第三章 两个自由度系统振动
第六讲--多自由度系统振动-2

解: 1)求柔度系数
m
31
k/5
m
21
k/3
P=1
2m k
11
32 4
P=1
22 4 12
P=1
33 9
23 4 13
11 1/ k 21 31 11
22
1 k
1 k /3
4
22
1 k
1 k/3
1 9
k /5
3.3.1 柔度法
1 1 1
柔度矩阵: [ ] 1 4 4
1 4 9
2)求频率
2 0 0
质量矩阵: [M] m 0 1 0
0 0 1
由频率方程: M I 0
2 1 1 m 2 4 4 0 ,
2 4 9
展开式为: 3 15 2 42 30 0
1 m m2
方程三个根为: 1 11.601 2 2.246 3 1.151
三个频率为:
1 0.2936
k m
4Y
4 4
3.4.1 主振型矩阵与正则坐标
(2)正则坐标 任意一个质点的位移 y 都可按主振型来组合:
y1 1Y11 2Y12 3Y13 y2 1Y21 2Y22 3Y23
yi 1Yi1 2Yi2 3Yi3
yn 1Yn1 2Yn2 3Yn3
nY1n nY2n
y1
y2
Y1 Y121
Y YYY132111
Y2 1
Y2 2
Y32
Y3 1
Y3 2
Y33
Y14 Y4
2
Y34
Y41
Y2 4
Y3 4
Y44
主 振
型 矩 阵
第一振型
1
机械振动学(第三章)-多自由度振动系统

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利用直接法,对下图所示的三自由度振动系统建立微分方程。。
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解:1)受力分析 选取 m1, m2和m3离开平衡位置的坐标x1, x2和 x3 为3 个独立 坐标。受力分析如图所示 2)建立振动微分方程 (c c ) x c x ( k k ) x k x p (t ) x m1: m 2 2 2 2 2 ( c 2 c 3 ) x 2 c2 x 1 c 3 x 3 ( k 2 k 3 ) x 2 k 2 x1 k 3 x 3 p 2 ( t ) x m2: m 2 2 2 2 3 c 3 x 3 c3 x 2 k 3 x3 k 3 x 2 p 3 (t ) x m3: m 3
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本章结束
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3 )如果将应为能量耗散函数 D 引起的阻尼力也从其他的非势 力的广义力中分离出来,并使Qi仅代表外部作用的广义激振力, 则可将非保守系统的拉格朗日方程改为:
d dt ( T i q ) T i q U qi D i q Q i ( i 1, 2 , 3 ,...., n )
车 身 车 轮 二 自 由 度 振 动 问 题
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两自由度系统-振动力学

振幅比、主振型、固有振型
1
A21 A11
k11
n21m1
k12
k22
k12
n21m2
2
A22 A12
k11 n22m1
k12
k12
k22 n22m2
1 1
特征向量、振型向量、模态向量
1
,
2
A 1
A11 A21
A11
1
1
,
A 2
A12 A22
A12
1
2
模态参数包括:
3K t I
系统按第二阶固有振型做简谐振动
x10 x0,x20 0,x10 x20 0
解得:A11 A12 x0 / 2,1 2 900
作业:3-1,3-2,3-4
x1 0.5x0 cos
K / I t 0.5x0 cos
3K t I
x2 0.5cos
K / I t 0.5x0 cos
于是有
k11 n2m1
k12
0
(7)
k21
k22 n2m2
m1m2n4 (m1k22 m2k11)n2 k11k22 k122 0
(8)
方程有两个正实根
n 1,2
m1k22 m2k11
(m1k22 m2k11)2 4m1m2 (k11k22 k122 ) 2m1m2
(9)
[K]:刚度矩阵。
{x}:位移向量
第一节 无阻尼自由振动
分析{x0},{x0}引起的自由振动
微分方程的一般形式:
m1
0
0 m2
x1 x2
k11 k 21
k12 k 22
x1 x2
0 0
第三章 两自由度系统

k12 x1 F sin t k 22 x 2 0
M x K x F sin t
三.方程求解
令方程的解为
jt xt X e
X1 X X 2
k 2 L x3 0 2 k 2 L 0
方程含有静耦合和动耦合
结论:
1. 2. 3. 4. 5. 描述一个两自由度系统的运动,所需要的独立坐标数是 确定的、唯一的,就是自由度数2。但为描述系统运动 可选择的坐标不是只有唯一的一组。 对于同一个系统,选取的坐标不同,列出的系统运动方 程的具体形式也不同,质量矩阵和刚度矩阵对不同的坐 标有不同的具体形式。 如果系统的质量矩阵和刚度矩阵的非对角元有非零的元 素,则表明方程存在坐标耦合。坐标耦合决定于坐标的 选取,不是系统的固有性质。 方程中存在耦合,则各个方程不能单独求解。 同一个系统,选取不同的坐标来描述其运动,不会影响 到系统的性质,其固有特性不变。
2 随
变化的曲线
§3.3无阻尼吸振器
一.物理模型
二.数学模型
m1 x1 k1 x1 k 2 x2 x1 F sin t m2 x2 k 2 x2 x1 0
m1 0 x1 k1 k2 k2 x1 F sin t 0 m x k k2 x2 0 2 2 2
可以解出两自由度系统的两个固有频率。
§3.4有阻尼振动
一.自由振动
1.物理模型
2.数学模型
m1 x1 c1 c2 x1 k1 k 2 x1 c2 x2 k 2 x2 0
机械振动二自由度讲解

动能、势能和能量耗散函 数均是非负的。也就是说, 对任意的位移,任意的速 度,必然有
ET
1 {x'}T [M ]{x'} 0 2
U 1 {x}T [K ]{x} 0
2
D 1 {x'}T [C]{x'} 0
2
由此可知,质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵均是正定或半正定矩阵。一般说来,
工程振动问题中遇到的质量矩阵一般都是正定矩阵。对于静定和超静定结构,刚度矩
U
1 2
k1x12
1 2
k2 (x2
x1 ) 2
1 2
k3 x22
1 2 {x1,
x2}T
k1 k2
k2
k2 k2 k3
xx12
1 2
{x}T
[K
]{x}
系统的能量 耗散函数
D
1 2
c1x'12
1 2
c2
(x'2
x'1
)2
1 2
c3 x'22
U
1 2
[k1
y
2 A
k2( yA
Lq )2 ]
1 2
{
y
A
,q
}k1k2 Lk2
mL1 mL12
Ic
y'
q
A
'
k2L k2 L2
yA
q
yA和q下的运动微分方程为
示例:
第三章(多自由度系统的振动)

固有振型的正交性
加权正交性的简洁表示
T r M s 0, r s
M s M r , r s
T r
rT M s M r rs
rs
def
1, r s 0, r s
rT K s 0, r s
rT K s K r , r s
x
x1 1
节点
x3 1
3 2
k m
x2 1
理解固有振型
理解固有振型
理解固有振型
返回
固有振型的正交性
1.固有振型的归一化
2 r 1 3 2 r 1 3
都是固有振型向量 ① 按某一自由度的幅值归一化
k m
理解固有振型
3k k 0 m 0 0 1 0 k 2k k 2 0 m 0 2 0 0 k 3k 0 0 m 3 0
u(t ) sin(t )
对任意时间都成立
( M ) 0, 2
特征方程 特征值
det( K M ) 0
r (r 1, 2, N )
有非零
r (r 1, 2, N )
特征向量
u(t ) ψa sin(t ) φ sin(t )
结论: 系统存在形如 形式的同步振动。
u(t ) φ sin(t )
多自由度系统的固有振动
2.多自由度系统的固有振动
Mu(t ) Ku(t ) 0
( K 2 M ) sin(t ) 0
第r阶模态质量
固有振型关于刚度矩阵加权正交性 T 当 rs 时 r K s 0 T r K s K r 当 rs时
二自由度系统振动的理论解析

质量矩阵的求解
对如下图所示的系统,质量为m的刚性杆,由刚度 为 k1和k2 的弹簧分别之于A点和D点。A点支座的约束只 允许刚性杆在x-y平面内运动,而限制沿x轴方向的平动。
C点为刚性杆的质心,JC 表示绕通过C点z轴(垂直于纸
面,未标出)的转动惯量。B点是满足 k1l4 k2l5 的特殊 点,如果在B点作用有沿y轴方向的力,系统产生平动而 无转动。如果在B点作用有力矩,系统只产生转动而无
二自由度系统的振动微分方程一般包括两个互相耦合 的二阶常微分方程组,二自由度系统的运动形态要由两个 独立的坐标确定。
建立振动微分方程最常用的方法有:牛顿第二定律 法、动静法、拉格朗日法等。
3.2 二自由度系统振动方程
建立运动微分方程的方法和单自由度系统基本一样, 但难度更大。
3.2.1 作用力方程的一般形式及其矩阵表达式
二自由度系统作用力方程的一般形式:
一般矩阵形式:
[M ]{x} [C]{x) [K]{x} {F(t)}
由此可得:
m1x1 F1(t) k1x1 c1x1 k2 (x1 x2 ) c2 (x1 x2 )
m2 x2 F2 (t) k3 x2 c3 x2k2 (x1 x2 ) c2 (x1 x2 )
)
[R]({F} [M ]{x} [C]{x})
这就是系统振动方程的位移形式。
柔度意为弹簧受单位作用力而产生的变形。 柔度影响系数 Rij 的力学意义是:在j坐标处作用单位 广义力,引起i坐标处的广义位移。由柔度影响系数就可 以形成系统的柔度矩阵 [R]。 由材料力学的位移互等定理可知 Rij Rji ,即柔度矩 阵是对称的。
量),将系统中的小刀架、工件、砂轮及砂轮架等视为
集中质量,再忽略存在于系统中的阻尼,就可以把这些 系统近似简化成图(d)所示的两自由度振动系统的动 力学模型。
第三章二自由度系统

二自由度系统振动 / 不同坐标系的运动微分方程
以汽车的二自由度振动模型为例
汽车板簧以上部分被简化成为一根刚性杆,具有质量m和绕质心 的转动惯量Ic。质心位于C 点。分别在A点和B点与杆相联的弹性 元件k1、k2为汽车的前,后板簧。
若系统有 n 个自由度,则各项皆为 n 维矩阵或列向量
二自由度系统振动 / 运动微分方程
式中:
[M
]
m11 m21
m12
m22
m1
0
0
m2
[K
]
k11 k 21
[C]
c11 c21
k12
k
22
k1 k2
k2
c12
c22
2 ET x1x1
2 ET x12
m1
m12
2 ET x1x2
2 ET x2x1
m21
0
m22
2ET x2x2
2 ET x22
m2
[M
]
m11 m21
m12
m22
m1
0
0
m2
二自由度系统振动 / 能量法
(t ) (t)
如同在单自由度系统中所定义的,在多自由度系统中 也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。
第三章-多自由度系统振动6.19

第三章 多自由度系统振动多自由度系统和单自由度系统的振动特性是有区别的。
单自由度系统受初始扰动后,按系统的固有频率作简谐振动。
多自由度系统有多个固有频率,当系统按某一个固有频率作自由振动时,各独立坐标在振动过程中相互关系是固定的,这个关系叫振幅比,也叫作主振型或模态。
主振型是多自由度系统以及弹性体振动的重要特征。
多自由度系统的振动方程是多个二阶微分方程组,这些方程一般是耦合的。
多自由度振动的求解有两种方法:直接积分法和振型叠加法。
直接积分法可直接根据微分方程求出响应,涉及的概念不多且有应用软件,本章不做介绍。
振形叠加法要先求出系统的固有频率和振型,在此基础用叠加法求响应,物理概念清楚、并且是模态分析与参数识别的理论基础。
因此本章将先用较多的篇幅介绍多自由度系统的固有振动特性、振型叠加法和传递函数。
3.1 振动微分方程虽然一些多自由度系统数目较多,有些相当复杂,但建立多自由度系统振动微分方程并没有新理论和方法,都是动力学基本理论和方法,本节只通过例题介绍多自由度系统振动微分方程基本形式。
[例一] 试建立图3-1所示3自由度系统的运动微分方程。
三个质量只作水平方向的运动,并分别受到激振力()t P 1,()t P 2和()t P 3的作用,质量块的质量分别为1m ,2m 和3m ,弹簧刚度分别为1k ,2k 3k 和4k ,阻尼分别为1c ,2c 3c 和4c 。
图3-1 3自由度系统解:分别用三个独立坐标1x ,2x 和3x 描述三个质量块的运动,坐标原点分别取在1m ,2m 和3m 的静平衡位置。
质量块的速度分别为1x,2x 和3x ,加速度分别为1x,2x 和3x 。
每个质量块的受力图如3-2(a 、b 、c )所示,则由受力图根据牛顿第二定律,得系统的运动方程为:图3-2 (a) 图3-2(b)图3-2(c))()()(1212112121111t P x x c x c x x k x k xm +------= )()()()()(232321232321222t P x x c x x c x x k x x k x m +---+---= )()()(3343233432333t P x c x x c x k x x k xm +--+--= 或)()()(1221212212111t P x k x k k x c x c c xm =-++-++ )()()(23323212332321222t P x k x k k x k x c x c c x c x m =-++--++- )()()(3343233432333t P x k k x k x c c x c xm =++-++- 上述方程组可以用矩阵表示为:⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)()()(000032132143333222213214333322221321321t P t P t P x x x k k k k k k k k k k x x x c c c c c c c c c c x x x m m m三个二阶微分方程是耦合的,这是因为矩阵中有非零的非对角元素。
第三章 两自由度系统的振动

设两质量块振动时按同频率和同相位作简谐振动,即:令
一组解x1 A1 sin( t )、x2 A2 sin( t ),代入方程后得: [(a 2 ) A1 bA2 ]sin( t ) 0 [cA1 (d 2 )A2 ]sin( t ) 0
(a 2 ) A1 bA2 0
cA1
(d
一阶主振型。
例
练习1 如图,推导系统的频率方程并 求主振型。设滑轮为均质圆盘, 其质量为m2,质量块质量为m1, 弹簧刚度分别为K1和K2,并假定 滑轮与绳索间无相对滑动。
解:选取广义坐标为( ),
取静x,平 衡位置作为坐标原点,
进行受力分析,建立系统的运 动微分方程:
m1x K1(x r) I0 K1(x r)r K2r 2
1) 当作用于系统的主动力都是有势力时(系统没有能
量损失时),则系统具有势能U(q1,q2,···,qn),广义力
为
Qj
U q j
( j 1, 2, , n)
代入方程得: d ( T ) T U 0 dt qj q j q j
( j 1, 2, , n)
或
d ( L ) L 0 ( j 1, 2, , n)
m1l 21 (m1gl Ka2 )1 Ka22 0 m2l 22 Ka21 (m2gl Ka2 )2 0
1 2
K2 (u2 u1)2
u1
u2
代入拉氏方程,得系统的微分方程
(m1
m2 2
)u1
m2 2
u2
(K1
K2 )u1
K2u2
0
m2 2
u1
3u2 2
u2
K 2u1
K2u2
0
m1
0727第三章 两自由度系统振动(讲)

第三章两自由度系统振动§3-1 概述单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。
在实际工程问题中,还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题,因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。
两自由度系统是最简单的多自由度系统。
从单自由度系统到两自由度系统,振动的性质和研究的方法有质的不同。
研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。
所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。
很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。
例如,车床刀架系统(a)、车床两顶尖间的工件系统(b)、磨床主轴及砂轮架系统(c)。
只要将这些系统中的主要结合面(或芯轴)视为弹簧(即只计弹性,忽略质量),将系统中的小刀架、工件、砂轮及砂轮架等视为集中质量,再忽略存在于系统中的阻尼,就可以把这些系统近似简化成图(d)所示的两自由度振动系统的动力学模型。
以图3.1(c)所示的磨床磨头系统为例分析,因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上,可以近似地认为是刚性很好的,具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上,因此可以把它看成是支承在砂轮架内的一个弹簧——质量系统。
此外,砂轮架安装在砂轮进刀拖板上,如果把进刀拖板看成是静止不动的,而把砂轮架与进刀拖板的结合面看成是弹簧,把砂轮架看成是集中的质量,则砂轮架系统又近似地可以看成是支承在进刀拖板上的另一个弹簧——质量系统。
这样,磨头系统就可以近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的两自由度系统。
在这一系统的动力学模型中,m1是砂轮架的质量,k1是砂轮架支承在进刀拖板上的静刚度,m2是砂轮及其主轴系统的质量,k2是砂轮主轴支承在砂轮架轴承上的静刚度。
取每个质量的静平衡位置作为坐标原点,取其铅垂位移x1及x2分别作为各质量的独立坐标。
这样x1和x2就是用以确定磨头系统运动的广义坐标。
(工程实际中两自由度振动系统) [工程实例演示]§3-2 两自由度系统的自由振动一、系统的运动微分方程(①汽车动力学模型)②以图3.2的双弹簧质量系统为例。
第03章 自激振动

§3.1 自激振动的机理和特征 §3.2 极限环与 van der Pol 方程 §3.3 工程中的自激振动问题 §3.4 张驰振动 §3.5 动态分岔
第三章 自激振动
自激振动与周期激励的响应相比,仍然是一种周期振
动,它也是靠外界能源的驱动形成的,不同的是现在的能 源是一个能量不变的能源,能源本身不直接给系统提供周 期性变化的能量,系统振动能量的周期性变化是靠系统固 有的某种自动调节机制、周期性地向能源和环境吞吐能量 形成的。 当然,振动系统周期性地向能源吸收能量而能源的能 量保持不变,这只能在能源的能量大大超过振动能量的前 提下才能近似实现,这是自激振动系统的另一个特征。 自激振动系统(self-excited system)也称为自振系统, 它的特性很复杂。本章只学习单自由度系统自激振动的形 成和演变的一些基本规律。
需要指出的是,图中的调节器就是前述的自动调节环 节,对于某些振系,调节器是一个实际存在的装置,如电 铃,其调节器为电磁断续器,而对很多振系,调节器并不 是一个明确的装置,而是系统自身的特性和参数综合形成 的一个自动控制环节。 2. 自激振动的特征 参见课本p57的总结。
§3.2 极限环与 van der Pol 方程
(3.12) (3.13)
xT = (η − B) 2 + 2 I − B
如果能使 xT = ξ ,则相轨迹封闭而成为极限环,由(3.12)、 (3.13)可求出实现这一结果应满足的条件为 I I ξ= ; 同时可得 η = 2B 2B 这意味着,对于给定的B、I 值,当相点从点(I / 2B, 0 )出 发,将沿极限环运动。马上将证明,这个极限环是稳定的, 因此系统能实现自激振动,极限环如图3.10;其振幅 A为
03二自由度系统的振动

[u]T [M ][u]{&y&} + [u]T [K ][u]{y} = {0}
y 0 &&1 k1 + m 2 &&2 0 y 0 y1 0 = k 2 y 2 0
结果有 即是
m1 &&1 + k1 y1 = 0 y m 2 &&2 + k 2 y2 = 0 y
将方程组用矩阵表示如下: 将方程组用矩阵表示如下
m1 0
0 &&1 k1 + k 2 x + m 2 &&2 − k 2 x
− k 2 x1 0 = k 2 + k 3 x 2 0
一般可表示为: 一般可表示为
[M ]{&&} + [K ]{x} = {0} x
11/41
一般可表示为: 一ห้องสมุดไป่ตู้可表示为
m11 m 21
或:
m12 &&1 k11 x + m 22 &&2 k 21 x
k12 x1 0 = k 22 x 2 0
[u] =
u11 u21
u12 u22
而坐标变换为
12/41
{x} = [u]{y}
{&&} = [u]{&&} x y
一般化分析与推导如下: 一般化分析与推导如下:
m11 m 21
设变换矩阵为
m12 &&1 k11 x + m 22 &&2 k 21 x
第三章 两自由度系统振动

d d( tq L j) q L jQ j - q D j (j 1 ,2 , ,n )
式D 中 1 2 C 1 x 1 2 1 2 C 2 (x 1-x 2)2 1 2 C 3 x 2 2
例题: 置于光滑平面的小车质量m1,车上质量为m2的圆柱体可作 无滑动的纯滚动。试建立该系统的运动微分方程。
两自由度与单自由度系统振动特性与分析方法的不同:
①两自由度振动系统具有两阶固有频率; ②两自由度振动系统引入主振型的概念,与系统的固
有频率一样,是系统本身的物理特性与固有特性, 与其初始条件无关。 ③一般情况下系统的振动是两种主振动的叠加,是一 种复杂的非周期运动。当满足一定条件时,系统才 作主振动。
(j1,2, ,n)
或
dd(tqLj)qLj 0 (j1,2, ,n)
(1)
其中,L=T-U称为拉格朗日函数。
2)当作用在系统上的主动力中,部分为有势力,部分 是非有势力,广义力Qj可分为两部分:
Qj Qj Q (j1,2,,n) 其中 Q是对应于非有 义势 力力 Q, j是 的对 广应于有势 广义力。 拉氏方程可写成
1
第三节 两自由度系统振动模型的建立
动力学系统振动模型的建立方法: 牛顿运动定律 定轴转动微分方程 能量法
一、拉氏方程的原理
在理想、完整约束条件下的n个自由度系统,选取广义坐 标为qj(j=1,2, ···,n),其运动可由如下拉格朗日方程来描述:
dT T d( tq j)qj Q j
取静x,平衡位置作为坐标原点,
进行受力分析,建立系统的运 动微分方程:
m1x K1(x r) I0 K1(xr)r K2r2
第三章 多自由度系统振动

U = U ( q1 , q2 ,..., qn )
通常将静平衡位置作为势能零点, 并且以静平衡 通常将静平衡位置作为势能零点, 位置为坐标原点。 位置为坐标原点。 我们研究的是在静平衡位置附 近的微振动, 近的微振动,则将 U 在静平衡位置作泰勒展开有
∂U U = U0 + ∑ i =1 ∂qi
0
q
对应的广义力,阻尼力,耗散力。 对应的广义力,阻尼力,耗散力。系统的第 k 个 质点受到的阻尼力
& Rk = − β k ⋅ rk
与势能形式上对应存在一个耗散函数
m n 1 ∂rk dqi n ∂rk dq j 1 & & Φ = ∑ β k ⋅ rk ⋅ rk = ∑ β k ⋅ ∑ ⋅ ⋅∑ ⋅ dt j =1 ∂q j dt k =1 2 k =1 2 i =1 ∂qi
kn 2 − mn 2ωi2 ) ⋅ ϕ 2i + ... + ( knn − mnnωi2 ) ⋅ ϕ ni = ( mn1ωi2 − kn1 ) ϕ1i (
n − 1 个方程,n − 1 未知数, 个方程, 未知数, 最终可求出 ϕ2i ,..., ϕni 用 ϕ1i
表示,其余都与其成一定比例。 表示,其余都与其成一定比例。 与其成一定比例
系统的能量等于各阶主振动的能量之和不同阶之间能量不发生变换每一阶主振动的动能和势能在内部交换总和保持常数34多自由度系统的受迫振动mxcxkx1特征值分析求出无阻尼的各阶固有频率和各阶主振型2模态叠加方法分解解耦期望阻尼阵也和mk一样具有正交性即如果这样就可以使用模态叠加法进行解耦分析求解
结 构 动 力 学
1 n n ∂ 2U U = ∑∑ 0 qi q j 2 i =1 j =1 ∂qi ∂q j , 令
《汽车振动基础》课程教学大纲

《汽车振动基础》课程教学大纲一、课程基本信息课程类别:专业选修课适用专业:汽车车辆工程专业先修课程:汽车构造、汽车诊断与维修总学时:56学分:3二、课程教学目的与基本要求本课程主要任务是,学习汽车机械振动力学的基本理论和方法及分析振动问题的数学方法。
主要内容包括:单自由度系统的振动、两个自由度系统的振动、多自由度系统的振动,连续系统的振动,并介绍了求解特征值问题和系统响应的近似方法及数值计算方法,简要叙述了非线性振动和随机振动的基本概念和理论。
三、教学时数分配四、教学内容与要求第一章绪论(一)教学目的:理解机械振动的概念,了解振动系统研究方法,掌握振动的分类,会分析振动问题并提出解决方法。
(二)教学内容:1 基本要素 2 研究方法 3 分类和表示方法(三)重点:振动系统基本要素(四)难点:振动系统分类和表示方法第二章单自由度系统的振动(一)本章教学目的:理解单自由度系统的自由振动的概念,掌握单自由度系统的强迫振动,掌握汽车车身单自由度系统的振动。
(二)教学内容:1 自由振动 2 强迫振动 3 非简谐激励下的强迫振动4 汽车车身单自由度系统的振动(三)重点:单自由度系统的自由振动(四)难点:汽车车身单自由度系统的振动第三章二自由度系统的振动(一)教学目的:了解二自由度系统的运动微分方程,掌握无阻尼二自由度系统的振动,有阻尼二自由度振动系统和汽车的二自由度系统的振动。
(二)教学内容:1 二自由度系统的运动微分方程2 无阻尼二自由度系统的振动3 有阻尼二自由度振动系统4 汽车的二自由度系统的振动(三)重点:无阻尼二自由度系统的振动(四)难点:汽车的二自由度系统的振动第四章多自由度系统的振动(一)本章教学目的:理解多自由度振动系统的运动微分方程,掌握固有振型的正交性、模态坐标和正则坐标和汽车多自由度振动模型。
(二)教学内容:1 多自由度振动系统的运动微分方程2 固有振型的正交性、模态坐标和正则坐标3 多自由度系统的响应4 拉格朗日方程在振动分析中的应用5 汽车多自由度振动模型(三)重点:固有振型的正交性、模态坐标和正则坐标(四)难点:汽车多自由度振动模型第五章随机振动理论(一)教学目的:了解随机振动概述及随机振动的统计特性,线性振动系统的随机响应计算。
第三章两自自由度系统

•
振幅则不同。
由方程(3.1-9)和(3.1-15),可以得到两自由 度系统运动方程的两个独立的特解,或系 统两个固有模态振动的表达式
x1 (t ) 1 {x(t )}(1) {u}(1) f (1) (t ) A1 sin(n1t 1 ) x2 (t )(1) r1 x1 (t ) 1 {x(t )}( 2) {u}( 2 ) f ( 2 ) (t ) A2 sin(n 2t 2 ) x2 (t )( 2 ) r2
(3.1-12)
要有解。先讨论微分方程(3.1-11)。假定方 程的解为
f (t ) Be
st
代入式(3.1-11) ,有
s 0
2
(3.1-13)
式(3.1-13)有两个根
s1,2 j
因此方程(3.1-11)的通解为
f (t ) B1e B1e
t j t
u2( 2) u1( 2 )
k11 m1 2k ( k / m) m 1 k12 k
2 n1
k11 m1 2k (5k / 2m)m 0.5 k12 k
2 n2
系统的振型向量为
1 {u}(1) 1
{u}( 2)
1 0.5
k11=k1+kc, k22=k2+kc, k12=k21=-kc
则方程可表示为 m1 1 k11 x1 k12 x2 0 x m2 2 k21 x1 k22 x2 0 x
我们关心的是
系统在受到初始扰动{x0}和{ x0 }的作用后, 是否和单自由度系统一样发生自由振动。
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x [ M ]{ɺɺ} + [ K ]{ x} = {F }
(3)
式中: 分别叫作质量矩阵 式中:[M],[K]分别叫作质量矩阵、刚度矩阵,且都为实 分别叫作质量矩阵、刚度矩阵, T T 对称矩阵,即 [ 对称矩阵 即:M ] = [ M ] , [ K ] = [ K ]
x {ɺɺ} , { x} , {F }-分别为加速度列向量、位移列向量、 分别为加速度列向量 位移列向量、 加速度列向量、
激振力列向量
2.固有模态振动 固有模态振动 图示自由振动方程为: 图示自由振动方程为:
m1 0 x 0 ɺɺ1 k11 ɺɺ + k m2 x2 21 k12 x1 x = {0} k22 2
(4)
ɺ 受初始扰动 { x0 } , { x0 } 后,系统如何发生运动
k1a1 − k2b1 x1 0 = 2 2 k1a1 + k2b1 θ 0
(2)选 x2 , θ 为坐标描述系统运动,且k1a2 = k2b2 )
x m − me ɺɺ2 k1 + k2 − me J θ + 0 ɺɺ 0 0 x2 0 = 2 2 k1a2 + k2b2 θ 0
第二节 无阻尼强迫振动
一、本节研究内容
x m11 m12 ɺɺ1 k11 k12 x1 F 研究 ɺɺ + k x = 0 sin ωt m21 m22 x2 21 k22 2
的解具有的一般性。 的解具有的一般性 根据线性叠加原理:
即含有动力 耦合 又含有静力 耦合
m − ma 1
− ma1 ɺɺ3 k1 + k 2 x θ + −k L J A ɺɺ 2
− k 2 L x3 0 = 2 k 2 L θ 0
结论: 结论:
k1 x1 m1 m1 ɺɺ1 x
k1
F1 ( t )
x1
m1
kc
F2 ( t )
x2
m2
k2
F1 ( t )
k c ( x2 − x1 )
F2 ( t )
m2
k 2 x2 m2 ɺɺ2 x
∑ F = 0 得:
x
m1ɺɺ1 + ( k1 + k2 ) x1 − kc x2 = F1 x m2 ɺɺ2 − kc x1 + ( kc + k2 ) x2 = F2 x
a1
m, J c
b1
m1ɺɺ1 + k11 x1 + k12 x2 = F1 x m2 ɺɺ2 + k21 x1 + k22 x2 = F2 x
(1)取质心C在垂直方向的运动 )取质心 在垂直方向的运动 x1 ( t ) ,车身绕质心 的 车身绕质心C的 车身绕质心 转动θ ( t ) 作为描述系统转动的坐标。
4 n 2 n 2 12
方程的两个根,即特征值为
ω n21 , 2
1 m k + m 2 k 11 = [ 1 22 ∓ m1 m 2 2
2 m 1 k 22 + m 2 k 11 2 k 11 k 22 − k 12 ( ) −4 ] m1 m 2 m1 m 2
ω n1 〈ω n 2 , 分 别 叫 系 统 第 一 阶 固 频 、 第 二 阶 固 频
F1 sin ω1t F1 0 1. = sin ω1t + sin ω2t F2 sin ω2t 0 F2
(6)
A,B有非零解的条件为: 有非零解的条件为: 有非零解的条件为 2 k11 − m1ωn k12 = 0 (7) 2 k21 k22 − m2ωn
频率方程
2 k11 − m1ωn
k12 k22 − m2ω
2 n
k21
= 0 (7)
频率方程
展开后
m1m2ω − ( m1k22 + m2k11 )ω + k11k22 − k = 0
根据∑ Fx = 0, ∑ M c = 0可得:
k1
c
k2
2.坐标耦合产生的原因 以例说明: 坐标耦合产生的原因: 以例说明: 坐标耦合产生的原因
θ
x1
ɺɺ mx1
cJ θ ɺɺ
c
k1 ( x1 + a1θ )
k2 ( x1 − b1θ )
静力耦合 弹性耦合
m 0
0 ɺɺ1 k1 + k2 x θ + k a − k b J c ɺɺ 1 1 2 1
动力耦合 惯性耦合
a2
b2
e
a1
g
ℓ
c θ cJ θ ɺɺ
c
x2 c
( )
d
(3)选 x3 , θ )
ɺɺ m ɺɺ2 − eθ k ( x − b θ ) x 2 2 2 k1 ( x2 + a2θ )ຫໍສະໝຸດ θ ɺɺ Jcθx3
k1x3
ɺɺ m(ɺɺ3 − a1θ ) k ( x −ℓθ ) x 2 3
第三章 两个自由度系统振动 内容重点: 内容重点:
1.运动方程建立 运动方程建立 2.模态频率、模态振型 模态频率、 模态频率 3.广义座标与座标耦合 广义座标与座标耦合 4.动力减振 动力减振
第一节 无阻尼自由振动
内容重点: 内容重点: 1.固有模态及其振动 固有模态及其振动 2.对初始条件响应 对初始条件响应 3.广义坐标与坐标耦合 广义坐标与坐标耦合 一、固有模态振动 1.运动微分方程 运动微分方程 由
x1 = A sin (ωnt + ϕ ) 设: x2 = B sin (ωnt + ϕ )
2 k11 − m1ωn k21
(5)
( 5)代入(4)得: )代入( )
A 0 = 2 k22 − m2ωn B 0 k12
2 k11 − m1ωn 将ωn1,ωn 2分别代入(6)式 k 21
A 0 k12 = 2 k22 − m2ωn B 0
得:
k11 − ω n21 m1 B1 k12 u r1 = =− =− = 21 A1 k12 k 22 − ω n21 m 2 u11 (8)
1 A2 = r2 − r1
( r2 x10 − x20 )
2
ɺ ɺ ( r2 x10 − x20 ) +
ωn21
( −r1 x10 + x20 )
ɺ ɺ r2 x10 − x20
2
+
ɺ ɺ ( −r1 x10 + x20 )
2 ωn 2
2
tgϕ1 =
ωn1 ( r2 x10 − x20 )
tgϕ 2 =
方程通解( ) 方程通解(12)中 A1 , A2 , ϕ1 , ϕ 2由初始条件确定: 设t=0时:x1 ( 0 ) = x10 x2 ( 0 ) = x20
ɺ ɺ x1 ( 0 ) = x10
ɺ ɺ x2 ( 0 ) = x20
2
将初始条件代入方程(12)可得: 将初始条件代入方程( )可得
1 A1 = r2 − r1
(1)
写成矩阵方程: 写成矩阵方程:
m1 0 0 ɺɺ1 k1 + kc x ɺɺ + − k m2 x2 c −kc x1 F1 x = F (2) kc + k 2 2 2
一般形式: 一般形式:
k1
x1
m1
kc
x2
m2
k2
x m 0 ɺɺ1 2k − k x1 0 运动方程: 解:运动方程 ɺɺ + − k 3k x = 0 0 2m x2 2 2 2k − mωn −k =0 频率方程: 频率方程: 2 −k 3k − 2mωn x1 k1 2 4 2 2 kc 2m ωn − 7 mkωn + 5k = 0 m1
(1)描述系统运动坐标选择不唯一; )描述系统运动坐标选择不唯一; (2)对同一系统,坐标不同,运动方程形式也不同; )对同一系统,坐标不同,运动方程形式也不同; (3)坐标耦合决定于坐标选择,不是系统固有性质; )坐标耦合决定于坐标选择,不是系统固有性质; 4)若方程存在耦合,则方程不能单独求解; (4)若方程存在耦合,则方程不能单独求解; (5)选取不同坐标,不会影响系统的性质,其固有特 )选取不同坐标,不会影响系统的性质, 性不变。 性不变。 模态坐标可使方程解耦下章讨论
1 = r1
1 A1 sin (ω n1t + ϕ1 ) A sin ω t + ϕ r2 2 ( n2 2 )
(12)
分析:系统自由振动是系统两个固有模态振动的线性组合 只有 分析:系统自由振动是系统两个固有模态振动的线性组合,只有 在某些特定条件下,系统才会只作某个固有频率的自由振动。 在某些特定条件下,系统才会只作某个固有频率的自由振动 例:对于图示系统,设:m1 = m, m2 = 2m, k1 = kc = k , k2 = 2k 对于图示系统, 试求系统的固有模态。 试求系统的固有模态
ωn 2 ( r1 x10 − x20 )
ɺ ɺ r1 x10 − x20
三、广义坐标与坐标耦合 1.什么叫坐标耦合 什么叫坐标耦合
x m1 0 ɺɺ1 k11 k12 x1 F + = 1 0 m ɺɺ k k x F 2 x2 21 22 2 2