+ln ln 21ln h x h x x x x x x x x x x x ⎛⎫+=-+-+=-- ⎪⎝⎭令()124,21ln t x x t t t ϕ=>=--，()()1204t t tϕ'=->> ∴()t ϕ在4t >单调递增，∴()()472ln 2t ϕϕ>=-类型二：构造相同表达式转变单变量例16：已知,m n 是正整数，且1m n <<，证明()()11.nmm n +>+解：两边同时取对数，证明不等式成立等价于证明()()ln 1ln 1n m m n +>+，即证明()()ln 1ln 1m n m n ++>，构造函数()()ln 1x f x x+=，()()2ln 11xx x f x x -++'=，令()()ln 11x g x x x =-++，()()()22110111x g x x x x -'=-=<+++，故()()00g x g <=，故()0f x '<，结合1,m n <<知()()f m f n >类型三：方程消元转单变量例17：已知()ln xf x x=与()g x ax b =+，两交点的横坐标分别为1,2x x ，12x x ≠，求证：()()12122x x g x x ++>解：依题意11211112222222ln ln ln ln x ax b x x ax bx x x ax bx ax b x ⎧=+⎪⎧=+⎪⎪⇒⎨⎨=+⎪⎪⎩=+⎪⎩，相减得： ()()()12121212ln ln x x a x x x x b x x -=+-+-，化简得()()121212lnx x a x x b x x ++=-，()()()()()()112121121212121122221ln ln 1x x x x x x x x g x x x x a x x b x x x x x x ++++=+++==⎡⎤⎣⎦-- 设12x x >，令121x t x =>，()()()12122112ln 2ln 011t t x x g x x t t t t -+++>⇔>⇔->-+ 再求导分析单调性即可.变式1：已知函数()1++=ax x ln x f 有两个零点21x ,x .()10a -<<（2）记()x f 的极值点为0x ，求证：()0212x ef x x >+.变式2：设函数()()3211232xf x ex kx kx =--+. 若()f x 存在三个极值点123,,x x x ，且123x x x <<，求k 范围，证明1322x x x +>.变式3：已知函数()122ln 21x ef x a x x x-⎛⎫=++-- ⎪⎝⎭在定义域()0,2内有两个极值点.（1）求实数a 的取值范围；（2）设12,x x 是()f x 两个极值点，求证12ln ln ln 0x x a ++>.类型四：利用韦达定理转单变量例18：已知()()21ln 02f x x x a x a =-+>，若()f x 存在两极值点1,2x x ， 求证：()()1232ln 24f x f x --+>.解：()21,a x x af x x x x-+'=-+=由韦达定理12121,x x x x a +==1140,4a a ∆=->< ()()()()()212121212121+2ln 2f x f x x x x x x x a x x ⎡⎤=+--++⎣⎦ ()11121ln ln 22a a a a a a =--+=--令()()11ln ,0,ln 024g a a a a a g a a '=--<<=<，()g a 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故()132ln 244g a g --⎛⎫>=⎪⎝⎭. 变式1:已知函数().R a ,x ax x ln x f ∈-+=22（2）若n ,m 是函数()x f 的两个极值点，且n m <，求证：.mn 1>方法二：变式2：已知函数()213ln 222f x x ax x =+-+()0a ≥. （1）讨论函数()f x 的极值点个数；（2）若()f x 有两个极值点12,x x ，证明()()110f x f x +<.题型六：不等式问题类型一：直接构造函数解决不等式问题例19：当()0,1x ∈时，证明：()()221ln 1x x x ++<.解：令()()()221ln 1f x x x x =++-，则()00f =，而()()()()2ln 1ln 12,00f x x x x f ''=+++-=，当()0,1x ∈时，有()ln 1x x +<，故()()()ln 12222ln 10111x f x x x x x x+''=+-=+-<⎡⎤⎣⎦+++， ()f x '在()0,1上递减，即()()00f x f ''<=，从而()f x 在()0,1递减，()()00f x f ≤=，原不等式得证.变式1：已知函数()()()R a ex x ln x a x f ∈+-=1.（1）求函数()x f 在点1=x 处的切线方程；（2）若不等式()0≤-x e x f 对任意的[)+∞∈,x 1恒成立，求实数a 的取值范围解：（2）令()()()()1ln 1,x xg x f x e a x x ex e x =-=-+->()1ln 1xg x a x e e x ⎛⎫'=+-+- ⎪⎝⎭， ①若0a ≤，则()g x '在[)1,+∞上单调递减，又()10g '=.即()0g x '≤恒成立，所以()g x 在[)1,+∞上单调递减，又()10g =，所以()0g x ≤恒成立.②0a >，令()()1ln 1,x h x g x a x e e x ⎛⎫'==+-+- ⎪⎝⎭所以()211xh x a e x x ⎛⎫'=+-⎪⎝⎭，易知211x x +与x -e 在[)1,+∞上单调递减，所以()h x '在[)1,+∞上单调递减，()12h a e '=-. 当20a e -≤，即02ea <≤时，()0h x '≤在[)1,+∞上恒成立，则()h x 在[)1,+∞上单调递减，即()g x '在[)1,+∞上单调递减，又()10g '=，()0g x '≤恒成立，()g x 在[)1,+∞上单调递减，又()10g =，()0g x ≤恒成立.当20a e ->时，即2ea >时，()01,x ∃∈+∞使()00h x '=，所以()h x 在()01,x 上单调递增，此时()()10h x h >=，所以()0g x '>所以()g x 在()01,x 递增，得()()10g x g >=，不符合题意. 综上，实数a 的取值范围是2e a ≤. 变式2：（文）已知函数()()()().R a ,x a x g ,x ln x x f ∈-=+=11（1）求直线()x g y =与曲线()x f y =相切时，切点T 的坐标. （2）当()10,x ∈时，()()x f x g >恒成立，求a 的取值范围.解：(1)设切点坐标为()00x y ，，()1ln 1f x x x'=++，则()()000001ln 11ln 1x a x x x a x ⎧++=⎪⎨⎪+=-⎩，∴00012ln 0x x x -+=.令()12ln h x x x x=-+，∴()22210x x h x x -+'=-≤，∴()h x 在()0+∞，上单调递减， ∴()0h x =最多有一根.又∵()10h =，∴01x =，此时00y =，T 的坐标为(1，0).(2)当()0 1x ∈，时，()()g x f x >恒成立，等价于()1ln 01a x x x --<+对()0 1x ∈，恒成立. 令()()1ln 1a x h x x x -=-+，则()()()()2222111211x a x ah x x x x x +-+'=-=++，()10h =. ①当2a ≤，()1x ∈0，时，()22211210x a x x x +-+≥-+>， ∴()0h x '>，()h x 在()0 1x ∈，上单调递增，因此()0h x <. ②当2a >时，令()0h x '=得1211x a x a =-=-由21x >与121x x =得，101x <<.∴当()1 1x x ∈，时，()0h x '<，()h x 单调递减， ∴当()1 1x x ∈，时，()()10h x h >=，不符合题意； 综上所述得，a 的取值范围是(] 2-∞，.变式3：（文）已知函数().x x x ln x f 12---=（2）若存在实数m ，对于任意()∞+∈0x ，不等式()()()0212≤+-+x x m x f 恒成立，求实数m 的最小整数值.解：（2）法一：参变分离+二次局部求导+虚设零点变式4：（理）已知函数()()()R a x a eae x f xx∈-++=-22.（1）讨论()x f 的单调性；（2）当0≥x 时，()(),x cos a x f 2+≥求实数a 的取值范围.变式5：已知()1ln ,mf x x m x m R x-=+-∈. （1）当202e m <≤时，证明()21x e x xf x m >-+-.类型二：利用min max f g >证明不等式问题例20：设函数()1ln x xbe f x ae x x-=+曲线()y f x =在点()()1,1f 的切线方程为()12y e x =-+.（1）求,a b 值； （2）证明：()1f x >【解析】(1)函数()f x 的定义域为(0,)+∞，112()ln xx x x a b b f x ae x e e e x x x--=+-+． 由题意可得(1)2f =，(1)f e '=．1, 2.a b ==故(2)由(1)知12()ln xx f x e x e x -=+，从而()1f x >等价于2ln x x x xe e->-． 设函数()1g x x nx =，则'()1g x nx =．所以当1(0,)x e ∈时，()0g x '<；当1(,)x e ∈+∞时，()0g x '>．故()g x 在1(0,)e 单调递减，在1(,)e+∞单调递增，从而()g x 在(0,)+∞的最小值为11()g e e=-． 设函数2()xh x xee-=-，则'()(1)x h x e x -=-． 所以当(0,1)x ∈时()0h x '>；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<故()h x 在(0,1)单调递增， 在(1,)+∞单调递减，从而()h x 在(0,)+∞的最大值为1(1)h e=-．变式1. 已知函数()x ln a bx x f +=2的图像在点()()11f ,处的切线斜率为2+a .（1）讨论()x f 的单调性； （2）当20e a ≤<时，证明：()222-+<x e xx x f 解：（2）要证()222x f x x e x -<+，需证明22ln 2x a x e x x-<.令()ln 02a x e g x a x ⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭，则()()21ln a x g x x -'=， 当()0g x '>时，得0x e <<；当()0,g x '<得x e >. 所以()()max ag x g e e==. 令()()2220x e h x x x -=>，则()()2322x e x h x x--'=. 当()0h x '>时，得2x >；当()0h x '<时，得02x <<. 所以()()min 122h x h ==.因为02e a <≤，所以()max 12a g x e ==. 又2e ≠，所以22ln 2x a x e x x-<，即()222x f x x e x -<+得证.变式2：（理）已知函数()().ax ln axx f -=（1）求()x f 的极值；（2）若()012≤+-++m x e mx x ln e x x ，求正实数m 的取值范围.变式3：已知()1ln ,mf x x m x m R x-=+-∈. （2）当202e m <≤时，证明()21x e x xf x m >-+-.类型三：利用赋值法不等式问题例21：已知函数()2x xf x e e x -=--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设()()()24g x f x bf x =-，当0x >，()0g x >，求b 的最大值. （3）估计ln 2（精确小数点后三位）.解：因为()()()()()2224484xx x x g x f x bf x e e b e e b x --=-=---+-所以()()()()()2222422222xx x x x x x xg x ee b e e b e e e e b ----⎡⎤'=+-++-=+-+-+⎣⎦①当2b ≤时，()0,g x '≥等号仅当0x =时成立，所以()g x 在R 上单调递增，而()00g =，所以对于任意()0,0x g x >>.②当2b >，若x 满足222x x e e b -<+<-，即(20ln 12x b b b <<-+-时，()0g x '<，而()00g =，因此当(20ln 12x b b b <≤--时，()0g x <，综上最大为2.（3）由（2）知，(()3221ln 22g b =-+-，当2b =时，(36ln 20,ln 20.69282g =->>>；当14b =+时，(ln 1b -+=(()32ln 202g =--<，18ln 20.69328+<<，所以近似值为0.693类型四：利用放缩法构造中间不等式例22：若0x >，证明：()ln 1.1x x xx e +>- 解：转化成整式()()2ln 11xx e x +->.令()()()2ln 11xf x x e x =+--，则()()1ln 121x xe f x e x x x -'=++-+()()()21ln 1211x x x e x e f x e x x x +''=+++-++.由()+1ln 11x x e x x x ≥+≥+，， 得()()()()3222112120,11x x x x f x x x x +++''≥++-=>++()()00,f x f ''≥=故()()00f x f ≥=，得证.变式1：（2020河南鹤壁市高三期末）已知函数()21xf x e kx =--，()()()2ln 1g x k x x k R =+-∈.（2）若不等式()()0f x g x +≥对任意0x ≥恒成立，求实数k 范围.变式2:（2020年河南六市联考）已知函数()()2ln 1sin 1f x x x =+++，()1ln g x ax b x =-- 证明：当1,x >-()()2sin 22xf x x x e<++类型五：与数列相关的不等式例23：设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111111222n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求m 的最小值.解：（2）由（1）知当(1,)x ∈+∞时，1ln 0x x -->令112n x =+得11ln(1)22n n +<，从而 221111111ln(1)ln(1)ln(1)112222222n n n ++++⋅⋅⋅++<++⋅⋅⋅+=-<故2111(1)(1)(1)222n e ++⋅⋅⋅+<而23111(1)(1)(1)2222+++>，所以m 的最小值为3．变式1：（理）已知函数()()()021>+-+=a ax xx ln x f .（1）若不等式()0≥x f 对于任意的0≥x 恒成立，求实数a 的取值范围；（2）证明：().N n ln ln ln ln n n n *-∈⎪⎭⎫⎝⎛->⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⋅⋅⋅+++1212121279353变式1：（2020河南开封二模）已知函数()1xf x e x =--.（1）证明()0f x >；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111111222n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 求m 的最小值.类型六：与切、割线相关的不等式例24：已知函数()()2901xf x a ax =>+ （1）求()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值；（2）若直线2y x a =-+为曲线()y f x =的切线，求实数的值；（3）当2a =时，设12141,,22x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，且121414x x x +⋅⋅⋅+=，若不等式()()()1214f x f x f x λ+⋅⋅⋅+≤恒成立，求实数λ的最小值.解：证明()29412xf x x x=≤-++，即32281040x x x -+-+≥， 令()3228104F x x x x =-+-+，()261610F x x x '=-+-，所以()F x在1,12⎛⎫⎪⎝⎭，5,23⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭递增.而()50,203F F ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，表明不等式()29412xf x x x =≤-++成立.所以()()()12141244+442n f x f x f x x x x ++⋅⋅⋅+≤-+-+⋅⋅⋅-+=， 等号在全部为1时成立，所以λ最小值为42。
【高中数学】导数知识点梳理(附题型答题技巧)
高中数学导数知识点梳理一. 导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数y=f(x)在x=图片处的瞬时变化率是2. 导数的几何意义：曲线的切线，当点图片趋近于P时，直线 PT 与曲线相切。
容易知道，割线的斜率是当点图片趋近于 P 时，函数y=f(x)在x=图片处的导数就是切线PT的斜率k，即3. 导函数：当x变化时，图片便是x的一个函数，我们称它为f（x）的导函数. y=f（x）的导函数有时也记作图片，即二. 导数的计算基本初等函数的导数公式：导数的运算法则：复合函数求导：y=f(u)和u=g(x)，则称y可以表示成为x的函数，即y=f(g(x))为一个复合函数。
三、导数在研究函数中的应用1. 函数的单调性与导数：一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间（a,b）内(1) 如果＞0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递增；(2) 如果＜0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递减；2. 函数的极值与导数：极值反映的是函数在某一点附近的大小情况。
求函数y=f(x)的极值的方法有：（1）如果在附近的左侧＞0 ，右侧＜0，那么是极大值；（2）如果在附近的左侧＜0 ，右侧＞0，那么是极小值；3. 函数的最大(小)值与导数：求函数y=f(x)在［a,b］上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数y=f(x)在［a,b］内的极值；（2）将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值。
四.推理与证明（1）合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理。
根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理，叫做类比推理。
类比推理的一般步骤：(1)找出两类事物的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题（猜想）；(3)一般的，事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似，那么他们在另一些性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的；(4)一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题越可靠。
导数大题的常用找点技巧和常见模型
导数大题的常用找点技巧和常见模型引子：（2017年全国新课标1·理·21）已知2x 2xf x ae a e x.（1）讨论f x的单调性；（2）若f x有两个零点，求a的取值范围.解析：（1）f'x 2ae2x a 2e x 12e x 1ae x 1若a 0，则f 'x0恒成立，所以f x在R上递减；1 1若a 0，令f 'x 0，得a ae ,x ln.x当x11时，f 'x0，所以f x在ln ,ln上递减；a a当x11时，f 'x 0，所以f x在ln ln ,a a上递增.11综上，当a 0时，f x在R上递减；当a 0时，f x在,ln ln ,上递减，在a a 上递增.111（2）f x有两个零点，必须满足min0f x ，即a 0，且f x f ln1ln.mina a a1构造函数g x 1x ln x，x 0.易得g xx'10，所以g x 1x ln x单调递减..1111又因为g 10，所以1ln0g g 110a1a a a a下面只要证明当0a 1时，f x有两个零点即可，为此我们先证明当x 0时，x ln x.1事实上，构造函数h x x ln x，易得，∴h x min h 11，所以h x0，即x ln x.h'x1xa ea e 22a a 2当0a 1时，f 110，e e e2223a 33333f ln a 1a 21ln 11ln 10a a a a a a ，13a11其中1ln，，所以f x在1, lnln lna a a a13a和ln,ln上各有一个零点.a a故a 的取值范围是0,1 .注意：取点过程用到了常用放缩技巧。
2x x2x x x x x 3a 3一方面：ae a 2e x 0ae a 2e e 0ae a 30e x ln 1a a；另一方面：x 0时，2x 2x02x01ae a e x a e x x （目测的）常用的放缩公式（考试时需给出证明过程）第一组：对数放缩（放缩成一次函数）ln x x 1，ln x x，ln 1x x11（放缩成双撇函数）ln x x x12x11，x x xln012x，。
高考压轴题：导数题型及解题方法总结很全
高考压轴题：导数题型及解题方法（自己总结供参考）一．切线问题题型1 求曲线)(x f y =在0x x =处的切线方程。
方法：)(0x f '为在0x x =处的切线的斜率。
题型2 过点),(b a 的直线与曲线)(x f y =的相切问题。
方法：设曲线)(x f y =的切点))(,(00x f x ，由b x f x f a x -='-)()()(000求出0x ，进而解决相关问题。
注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。
例 已知函数f （x ）=x 3﹣3x ．（1）求曲线y=f （x ）在点x=2处的切线方程；（答案：0169=--y x ）（2）若过点A )2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围、（提示：设曲线)(x f y =上的切点（)(,00x f x ）；建立)(,00x f x 的等式关系。
将问题转化为关于m x ,0的方程有三个不同实数根问题。
（答案：m 的范围是()2,3--）题型3 求两个曲线)(x f y =、)(x g y =的公切线。
方法：设曲线)(x f y =、)(x g y =的切点分别为（)(,11x f x ）。
（)(,22x f x ）；建立21,x x 的等式关系，12112)()(y y x f x x -='-，12212)()(y y x f x x -='-；求出21,x x ，进而求出切线方程。
解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。
例 求曲线2x y =与曲线x e y ln 2=的公切线方程。
（答案02=--e y x e ）二．单调性问题题型1 求函数的单调区间。
求含参函数的单调区间的关键是确定分类标准。
分类的方法有：（1）在求极值点的过程中，未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；（2）在求极值点的过程中，有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定）；(3) 在求极值点的过程中，极值点的大小关系不定而引起的分类；(4) 在求极值点的过程中，极值点与区间的关系不定而引起分类等。
导数的大题题型及解题技巧
导数的大题题型及解题技巧
导数的大题题型包括函数的基本求导、复合函数的求导、参数方程的求导、隐函数的求导等。
下面介绍一些解题技巧。
1. 函数的基本求导：首先找到函数的导数定义，然后应用求导公式，根据函数的具体形式进行求导。
常见的函数有多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
2. 复合函数的求导：根据链式法则，将复合函数分解成内函数和外函数，然后分别求导并乘起来。
注意求导的顺序和方法。
3. 参数方程的求导：对于参数方程，将每个变量用一个参数表示，然后对参数求导得到相应的导数。
常见的参数方程有直角坐标系和极坐标系。
4. 隐函数的求导：对于隐函数，首先根据给定的条件，利用导数的定义将自变量和因变量相互关联表示。
然后利用求导公式进行计算，最后求得导数。
5. 利用性质简化计算：对于一些特殊函数或特殊的情况，可以利用导数的性质来简化计算。
例如，奇偶性、周期性、对称性等。
6. 运用变速度思想：对于一些几何意义明确的问题，可以将导数理解为运动的速度，利用变速度思想进行求导。
例如，物体的位移、速度和加速度。
以上是导数的一些大题题型及解题技巧，希望对你有所帮助！。
导数大题的常用找点技巧和常见模型
导数大题的常用找点技巧和常见模型引子：（2017年全国新课标 1·理·21）已知.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.解析：（1）若，则恒成立，所以在 R上递减；若，令，得.当时，，所以在上递减；当时，，所以在上递增.综上，当时，在 R上递减；当时，在上递减，在上递增.（2）有两个零点，必须满足，即，且.构造函数，.易得，所以单调递减.又因为，所以.下面只要证明当时，有两个零点即可，为此我们先证明当时，.事实上，构造函数，易得，∴，所以，即.当时，，，其中，所以在和上各有一个零点.故的取值范围是.注意：取点过程用到了常用放缩技巧。
一方面：；另一方面：时，（目测的）常用的放缩公式（考试时需给出证明过程）第一组：对数放缩（放缩成一次函数），，（放缩成双撇函数），，，，（放缩成二次函数），，（放缩成类反比例函数），，，，，第二组：指数放缩（放缩成一次函数），，，（放缩成类反比例函数），，（放缩成二次函数），，第三组：指对放缩第四组：三角函数放缩，，.第五组：以直线为切线的函数，，，，.几个经典函数模型经典模型一：或.【例 1】讨论函数的零点个数.（1）时，无零点.，.（2）时， 1个零点. ，.（3）当时，2个零点. （目测），，其中 . （放缩）.，其中.（用到了）（4）当时，1个零点.，单调递增. ，.【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例 1：）：1.讨论的零点个数（令，）；2.讨论的零点个数（令）；3.讨论的零点个数（考虑）；4.讨论的零点个数（考虑，令，）；5.讨论的零点个数（令，）；6.讨论的零点个数（令）.经典模型二：或【例 2】讨论函数的零点个数.（1）时，1个零点.，单调递增.且，，所以在上有一个零点；（2）时，无零点.恒成立；（3）时，无零点.；（4）时，2个零点.，，.【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例题 2：）：1.讨论的零点个数（令，）；2.讨论的零点个数（去分母后与 1等价）；3.讨论的零点个数（移项平方后与 1等价）；4.讨论的零点个数（移项开方后换元与 1等价）；5.讨论的零点个数（乘以系数 e，令）；6.讨论的零点个数（令，转化成 2）7.讨论的零点个数（令，）；经典模型三：或【例】讨论函数的零点个数.（1）时，1个零点.，单调递增.，.（2）时，1个零点（）.（3）时，无零点.，（4）时，1个零点..（5）时，2个零点.，，，。
导数题的十大解题技巧
导数题的十大解题技巧导数题的十大解题技巧一、熟练掌握导数的定义1、函数的导数：函数y=f（x）的导数，记作f′（x），表示函数y=f（x）在点x处的切线斜率。
2、数列的导数：数列y的极限导数，记作y′，表示数列y中趋势的变化率。
二、准确掌握导数的计算1、用法则：将函数代入法则（如指数函数法则，三角函数法则等）所给表达式中，可得出函数的导数；2、变量分离：将函数用变量分离法（如商式分解法，多项式分解法等）分解，再用法则进行求导；3、链式法则：将函数中的连续函数拆分，用累加法或链式法则进行求导；4、转换关系：将函数中的变量用等价关系（如t=sax，x=a/t）进行转换，使变量适合法则，再求导；5、隐函数法：将函数中的变量用隐函数（如x=f（t））进行表达，再求导；6、偏导法：将函数中的变量用偏导数（如y/t）表达，再求导。
三、理解利用导数性质1、函数的导数是函数表示的变化率；2、导数的正负性有助于判断函数的单调性；3、函数的极值点可判断导数的符号；4、函数尖峰和凹处的判断；5、导数判断函数的模式；6、可以用导数的特性求函数的拐点；7、用导数可以求函数的泰勒级数；8、可以用导数的递推来求函数的定义域；9、可以用导数求一些曲线的面积。
四、利用科学计算器快速完成计算1、熟悉科学计算器的使用功能，即可完成导数的运算；2、可按法则准确求函数的导数；3、可以快速判断函数的极值、拐点等；4、对于复杂函数，可以简化计算，提高效率。
五、熟悉求导方程的解法1、建立方程，移项，量化，变形，以达到最简形状；2、变换为通解方程，求其特解；3、使用科学计算器计算求得函数的解。
导数大题方法总结
导数大题方法总结一总论一般来说，导数的大题有两到三问。
每一个小问的具体题目虽然并不固定，但有相当的规律可循，所以在此我进行了一个答题方法的总结。
二主流题型及其方法*（1）求函数中某参数的值或给定参数的值求导数或切线一般来说，一到比较温和的导数题的会在第一问设置这样的问题：若f(x)在x = k时取得极值，试求所给函数中参数的值；或者是f(x)在(a , f(a))处的切线与某已知直线垂直，试求所给函数中参数的值等等很多条件。
虽然会有很多的花样，但只要明白他们的本质是考察大家求导数的能力，就会轻松解决。
这一般都是用来送分的，所以遇到这样的题，一定要淡定，方法是：先求出所给函数的导函数，然后利用题目所给的已知条件，以上述第一种情形为例：令x = k，f(x)的导数为零，求解出函数中所含的参数的值，然后检验此时是否为函数的极值。
注意：①导函数一定不能求错，否则不只第一问会挂，整个题目会一并挂掉。
保证自己求导不会求错的最好方法就是求导时不要光图快，一定要小心谨慎，另外就是要将导数公式记牢，不能有马虎之处。
②遇到例子中的情况，一道要记得检验，尤其是在求解出来两个解的情况下，更要检验，否则有可能会多解，造成扣分，得不偿失。
所以做两个字来概括这一类型题的方法就是：淡定。
别人送分，就不要客气。
③求切线时，要看清所给的点是否在函数上，若不在，要设出切点，再进行求解。
切线要写成一般式。
*（2）求函数的单调性或单调区间以及极值点和最值一般这一类题都是在函数的第二问，有时也有可能在第一问，依照题目的难易来定。
这一类题问法都比较的简单，一般是求f(x)的单调（增减）区间或函数的单调性，以及函数的极大（小）值或是笼统的函数极值。
一般来说，由于北京市高考不要求二阶导数的计算，所以这类题目也是送分题，所以做这类题也要淡定。
这类问题的方法是：首先写定义域，求函数的导函数，并且进行通分，变为假分式形式。
往下一般有两类思路，一是走一步看一步型，在行进的过程中，一点点发现参数应该讨论的范围，一步步解题。
导数大题方法总结
导数大题方法总结学习中的快乐，产生于对学习内容的兴趣和深入。
世上所有的人都是喜欢学习的，只是学习的方法和内容不同而已。
导数大题方法总结一总论一般来说，导数的大题有两到三问。
每一个小问的具体题目虽然并不固定，但有相当的规律可循，所以在此我进行了一个答题方法的总结。
二主流题型及其方法（1）求函数中某参数的值或给定参数的值求导数或切线一般来说，一到比较温和的导数题的会在第一问设置这样的问题：若f(x)在x = k时取得极值，试求所给函数中参数的值；或者是f(x)在(a , f(a))处的切线与某已知直线垂直，试求所给函数中参数的值等等很多条件。
虽然会有很多的花样，但只要明白他们的本质是考察大家求导数的能力，就会轻松解决。
这一般都是用来送分的，所以遇到这样的题，一定要淡定，方法是：先求出所给函数的导函数，然后利用题目所给的已知条件，以上述第一种情形为例：令x = k，f(x)的导数为零，求解出函数中所含的参数的值，然后检验此时是否为函数的极值。
注意：①导函数一定不能求错，否则不只第一问会挂，整个题目会一并挂掉。
保证自己求导不会求错的最好方法就是求导时不要光图快，一定要小心谨慎，另外就是要将导数公式记牢，不能有马虎之处。
②遇到例子中的情况，一道要记得检验，尤其是在求解出来两个解的情况下，更要检验，否则有可能会多解，造成扣分，得不偿失。
所以做两个字来概括这一类型题的方法就是：淡定。
别人送分，就不要客气。
③求切线时，要看清所给的点是否在函数上，若不在，要设出切点，再进行求解。
切线要写成一般式。
（2）求函数的单调性或单调区间以及极值点和最值一般这一类题都是在函数的第二问，有时也有可能在第一问，依照题目的难易来定。
这一类题问法都比较的简单，一般是求f(x)的单调（增减）区间或函数的单调性，以及函数的极大（小）值或是笼统的函数极值。
一般来说，由于北京市高考不要求二阶导数的计算，所以这类题目也是送分题，所以做这类题也要淡定。
导数问题基本解题技巧梳理
导数问题基本解题技巧梳理一．构造函数的常见模型 1.加乘型''''''''1' ()() e () [e ()][()()] ()() () [()]()()()()()[()][()()]x x x n n n f x f x f x f x e f x f x f x xf x xf x xf x f x f x nf x xf x x f x x f x x nf x xf x -⇒⇔+⇒⇔=++⇒⇔=++⇒⇔=+题目常见形式原函数原函数的导函数2.减除型''''''2'''1' ()()()()()() []e e ()()()()()() []()()()()()()[]()x x xn n n f x f x f x f x f x f x e f x f x xf x f x xf x f x x x x f x f x nf x xf x xf x nf x x x x f x +⇒⇔--⇒⇔=--⇒⇔=--⇒⇔=题目常见形式原函数原函数的导函数注意：减除类型导函数在前面'''''' 3. ()() e ()[e ()][()()] ()()()()()() []e e ⇒⇒⇔⇔+±⇒±⇔±=+±-±-±⇒⇔=xxxx xx x xf x f x k f x ke f x ke e f x f x k f x k f x k f x f x kf x f x k e 带常数型题目常见形式原函数原函数的导函数二．秒杀方法：已知导函数不等式解抽象不等式的题型秒杀思路 1.观察导函数系数(1)系数若为正或者正负皆可，即题干不等式符号不变(2)系数若为负，即题干不等式符号改变（">"变"<","<"变">"） 2.观察导函数的增减性(1)题干不等式中，大于即为单调递增 (2)题干不等式中，小于即为单调递减3.代入题干不等式两端f(x)中的括号里面内容；若一端无f(x)，代入题干唯一已知项即可。
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导数大题的常用找点技巧和常见模型
引子：（2017年全国新课标1·理·21）已知()()22x x f x ae a e x =+--. （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.
解析：（1）()()()()
2'221211x x x x f x ae a e e ae =+--=+- 若0a ≤，则()'0f x <恒成立，所以()f x 在R 上递减；
若0a >，令()'0f x =，得11
,ln x e x a a
=
=. 当1ln
x a <时，()'0f x <，所以()f x 在1,ln a ⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭上递减；
当1ln
x a >时，()'0f x >，所以()f x 在1ln ,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上递增. 综上，当0a ≤时，()f x 在R 上递减；当0a >时，()f x 在1,ln
a ⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭上递减，在1ln ,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上递增.
（2）()f x 有两个零点，必须满足()min 0f x <，即0a >，且()min 111ln
1ln 0f x f a a a
⎛
⎫==--< ⎪⎝
⎭.
2
构造函数()1ln g x x x =--，0x >. 易得()1
'10g x x
=--
<，所以()1ln g x x x =--单调递减. 又因为()10g =，所以()11
111ln 01101g g a a a
a a ⎛⎫
-
-<⇔<⇔>⇔<< ⎪⎝⎭
.
下面只要证明当01a <<时，()f x 有两个零点即可，为此我们先证明当0x >时，ln x x >.
事实上，构造函数()ln h x x x =-，易得()1
'1h x x
=-
，∴()()min 11h x h ==，所以()0h x >，即ln x x >. 当01a <<时，()()222
22
110a ea e a a f e e e
++---=++=>， ()2
333333ln 121ln 11ln 10a f a a a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-+----=---> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
其中11ln
a -<，31ln ln a a a ->，所以()f x 在11,ln a ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭和13ln ,ln a a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上各有一个零点.
故a 的取值范围是()0,1.
注意：取点过程用到了常用放缩技巧。
一方面：()()2233202030ln 1x
x x x x x x a ae
a e x ae a e e ae a e x a a -⎛⎫
+-->⇐+--≥⇐+-≥⇐≥
⇐≥- ⎪⎝⎭
； 另一方面：0x <时，()()220201x x x ae a e x a e x x +-->⇐--≥⇐=-（目测的）
旗开得胜
3
常用的放缩公式（考试时需给出证明过程）
第一组：对数放缩
（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤
（放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ⎛⎫<
-> ⎪⎝⎭，()11ln 012x x x x ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭
， )ln 1x x x x <>，)ln 01x x x x
><<，
（放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102x x x x +≤-
-<<，()()21
ln 102
x x x x +≥-> （放缩成类反比例函数）1
ln 1x x
≥-，()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+，
()ln 11x x x +≥
+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101x
x x x
+<<+ 第二组：指数放缩
（放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥，
（放缩成类反比例函数）()101x e x x ≤
≤-，()1
0x e x x <-<， （放缩成二次函数）()21102x e x x x ≥++
>，2311
126
x e x x x ≥+++， 第三组：指对放缩
4
()()ln 112x e x x x -≥+--=
第四组：三角函数放缩
()sin tan 0x x x x <<>，21sin 2x x x ≥-，2211
1cos 1sin 22
x x x -≤≤-.
第五组：以直线1y x =-为切线的函数
ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，1
1y x
=-
，ln y x x =.
几个经典函数模型
经典模型一：ln x y x =
或ln x
y x
=. 【例1】讨论函数()ln f x x ax =-的零点个数.
（1）1
a e
>
时，无零点. ()1'f x a x =
-，()max 11ln 10f x f a a ⎛⎫
==-< ⎪⎝⎭
.
（2）1
a e
=
时，1个零点.
5
()11
'f x x e
=
-，()()max ln 10f x f e e ==-=. （3）当1
0a e
<<
时，2个零点. ()10f a =-<（目测），111ln 1011111a a f a a a a a ⎛⎫=-<--= ⎪-----⎝⎭
，其中111e a <<-.（放缩） ()10f e ea =->.
2211111
ln 0f a a a a a a a
⎛⎫⎛⎫=-≤--=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中221e e a >>.（用到了)ln 1x x x x <>）
（4）当0a ≤时，1个零点.
()1
'0f x a x
=
->，单调递增.()10f a =->， 1122111110a a a
a a f e a ae a a a a e e a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-≤+-=-+< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.
【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例1：()ln f x x ax =-）：
1. 讨论()ln f x x m x =-x t =，
2
m
a =）
； 2. 讨论()ln f x x m x =-的零点个数（令
1
a m
=）
； 3. 讨论()f x x x mx =-的零点个数（考虑()f x g x x
=
；
4. 讨论()f x mx x
=的零点个数（考虑()()g x x x ，令3
2t x =，3
2m a =）
；
旗开得胜
6
5. 讨论()2ln f x x mx =-的零点个数（令2t x =，2m a =）；
6. 讨论()x f x ax e =-的零点个数（令x e t =）.
经典模型二：x e y x =或x e y x
=
【例2】讨论函数()x f x e ax =-的零点个数.
（1）0a <时，1个零点.
()'0x f x e a =->，()x f x e ax =-单调递增.
且()010f a =->，1
110a f e a ⎛⎫
=-< ⎪⎝⎭，所以在1,0a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上有一个零点；
（2）0a =时，无零点.
()0x f x e =>恒成立；
（3）0a e <<时，无零点.
()()()min ln 1ln 0f x f a a a ==->；
（4）a e >时，2个零点.
1
110a f e a ⎛⎫
=-> ⎪⎝⎭
，()10f e a =-<，()()()2ln 2ln 20f a a a a a e =->->.。