第四章测量平差-最小二乘
最小二乘法
最小二乘法设（x 1, y 1 ), (x 2, y 2), …, (x n, y n)是直角平面坐标系下给出的一组数据，若x 1<x 2<…<x n,我们也可以把这组数据看作是一个离散的函数。
根据观察，如果这组数据图象“很象”一条直线（不是直线），我们的问题是确定一条直线y = bx +a ,使得它能"最好"的反映出这组数据的变化。
最小二乘法是处理各种观测数据进行测量平差的一种基本方法。
如果以不同精度多次观测一个或多个未知量，为了求定各未知量的最可靠值，各观测量必须加改正数，使其各改正数的平方乘以观测值的权数的总和为最小。
因此称最小二乘法。
所谓“权”就是表示观测结果质量相对可靠程度的一种权衡值。
法国数学家勒让德于1806年首次发表最小二乘理论。
事实上，德国的高斯于1794年已经应用这一理论推算了谷神星的轨道，但迟至1809年才正式发表。
此后他又提出平差三角网的理论，拟定了解法方程式的方法等。
为利用最小二乘法测量平差奠定了基础。
最小二乘法也是数理统计中一种常用的方法，在工业技术和其他科学研究中有广泛应用。
在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1、x2, y2... xm , ym)；将这些数据描绘在x -y直角坐标系中(如图1), 若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如(式1-1)。
Y计= a0 + a1 X (式1-1)其中：a0、a1 是任意实数为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计= a0+a1X)的离差(Yi-Y计)的平方和｀〔∑(Yi - Y计)2〕最小为“优化判据”。
令: φ = ∑(Yi - Y计)2 (式1-2)把(式1-1)代入(式1-2)中得:φ = ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3)当∑(Yi-Y计)平方最小时，可用函数φ 对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。
第四章平差数学模型与最小二乘法
几何模型中选定元素多于必要元素的元素 2、多余元素——几何模型中选定元素多于必要元素的元素 多余元素 几何模型中选定元素 当几何模型中选定的元素多余必要元素数t 当几何模型中选定的元素多余必要元素数t时，独立量间会产生一个几 作为必要元素， 作为必要元素，则能唯一地确定 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ∆ABC形状与大小 。若选定了 L 1、 L 2 、 L 3 和 S 2 ，则有 L1 + L2 + L3 = 180° 形状与大小
函数模型又分为线性模型和非线性模型两类，非线性模型要线性化。 函数模型又分为线性模型和非线性模型两类，非线性模型要线性化。
一、条件平差法的函数模型
条件平差法： 观测值的真值构成的条件方程为函数模型的平差方法。 条件平差法：以观测值的真值构成的条件方程为函数模型的平差方法。 构成的条件方程为函数模型的平差方法 例如，在图 所示水准网中 所示水准网中， 为已知其高程的水准点 为已知其高程的水准点， 、 、 均为 例如，在图4-2所示水准网中，A为已知其高程的水准点，B、C、D均为 未知点。 未知点。网中观测向量的真值为 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ T L = h1 h2 h3 h4 h5 h6
r ,n n,1 r ,1 r ,1
~ 为常数向量， A0为常数向量，将 L = L + ∆
代入上式， 代入上式，并令
W = AL + A0
(4-2-5) (4-2-6)
则有
A∆ +W = 0
多余观测数r。 （4-2-4）或（4-2-6）式为条件平差的函数模型。条件方程数 多余观测数 。 ） ）式为条件平差的函数模型。条件方程数=多余观测数
若用观测值组成上述两个条件方程，; L2 + L3 − 180° = ω ≠ 0
平差数学模型与最小二乘原理
平差数学模型与最小二乘原理
§ 1 测量平差概述 § 2 测量平差的数学模型 § 3 函数模型的线性化 § 4 最小二乘原理
§2-1 测量平差概述
在测量工作中，为了确定待定点的高程， 需要建立水准网，为了确定待定点的平面 坐标，需要建立平面控制网（包括测角网、 测边网、边角网），我们常把这些网称为 几何模型。每种几何模型都包含有不同的 几何元素，如水准网中包括点的高程、点 间的高差，平面网中包含角度、边长、边 的坐标方位角以及点的二维或三维坐标等 元素。这些元素都被称为几何量。
A L~
rn n1
A0
r 1
0 r 1
将 L~ L 代入，并令 W (AL A0 )
则
A W 0
上式即为条件平差的函数模型。以此模型为基础
的平差计算称为条件平差法。
2. 附有参数的条件平差法
在平差问题中，设观测值个数为n，必要 观测个数为t，则可以列出r=n-t个条件方 程，现又增设了u个独立量作为未知参数， 且0 <u<t,每增加一个参数应增加一个条 件方程，因此，共需列出r+u个条件方程， 以含有参数的条件方程为平差函数模型 的平差方法，称为附有参数的条件平差 法。
4. 附有限制条件的间接平差
其函数模型的一般形式为
L~ F (X~)
n1
( X~) 0
S 1
线性形式的函数模型为
测量平差概述
在诸多几何量中，有的可以直接测量，但更多 的是通过测定其它一些量来间接求出。如根据 一点的坐标，通过直接测定的角度和距离求定 另一些点的坐标；根据一点的高程，通过直接 测定的高差求定另一些点的高程等等。这也充 分说明要确定一个几何模型，并不需பைடு நூலகம்知道其 中所有元素的大小，只需知道其中的一部分就 可以了，其它元素可以通过它们之间的函数描 述而确定出来，这种描述所求量与已知量之间 的关系式称为函数模型。
测量平差基础参考资料
第一章绪论第二、三章全书的基础知识第四章介绍测量平差理论第五、六、七、八章 4种平差方法第九章各种平差方法的总结第十章讨论点位精度第十一章统计假设检验的知识第十二章近代平差概论根据本科教学大纲的要求，重点讲解第二章~第八章以及第十章的内容。
二、如何学好测量平差1. 要有扎实的数学基础。
只有牢固地把握了高等数学，线性代数和概率与数理统计等课程的知识才能学好测量平差，因此课前要做到预习，对与以上三门课程有关内容进行温习，只有如此才能听懂这一节课。
2. 听课时弄清解决问题的思路，掌握公式推导的方法以及得到的结论，培养独立思考问题和解决问题的能力。
3. 课后及时复习并完成一定数量的习题（准备A、B两个练习本），从而巩固课堂所学的理论知识。
第一章绪论本章要紧说明观测误差的产生和分类，测量平差法研究的内容和本课程的任务。
第二章误差散布与精度指标全章共分5节，是本课程的重点内容之一。
重点：偶然误差的规律性，精度的含义以及衡量精度的指标。
难点：精度、准确度、精确度和不确定度等概念。
要求：弄懂精度等概念；深刻理解偶然误差的统计规律；牢固掌握衡量精度的几个指标。
第三章协方差传播律及权全章共分7节，是本课程的重点内容之一。
重点：协方差传播律，权与定权的常用方法，以及协因数传播律。
难点：权，权阵，协因数和协因数阵等重要概念的定义，定权的常用方法公式应用的条件，以及广义传播律（协方差传播律和协因数传播律）应用于观测值的非线性函数情况下的精度评定问题。
要求：通过本章的学习，弄清协因数阵，权阵中的对角元素与观测值的权之间的关系；能牢固地掌握广义传播律和定权的常用方法的全部公式，并能熟练地应用到测量实践中去，解决各类精度评定问题。
第四章平差数学模型与最小二乘原理全章共分5节。
重点：测量平差的基本概念，四种基本平差方法的数学模型和最小二乘原理。
难点：函数模型的线性化，随机模型。
要求：牢固掌握本章的重点内容；深刻理解最小二乘原理中“最小”的含义；关于较简单的平差问题，能熟练地写出其数学模型。
最小二乘平差 自由度
最小二乘平差最小二乘平差（Least Squares Adjustment）是测量数据处理中的一种常用方法，用于对测量观测数据进行最优估计。
通过该方法可以减小测量误差，提高测量精度，对于工程测量、测绘、地理信息系统等领域具有重要的应用价值。
原理介绍最小二乘平差的原理基于最小化观测量与观测值之间的残差平方和。
在测量过程中，常常会存在观测误差、系统误差等不确定因素，这些因素会导致观测值与真实值之间存在差异。
最小二乘平差通过对所有观测值进行加权，使得观测值与真实值之间的差异最小化。
设有n个观测值，每个观测值的观测量为O，真实值为T，观测误差为e。
则最小二乘平差的目标是找到最优的拟合/估计值x，使得：formula1通过对以上目标进行求解，可以得到最优的拟合/估计值x。
其中，观测值和真实值之间的关系可以通过各种数学模型进行描述，例如线性模型、非线性模型等。
应用场景最小二乘平差在测量数据处理中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1.三角测量：在工程测量中，常用三角测量方法测量不同点之间的距离、角度等。
利用最小二乘平差，可以修正测量误差，提高测量精度。
2.高程测量：在测绘、地理信息系统中，通常需要测量地点的高程信息。
最小二乘平差可以对高程测量数据进行优化处理，提高高程测量的精度。
3.GPS定位：全球卫星定位系统（GPS）在导航、地图绘制等领域有着广泛的应用。
最小二乘平差可用于对GPS观测数据进行处理，提高定位的准确性。
4.建筑变形监测：在建筑工程中，对于建筑物的变形监测和建筑物的结构健康状况评估，最小二乘平差可用于对监测数据进行处理，及时发现异常情况。
实现方法最小二乘平差的实现方法有多种，常用的包括：1.高斯-马尔可夫模型：基于线性模型，通过最小二乘法对观测数据进行拟合估计。
该方法适用于满足高斯分布假设的情况。
2.递归最小二乘法：将观测数据分为多个子集，通过递归的方式对子集数据进行最小二乘拟合，然后合并得到最终的拟合结果。
最小二乘法
其中：������������ = ������������ − ������������观测
周期误差的计算
• 测距仪轴向与标准钢卷尺平行，多次移动 棱镜，分别读取测距仪和钢卷尺读数 ������������ , ������0������
• 根据������������ = ������������ − ������0������ 可获得一组 ������������ , ������������ • 根据相位������������ =
最小二乘法
什么是参数估计？
• 最小二乘法是一种参数估计原则 • 参数估计是指从带有误差的观测值中提取我们感兴趣 • 典型的参数估计： 通过测量多条标准基线求得测距仪的加、乘常数 通过三角测量求得被测点的平面坐标 距离交会，求得被测点的坐标
欧式距离最短
• 假设某观测方程为： ������11 ������12 ������1 ������ ������2 = ������21 ������22 ������1 2 ������31 ������32 ������3 • 可写为： ������11 ������12 ������1 ������2 = ������1 ������21 + ������2 ������22 ������31 ������32 ������3
如果我们只知道A有一辆百万级豪车，而不了解 其他任何相关信息，我们更愿意相信，A的年收 入为100万，而不会倾向于相信他的年收入为20 万
• 因此，当我们只有一个观测值x的时候，我 们更愿意相信，真值就等于x，因为此时概 率密度最大
当我们进行了多次观测，得到多个观测值 （ ������1 , ������2 , ⋯ ）由于每次观测相互独立，因此 有联合概率分布（似然函数）：
误差理论与测量平差四章
引用参数 X=H1
X%
h%1 h%4 h%5 0
h%1 h%2 h%6 0
h%3 h%4 h%6 0
h%1
1 0
1
1
0 0
1 0
X% HA
011 000 110 000
0
0
1
1
0
hh%%12
1
2
x
2 m in
1
nE(
1
2
)
2
n
得证
二、最小二乘原理 1.最小二乘法
例：匀速运动的质点在时刻的位置y表示为：
yˆ ˆ ˆ
实际上： y v ˆ ˆ
为了求ˆ 与
ˆ, 在
1， 2，L
测定其位置，
n
得y1, y2 L yn ,则：
vi ˆ ˆ yi , (i 1, 2L n)
W AL A0
二、附有参数的条件平差函数模型 例 引用参数 X=SAB 参数的个数 U=1 n=5, t=3
r=n-t=5-3=2 条件方程个数：
C=r+U=3 可以列出三个条件方程：
S%12 S%22 X%2 2S%2 X%cos L%1 0 S%12 S%22 X%2 2S%1X%cos L%2 0 S%12 S%22 X%2 2S%1 S%2 X%cos L%3 0
hh%%34
hh%%56
0
0
0 1
X%
0
0
0
H
A
水准测量平差计算
水准测量平差计算
水准测量平差计算是水准测量中的一项重要工作，主要是对测量数据进行分析处理，消除误差和残差，以求得较为准确的高程结果。
具体步骤如下：
1. 建立观测方程
在水准测量中，设定起点高程为0，然后逐站向前观测，求出每个站点的高程。
建立每个站点高程的观测方程，包括自由高差和永久高差的影响。
2. 矩阵方程式
将所有观测方程进行矩阵变换，消除自由高差，得到纯高差矩阵方程组。
3. 固定高程点的影响
将所有观测方程加上固定高程点的影响，消除永久高差，得到纯高差矩阵方程组。
4. 最小二乘方法
利用最小二乘方法解出平差后的高差平差值，分别确定每个站点的高程。
5. 残差分析
对于每个观测方程都会有一个残差，其代表了实际测量值与计算值之间的差异。
进行残差分析，可发现数据中的误差规律和存在的误差来源，为后续的测量和处理提供参考和改进。
6. 高程精度分析
通过对整个水准测量的误差分析和精度分析，得出测量结果的可靠性和精度，为后续的工作提供指导和帮助。
(整理)测量平差教案
第一章绪论第一节观测误差一、观测值中为什么存在观测误差？观测条件对观测成果产生影响，不可避免产生观测误差。
有观测就有误差的结论。
二、观测误差的计算给出观测误差计算的纯量表达式和矩阵表达式。
三、观测误差的分类及其处理1、分类给出误差分类的表达式，粗差、系统误差和偶然误差的定义。
结合测角、测距和水准测量的全过程，让学生分析哪些因素引起的误差属于粗差，那些哪些因素引起的误差属于系统误差，那些哪些因素引起的误差属于偶然误差。
2、处理总结粗差、系统误差和偶然误差的处理方法，让学生举例说明测量上哪些操作是为了消除系统误差影响的，那些计算改正为了消除系统误差影响的。
四、测量平差的任务根据一系列含有观测误差的观测值求待定量的最佳估值。
第二节测量平差学科的研究对象研究对象为含有观测误差的各类观测值。
举例说明。
第三节测量平差的简史和发展一、测量平差理论的发展１、经典平差理论的发展主要介绍高斯创立最小二乘原理和马尔可夫创立高斯-马尔可夫平差模型的历史背景和过程。
２、近代平差理论的发展主要介绍二十世纪四十年代以后出现的近代平差理论，结合导线网平差和我国南极考察、建站，重点介绍方差分量估计和秩亏网平差的理论、方法及其用途。
二、平差计算方法的发展２、半自动平差阶段３、全自动平差阶段第四节测量平差的任务和内容一、任务讲授测量平差的基本理论和基本方法，为进一步学习和研究测量平差打下深入的基础。
二、内容课本各章的内容。
小结：本节介绍了观测条件的定义，观测条件与观测误差的关系，观测误差的定义、处理，以及测量平差的发展概况。
第二章误差分布与精度指标第一节正态分布一、一维正态分布绘一维正态分布图，列出分布函数，讲解，强调两个分布参数的含义。
二、n维正态分布讲解绘n维正态分布图，列出分布函数，讲解，强调两个分布参数的含义。
第二节偶然误差的规律性一、偶然误差分布1、描述误差分布的三种方法（1）列表法（通过实例列表讲解）（2）绘图法（通过实例绘图讲解）（3）密度函数法（通过实例绘图讲解）二、偶然误差的分布特性(1) 在一定的观测条件下，误差的绝对值不会超过一定的限值。
测绘技术中的平差计算方法详解
测绘技术中的平差计算方法详解测绘技术是一个复杂而多样化的领域，涉及到测量和计算等多个方面。
其中，平差计算是测绘技术中的一个重要环节，用于处理测量数据的误差，并确定准确的测量结果。
本文将详细介绍测绘技术中的平差计算方法，包括主要的几种方法以及其原理和应用。
一、最小二乘法平差最小二乘法平差是测绘技术中常用的一种平差方法，其原理是通过最小化测量数据的残差平方和，找到最优的平差结果。
具体而言，最小二乘法平差可以分为两个步骤，即观测方程的建立和最小二乘平差计算。
观测方程的建立是最小二乘法平差的首要步骤。
观测方程是通过观测数据和控制点坐标之间的关系建立的，通常采用线性模型，分为多余观测方程和未知数观测方程。
多余观测方程用于约束未知数之间的关系，而未知数观测方程用于计算未知数的值。
最小二乘平差计算是基于观测方程的误差理论和最小二乘法原理进行的。
具体而言，最小二乘平差计算首先确定观测方程的权阵，即观测误差的方差-协方差矩阵的逆阵。
然后，通过迭代计算的方式，不断更新未知数的值，直到满足平差条件为止。
最终，得到的平差结果可以用于控制点坐标的计算和精度评定等。
最小二乘法平差在测绘技术中有广泛的应用。
例如，地理信息系统（GIS）中的空间数据处理和地图制图，常常需要进行最小二乘法平差来获得准确的空间坐标。
此外，最小二乘法平差还在大地测量、工程测量和海洋测绘等领域中得到广泛的应用。
二、权值平差除了最小二乘法平差外，权值平差也是测绘技术中常用的一种平差方法。
它通过给予不同观测量不同的权值，来提高平差结果的准确性。
具体而言，权值平差可以分为权值设计和平差计算两个步骤。
权值设计是权值平差的首要步骤。
权值设计是通过评定每个观测量的精度，为观测方程赋予权值。
通常情况下，权值可以根据观测量的可靠性、测量仪器的准确性和操作员的经验等因素来确定。
平差计算是基于观测方程的权值进行的。
权值平差首先通过测量原始数据的残差和权阵，确定观测方程的权阵。
测量平差
第0章 绪 论地球科学的测量数据或观测数据是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其他实体的空间分布有关的信息数据。
任何观测数据总是包含有信息和干扰两部分，采集数据就是为了获取有用的信息。
干扰也称为误差，是除了信息以外的部分。
在实际工作中，需要进行大量观测数据的处理，它是测量工作重要环节之一。
高斯（Gauss）和勒戎德尔（Legendre）于19世纪初创立了解决这一问题的基本理论和方法，即最小二乘法。
从那时起，两个世纪以来，随着科学与技术的不断进步，特别是近代科学与技术的发展，最小二乘法也增添了许多新的内容，理论更趋全面严谨，方法更加灵活多样，应用也更为广泛。
《误差理论与测量平差》课程的任务，就是介绍这一方面的有关理论和方法。
本章将说明观测数据总是不可避免地带有误差，以及测量平差所研究的内容，最后介绍本课程的任务和内容。
§0.1 测量平差的基本概念在测量工作中，由于受测量过程中客观存在的各种因素影响，使得一切测量结果都不可避免地带有误差。
例如，对一段距离进行重复观测时，各次观测的长度总不可能完全相同。
又如，一个平面三角形三内角之和理论上应等于180°，实际上，如果对这三个内角进行观测，其三内角观测值之和一般不等于180°，而存有差异。
这种差异的产生，是因为观测值中含有观测误差。
于是，研究观测误差的内在规律，对带有误差的观测数据进行数学处理并评定其精确程度等，就成为测量工作中需要解决的重要实际问题。
一、误差来源观测误差产生的原因很多，概括起来主要有以下四个方面：观测者：由于观测者的感觉器官的鉴别能力有一定的局限性，因此在仪器的安置、照准、读数等方面都会产生误差。
同时，观测者的工作态度、技术水平以及情绪的变化，也会对观测成果的质量产生影响。
测量仪器：所谓测量仪器，是指采集数据所采用的任何工具和手段。
由于每一种仪器只具有一定限度的准确度，由此观测所得的数据必然带有误差。
测绘技术中的最小二乘平差原理解析
测绘技术中的最小二乘平差原理解析测绘技术作为一门重要的测量科学，广泛应用于土地规划、建筑设计、地质勘探等领域。
而在测绘技术中，最小二乘平差原理是一种重要的数据处理方法。
本文将对最小二乘平差原理进行解析，揭示其在测绘技术中的应用和意义。
1. 最小二乘平差原理的概念和基本思想最小二乘平差原理是指通过对多组观测数据进行加权求和，使得加权残差的平方和最小。
最小二乘平差原理的基本思想是利用观测数据建立数学模型，通过最小化残差来获得最优解。
最小二乘平差原理的核心是建立目标函数，即将观测值与预测值之间的差异最小化。
通过构建目标函数，可以建立数学模型，得到一组准确的测量结果。
最小二乘平差原理在测绘技术中具有重要的应用价值。
2. 最小二乘平差原理在测绘技术中的应用最小二乘平差原理在测绘技术中应用广泛，主要包括以下几个方面：（1）测量数据处理最小二乘平差原理在测量数据处理中起到关键作用。
通过对一系列测量数据进行加权平差，可以得到更加准确的测量结果。
最小二乘平差原理可以根据观测值的精度进行加权处理，避免了测量误差的累积。
（2）测量误差分析最小二乘平差原理可用于对测量误差进行分析。
通过对观测数据进行平差处理，可以得到残差，进而分析测量数据中的误差来源。
这对于测绘工作者改进测量方法、提高测量精度具有重要意义。
（3）控制点协调计算最小二乘平差原理被广泛应用于控制点协调计算。
在测绘工程中，控制点的坐标是基础，直接关系到整个测绘工程的质量。
通过最小二乘平差原理进行控制点协调计算，可以提高测量结果的精度，保证工程的准确性。
（4）测图数据处理最小二乘平差原理在测图数据处理中也有着重要应用。
在进行地形图绘制和地图生成过程中，需要对大量观测数据进行处理和分析。
通过最小二乘平差原理，可以实现地图数据精度的提高，并且能够有效地解决地图表达的问题。
3. 最小二乘平差原理的意义和展望最小二乘平差原理在测绘技术中有着重要的意义。
它不仅可以提高测量数据的准确性，还可以对测量误差进行分析，为工程建设提供可靠的数据支持。
中国矿业大学环境与测绘学院测绘工程《测量平差》第四
2 1
1 11 1.7 5 7 2.7(mm)
4. 解算法方程，求出参数 xˆ ，计算参数的平差值:
Xˆ X 0 xˆ 即
Xˆ 1 Xˆ 2
X X
0 1
0 2
xˆ1
xˆ
2
1122..050131(m)
12.7.7(mm)
1122..05004873(m)
5．由误差方程计算，求出观测量平差值；
L
B
Xˆ
d
n, 1 n, t t, 1 n, 1
（4-1-4）
平差时，为了计算方便和计算的数值稳定性，一般 对参数都取近似值，令
Xˆ X 0 xˆ
代入（4-1-4）式，并令
l L (BX 0 d ) L L0
由此可得误差方程
（4-1-5） （4-1-6）
V Bxˆ l
（4-1-7）
式中 l 为误差方程的自由项，对于经典间接平差，将 未知参数 Xˆ 视为非随机参数，不考虑其先验统计性
质，根据（4-1-5）式，可得平差后 QXˆXˆ Qxˆxˆ ，由 （4-1-6）式可Q得ll QLL 。
间接平差的随机模型为
D
n, n
02
Q
n, n
02
P 1
n, n
平差准则为
V T PV min
V T PV 2V T P V V T PB 0
xˆ
xˆ
转置后得
BT PV 0
（4-1-14）
以上所得的（4-1-13）和（4-1-14）式中的待求
量是n个V和t个xˆ ，而方程个数也是n+t个，有唯一
解，称此两式为间接平差的基础方程。
解此基础方程，一般是将（4-1-13）式代入（4-114）式，以便先消去V，得
测量平差最小二乘法
测量平差最小二乘法
测量平差最小二乘法是一种在测量数据处理中广泛应用的方法，其基本思想是通过最小化误差平方和来估计未知参数。
在实际测量中，由于各种因素的影响，测量数据往往存在一定的误差。
为了得到更准确的结果，我们需要对这些数据进行处理，而最小二乘法就是一种非常有效的处理方法。
最小二乘法的核心思想是最小化误差平方和，即使得所有测量值与估计值之差的平方和最小。
这种方法可以应用于各种类型的数据处理，包括线性回归、曲线拟合、滤波等。
在线性回归中，最小二乘法可以用来估计回归系数，从而得到一条最佳拟合直线。
在曲线拟合中，最小二乘法可以用来估计曲线的参数，从而得到一条最佳拟合曲线。
测量平差最小二乘法的优点在于其简单性和通用性。
这种方法不需要对误差分布做出任何假设，只需要最小化误差平方和即可得到估计结果。
此外，最小二乘法还可以通过各种优化算法来实现，如梯度下降法、牛顿法等，从而提高了计算效率。
然而，测量平差最小二乘法也存在一些局限性。
首先，它对异常值非常敏感，因为异常值会对误差平方和产生很大的影响。
其次，当测量数据的误差分布不满足正态分布假设时，最小二乘法的估计结果可能会产生偏差。
因此，在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的数据处理方法。
总之，测量平差最小二乘法是一种广泛应用的测量数据处理方法，其优点在于简单性和通用性。
然而，在实际应用中，我们需要注意其局限性，并根据具体情况选择合适的数据处理方法。
误差理论与平差基础课件 第3、4章
求函数向量 x = [ x1
x 2 ]T 的方差。
-5-
第三章 协方差传播律 三、两个函数 y ,
r ,1
r ,t
t ,1
z 的互协方差阵
⎡ 4 0 0⎤ ⎢0 2 0⎥ 例3设有观测向量L，已知其协方差阵为，D = ⎢ ⎥ 3, 3 ⎢ 0 0 3⎥ ⎣ ⎦ 求下列函数的协方差。
DYZ = FDXX K T
T DYY = FDXX F T = DYY r ×r
-4-
第三章 协方差传播律
例1已知 L1 ...L3
⎤ ⎡3 DL = ⎢ 2 ⎥ ⎥ ⎢ 3, 3 ⎢ 4⎥ ⎦ ⎣
求函数 x = 5L1 − L2 + 2 L3 − 7 的方差。
例2已知 L1 ...L3
⎡ 3 − 1 1⎤ DL = ⎢− 1 2 0⎥ ⎥ ⎢ 3, 3 ⎢ 1 0 4⎥ ⎦ ⎣ x 2 = − L2 + 3L3 − 2 函数 x1 = 2 L1 − L2 + 5,
单位权中误差 比例因子 权为1的观测值对应的中误差
3
测量中常用的方法
（1）水准测量的权 （2）同精度观测值的算术平均值的权 （3）距离丈量的权 （4）三角高程测量的权
-15-
第三章 协方差传播律 九、协因数和协因数传播律 1 2 3 4 5
协因数 协因数阵 协因数阵的特点 互协因数阵 权阵
-16-
第三章 协方差传播律--协因数和协因数传播律
当观测值互不相关时，权阵为对角阵，主对角 线上的元素为观测值的权。
L = [ L1 ......Ln ]T
2 ⎡σ L1 ⎢ 2 ⎢σ 0 1 = 2 DL = ⎢ ... σ0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣
QLL
测量平差 第四章 平差数学模型与最小二乘原理
大地四边形 t 2*44 4
中心多边形 t 2*7 4 10
扇形 t 2*5 4 6
r 84 4
r 18 10 8
r 11 6 5
观测误差存在使得测量平差有必要，多余观测使得测量 平差得以实现 由于观测不可避免地存在偶然误差，当n>t时，几何 模型中应该满足r=n-t个条件方程，实际存在闭俣差而并不 满足，如何调整观测值，即对观测值合理地加上改正数，使 其达到消除闭合差的目的，这是测量平差的主要任务。 一
（1）两个相邻点坐标 （2）一个已知点坐标，一个相邻已知方位， 一个相邻已知边长。
L2
L1
L3
③测边网和边角网：
一个已知点坐标，一个相邻已知方位，
一个相邻已知边长或两个相邻点坐标。
L2
L1
L3
三、必要观测
必要观测/必要元素：唯一确定一个确定几何、物理模型 的形状、大小所必须进行的观测称为必要观测，其符号 用符号t表示。
§4.5参数估计与最小二乘原理
Estimation of Parameters and Principles of Least Squares 一、参数估计及最优性质
(完整版)测量平差知识大全汇总
➢绪论➢测量平差理论➢4种基本平差方法➢讨论点位精度➢统计假设检验的知识➢近代平差概论✧绪论§1-1观测误差测量数据（观测数据）是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信息的数据，包含信息和干扰（误差）两部分。
一、误差来源观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面：1. 测量仪器；2. 观测者；3. 外界条件。
二、观测误差分类1. 偶然误差定义，例如估读小数；2. 系统误差定义，例如用具有某一尺长误差的钢尺量距；系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。
3. 粗差定义，例如观测时大数读错。
误差分布与精度指标§2-1 正态分布概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。
一、一维正态分布§2-2偶然误差的规律性2. 直方图由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2（注意纵、横坐标各表示什么？），直方图形象地表示了误差分布情况。
3. 误差分布曲线（误差的概率分布曲线）在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。
当观测值个数的情况下，频率稳定，误差区间间隔无限缩小，图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着n增大，以正态分布为其极限。
因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。
4. 偶然误差的特性第三章协方差传播律及权在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。
例如，在一个三角形中同精度观测了3个内角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。
现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。
第四章 误差分布与平差参数的假设检验(讲稿)
接受域：
接受假设
H
的区域称为检验的接受
0
域。例如上面的例子，当根据子样算术平均值
满足的时候 Px 0 k1（ 或 Px 0 k ）,
我们接受假设 H 0 ，也就是说计算的结果 x 0 落在了 (k, k)（或(,k)）区间之内，通常把区
间 (k, k（) 或 (,k)）称之为接受域。
x 0
/ n
2
p
1
上述问题用数理统计的语言来说就是：如果
P x 0 k 时，拒绝假设H 0；
P x 0 k1 时，接受假设 H 0 。（其
中 取一个较小的值，如0.01，0.05等）。
（其中k为某一适当的常数）
三、接受域和拒绝域
解： （1）H 0 : 1 2 ；H1 : 1 2
（2）当成立时，统计量值计算
(x y) (1 2 )
2 2
1
2
n1 n2
(x y)
2 2
1
2
n1 n2
34203.50 34203.24 1.01 0.62 1 1 14 10
受
H１；反之，接受
H
，
0
拒绝
H１
；
（3）右尾检验法
假设：H0 : μ μ0 ；
H１ : μ μ0
即 或写成
P
x
0
n
z
Pu
z
Px 0 k
式中
k z
n
当 u z 或 (x 0 ) k 时， 拒绝 H0，接
平差第四章
第4章平差数学模型与最小二乘原理测量———确定模型确定模型的必要元素(量、数据），其个数为t m个。
•必要元素的个数T只取决于模型本身•所有的必要元素都是彼此函数独立的量•模型中所有的量都是必要元素的函数•一个模型中函数独立的量最多只有T个•模型中作为必要元素的“量”不是唯一的必要元素分必要观测量(t 个）和必要起算数据(t o 个）。
一个测量问题中的总观测个数(n 个），则多余观测个数(r 个）相应的有总起算数据个数和多余起算数据个数。
必要观测数据个数：m o t t t =--多余起算数据个数控制网必要元素个数必要起算数据个数与类型水准网点数t=1一个点的高程测角三角网点数×2t=4一个点的坐标、一边边长和方位角⇦⇨两个已知点测边三角网点数×2t=3一个点的坐标、一边方位角边角三角网点数×2t=3一个点的坐标、一边方位角r=n-t当n＜t时，不能确定平差问题的模型n =t时，能确定模型，但无检核、有无粗差不知n＞t时，有多余观测，因观测误差使观测值间产生矛盾，使模型出现多解。
n＞t时，通过平差处理，让观测值的平差值之间满足相应的条件关系，消除矛盾，获取模型的唯一最优解。
4-2函数模型由于只能求出真误差的估值，即真值的估值，函数模型应为：ˆ0AL A +=平差值条件：0()AV W W AL A +==+改正数条件选择t 个函数独立的参数：，这些参数刚好能够确定模型。
则函数模型为：12(,,,)t X X X1()n L F X ⨯=线性情况下111n n t t n L B X d⨯⨯⨯⨯=+ 误差方程：111111()n t t n n n n n V B X l l d L ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+=- o o1111()n t n t n n V B x ll BX d L L L ⨯⨯⨯⨯⨯=+=+-=-附有参数的条件平差法模型在具体平差问题中，观测次数n ，必要观测次数t ，则多余观测次数r ，再增加u 个独立参数，且0 ＜u ＜t ，则总共有r +u = c 个条件方程，一般形式是：线性情况下01111c n n c u u c c A L B X A ⨯⨯⨯⨯⨯⨯++=改正数条件方程：01111()c n c u n u c c A V B x W W AL BX A ⨯⨯⨯⨯⨯⨯++==++1(,)0c F L X ⨯=具有约束条件的间接平差法的函数模型选择u 个参数：，u＞t ，且包含t 个函数独立的参数。
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为常数向量
L~ L
代入上式，并令
W
AL A0
则得
A W 0
rn n1 r1 r1
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
A L~
rn n1
A0
r1
0
r1
或
A W 0
rn n1 r1 r1
为条件平差的函数模型。
条件平差的自由度即为多余观测数r，即条件方程的个数。
条件平差的缺点：有时待求量并非观测量，因而应用不便
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
4. 附有条件的间接平差的函数模型
L~ F X~
非线性形式
n1
u1
X~ 0
s1 u1
线性形式 L~ B X~ d 或 l B X~
n1 nu u1 n1
n1 n1 nu u1
C X~ Ws 0
su u1 s1 s1
l Ld
习题：4.2.06 采用何种平差方法要根据实际情况灵活选择
A L~
cn n1
B
cu
X~
u1
A0
c1
0
c1
或
A B X~ W 0
cn n1 cu u1 c1 c1
式中 W AL A0
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
附有参数的条件平差，其特点是观测量 L~ 和参数 X~ 同时作为
模型中的未知量参与平差，是一种间接平差和条件平差的混合 模型。 此平差问题，由于增选了u个参数，条件方程总数由r个增加到 c=r+u个，平差自由度即多余观测数不变，仍为r（r=c-u）。
P
1
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
条件平差 间接平差
A V W 0
rn n1 r1 r1
V B xˆ l
n1 nt t1 n1
D
02Q
2 0
P
1
D
02Q
2 0
P
1
附有参数的条件平差 A V B xˆ W 0
D
02Q
2 0
X~ 3
~ h6
X~ 2 - X~ 3
- HA
- HA HA
A
~ h3
~ h1
~ h
4
~
B
h5
D
~ h6
~ h2
C
在测量控制网中，常采用待定点的坐标为平差参数建立观测方程， 这是间接平差的特点
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
一t个般独而立言量，做如为果平某差平参差数问X~题，有则n个每观个测观值测，量t必个定必可要以观表测示值为，这选t择个
观测方程的个数等于观测值的个数
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
水准网中，A点高程已知，平差的目的是求待定点B、C和D的
高程。 可直接选这三个待定点高程为平差参数 X~1、X~ 2、X~ 3
由图可列出观测方程
~h1 X~ 1
~ h2
-X~ 1
X~ 2
~ h3
X~ 2
~ h4
- X~ 3
~h5 X~ 1 -
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
确定一个几何模型，需确定其中的部分“量”
(1) 形状 任意两个内角 (2个元素)
(2) 形状与大小 2内角+1边长，2边长+ 1夹角，3边长 (3个元素)
(3) 形状、大小与位置 2点坐标+(2边或1边1角) 1点坐标+ 1边方位角+(1边2角或2边1角或3边) 3点坐标 (6个元素)
n1 nu u1 n1
或
C X~ Ws 0
su u1 s1 s1
l B X~
n1 n1 nu u1
l Ld
该平差问题的自由度仍为r=n-t=n-（u-s）。
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
§4-3 函数模型的线性化
F F L~ X~
c1 c1 n1 u1
取近似值
X~ X 0 ~x L~ L
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
2. 间接平差的函数模型
非线性形式 L~ F X~ n1
线性形式
L~ B X~ d
n1 nt t1 n1
或
l B X~
n1 n1 nt t1
习题：4.2.10， 4.2.11
l Ld
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
三角形，观测值为其中三个内角
L~1、L~2、S~1或S~1、S~2 、L~3或S~1、S~2、S~3 等
它们包含两种类型元素（角度、边长）。
t=3
C
~ S2
L~ 3
S~1
L~ 1
A
~
L~ 2
B
S3
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
在水准网中，为了确定A、B、C、D四点之间的高度相对关系， 只要知道其中3个高差， 如 ~h1、~h3、~h4或~h1、~h2、~h6或~h4、~h5、~h6等 它们是同一类型的元素（高差）
L~ 2
L~3 T
L~ 3
选择 A为平差参数 X~
此时，r=n-t=3-2=1，有一个条件方程。
由于增加了一个参数，
A
L~1 X~ 1
X~ 2 L~ 2
B
应再增加一个条件方程。
L~1 L~2 L~3 -180 0
L~1 - X~ 0
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
令
A
1 1
1 0
10，B
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
必要观测数：确定某个模型所必需的最少的 观测值的个数，称为必要观测数。 必要观测数用符号t表示。
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
什么是测量平差？
观测值中包含有“误差”
对某“量”进行多次观测，多次观测结果并不相等 问：如果对该“量”只作一次观测，该观测值是否 不含误差？
3. 附有参数的条件平差的函数模型
非线性形式 F L~ X~ 0 c1
线性形式
A L~
cn n1
B
cu
X~
u1
A0
c1
0
c1
或
A B X~ W 0
cn n1 cu u1 c1 c1
W AL A0
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
C
在三角形中，观测量为三个内角，
L~
31
L~1
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
第四章 平差数学模型与 最小二乘平差原理
§4-1 测量平差概述 §4-2 函数模型 §4-3 函数模型的线性化 §4-4 测量平差的数学模型 §4-5 最小二乘原理
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
§4-1 测量平差概述
几何模型中包含多种“量”(真值)， 例：
以平面三角形为
(1) 角度：三个内角∠A、∠B、∠C (2) 边长：三条边长a、b、c (3) 高：三边上的高ha、hb、hc (4) 坐标：三点的平面坐标
Xa，Ya； Xb，Yb； Xc，Yc； (5) 方位角：TAB ；TBC ；TCA (6) 坐标差：ΔXAB ，ΔYAB ；……
(7) 面积、周长……
~ h3
~ h1
~ h4
~
B
h5
D
~h 6
~ h2
C
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
应列出3个线性无关的条件方程，它们可以是
令 则上式
F（1 L~）
~ h1
~ h2
-
~ h3
0
F（2 L~）
~ h2
~ h5
-
~ h6
0
F（3 L~）
~ -h3
-
~ h4
~ h6
0
1 1 -1 0 0 0
A
36
0
因此，在选定u>t个参数进行间接平差时，除了建立n个观测方
程外，还要增加s个约束参数的条件方程，故称此平差方法为
附有限制条件的间接平差。
一般而言，附有限制条件的间接平差可组成下列方程：
L~ F X~
n1
u1
X~ 0
s1 u1
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
线性形式的函数模型为：
L~ B X~ d
W AL A0
习题：4.2.07(a, b)， 4.2.08
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
A为已知其高程的水准点，B、C、D均为未知点。网中观测
向量的真值为
L~
61
~ h1
~ h2
~ h3
~ h4
~ h5
~T h6
为确定B、C、D三点的高程，
其必要观测数（即必要元素）
t=3，
A
故多余观测数r=n-t=3
~
t=3
h1
A
~ h4
~
B
h5
D
~ h3
~h 6
~ h2
C
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
平差问题存在的条件
总观测数用n表示： 当n<t时： 模型不能确定 当n=t时： 模型能唯一确定 当n>t时（P60三角形5个观测值示例） 可以确定多个模型 平差问题存在的条件是：n>t
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
W AL A0
D
02Q
2 0
P
1
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
2. 附有参数的条件平差的数学模型
方程个数c=r+u (选定的未知参数u；多余观测数r)
A V B xˆ W 0
cn n1 cu u1 c1 c1
W AL BX 0 A0
D
02Q
2 0