测量平差 PT
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（1）丈量CD一次的精度 （2）如丈量CD16次，则求丈量AB4次和CD16 次的相对中误差
第三章 协方差传播律
七、应用协方差传播律时应注意的问题
（1）根据测量实际，正确的列出函数式； （2）全微分所列函数式，并用观测值计算偏导数值； （3）计算时注意各项的单位统一； （4）将微分关系写成矩阵形式； （5）直接应用协方差传播律，得出所求问题的方
一、必要观测与多余观测
几何量---高差、角度、边长、方位角、高程、坐标等 几何模型---控制网（高程网、平面网、三维网）
必要元素：唯一确定一个几何模型所必须观测的元素 必要观测数 t：唯一确定一个几何模型所必须观测的元素个数 *任一模型的t个必要元素相互独立 *确定一个几何模型时，不仅要考虑必要元素的个数，
还要考虑其类型
多余观测数（自由度） r：多于必要观测数 t的观测值的个数 r=n-t
*在测量工作中，必须有多余观测，每增加一个多余观测值， 就产生一个函数关系式---条件方程。
二、为什么要测量平差
n﹥t时，应满足的r个条件方程，由于观测值含有误差实际上 并不能满足，如何根据实际的闭合差对观测值进行处理， 以 便消除不符值，满足应有条件---------测量平差的任务之一。
Chapter.2 Error Distribution and Index of Precision
五、精度 准确度 精确度 观测值的质量取决于观测误差（偶然误差、 系统误差、粗差） 的大小。
1.精度:(precision) 描述偶然误差，可从分布曲线的陡峭程度 看出精度的高低。 2.准确度:(accuracy) 描述系统误差，可用观测值的真值与观测 值的期望之差来描述，即
2、偶然误差的分布
第二章 误差分布与精度指标
第二章 误差分布与精度指标
第二章 误差分布与精度指标
第二章 误差分布与精度指标
第二章 误差分布与精度指标
• 3、偶然误差的统计特性
由统计分析可以看出，偶然误差具有以下特性： 1、在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值有一定
的限值，即超过一定的限值的偶然误差出现的概 率为零； 2、绝对值较小的偶然误差比绝对值较大的偶然误差 出现的概率大； 3、绝对值相等的正负偶然误差出现的概率相同； 4、偶然误差的理论平均值为零
对上式求全微分，得
第三章 协方差传播律
第三章 协方差传播律
由误差传播定律得：
第三章 协方差传播律
六、协方差传播律的应用
1、水准测量的精度
第三章 协方差传播律
2、距离丈量的精度 3、同精度独立观测值算术平均值的精度
例2：一直距离AB=100m，丈量4次平均值的中误 差为2cm，若以同样的精度丈量距离CD=900m，求
第三章 协方差传播律
十、由真误差计算中误差及其实际应用
1、用不同精度的真误差计算单位权方差 2、由真误差估求方差的实际应用
（1）由三角形闭合差求测角中误差 （2）由双观测值之差求中误差
第三章 协方差传播律
例：设分5段测定两水准点之间的高差。每段各测两次
第三章 协方差传播律
十一、系统误差和偶然误差的联合影响
第三章 协方差传播律（spread of covariance）
几个概念
1、直接观测量(direct observation) 2、非直接观测量---观测值的函数
水准测量 导线测量 三角形内角平差值 3、独立观测值（independent observation） 4、非独立观测值---相关观测值（correlation
差—协方差矩阵
第三章 协方差传播律
八、权及定权的常用方法
• 权的概念
一定的观测条件对应着一定的误差分布，而一定的 误差分布就对应着一个确定的方差，方差是表征 精度的一个绝对的数字指标，为了比较各观测值 之间的精度，除了可以应用方差之外，还可以通 过方差之间的比例关系来衡量观测值之间的精度 的高低，这种表示各观测值方差之间的比例关系 的数字特征成为权，所以权是表征精度的相对的 数字指标
2、单位权中误差 3、测量中常用的方法
（1）水准测量的权 （2）同精度观测值的算术平均值的权 （3）距离丈量的权 （4）三角高程测量的权
第三章 协方差传播律
九、协因数和协因数传播律
1、协因数 2、协因数阵 3、协因数阵的特点 4、互协因数阵 5、权阵
协因数、协因数阵、互协因数阵,权阵
设有观测值
Li、
LJ
，方差为
2 xi
、
2 xj
定义：
Qii
2 i
2 0
1 pi
, 权倒数
Q
2 j
1
jj
2 0
pj
，协方差为 xi x j
Qij
ij ，相关权倒数
2 0
设有观测值 向量变 X、 Y ，它们的协方差阵和互协方差阵
n ,1
r ,1
Q , 权逆阵 D D 分别为
、
XDX XX YY
XX n,n
DXX
x2
x1
...
2 x2 ...
... ...
x2xn
...
E[(X
uX
)(X
uX
)T
]
xnx1
xnx2
...
2 xn
X 观测值向量，或观测值
u X 为X的数学期望组成的向量
DXX 为X的方差--协方差阵,简称协方差阵(covariance matrix)
X Y u *
观测值向量
... ...
... xnyr
Chapter.2 Error Distribution and Index of Precision
Chapter.2 Error Distribution and Index of Precision
Chapter.2 Error Distribution and Index of Precision
Chapter 3. spread of covariance
二、多个观测值线性函数的方差-协方差阵
若观测向量的多个线性函数为
Chapter 3. spread of covariance
于是，观测向量的多个线性函数可写为 若还有观测向量的另外r个线性函数
其矩阵形式为：
Chapter 3. spread of covariance
observation） 独立观测值各个函数之间不一定独立
5、误差传播律 6、协方差传播律
Chapter 3. spread of covariance
一、观测值线性函数的方差 +两观测值线性函数的协方差
设观测向量L及其期望和方差为：
Chapter 3. spread of covariance
第三章 协方差传播律
1、权的定义
权的意义，不在于其数值的大小，重要的是他们之 间的比例关系
第三章 协方差传播律
由此看出，随着选定的
不同，P的绝
对值也不同，但它们之间的比例关系不变，
所以权的数值不是绝对的，只有相对的意
义，也就是说，我们不在乎权本身数值的
大小，而在乎确定它们之间的比例关系。
第三章 协方差传播律
Chapter.2 Error Distribution and Index of Precision
xy E [X ( E (X )Y ( E (Y )]
Chapter.2 Error Distribution and Index of Precision
四、随机向量(观测值向量）的数字特征 1、随机向量 2、随机向量的数学期望 3、随机向量的方差-协方差阵 协方差阵的定义
Chapter.2 Error Distribution and Index of Precision
• 3、精确度：
描述偶然误差、系统误差和粗差的集成， 精确度可用观测值的均方误差来描述，即：
当
时，即观测值中不
存在系统误差，亦即观测值中只存在偶然
误差时，均方误差就等于方差，此时精确
度就是精度。
第三章、平差数学模型和最小二乘法
第三章 协方差传播律
当观测值相关时，协因数阵主对角线上的元 素仍为观测值的权倒数。而权阵主对角线 上的元素不是观测值的权。
第三章 协方差传播律
6、协因数传播律 （1）、线性函数 （2）、非线性函数 （3）、权倒数传播律 例1：求算术平均值的权 例2：求加权平均值的权
第三章 协方差传播律
第三章 协方差传播律
第三章 协方差传播律
• 权的概念
权是权衡轻重的意思，其应用比较广泛，应用到测 量上可作为衡量精度的标准，如有一组观测值是 等精度的，那么，在平差时，应该将他们同等对 待，因此说这组观测值是等权的，而对于一组不 等精度的观测值，在平差时，就不能等同处理， 容易理解，精度高的观测值在平差结果中应占较 大的比重，或者说，应占较大的权，所以平差时， 对于一组不等精度的观测值应给予不同的权。
5、误差的处理办法
第一章
绪论
二、测量平差的简史和发展
三、测量平差的两大任务及本课程的主要内 容
第二章 误差分布与精度指 标
Error Distribution and Index of Precision
• 一、偶然误差的规律性 1、随机变量（stochastic variable）--偶然误 差
n ,1
和
r ,1
，它们的数学
期望分别为
u
和
X
Y
，记
ZX,则 Z的方D 差 ZZ D 阵 XX 为 D XY
Y
D YX D YY
其中：DXY 阵
=
E [X (uX)Y (uY)T]
为X关于Y的互协方差
x1y1
DXY
x2y1
...
xny1
x1y2 x2y2
...
xny2
...
x1yr
...
x2yr
第二章 误差分布与精度指标
二、随机变量的数字特征 （1）反映随机变量集中位置的数字特征---
数学期望 （2）反映随机变量偏离集中位置的离散程度
---方差 （3）反映两两随机变量x、y相关程度的数字
特征---协方差
第二章 误差分布与精度指标
Chapter.2 Error Distribution and Index of Precision
三、几种基本的平差方法的线性函数模型
1、条件平差法：以条件方程为函数模型
F ( L~ ) 0 A L~ A 0 0 A W 0
2、间接平差法：以误差方程为函数模型
L~ F ( X~ ) L~ B X~ d B X~ l
3、附有参数的条件平差法:以含有参数的条件方程为函数模型
F ( L~ , X~ ) 0 A L~ B X~ A 0 0 A B X~ W 0
2 0
、
，定义：
DXY
Q DYY
YY r ,r
2 0
Q XY
n,r
D XY ，相关权逆阵
2 0
P Q 1
第三章 协方差传播律
协因数与权互为倒数，协因数阵与权阵互为 逆矩阵，协因数阵对角线上的元素为各变 量的权倒数，是否可由此说权阵对角线上 的元素即为观测向量的权？
当观测值互不相关时，权阵为对角阵，主对 角线上的元素为观测值的权
4、附有限制条件的间接平差：误差方程+约束条件方程
L~ F ( X~ ) ( X~ ) 0 B X~ l C X~ W x 0
四、平差的随机模型
D0 2Q0 2P1
则有：
三、两个函数向量的互协方差阵（Y关于 Z）
第三章 协方差传播律
第三章 协方差传播律
四、非线性函数的情况
设有X的非线性函数 Z=f（X）=f（X1、 X2，… Xn )
将非线性函数线性化即可：全微分 例：
第三章 协方差传播律
五、多个观测向量非线性函数的方差—协方差矩阵 设观测向量的t个非线性函数为：
4、互协方差阵 互协方差阵的定义
*设有n个不同精度的相关观测值xi（i=1，2,…n),它们的数学
期望和方差为u
用矩阵表示:
xi
,
2 xi
,两两间的协方差为xixj (i j)
x1
u
x1
X
x2
, ...
uX
ux2
...
E(X )
xn
Fra Baidu bibliotek
uxn
2 x1
x1x2
...
x1xn
一、观测误差第（O一bs章ervation 绪Erro论r）
1、为什么要进行观测 必要观测、多余观测 2、误差存在的现象 3、误差产生的原因
观测条件：观测仪器、观测者、外界条件
4、误差的分类 粗差（gross error），系统误差
（systematic error），偶然误差（random error、 accident error ）
测量平差过程：先建立数学模型（函数模型和随机模型），然 后按一定的平差原则待求量进行估计，最后进行精度评定。
三、测量平差的数学模型
函数模型：描述观测值与待求量间函数关系。 随机模型：描述观测值及其相互间统计相关关系。 (是通过观测值的数学期望和协方差阵（协因数阵）来表示，借以说明观测值是否受系
统误差的影响、观测值的精度及他们是否相关)
第三章 协方差传播律
七、应用协方差传播律时应注意的问题
（1）根据测量实际，正确的列出函数式； （2）全微分所列函数式，并用观测值计算偏导数值； （3）计算时注意各项的单位统一； （4）将微分关系写成矩阵形式； （5）直接应用协方差传播律，得出所求问题的方
一、必要观测与多余观测
几何量---高差、角度、边长、方位角、高程、坐标等 几何模型---控制网（高程网、平面网、三维网）
必要元素：唯一确定一个几何模型所必须观测的元素 必要观测数 t：唯一确定一个几何模型所必须观测的元素个数 *任一模型的t个必要元素相互独立 *确定一个几何模型时，不仅要考虑必要元素的个数，
还要考虑其类型
多余观测数（自由度） r：多于必要观测数 t的观测值的个数 r=n-t
*在测量工作中，必须有多余观测，每增加一个多余观测值， 就产生一个函数关系式---条件方程。
二、为什么要测量平差
n﹥t时，应满足的r个条件方程，由于观测值含有误差实际上 并不能满足，如何根据实际的闭合差对观测值进行处理， 以 便消除不符值，满足应有条件---------测量平差的任务之一。
Chapter.2 Error Distribution and Index of Precision
五、精度 准确度 精确度 观测值的质量取决于观测误差（偶然误差、 系统误差、粗差） 的大小。
1.精度:(precision) 描述偶然误差，可从分布曲线的陡峭程度 看出精度的高低。 2.准确度:(accuracy) 描述系统误差，可用观测值的真值与观测 值的期望之差来描述，即
2、偶然误差的分布
第二章 误差分布与精度指标
第二章 误差分布与精度指标
第二章 误差分布与精度指标
第二章 误差分布与精度指标
第二章 误差分布与精度指标
• 3、偶然误差的统计特性
由统计分析可以看出，偶然误差具有以下特性： 1、在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值有一定
的限值，即超过一定的限值的偶然误差出现的概 率为零； 2、绝对值较小的偶然误差比绝对值较大的偶然误差 出现的概率大； 3、绝对值相等的正负偶然误差出现的概率相同； 4、偶然误差的理论平均值为零
对上式求全微分，得
第三章 协方差传播律
第三章 协方差传播律
由误差传播定律得：
第三章 协方差传播律
六、协方差传播律的应用
1、水准测量的精度
第三章 协方差传播律
2、距离丈量的精度 3、同精度独立观测值算术平均值的精度
例2：一直距离AB=100m，丈量4次平均值的中误 差为2cm，若以同样的精度丈量距离CD=900m，求
第三章 协方差传播律
十、由真误差计算中误差及其实际应用
1、用不同精度的真误差计算单位权方差 2、由真误差估求方差的实际应用
（1）由三角形闭合差求测角中误差 （2）由双观测值之差求中误差
第三章 协方差传播律
例：设分5段测定两水准点之间的高差。每段各测两次
第三章 协方差传播律
十一、系统误差和偶然误差的联合影响
第三章 协方差传播律（spread of covariance）
几个概念
1、直接观测量(direct observation) 2、非直接观测量---观测值的函数
水准测量 导线测量 三角形内角平差值 3、独立观测值（independent observation） 4、非独立观测值---相关观测值（correlation
差—协方差矩阵
第三章 协方差传播律
八、权及定权的常用方法
• 权的概念
一定的观测条件对应着一定的误差分布，而一定的 误差分布就对应着一个确定的方差，方差是表征 精度的一个绝对的数字指标，为了比较各观测值 之间的精度，除了可以应用方差之外，还可以通 过方差之间的比例关系来衡量观测值之间的精度 的高低，这种表示各观测值方差之间的比例关系 的数字特征成为权，所以权是表征精度的相对的 数字指标
2、单位权中误差 3、测量中常用的方法
（1）水准测量的权 （2）同精度观测值的算术平均值的权 （3）距离丈量的权 （4）三角高程测量的权
第三章 协方差传播律
九、协因数和协因数传播律
1、协因数 2、协因数阵 3、协因数阵的特点 4、互协因数阵 5、权阵
协因数、协因数阵、互协因数阵,权阵
设有观测值
Li、
LJ
，方差为
2 xi
、
2 xj
定义：
Qii
2 i
2 0
1 pi
, 权倒数
Q
2 j
1
jj
2 0
pj
，协方差为 xi x j
Qij
ij ，相关权倒数
2 0
设有观测值 向量变 X、 Y ，它们的协方差阵和互协方差阵
n ,1
r ,1
Q , 权逆阵 D D 分别为
、
XDX XX YY
XX n,n
DXX
x2
x1
...
2 x2 ...
... ...
x2xn
...
E[(X
uX
)(X
uX
)T
]
xnx1
xnx2
...
2 xn
X 观测值向量，或观测值
u X 为X的数学期望组成的向量
DXX 为X的方差--协方差阵,简称协方差阵(covariance matrix)
X Y u *
观测值向量
... ...
... xnyr
Chapter.2 Error Distribution and Index of Precision
Chapter.2 Error Distribution and Index of Precision
Chapter.2 Error Distribution and Index of Precision
Chapter 3. spread of covariance
二、多个观测值线性函数的方差-协方差阵
若观测向量的多个线性函数为
Chapter 3. spread of covariance
于是，观测向量的多个线性函数可写为 若还有观测向量的另外r个线性函数
其矩阵形式为：
Chapter 3. spread of covariance
observation） 独立观测值各个函数之间不一定独立
5、误差传播律 6、协方差传播律
Chapter 3. spread of covariance
一、观测值线性函数的方差 +两观测值线性函数的协方差
设观测向量L及其期望和方差为：
Chapter 3. spread of covariance
第三章 协方差传播律
1、权的定义
权的意义，不在于其数值的大小，重要的是他们之 间的比例关系
第三章 协方差传播律
由此看出，随着选定的
不同，P的绝
对值也不同，但它们之间的比例关系不变，
所以权的数值不是绝对的，只有相对的意
义，也就是说，我们不在乎权本身数值的
大小，而在乎确定它们之间的比例关系。
第三章 协方差传播律
Chapter.2 Error Distribution and Index of Precision
xy E [X ( E (X )Y ( E (Y )]
Chapter.2 Error Distribution and Index of Precision
四、随机向量(观测值向量）的数字特征 1、随机向量 2、随机向量的数学期望 3、随机向量的方差-协方差阵 协方差阵的定义
Chapter.2 Error Distribution and Index of Precision
• 3、精确度：
描述偶然误差、系统误差和粗差的集成， 精确度可用观测值的均方误差来描述，即：
当
时，即观测值中不
存在系统误差，亦即观测值中只存在偶然
误差时，均方误差就等于方差，此时精确
度就是精度。
第三章、平差数学模型和最小二乘法
第三章 协方差传播律
当观测值相关时，协因数阵主对角线上的元 素仍为观测值的权倒数。而权阵主对角线 上的元素不是观测值的权。
第三章 协方差传播律
6、协因数传播律 （1）、线性函数 （2）、非线性函数 （3）、权倒数传播律 例1：求算术平均值的权 例2：求加权平均值的权
第三章 协方差传播律
第三章 协方差传播律
第三章 协方差传播律
• 权的概念
权是权衡轻重的意思，其应用比较广泛，应用到测 量上可作为衡量精度的标准，如有一组观测值是 等精度的，那么，在平差时，应该将他们同等对 待，因此说这组观测值是等权的，而对于一组不 等精度的观测值，在平差时，就不能等同处理， 容易理解，精度高的观测值在平差结果中应占较 大的比重，或者说，应占较大的权，所以平差时， 对于一组不等精度的观测值应给予不同的权。
5、误差的处理办法
第一章
绪论
二、测量平差的简史和发展
三、测量平差的两大任务及本课程的主要内 容
第二章 误差分布与精度指 标
Error Distribution and Index of Precision
• 一、偶然误差的规律性 1、随机变量（stochastic variable）--偶然误 差
n ,1
和
r ,1
，它们的数学
期望分别为
u
和
X
Y
，记
ZX,则 Z的方D 差 ZZ D 阵 XX 为 D XY
Y
D YX D YY
其中：DXY 阵
=
E [X (uX)Y (uY)T]
为X关于Y的互协方差
x1y1
DXY
x2y1
...
xny1
x1y2 x2y2
...
xny2
...
x1yr
...
x2yr
第二章 误差分布与精度指标
二、随机变量的数字特征 （1）反映随机变量集中位置的数字特征---
数学期望 （2）反映随机变量偏离集中位置的离散程度
---方差 （3）反映两两随机变量x、y相关程度的数字
特征---协方差
第二章 误差分布与精度指标
Chapter.2 Error Distribution and Index of Precision
三、几种基本的平差方法的线性函数模型
1、条件平差法：以条件方程为函数模型
F ( L~ ) 0 A L~ A 0 0 A W 0
2、间接平差法：以误差方程为函数模型
L~ F ( X~ ) L~ B X~ d B X~ l
3、附有参数的条件平差法:以含有参数的条件方程为函数模型
F ( L~ , X~ ) 0 A L~ B X~ A 0 0 A B X~ W 0
2 0
、
，定义：
DXY
Q DYY
YY r ,r
2 0
Q XY
n,r
D XY ，相关权逆阵
2 0
P Q 1
第三章 协方差传播律
协因数与权互为倒数，协因数阵与权阵互为 逆矩阵，协因数阵对角线上的元素为各变 量的权倒数，是否可由此说权阵对角线上 的元素即为观测向量的权？
当观测值互不相关时，权阵为对角阵，主对 角线上的元素为观测值的权
4、附有限制条件的间接平差：误差方程+约束条件方程
L~ F ( X~ ) ( X~ ) 0 B X~ l C X~ W x 0
四、平差的随机模型
D0 2Q0 2P1
则有：
三、两个函数向量的互协方差阵（Y关于 Z）
第三章 协方差传播律
第三章 协方差传播律
四、非线性函数的情况
设有X的非线性函数 Z=f（X）=f（X1、 X2，… Xn )
将非线性函数线性化即可：全微分 例：
第三章 协方差传播律
五、多个观测向量非线性函数的方差—协方差矩阵 设观测向量的t个非线性函数为：
4、互协方差阵 互协方差阵的定义
*设有n个不同精度的相关观测值xi（i=1，2,…n),它们的数学
期望和方差为u
用矩阵表示:
xi
,
2 xi
,两两间的协方差为xixj (i j)
x1
u
x1
X
x2
, ...
uX
ux2
...
E(X )
xn
Fra Baidu bibliotek
uxn
2 x1
x1x2
...
x1xn
一、观测误差第（O一bs章ervation 绪Erro论r）
1、为什么要进行观测 必要观测、多余观测 2、误差存在的现象 3、误差产生的原因
观测条件：观测仪器、观测者、外界条件
4、误差的分类 粗差（gross error），系统误差
（systematic error），偶然误差（random error、 accident error ）
测量平差过程：先建立数学模型（函数模型和随机模型），然 后按一定的平差原则待求量进行估计，最后进行精度评定。
三、测量平差的数学模型
函数模型：描述观测值与待求量间函数关系。 随机模型：描述观测值及其相互间统计相关关系。 (是通过观测值的数学期望和协方差阵（协因数阵）来表示，借以说明观测值是否受系
统误差的影响、观测值的精度及他们是否相关)