距离和时间的测算

Case 12. 距离和时间的测算
一、距离定义
（1）两点间的距离：
1）欧氏距离：如果研究区的地理范围较小（如一个城市或一个县域单元），直角坐标系下两个结点(x 1, y 1) 、 (x 2, y 2)之间的欧氏距离可以近似地表作：。

如果研究区范围较大（如一个州或一个国家），则需要计算大地距离，要考虑到地球的曲面。

两点之间的大地距离是假设地球为球形时两点之间的最大圆弧的长度。

已知两点的地理经纬度坐标
以弧度计为(a , b )、(c , d )，他们之间的大地距离为：)cos *cos *cos sin *cos[sin *12a c d b d b a r d -+=。

这里，r 为地球半径（约为6,367.4 km ）。

2）曼哈顿距离：是度量那些路网类似纽约曼哈顿区(正北正南直东直西)距离。

曼哈顿距离是x 和y 方向距离之和。

曼哈顿距离是直角三角形中的弦, 欧氏距离为勾股之和。

例如，直角坐标系下，
两点(x 1, y 1)、 (x 2, y 2)之间的曼哈顿距离记为：||||212112y y x x d -+-= 由式||||212112y y x x d -+-=定义的曼哈顿距离只在一个较小地区内（例如一个城市）才有意
义。

3）网络距离：是基于实际路网（如公路网，铁路网）的最短路径（或最短时间或最小成本）距离。

网络由一组结点及连接结点的线段（边或连接线）组成。

如果线段方向是确定的（如单向的街道），我们得到一个定向网络。

一个没有确定方向的网络可以看作定向网络的一种特例，即每条线段有两个可能的方向。

最短路径问题就是寻找从某个起点到某个终点之间的最短路径，即在给定线段阻滞（如旅行速度）的情况下距离最短或时间（费用）最省。

最短路径问题有多种解决办法，最典型的是标号法。

DijKstra 算法基本思路：
①令起点K 标号为零，其它结点标号为∞。

②对未被定标的结点全部给出暂时标号，其值为min[ j 的旧标号，(i 的旧标号＋w iJ )]。

（i 是前一步刚被标定的结点， w iJ 是边e iJ 的权。

）
③找出所有暂时标号的最小值，用它作为相应结点的固定标号。

如果存在几个有同一最小标号值的结点，则可任取一个加以定标。

④重复②和③，直至指定的终点L 被定标时为止。

注：用DijKstra 算法可直接得到由起点K 到其它结点的最短路径长度，即为该结点的定标数值。

“回溯法”求最短路径。

下图为某一带权有向图，若对其施行Dijkstra 算法，则所得从V 0到其余各顶点的最短路径以及运算过程中距离的变化情况如下表所示。

（2）点到线目标的距离：
为求得点到线目标的距离，首先要确定该点到一直线段的距离。

设有一直线段L ，两端点的坐标为（x A , y A ）和（x B , y B ），另一点P 的坐标为（x P , y P ）。

点P 到直线L 的线距离为
22/b a c by ax D p p +++=。

若点在两端点的外边，即垂足在AB 两点的延长线上，只能求得点到直线延长线的距离。

GIS 中通常要求点到一条线目标（包含多条折线段）的距离，这时求点到线目标的距离是先求点到各条折线段的距离（不是延长线上的距离），然后进行比较，距离最小的值即为点到该线目标的距离，或计算点到一个线状目标顶点的距离。

如下图所示：
（3）点到面状目标的距离：
由于面状物体在地理空间上表示一定的范围，由无数个点构成，因此点到面的距离可以看作是点到面中特征点的距离，点状物体P 到面状物体A 的距离大致包括以下几种情况，如下图所示：（a ）以点P 到面A 中一特定点P 0（如重心）的距离表示点P 与面A 间的距离，称为中心距离；（b ）点P 与面A 中所有点之间最短的距离，称为最短距离；（c ）点P 到面A 中所有点之间最大的距离，称为最大距离。

中心距离与点点距离一致，最小距离和最大距离也与点线距离的计算类似。

点面间距离中的最
小和最大距离可以适合不同情况，如在森林防火中，任何火源（点）距森林（面）的距离必须大于一个安全临界值，这个值只能用最小距离来描述；在无线电覆盖范围分析中，为了保证信号能被给定区域内任意点所接收，则必须使用最大距离。

（4）线状物体间距离：
两个线状物体L 1、L 2间的距离可以定义为L 1上的点P 1),(11y x 与L 2上的点P 2),(22y x 间距离的极小值，即，),,min(22112
1L P L P d d d P P ∈∀∈∀=。

上图中L 1、L 2均为折线，故对d 的计算可以先计算出L 1、L 2中折线段对之间的距离，然后再从
中选出极小值。

图中给出了L 1、L 2两个端点之间的垂线及连线，则L 1L 2之间的距离为
),,,,,,min(12Dd Bb BD BC Aa AD AC d =，其中，AC 为线段AC 的长度，其余类推。

显然上图中Aa d =12，如果L 1L 2相交，则012=d 。

（5）面状目标物间的距离：
空间两面状目标物间的距离有三种形式：最短距离、最大距离和重心距离。

最短距离是以两目标物最接近点的距离作为两目标物间的距离；最大距离是以最远点的距离作为两目标物间的距离；重心距离是两目标物重心间的距离，如下图所示。

面状物体是以折线序列表示的，在假定计算的目标物的相互关系均为不相交的情况下，面状物体间的距离可以仿照线状物体间距离的计算方法。

二、距离和时间测算：
数据：City4（东北4大城市）、County203（东北203个县）、Railway（铁路）
1）欧氏距离测算：A.计算County203的重心；B.利用“点距离（Point Distance）”工具，生成表PointDist.dbf，并把距离转换为以千米为单位。

2）曼哈顿距离测算：分别把XY坐标添加到City4和County203的属性表中，然后把它们分别连接到PointDist.dbf中，以曼哈顿距离计算公式（Abs ( [Centroid.POINT_X] - [City4.POINT_X] ) /1000 +Abs ( [Centroid.POINT_Y] - [City4.POINT_Y] ) /1000）计算之，要求单位为千米。

3）交通路网距离测算：计算思路：城市X与县Y之间的路网距离 = 城市X到离其最近的铁路节点M的距离 + 县Y到离其最近的铁路节点N的距离 + 铁路节点M和铁路节点N间的路网距离。

步骤：A.利用“点距离（Point Distance）”工具生成中心城市和县重心点之间的距离矩阵，用途为作为连接框架；B.利用“要素折点转点”工具生成铁路线要素的折点RailVertice（包括起始点和所有中间节点）；C.利用最近设施工具，把RailVertice作为设施点，把City4（东北4大城市）作为事件点，查找离4大城市最近的铁路节点；D.利用最近设施工具，把RailVertice作为设施点，把County203（东北203个县的重心）作为事件点（增大搜索距离确保203个县重心均定位），查找离203个县重心最近的铁路节点；E.提取步骤C中的铁路节点和步骤D中的铁路节点，利用OD 成本矩阵工具生成它们的成本矩阵，该矩阵的成本值即为铁路节点间的路网距离；F.把步骤C、D、E中的三段距离连接到步骤A中的距离矩阵中，求和即为为城市与县重心点间的交通路网距离。

注意：因步骤D中的铁路节点有重复的，如果不想连接到步骤A中的距离矩阵，而是连接到“县铁路口-城市铁路口”OD成本矩阵中，则需进行如下处理：
E.提取步骤C中的铁路节点和步骤D中的铁路节点(步骤D中的铁路节点有重复的，重复的提取时要复制，即步骤D中的都要，同时把县ID也保留，将来连接用县ID字段而不能用铁路节点字段)，利用OD成本矩阵工具生成它们的成本矩阵，该矩阵的成本值即为铁路节点间的路网距离；
F.用县ID字段把D中的县与最近铁路节点间的距离连接到OD成本矩阵中；
G.利用距离城市最近的铁路节点ID字段把步骤C中的距离连接到OD成本矩阵中；
H.汇总三段距离即为城市与县重点点间的交通路网距离。