矩阵的基本运算
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§2.2 矩阵的基本运算
1、运算定义&运算规则 2、矩阵应用举例
A
1
1、运算定义&运算规则
同型矩阵与矩阵相等的概念 1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.
例如
1 5
62 与 184
3 4
为同型矩阵.
3 7 3 9
2.两个矩阵 Aaij 与 Bbij 为同型矩阵,并且对应
的元素相等,即
a i jb i i j 1 , 2 , , m ; j 1 , 2 , , n ,
则称矩阵A与矩阵B相等，记作 AB
A
2
❖矩阵的加法
设有两个mn矩阵A(aij)和B(bij) 矩阵A与B的和记 为AB 规定为AB(aijbij ) 即
a11b11 a12b12 a1n b1n
2an2
L na1n
L
na2n
M M
L
nann
nn
A
11
a1
b1
a2
b2
O
O
an nn
bn nn
a1b1
a2b2 O
anbn nn
结论 两个n 阶对角阵之积仍为n 阶对角阵.
结论 两个n阶上（下）三角阵A之积仍为n阶上（下）三角阵12 .
❖矩阵乘法的运算规律 (1 )结 合 律 :(A B )C A (B C )
s
cijai1b 1jai2b 2jLaisb sj aikb kj k 1
(i 1 ,2 ,L m ;j 1 ,2 ,L ,n )
把此乘积记作 CAB
例如
C2 4 2 4 16?32
1 2223A 622
8
16 22 6
1 0
例
若
A
1
1
0 5
求AB.
1 2
3
0
1 4
0
B
1
3
1
3 2 1 2
ans ns
1a11
2a21
M
nan1
1a12 2a22
M
nan2
L 1a1s
L
2a2s
M M
L
nans
ns
A
10
a11 a12 L a1n 1
a21
a22 L a2n
2
M M M M
O
an1 an2 L annnn
nnn
1a11
1a21
M
1an1
2a12 2a22
M
但也有例外，比如设 A 2 0, B 1 1,
0 2
1 1
则有
AB
2 2, 2 2
BA
2222
A B B.A
定义 满足AB=BA的矩阵称为可交换的.
结论 两个同阶对角矩阵是可A 交换的.
14
结论 n阶单位矩阵与任意n阶矩阵是可交换的.即
EA=AE=A
证明
设
A
aij
为任意n阶矩阵,则有
ABaam211bbm 211
a22b22
am2 bm2
a2n b2n
am nbm
n
注 只有当两个矩阵是同型矩阵时, 才能进行加法运算.
10 3 5 1 8 9 101 38 59 1 1
1
3
9 3
0 6 8 3
5 2
4 1
16 33
9 5 3 2
04
7
81 6
1
1
1 1
1 1
两个非零矩阵的 乘积可能是零矩阵
则
A
B
0
0
0
0
BA
2
A
2
2
ABBA
2
13
问题 矩阵不满足交换律，可能有哪几种情形？ (1)AB有意义，但BA没意义； (2)AB与BA都有意义，但可能不是同阶方阵； (3)两者都有意义，且为同阶方阵，但仍有可能不相等.
结论 在矩阵的乘法中必须注意矩阵相乘的顺序 “左乘” & “右乘”
nn
1
EA
1
O
a11 a12 L
a
21
a 22
L
L L L
1
an1
an2
L
a1n
a 2 n
L
aij
A
nn
ann
a11 a12 L
AE
a21 L
a22 L
L L
an1 an2 L
a1n 1
a
2
n
1
L
O
ann
A
aij
A
nn
1
15
注 此例表明单位矩阵在矩阵乘法中的地位与数1在数 的乘法中的地位相当. 即
(2 )分 配 律 :A (B ＋ C ) A B A C (左乘分配律)
(B ＋ C )A B A C A (右乘分配律)
( 3 ) ( A B ) ( A ) B A ( B ) ( 其 中 为 常 数 )
(4) A EE AA
注 矩阵乘法不满足交换律,即 ABBA
例如
设
A
1
1
,
B
5
8
0
2
5
8
0
2
13310 1 3 734 10 1 3 7 34
1
1 2 1 4
5
10
8 1
0 3
2 734
1
1
A
1
144
5 10
2 8
1
1 0 3
4
2
7
9
34
1
2
a11 a12 L a1s
a21
a22
L
a2s
O M M M M
nnnan1
an2
L
am1
aam2nn.
❖矩阵数乘的运算规律
(1) 1AA;
(2)()A (A );
(3 )( )A A A ; (4 )(A B ) A B .
矩阵相加与数乘矩阵合起来A,统称为矩阵的线性运算. 5
❖矩阵乘法
设 A (a ij )是一个m×s矩阵, B (bij ), 是一个s×n矩阵, 那么规定矩阵A与矩阵B的 乘积是一个m×n 矩阵 C (cij ), 其中
4 35 21 6 1 22 23 2 4 35 21 6 1 2 2 2 3 2 1 30 3 3 1
A
4
❖矩阵的数乘
数 与A 矩 的阵 乘 A 或 积 A ,规 记 定 作 为
a11 a12 a1n
Βιβλιοθήκη Baidu
A A aam211
a22
A
11 4
4
4
1 9
3
❖矩阵加法的运算规律 设A B C都是mn矩阵 则 (1) ABBA (2) (AB)CA(BC)
设矩阵A(aij) 记A(aij) A称为矩阵A的负矩阵； 另，把元全为零的矩阵称为零矩阵，记作O；
(3) A= A+O = O+A
由此，规定矩阵的减法为ABA(B)，例如
例如
1 3 5
2 2 8
19316
6 0
8 不存在. 1
乘积AB 维的关系
A
B
m n
n s
C ms
=
A
8
注 两个矩阵相乘, 乘积有可能是一个数.
1
2
3
3 2
1 3 2 2 3 1 10.
1
练习 计算下列矩阵的乘积，并观察结果.
1
1 2 1 4 1 2 1 4
1
4
1
1
1
解
因A aij
,B
34
bij
,故C
43
cij
.
33
1 CAB1
0
0 1 5
1 3 1
4021031
3 2 1 2
4 1 1 1
5 6 7
10 2 6 .
2 17 1A0
7
注 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行 数时，两个矩阵才能相乘.
——A可左乘B的可相乘条件.
1、运算定义&运算规则 2、矩阵应用举例
A
1
1、运算定义&运算规则
同型矩阵与矩阵相等的概念 1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.
例如
1 5
62 与 184
3 4
为同型矩阵.
3 7 3 9
2.两个矩阵 Aaij 与 Bbij 为同型矩阵,并且对应
的元素相等,即
a i jb i i j 1 , 2 , , m ; j 1 , 2 , , n ,
则称矩阵A与矩阵B相等，记作 AB
A
2
❖矩阵的加法
设有两个mn矩阵A(aij)和B(bij) 矩阵A与B的和记 为AB 规定为AB(aijbij ) 即
a11b11 a12b12 a1n b1n
2an2
L na1n
L
na2n
M M
L
nann
nn
A
11
a1
b1
a2
b2
O
O
an nn
bn nn
a1b1
a2b2 O
anbn nn
结论 两个n 阶对角阵之积仍为n 阶对角阵.
结论 两个n阶上（下）三角阵A之积仍为n阶上（下）三角阵12 .
❖矩阵乘法的运算规律 (1 )结 合 律 :(A B )C A (B C )
s
cijai1b 1jai2b 2jLaisb sj aikb kj k 1
(i 1 ,2 ,L m ;j 1 ,2 ,L ,n )
把此乘积记作 CAB
例如
C2 4 2 4 16?32
1 2223A 622
8
16 22 6
1 0
例
若
A
1
1
0 5
求AB.
1 2
3
0
1 4
0
B
1
3
1
3 2 1 2
ans ns
1a11
2a21
M
nan1
1a12 2a22
M
nan2
L 1a1s
L
2a2s
M M
L
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ns
A
10
a11 a12 L a1n 1
a21
a22 L a2n
2
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O
an1 an2 L annnn
nnn
1a11
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M
1an1
2a12 2a22
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但也有例外，比如设 A 2 0, B 1 1,
0 2
1 1
则有
AB
2 2, 2 2
BA
2222
A B B.A
定义 满足AB=BA的矩阵称为可交换的.
结论 两个同阶对角矩阵是可A 交换的.
14
结论 n阶单位矩阵与任意n阶矩阵是可交换的.即
EA=AE=A
证明
设
A
aij
为任意n阶矩阵,则有
ABaam211bbm 211
a22b22
am2 bm2
a2n b2n
am nbm
n
注 只有当两个矩阵是同型矩阵时, 才能进行加法运算.
10 3 5 1 8 9 101 38 59 1 1
1
3
9 3
0 6 8 3
5 2
4 1
16 33
9 5 3 2
04
7
81 6
1
1
1 1
1 1
两个非零矩阵的 乘积可能是零矩阵
则
A
B
0
0
0
0
BA
2
A
2
2
ABBA
2
13
问题 矩阵不满足交换律，可能有哪几种情形？ (1)AB有意义，但BA没意义； (2)AB与BA都有意义，但可能不是同阶方阵； (3)两者都有意义，且为同阶方阵，但仍有可能不相等.
结论 在矩阵的乘法中必须注意矩阵相乘的顺序 “左乘” & “右乘”
nn
1
EA
1
O
a11 a12 L
a
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L
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1
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L
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A
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1
L
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A
aij
A
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1
15
注 此例表明单位矩阵在矩阵乘法中的地位与数1在数 的乘法中的地位相当. 即
(2 )分 配 律 :A (B ＋ C ) A B A C (左乘分配律)
(B ＋ C )A B A C A (右乘分配律)
( 3 ) ( A B ) ( A ) B A ( B ) ( 其 中 为 常 数 )
(4) A EE AA
注 矩阵乘法不满足交换律,即 ABBA
例如
设
A
1
1
,
B
5
8
0
2
5
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0
2
13310 1 3 734 10 1 3 7 34
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1 2 1 4
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10
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0 3
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A
1
144
5 10
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2
a11 a12 L a1s
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L
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O M M M M
nnnan1
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L
am1
aam2nn.
❖矩阵数乘的运算规律
(1) 1AA;
(2)()A (A );
(3 )( )A A A ; (4 )(A B ) A B .
矩阵相加与数乘矩阵合起来A,统称为矩阵的线性运算. 5
❖矩阵乘法
设 A (a ij )是一个m×s矩阵, B (bij ), 是一个s×n矩阵, 那么规定矩阵A与矩阵B的 乘积是一个m×n 矩阵 C (cij ), 其中
4 35 21 6 1 22 23 2 4 35 21 6 1 2 2 2 3 2 1 30 3 3 1
A
4
❖矩阵的数乘
数 与A 矩 的阵 乘 A 或 积 A ,规 记 定 作 为
a11 a12 a1n
Βιβλιοθήκη Baidu
A A aam211
a22
A
11 4
4
4
1 9
3
❖矩阵加法的运算规律 设A B C都是mn矩阵 则 (1) ABBA (2) (AB)CA(BC)
设矩阵A(aij) 记A(aij) A称为矩阵A的负矩阵； 另，把元全为零的矩阵称为零矩阵，记作O；
(3) A= A+O = O+A
由此，规定矩阵的减法为ABA(B)，例如
例如
1 3 5
2 2 8
19316
6 0
8 不存在. 1
乘积AB 维的关系
A
B
m n
n s
C ms
=
A
8
注 两个矩阵相乘, 乘积有可能是一个数.
1
2
3
3 2
1 3 2 2 3 1 10.
1
练习 计算下列矩阵的乘积，并观察结果.
1
1 2 1 4 1 2 1 4
1
4
1
1
1
解
因A aij
,B
34
bij
,故C
43
cij
.
33
1 CAB1
0
0 1 5
1 3 1
4021031
3 2 1 2
4 1 1 1
5 6 7
10 2 6 .
2 17 1A0
7
注 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行 数时，两个矩阵才能相乘.
——A可左乘B的可相乘条件.