第四章测量平差-最小二乘

L~ 2
L~3 T
L~ 3
选择 A为平差参数 X~
此时，r=n-t=3-2=1，有一个条件方程。
由于增加了一个参数，
A
L~1 X~ 1
X~ 2 L~ 2
B
应再增加一个条件方程。
L~1 L~2 L~3 -180 0
L~1 - X~ 0
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
令
A
1 1
1 0
10，B
台劳级数展开，取至一次项
F F L , X 0 ~x
F
L, X 0
F L~
L,X 0
F X~
~x
L,X 0
习题：4.3.13
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
§4-4 测量平差的数学模型
1. 条件平差的数学模型
方程个数r (观测值改正数n；多余观测数r)
A V W 0
rn n1 r1 r1
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
确定一个几何模型，需确定其中的部分“量”
(1) 形状 任意两个内角 (2个元素)
(2) 形状与大小 2内角+1边长，2边长+ 1夹角，3边长 (3个元素)
(3) 形状、大小与位置 2点坐标+(2边或1边1角) 1点坐标+ 1边方位角+(1边2角或2边1角或3边) 3点坐标 (6个元素)
-01，A0
-180
0
则上式可写为
A L~ B X~
23 31 21
A0
21
0
21
一般而言，在某一平差问题中，观测值个数为n，必要观测数
为t，多余观测数r=n-t，再增选u个独立参数，0<u<t，则总共
应列出c=r+u个条件方程式，一般形式为 F L~ X~ 0 c1
如果条件方程式为线性，其形式为
W AL A0
习题：4.2.07(a, b)， 4.2.08
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
A为已知其高程的水准点，B、C、D均为未知点。网中观测
向量的真值为
L~
61
~ h1
~ h2
~ h3
~ h4
~ h5
~T h6
为确定B、C、D三点的高程，
其必要观测数（即必要元素）
t=3，
A
故多余观测数r=n-t=3
以平面三角形为
(1) 角度：三个内角∠A、∠B、∠C (2) 边长：三条边长a、b、c (3) 高：三边上的高ha、hb、hc (4) 坐标：三点的平面坐标
Xa，Ya； Xb，Yb； Xc，Yc； (5) 方位角：TAB ；TBC ；TCA (6) 坐标差：ΔXAB ，ΔYAB ；……
(7) 面积、周长……
C
L~
31
L~1
L~ 2
L~3 T
L~ 3
选定 A和 B为平差参数，设为 X~ 1和X~ 2
即
X~
21
X~ 1
X~ 2 T
A
L~1 X~ 1
X~ 2 L~ 2 B
因为通过t=2个参数可以唯一确定该三角形的形状。将每个
观测值均表达为这两个平差参数的函数，由图可知
L~1 X~ 1 L~ 2 X~ 2 L~3 -X~1 - X~ 2 180
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
必要观测数：确定某个模型所必需的最少的 观测值的个数，称为必要观测数。 必要观测数用符号t表示。
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
什么是测量平差？
观测值中包含有“误差”
对某“量”进行多次观测，多次观测结果并不相等 问：如果对该“量”只作一次观测，该观测值是否 不含误差？
A L~
cn n1
B
cu
X~
u1
A0
c1
0
c1
或
A B X~ W 0
cn n1 cu u1 c1 c1
式中 W AL A0
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
附有参数的条件平差，其特点是观测量 L~ 和参数 X~ 同时作为
模型中的未知量参与平差，是一种间接平差和条件平差的混合 模型。 此平差问题，由于增选了u个参数，条件方程总数由r个增加到 c=r+u个，平差自由度即多余观测数不变，仍为r（r=c-u）。
~
t=3
h1
A
~ h4
~
B
h5
D
~ h3
~h 6
~ h2
C
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
平差问题存在的条件
总观测数用n表示： 当n<t时： 模型不能确定 当n=t时： 模型能唯一确定 当n>t时（P60三角形5个观测值示例） 可以确定多个模型 平差问题存在的条件是：n>t
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
参数的函数，即有
t1
L~ FX~
n1
如果这个表达式是线性的，一般为
L~ B X~ d
l B X~
n1 nt t1 n1
n1 n1 nt t1
式中 l L d
间接平差的函数模型中，未知量是t个独立参数，多余观测数不随 平差方法不同而异，其自由度仍是r=n-t。
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
为常数向量
L~ L
代入上式，并令
W
AL A0
则得
A W 0
rn n1 r1 r1
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
A L~
rn n1
A0
r1
0
r1
或
A W 0
rn n1 r1 r1
为条件平差的函数模型。
条件平差的自由度即为多余观测数r，即条件方程的个数。
条件平差的缺点：有时待求量并非观测量，因而应用不便
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
第四章 平差数学模型与 最小二乘平差原理
§4-1 测量平差概述 §4-2 函数模型 §4-3 函数模型的线性化 §4-4 测量平差的数学模型 §4-5 最小二乘原理
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
§4-1 测量平差概述
几何模型中包含多种“量”(真值)， 例：
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
4. 附有条件的间接平差的函数模型
L~ F X~
非线性形式
n1
u1
X~ 0
s1 u1
线性形式 L~ B X~ d 或 l B X~
n1 nu u1 n1
n1 n1 nu u1
C X~ Ws 0
su u1 s1 s1
l Ld
习题：4.2.06 采用何种平差方法要根据实际情况灵活选择
因此，在选定u>t个参数进行间接平差时，除了建立n个观测方
程外，还要增加s个约束参数的条件方程，故称此平差方法为
附有限制条件的间接平差。
一般而言，附有限制条件的间接平差可组成下列方程：
L~ F X~
n1
u1
X~ 0
s1 u1
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
线性形式的函数模型为：
L~ B X~ d
L~1、L~2、S~1或S~1、S~2 、L~3或S~1、S~2、S~3 等
它们包含两种类型元素（角度、边长）。
t=3
C
~ S2
L~ 3
S~1
L~ 1
A
~
L~ 2
B
S3
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
在水准网中，为了确定A、B、C、D四点之间的高度相对关系， 只要知道其中3个高差， 如 ~h1、~h3、~h4或~h1、~h2、~h6或~h4、~h5、~h6等 它们是同一类型的元素（高差）
X~ 3
~ h6
X~ 2 - X~ 3
- HA
- HA HA
A
~ h3
~ h1
~ h
4
~
பைடு நூலகம்
B
h5
D
~ h6
~ h2
C
在测量控制网中，常采用待定点的坐标为平差参数建立观测方程， 这是间接平差的特点
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
一t个般独而立言量，做如为果平某差平参差数问X~题，有则n个每观个测观值测，量t必个定必可要以观表测示值为，这选t择个
W AL A0
D
02Q
2 0
P
1
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
2. 附有参数的条件平差的数学模型
方程个数c=r+u (选定的未知参数u；多余观测数r)
A V B xˆ W 0
cn n1 cu u1 c1 c1
W AL BX 0 A0
D
02Q
2 0
P
1
第四章——平差数学模型与最小二乘原理 3. 间接平差的数学模型
观测方程的个数等于观测值的个数
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
水准网中，A点高程已知，平差的目的是求待定点B、C和D的
高程。 可直接选这三个待定点高程为平差参数 X~1、X~ 2、X~ 3
由图可列出观测方程
~h1 X~ 1
~ h2
-X~ 1
X~ 2
~ h3
X~ 2
~ h4
- X~ 3
~h5 X~ 1 -
n1 nu u1 n1
或
C X~ Ws 0
su u1 s1 s1
l B X~
n1 n1 nu u1
l Ld
该平差问题的自由度仍为r=n-t=n-（u-s）。
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
§4-3 函数模型的线性化
F F L~ X~
c1 c1 n1 u1
取近似值
X~ X 0 ~x L~ L
方程个数n (观测值改正数n；参数改正数t)
V B xˆ l
n1 nt t1 n1
l BX o d L
D
02Q
2 0
P
1
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
4. 附有限制条件的间接平差的数学模型
方程个数n+s (观测值改正数n；未知参数u；独立参 数改正数t；约束条件数s)
D
02Q
2 0
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
必要元素数的概念
确定某个模型所必需的最少的元素个数， 称为必要元素数。 记必要元素数的符号为t。
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
必要元素数的性质
必要元素的个数t只取决于模型本身 所有的必要元素都是彼此函数独立的量 模型中所有的量都是必要元素的函数 一个模型中函数独立的量有且只有t个 模型中作为必要元素的“量”不是唯一 的
3. 附有参数的条件平差的函数模型
非线性形式 F L~ X~ 0 c1
线性形式
A L~
cn n1
B
cu
X~
u1
A0
c1
0
c1
或
A B X~ W 0
cn n1 cu u1 c1 c1
W AL A0
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
C
在三角形中，观测量为三个内角，
L~
31
L~1
~ S2 L~ 1
A
则上式为
A
13
L~
31
A0
11
0
C
L~ 3
S~1
L~ 2
S~3
B
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
一般而言，如果有n个观测值 L ，t个必要观测，则应列出
r=n-t个条件方程，即
F
L~
n1
0
r1
如果条件方程为线性形式，则可直接写为
A L~
rn n1
A0
r1
0
r1
A0 将
§4-2 函数模型
函数模型是描述观测量与未知量间的数 学函数关系的模型，是确定客观实际的 本质或特征的模型
函数模型分为：线性和非线性两类
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
1. 条件平差的函数模型
非线性形式 F L~ 0 r1
线性形式 或
A L~
rn n1
A0
r1
0
r1
A W 0
rn n1 r1 r1
1
0
0
1
-1
0 0 -1 -1 0 1
A L~ 0
36 61
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
为确定三角形的形状，观测了三个内角
多余观测r=n-t=3-2=1
故存在条件方程为
L~1 L~2 L~3 -180 0
令 A 1 1 1
1L~3
31
L~1
L~ 2
L~3 T
A0 -180
P
1
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
条件平差 间接平差
A V W 0
rn n1 r1 r1
V B xˆ l
n1 nt t1 n1
D
02Q
2 0
P
1
D
02Q
2 0
P
1
附有参数的条件平差 A V B xˆ W 0
D
02Q
2 0
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
2. 间接平差的函数模型
非线性形式 L~ F X~ n1
线性形式
L~ B X~ d
n1 nt t1 n1
或
l B X~
n1 n1 nt t1
习题：4.2.10， 4.2.11
l Ld
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
三角形，观测值为其中三个内角
~ h3
~ h1
~ h4
~
B
h5
D
~h 6
~ h2
C
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
应列出3个线性无关的条件方程，它们可以是
令 则上式
F（1 L~）
~ h1
~ h2
-
~ h3
0
F（2 L~）
~ h2
~ h5
-
~ h6
0
F（3 L~）
~ -h3
-
~ h4
~ h6
0
1 1 -1 0 0 0
A
36
0
此时观测值所含误差不能被发现，结果是不可靠 的。为了保证观测结果的正确性必须对该“量” 进行两次或两次以上的观测，使得误差通过观测 值之间的差异表现出来，平差的一个主要任务就 是“消除差异”，求出被观测量的最可靠结果。
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
为确定三角形的形状和大小，只要知道其中任意的两角一边、 两边一角或三边的大小，如
第四章——平差数学模型与最小二乘原理
如果进行间接平差，就要选出t个独立量为平差参数，按每个观
测值与所选参数间函数关系，组成t个观测方程。如果在平差问
题里，不是选t个而是选定u>t个参数，其中包含t个独立参数，
则多选的s=u-t个参数必是t个独立参数的函数，亦即在u个参数
之间存在着函数关系，它们是用来约束参数之间应满足的关系。