222对数函数及其性质(2)
2.2.2对数函数及其性质(二)
§2.2.2 对数函数及其性质(二)学习目标1.熟练掌握对数函数概念、图象、性质2.掌握对数函数定义域、值域的求法,判断其单调性※ 学习重点、难点：重点：对数函数单调性的应用难点：灵活运用对数函数的图象与性质学习过程(预习教材P 72,找出疑惑之处)一.课前导学※ 复习回顾复习1:对数函数的概念一般地,我们把函数 叫做对数函数,其中 是自变量,函数的定义域是复习2:对数函数的图像与性质探究1:对数函数的图像及性质与底数间的规律问题1:在同一坐标系中,作出函数图象的草图2log y x =,12log y x =,3log y x =,13log y x =,4l g y o x =,14log y x=y0 x思考:在第一象限,底数对图象的影响？ 在第一象限,对数函数的图象,底数大的在 . 例1.下图是函数1log a y x =,2log ,a y x =3log a y x =,4log a y x =的图象,则底数之间的关系为 .二.课内探究※ 知识检测1.解对数方程3log )2(log )1(21221=-x x01)32(log )2(22=-++x x※ 能力达标2.求x 的范围 2log 21>x(1)2log 2>x (2)小结:注意考虑有意义的范围3.求下列函数的定义域(1) (2) (3))2(log +=x y x (4) y =x 2log 1小结:定义域的限制条件:4.对数函数的真数大于0 ※ 拓展提高4.求下列函数的定义域,值域小结:三.总结提升※ 学习小结2212(1)log (4)(2)log 1)y x y =+=2log a y x =log (4)a y x =-xy 3log )6(=）且（101log )3(≠>>a a x a x y 311log )5(7-=1.对数复合函数定义域,值域的求法四.课后作业1.下列函数中,定义域相同的一组是( )A.x y a =与log a y x =（0a >且1a ≠）B.y x =与y =C.lg y x =与y =D.2y x =与2lg y x =2.函数22log (1)y x x =+≥的值域为( )A. (2,)+∞B. (,2)-∞C. [)2,+∞D. [)3,+∞3.不等式的41log 2x >解集是( ) A.(2,)+∞ B.(0,2) C.1(,)2+∞ D.1(0,)24.的定义域是 ,值 域是 .5.求下列函数的定义域：（1）3log (36)y x =-（2）y （3）y =(4)33log 34y x =+ (5)(1)log (42)x y x -=-6.函数)1(log )1(log )(x x x f a a -++=, 判断函数的奇偶性y。
对数函数及其性质(2)教学设计
对数函数及其性质（2）教学设计延长县中学焦存江一、学情与教材分析对数函数是高中引进的第二个初等函数，是本章的重点内容。
学生在前面的函数性质、指数函数学习的基础上，用研究指数函数的方法，进一步研究和学习对数函数的概念、图象和性质以及初步应用，有利于学生进一步完善初等函数的认识的系统性，加深对函数的思想方法的理解，在教学过程中，虽然学生的认知水平有限，但只要让学生体验对数函数来源于实践，通过教师课件的演示，通过数形结合，让学生感受y=log a x(a>0且a≠1)中，a取不同的值时反映出不同的函数图象，让学生观察、小组讨论、发现、归纳出图象的共同特征、函数图象的规律，进而探究学习对数函数的性质。
最后将对数函数、指数函数的图象和性质进行比较，以便加深对对数函数的概念、图象和性质的理解，同时也为后面教学作准备。
二、设计思想在本节课的教学过程中，通过古遗址上死亡生物体内碳14含量与生物死亡年代关系的探索，引出对数函数的概念。
通过对底数a的分类讨论，探究总结出对数函数的图象与性质，使学生经历从特殊到一般的过程，体验知识的产生、形成过程，通过例题的分析与练习，进一步培养学生自主探索，合作交流的学习方式，通过学生经历直观感知，观察、发现、归纳类比，抽象概括等思维过程，落实培养学生积极探索学习习惯，提高学生的数学思维能力的新课程理念。
三、教学目标1、通过对对数函数概念的学习，培养学生实践能力，使学生理解对数函数的概念，激发学生的学习兴趣。
2、通过对对数函数有关性质的研究，渗透数形结合、分类讨论的数学思想。
培养观察、分析、归纳的思维能力和交流能力，增强学习的积极性。
掌握对数函数的图象与性质，并会初步应用。
3、培养学生自主学习、数学交流能力和数学应用意识。
通过联系观点分析，解决两数比较大小的问题。
四、教学重点和难点重点：1、对数函数的定义、图象、性质。
2、对数函数的性质的初步应用。
难点：底数a对对数函数图象、性质的影响。
第二章 2.2.2 第2课时 对数函数及其性质(二)
第2课时 对数函数及其性质(二)学习目标 1.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法.2.会解简单的对数不等式.3.了解反函数的概念及它们的图象特点.知识点一 不同底的对数函数图象的相对位置一般地，对于底数a >1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越大越靠近x 轴；对于底数0<a <1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越小越靠近x 轴. 知识点二 反函数的概念一般地，像y ＝a x 与y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)这样的两个函数互为反函数.(1)y ＝a x 的定义域R 就是y ＝log a x 的值域；而y ＝a x 的值域(0，＋∞)就是y ＝log a x 的定义域. (2)互为反函数的两个函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象关于直线y ＝x 对称.(3)互为反函数的两个函数的单调性相同.但单调区间不一定相同.1.y ＝log 2x 2在(0，＋∞)上为增函数.( √ )2.212log y x 在(0，＋∞)上为增函数.( × )3.ln x <1的解集为(－∞，e).( × )4.y ＝a x 与x ＝log a y 的图象相同.( √ )题型一 比较大小例1 (1)若a ＝log 0.23，b ＝log 0.22.5，c ＝log 0.20.3，则( ) A.a >b >c B.c >b >a C.a >c >b D.c >a >b答案 B解析 因为0.3<2.5<3，且y ＝log 0.2x 在(0，＋∞)上是减函数，所以c >b >a . (2)比较下列各组数的大小：①log 534与log 543；②1135log 2log 2与；③log 23与log 54.解 ①方法一 对数函数y ＝log 5x 在(0，＋∞)上是增函数，而34<43，所以log 534<log 543.方法二 因为log 534<0，log 543>0，所以log 534<log 543.②由于1321log 21log 3=，1521log 21log 5=，又对数函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，且0<15<13<1，所以0>log 213>log 215，所以1log 213<1log 215，所以3151l 2log 2og <.③取中间值1，因为log 23>log 22＝1＝log 55>log 54，所以log 23>log 54. 反思感悟 比较对数值大小时常用的四种方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性.(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化. (3)底数和真数都不同，找中间量.(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.跟踪训练1 (1)设a ＝log 2π，12log πb =，c ＝π－2，则( )A.a >b >cB.b >a >cC.a >c >bD.c >b >a 答案 C解析 a ＝log 2π>1，12log π0b <=，c ＝π－2∈(0,1)，所以a >c >b .(2)比较下列各组值的大小： ①2233log 0.5,log 0.6；②log 1.51.6，log 1.51.4；③log 0.57，log 0.67；④log 3π，log 20.8.解 ①因为函数23log y x =是减函数，且0.5<0.6，所以2233log 0.5log 0.6>.②因为函数y ＝log 1.5x 是增函数，且1.6>1.4， 所以log 1.51.6>log 1.51.4.③因为0>log 70.6>log 70.5，所以1log 70.6<1log 70.5，即log 0.67<log 0.57. ④因为log 3π>log 31＝0，log 20.8<log 21＝0，所以log 3π>log 20.8. 题型二 对数不等式的解法 例2 (1)7171lo lo g (g 4)x x >- ；(2)log a (2x －5)>log a (x －1). 解 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，4－x >0，x <4－x ，解得0<x <2.所以原不等式的解集为{x |0<x <2}.(2)当a >1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －5>0，x －1>0，2x －5>x －1.解得x >4.当0<a <1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2x －5>0，x －1>0，2x －5<x －1，解得52<x <4.综上所述，当a >1时，原不等式的解集为{x |x >4}；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪52<x <4. 反思感悟 对数不等式的三种考查类型及解法(1)形如log a x >log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况进行讨论.(2)形如log a x >b 的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式(b ＝log a a b )，再借助y ＝log a x 的单调性求解.(3)形如log f (x )a >log g (x )a (f (x )，g (x )>0且不等于1，a >0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解.跟踪训练2 (1)求满足不等式log 3x <1的x 的取值集合； (2)若log a 25<1(a >0，且a ≠1)，求实数a 的取值范围.解 (1)因为log 3x <1＝log 33，所以x 满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 3x <log 33，即0<x <3.所以x 的取值集合为{x |0<x <3}. (2)log a 25<1，即log a 25<log a a .当a >1时，函数y ＝log a x 在定义域内是增函数， 所以log a 25<log a a 总成立；当0<a <1时，函数y ＝log a x 在定义域内是减函数， 由log a 25<log a a ，得a <25，即0<a <25.所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，25∪(1，＋∞).题型三 对数型复合函数的单调性命题角度1 求单调区间例3 求函数212log (1)y x =-的单调区间.解 要使212log (1)y x =-有意义，则1－x 2>0，所以x 2<1，所以－1<x <1， 因此函数的定义域为(－1,1). 令t ＝1－x 2，x ∈(－1,1).当x ∈(－1,0]时，x 增大，t 增大，y ＝12log t 减小.所以当x ∈(－1,0]时，212log (1)y x =-是减函数；同理可知，当x ∈[0,1)时，212log (1)y x =-是增函数.即函数212log (1)y x =-的单调递减区间是(－1,0]，单调递增区间为[0,1).反思感悟 求形如y ＝log a f (x )的函数的单调区间的步骤 (1)求出函数的定义域.(2)研究函数t ＝f (x )和函数y ＝log a t 在定义域上的单调性. (3)判断出函数的增减性求出单调区间.跟踪训练3 求函数f (x )＝log 2(1－2x )的单调区间.解 因为1－2x >0，所以x <12.又设u ＝1－2x ，则y ＝log 2u 是(0，＋∞)上的增函数. 又u ＝1－2x ，则当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，12时，u (x )是减函数， 所以函数f (x )＝log 2(1－2x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－∞，12. 命题角度2 已知复合函数单调性求参数范围例4 已知函数212log ()y x ax a =-+在区间(－∞，2)上是增函数，求实数a 的取值范围.考点 对数函数的单调性题点 由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围解 令g (x )＝x 2－ax ＋a ，g (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，a 2上是减函数，∵0<12<1，∴12log ()y g x =是减函数，而已知复合函数212log ()y x ax a =-+在区间(－∞，2)上是增函数，∴只要g (x )在(－∞，2)上单调递减，且g (x )>0在x ∈(－∞，2)上恒成立， 即⎩⎪⎨⎪⎧2≤a 2，g (2)＝(2)2－2a ＋a ≥0，∴22≤a ≤2(2＋1)，故所求a 的取值范围是[22，22＋2].反思感悟 若a >1，则y ＝log a f (x )的单调性与y ＝f (x )的单调性相同，若0<a <1，则y ＝log a f (x )的单调性与y ＝f (x )的单调性相反.另外应注意单调区间必须包含于原函数的定义域. 跟踪训练4 若函数f (x )＝log a (6－ax )在[0,2]上为减函数，则a 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(1,3) C.(1,3] D.[3，＋∞) 考点 对数函数的单调性题点 由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围 答案 B解析 函数由y ＝log a u ，u ＝6－ax 复合而成，因为a >0，所以u ＝6－ax 是减函数，那么函数y ＝log a u 就是增函数，所以a >1，因为[0,2]为定义域的子集，所以当x ＝2时，u ＝6－ax 取得最小值，所以6－2a >0，解得a <3，所以1<a <3.故选B.1.不等式log 2(x －1)>－1的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >23 B.{x |x >2}C.{x |x >1}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >32 答案 D解析 ∵log 2(x －1)>－1＝log 212，∴x －1>12，即x >32.2.函数f (x )＝－2x ＋5＋lg(2－x －1)的定义域为( )A.(－5，＋∞)B.[－5，＋∞)C.(－5,0)D.(－2,0) 答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5>0，2－x －1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x >－5，2－x >20，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >－5，x <0，∴－5<x <0，故选C.3.如果2121l log og 0x y <<，那么( )A.y <x <1B.x <y <1C.1<x <yD.1<y <x 考点 对数不等式 题点 解对数不等式 答案 D4.若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝________. 考点 函数的反函数 题点 求函数的反函数 答案 log 2x5.函数f (x )＝ln x 2的单调减区间为____________. 考点 对数函数的单调性 题点 对数型复合函数的单调区间 答案 (－∞，0)1.与对数函数有关的复合函数的单调区间、奇偶性、不等式问题都要注意定义域的影响.2.y ＝a x 与x ＝log a y 的图象是相同的，只是为了适应习惯用x 表示自变量，y 表示因变量，把x ＝log a y 换成y ＝log a x ，y ＝log a x 才与y ＝a x 关于直线y ＝x 对称，因为点(a ，b )与点(b ，a )关于直线y ＝x 对称.一、选择题1.函数y ＝log 3(2x －1)的定义域为( ) A.[1，＋∞) B.(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫12，1考点 对数不等式 题点 解对数不等式 答案 A解析 要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧log 3(2x －1)≥0，2x －1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥1，2x －1>0，∴x ≥1， ∴函数y ＝log 3(2x －1)的定义域为[1，＋∞). 2.若log a 2<log b 2<0，则下列结论正确的是( ) A.0<a <b <1 B.0<b <a <1 C.a >b >1 D.b >a >1答案 B解析 因为log a 2<0，log b 2<0， 所以0<a <1,0<b <1， 又log a 2<log b 2， 所以a >b ， 故0<b <a <1.3.函数f (x )＝12log x 的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎦⎤0，12 B.(0,1] C.(0，＋∞) D.[1，＋∞)答案 D解析 f (x )的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞).4.函数y ＝15log (1－3x )的值域为( )A.RB.(－∞，0)C.(0，＋∞)D.(1，＋∞) 答案 C解析 因为3x >0，所以－3x <0， 所以1－3x <1.又y ＝15log t (t ＝1－3x )是关于t 的减函数，所以y ＝15log t >15log 1＝0.5.已知log a 12<2，那么a 的取值范围是( )A.0<a <22B.a >22C.22<a <1 D.0<a <22或a >1 考点 对数不等式 题点 解对数不等式 答案 D解析 当a >1时，由log a 12<log a a 2得a 2>12，故a >1；当0<a <1时，由log a 12<log a a 2得0<a 2<12，故0<a <22. 综上可知，a 的取值范围是0<a <22或a >1. 6.函数y ＝13log (－3＋4x －x 2)的单调递增区间是( )A.(－∞，2)B.(2，＋∞)C.(1,2)D.(2,3) 答案 D解析 由－3＋4x －x 2>0，得x 2－4x ＋3<0，得1<x <3. 设t ＝－3＋4x －x 2，其图象的对称轴为x ＝2. ∵函数y ＝13log t 为减函数，∴要求函数y ＝13log (－3＋4x －x 2)的单调递增区间，即求函数t ＝－3＋4x －x 2,1<x <3的单调递减区间， ∵函数t ＝－3＋4x －x 2,1<x <3的单调递减区间是(2,3)，∴函数y ＝13log (－3＋4x －x 2)的单调递增区间为(2,3)，故选D.7.已知函数f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围为( ) A.(－∞，4] B.[4，＋∞ ) C.[－4,4] D.(－4,4] 答案 D解析 令g (x )＝x 2－ax ＋3a ，∵f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上单调递减， ∴函数g (x )在区间[2，＋∞)上单调递增，且恒大于0， ∴12a ≤2且g (2)>0， ∴a ≤4且4＋a >0，∴－4<a ≤4， 故选D.8.已知指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫1a x，当x ∈(0，＋∞)时，有y >1，则关于x 的不等式log a (x －1)≤log a (6－x )的解集为( ) A.⎣⎡⎭⎫72，＋∞ B.⎝⎛⎦⎤－∞，72 C.⎝⎛⎦⎤1，72 D.⎣⎡⎭⎫72，6答案 D解析 ∵y ＝⎝⎛⎭⎫1a x 在x ∈(0，＋∞)时，有y >1， ∴1a>1，∴0<a <1. 于是由log a (x －1)≤log a (6－x )， 得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥6－x ，x －1>0，6－x >0，解得72≤x <6，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪72≤x <6.故选D. 二、填空题9.若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点⎝⎛⎭⎫32，23，则a ＝________. 考点 函数的反函数 题点 反函数的图象与性质 答案2解析 因为点⎝⎛⎭⎫32，23在y ＝f (x )的图象上，所以点⎝⎛⎭⎫23，32在y ＝a x 的图象上，则有32＝23a ， 即a 2＝2，又因为a >0，所以a ＝ 2. 10.函数y ＝log 2(x 2－1)的增区间为________. 考点 对数函数的单调性 题点 对数型复合函数的单调区间 答案 (1，＋∞)解析 由x 2－1>0得函数的定义域为{x |x <－1或x >1}，又y ＝log 2x 在定义域上单调递增，y ＝x 2－1在(1，＋∞)上单调递增，∴函数的增区间为(1，＋∞).11.若函数f (x )＝log a x (其中a 为常数，且a >0，a ≠1)满足f (2)>f (3)，则f (2x －1)<f (2－x )的解集是________. 答案 {x |1<x <2} 解析 ∵f (2)>f (3)， ∴f (x )＝log a x 是减函数，由f (2x －1)<f (2－x )，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0，2－x >0，2x －1>2－x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >12，x <2，x >1，∴1<x <2. 三、解答题12.已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)－2. (1)若f (x )>0，求x 的取值范围； (2)若x ∈(－1,3]，求f (x )的值域. 解 (1)函数f (x )＝log 2(x ＋1)－2， ∵f (x )>0，即log 2(x ＋1)－2>0， ∴log 2(x ＋1)>2，∴x ＋1>4，∴x >3. 故x 的取值范围是x >3. (2)∵x ∈(－1,3]， ∴x ＋1∈(0,4]，∴log 2(x ＋1)∈(－∞，2]， ∴log 2(x ＋1)－2∈(－∞，0]， 故f (x )的值域为(－∞，0]. 13.已知f (x )＝12log (x 2－ax －a ).(1)当a ＝－1时，求f (x )的单调区间及值域；(2)若f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上为增函数，求实数a 的取值范围. 考点 对数函数的单调性题点 由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝12log (x 2＋x ＋1)，∵x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34≥34， ∴12log (x 2＋x ＋1)≤123log 4＝2－log 23， ∴f (x )的值域为(－∞，2－log 23].∵y ＝x 2＋x ＋1在⎝⎛⎦⎤－∞，－12上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－12，＋∞上单调递增，y ＝12log x 在(0，＋∞)上单调递减，∴f (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，－12， 单调减区间为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. (2)令u (x )＝x 2－ax －a ＝⎝⎛⎭⎫x －a 22－a 24－a ， ∵f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上为单调增函数， 又∵y ＝12log u (x )为单调减函数，∴u (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上为单调减函数，且u (x )＞0在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上恒成立. ⎝⎛⎭⎫提示：⎝⎛⎭⎫－∞，－12⊆⎝⎛⎭⎫－∞，a 2 因此⎩⎨⎧ a 2≥－12，u ⎝⎛⎭⎫－12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，14＋a 2－a ≥0， 解得－1≤a ≤12. 故实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12.14.若函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为________.考点 对数函数的综合问题题点 与单调性有关的对数函数综合问题答案 12解析 当a >1时，y ＝a x 与y ＝log a (x ＋1)在[0,1]上是增函数， ∴f (x )max ＝a ＋log a 2，f (x )min ＝a 0＋log a 1＝1，∴a ＋log a 2＋1＝a ，∴log a 2＝－1，a ＝12(舍去)； 当0<a <1时，y ＝a x 与y ＝log a (x ＋1)在[0,1]上是减函数，∴f (x )max ＝a 0＋log a (0＋1)＝1，f (x )min ＝a ＋log a 2，∴a ＋log a 2＋1＝a ，∴a ＝12. 综上所述，a ＝12. 15.已知函数f (x )＝lg(1＋x )－lg(1－x ).(1)求函数f (x )的定义域，并证明f (x )是定义域上的奇函数；(2)用定义证明f (x )在定义域上是增函数；(3)求不等式f (2x －5)＋f (2－x )<0的解集.(1)解 由对数函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x >0，1＋x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧x <1，x >－1， 即－1<x <1，∴函数f (x )的定义域为(－1,1).∵f (－x )＝lg(1－x )－lg(1＋x )＝－f (x )，∴f (x )是定义域上的奇函数.(2)证明 设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝lg(1＋x 1)－lg(1－x 1)－lg(1＋x 2)＋lg(1－x 2)＝lg (1＋x 1)(1－x 2)(1＋x 2)(1－x 1). ∵－1<x 1<x 2<1，∴0<1＋x 1<1＋x 2，0<1－x 2<1－x 1，于是0<1＋x 11＋x 2<1,0<1－x 21－x 1<1， 则0<(1＋x 1)(1－x 2)(1＋x 2)(1－x 1)<1，∴lg (1＋x 1)(1－x 2)(1＋x 2)(1－x 1)<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，即函数f (x )是(－1,1)上的增函数.(3)解 ∵f (x )在(－1,1)上是增函数且为奇函数，∴不等式f (2x －5)＋f (2－x )<0可转化为f (2x －5)<－f (2－x )＝f (x －2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1<2x －5<1，－1<x －2<1，2x －5<x －2，解得2<x <3.∴不等式的解集为{x |2<x <3}.。
2.2.2 对数函数及其性质
3 y x ( x R) 的反函数，并且画出原来的函数和它 例13：求函数
的反函数的图象。
解：由y x 3，得 x 3 y ∴函数 y x 的反函数是： y 3 x ( x R)
3 3 y x ( x R)和它的反函数 y 3 x ( x R) 的图象如图所示： 函数
(2)在定义域上是增函数
注：函数 y log a x(a 0且a 1) 的图象与 y log 1 x(a 0且a 1) 的 a 图象关于 x轴对称。 练习： 1. 函数 y log 4.3 x 的值域是（ D ）
A.(0,) C义：
一般地，我们把函数 y log a x(a 0, 且a 1) 叫做对数函数， 其中 x 是自变量，函数的定义域是(0,) 。
注：
x y a 1.由于指数函数 中的底数a满足a 0且a 1 ，则对数函数 y log a x 中的底数 a 也必须满足 a 0且a 1。
二、对数函数的图象和性质：
例2：函数 y log2 x 和 y log1 x 的图象。
2
一般地，对数函数y log a x(a 0，且a 1)的图象和性质 如下表所示：
0 a 1
图象
a 1
定义域 值域 性质 (2)在定义域上是减函数
(0,)
R
(1)过定点(1,0)，即x=1时，y=0
x f 1 ( y)
y 注：在函数 x f 1 ( y)中，表示自变量，表示函数。但在习惯上， x 我们一般用 x 表示自变量，用 y表示函数，为此我们常常对调函数 x f 1 ( y)中的字母 x, y，把它改写为 y f 1 ( x)。
2.如果函数 y f ( x)有反函数 f 1 ( x) ，那么函数 y f 1 ( x) 的反函 数就是y f ( x) 。
对数函数的图像与性质(第2课时)
y 2
1
0
11 42
1
2 3
4
x
-1 … -2 …
3. 对数函数的性质：
a＞1 0＜a＜1
y
图 象
y
O
x
O
x
性 x∈(0, 1)时，y<0； x∈(0, 1)时，y>0 质 x∈(1, +∞)时，y>0. x∈(1, +∞)时，y<0.
在(0,+∞)上是增函数
定义域：(0, +∞)； 值域：R 过点(1, 0)，即当x＝1时，y＝0.
例
解:
比较大小：
11
1） log64
>
log74
方法二
当底数不相
同，真数相 同时，利用 图象判断大 y1=log6x 小. y2=log7x
x
利用对数函数图象 得到 log64 > log74
y
o
1
3
课堂小结
对数函数定义、图象、性质；
课后作业
1、教材P104：练习A第2、练习B 第2题
2、选作
关于x轴对称
猜猜: 对数函数
y log 3 x和y log 1 x的图象。
y3 2 x log
y log 3 x
y 2
1
0
11 42
1 2 3
4
x
y log 1 x
y log 1 x
2
-1 -2
3
y log a x与y log 1 x关于轴对称
a
(a 0且a 1)
3. 对数函数的性质：
y 2 1
0
11 42
y log 2 x
对数函数及其性质2
例3.已知f(x) = lg(ax－bx) ( a＞1＞b＞0 ) （1）求 f ( x ) 的定义域；
解：由题 ax －b x ＞0 得 ax ＞ bx ∵ a＞1＞b＞0 ∴ x ＞0
a x ( ) 1 b
故 f ( x ) 的定义域为 ( 0 , + ∞ ) (2)判断 f ( x ) 的单调性.
（3）令u=a-ax, ∵u>0,a>1,∴ax<a,x<1, ∴y=loga(a-ax)的定义域为{x|x<1}, ∵ax<a,且ax>0,u=a-ax<a,
∴y=loga(a-ax)<logaa=1,
∴函数的值域为{y|y<1}. 【评析】求函数的值域一定要注意定义域对它的影响， 然后利用函数的单调性求之，当函数中含有参数时，有 时需要讨论参数的取值.
综上所述，0 ≤a≤1. 【评析】本题两小题的函数的定义域与值域正好错位.
（1）中函数的定义域为R,由判别式小于零确定；
（2）中函数的值域为R，由判别式不小于零确定.
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例5 对数函数的单调性
y log 2 ( x 2 2 x) 的单调递增区间。 1.求函数
2.求函数 y log 1 ( x x 2) 的单调递减区间。
求值域： （1）y=log2 (x2-4x+6);
1 （2） y log 2 2 . - x 2x 2
(1)∵x2-4x+6=(x-2)2+2≥2,又∵y=log2x在(0,+∞)上是增 函数, ∴log2(x2-4x+6)≥log22=1. ∴函数的值域是［1,+∞). (2) ∵-x2+2x+2=-(x-1)2+3≤3, 1 1 ∴ - x 2 2x 2 <0或 - x 2 2x 2 ≥ 1 . 1 1 3 log 2 ∴ ≥ log 2 - x 2x 2 1 3 ∴函数的值域是 log 2 , ,
2.2.2对数函数及其性质(2)
(3)已知 a>0，且 a≠1，函数 y＝ax 与 y＝loga(－x)的图像只 能是图中的( )
[答案] B
[解析] 函数 y＝loga(－x)的定义域是{x|x<0}，图像只能在 y 轴 左侧，故排除 A，C.再看单调性，y＝ax 的单调性与 y＝loga(－ x)的单调性正好相反，又排除 D.
【变式】 函数 f(x)＝ln(x2＋1)的图像大致是(
)
[答案] A
[解析] 因为 f(－x)＝ln[(－x)2＋1]＝ln(x2＋1)＝f(x)，排除选 项 C，又 f(0)＝0，排除选项 B，D，故选 A.
拓展
函数 f(x)＝1＋log2x 与 g(x)＝2－x＋1 在同一坐标 )
系下的图像大致是(
∴此函数不具备奇偶性．
拓展 已知函数 f(x)＝lg(ax ＋2x＋1)． (1)若 f(x)的定义域为 R，求实数 a 的取值范围； (2)若 f(x)的值域为 R， 求实数 a 的 取值范围．
2
解：(1)若 f(x)的定义域为 R，则关于 x 的不等式 ax2＋2x＋ 1>0 的解集为 R. 1 当 a＝0 时，x>－ ，这与 x∈R 矛盾，所以 a≠0. 2 当 a≠0
f(x)，∴f(x)＝log2|x|为偶函数． 1－x 1＋x 1－x －1 1－x (2)设 f(x)＝lg ，f(－x)＝lg ＝lg( ) ＝－lg 1＋x 1－x 1＋x 1＋x 1－x ＝－f(x)，∴y＝lg 为奇函数． 1＋x
x－1>0 (3)由于 x＋1>0
，∴x>1，定义域不关于原点对称．
a>0， 时，由题意得 解得 Δ ＝ 4 － 4 a <0 ，
高中数学必修一导学案：222+对数函数及其性质
东北师范大学附属中学学科：数学年级：高一编稿老师：邢昌振审稿老师：王艳平[同步教学信息]2．2．2 对数函数及其性质【教材阅读提示】函数源于实际生活．我们在研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，得到的细胞案的个数y是分裂次数x的函数指数函数，即y=2x．我们现在要思考的是：（1）如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞，那么，分裂次数x就是要得到的细胞个数y的函数，从而到的函数如何表示，它和指数函数有什么关系？（2）此函数有哪些基本性质？【基础知识精讲】（一）教学知识点知识目标：1.对数函数的概念、对数函数的单调性；2.对数函数的图象和性质；3.对数形式的复合函数的单调性；4.同底数对数、不同底对数的大小的比较．能力目标：1.理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象和性质；2.掌握同底对数、不同底对数的大小的比较方法；3.掌握对数形式复合函数的单调性的判断及证明方法；情感、态度、价值观：1.用联系的观点分析问题；2.认识事物之间的相互转化；教学重点：掌握对数函数的图象和性质．教学难点：对数函数的定义，对数函数的图象和性质及应用．（二）知识框架图（三）知识点精讲1．函数x y a log 的图象及其性质：2．对数函数的定义域、值域分别为相应的指数函数的值域和定义域，它们的图象关于直线y=x 对称；3．（1，0）为所有对数函数图象的交汇点；4．和指数函数的单调性一样，当a ＞1时，y=log a x 在（0，+∞）上是增函数，当0＜a ＜1时，y=log a x 在（0，+∞）上是减函数．【应用举例】【例 1】求下列函数的定义域：（1） y=log a x 2； （2）y=log a （4－x ）； （3）y=log a （9－x 2）;（4）x y 21log =; ()x y 5l o g 15=. 解：（1）∵x 2＞0，∴x ≠0，∴定义域是｛x|x ∈R 且x ≠0｝；（2）∵4－x ＞0，∴x ＜4，∴定义域是｛x|x ＜4}；（3）∵9－x 2＞0，∴－3＜x ＜3，∴定义域是｛x |－3＜x ＜3}；（4）10,1210,1log log 0log 212121≤<∴<<≥⇒≥x x x ，∴定义域是｛x |0＜x ≤1}； （5）∵log 5x ≠0，∴log 5x ≠log 51，∴x ≠1，∴定义域为｛x|x ≠1｝．求函数定义域方法小结：（1） 分母不能为零；（2） 偶次方根的被开方数大于或等于零；（3） 对数的真数必须大于零；（4） 指数函数、对数函数的底数要求大于零且不等于1．【例 2】比较下列各组数中两个值的大小：()()()();1,095log 15log 3;72log 81log 2;58log 43log 1303022≠>⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅a a a a 与与与（4）log 76，log 67 ； （5）log 3π，log 20．8．解：（1）考察对数函数y=log 2x ，∵2＞1，∴y=log 2x 在（0，+∞）上是增函数，∴log 23．4＜log 28．5．（2）考察对数函数y =log 0．3x ，∵0．3＜1，∴y=log 0．3x 在（0，+∞）上是减函数，∴72log 81log 3030⋅<⋅⋅⋅．（3）由于两个对数的底数a 大小不一定，而a 的大小直接影响函数的单调性，因此要对底数进行讨论：当a ＞1时，y=log a x 在（0，+∞）上是增函数，∴95log 15log ⋅<⋅a a ；当0＜a ＜1时，y =log a x 在（0，+∞）上是减函数，∴95log 15log ⋅>⋅a a ．（4）∵log 76＞log 66=1，log 67＜log 77=1，∴log 76＞log 67．（5）∵log 3π＞log 31=0，log 20．8＜log 21=0，∴log 3π＞log 20．8．小结：1．当比较的对数值是底数相同的情况时，只需考虑相应对数函数的单调性，利用函数的单调性来判断大小；当比较的数值是底数不相同的情况时，常常需要引入中间值（例如0或1）来间接比较它们的大小；2．对于log a b 的正负性，可直接利用下列性质来判断：（1） 若a ＞1，b ＞1，或0＜a ＜1，0＜b ＜1时，log a b ＞0；（2） 若a ＞1，0＜b ＜1或b ＞1，0＜a ＜1时，log a b ＜0．【例3】证明函数()()()∞++=，在01log 22x x f 上是增函数；并判断()()()01log 22，在∞-+=x x f 上是增函数还是减函数？分析：此题目的是在于让学生熟悉函数单调性证明的通法，同时熟悉利用对数函数的单调性比较同底数对数大小的方法．证明：()，则，且，、设21210x x x x <∞+∈()()()(),11,01log 1log 22212122221221+<+∴<<+-+=-x x x x x x x f x f 又， ()()()()().1log 1log 0log 212222122x f x f x x x y <+<+∴∞+=即上是增函数，，在又∴函数()()()∞++=，在01log 22x x f 上是增函数；同理可证函数()()()01log 22，在∞-+=x x f 上是减函数． 【自我检测】【同步训练初级】1．四个函数分别为①x y 3-=；②x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=31；③x y 31log =；④()x y -=31log . 其图象关于原点对称的是 （ ）A ．②和③B ．①和②C ．②和④D ．①和②、③和④2．已知函数()()22lg 2+-=x x x f 的定义域为F ，函数()()()2lg 1lg -+-=x x x g 的定义域为G ，那么 （ ）A ．φ=G FB ． F =GC ．F G D ．F G 3．将log 0。
2.2.2对数函数及其性质(二)
例5：已知函数 f ( x) log 2 (3x 1), 若 f ( x) 0， 求 x 的取值范围．
总结点评：注意对数函数定义中定义域限制 (3x-1>0)
变式1：已知函数 y log 2 (2x 1)， 求满足 f ( x) 1 的 x 的取值范围.
变式2：已知 log a (3a 1) 恒为正数， 求 a 的取值范围．
x
探 究:
么 x 是 y 的函数吗？如果是，那么对应关系是
什么？如果不是，请说明理由。 y=2x x log2 y y 0,
xR
指数函数y=2x(x ∈R)与对数函数y=log2x (x∈(0,+∞)) 互为反函数． 一般地，指数函数y=ax(x ∈R)与对数函数 y=logax (x∈(0,+∞)) 互为反函数．
得到：log 0.35＞log 0.37
（3）log a5 与log a7 ( a＞0 且 a≠1 )
对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还 是小于1.而已知条件中并未指出底数a与1哪个大? 因此需要对底数a进行讨论:
y 0 1 x y 0 x
1
当a＞1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是增函数,故 log a5＜log a7 当0＜a＜1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是减函数,故 log a5＞log a7
(6) loga x2与 loga (x2+1) (x≠0)
练习
1995年我国人口总数是12亿，如果人口的自然增长率 控制在1.25%，问哪一年我国人口总数将大约等于14亿？ 解： 设 X年后人口总数超过14亿，依题意得 12.(1+0.0125)X=14 即 1.0125X=14/12，两边取常用对数， 得：X.lg1.0125=lg14-lg12 即：X= (lg14-lg12)/ lg1.0125≈12.4
§2.2.2对数函数及其性质(2)
例.阅读课本P72例9及P73.
【例题探究】 例2.求下列函数的定义域与值域： (1)y=log2(x2+2x+5); (2)y=log1/2(4x-x2)； (3) y (log x )2 2log x 3
§2.2.2对数函数 及其性质(2)
1.对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1y 1 o y Nhomakorabeax
o
1
x
定义域：(0，+∞) ，值域：R 过定点(1，0),即x=1时，y=0 在(0,+∞)上递增 在(0,+∞)上递减
2.重要结论 同 正 异 负
a 1 0 a 1 loga x 0 或 x 1 0 x 1 a 1 0 a 1 loga x 0 或 0 x 1 x 1
【练习一】 2.求满足下列不等关系的x的范围. (1) log2(x+1)>log2(1-x)； (0，1) (2) log1/3x2>log1/34 (-2, 0)∪(0, 2) (2) log3(2x-1)<1； (0, 2) (3) log1/2(3-2x)>0. (1, 3/2)
探究 观察下图所示函数 y＝log2x，y＝log0.5x，y＝log10x，y ＝log0.1x 图象，你能得出什么结论？
2 2
【作业】1.P75 B组 3、4 2.求函数
f ( x) log1 ( x 2x 3) 1
2 2
2.2.2对数函数及其性质
y
x
…
1 2
1
2
4
8
…
y
…
1
0
-1
-2
-3
…
-1 -2 -3
3 2 1
y=log2x
●
0
这两个图象 又有何关系？
●
1 2 3 4 5
● ●
6 7
8
x
y = log 1 x
●
2
探索研究：
log 2 x （2）y log 1 x
（1） y
在同一坐标系中画出下列对数函数的图象； y
..........
反函数
复习引入
函数的定义
如果在某个变化过程中有两个变量X和Y,并且对
于X在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应
法则,Y都有唯一确定的值和它对应,那么Y就是X的函
数，X就叫做自变量，X的取值范围称为函数的定义域， 和X的值对应的Y的值叫做函数值，函数值的集合叫做 函数的值域。 记为： y=f(x)
(3)log0.50.4
log20.7 (4)loga0.4 loga0.7
同步练习
例2:比较下列各式中两个值的大小 (1)log3π
1 (2) log 2 2
log3e log2(a2+a+1)
(3)log2.11.7
(4)log67
log0.37
log76
(5)log35
(6)log56
log45
同步练习 1.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函 数，且f(2)=1,则f(x)=
对数函数的应用
例1 若函数f(x)=ax+loga(x+1)上的最大值和最小值 之和为a,则a=( ) ） ）
对数函数的图像和性质应用(2)
(1)求函数y log a f ( x)的定义域(即f ( x) 0的解集)；
练习1.求下列函数的单调区间： (1)y=lg|x|; (2)y=log0.6(4-x2); (3) y=lg(x+1)-lg(x-1) (4)y=|log2x|; （5）y=loga(ax-1) (a>0,a≠1)
2
1 底数2改成 呢？ 2
函数y log a f ( x)与函数f ( x)的单调性关系如下： 当a 1时，函数y log a f ( x)与 log a f ( x)与函数f ( x)单调性相反；
求函数y log a f ( x)的单调区间步骤如下：
4.函数f ( x) log a | x b | 在3， 上单调递增， 求a，b的取值范围。
5.若函数y=log2(x2-ax-a)在区间（2，+∞）上是 增函数，求a的取值范围。
1 x 例4：已知函数f ( x) log a (a 0且a 1) 1 x （1）求函数的定义域； (3)判断函数的单调性，并证明； (4) f ( x) log a 2, 求的取值x范围.
对数函数的性质应用(2)
对数函数y=log a x (a>0, a≠1)
a>1 图 象
o y (1, 0) x y o
0<a<1
（1, 0)
x
(1) 定义域： (0,+∞) 性 (2) 值域：R (3) 过点(1,0), 即x=1 时, y=0 (4) 0<x<1时, y<0; (4) 0<x<1时, y>0; x>1时, y<0
对数函数图形与性质(二)课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
&g 1
∆= 4 − 4 ≥ 0
综上所述，实数a的取值范围 0，1
值域为全体实数，真数
要取遍所有正实数
例3.求函数f（x）＝log2（4x）•log2（2x）， ∈
1
4
, 4 的值域
解： f（x）＝ log2（4x）•log2（2x），
（1）若函数f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．
（2）若函数f（x）的值域为R，求实数a的取值范围．
解(1)因为f（x）的定义域为R
所以ax2+2x+1>0对任意的 ∈ 恒成立
若a=0,则2x+1>0显然对任意的 ∈ 不恒成立，不合题意
>0
若 ≠ 0, 则
解得a>1
∆= 4 − 4 < 0
2 = 4 − 2 + 3 ≥ 0 从两个方面考虑
解之得： −4，4
（1）根据a与1的关系确定 在 ， 上的单调性
（2） > 在 ∈ ， 时恒成立，只需() >0即可
例4：若函数y = 2 (2-ax)在 ∈[0,1]上是减函数，则的取值范围是_____
2
+ 9 > 0可知函数的定义域为R
设 = 3 u, u= 2 -2x+10
∵ u= 2 -2x+10在 −∞, 1 单调递减，在（1，+∞)单调递增
又 = 3 u单调递增
∴f（x）＝log3（x2﹣2x+10）在 −∞, 1 单调递减，
在（1，+∞)单调递增
[归纳提升]
变式 .已知函数f（x）＝log3（x2﹣2x−10）
对数函数的概念及其性质
对数函数的概念及其性质2．2．2对数函数及其性质学案课前预习学案一、预习目标记住对数函数的定义;初步把握对数函数的图象与性质.二、预习内容1、对数函数的定义_______________________________________.2、对数函数y=logax(a＞0,且a≠1)的图像和性质研究函数和的图象；请同学们完成x，y对应值表，并用描点法分别画出函数和的图象: X…1……0……0…观察发现:认真观察函数y=log2x的图象填写下表：（表一）图象特征代数表述图象位于y轴的________.定义域为：图象向上、向下呈_________趋势.值域为：图象自左向右呈___________趋势.函数在(0,+∞)上是：观察发现:认真观察函数的图象填写下表：（表二）图象特征代数表述对数函数y=logax(a＞0,且a≠1)的图像和性质：（表三）01图象定义域值域性质三、提出疑惑课内探究学案一、学习目标1理解对数函数的概念，熟悉对数函数的图象与性质规律. 2掌握对数函数的性质.学习重难点对数函数的图象与性质二、学习过程探究点一例1：求下列函数的定义域:（1）;(2).练习：求下列函数的定义域:（1）;（2）.解析:直接利用对数函数的定义域求解，而不能先化简．解：略点评：本题主要考查了对数函数的定义域极其求法．探究点二例2：比较下列各组数中两个值的大小:(1)(2)（3）loga5.1，loga5.9(a＞0,且a≠1).（1）____;（2）____;(3)若（4）若>，则m____n.三、反思总结四、当堂检测1、求下列函数的定义域（1）（2）2、比较下列各组数中两个值的大小（1）（2）课后练习与提高１.函数f(x)=lg()是（奇、偶）函数。
２．已知函数f(x)=log0.5(-x2+4x+5),则f(3)与f（4）的大小关系为。
３．已知函数在0，1]上是减函数，求实数a的取值范围．。
2.2.2对数函数及其性质(2)
(x)
(log2
x 2 )(log2
x )
4
(
2 x 8)
函数的奇偶性
例3、函数 y log 2 (x x2 1)(x R)的奇偶性为
（）
A．奇函数而非偶函数 C．非奇非偶函数
B．偶函数而非奇函数 D．既奇且偶函数
虽然课相较线下面对面课堂,缺失一定的互动性和及时反馈,但希沃录播的回放功能,则在一定程度上弥补了课的诸多不足 直播的课程会自动上传到后台,学生可以根据自身学习情况进行回放复习，2019年 11月9日，由北京教育科学研究院与清华大学生态文明研究中心合作举办的第六届北京教育论坛在北京召开，国家教育咨询委员会秘书长张力、联合国教科文组织中国可持续发展教育全国工作委员会执 行主任史根东等人分别做了主题报告，写作素材 https://，但电商购、在线教育、在线文娱、移动办公等宅经济迅速崛起，智能制造、无人配送、医疗健康等新兴产业表现抢眼，创办 的童模星，是首家少儿模特形体礼仪专业机构，立志让世界瞩目邯郸学步让所有孩子彻底告别驼背、抠胸、内外八、O 型腿，激发孩子潜在气场，提升孩子们的气质及自信心，变成走路带风、自信快 乐的孩子!亲爱的宝爸宝妈们如果您的宝宝还不会走路，或者正在学习走路，请远离学步车，别让孩子养成不良的走路习惯，等一等，请让他放慢脚步&;&;亲爱的宝爸宝妈们，美育童优正在组织家长课堂， 期待和大家在课堂上见面，做儿童教育，我们是专业的，更是认真的、用心的，在AI+VR+5G环境下,未来的智慧教育在自主学习、个性赋能和千人千面上会发生质变
二 函数的单调性
例4
1.求函数 y log2 (x2 2x)
第二章 2.2.2对数函数及其性质(2)
答案：A
返回
3．不等式 log 1 (2x＋1)>log 1 (3－x)的解集为_____________．
2 2
2x＋1>0， 解析：由题意3－x>0， 2x＋1<3－x 1 2 ⇒－2<x<3.
1 2 答案：{x|－2<x<3}
1 x>－2， ⇒x<3， 2 x< 3
－
1 3
.
返回
取得最小值时 x＝ 2
1 － 3 － 2 3
＝ 2<2，
这时 x [2,8]，舍去． 32 1 1 若2loga8＋2 －8＝1， 1 则 a＝2，此时取得最小值时
1－ 3 x＝2 2 ＝2
2∈[2,8]符合题意，
1 ∴a＝2.
＝(log2x－1)(log2x－2)
返回
＝(log2x)2－3log2x＋2，(6 分) 令 t＝log2x. ∵x∈[ 2，8]，
1 ∴t∈2，3，(8
分)
利用换元法解决问题时， 一定要求出换元后的变 量的取值范围，即新 函数的定义域.
求此类函数的最值，应 借助函数的图象求解， 此处极易将两端点处的 函数值作为最值，从 而导致解题错误.
返回
[随堂即时演练]
1．设 a＝log54，b＝log53，c＝log45，则 A．a＜c＜b C．a＜b＜c B．b＜c＜a D．b＜a＜c ( )
解析：由于 b＝log53＜a＝log54＜1＜log45＝c，故 b＜ a＜c.
答案：D
返回
2．函数
f(x)＝lg
1 的奇偶性是 2 x ＋1＋x
高中数学 2.2.2 对数函数及其性质 第2课时 对数函数性质的应用课件 新人教A版必修1
x∈(0,1)⇒y∈_(_－__∞_，__0_) ； x∈(0,1)⇒y∈_(_0_，__＋__∞_)；
x∈[1，＋∞)
x∈[1，＋∞)
⇒y∈__[_0，__＋__∞_)__
⇒y∈__(_－__∞_，__0_]_
第九页，共48页。
新知导学 1．对数复合函数的单调性 复合函数y＝f[g(x)]是由y＝f(x)与y＝g(x)复合而成，若f(x) 与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为_增__函__数___；若f(x) 与g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x减)]为函数__(_h_á_n_sh_ù_)． 对于对数型复合函数y＝logaf(x)来说，函数y＝logaf(x)可看 成是y＝logau与u＝f(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单 调性“同增异减”的规律即可判断(pànduàn)．另外，在求复合 函数的单调性时，首先要考虑函数的定义域．
第二十八页，共48页。
(2)设 u＝3＋2x－x2，
则 u＝－(x－1)2＋4≤4.
∵u>0，∴0<u≤4.
又 y＝log1 u 在(0，＋∞)上是减函数，
2
∴log1 u≥log1 4＝－2，
2
2
∴y＝log1 (3＋2x－x2)的值域为{y|y≥－2}．
2
第二十九页，共48页。
规律总结(zǒngjié)：求复合函数y ＝f[g(x)]值域的方法设y＝f(t)，t＝g(x)，先求t＝g(x)的值域再求 y＝f(x)的值域．
第二十页，共48页。
③因为 0＞log0.23＞log0.24，所以log10.23＜log10.24，即 log30.2 ＜log40.2.
④因为函数 y＝log3x 是增函数，且 π＞3，所以 log3π＞log33 ＝1.
对数函数及其性质(2)
2.2.2 对数函数及其性质（2）从容说课研究对数函数需从研究函数的一般规律入手.本节课起承上启下的作用，侧重于研究对数函数的单调性、奇偶性.对于比较大小的问题，一般常用方法有：底相同，真数不同的，可看作同一对数函数上的几个函数值，用对数函数的单调性比较大小；底相同，指数不同的，可看作同一指数函数上的几个函数值，用指数函数的单调性比较大小；底数不同，真数相同的几个数，可通过图象比较大小，也可通过换底公式比较大小；底不相同，真数也不相同的几个数，可通过特殊值来比较大小，常用的特殊值是“0”或“1”.对于对数函数奇偶性的判定不能仅从形式上去观察而得出结论，应从定义上严格加以论证，这类问题技巧性较强.对数函数的单调性需严格按定义来加以论证.三维目标一、知识与技能1.掌握对数函数的单调性.2.会进行同底数对数和不同底数的对数的大小比较.二、过程与方法1.通过师生双边活动使学生掌握比较同底对数大小的方法.2.培养学生的数学应用的意识.三、情感态度与价值观1.用联系的观点分析、解决问题.2.认识事物之间的相互转化.教学重点利用对数函数单调性比较同底对数大小.教学难点不同底数的对数比较大小.教具准备投影、作业讲义.教学过程一、创设情景，引入新课上一节，大家学习了对数函数y=log a x的图象和性质，明确了对数函数的单调性，即当a＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a＜1时，在（0，+∞）上是减函数.这一节，我们主要通过对数函数的单调性解决有关问题.二、讲解新课例题讲解【例1】比较下列各组数中两个值的大小：（投影显示）（1）log23.4，log23.8；（2）log0.51.8，log0.52.1；（3）log a5.1，log a5.9；（4）log75，log67.请同学们回顾一下我们利用指数函数的有关性质比较大小的方法和步骤，并完成以下练习.（生板演前三题，师组织学生进行课堂评价，师生共同讨论完成第四题）解：（1）对数函数y =log 2x 在（0，+∞）上是增函数，且3.4＜3.8.于是log 23.4＜log 23.8.（2）对数函数y =log 0.5x 在（0，+∞）上是减函数，且1.8＜2.1，于是log 0.51.8＞log 0.52.1.（3）当a ＞1时，对数函数y =log a x 在（0，+∞）上是增函数，于是log a 5.1＜log a 5.9； 当0＜a ＜1时，对数函数y =log a x 在（0，+∞）上是减函数，于是log a 5.1＞log a 5.9. 请观察第（4）题，你认为它和其他三题有什么区别？两个对数式的底数和真数均不相同.能否找到一个具体的对数函数，根据这个函数的单调性来比较它们的大小呢？……这种困惑同学们以前遇到过吗？以前我们是怎样解决这类问题的呢？解：因为函数y =log 7x 和函数y =log 6x 都是定义域上的增函数，所以log 75＜log 77=1=log 66＜log 67.所以log 75＜log 67.本例是利用对数函数的单调性来比较两个对数式的大小的问题，一般是根据所给对数式的特征，确定一个目标函数，把需要比较大小的对数式看作是对应函数中两个能比较大小的自变量的值对应的函数值，再根据所确定的目标函数的单调性比较两个对数式的大小.当底数为变量时，要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小.若题中所给的对数式的底数和真数都不相同时，可以找一个中间量作为桥梁，通过比较中间量与这两个对数式的大小来比较对数式的大小，一般选择“0”或“1”作为中间量进行比较.已知log m 4＜log n 4，比较m 、n 的大小.该题和我们以前见到的题目有什么不同？已知对数式的大小关系，要求我们确定底数的大小关系.你能解决这个问题吗？……你能解决与这个问题有关的一个问题吗？若变量在真数位置上，我就可以解决这个问题了.你能设法对原式进行变换使变量在真数位置上吗？……你最希望已知条件的不等式两边的对数式变成怎样的形式？log 4m 和log 4n .如果能找到log 4m 和log m 4的关系，这个问题就可以了，请回顾一下对数的运算法则，你能找到log 4m 和log m 4的关系吗？结论：log m 4=m4log 1. 有了这个关系，题中已知条件就变为m 4log 1＜n 4log 1，你能据此确定m 、n 的大小关系吗？已知条件对于m 、n 有什么限制吗？由已知可得m 、n 都大于0，且都不等于1. 在这个条件的限制下，你能由条件m 4log 1＜n 4log 1确定m 、n 的大小关系吗？ 将条件m 4log 1＜n4log 1进行怎样的变换才能确定m 、n 的大小关系呢？将两边同乘以log 4m ·log 4n 即可.能直接乘以log 4m ·log 4n 吗？乘以log 4m ·log 4n 之后原式中的不等号方向如何变化？解：∵log m 4＜log n 4，∴m 4log 1＜n4log 1. 当m ＞1，n ＞1时，得0＜m 4log 1＜n 4log 1， ∴log 4n ＜log 4m .∴m ＞n ＞1.当0＜m ＜1，0＜n ＜1时，得m 4log 1＜n4log 1＜0， ∴log 4n ＜log 4m .∴0＜n ＜m ＜1.当0＜m ＜1，n ＞1时，得log 4m ＜0，0＜log 4n ，∴0＜m ＜1，n ＞1.∴0＜m ＜1＜n .综上所述，m 、n 的大小关系为m ＞n ＞1或0＜n ＜m ＜1或0＜m ＜1＜n .【例2】 判断函数f （x ）=ln （21x +－x ）的奇偶性.你觉得要解决这个问题需要掌握哪些知识？即函数单调性的定义以及运用函数的单调性判断函数单调性的方法和步骤以及对数的定义.如何运用这些知识解决这个问题呢？至此，你能解决这个问题吗？ 解：∵12+x ＞x 恒成立，故f （x ）的定义域为（－∞，+∞），又∵f （－x ）=ln （21x ++x ）=－ln x x ++211=－ln 2222)1(1x x xx -+-+=－ln （21x +－x ）=－f （x ），∴f （x ）为奇函数.在根据函数的单调性的定义判断函数单调性的时候，首先应该根据函数的解析式确定函数的定义域，当所给函数的定义域关于原点对称时，再判断f （x ）和f （－x ）之间的关系.f （x ）为奇函数⇔f （－x ）=－f （x ）⇔f （x ）+f （－x ）=0⇔)()(x f x f -=－1〔f （x ）≠0〕， f （x ）为偶函数⇔f （－x ）=f （x ）⇔f （－x ）－f （x ）=0⇔)()(x f x f -=1〔f （x ）≠0〕. 在解决具体问题时，可以根据函数解析式的具体特点选择不同的方式来判断.你能够用这些等价的变形再次研究例3吗？看一看哪一种方法最好.【例3】（1）证明函数f （x ）=log 2（x 2+1）在（0，+∞）上是增函数；（2）问：函数f （x ）=log 2（x 2+1）在（－∞，0）上是减函数还是增函数？分析：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对数函数单调性比较同底数对数大小的方法.（1）证明：设x 1、x 2∈（0，+∞），且x 1＜x 2，则f （x 1）－f （x 2）=log 2（x 12+1）－log 2（x 22+1），∵0＜x 1＜x 2，∴x 12+1＜x 22+1.又∵y =log 2x 在（0，+∞）上是增函数，∴log 2（x 12+1）＜log 2（x 22+1），即f （x 1）＜f （x 2）.∴函数f （x ）=log 2（x 2+1）在（0，+∞）上是增函数.（2）解：是减函数，证明可以仿照上述证明过程.利用定义证明函数的单调性是研究单调性问题的重要方法.【例4】 已知f （log a x ）=)1()1(22--a x x a ，其中a ＞0，且a ≠1. （1）求f （x ）；（2）求证：f （x ）是奇函数；（3）求证：f （x ）在R 上为增函数.分析：利用换元法，可令t =log a x ，求出f （x ），从而求出f （x ）.证明奇函数及增函数可运用定义.（1）解：设t =log a x ，则t ∈R ，∴x =a t （x ＞0）.则f （t ）=)1()1(22--a a a a t t =12-a a （a t －a －t ）. （2）证明：∵f （－x ）=12-a a （a －x －a x ）=－12-a a （a x －a －x ）=－f （x ）， ∴f （x ）为奇函数.（3）证明：设x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f （x 2）－f （x 1）=12-a a ；（a 2x －a －2x ）－（a 1x －a －1x ）］ =12-a a ；（a 2x －a 1x ）+a －1x a －2x （a 2x －a 1x ）］ =12-a a （a 2x －a 1x ）（1+a －1x a －2x ）. 若0＜a ＜1，则a 2－1＜0，a 1x ＞a 2x ，∴f （x 2）＞f （x 1）.∴y =f （x ）在R 上为增函数；若a ＞1，则a 2－1＞0，a 1x ＜a 2x .∴f （x 2）＞f （x 1）.∴y =f （x ）在R 上为增函数.综上，a ＞0，且a ≠1时，y =f （x ）是增函数.二、目标检测课本P 85练习3.答案：（1）＜ （2）＜ （3）＞ （4）＞三、课堂小结通过本节的学习，大家要掌握利用对数函数的增减性比较两对数大小的方法，并能掌握分类讨论思想.四、布置作业课本P88习题2.2B第2，3题.板书设计2.2.2 对数函数及其性质（2）1.对数函数大小比较方法2.复合函数的单调性和奇偶性的判断一、例题解析二、学生训练、目标检测题评析三、课堂小结与布置作业。
对数函数的性质及运算
对数函数的性质及运算对数函数是数学中经常使用的一种函数，它在许多领域都有重要的应用。
本文将探讨对数函数的性质及其运算规则。
一、对数函数的定义及性质对数函数的定义：给定一个正数a（a>0且a≠1），那么以a为底的对数函数记作logₐ(x)，定义为满足a的x次方等于b的数x，即aˣ=b，其中b>0。
1. 对数函数的定义域和值域：对数函数的定义域是(0, +∞)，值域是(-∞, +∞)。
当底数a>1时，对数函数是递增的；当0<a<1时，对数函数是递减的。
2. 对数函数的性质：（1）logₐ(a)=1，即对数函数的基本性质。
（2）logₐ(aˣ)=x，即对数函数的反函数性质。
（3）logₐ(a×b)=logₐ(a)+logₐ(b)，即对数函数的乘法公式。
（4）logₐ(a/b)=logₐ(a)-logₐ(b)，即对数函数的除法公式。
（5）logₐ(a^k)=k·logₐ(a)，即对数函数的幂函数公式。
（6）logₐ1=0，即对数函数的特殊性质。
二、对数函数的运算规则1. 对数运算的基本性质：（1）logₐ(m×n)=logₐ(m)+logₐ(n)，即对数乘法法则。
（2）logₐ(m/n)=logₐ(m)-logₐ(n)，即对数除法法则。
（3）logₐ(m^k)=k·logₐ(m)，即对数幂函数法则。
（4）logₐ(a)=1/logₐ(a)，即对数底变换公式。
2. 特殊情况下的对数运算：（1）logₐ(a)=1，其中a是正实数且a>0，即指数和对数的底为同一个数时，结果为1。
（2）logₐ(a)≠0，其中a是正实数且a>0，即指数和对数的底不相等时，结果不为0。
三、对数函数的应用对数函数在科学研究和实际生活中有着广泛的应用，例如：1. 财务与利息计算：对数函数可以用于计算复利、年化利率等问题。
2. 生物学与医学研究：对数函数可以用于研究生物体的生长和代谢等问题。
2.2.2 对数函数及其性质(2)
练习(2)已知f(log2x2)的定义域为(0,2]，求f(2-x) 的定义域。
例1.函数y 2 log a x 1, x [2,4](a 0, 且a 1) 最大值比最小值大1, 求a的取值.
1 练习、（1）若loga <1，求实数a的取值范围； 2
（2）若loga2<logb2<0，则(
解：令 u 2 ax , 则 y log u ， a
a 0且a 1 由题意，
得 u 2 ax 在[0，1]上是减函数， 按照复合函数“同增异减”法则，
a1 知 y loga u 是增函数，
又 2 ax 0 在[0，1]上恒成立， 故只需 (2 ax )min 0 , x [0 , 1] 即 2 a 0 , a 2 .
在(0,+∞)上是增函数
定义域：(0, +∞)； 值域：R 过点(1, 0)，即当x＝1时，y＝0.
在(0,+∞)上是减函数
y
y=log2x
y log3 x
O
x
y log1 x
y log1 x
2
3
例5、(2)若y=lg(ax2+2x+1)的值域为R，求实数a的 取值范围。
练习(1)设f(x)定义域为[0,1]，求y=f[log 1 (3-x)] 2 的定义域；
综上a的取值范围是: 1 a 2 .
例4、
练习、已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时， f(x)=loga(x+1)(其中0<a<1)。 （1）求x<0时，f(x)的表达式; （2）求使f(x)+1>0成立的x的取值范围。
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x∈(0, 1)时，y>0 x∈(1, +∞)时，y<0.
在(0,+∞)上是增函数
2. 对数函数的性质：
图y 象O
a＞1
x
0＜a＜1
y
O
x
定义域：(0, +∞)； 值域：R
性 过点(1, 0)，即当x＝1时，y＝0.
质
x∈(0, 1)时，y<0； x∈(1, +∞)时，y>0.
x∈(0, 1)时，y>0 x∈(1, +∞)时，y<0.
课堂小结
1.比较对数大小的方法； 2. 对数复合函数单调性的判断； 3. 对数复合函数定义域、值域的求法．
2.2.2 对数函数及其性质
第二课时
复习引入
1. 对数函数的定义： 函数y＝logax (a＞0且a≠1)叫做
对数函数，定义域为(0,＋∞)， 值域为(－∞,＋∞).
2. 对数函数的性质：
a＞1
图 象
0＜a＜1
性 质
2. 对数函数的性质：
图y 象O
a＞1
x
0＜a＜1
性 质
2. 对数函数的性质：
讲授新课
例1 比较下列各组数中两个值的大小：
练习 比较大小
例2 已知a＝ 时， 不等式loga(x2－x－2)＞loga(－x2＋2x＋3) 成立，求使此不等式成立的x的取值范围.
例3 若函数f(x)＝logax (0＜a＜1)在 区间[a, 2a]上的最大值是最小值的 3倍，求a的值.
例4 求证: 函数f(x)＝ 在[0, 1]上是增函数.
图y
a＞1
0＜a＜1
y
象O
x
O
x
定义域：(0, +∞)； 值域：R
性 过点(1, 0)，即当x＝1时，y＝0.
质
x∈(0, 1)时，y<0； x∈(1, +∞)时，y>0.
2. 对数函数的性质：
图y
a＞1
0＜a＜1
y
象O
x
O
x
定义域：(0, +∞)； 值域：R
性 过点(1, 0)，即当x＝1时，y＝0.
例5 已知f (x)＝loga (a－ax) (a＞1). (1) 求f (x)的定义域和值域； (2) 判证并证明f (x)的单调性.
例6 溶液酸碱度的测量. 溶液酸碱度是通过pH刻画的. pH的
计算公式为pH＝－lg[H＋]，其中[H＋]表 示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.
(1)根据对数函数性质及上述pH的计 算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离 子的浓度之间的变化关系；
在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数
练习 1. 略
2. 函数y＝x＋a与y＝logax的图象可能是
y
y
(③)
1 ① O1 x
y
1
③O1
x
1 ②O 1 x
y 1
④O 1 x
练习
函数y＝x＋a与y＝logax的图象可能是
y
y
(③)
1 ① O1 x
y
1
③O1
x
1 ②O 1 x
y 1
④O 1 x
图y
a＞1
象O
x
定义域：(0, +∞)；
0＜a＜1
y
O
x
性 质
2. 对数函数的性质：
图y
a＞1
0＜a＜1
y
象O
x
O
x
定义域：(0, +∞)； 值域：R
性 质
2. 对数函数的性质：
图y 象O
a＞1
x
0＜a＜1
y
O
x
定义域：(0, +∞)； 值域：R
性 过点(1, 0)，即当x＝1时，y＝0.
质
2. 对数函数的性质：
(2)已知纯净水中氢离子的浓度为 [H＋]＝10－7摩尔/升，计算纯净水的pH.
例7 (备选题)已知f(x)＝logax (a＞0, a≠1)， 当0＜x1＜x2时，试比较
的大小，并利用函数图象给予几何解释.
课堂小结
1.比较对数大小的方法；
课堂小结
1.比较对数大小的方法； 2. 对数复合函数单调性的判断；
质
x∈(0, 1)时，y<0； x∈(1, +∞)时，y>0.
x∈(0, 1)时，y>0 x∈(1, +∞)时，y<0.
2. 对数函数的性质：
图y 象O
a＞1
x
0＜a＜1
y
O
x
定义域：(0, +∞)； 值域：R
性 过点(1, 0)，即当x＝1时，y＝0.
质
x∈(0, 1)时，y<0； x∈(1, +∞)时，y>0.