李雅普诺夫离散系统判据证明
李雅普诺夫稳定判据.ppt
例4.13 非线性系统的状态方程为
x1 x 2
x2
x1 (x12
x
2 2
)
x1 x2 (x12 x22 )
分析其平衡状态的稳定性。
解：确定平衡点:
xxe2e1
xe2 xe1
xe1(xe21 xe22 ) 0 xe2 (xe21 xe22 ) 0
取Q=I，P
P11
P12
P12
P22
,代入
T
得
0 1
1 P11
1
P12
P12 P22
P11
P12
P12 0
P22
1
1 1
10
0 1
P12
P11
P12
P12
P22 P22
不恒等于0，V (x) 也不恒等于0，因此， 系统平衡状态是大范围渐进稳定的。
李雅普诺夫函数不是唯一的。本例也可
取 则
V ( x)
1 2
[( x1
x2 ) 2
2 x12
x
2 2
]
V (x) (x1 x2 )(x1 x 2 ) 2x1 x1 x2 x 2
根据上述定义容易检验下列标量函数的正定性
1） V (x) = x12 2x22 是正定的；
2） V (x) = (x1 x2 )2 是半正定的,因为当 x1 x2 时 ， V ( x) =0；
3）V (x) 0
现代控制理论习题之李雅普诺夫稳定判据
⎧ 1 = − x1 + x 2 + x1 ( x1 2 + x 2 2 ) ⎪x (2) ⎨ 2 = − x1 − x 2 + x 2 ( x1 2 + x 2 2 ) ⎪ ⎩x
【解】 ： （1）采用非线性系统线性化的方法，在平衡点原点处线性化得：
A= ∂f ∂x T ⎡ ∂f 1 ⎢ ∂x =⎢ 1 ⎢ ∂f 2 ⎢ ∂x ⎣ 1 ∂f 1 ⎤ ⎡1 − 3 x1 2 ⎡1 − 1⎤ −1 ⎤ ∂x 2 ⎥ ⎥ =⎢ =⎢ ⎥ 2⎥ ∂f 2 ⎥ 1 − 3x 2 ⎦ ⎢ 1 ⎥ x = 0 ⎣1 1 ⎦ ⎣ ∂x 2 ⎥ ⎦ x =0
t − t0 = − 1 1 0.05 v ( x, t ) =− ln = 10.955 v( x0 , t0 ) λ2 100
ηmin
ln
4-7
试确定下列非线性系统在原点处的稳定性。
6
第四章
Lyapunov 稳定性理论
⎧ 1 = x1 − x 2 − x1 3 ⎪x (1) ⎨ 2 = x1 + x 2 − x 2 3 ⎪ ⎩x
0.5 1
= 0.75 > 0 ， 0.5 0.5
v( x) = x T Px 正定。 ∆v (k ) = x T (k )(G T PG − P ) x (k )
3 0⎤ ⎡1 3 0⎤ ⎡1 − 3 1⎤ ⎡ 1 0.5 0.5⎤ ⎡ 1 ⎥ ⎢− 3 − 2 − 3⎥ − ⎢− 3 − 2 − 3⎥ ⎥ ⎢0.5 1 G T PG − P = ⎢ 3 − 2 0 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎢ ⎢ 1⎥ 0 0⎥ 0 0⎥ ⎦ ⎣1 ⎦ ⎢ ⎣1 ⎦⎢ ⎣0.5 0 ⎦⎢ ⎣0 − 3 0 ⎥ ⎡ 8 4.5 7 ⎤ ⎥ =⎢ ⎢4.5 6 1.5⎥ ⎢ 7 1.5 8 ⎥ ⎦ ⎣ 8 4.5 7
n维离散系统李雅普诺夫指数
n维离散系统李雅普诺夫指数
在数学和动力系统理论中，n维离散系统的李雅普诺夫指数（Lyapunov exponent）是一种描述系统稳定性和混沌性质的重要指标。
它衡量了在系统的相空间中初始条件微小变化的指数增长率。
对于一个n维离散系统，设其状态变量为x=[x1, x2, ..., xn]，时间步长为τ。
考虑一个由初始条件x0引起的微小扰动，用δx 表示，表示初始条件发生微小变化后得到的新状态变量。
通过迭代系统的动力学方程，可以得到δx的演化方程：
δx(t+τ) ≈ J(t) δx(t)
其中，J(t)表示系统在时间t处的雅可比矩阵，其定义为系统状态变量对于时间的导数。
李雅普诺夫指数λ定义为：λ = lim (1/t)log‖J(t)δx(0)‖
其中，t趋近于无穷大，‖‖表示向量的模。
李雅普诺夫指数的值可以为正、负或零，分别表示系统的指数增长、指数衰减或者不变。
n维离散系统的李雅普诺夫指数对于系统的稳定性和混沌性有着重要的意义。
当所有的李雅普诺夫指数都为负时，系统是稳定的；当至少一个李雅普诺夫指数为正时，系统是混沌的；而当所有的李雅普诺夫指数为零时，系统是边界稳定的或周期性的。
通过计算和分析系统的李雅普诺夫指数，可以揭示系统的
动力学性质，例如系统的稳定性、周期性还是混沌性质，并对系统的行为进行预测和控制。
因此，李雅普诺夫指数在动力系统理论和非线性科学领域有着广泛的应用。
第五章 控制系统的李雅普诺夫稳定性分析汇总
Re(i ) 0, (i 1, 2,..., n) lim x(t ) 0, 系统渐近稳定。
t
如果只有一个（或一对）特征值的实部等于0，其余特征值实 部均小于0，则系统仅仅可能是李亚普诺夫意义下的稳定性。
线性定常系统的特征值判据： 系统 x Ax 渐近稳定的充要条件是A的特征值均具有负实 部，即：Re( i ) 0 (i 1,2,, n) 证明：假定A有相异特征值 1 ,..., n 根据凯莱哈密顿定理：矩阵指数eAt为 e1t ,..., ent的线性组合
e At R1e1t ... Rn ent
x xe ( x1 xe1 ) 2 ... ( xn xen ) 2
2
2
2
由范数的定义可知，向量 ( x xe ) 的范数可写成
通常又将 x xe 称为 围之内时，则记为
x 与 xe 的距离。当向量 ( x xe ) 的范数限定在某一范
x xe
0
xe
与经典控制理论的区别： 1. 2. 3. 4. 5. 6. 平衡点/BIBO； 状态稳定/输出稳定； 经典控制的稳定大致对应于现代控制的渐进稳定； 即便输出稳定，状态可能不稳定； 李雅普诺夫意义下的稳定在经典中是不稳定的； 经典控制不需要一致性、全局性概念。
5.2 李雅普诺夫稳定性理论 一、李雅普诺夫第一方法 李雅普诺夫第一法的基本思想是利用状态方程解的性质来 判断系统的稳定性。通常又称为间接法。它适用于线性定常系 统以及线性时变系统和非线性系统可以线性化的情况。
意义：当系统运动到xe点时，系统状态各分量将维持平衡， 不再随时间变化。 平衡点：由系统状态在状态空间中所确定的点 求法：1、线性定常系统
4.3 李雅普诺夫稳定判据
4.3.1 预备知识
1.标量函数的正定性
标量函数的正定性定义如下： V(x) 0 则称 V ( x ) 是 V(x) 0 ；当 x 0 时， 1）当 x 0 时， 正定的； 2）若 V ( x ) 除原点和某些状态下为零，而其余部分都 大于零，则称 V ( x ) 为半正定的； 3）若 V ( x ) 是正定的，则称 V (x) 是负定的； 4）若 V ( x ) 是半正定的，则称 V (x) 是半负定的； 5）若 V ( x ) 既可以是正值, 也可以是负值,则称 V ( x ) 是 不定的。
P11 P21 n Pn1
P12 P22 Pn 2
P1n P2 n Pnn
( 4.33)
二次型标量函数 V ( x ) 为正定的充要条件是矩阵P的所 有主子行列式为正，即:
1 0
2 0
……
n 0
(4.34)
二次型标量函数 V ( x ) 为负定的充要条件是矩 阵P的各阶主子式满足：
No Image
当 为负定时,平衡状态是渐近稳定的； ( x) ,V ( x ) 当 V 为负定，且 x 时，平衡状态 是大范围渐近稳定的； ( x ) 为半负定时，平衡状态是李氏意义下 当 V 稳定的； ( x) ( x ) 是半负定的， V 当 V 不恒等于0时，平 衡状态是大范围渐近稳定的； ( x ) 为正定时，则平衡状态是不稳定的。 当 V 标量函数称为李雅普诺夫函数。
i
=
0 0
i为偶数 i为奇数
(4.35)
4.3.2 李雅普诺夫稳定判据
若非线性连续系统的状态方程为:
x f ( x , t )
离散时滞系统的渐近稳定性判据
离散时滞系统的渐近稳定性判据谭聚龙;张志维;杨德彬;高翔宇;张显【摘要】在已有文献的基础上,进一步研究离散时滞系统的渐近稳定性问题,通过选择合适的扩展李亚雅诺夫泛函,获得了基于线性矩阵不等式的时滞相关的稳定性判据.对现有的方法进行了改进,即将时滞区间进行了划分,在小的区间上对李雅普诺夫泛函进行处理.通过比较可知,所给出的稳定性判据比存在的稳定性判据具有更弱的保守性.通过数值实例验证了所得结论的有效性.【期刊名称】《黑龙江大学自然科学学报》【年(卷),期】2015(032)006【总页数】7页(P753-759)【关键词】离散时滞系统;渐近稳定性;李雅普诺夫泛函【作者】谭聚龙;张志维;杨德彬;高翔宇;张显【作者单位】黑龙江大学数学科学学院,哈尔滨150080;哈尔滨华德学院电子与信息工程学院,哈尔滨150025;哈尔滨华德学院通识教育学院,哈尔滨150025;黑龙江大学数学科学学院,哈尔滨150080;黑龙江大学数学科学学院,哈尔滨150080【正文语种】中文【中图分类】TP13时滞现象经常出现在通信系统、生物系统、过程控制系统中［1-2］，几乎所有的实际问题都是在系统稳定的前提下来研究其性能的。
稳定性是时滞系统的一个重要性质，稳定性分析成为研究时滞系统的首要任务，已经取得了一些成果［3-11］。
许多文献给出了不同方法来分析时滞系统的稳定性，主要目的是扩大使得时滞系统稳定的时滞变化区间，从而降低稳定性判据的保守性。
许多学者已经提出了获得时滞相关的稳定性判据的各种方法，主要包括Jensen不等式方法、自由权矩阵方法、时滞分解方法、扩展Lyapunov-Krasovskii泛函方法、凸组合方法、离散Lyapunov泛函方法、倒凸组合方法等，其中Jensen不等式方法、自由权矩阵方法、时滞分解方法已经被广泛使用。
文献［4-6］结合自由权矩阵方法和积分不等式方法，给出了时滞系统的稳定性判据，并且较以往的文献具有更弱的保守性。
11.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析
11.4.1 线性定常连续系统的稳定性分析
设线性定常连续系统的状态方程为 x’=Ax 这样的线性系统具有如下特点: 1) 当系统矩阵A为非奇异时, 系统有且仅有一个平衡态xe=0,
即为状态空间原点;
2) 若该系统在平衡态xe=0的某个邻域上是渐近稳定的，则 一定是大范围渐近稳定的; 3) 对于该线性系统，其Lyapunov函数一定可以选取为二 次型函数的形式。
结论正定0该平衡态渐近稳定正定0对任意非零的初始状态的解该平衡态渐近稳定正定0对某一非零的初始状态的解该平衡态稳定但非渐近稳定正定0正定0该平衡态不稳定正定0半正定0且不恒为0对任意非零的初始状态的解该平衡态不稳定类似于线性定常连续系统对于线性定常离散系统有如下简单实用的渐近稳定判据
11.4 线性定常系统的 Lyapunov稳定性分析
证明 (1) 先证充分性。Sufficiency. 即证明，若对任意的正定矩阵Q，存在正定矩阵P满足 方程 PA+ATP=-Q, 则平衡态xe=0是渐近稳定的。 证明思路： 由于P正定, 选择正定函数 V(x)=xTPx为 Lyapunov函数 计算 Lyapunov函 数V(x)对时间t 的全导数V’(x) 通过判定V’(x) 的定号性来判 定平衡态xe的 稳定性
展开后得
2 p12 p p p 22 11 12
p11 p12 p22 1 0 2 p12 2 p22 0 1
因此，得如下联立方程组:
2 p12 1 p11 p12 p22 0 2 p 2 p 1 12 22
方程的唯一解的推论。
推论11-1 如果线性定常系统 x’=Ax 在平衡态 xe=0是渐近稳 定的, 那么Lyapunov代数方程
李雅普诺夫方法
pn1 pn2
pnn
的1～n阶顺序主子式，则P定号性的充要条件为：
为实对称矩阵 P
① 若 i 0 (i 1, 2, , n，) P为正定；
②若
i i
0 0
i为偶数时 i为奇数时
(i 1, 2, ，, n)P为负定；
③若 ④若
i 0 （i 1, 2, i 0 (i n)
，n ，1)P为正半定；
二、李雅普诺夫第二法
又称直接法。它受启示于“一个自治系统在运动过程中伴随着 能量的变化”这样一个物理事实。不需要求解系统的运动方程， 直接分析、判断系统的稳定性能。具有很强的普适性。
不能对任何系统都能找到能量函数来描述系统的能量关系。于 是，李雅普诺夫引入一个 “广义能量”函数，它具备能量函数的基 本属性—正的标量函数，它又能给出随着系统运动发生变化的信 息，把这样的“广义能量”函数称为李雅普诺夫函数。更具一般性。
i 0 i 0 i 0
i为偶数 i为奇数 (i n)
，P为负半定。
（二）李雅普诺夫第二法稳定性判据
1．渐近稳定基本判定定理 ：
x = f (x,t)
设系统的状态方程为
，且其平衡状态为
x，e 如0 果存在
一个具有连续一阶偏导数的标量函数
，并且V (满x,足t) 条件：
（1）V ( x,t) 为正定；
平衡状态 x是e 稳定的几何解释：
从球域 S(内) 任一点出发的运动 都不超越球域 S( )。
一个二维状态空间中零平衡 状态 xe 0 是稳定的几何解释 如右图 。
如果 与 t0无关，称为是
一致稳定，定常系统是一致 稳定的。
上述稳定保证了系统受扰运动的有 界性，通常将它称为李雅普诺夫意义 下的稳定，以区别于工程意义的稳定。
李雅普诺夫（Lyapunov）函数分析.pdf
讲义81. 李雅普诺夫（Lyapunov ）函数分析本讲中，对于一些有*E (,)0t S r w ⎡⎤=⎣⎦的*γ，我们研究1(,)t t t t t r r S r w γ+=+的收敛性。
回顾一下确定性实例中的Lyapunov 函数分析，我们选取了函数()V r 使得** ()0, ,()()0, , ()0.T V r r V r S r r r V r •≥∀•∇<≠•∇=如收敛性的论证为：我们发现()t V r 随时间减小并且有下限，因此，()t V r 收敛。
对V 和S 采用技术条件，可以证明*t r r →。
现在转到随机实例，用t F 表示到t 时刻的过程历史记录，显然，t F 可表示为{},,,,,,.t l l t r l t w l t l t γ=≤<≤F注意，步长t γ依赖于随机的历史记录，而步依赖于扰动t w 。
定义欧几里德范数122()T V V V =。
定理1 假设V ∃使得（a ）()0, ,V r r ≥∀（b ）L ∃使得22()()V r V r L r r ∇−∇≤−(李普希茨连续Lipschitz continuity) （c ）12,K K ∃使得221222E (,)(),t t t t S r w K K V r ⎡⎤≤+∇⎣⎦F（d ）c ∃使得22()E (,)().T t t t t t V r S r w c V r ∇⎡⎤≤−∇⎣⎦F 则，如t γ满足0t t γ∞==∞∑和20t t γ∞=<∞∑，有z ()t V r 收敛。
z lim ()0t t V r →∞∇=z 每一个t r 的极限点r 满足()0V r ∇=我们将证明某特例的收敛性，该特例对于一些*r 有2*122()V r r r =−。
定理2 假设2*122()V r r r=−满足（a ）12,K K ∃使得2122E (,)(),t t t t S r w K K V r ⎡⎤≤+⎣⎦F（b ）c ∃使得()E (,)().T t t t t t V r S r w cV r ∇⎡⎤≤−⎣⎦F则，如t γ满足0t t γ∞==∞∑和20t t γ∞=<∞∑，有*t r r →, w.p.1（以概率1）我们用下面的上鞅收敛定理证明定理2。
离散条件下的李雅普诺夫稳定判据
离散条件下的李雅普诺夫稳定判据1. 概述在控制论与系统论中，稳定性是一个重要的概念。
在研究动态系统的稳定性时，我们常常需要使用稳定性判据来判断系统的稳定性。
而在离散条件下，李雅普诺夫稳定判据就是一个常用的方法。
2. 李雅普诺夫稳定判据的定义李雅普诺夫稳定判据是由俄罗斯数学家亚科夫•伊万诺维奇•李雅普诺夫在稳定性理论中提出的一种判据。
它用于判断差分方程系统在离散条件下的稳定性。
3. 离散条件下的稳定性在离散条件下，系统的状态是以离散的时间点进行更新的。
这种情况下，我们常常需要研究系统的稳定性，即系统在经过一定次数的状态更新后，是否能趋向于某一稳定状态，或者在一定范围内波动。
而李雅普诺夫稳定判据就是用来判断这种系统的稳定性的一种方法。
4. 李雅普诺夫稳定判据的原理李雅普诺夫稳定判据的核心思想是通过构造一个Lyapunov函数来判断系统的稳定性。
对于一个给定的系统，如果存在一个 Lyapunov 函数，满足对系统的任意状态进行更新后，Lyapunov 函数的值都会减小，那么系统就是稳定的。
5. Lyapunov 函数的选择在使用李雅普诺夫稳定判据时，选择合适的Lyapunov 函数是至关重要的。
一般来说，Lyapunov 函数的选择是根据系统的特点来确定的。
常见的 Lyapunov 函数包括二次型函数、指数型函数等。
不同的Lyapunov 函数对系统的稳定性判断有不同的适用条件和效果。
6. 李雅普诺夫稳定判据的应用李雅普诺夫稳定判据在控制论与系统论中有着广泛的应用。
通过使用李雅普诺夫稳定判据，我们可以对离散条件下的系统进行稳定性分析，为系统的设计与控制提供理论支持。
7. 结论离散条件下的李雅普诺夫稳定判据是系统稳定性分析中的重要工具，通过对系统的 Lyapunov 函数进行构造和分析，我们可以判断系统是否稳定，并为系统的设计与控制提供理论依据。
希望本文的介绍对您有所帮助。
基于离散条件下的李雅普诺夫稳定判据，我们将进一步探讨该方法的具体应用和细节，以及其对控制系统和动态系统的实际意义。
4.3 李雅普诺夫稳定判据
xT (t ) AT (t )P(t ) x(t ) xT (t )P(t ) x(t ) xT (t )P(t ) A(t ) x(t )
xT (t )[ AT (t )P(t ) P(t ) P(t ) A(t )]x(t )
令
AT (t ) P(t ) P(t ) P(t ) A(t ) Q(t )
P 12 P22 Pn 2
Pn 1 P2n Pnn
( 4.33)
二次型标量函数 V (x) 为正定的充要条件是矩阵P的所 有主子行列式为正，即:
1 0
2 0 ……
n 0
(4.34)
二次型标量函数 V ( x ) 为负定的充要条件是矩 阵P的各阶主子式满足：
i
=
0 0
i为偶数 i为奇数
(4.35)
4.3.2 李雅普诺夫稳定判据
若非线性连续系统的状态方程为:
x f ( x, t )
ex
(4.36)
不 失 一 般 性 , 设 系 统 的 平 衡 状 态 为 xe 0 。 如 果 x e 0 ，可以通过 变换为零。 连续系统的李雅普诺夫稳定判据：若存在一个 标量函数 V ( x) ，对所有 x(t ) 的有连续的一阶 偏导数，且 V ( x) 是正定的，则
1
2
2 1
2 2
例4.15 分析系统
x1 x1 x 2 x 2 x1 x 2
的稳定性。
解 则 平衡点为
x e 0 0T
2 ，取 V ( x) x12 x2
2 V ( x) 2x1 x1 2x2 x2 2x1 ( x1 x2 ) (x1 x2 ) 2( x12 x2 )
《现代控制理论》实验报告
.现代控制理论实验报告组员：院系：信息工程学院专业：指导老师：年月日实验1 系统的传递函数阵和状态空间表达式的转换[实验要求]应用MATLAB 对系统仿照[例1.2]编程，求系统的A 、B 、C 、阵；然后再仿照[例1.3]进行验证。
并写出实验报告。
[实验目的]1、学习多变量系统状态空间表达式的建立方法、了解系统状态空间表达式与传递函数相互转换的方法；2、通过编程、上机调试，掌握多变量系统状态空间表达式与传递函数相互转换方法。
[实验内容]1 设系统的模型如式(1.1)示。
p m n R y R u R x DCx y Bu Ax x ∈∈∈⎩⎨⎧+=+= (1.1)其中A 为n ×n 维系数矩阵、B 为n ×m 维输入矩阵 C 为p ×n 维输出矩阵，D 为传递阵，一般情况下为0，只有n 和m 维数相同时，D=1。
系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的关系如式(1.2)示。
D B A SI C s den s num s G +-==-1)()()(()( (1.2)式(1.2)中，)(s num 表示传递函数阵的分子阵，其维数是p ×m ；)(s den 表示传递函数阵的按s 降幂排列的分母。
2 实验步骤① 根据所给系统的传递函数或（A 、B 、C 阵），依据系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的关系如式(1.2)，采用MATLA 的file.m 编程。
注意：ss2tf 和tf2ss 是互为逆转换的指令；② 在MATLA 界面下调试程序，并检查是否运行正确。
③ [1.1] 已知SISO 系统的状态空间表达式为(1.3)，求系统的传递函数。
,2010050010000100001043214321u x x x x x x x x ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ []⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=43210001x x x x y (1.3)程序:A=[0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 5 0]; B=[0;1;0;-2]; C=[1 0 0 0]; D=0;[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1)程序运行结果:num =0 -0.0000 1.0000 -0.0000 -3.0000 den =1.0000 0 -5.0000 0 0从程序运行结果得到:系统的传递函数为:24253)(ss s S G --= ④ [1.2] 从系统的传递函数式求状态空间表达式。
第五章 李雅普诺夫稳定性理论
非线性系统的稳定性是相对系统的平衡态而言的， 非线性系统的稳定性是相对系统的平衡态而言的，很难 笼统地讨论非线性系统在整个状态空间的稳定性。 笼统地讨论非线性系统在整个状态空间的稳定性。 对于非线性系统， 对于非线性系统，其不同的平衡态有着不同的稳定 故只能分别讨论各平衡态附近的稳定性。 性，故只能分别讨论各平衡态附近的稳定性。 对于稳定的线性系统，由于只存在唯一的孤立平衡 对于稳定的线性系统， 态，所以只有对线性系统才能笼统提系统的稳定性 问题。 问题。 李雅普诺夫稳定性理论讨论的是动态系统各平衡态 附近的局部稳定性问题。 附近的局部稳定性问题。 它是一种具有普遍性的稳定性理论， 它是一种具有普遍性的稳定性理论，不仅适用于线 性定常系统，而且也适用于非线性系统、时变系统、 性定常系统，而且也适用于非线性系统、时变系统、 分布参数系统。 分布参数系统。
5.1 动态系统的外部稳定性
控制系统的外部稳定性，常称为有界输入有界输出稳定性。 控制系统的外部稳定性，常称为有界输入有界输出稳定性。 在讨论系统的外部稳定性时，一般只适用于线性动态系统， 在讨论系统的外部稳定性时，一般只适用于线性动态系统， 而且必须假定系统的初始条件为零。 而且必须假定系统的初始条件为零。 外部稳定性的定义是，初始条件为零的线性系统， 外部稳定性的定义是，初始条件为零的线性系统，在任何一 个有界的输入作用下，若系统所产生的输出也是有界的， 个有界的输入作用下，若系统所产生的输出也是有界的，就 称该动态系统是外部稳定的，又称为BIBO稳定。 稳定。 称该动态系统是外部稳定的，又称为 稳定 对于单输入单输出线性定常系统而言， 对于单输入单输出线性定常系统而言，在经典控制理论中定 义的传递函数正是表征了系统在零初始条件下， 义的传递函数正是表征了系统在零初始条件下，输出量与输 入量两者间的关系。因此，对线性定常系统， 入量两者间的关系。因此，对线性定常系统，具有外部稳定 性的充要条件等价于其传递函数的所有极点都位于s平面的 性的充要条件等价于其传递函数的所有极点都位于 平面的 左半边。 左半边。
李雅普诺夫判据
1） ，则称 为正定的。
2） ，则称 为半正定。
3） ，则称 为负定的。
4） ，则称 为半负定的。
5） 或 ，则称 为不定的。
二、问题
用李雅普诺夫第二法来研究下面的系统是否稳定
，其中取A= ，B=
输出：
判断系统的稳定性，若系统不稳定试设计稳定器U优化。
五、参考文献
[1]刘豹唐万生.现代控制理论[M].北京.机械工业出版社
[2]胡寿松自动控制原理[M].北京.科学出版社
பைடு நூலகம்[3]网络文献
[4]网络文献https://
P=lyap(A',Q)
P=
由于 ，由希尔维斯特判据可知，P（即 ）不是正定的，所以原系统不是渐近稳定，只在李亚普诺夫意义下稳定。
2、设计稳定器U
正定标量函数为： ，
沿任意轨迹求 的对时间的导数为： ，
其中将系统方程改写为 ，
得到: ，
要使得系统是稳定的，则必须要使 恒小于0（为负定），
取 ，
可得 ，满足条件。
代入原系统状态方程，则A=
将上式带入 中可以求出P。
P= , ,则 为正定。
通过以上的计算可知施加控制器 后，经校正后的系统是稳定的。
3、结构图
在Matlab中利用simulink搭建框图进行仿真。
图1
输入输出波形如下：
图2
波形如下：
图3
控制器U波形如下：
图4
误差曲线如下：
图5
四、结论
由希尔维斯特判据可判定原系统是不稳定的，施加控制器后，由希尔维斯特判据可判定经校正后的系统是稳定的，由仿真结果可以证实。不稳定的系统可以通过加控制器U，使系统最终趋向渐近稳定，成为稳定的系统。由上可知，李雅普诺夫第二法的关键在于寻找一个满足判据条件的李雅普诺夫函数 。
《现代控制理论》李雅普诺夫稳定性分析
1、向量空间上的欧几里德范数（即向量长度）
其欧几里德范数定义为：
一般
一、向量和矩阵的范数
预备知识
矩阵范数
矩阵 的范数定义为：
【例】
Hale Waihona Puke ， 则即:矩阵每个元素平方和开根号
预备知识
2、矩阵范数
1．二次型函数：由n个变量
组成的二次齐次多项式，称（n元）二次型函数
2．二次型函数的矩阵表示
则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。
为唯一的平衡状态。
定理4：设系统状态方程为
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 设系统状态方程为
试确定系统的稳定性。
解 xe=0
,
是该系统惟一的平衡状态。
由于当
时
,所以系统在原点处的平衡状态是
大范围渐近稳定的。
选取
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 已知定常系统状态方程为
定义：若所有有界输入引起的零状态响应输出有界，则称系统为有界输入输出稳定。
李雅普诺夫第一方法—间接法
定理3：连续定常系统 传递函数为： 系统 BIBO 稳定的充要条件为：传递函数的所有极点均位于S左半平面。
【例】试分析系统渐近稳定和BIBO稳定。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
讨论续
这是一个矛盾的结果,表明
也不是系统的
受扰运动解。综合以上分析可知,
当
时,显然有
根据定理9-12可判定系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
线性系统稳定性分析
一.线性定常系统李雅普诺夫稳定性分析
线性定常连续系统
系统状态方程为
稳定性与李雅谱诺夫方法
( k 1, k ) P ( k 1) G ( k 1, k ) P ( k ) Q ( k )
5 李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用
从前面分析可知，线性系统的稳定性具有全局性质，而且稳定判据的条件是充分必要的。但是，非线性 系统的稳定性却可能只具有局部性质。
雅可比矩阵法
以上讨论的都是指系统的状态稳定性，或称内部稳定性。但从工程意义上看，往往更重视系统的输出稳定性。 如果系统对于有界输入 线性定常系统 所引起的输出 是有界的，则称系统为输出稳定。
输出稳定的充要条件是其传递函数：
的极点全部位于s的左半平面。
2.2
非线性系统的稳定性
设系统的状态方程为：
为讨论系统在
处的稳定性，可将非线性矢量函数
为矩阵微分方程式的初始条件。
当选取正定矩阵
时，可由函
计算出
；再根据
是否具有连续、
对称、正定性来判别线性时变系统的稳定性。
证明
设李雅普诺夫函数取为：
式中，
为连续的正定对称矩阵。取V（x,t）对时间的全导数，得：
即 （5） 式中
由稳定性判据可知，当 一个正定对称矩阵，则 定的。
为正定对称矩阵时，若
也是
。
分别满 为在李雅普诺夫意义下稳定。此称稳定判据。 来说，除去 ，
为半负定，那么平衡状态 为负定；或者虽然
为半负定．但对任意初始状态
不恒为零。那么原点平衡状态是渐近稳定的。如果进一步 为正定，那么平衡状态 是不稳定的。此称不稳定判据。
则系统是大范围渐近稳定的。此称渐近稳定判据。
3.3
1) 3)
对李雅普诺夫函数的讨论
( x) 为负定（半负定）的要求确定待定系数 再根据 V
系统稳定性判别方法
幅值条件改写
m
(s z j) j 1
n
(s pi)
1 K1
i 1
jω ∞
K
K=0× -1
K=0.×25K=0 σ
K
当 K1 0 ，必有Ｓ＝ p i ，即起点是开环极点。∞
当 K1 ，必有Ｓ＝ z j ，即终点是开环零点。
但在控制系统中，总有n>m，所以根轨迹从n个开环极点处
起始，到m个开环零点处终止，剩下的n－m条根轨迹将趋
0 a1 a3 ..... 0
Δ= 0 a0 a2 ..... 0
00
00
...... ......
......
.... .... ....
0 .... .... an-1 0 0 .... .... an-2 an
系统稳定的充分必要条件：
主行列式Δn及其对角线上各子行列 式Δ1，Δ2，Δ3，Δ4......Δn-1均具有正
决定系统基本特性的是系统特征方程的根，如果搞清楚 这些根在Ｓ平面上的分布与系统参数之间的关系，那就掌握 了系统的基本特性。
为此目的，Ｗ．Ｒ．伊文思在１９４８年提出了根轨迹 法，令开环函数的一个参数——开环增益Ｋ（或另一个感兴 趣的参数）从０变化到∞，与此对应，特征方程的根，便在 Ｓ平面上描出一条轨迹，称这条轨迹为根轨迹。
31
希尔维斯特判据
设实对称阵
p11 p12
P
p21
p22
pn1
p1n
,
pij
pji
pnn
i 为其各阶顺序主子式，即
1p11, 2p p1 21 1
p12, p22
,nP
矩阵P是否正定的充要条件是：
32
具有离散李雅普诺夫泛函系统的动力学
具有离散李雅普诺夫泛函系统的动力学本文深入讨论了具有离散Lyapunov泛函结构系统的动力学.我们将对具有离散Lyapunov泛函的三类典型系统的动力学,特别是不变集的结构及系统的结构稳定性,做系统地研究.这三类系统包括：圆周上几乎周期驱动的抛物方程、高维(负)循环反馈系统以及高维时间周期的三对角竞争-合作系统.首先,对于圆周上几乎周期驱动的抛物方程ut=uxx+f(t,x,u,ux.),t>0,x∈S1=R/2πZ,这里.广关于时间t是一致几乎周期的.该系统对应的离散Lyapunov泛函是零点数.我们研究了其诱导的斜积半流的极小集M的结构.对于f=f(t,u,ux；)的空间齐次情形,我们对中心流形维数不超过2的极小集结构做相对完整的刻划.值得指出的是,dimVc(M)≤2包含了双曲极小集、唯一遍历极小集等重要情形.具体地说,我们证明了：i)若M是双曲的(等价地,dimVc(M)=0),则M是基底H(f)的一个1-1覆盖.ii)若dimVc(M)=1,则或者M是基底H(f)的一个几乎1-1覆盖(几乎1-1扩充),其拓扑共轭于R×H(.f)中的一个极小流；或者M可以嵌入到一个几乎周期驱动的圆周流中.iii)若dimVc(M)=2且dimVu(M)为奇数,则或者M是基底H(.f)的一个几乎1-1覆盖(几乎1-1扩充),其拓扑共轭于R×H(f)中的一个极小流；或者M可以嵌入到一个几乎自守驱动的圆周流中.我们的结论显示由发展方程生成的无穷维系统中真正地存在几乎周期(自守)驱动的圆周流.当f(t,u,ux)=,(t,u,-ux)(包括.f=f(瓦u))时,我们证明任何极小集M是H(.f)的一个几乎1-1的覆盖.特别地,任何双曲极小集M都是H(tf)的一个1-1覆盖；而若dimVc(M)=1,则M或者是H(f)的一个1-1覆盖,或者拓扑共轭于R×H(f)中一个极小流.而对于一般的非线性项f=f(t,x,u,ux),我们证明了任何线性稳定或者稳定的极小集M都可以剩余地嵌入到R2×H(.f)中.我们的成果将自治及时间周期的上述抛物方程的国际上已有结论较为完整地推广至时间几乎周期系统中.其次,对于高维负循环反馈系统(该系统广泛存在于生物网络及反馈圈中,同时它是一个非单调动力系统),我们证明了：i)任何两个双曲周期轨的稳定流形与不稳定流形是自动横截相交的；ii)双曲周期轨与双曲平衡点之间的的稳定流形与不稳定流形自动横截相交；iii)若两个双曲平衡点的不稳定流形维数不同,则它们的稳定流形与不稳定流形也横截相交.进一步,我们证明了平衡元素(平衡点或周期轨)的双曲性是通有的.我们的结果提供了高维非单调系统拥有不变流形横截性(以及与其紧密联系的结构稳定性)的具体例证.最后,对于时间T-周期的三对角竞争-合作系统,我们证明了任何双曲T-周期轨之间的稳定流形与不稳定流形是横截相交的.进一步,若该系统的T-周期轨是双曲的且系统满足耗散性假设,则该系统是Morse-Smale的,从而它是结构稳定的.。
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李雅普诺夫离散系统判据证明
李雅普诺夫判据是用来证明离散系统稳定性的一种方法。
该判据是基于李雅普诺夫函数的变化性质进行证明的。
首先，假设离散系统的状态变量为x，其演化方程为x(k+1) =
f(x(k))，其中k为离散时间步。
如果存在一个函数V(x)，满足
以下条件：
1. V(x)是定义在状态空间D内的连续函数；
2. V(x)在D中严格正定，即V(x) > 0，对于任何非零的x；
3. 对于所有的x(k)满足x(k+1) = f(x(k))，有V(x(k+1)) ≤ V(x(k)) - α(x(k))，其中α(x(k))是一个正定的函数；
4. 如果存在一个正定的函数β(x)满足V(x(k)) ≤ β(x(k))，则系
统是渐近稳定的。
根据以上条件，可以证明系统的稳定性。
具体证明的步骤如下：
1. 首先，确定适合的Lyapunov函数V(x)。
这可以通过系统的
特性和性质进行推导和选择，例如能量函数、误差函数等；
2. 推导出V(x(k+1))和V(x(k))之间的关系式，并解析得到
α(x(k))的表达式；
3. 根据V(x(k+1)) ≤ V(x(k)) - α(x(k))，证明V(x)是单调递减的；
4. 通过比较V(x)和β(x)的形式，得出V(x(k)) ≤ β(x(k))的结论；
5. 根据Lyapunov函数的性质，证明系统是渐近稳定的。
需要注意的是，李雅普诺夫判据只能证明系统的稳定性，不能推导出系统的收敛速度。