初等数论课程教学大纲新
《初等数论》教学大纲2024
引言概述：初等数论是数学的一个重要分支，它研究整数的性质和关系，是一门基础性的课程。
本文旨在为《初等数论》课程的教学制定一份详细的大纲，以帮助教师合理安排教学内容，提高教学效果。
正文内容：一、素数与合数1.素数的定义与性质素数的定义：只能被1和自身整除的正整数。
2.合数的定义与性质合数的定义：不是素数的正整数。
二、因数与倍数1.因数的概念因数的定义：能整除一个数的整数。
因子的分类：负因数、正因数、真因数。
2.最大公因数与最小公倍数最大公因数的定义与性质：两个数公共因子中最大的一个。
最小公倍数的定义与性质：两个数公共倍数中最小的一个。
三、整数的整除性与除法算法1.整除的概念与性质整除的定义：一个数能够被另一个数整除。
整除的性质：整数除法原则、整数的对称性。
2.整数的除法算法除法算法的步骤与原理：用减法、用乘法、整数除法算法的应用。
四、余数与模运算1.余数的概念与性质余数的定义：做除法时除不尽的部分。
余数的性质：余数的范围、余数的基本性质。
2.模运算的概念与性质模运算的定义：对于整数a和正整数n，a与n的商所得的余数。
模运算的性质：模运算的加法、减法和乘法规则。
五、同余与模运算应用1.同余的定义与性质同余的定义：对于整数a、b和正整数n，当a与b对n取余相等时，称a与b模n同余。
同余的性质：同余的传递性、同余的运算性质。
2.模运算的应用模运算在代数方程中的应用：线性同余方程、模运算的性质在方程求解中的应用。
总结：本文从素数与合数、因数与倍数、整除性与除法算法、余数与模运算以及同余与模运算应用等五个大点进行阐述。
通过这些内容的学习，学生将能够了解整数的性质和关系，理解数论的基本原理，为后续数学学习打下坚实的基础。
教师在教学过程中，应注重拓展学生的数学思维、培养其解决问题的能力，并结合实际生活和其他数学知识进行应用。
通过系统的教学大纲指导，教师能够更好地组织教学内容，提高学生的学习效果。
初等数论教学大纲
初等数论教学大纲一、课程简介初等数论是数学中的重要分支之一，研究的是自然数的性质与关系。
本课程旨在培养学生的数论思维能力和逻辑思维能力，提高他们的问题解决能力和数学推理能力。
二、教学目标1. 掌握初等数论的基本概念，如素数、合数、互质等。
2. 熟悉常见数论问题的解决方法，如质因数分解、最大公因数与最小公倍数的求法等。
3. 理解和运用模运算的概念和性质，解决相关数论问题。
4. 掌握费马小定理和欧拉定理的应用，解决与其相关的数论问题。
5. 培养学生的数论证明能力，培养其逻辑思维和数学推理能力。
三、教学内容1. 自然数的性质与关系- 质数与合数- 整除性与约数- 互质关系与最大公因数2. 质因数与分解定理- 质因数分解- 最大公因数与最小公倍数 - 公因数与公倍数3. 模运算- 同余等价关系- 同余方程- 中国剩余定理4. 费马小定理与欧拉定理- 费马小定理的证明与应用 - 欧拉函数的定义与性质- 欧拉定理的证明与应用5. 整数的奇妙性质- 数字根与数位- 数字平方舞蹈- 数字阶梯问题- 尼科彻斯定理四、教学方法1. 讲述法：结合实例，详细解释数论概念和原理，引导学生理解与掌握。
2. 分组讨论：将学生分成小组，互相讨论和解决数论问题，促进合作学习和思维碰撞。
3. 课堂练习：布置一些基础练习题和拓展题，提高学生的问题解决能力和应用能力。
4. 数论证明：鼓励学生进行数论定理的证明，培养其逻辑思维和数学推理能力。
五、评估方式1. 平时成绩：包括课堂表现、作业完成情况等。
2. 期中考试：针对课程的基础知识进行测试。
3. 期末考试：综合考察学生对数论概念、原理和问题解决方法的理解与应用能力。
六、教材与参考书主教材：《初等数论》辅助教材：《数论引论》、《数论简史》七、教学进度安排根据教学计划，完成课程内容的讲解和练习，及时反馈学生学习情况，根据实际情况进行调整。
八、教学辅助手段使用黑板、白板等教学工具进行讲解和演示，辅助教学工具包括投影仪、计算器等。
初等数论教学大纲(本科)
初等数论教学大纲（本科）哈尔滨师范大学数学系初等数论(本科) 教学大纲说明《初等数论》是师范本科学校数学与应用数学专业的一门重要专业课，数学与应用数学专业的学生学习一些初等数论的基础知识可以加深对数的性质的了解与认识，便于理解和学习与其相关的一些课程。
是在学生进入四年级后开设的一门课程。
通过对《初等数论》的教学，使学生掌握初等数论的最基本的内容，使学生在掌握其基本理论的同时为从事中学数学竞赛工作提供宏观理论的积累，初等数论是研究整数最基本的性质，是一门重要的数学基础课。
初等数论开设的目的：通过这门课的学习，使学生获得关于整数的整除性、不定方程、同余式、原根与指标及不定方程的基本知识，掌握数论中的最基本的理论和常用的方法，加强他们的理解和解决数学问题的能力，为今后的学习奠定必要的基础。
1、国际奥林匹克数学竞赛中所占初等数论内容很多，学好初等数论对于培养学生进行奥林匹克数竞赛的培训工作提供理论的知识储备。
2、培养学生初步的科研能力，因为初等数论是数学中理论与实践结合得最完美的基础课程，近代数学中的很多数学思想、概念、方法与技巧都是从整数的性质的深入研究而不断丰富和发展起来的。
确定《初等数论》的教学内容应依据初高中教学实际，立足于培养学生的数学思想、方法和技巧，掌握竞赛数学中初等数论的主要理论和进一步提高和学习的基本理论，因而整个课程分为整除、同余、同余式、不定方程和原根指标几部分。
这样处理有助于形成学生完善的数学知识结构，进而从根本上提高学生的素质。
根据教学计划规定，本课程教学时数为48学时，其中讲授课和习题课共48学时，本课程安排在第七学期，周学时4，具体分配如下：1．整除12学时；2．同余8学时；3．同余方程18学时；4．不定方程4学时；5．原根和指标5学时。
大纲内容一、整除（一）教学目的通过本章的教学，使学生掌握整除的性质、带余数除法、辗转相除法，掌握最大公因数和最小公倍数的基本理论，熟练掌握算术基本定理，除数和函数和完全数的概念，掌握函数［x］、｛x｝基本理论。
《初等数论》教学大纲2
《初等数论》教学大纲课程编码：1511102902课程名称：初等数论学时/学分：32/2先修课程：《数学分析》、《高等代数》适用专业：数学与应用数学专业开设教研室：代数与几何教研室一、课程性质与任务1．课程性质：初等数论是数学与应用数学专业的一门专业选修课。
本课程是研究整数性质和方程（组）整数解的一门学科，也是一个古老的数学分支。
初等数论与中学数学教育有着密切的联系，并给现代数学提供理论基础。
初等数论在计算技术、通信技术等技术学科中也得到了广泛的应用。
数论中的一些问题，貌似简单，实则不易，解决起来灵活而富有技巧，是培养数学思维能力的重要内容，是中学数学竞赛题的丰富源泉之一，是数学教育工作者必备的基础知识。
2．课程任务：本课程开设的目的在于通过这门课的学习，使学生熟悉和掌握关于整数的整除性、不定方程、同余式及简单连分数等数论的基础知识，基本理论和基本的解题技能技巧，培养学生的逻辑思维能力，加强他们的理解和解决数学问题的能力，为从事中学数学教学，指导数学课外小组活动和进一步学习其它数学学科打下坚实的基础。
二、课程教学基本要求初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。
本课程的目的是简单介绍在初等数论研究中经常用到的若干基础知识、基本概念、方法和技巧。
通过本课程的学习，使学生加深对整数的性质的了解，更深入地理解初等数论与其它邻近学科的关系。
1. 有关定义、定理、性质等概念的内容按“知道、了解和理解”三个层次要求；有关计算、解法、公式和法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握”三个层次要求。
2. 本课程开设在第5学期，总学时32，其中课堂讲授32学时，课堂实践0学时。
教学环节以课堂讲授为主，研制电子教案和多媒体幻灯片以及CAI课件，在教学方法和手段上采用现代教育技术。
3. 成绩考核形式：期终成绩（闭卷考试）（70%）＋平时成绩（平时测验、作业、课堂提问、课堂讨论等）（30％）。
初等数论教学大纲
初等数论教学大纲一、引言A. 数论的定义和背景B. 数论在数学中的重要性和应用领域C. 本教学大纲的目的和结构概述二、基础知识A. 自然数、整数、有理数和实数的定义和性质回顾B. 互质数和最大公因数的概念和计算方法C. 数学归纳法的原理和应用三、质数与素数A. 质数和素数的概念区别B. 质数的性质和判断方法C. 素数分解和唯一分解定理D. 质数在现代密码学中的应用四、同余与模运算A. 同余关系的定义和性质B. 模运算的基本运算法则C. 同余方程的解法和应用D. 中国剩余定理的概念和应用五、数字分割和循环小数A. 数字分割的定义和基本性质B. 循环小数的概念和判定方法C. 分数与循环小数之间的转换D. 无理数的性质和证明方法六、公约数与公倍数A. 公约数和公倍数的定义和性质B. 欧几里得算法的原理和应用C. 互质数的判定方法和应用D. 最小公倍数和最大公约数的计算方法七、数论函数与数论恒等式A. 欧拉函数和莫比乌斯函数的定义和性质B. 数论函数的计算方法和应用C. 数论恒等式的证明方法和应用八、素数分布定理和算术函数A. 素数分布的基本规律和研究方法B. 算术函数的定义和性质C. 算术函数在数论中的应用九、数论应用举例A. 数论在密码学中的应用举例B. 数论在编码和解码中的应用举例C. 数论在数学竞赛中的应用举例D. 数论在实际问题中的应用举例十、总结与展望A. 数论教学内容的回顾和总结B. 数论研究领域的发展趋势和前景展望C. 数论在其他数学学科中的重要性和应用前景D. 对学生的建议和学习方法分享十一、参考文献以上是初等数论教学大纲的框架，旨在帮助学生全面理解数论的基本概念和应用，培养解决数论问题的能力。
教学过程中，可适当结合具体例题和实际问题进行讲解和讨论，提高学生的数学思维和分析问题的能力。
同时，鼓励学生参与数论领域的研究和应用，拓宽数学的视野和应用领域。
初等数论教学大纲
初等数论教学大纲一、课程简介初等数论是数学的一门重要分支，主要研究整数的性质和结构。
通过对初等数论的学习，学生可以更深入地理解整数及其关系，培养数学逻辑思维和问题解决能力。
本教学大纲旨在提供一份全面的教学计划，帮助学生掌握初等数论的基本概念和方法。
二、教学目标1、理解整数的概念、性质和运算；2、掌握因数分解和质数判断的方法；3、理解最大公约数和最小公倍数的概念及其计算方法；4、掌握分数及其性质，了解分数分解的方法；5、理解代数方程及其解法，掌握二次方程的解法；6、培养学生对数学的兴趣和解决问题的能力。
三、教学内容1、整数的概念和性质a.整数的定义和分类b.整数的运算规则c.数的表示方法2、因数分解和质数判断a.因数分解的方法b.质数判断的方法3、最大公约数和最小公倍数a.最大公约数的定义和计算方法b.最小公倍数的定义和计算方法4、分数及其性质a.分数的定义和分类b.分数的运算规则c.分数的约分和通分5、二次方程及其解法a.二次方程的定义和分类b.二次方程的解法6、其他代数方程的解法介绍a.一元一次方程的解法b.一元二次方程的解法c.高次方程的解法简介7、数论在密码学中的应用介绍a. RSA算法简介b.其他密码学应用简介8、数论在其他领域的应用介绍a.数论在计算机科学中的应用b.数论在物理学中的应用等9、数论的历史和发展简介a.数论的起源和发展历程b.数论在现代数学中的应用及发展前景10、初等数论与中学数学的与区别分析。
在数学的学习中，数论是一个非常重要的分支，它研究的是数的性质和规律。
在大学数学中，初等数论是数论的基础课程，它主要包括了以下几个方面的内容：整除性理论：整除性理论是数论的基础，它主要研究的是整数之间的除法性质。
通过研究素数和分解定理，我们可以更好地理解整数的内部结构和性质。
同余理论：同余理论是数论的核心内容之一，它主要研究的是整数之间的同余关系。
通过研究同余方程和模逆元，我们可以解决许多与整数相关的问题。
初等数论教学大纲
初等数论教学大纲一、引言初等数论作为数学的一个分支，主要研究自然数的性质和整数运算的规律。
本教学大纲旨在帮助学生全面了解初等数论的基本概念，并培养他们解决数论问题的能力。
二、基础知识1. 自然数和整数的概念及性质：自然数和整数的集合，自然数的顺序关系，整数的正负性质等。
2. 素数和合数的概念：素数和合数的定义，素数的性质和判定方法。
3. 最大公约数和最小公倍数的概念：最大公约数和最小公倍数的定义，欧几里德算法等相关知识。
三、初等数论应用1. 同余关系：同余关系的定义和性质，同余关系在整数运算中的应用。
2. 费马小定理和欧拉定理：费马小定理和欧拉定理的表述和应用，与同余关系的关联。
3. 数论函数：数论函数的定义和性质，欧拉函数和莫比乌斯函数的应用。
四、数的表示与分解1. 奇数和偶数的性质：奇数和偶数的定义，奇数和偶数的性质和运算规律。
2. 因数分解：正整数的因数分解定理，质因数分解及其应用。
3. 有理数和不可约分数：有理数和不可约分数的定义和性质，分数的运算规律。
五、数论定理与证明1. 质数无穷性：证明质数有无穷多个的数论定理及其证明过程。
2. 正整数平方和定理：证明正整数可以表示为两个平方数之和的数论定理及其证明过程。
3. 费马大定理：费马大定理的表述和证明过程。
六、解决数论问题的方法和技巧1. 数论问题的特点：数论问题常见的特点和解题思路。
2. 数学归纳法：数论问题解决中常用的归纳法原理。
3. 递归思想：递归思想在数论问题中的应用。
七、实践与综合应用结合具体例子，综合运用前述的知识和技巧，解决实际数论问题。
八、教学评估和反馈通过课堂练习、小组讨论和个人作业等方式进行教学评估，并及时提供学生的学习反馈。
九、教学资源与参考书目推荐使用的教材和参考书目。
十、教学计划编排初等数论教学内容的时间安排和教学进度。
十一、教学方式采用多种教学方式，如讲授、讨论、实践等，激发学生的学习兴趣和参与度。
十二、总结通过初等数论的学习，学生将深入理解数学的本质和逻辑，增强数学思维和解决问题的能力。
初等数论大纲新新
《初等数论》教学大纲课程名称：初等数论课程编号： 0641011课程类别：专业必修课适用对象：数学与应用数学专业（4年制普通本科）总学时数： 54学分： 3一、课程性质和教学目标1．课程性质：“初等数论”课程是数学与应用数学专业必修的学科专业课课程，是近世代数等后续课程的基础，也为将来从事数论，代数学，组合数学及信息安全等方面研究的同学打下必要的数论基础。
它是研究整数性质的一门学科，历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。
数学与应用数学专业的学生学习一些初等数论的基础知识可以加深对数的性质的了解与认识，便于理解和学习与其相关的一些课程。
2．教学目标：通过本课程的学习使学生获得关于整数的整除性、不定方程、同余式、原根与指数的基本知识，掌握数论中的最基本的理论和常用的方法，加强他们的理解和解决数学问题的能力，为今后的学习奠定必要的基础。
通过本课程的学习，还能使学生加深对整数的性质的了解，更深入地理解初等数论与其它邻近学科的关系。
二、教学要求和教学内容第一章基础知识 12学时[教学要求]熟练掌握整除的性质及带余除法，熟练地计算最大公约数，最小公倍数，掌握素数的性质及唯一分解定理；熟练掌握一次不定方程的性质及其解法，掌握方程的解法，初步掌握一些不定方程的特殊解法；掌握连分数与有理数、无理数之间的关系，会求连分数的渐近分数，熟悉连分数的简单应用；理解抽屉原理与容斥原理，能用来解决某些简单问题。
[教学内容]● 讲授内容1．整数的整除性2．简单的不定方程3．简单连分数4．抽屉原理和容斥原理第二章同余 12课时[教学要求]熟练掌握同余的概念及其基本性质，熟悉同余的简单应用，掌握完全剩余系与缩系的性质；掌握欧拉定理、费马定理与威尔逊定理，并能熟练地运用；熟练掌握一元一次同余式、二元一次同余式和一元一次同余式组有解的充要条件及其解法、熟练掌握孙子定理；了解高次同余式解数的有关性质，掌握素数模与合数模的高次同余式的解法。
初等数论课程教学大纲新
《初等数论》课程教学大纲一、课程的性质与地位“初等数论”课程是宿迁高等师范学校数学学科专业必修的一门课程。
数学专业的学生学习初等数论的基础知识可以加深对数的性质的了解与认识，便于理解和学习与其相关的一些课程。
数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支，其初等部分是以整数的整除性为中心的，包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数（即整数）分布以及数论函数等内容，统称初等数论（elementary number theory）。
初等数论的大部份内容早在古希腊欧几里德的《几何原本》中就已出现。
欧几里得证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自然数的最大公约数的方法，即所谓欧几里得算法。
我国古代在数论方面亦有杰出之贡献，现在一般数论书中的“中国剩余定理”正是我国古代《孙子算经》中的下卷第26题，我国称之为“孙子定理”。
近代初等数论的发展得益于费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等人的工作。
1801年，高斯的《算术探究》是数论的划时代杰作。
高斯还提出：“数学是科学之王，数论是数学之王”。
可见高斯对数论的高度评价。
由于自20世纪以来引进了抽象数学和高等分析的巧妙工具，数论得到进一步的发展，从而开阔了新的研究领域，出现了代数数论、解析数论、几何数论等新分支。
而且近年来初等数论在计算器科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域内更得到了广泛的应用，无疑同时间促进着数论的发展。
二、课程教学目标初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。
本课程的目的是简单介绍在初等数论研究中经常用到的若干基础知识、基本概念、方法和技巧。
数论是以严格和简洁著称，内容既丰富又深刻。
通过这门课的学习，使学生获得关于整数的整除性、不定方程、同余式、数论函数及简单连分数的基本知识，掌握数论中的最基本的理论和常用的方法，加强他们的理解和解决数学问题的能力，为今后的学习奠定必要的基础。
初等数论教学大纲
《初等数论》教学大纲Elementary number theory一、本大纲适用专业数学与应用数学.二、课程性质与目的1. 课程目标初等数论是数学与应用数学专业一门专业选修课.通过这门课的学习,使学生获得关于整数的整除、不定方程、同余、原根与指数的基本知识，掌握数论中的最基本的理论和常用的方法，加强他们的理解和解决数学问题的能力，为今后的实际工作打下良好基础。
2。
与其它课程的关系本课程是初等数学研究、C语言程序设计A，近世代数等课程的后续课程.3. 开设学期按培养方案规定的学期开设。
三、教学方式及学时分配四、教学内容、重点第一章整数的可除性1. 教学目标理解整数整除的概念、最大公约数的概念、最小公倍数的概念,掌握带余除法与辗转相除法；理解素数与合数的概念;理解和掌握素数的性质、整数关于素数的分解定理、素数的求法；掌握函数［x]和｛x} 的性质。
2. 教学内容(1）整数整除、剩余定理：带余除法与辗转相除法；最大公约数的概念、性质及求最大公约数的方法；最小公倍数的概念、性质及最小公倍数的求法。
(2）素数与合数：素数与合数的概念、素数的性质、整数关于素数的分解定理、素数的求法;函数[x] ｛x} 的性质及其应用。
3。
教学方法讲解教学。
4。
本章重点辗转相除法，整数的素数分解定理。
5。
本章难点求最大公因子的方法.第二章不定方程1. 教学目标理解不定方程的概念，理解和掌握元不定方程有整数解的条件，会求一次不定方程的解。
2. 教学内容（1）一次不定方程，多元一次不定方程的形式，多元一次不定方程有解条件,求简单的多元一次不定方程的解。
(2) 二元一次不定方程有整数解的条件,求一次不定方程的解.3. 教学方法讲解教学。
4。
本章重点多元一次不定方程有解条件，二元一次不定方程有整数解的条件。
5. 本章难点不定方程的整数解的形式，求多元不定方程的整数解。
第三章同余、同余式1. 教学目标理解整数同余的概念，理解和掌握同余的基本性质、整数具有素因子的条件函数相关性质；理解剩余类与完全剩余系的概念，理解欧拉函数的定义及性质；掌握欧拉定理、费马定理、孙子定理.2. 教学内容（1）整数同余:整数同余的概念、同余的基本性质；整数具有素因子的条件；利用同余简单验证整数乘积运算的结果。
最新初等数学教学大纲
初等数学课程教学大纲（128学时）一、课程性质与任务数学课程是中等职业学校汽车运用与维修及相关专业的学生必修的一门公共基础课。
课程针对目前中等职业学校公共基础课学时安排与学生基础知识现状，旨在使学生掌握必要的数学基础知识，具备必需的相关技能与能力，为学习专业知识、掌握职业技能、继续学习和终身发展奠定基础。
同时经过进一步学习，为其职业生涯发展和终身学习创造一定的条件。
二、课程教学目标通过本课程教学，使学生在九年义务教育基础上：1、进一步学习并掌握职业岗位和生活中所必要的数学基础知识。
2、培养学生的计算技能、计算工具使用技能和数据处理技能，培养学生的观察能力、空间想象能力、分析与解决问题能力和数学思维能力。
3、引导学生逐步养成良好的学习习惯、实践意识、创新意识和实事求是的科学态度，提高学生就业能力与创业能力。
三、教学内容结构本课程采用任务驱动项目教学方法，共分为九个项目，每个项目又分为多个任务。
每个任务中包括基本理论知识、计算技能、知识拓展三部分。
1、基本理论知识是本课程应掌握的基础性内容和应达到的基本要求。
2、计算技能是学生学习本专业需要掌握的基本计算技能以及对相关专业知识掌握所必需的认知与计算能力。
3、拓展知识是满足学生个性发展和继续学习需要选修的内容，是基础知识和基本操作技能的进一步拓展和延伸。
教学时数不做统一规定，建议学时供参考。
四、教学内容与要求五、教学实施1、教学时数安排建议教学时数安排(128学时)2、教学方法建议课程采用任务驱动项目教学方法，理论教学以课堂讲授、实物演示、多媒体课件等教学形式，主要讲授汽车维修专业中所必需的数学基本知识；计算技能培养学生的基本动手能力。
教学方法的选择要从中等职业学校学生的实际出发，要符合学生的认知心理特征，要关注学生对本课程学习兴趣的激发与保持，学习信心的坚持与增强，鼓励学生参与教学活动，包括思维参与和行为参与，引导学生主动学习。
六、考核与评价本课程考核方式采用过程考核的办法。
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初等数论》课程教学大纲一、课程的性质与地位“初等数论”课程是宿迁高等师范学校数学学科专业必修的一门课程。
数学专业的学生学习初等数论的基础知识可以加深对数的性质的了解与认识，便于理解和学习与其相关的一些课程。
数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支，其初等部分是以整数的整除性为中心的，包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数(即整数)分布以及数论函数等内容，统称初等数论( elementary number theory )。
初等数论的大部份内容早在古希腊欧几里德的《几何原本》中就已出现。
欧几里得证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自然数的最大公约数的方法，即所谓欧几里得算法。
我国古代在数论方面亦有杰出之贡献，现在一般数论书中的“中国剩余定理”正是我国古代《孙子算经》中的下卷第26 题，我国称之为“孙子定理”。
近代初等数论的发展得益于费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等人的工作。
1801年，高斯的《算术探究》是数论的划时代杰作。
高斯还提出：“数学是科学之王，数论是数学之王”。
可见高斯对数论的高度评价。
由于自20 世纪以来引进了抽象数学和高等分析的巧妙工具，数论得到进一步的发展，从而开阔了新的研究领域，出现了代数数论、解析数论、几何数论等新分支。
而且近年来初等数论在计算器科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域内更得到了广泛的应用，无疑同时间促进着数论的发展。
、课程教学目标初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。
本课程的目的是简单介绍在初等数论研究中经常用到的若干基础知识、基本概念、方法和技巧。
数论是以严格和简洁著称，内容既丰富又深刻。
通过这门课的学习，使学生获得关于整数的整除性、不定方程、同余式、数论函数及简单连分数的基本知识，掌握数论中的最基本的理论和常用的方法，加强他们的理解和解决数学问题的能力，为今后的学习奠定必要的基础。
三、教学基本内容及要求第一章数的整除性（一）教学目的与要求1、理解整数整除、公因子、公倍数的概念及相关性质，理解质因数分解定理，熟练掌握用裴蜀恒等式求最大公因子、最小公倍数的方法。
2、理解素数与合数的概念、素数的性质，理解整数的素数分解定理，会用筛法求素数。
3、了解抽屉原理的简单与一般形式、会用抽屉原理构造一些具有特殊性质整数。
（二）教学内容1、整除性、公因数、公倍数两个整数整除的概念、剩余定理；最大公因子的概念、性质及求最大公因子的方法；最小公倍数的概念、性质及最小公倍数的求法。
2、素数与整数的素因子分解素数与合数的概念、素数的性质、整数关于素数的分解定理、素数的求法（筛法）。
3、抽屉原理抽屉原理的简单与一般形式、抽屉原理在构造具有特殊性质整数方面的应用。
重点：整除、公因子、素数的概念及性质，裴蜀恒等式，求最大公因子的方法，整数的素数分解定理。
难点：整数的素数分解定理的理解与运用函数[x]、｛x｝的概念及其应用。
（三）教学形式与方法本章主要采用课堂讲授、讨论相结合的教学方式（四）作业布置1 •设四个自然数只和为1989,求证：它们的立方和不是偶数。
2•试证明：不存在2个自然数，它们的和与差的乘积等于1990。
3 .设印&|山务是一组数，他们中的每一个都取+1或-1，而81828384 “。
:玄彳玄彳玄厶 |a n a〔a2a3 =0 证明：n必须是4的倍数。
4 .设n 0,「_2,证明：n -能够表示成n个连续的奇数的和。
5、搜索中小学关于此类问题的题目，理解与体会方法的运用。
6查寻奇数，偶数在中小学问题中的运用，拓展思维，灵活运用。
7、求(1) (5767，4453)(2) (3141，1592)8、求[144，480]9、求证：若(a,b) =1，贝U(1)(a _b,ab) = 1(2)(a b, a -b) = 1 或(a b, a「b) = 210、求出能使36x 83^1成立的两个整数x,y。
11、二数之和是432，它们的最大公约数是36，求此二数。
12、对于任意的整数n1，证明：总可以找到n个连续的合数13、求72与480的最大公约数与最小公倍数。
14、( 1)迪泼瓦尔曾断言：对所有n》1，6n+1和6n-1中至少有一个是质数、举例说明他的断言错了。
(2)证明：有无穷多个n使6n-1和6n+1同时为合数。
115、设P是合数n是最小素因数，证明：若P> n?，则-是素数P16、容易验证90、91、92、93、94、95、96是7个相邻的合数。
试写出9个相邻的合数。
17、检验539是否为质数18、证明：在n>2时，n与n!之间一定有一个质数分析：由于(n! -1.n !) =1，则1到n中的所有质数均不能整除那n! -1，么必存在质数p，p>n，且p v n!第二章同余理论(一)教学目的与要求1、理解整数同余的概念及同余的基本性质，熟练运用同余的基本性质，会利用同余简单验证整数乘积运算的结果。
2、理解剩余类、完全剩余系的概念，熟练掌握判断剩余系的方法。
3、了解Fermat小定理，熟练运用之。
4、理解中国剩余定理，掌握中国剩余定理的简单应用，掌握求解简单同余式方程组的方法。
（二）教学内容1、同余的概念及性质整数同余的概念、同余的基本性质，利用同余简单验证整数乘积运算的结果。
2、剩余类、完全剩余系剩余类、完全剩余系的概念，判断剩余系的方法。
3、费马小定理费马小定理及其应用，求余数的方法。
4、中国剩余定理中国剩余定理，中国剩余定理的应用，求解同余式方程组。
重点：剩余系的判定，欧拉函数的定义及性质，中国剩余定理，同余性质的运用。
难点：剩余系的判定，中国剩余定理，费马小定理应用。
（三）教学形式与方法本章主要采用课堂讲授、讨论相结合的教学方式（四）作业布置1、若k三1 （mod4，问6k+5与0.123 中哪一个mod4同余？2、在3145X 92653=291口93685中，积有一位数字遗漏，而其它数字是正确的, 遗漏数字是什么？103、求 1010-1010MIL 101^10被7 除的余数。
4、证明：15不能整除n2n 2。
5、314159除以7,余数是多少?6证明：若a和b均不被质数n+1整除，则a n-b n被n+1整除7、证明：645是伪质数。
8、证明：若a和b均不被质数n+1整除，则a n-b n被n+1整除。
9、对于一切a满足n|(a n-a)的合数n,称为绝对伪质数，最小的绝对伪质数为561,验证：341不能整除⑴341-11)，从而341不是一个绝对伪质数。
x 三 1(mod7)10、解同余方程组3x 三 4(mod 5)8x 三 4(mod 9)11、试用同余方程的解法，求解不定方程37x 49y =1第三章数论函数(一)教学目的与要求1、理解欧拉函数的定义及性质。
2 、了解欧拉定理，掌握循环小数的判定方法(二)教学内容1、函数［x］、｛x｝、欧拉函数及其应用函数［x］与｛x｝及欧拉函数的概念、性质2、(n)f( n)及其运用• (n),匚(n)的含义，•(n)，匚(n)公式的推导3、欧拉定理及其应用欧拉定理，循环小数的判定条件。
重点：.（n ）,；「（n）公式的运用，欧拉定理难点：欧拉定理的运用（三）教学形式与方法本章主要采用课堂讲授、讨论相结合的教学方式（四）作业布置1、设n是正整数，证明2」］4 一2、设a,b是任意实数，那么有a “ …b 丨=〔a「b 1 或〔a」-b 1 = la「b 1+13、求使 101102 引1^1000、7k为整数的最大自然数k。
4、证明：方程〔x，2x J 〔4x 丨Ex 山；116x I 〔32x1-12345没有实数解。
5、若n是2的幕，则二（n）是奇数；& n为什么数时，.（n）=8?7、证明：'• 1=通d|n d n8、若n是偶完全数，n・6,证明：n =1（mod9）；9、二k（n）='• d k,其中k为正整数，试给出n）的计算公式。
d|n10、证明：如果n的末位数字为7，那么n —定有一个倍数，它的数字全不为o11、计算（420）第四章不定方程（一）教学目的与要求1、了解二元一次不定方程解的形式、二元一次不定方程有整数解的条件，熟练掌握利用辗转相除法求二元一次不定方程的方法。
2、知道不定方程£寸=£的整数解的形式。
（二）教学内容1、二元一次不定方程二元一次不定方程的形式，二元一次不定方程解的形式，二元一次不定方程有整数解的条件，利用辗转相除法求二元一次不定方程的解。
2、不定方程不定方程x2y2 =z2的整数解的形式，Fermat大定理的简单介绍。
重点：二元一次不定方程解的形式，二元一次不定方程有整数解的条件，利用辗转相除法求二元一次不定方程的解。
难点：不定方程x y的整数解的形式，（三）教学形式与方法本章主要采用课堂讲授、讨论相结合的教学方式（四）作业布置1、解不定方程9x 24^5^10002、求不定方程的正整数解（1）5x 7y =41 （2）7x 3y = 1233、把100个苹果分成两堆，使得一堆的个数能被7整除，另一堆的个数能被11整除4、求不定方程x2y2= z2满足z = 65，而且y「x「0的全部解为（x, y,z）。
第五章连分数（一）教学目的与要求1、掌握连分数、有限、无限连分数的概念，理解它们之间的关系；2 、掌握连分数、渐近分数及其之间的递推关系式，理解有限、无限连分数与有理数、无理数之间的关系。
（二）教学内容1、连分数、渐近分数及其之间的递推关系连分数、渐近分数的含义，它们之间的递推关系式2、有限、无限连分数，它们与有理数、无理数之间的关系有限、无限连分数的概念，它们与有理数、无理数之间的关系重点：连分数、渐近分数及其之间的递推关系；有限、无限连分数与有理数、无理数之间的关系。
难点：连分数、渐近分数及其之间的递推关系（三）教学形式与方法本章主要采用课堂讲授、讨论相结合的教学方式（四）作业布置四、教学学时分配现将教学计划规定的学时数分配到课程的各章节。
（见教学学时分配表）教学学时分配表五、教学环节要求与安排1、自学自学是学生获得知识的重要方式，自学能力的培养也是师范教育的重点之一，本课程的教学要注意对学生自学能力的培养。
学生可以通过自学，掌握必要的知识，也为今后继续学习做好铺垫。
2、课堂教学课堂教学要服从于教学大纲、文字教材，采用讲解、讨论、答疑等方式，通过解题思路分析，基本方法训练，培养学生基本运算的能力和分析、解决问题的能力。
3、作业独立完成作业是学生学好本课程的一项重要的、必不可少的工作。
作业内容以教材中的习题为主，通过这些习题的练习，逐步加深对课程中各种概念的理解，熟悉各种基本解题方法，达到基本掌握本课程主要内容的目的。