图的模型与算法初步-数学建模

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路径与连通
起点与终点重合的通路称为闭通路 闭通路. 定义 1) 起点与终点重合的通路称为闭通路 2) 起点与终点重合的的路径称为圈,长 起点与终点重合的的路径称为圈 的圈称为k阶圈 为k的圈称为 阶圈,记为 k. 的圈称为 阶圈,记为C 3) 若在图 中存在 若在图G中存在 中存在(u,v)路径,则称顶点 和v在图 路径, 在图G 路径 则称顶点u和 在图 连通. 中连通 4) 若在图 中顶点 和v是连通的,则顶点 和v之 若在图G中顶点 中顶点u和 是连通的 则顶点u和 之 是连通的, 之间的距离 距离d(u,v)是指图 中最短 是指图G中最短 路径的长; 之间的距离 是指图 中最短(u,v)路径的长;若 路径的长 没有路径连接u和 ,则定义为无穷大. 没有路径连接 和v,则定义为无穷大 5) 图G中任意两点皆连通的图称为连通图. 中任意两点皆连通的图称为连通图 中任意两点皆连通的图称为连通图.
S G R
N
M P
一个时间安排问题
S
2 3 1
N
2
G R
3 2
M
P
用尽可能少的时段数安排 这6门课的时间表,使没有 同学发生冲突.
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人狼羊菜渡河问题
南岸状态:C44+ C43 FWS 42 + C4FSV C40 + C FWV 1 + FS FWSV 10种允许状态: =24=16种,其中WS,SV,WSV,从而FV,FW,F FWSV 为不允许状态 FWS FWCV FSV FS
一种表示工具——图 图 一种表示工具
有向图: V1 V2 V4 V3 V5
你能给出一个可用有向图 描述的实际例子吗?
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一种表示工具——图 图 一种表示工具
加权图 1
4
8
1
5
5
2
7 10
3
6
3
9 这些数字可以代表距离 费用 可 距离,费用 距离 费用,可 靠性或其他的相关参数. 靠性
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一个时间安排问题
学校要为一年级的研究生开设六门 基础数学课:数理统计(S),数值分析 (N),图论(G),矩阵论(M),随机过程(R) 和数理方程(P).按培养计划,注册的学 生必须选修其中的一门以上,你作为教 务管理人员,要设法安排一个课表,使 每个学生所选的课程,在时间上不会发 生冲突.
果 v 少 在 路 1, 如 vi到 j至 存 一 , pij = 果 v 存 任 路 0, 如 vi到 j 不 在 何 .
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关联矩阵
v1 b a v v4 3 k j v2 g d e f c v5 h v6 i v7
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一种表示工具——图 图 一种表示工具
定义 若图 G = (V (G), E(G)) 的每一条边e 都赋以
一个实数w(e),称w(e)为边 的权,G 连同边上的权 , 为边e的 一个实数 为边 称为赋权图 称为赋权图. 赋权图 是两个图. 定义 设 G = (V, E) 和 G′ = (V′, E′) 是两个图 1) 若V′ V, E′ E ,称 G′是 G 的一个子图 记 G′ G. 的一个子图 子图,记 称 2) 若 V′ =V E′ E,则称 G′是 G的生成子图 生成子图. ,
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路径与连通
无向图G的一条通路是指 的一条通路 定义 1) 无向图 的一条通路是指 一个有限非空序列 W = v0e1v1e2Kekvk ,它的项交替 地为顶点和边, 地为顶点和边,使得对 1 ≤ i ≤ k,ei的端点是 vi1和 vi, 的一条通路 整数k称为 通路, 称为W的 称W是从v0到 vk 的一条通路,整数 称为 的长. 是从 分别称为W的起点和 顶点 v0 和 vk 分别称为 的起点和终点 . 2) 若通路 的边互不相同但顶点可重复,则称 若通路W的边互不相同但顶点可重复 则称W 的边互不相同但顶点可重复, 道路. 为迹或道路 3) 若通路 的顶点和边均互不相同,则称 为路径 若通路W的顶点和边均互不相同 则称W为 的顶点和边均互不相同, 记为 P(v0, vk ).
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一个时间安排问题
S 陈奇峰 郭志伟 黄大度 李春兰 李祖军 刘昆 欧阳金 史武军 万华 王润惠 姚南 郑文国 邹文燕 N 陈俊 陈奇峰 董舟 黄大度 李白彤 李欣 刘元元 刘云 王凯 于洪 赵云 甄军 邹鑫 G 曹林军 陈修建 胡志强 化范文 李白彤 李出荣 李晓 欧阳金 万华 曾光伟 张惠 张敏 赵云 M 查小辉 程静波 单富民 董舟 邵桂芳 王坚 王学权 卫迎新 吴军 夏雯 杨欣 张星 邹文燕 R 陈修建 刘元兵 邱吉洲 息志强 杨成宝 赵小民 邹鑫 P 陈俊 樊雪峰 姜永东 刘伟 许茂 甄军 周清武
图的表示与算法初步
参考书: 参考书: 1.傅鹂 数学实验》 1.傅鹂 龚劬 刘琼荪 何中市 《数学实验》科学出版社 2.张绍民 数据结构教程C语言版》 2.张绍民 李淑华 《数据结构教程C语言版》中国电力出版社 3.王晓东 算法设计与分析》 3.王晓东 《算法设计与分析》 清华大学出版社 主讲:龚 劬 主讲: 制作: 制作:龚 劬
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graph
c
一种表示工具——图 图 一种表示工具
无向图
边 a e1 e3 e2 c e4 b e5 d 顶点
三要素:顶点集V;边集E;关联函数ψ 如 ψ(e1)={a,b}, G=(V,E,ψ) 一般用大写字母G,H表示无向图.
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一种表示工具——图 图 一种表示工具
来自百度文库
主要内容
图的模型 图的矩阵表示方法 算法初步 布置实验
结束
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图的模型
图论的起源——七桥问题 图论的起源——七桥问题 一个时间安排问题 人,狼,羊,菜渡河问题
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图论的起源: 图论的起源:七桥问题
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图论的起源: 图论的起源:七桥问题
a a b d c b d
u1 u2 u3 u4 0 0 A= 0 0 1 1 1 u1 0 0 0u2 1 0 0 u3 0 1 0u4
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邻接矩阵
对于 对于n=2,3,4,…来说,考察邻接矩阵 的幂 n. 来说, 的幂A 来说 考察邻接矩阵A的幂 邻接矩阵A中的第 中的第i行 列的元素为1,说明图中存在一 邻接矩阵 中的第 行,第j列的元素为 说明图中存在一 列的元素为 即存在一条从顶点u 长度为1的路径 的路径. 条边(u 即存在一条从顶点 条边 i, uj),即存在一条从顶点 i到uj长度为 的路径. 矩阵A2中的第 行,第j列的元素 ij(2)为 列的元素a 矩阵 中的第i行 列的元素
一种表示工具——图 图 一种表示工具
,且 3) 若 V(G) = X UY X IY = φ 且X 中任意两顶点 , 不 相邻,Y 中任意两顶点不相邻,则称为二部图或 相邻, 中任意两顶点不相邻,则称为二部图 二部图或 偶图; 中每一顶点皆与Y 偶图;若X中每一顶点皆与 中一切顶点相邻 称为 中每一顶点皆与 中一切顶点相邻,称为 完全二部图或完全偶图,记为 Km,n (m=|X|,n=|Y|). 完全二部图或完全偶图 记为 . 你能给出 X : x1 x2 x3 X : x1 x2 x3 一些可用 二部图描 述的实际 例子吗? Y : y1 y2 y3 y4 Y : y1 y2 y3 y4 二部图 K3,4 主 页 上一页 下一页
v v 邻 1 当 i与 j相 , aij = v v 相 0 当 i与 j不 邻
无向图的邻接矩阵有何特点?由 邻接矩阵是否能作出原图?
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邻接矩阵
对有向图 G = (V, E) ,其邻接矩阵 A = (aij )ν×ν ,其中: 其中: 其邻接矩阵 其中
( 1, 若 vi ,v j ) ∈E, aij = ( 0, 若 vi , v j ) E.
(2) aij = ∑aik akj n k =1
aij(2)等于从顶点ui到uj长度为2的不同路径的数目. 等于从顶点 长度为 的不同路径的数目. 的不同路径的数目 是一简单有向图, 的邻接矩阵, 定理 设G=(V,E)是一简单有向图,且A是G的邻接矩阵, 是一简单有向图 是 的邻接矩阵 元素的值, 对于m=1,2,3,…来说,矩阵 m中(i,j)元素的值,等于从 来说, 对于 来说 矩阵A 元素的值 顶点u 长度为m的路径数目 的路径数目. 顶点 i到uj长度为 的路径数目.
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邻接矩阵
对有向赋权图 G = (V, E), 其邻接矩阵 A = (aij )ν×ν, w , 若 vi ,v j ) ∈E,且 ij为 权 ( w 其 , 其中: 其中: ij aij = 0, i = j, ∞, 若 vi , v j ) E. (
u1 u2 u3 u4 0 ∞ A= ∞ ∞ 8 u1 0 ∞ ∞u2 6 0 ∞ u3 ∞ 4 0 u4 3 7
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一种表示工具——图 图 一种表示工具
一些特殊的图
既没有环也没有重边的图,称为简单图 简单图. 1) 既没有环也没有重边的图,称为简单图. 2) 任意两顶点都相邻的简单图 称为完全图 记为 v 任意两顶点都相邻的简单图,称为完全图 记为K 称为完全图.
K6
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V 摆渡人Ferryman O O S V W S WV W WV
狼Wolf 羊Sheep 菜Vegatable
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人狼羊菜渡河问题
FWSV FWS FWV FSV FS
O
V
S
W
WV
1. 渡 河 方 案 对 应 于 图 中 从 顶 点 "FWSV"到顶点"O"的链路? 2.寻求图中从顶点"FWSV"到顶点 "O"的最短路径,这样的路径有几 条?求出最优的渡河方案.
1 2 3 4 5 6 7 1 0 1 0 1 0 0 0 2 1 0 1 0 1 1 0 3 0 1 0 1 0 1 0 4 1 0 1 0 0 1 1 5 0 1 0 0 0 1 0 6 0 1 1 1 1 0 1 7 0 0 0 1 0 1 0
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邻接矩阵 无向图的邻接矩阵:A=(aij)n×n, 其中
无向图 e与顶点u, v相关联 u与v相邻 两边相邻 a 重边 c b d
你能给出一些可用无向图 描述的实际例子吗?
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一种表示工具——图 图 一种表示工具
任何两个以上的人组成的人群中,至少有两个人, 他们的朋友数一样多. 在一次象棋比赛中,若每名选手与其余选手都比 赛过,人数是n,求总盘数. 设S=(x1,,x2,…,xn)是平面上的点集,其中 任意两点间的距离至少是1,证明:距离正好是1的点 对数最多为3n. 在n个运动队间安排了一项竞赛,已赛n+1局,试 证:存在一个队,它至少参加过3局比赛.
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对于无 向赋权 图的邻 接矩阵 可类似 定义. 定义
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可达性矩阵
给定一个简单有向图 有向图G=(V,E), 由G的邻接矩阵能够 给定一个简单有向图 的邻接矩阵能够 直接确定,G中是否存在一条从顶点 到顶点v 的边. 中是否存在一条从顶点v 直接确定 中是否存在一条从顶点 i到顶点 j的边. 构造矩阵 n=A+A2+…+An, 构造矩阵B 矩阵 其中的(i,j)元素值,表明了从顶点v 到顶点v 其中的(i,j)元素值,表明了从顶点vi到顶点vj长度小于 元素值 或等于n的路径数目.如果(i,j)元素非零,则从vi到vj 或等于 的路径数目.如果 元素非零,则从 的路径数目 元素非零 是可达的. 是可达的. 给定一个简单有向图 有向图G=(V,E), n=|V|,定义路径矩阵 给定一个简单有向图 定义路径矩阵 p=(pij)n×n, 使其元素为 ×
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人狼羊菜渡河问题
FWSV FWS FWV FSV FS
O
V V
G
W
WV FSV S O
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FWSV
WV
FWV W FWS
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FS
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图的矩阵表示方法
邻接矩阵 可达性矩阵 关联矩阵 边矩阵 邻接顺序表
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邻接矩阵
v1 b a v j 3 k v2 d e f c v5 h v6 i v4 g v7