导数大题的常用找点技巧和常见模型 2020

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导数大题的常用找点技巧和常见模型

引子：（2017年全国新课标1·理·21）已知()()22x x f x ae a e x =+--. （1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.

解析：（1）()()()()

2'221211x x x x f x ae a e e ae =+--=+- 若0a ≤，则()'0f x <恒成立，所以()f x 在R 上递减；

若0a >，令()'0f x =，得11

,ln x e x a a

=

=. 当1ln

x a <时，()'0f x <，所以()f x 在1,ln a ⎛

⎫-∞ ⎪⎝⎭上递减；

当1ln

x a >时，()'0f x >，所以()f x 在1ln ,a ⎛⎫

+∞ ⎪⎝⎭

上递增. 综上，当0a ≤时，()f x 在R 上递减；当0a >时，()f x 在1,ln

a ⎛

⎫-∞ ⎪⎝⎭上递减，在1ln ,a ⎛⎫

+∞ ⎪⎝⎭

上递增.

（2）()f x 有两个零点，必须满足()min 0f x <，即0a >，且()min 111ln

1ln 0f x f a a a

⎛

⎫==--< ⎪⎝

⎭.

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构造函数()1ln g x x x =--，0x >. 易得()1

'10g x x

=--

<，所以()1ln g x x x =--单调递减. 又因为()10g =，所以()11

111ln 01101g g a a a

a a ⎛⎫

-

-<⇔<⇔>⇔<< ⎪⎝⎭

.

下面只要证明当01a <<时，()f x 有两个零点即可，为此我们先证明当0x >时，ln x x >.

事实上，构造函数()ln h x x x =-，易得()1

'1h x x

=-

，∴()()min 11h x h ==，所以()0h x >，即ln x x >. 当01a <<时，()()222

22

110a ea e a a f e e e

++---=++=>， ()2

333333ln 121ln 11ln 10a f a a a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

=-+----=---> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，

其中11ln

a -<，31ln ln a a a ->，所以()f x 在11,ln a ⎛

⎫- ⎪⎝

⎭和13ln ,ln a a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上各有一个零点.

故a 的取值范围是()0,1.

注意：取点过程用到了常用放缩技巧。

一方面：()()2233202030ln 1x

x x x x x x a ae

a e x ae a e e ae a e x a a -⎛⎫

+-->⇐+--≥⇐+-≥⇐≥

⇐≥- ⎪⎝⎭

； 另一方面：0x <时，()()220201x x x ae a e x a e x x +-->⇐--≥⇐=-（目测的）

旗开得胜

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常用的放缩公式（考试时需给出证明过程）

第一组：对数放缩

（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤

（放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ⎛⎫<

-> ⎪⎝⎭，()11ln 012x x x x ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭

， )ln 1x x x x <>，)ln 01x x x x

><<，

（放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102x x x x +≤-

-<<，()()21

ln 102

x x x x +≥-> （放缩成类反比例函数）1

ln 1x x

≥-，()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+，

()ln 11x x x +≥

+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101x

x x x

+<<+ 第二组：指数放缩

（放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥，

（放缩成类反比例函数）()101x e x x ≤

≤-，()1

0x e x x <-<， （放缩成二次函数）()21102x e x x x ≥++

>，2311

126

x e x x x ≥+++， 第三组：指对放缩

4

()()ln 112x e x x x -≥+--=

第四组：三角函数放缩

()sin tan 0x x x x <<>，21sin 2x x x ≥-，2211

1cos 1sin 22

x x x -≤≤-.

第五组：以直线1y x =-为切线的函数

ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，1

1y x

=-

，ln y x x =.

几个经典函数模型

经典模型一：ln x y x =

或ln x

y x

=. 【例1】讨论函数()ln f x x ax =-的零点个数.

（1）1

a e

>

时，无零点. ()1'f x a x =

-，()max 11ln 10f x f a a ⎛⎫

==-< ⎪⎝⎭

.

（2）1

a e

=

时，1个零点.