函数的奇偶性与周期性-高考文科数学专题练习

一、填空题

1．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1

，若f (a )＝23，则f (－a )＝________. 解析：根据题意，f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，而h (x )＝x x 2＋1

是奇函数， 故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－[1＋h (a )]＝2－f (a )＝2－23＝43.

答案：43

2．若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R)是偶函数，值域为(－∞，4]，则该函数的解析式为f (x )＝________.

解析：由f (x )＝bx 2＋a (b ＋2)x ＋2a 2是偶函数，可得a (b ＋2)＝0.又其值域为(－∞，4]，∴b <0，且2a 2＝4，从而b ＝－2，∴f (x )＝－2x 2＋4.

答案：－2x 2＋4

3．若f (x )＝12x －1

＋a 是奇函数，则a ＝________. 解析：∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，

则12－x －1＋a ＝－(12x －1

＋a )，∴a ＝12. 答案：12

4．定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1

<0，则f (3)，f (－2)与f (1)的大小关系是________．

解析：由已知f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1

<0，得f (x )在[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f (3)

答案：f (3)

5．已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都

有xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )，则f (32)＝_ _______.

解析：由xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )，x ∈R ，

令x＝－1

2，得－

1

2f(

1

2)＝

1

2f(－

1

2)．

又f(x)为偶函数，∴f(1

2)＝0.

又令x＝1

2，得

1

2f(

3

2)＝

3

2f(

1

2)，∴f(

3

2)＝0.

答案：0

6．设函数f(x)＝x(e x＋a e－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________．

解析：因为f(x)是偶函数，所以恒有f(－x)＝f(x)，

即－x(e－x＋a e x)＝x(e x＋a e－x)，

化简得x(e－x＋e x)(a＋1)＝0.

因为上式对任意实数x都成立，所以a＝－1.

答案：－1

7．偶函数f(x)是以4为周期的函数，f(x)在区间[－6，－4]上是减函数，则f(x)在[0,2]上的单调性是________．

解析：∵T＝4，且f(x)在[－6，－4]上单调递减，

∴函数在[－2,0]上也单调递减，

又f(x)为偶函数，故f(x)的图象关于y轴对称，

由对称性知f(x)在[0,2]上单调递增．

答案：单调递增

8．定义在R上的奇函数f(x)，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则不等式f(x)<－1的解集是________．

解析：∵f(x)是奇函数，

∴x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－log2(－x)．

当x>0时，f(x)<－1，即log2x<－1，得0

当x<0时，f(x)<－1，即－log2 (－x)<－1，得x<－2.

故解集为(－∞，－2)∪(0，1 2)．

答案：(－∞，－2)∪(0，1 2)

9．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎨⎧

3x －1， x ≤0，f (x －1)－f (x －2)， x >0，则f (2 016)＝________.

解析：x >0时，f (x )＝f (x －1)－f (x －2)，f (x ＋1)＝f (x )－f (x －1)，相加得f (x ＋1)＝－f (x －2)，即f (x ＋3)＝－f (x )，所以f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )；进而f (2 016)＝

f (336×6)＝f (0)＝3－1＝13.

答案：13

二、解答题

10．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ －x 2＋2x ，x >0，0， x ＝0，

x 2＋mx ， x <0

是奇函数．

(1)求实数m 的值； (2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解析：(1)设x <0，则－x >0，

所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .

又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，

于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.

(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，

结合f (x )的图象知⎩⎨⎧

a －2>－1，a －2≤1，

所以1

11．已知f (x )＝x －a x 2＋bx ＋1是奇函数． (1)求a ，b 的值；

(2)求f (x )的单调区间，并加以证明；

(3)求f (x )的值域．

解析：(1)∵f (x )＋f (－x )＝0恒成立，

即x －a x 2＋bx ＋1－x ＋a x 2－bx ＋1

＝0恒成立，