九年级数学比例线段的证明PPT优秀课件
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浙教版数学九年级上册 4.1 比例线段 课件(共20张PPT)
拓展提高：
1、若x:y:z=2:7:5，且x-2y+3z=6，则
x y z2
=
。
拓展提高：
2、若x : y : z 2 : 3: 4
，求 x y 3z
3x 2y
的值。
拓展提高： 3、已知 b c c a a b k ，求k的值。
ab c
课堂小结
等比
等积 等比
a:b=c:d
的图象必经过第 __________象限.
2. 若 a c e 2 , 求： bd f 5
(1) a c (2) 2a 3c 4e b d 2b 3d 4 f
(3) 比较(1),(2)的结论，你能发现什么规律?
x 15 4
3x 3 2x x3
把等比的形式转化成等积的形式。
看谁想的多：已知 a·d=b·c，你能得到哪些比例式？
a b
=
c d
a c
=
b d
交换内项，
d c
=
b a
d b
=
c a
交换外项，
c a
=
d b
c d
=
a b
左右调换，
b a
=
d c
b d
=
a c
上下颠倒。
猜一猜 验一验
例1 根据下列条件，求a : b的值
24
63
两个外项的积等于两个内项的积
∵ ∴
a 你能用从 b
ac
c d
推导出ad=bc 吗? 你能反过来推导吗？
∵ ad bc
bd
a bd c bd
∴
ad bd
bc bd
b
d
∴ ad bc
4.1.1成比例线段 课件(共16张PPT) 北师大版数学九年级上册
教师讲评
知识点2：成比例线段
四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d
的比，即
=
，那么这四条
线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段.
四条线段a，b，c，d成比例，有顺序关系，即a，b，c，d是成比例线段，则比
例式为a:b=c:d;a,b,d,c是成比例线段,则比例式为a:b=d:c.
分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把 表示成比值k，那么
（1）在 比或a:b中，a是比的前项，b是比的后项；
（2）两条线段的长度单位要统一；
（3）在同一单位下线段的比与选用的长度单位无关；
（4）线段的比是一个没有单位的正数.
= ，其中，线段AB，CD
=k，AB=k∙CD.
+
例 2: 若 − = ,则 : =. ________,
= __________.
例 3: 若
=
= = ,且 + + = ,则 + + 的值为
( B )
A.10
B.4
C.一4
D.一5
【题型三】解决实际问题
例4：已知同一时刻物高与影长成比例，现在有一棵很高的古树，
③成比例线段的基本性质是什么？
Fra bibliotek
（如果 = ，那么bc=ad；如果bc=ad（a，b，c，d都不为0），那么 = ）
1.教材习题：完成课本79页随堂 练习
2.作业本作业：完成对应练习
九年级数学比例线段PPT精品课件
注意:
1.若a:b=k , 说明a是b的k倍。
2.两条线段的比与所采用的长度单位
无关，但求比时两条线段的长度单
位必须一致。
3.两条线段的比值是一个没有单位的
正数。
4.除了a=b外,a:b≠b:a,
a b与
b 互为倒数
a
练习1: 判断. 已知 线段a=2cm , b=30mm那 么a,b两条线段的比是
a2 1 b=30=15
对吗? 为什么?
答: 不对.根据定义, 在同一长度单位 下,两条线段的长度的比叫做这两条 线段的比
练习2: 求下列各题中 a:b 的值
(1)a=2m , b=0.4m ;
(2)a=6cm , b=6m ;
(3)a=50mm , b=6cm ;
(4)a=3m , b=10mm .
a2
即 a:b=2:3或
b=3
如果改用米、毫米作为线段的长度单位， 那 么 a、 b两 条 线 段 的 比 分 别 是 ：
a 0.022米 a 20毫2 米 b=0.03 =3米 b=30毫 ＝3 米
２．比例的基本性质:
a c a d b c ( a ,b ,c ,d 都 不 为 零 ) bd
答: (1) a:b=5
(2) a:b=1:100
(3) a:b=5:6 (4) a:b=300
例2
已知：A、B两地的实际距离AB=250m 画在地图上的距离 A'B '=5cm
求：图上距离与实际距离的比 (即该地图的比例尺)
解：∵ AB=250m=25000cm
A'B'=5cm
A'B' 5
1
AB=2500=50000
4.1.2 比例线段 课件(共27张PPT)2023-2024学年浙教版九年级上册数学
=
.
，
要点提醒
(1)求两条线段的比必须选定同一长度单位，但比值与
单位的大小无关.
(2)两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总
是正数.
由右图我们还可以看到，线段OC与OC′
的比和线段AB与A′B′的比相等，也就是
′
=
.
′
′
一般地，四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，
第4章
4.1
相似三角形
比例线段
第2课时 比例线段
1
学习目标
2
课时导入
3
感悟新知
4
随堂检测
5
课堂小结
了解两条线段的比和成比例线段的概念.
会计算两条线段的比，并会判断四条线段是否成比例.
了解比例尺的概念，并能解决相关的实际问题.
重要提示：1.用方程思想寻找几何图形中四条线段成比例是常
用方法.
2.四条线段成比例可以解决一些实际问题，如地图上的某两
设实际距离为s，则
=
台北 基隆
，
∴s=35×9000000=315000000(mm)，
即s=315(km).
量得图中∠a=28°.
答：基隆市在高雄市的北偏东28°方向，
到高雄市的实际距离约为315 km.
北
台中
α
台南
高雄
比例尺 1∶9000000
练2 现在有一棵很高的古树，欲测出它的高度，但又不
长度之比.
(3)判：若这两个比值相等，则这四条线段是成比例线段；
若这两个比值不相等，则这四条线段不是成比例线段.
九年级下册数学 27.1.2成比例线段课件(共28张PPT)
当堂训练
比应是最 简的比
1.已知线段AB=2.5米，线段CD=400 厘米，则 5 ∶8 （1）线段AB和CD的比是 （2）这个线段的比的前项是 AB CD 后项是 。
；
，
（3）.已知a、b、c、d是成比例线段,且a=4cm, 6cm b=6cm,d=9cm,则c=____
a c 练习. 已知 b d ，
a c m a b d n b
.
Thank you!
2.下列各组数中成比例的是（ D ）
A. 2， 3， 4， 1
B. 1.5，2.5，6.5，4.5
2， 2， 4
C. 1.1，2.2，3.3，4.4 D. 1，
议一议：
比例的基本性质
a c ad bc = （1）能从 推导出 吗 ？ b d a c 吗？ （2）能从 ad bc 推导出 b d
a b b c
【例题】
【例1】判断下列线段a，b，c，d是否是成比例线段： （1）a＝4，b＝6，c＝5，d＝10.
【解析】 ∵ ，
∴
，
∴ 线段a，b，c，d不是成比例线段．
（2 ）a＝2，b＝
，c＝
，d＝
．
【解析】 ∵
∴
∴线段a，b，c，d是成比例线段．
课 堂 练 习 1.已知a=2，b=4.1，c=4，d=8.2,下面哪个选项 是正确的？( C ) A. d， b， a， c成比例 B. a，d，b， c成比例 C. a， c，b， d成比例 D. a，d，c，b成比例
如图，把五边形ABCDE缩小一定的倍 数就得到和它相似的五边形A´B´C´D´E´.
A
BE B´ C´ C D NhomakorabeaA´
九年级数学平行线分线段成比例课件
L1//L2//L3
AB BC
=
DE EF
A B
C
D E
L1
L2
F L3
(平行线分线段成比例定理)
! 注意:平行线分线段成比例定理得到的比例式中,
四条线段与两直线的交点位置无关!
基本图形：“8”字形
(1) AB DB BC BF
ab
A
D
l1
B
（E） l2
(2) AB DB
AC DF
C
F
l3
(3) BC BF AC DF
D=E1∥8BC，,D
AE = 10，
求：AD的长。
B
(B组)
A
2、如图: 已知AB⊥BD， ED⊥BD，垂足分别为 B B、D。
求证：—AECC— ＝ —BDC—C
E C
C
D
E
课堂小结，归纳提炼
1、平行线分线段成比例定理，三 条平行线截两条直线所得的对应 线段 成比例。
2、定理的形象记忆法。
3、定理的变式图形。
平行于三角形一边的直线与其
他两边相交，截得的对应线段
成比例
数学符号语言
DE //BC
AD AB
AE =AC
B
D
A
E
C
思考：
平行于三角形ห้องสมุดไป่ตู้边的直线 E
截其他两边的延长线，所 A
得的对应线段成比例。成
立吗？ 推论的数学符号语言：
B
∵ DE∥BC
∴ —AA—DB ＝ —AA—CE
D C
例：如图：在△ABC中E,F分别是AB和CD上的两点且
4、定理的初步应用。
自己活着，就是为了使别人过得更美好。
初中数学课件《比例线段
初中数学课件《比 例线段》
目录
• 比例线段的定义与性质 • 比例线段的判定与性质定理 • 比例线段与相似三角形的关系 • 比例线段的综合应用
01
比例线段的定义与性 质
比例线段的定义
比例线段的定义
如果四条线段a, b, c, d满足a/b=c/d ，则称这四条线段为比例线段。
比例线段的表示方法
比例线段的性质
相似三角形性质
在三角形中，如果两个角 相等，则对应的边成比例 ，即形成比例线段。
比例线段在生活中的应用
地图绘制
在地图上，不同地区的尺寸是通 过比例尺来表示的，而比例尺就
是应用了比例线段的原理。
建筑设计
在建筑设计中，常常需要使用比 例线段来设计建筑物的各个部分
，以确保整体的美观和协调。
摄影构图
在摄影中，摄影师常常使用比例 线段来构图，以使照片更加美观 和平衡。例如，黄金分割就是一 种常见的构图方法，它利用了比
在相似三角形中，对 应边之间的比例关系 即为比例线段。
相似三角形在实际问题中的应用
01
02
03
04
测量
利用相似三角形的性质，可以 测量无法直接到达的物体的高
度或距离。
建筑设计
在建筑设计过程中，可以利用 相似三角形来计算建筑物的尺
寸和比例。
物理学
在物理学中，可以利用相似三 角形来研究光学、力学等问题
。
工程学
在工程学中，可以利用相似三 角形来研究机械运动、流体动
力学等问题。
04
比例线段的综合应用
比例线段在几何图形中的应用
相似三角形
比例线段是判断三角形相似的重要依据，通过比较对应边长比例，可以判断两 个三角形是否相似。
目录
• 比例线段的定义与性质 • 比例线段的判定与性质定理 • 比例线段与相似三角形的关系 • 比例线段的综合应用
01
比例线段的定义与性 质
比例线段的定义
比例线段的定义
如果四条线段a, b, c, d满足a/b=c/d ，则称这四条线段为比例线段。
比例线段的表示方法
比例线段的性质
相似三角形性质
在三角形中，如果两个角 相等，则对应的边成比例 ，即形成比例线段。
比例线段在生活中的应用
地图绘制
在地图上，不同地区的尺寸是通 过比例尺来表示的，而比例尺就
是应用了比例线段的原理。
建筑设计
在建筑设计中，常常需要使用比 例线段来设计建筑物的各个部分
，以确保整体的美观和协调。
摄影构图
在摄影中，摄影师常常使用比例 线段来构图，以使照片更加美观 和平衡。例如，黄金分割就是一 种常见的构图方法，它利用了比
在相似三角形中，对 应边之间的比例关系 即为比例线段。
相似三角形在实际问题中的应用
01
02
03
04
测量
利用相似三角形的性质，可以 测量无法直接到达的物体的高
度或距离。
建筑设计
在建筑设计过程中，可以利用 相似三角形来计算建筑物的尺
寸和比例。
物理学
在物理学中，可以利用相似三 角形来研究光学、力学等问题
。
工程学
在工程学中，可以利用相似三 角形来研究机械运动、流体动
力学等问题。
04
比例线段的综合应用
比例线段在几何图形中的应用
相似三角形
比例线段是判断三角形相似的重要依据，通过比较对应边长比例，可以判断两 个三角形是否相似。
北师大版九年级数学上册4.1 成比例线段课件 (共21张PPT)
AB = BC = CA，=且3
DE EF FD 4
△ABC的周长为18 cm，求△DEF的周长.
解：∵ AB = BC = CA = 3 ， DE EF FD 4
AB + BC + CA = AB = 3 . DE + EF + FD DE 4
（ 4 AB BC CA） （3 DE EF FD）. 又 AB BC CA 18， DE EF FD 18 4 24，
C'
C
线段AB与A'B'长度的比叫两条线段的比，即AA'BB'
=
m， n
或者AB : AB m : n(其中m，n分别为AB，AB的长度)，
AB与A'B'分别叫做这个线段比的前项和后项.
注意：〔1〕求两条线段的比要统一长度单位； 〔2〕线段的比有顺序性.
讲授新课，探索新知
B A
A' B'
C' C
3 即△DEF的周长为24 cm.
讲授新课，探索新知
例2 在△ABC和△DEF中，
AB = BC = CA，=且3
DE EF FD 4
△ABC的周长为18 cm，求△DEF的周长.
问题思考：
(1) AB BC 3 吗？ DE EF 4
(2) BC CA 3 吗？ EF FD 4
(3)如果AB +BBCC=101c0mcm，,
讲授新课，探索新知
例1 一块矩形绸布的长AB=a m，宽AD=1 m，按 照图中所示方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使 裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比 相同，即 AE AD , 那么a的值应当是多少？
初中数学九年级上册《22.1 比例线段》PPT课件 (8)
证明：∵DE∥BC
∴AB/BD=AC/CE（平行于三角形一边 的对直 应线 线截 段其 成他 比两例边。（）或两边的延长线），所得A 的
即15/4=9/CE ∴CE=12/5 ∴AE=AC+CE
B
C
D
图6
E
课堂练习（1）及答案
已知：DE∥BC，AB＝14，AC＝18，AE＝10 求：AD的长？
解：∵DE∥BC
B
一般到特殊
C
B
图3
图5
X （字母 型）
C
比例式 成立，因为 图形中有关的对应线段均没改变
教学设计（3）
猜想：⑴在图4、图5中，原题的条件（三条平行线）发
生了什么变化？⑵结论有没有变？⑶猜一猜，你能发
现什么规律？
A D
部分线擦去,
E 一取般一到部特分殊 D
A （1）三条平行线剩下两条，且变 为三角形的一边和截三角形另两
两边的延长线），所得的对应线段成比例。
A
F
A
D
E
D
B
C
图4
若DE∥BC
B
图5 C
若AF∥BC
4.符号语言:
则：
字母 A 型
则：
字母 X 型
补充练习
1.已知:点E在平行四边形ABCD的边AB的 延长线上，DE分别交AC、BC于点F、G， 在图中找出字母A型图A、字母X型图D。
F
B
G
C
E
答案（3）
字母A型图
2、学会用“动态”的观点去解决研究问 题。
3、欣赏模型“字母A型、字母X型”的理性 美、结构美，诱发学习数学的激情，感受数学 的美学文化，培养学生“自主实践、自主探索、
《比例线段》课件1(12张PPT)(沪科版九年级上)
．
a b ， 2．已知： 线段a、b、c满足关系式 b c 且b＝4，那么ac＝______．
a 3 ab 3．已知 b 2 ，那么 b
a 各等于多少？ ab
、
1．判断下列各组线段是否是成比例线段： （1） 2厘米，3厘米，4厘米，1厘米； （2） 1．5厘米，2．5厘米，4．5厘米，6．5厘米； （3） 1．1厘米，2．2厘米，3．3厘米，4．4厘米； （4） 1厘米，2厘米，2厘米，4厘米．
BC BC AB ＝________，这样 与B C B C A B
AB 由下面的格点图可知， A B ＝_________，
之间有关系_______________
图 24.2.1
像这样，对于四条线段a、b、c、d，如果 其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的 a c 比， 如 b d （或a∶b＝c∶d），那么，
ab cd ∴ b ． d
（2）合比性质
a c 若 b = d ,则 a+b = c+d b d
（，那么 a b c d b d
∴ ad＝bc， 在等式两边同加上ac， ∴ ad＋ac＝bc＋ac， ∴ ac－ad＝ac－bc， ∴ a（c－d）＝（a－b）c， 两边同除以（a－b）（c－d）， a c ∴ ab cd
（2）a＝2，b＝ 5 ，c＝ 2 15，d＝5 3 ．
a 2 2 5 c 2 15 2 5 （2 ） ∵ b 5 d 5 3 5 5
a c ∴ b d
，
∴
线段a、b、c、d是成比例线段．
对于成比例线段我们有下面的结论：
如果
（a、b、c、d都不等于0），那么
．
a c ，那么ad＝bc．如果ad＝bc b d a c
a b ， 2．已知： 线段a、b、c满足关系式 b c 且b＝4，那么ac＝______．
a 3 ab 3．已知 b 2 ，那么 b
a 各等于多少？ ab
、
1．判断下列各组线段是否是成比例线段： （1） 2厘米，3厘米，4厘米，1厘米； （2） 1．5厘米，2．5厘米，4．5厘米，6．5厘米； （3） 1．1厘米，2．2厘米，3．3厘米，4．4厘米； （4） 1厘米，2厘米，2厘米，4厘米．
BC BC AB ＝________，这样 与B C B C A B
AB 由下面的格点图可知， A B ＝_________，
之间有关系_______________
图 24.2.1
像这样，对于四条线段a、b、c、d，如果 其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的 a c 比， 如 b d （或a∶b＝c∶d），那么，
ab cd ∴ b ． d
（2）合比性质
a c 若 b = d ,则 a+b = c+d b d
（，那么 a b c d b d
∴ ad＝bc， 在等式两边同加上ac， ∴ ad＋ac＝bc＋ac， ∴ ac－ad＝ac－bc， ∴ a（c－d）＝（a－b）c， 两边同除以（a－b）（c－d）， a c ∴ ab cd
（2）a＝2，b＝ 5 ，c＝ 2 15，d＝5 3 ．
a 2 2 5 c 2 15 2 5 （2 ） ∵ b 5 d 5 3 5 5
a c ∴ b d
，
∴
线段a、b、c、d是成比例线段．
对于成比例线段我们有下面的结论：
如果
（a、b、c、d都不等于0），那么
．
a c ，那么ad＝bc．如果ad＝bc b d a c
初中数学九年级上册《22.1 比例线段》PPT课件 (9)
EF即为所求作的线段x
A FB
应用3 — 作图（第四比例项）
以知线段a，m，n，作线段x，使x =
下列作图方法中，正确的是 （B）
mn ,
a
n m
a
x
（A）
x
n
a
m
（B）
n
x
a
m
（C）
m n
a
x
（D）
练习1:三角形内角平分线分对边成两线
段,这两线段和相邻的两边成比例.
已知：AD是△ABC中∠A的平
ΔEAD≌ΔE'AD'
AD
DE
AE
AB
BC
AC
AD = AD'
D'E' = DE AE' = AE
例题 1
在ABC中，AE=2，EC=3，BC=5，求DE的长
A
D
E
B
C
例题 2
A
1、（1）在ΔABC中，DE // BC，AD= 6， AB= 9 ，
DE= 4，则BC的长是 6
（2）若DE : BC = 2 : 5，则 AD : DB = 2 : 3 D
AD AE DE . AB C BCE●D ●
1
A
D、E在BA、CA延长线上，且DE // BC，
请你猜想结论是否也成立。
2
D' B
E'
作D'E' // BC 且AD = AD'
C
AD'
D'E’
AE'
D'E' // BC
AB
BC
AC
∠1 = ∠2
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5．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，点P 是AD上一点，过点C作CF∥AB，延长BP交AC 于点E，交CF于点F.求证：BP2＝PE·PF.
解：连接 CP，∵AB＝AC，AD 是中线，∴∠BAP＝∠CAP， 在△ABP 与△ACP 中，AB＝AC，∠BAP＝∠CAP，AP＝ AP，∴△ABP≌△ACP，∴∠ABP＝∠ACP，BP＝CP，又 CF∥AB，∴∠ABP＝∠F，∴∠ECP＝∠F，在△PEC 与 △PCF 中，∠EPC＝∠CPF，∠PCA＝∠F，∴△PEC∽△PCF， ∴CPEP＝CPFP∴CP2＝PE·PF，即 BP2＝PE·PF
二、等线段代换法
4．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上， CE交AD于点F，∠ECA＝∠D.求证：AC·BE＝CE·AD.
解：证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠B ＝ ∠D ， AD ＝ BC ， 在 △ACE 和 △CBE 中，∵∠ACE＝∠D＝∠B，∠E ＝∠E，∴△ACE∽△CBE，∴ACCE＝BBCE＝ ABDE ，∴AC·BE＝AD·CE
专题(十二) 比例线段的证明
一、三点定型法 1．如图，▱ ABCD 中，点 E 是 AB 延长线上的一点，DE 交 BC 于点 F，求证：DAEC＝ACDF
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴DC∥AB，∠C ＝∠A，∴∠CDF＝∠E，∴△CDF∽△AED，∴DAEC＝ACDF
2．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，点M是BC的中点， DM⊥BC交CA的延长线于点D，交AB于点E.求证：AM2＝
3．如图，在 Rt△ABC 中，AD 是斜边 BC 上的高，∠B 的平 分线 BE 交 AC 于点 E，交 AD 于点 F.求证：BBFE＝BACB.
解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠BAD＋ ∠CAD＝90°，∠C＋∠DAC＝90°，∴∠BAD ＝∠C，又∠AFE＝∠BAF＋∠ABF，∠AEB ＝∠EBC＋∠C，∵BE 平分∠ABC，∴∠ABF ＝∠EBC，∴∠AFE＝∠AEF，∴∠AFB＝ ∠BEC，在△ABF 与△CBE 中，∠BAF＝ ∠C，∠AFB＝∠CEB，∴△ABF∽△CBE， ∴BBEF＝ABCB
THANKS
FOR WATCHING
演讲人: XXX
PPT文档·教学课件
MD·ME.
解：∵∠DEA＝∠BEM，DM⊥BC，∴∠BME ＝∠DAE＝90°，∴∠D＝∠B，∵点 M 为 BC 的中点，∴AM＝BM，∴∠B＝∠BAM， ∴∠BAM＝∠D，在△MEA 与△MAD 中， ∠EMA ＝ ∠AMD ， ∠BAM ＝ ∠D ， ∴△MEA∽△MAD，∴MAMD＝AMME ，∴AM2 ＝MD·ME